SA ZBIRKOM ZADATAKA - Univerzitet Matemati ka analiza je bila taj matemati ki aparat koji je mogao da

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of SA ZBIRKOM ZADATAKA - Univerzitet Matemati ka analiza je bila taj matemati ki aparat koji je mogao...

  • DISKRETNA MATEMATIKA

    SA ZBIRKOM ZADATAKA

  • PREDGOVOR

    -

    -

    Beograd, januar 2015. godine Autor

    III

  • SADRŽAJ

    U

    2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA 31

    4. OSNOVE KOMBINATORIKE 73

    V

  • VI

  • VII

  • VIII

  • DISKRETNA MATEMATIKA

    UVOD

    Grubo govore i matematiku možemo da podelimo na dve velike celine:

    Diskretnu matematiku

    Kontinualnu matematiku

    Do sada, uglavnom smo se bavili matemati kom analizom, odnosno kontinualnom matematikom. Ona se bavi procesima koji se odlikuju neprekidnim tokom. Nastala je i razvijala se tokom 18, 19 i po etkom 20 veka. Nastanak diferencijalnog i integralnog ra una u 18. veku bio je uslovljen industrijskom revolucijom, odnosno pojavom mašina kontinualnog dejstva. Matemati ka analiza je bila taj matemati ki aparat koji je mogao da prati i rešava probleme kontinuuma.

    Razvoj ra unara uslovio je potrebu za novim matemati kim aparatom. Memorija ra unara je kona na, a znaju i da su ra unari mašine diskretnog dejstva (prelaze iz jednog u drugo stanje u odre enim vremenskim trenucima) pojavio se problem rešavanja velikog broja problema na kona nim skupovima.

    Diskretna matematika je jedna od najaktuelnijih matemati kih disciplina. Diskretna matematika je deo matematike koji se bavi prou avanjem

    diskretnih skupova. Ona je u suštini sinteza:

    matemati ke logike,

    teorije skupova,

    opšte algebre,

    kombinatorike,

    diskretne verovatno e,

    i novih oblasti matematike kao što su

    teorija grafova,

    teorija kodova,

    algoritamske strukture i sli no.

    - 1 -

  • Diskretna matematika obezbe uje teorijsku osnovu za mnoge oblasti ra unarskih nauka, kao što su:

    struktura podataka,

    teorija algoritama,

    formalni jezici,

    konstrukcija prevodilaca,

    vešta ka inteligencija,

    ra unarske mreže,

    softversko inženjerstvo i mnoge druge.

    CILJEVI PREDMETA

    da pomogne da se razviju sposobnosti logi kog razmišljanja,

    da se koriste logi ki ispravne forme zaklju ivanja,

    da se nau e osnovne tehnike dokazivanja,

    da se radi sa simboli kim izrazima,

    da se nau i da se radi sa diskretnim strukturama,

    da se upozna sa osnovnim tehnikama prebrojavanja,

    da se shvati konstrukcija algoritma,

    da se nau i teorija grafova,

    da se nau i da se koristi matemati ka argumentacija,

    da se uo i kako rezultate diskretne matematike je mogu e koristiti

    u njenim primenama.

    - 2 -

  • JEZIK MATEMATIKE

    Pored govornog jezika u matematici se koriste razni matemati ki znaci- simboli, a sve to zajedno ini jezik matematike. Taj jezik je univerzalan i omogu ava jednostavno i svima razumljivo zapisivanje matemati kih sadržaja.

    Tvorac matemati kog jezika je nema ki matemati ar i filozof Lajbnic.

    Gottfried Vilhelm von Leibniz (1596–1650)

    Jezik matematike sadrži:

    Konstante:

    1 2,3, , , 2,

    2

    Promenljive:

    , , , , , ,x y a b

    Operacijske znake:

    algebarske operacije: , ,*, / ,

    logi ke operacije: , , , , ,

    skupovne operacije: , , \, ,X

    Relacijske znake:

    : , , , , ,฀ .

    - 3 -

  • Specijalne znake:

    , , , , , , , ,!,

    Koriš enjem ovih elemenata matemati kog jezika definišemo izraze i formule.

    Izrazi sadrže konstante, promenljive i operacijske znake:

    Primer:

    2x je izraz. Izrazi u obi nom jeziku predstavljaju re i.

    Definicija izraza glasi:

    Promenljive i znaci konstanti su izrazi.

    Ako su 1I i 2I izrazi, onda je i re 1 2*I I izraz, gde je * je

    operacijski znak.

    Izrazi se dobijaju jedino kona nom primenom prethodna dva pravila.

    Formule su izrazi koji moraju da sadrže znak relacije.

    Primer:

    2 5x je formula. Formule u obi nom jeziku su re enice.

    - 4 -

  • 1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE

    LOGIKE

    KRATAK SADRŽAJ:

    1.1. LOGIKA

    1.2. MATEMATIČKA LOGIKA

    1.3. ISKAZNA LOGIKA

    1.3.1. OSNOVNE LOGIČKE OPERACIJE 1.3.2. ISKAZNE PORMULE

    1.4. KVANTORI

    1.5. PREDIKATSKA LOGIKA

    1.6. ZADACI

    CILJEVI UČENJA:

    Kada ovo poglavlje proučite bićete u mogućnosti da:

    1. koristite logički ispravne forme zaključivanja

    2. izbegnete greške u zaključivanju

    3. definišete iskaznu logiku

    4. znate logičke operacije

    5. napišete tablice istinitosti iskaznih formula

    6. nabrojite osnovne logičke zakone

    7. definišete predikatsku logiku

    8. rešavate valjane formule

    - 5 -

  • 1.1. LOGIKA

    Logika je veština i metoda pravilnog mišljenja. To je nauka o zaklju ivanju i

    kao takva koristi se u najrazli itijim oblastima. Nastala je u 4 veku p.n.e.

    Pogotovo u matematici, osnova je celokupnog rezonovanja, odnosno pravilnog

    koriš enja matemati ke argumentacije. Omogu ava da se logi ki pravilno

    zaklju uje i da se izbegnu greške zaklju ivanja.

    Osniva logike je gr ki filozof Aristotel (384-322 p.n.e.).

    Ro en u Stagiri, gr koj koloniji na make-donskom

    poluostrvu. Njegov otac, Nikomah, radio je kao dvorski lekar

    kod kralja Amintasa III Make-donskog, dede Aleksandra

    Velikog. Od 18. do 37. godine poha a Akademiju kao

    Platonov u enik. Na poziv kralja Filipa II Makedonskog

    postaje tutor Aleksandra Velikog, koji je tada imao 13 godina. Prvi je podrobno

    obradio zakone logike i pravila zaklju ivanja u delu Organon, što u prevodu zna i

    oru e. U ovom delu sa inio je prvi skup pravila deduktivnog zaklju ivanja. Glavna

    teza je : Svako korektno rasu ivanje se može svesti na sistematsku primenu

    nevelikog broja odre enih pravila, koja ina e ne zavise od prirode objekata na

    koja se odnosi rasu ivanje. U 17 i 18 veku u enje logike bilo je deo obaveznog

    obrazovanja.

    1.2. MATEMATIČKA LOGIKA

    Matemati ka logika se intenzivno razvija od sredine 19 veka pa do danas.

    esto se pogrešno kaže da ona predstavlja primenu logike u matematici. Ona je

    mnogo više od toga. Matemati ka logika predstavlja sponu izme u

    matematike i filozofije. Sa druge strane ona je zna ajna matemati ka disciplina

    koja je uvela strogost u definisanje pojmova. Obezbe uje teorijske osnove

    mnogih matemati kih disciplina, a pre svega ra unarskih nauka. Omogu ila je

    nastanak i razvoj digitalnih elektronskih ra unara, daju i formalni jezik koji je

    potreban za opisivanje i rešavanje problema u ra unarstvu. U poslednje vreme

    opšti cilj matemati ke logike je konstruisanje sistema koji e biti u stanju da

    - 6 -

  • formalizuju razli ite oblasti ljudskog mišljenja, ali u granicama tehni ke

    ostvarljivosti.

    Tvorac matemati ke logike je Džordž Bul (George Boole,

    1815. - 1864.) engleski matemati ar i filozof. Bul je prišao

    logici na nov na in, sažimaju i je u prostu algebru,

    pretvaraju i logiku u matematiku. Na taj na in stvorene su

    nove matemati ke discipline matemati ka logika ili

    simboli na logika ili algebra logike koja je nazvana Bulova

    algebra. Nažalost, nije živeo dugo, umro je u 49-oj godini života, od prehlade,

    koju je dobio tako što je peša io dve milje po kiši, kako bi stigao na predavanje i

    predavao je u mokroj ode i.

    Sve do kasnih tridesetih godina njegova algebra nije imala nikakve prakti ne

    primene. 1937. godine nau nici Nakašima i godinu dana kasnije Šenon su

    iskoristili Bulovu algebru za analizu mreža sa relejima. Telefonija je tih godina

    bila u brzom razvoju, pa je bilo potrebno koristiti neki matemati ki aparat kojim

    bi se opisivale željene komunikacije i na in ostvarivanja veza. Od ovog trenutka

    Bulova algebra doživljava svoju ekspanziju.

    U ovoj knjizi od mnogih važnih oblasti matemati ke logike osvrnu emo se

    samo na iskaznu i predikatsku logiku.

    1.3. ISKAZNA LOGIKA

    Polazni pojam u matemati koj logici su iskazi, afirmativne re enice koje

    imaju smisla i koje su ili ta ne ili neta ne.

    Definicija:

    Re enica koja ima smisla i ima istinitosnu vrednost naziva se iskaz ili sud.

    Iskazi se obeležavaju malim slovima p, q, r,……i nazivaju se iskazna slova.

    Istinitosna vrednost iskaza je:

    ,

    ,

    T p je ta an iskaz p

    p je neta an iskaz

    - 7 -

  • Napomena: Umesto T (“true”) i ( ita se ne te), u tehnici se više koriste

    oznake 1 i 0. U ovom slu aju simbole 1 i 0 ne treba shvatati kao brojeve 1 i 0.

    Primer:

    Re enice: 2 - 1 = 1, Beograd je glavni grad Srbije,

    su iskazi koji imaju ta nu istinitosnu vrednost, tj. p T

    Re enica p: 2-1=-1 je tako e iskaz, ali ima neta nu istinitosnu vrednost, tj.

    p .

    Primer:

    Re enica 2 1x nije iskaz , jer nema definisanu istinitosnu vrednost.

    Za neke vrednosti promenljive x , odnosno za 1x formula je ta na, a za sve ostale je neta na. Re enica: Koliko je sati? Ova je re enica nema istinitosnu vrednost i ne tako e ne predstavlja iskaz