disusun oleh :

Raden Mutiara

Rafa Zihan K

Rizka Amalia H

Rusydina Sabila

Shafira Putri A

Silvia Dwi L

Teguh Riandi P

Tiffany Grant

Trisha Nur A

Yaumi Hadi

Aturan Sinus

I. Materi Prasyarat

C

A B

Dengan menggunakan gambar 1, dapat diperoleh

• Panjang BC dinyatakan dengan a

• Panjang AB dinyatakan dengan b

• Panjang AC dinyatakan dengan c

• Sin ∠ABC = Panjang AC

Panjang BC= b

a

• Sin ∠BCA = Panjang AB

Panjang BC= c

a

(Gambar 1)

a

b

c

Jika Jalan k dan Jalan lberpotongan di kota A. Dinas TataRuang Kota ingin menghubungkankota B dan C denganmenghubungkan Jalan m danmemotong kedua jalan yang adaseperti pada Gambar 2.

Jika jarak kota A dan kota Cadalah 5 km, sudut yang dibentukJalan m dengan Jalan l adalah 75º dansudut yang dibentuk Jalan k dan Jalanm adalah 30º . Tentukan jarak kota Adengan kota B!

A

Jalan k Jalan m

(Gambar 2)

Jalan l

CB 75º30º

Dari sketsa pada Gambar 2terlihat jelas bahwa segitiga ABCbukan segitiga siku-siku, sehinggauntuk menentukan panjang sisi-sisinya tidak dapat menggunakantheorema phytagoras.

Untuk mencari panjangnya,mari kita bahas dengan mencari

rumus

A

Jalan k Jalan m

(Gambar 2)

Jalan l

CB 75º30º

Pembahasan Aturan

Sinus• Dari segitiga ABD, diperoleh :

Sin B = AD

AB→ AD = AB sin B

AD = c Sin B ... (1)

• Dari segitiga ACD, diperoleh :

Sin C = AD

AC→ AD = AC sin C

AD = b Sin C ...(2)

• Dengan menggunakan persamaan (1)dan (2), diperoleh : c sin B = b sin C

(kalikankeduaruasdengan1

sin 𝐵 sin 𝐶)

c sin B

sin B sin C=

b sin C

sin B sin C

Makadiperoleh : c

sin C=

b

sin B... (3)

(Gambar 3)

B

A

CD

c b

Pada Gambar 3, buatlah garistinggi AD, sehingga terbentuksegitiga ADB dan segitiga ADC.

a

• Dari segitiga ABE, diperoleh :

Sin A= BE

AB→ BE= AB sin A

BE= c Sin A ... (4)

• Dari segitiga BCE, diperoleh :

Sin C = BE

BC→ BE= BCsin C

BE= aSin C ... (5)

• Dengan menggunakan persamaan (5)dan (6), diperoleh : c sin A = a sin C

(kalikankeduaruasdengan1

sin 𝐴 sin 𝐶)

c sin A

sin A sin C=

a sin C

sin 𝐴 sin C

Makadiperoleh :c

sin C=

a

sin A... (6)

A B

C

E

Pada Gambar 4 diatas, buatlahgaris tinggi BE, sehinggaterbentuk segitiga BEA dansegitiga BEC.

a

c

(Gambar 4)

b

• Dari segitga ACF, diperoleh:

Sin A = CF

AC CF = AC sin A

CF = b sin A ... (7)

• Dari segitiga BCF, diperoleh :

sin B = CF

BC CF = BC sin B

CF = a sin B ... (8)

• Denganmenggunakanpersamaan (7) dan (8), diperoleh : b sin A = a sin B

(kalikankeduaruasdengan1

sin A sin B)

b sin A

sin A sin B=

a sin B

sin A sin B

Makadiperoleh : b

sin B=

a

sin A... (9)

FA B

C

Pada Gambar 5 diatas,buatlah garis tinggi CF,sehingga terbentuk segitigaAFC dan segitiga BFC.

(Gambar 5)

c

ab

a

sin A=

b

sin B=

c

sin C

Penyelesaian Masalah

• Dengan menggunakan aturan sinus, kita selesaikan masalahtadi.

Yang ditanya: darikota A ke B berarti c, menurutaturan sinus :

c = b sin C

sin B

c = 5 x sin 75°

sin 30°

c = 5 x 0.965

0.5

c = 10 x 0.965

c = 9.65 km

b

sin B=

c

sin CA

Jalan k

(Gambar 2)

Jalan l

CB 75º30º a

bc

Contoh - contoh

• Perhatikan segitiga ABC berikut. Panjang AB = 8 cm, BC = 8 2 cm, AC = b, ∠BAC = 45º, ∠ACB = yº, dan∠ABC = xº. Tentukanpanjang b!

B

A

C

45º

xº

yº

8

b

8 2

Penyelesaian :

𝐵𝐶

sin𝐴=

𝐴𝐵

sin 𝑦°8 2

sin 45°=

8

sin 𝑦°

8 21

22

= 8

sin 𝑦°

Sin yº =

1

22 𝑥 8

8 2

Sin yº = 1

2 yº = 30º

↔ ∠A + ∠B + ∠C = 180º

45º + xº + 30º = 180º

75º + xº = 180º

xº = 105º

↔𝐴𝐶

sin 𝐴=

𝐴𝐵

sin 𝑦°𝑏

sin 45º=

8

sin 105°𝑏

12 2

=8

0.9659

b = 1

22 𝑥 8

0.9659

b = 5.855 cm

Uji Kompetensi

1. Perhatikan gambar dibawah ini. Panjang AC = ?

A

B

C

45º

60º

12

Jawab :𝐴𝐶

sin𝐵=

𝐵𝐶

sin𝐴𝐴𝐶

sin 45º=

12

sin 60°𝐴𝐶

12

2=

12

12

3

12 2 = AC 3

AC = 12 2

3x

3

3

AC = 12 6

3

AC = 4 6 (𝐶)

2. Pada segitiga ABC. Diketahui AC = 10, ∠ABC = 45º, dan ∠BAC = 30º. Panjang BC = ?

Jawab : 𝐵𝐶

sin 30º=

10

sin 45º𝐵𝐶

12

=10

12 2

BC 2 = 10

𝐵𝐶 =10

2x

2

2

𝐵𝐶 = 5 2 (B)

B

C

A

45º 30º

105º 10

3. Fatih ingin mengukur jarak sebuahbangunan dengan tempat dia berdiri di sebuahjalan. Untuk itu dia membuat sebuah garislurus pada jalan sepanjang 5 m. Kemudian diamengukur sudut yang dibentuk garis tersebutdengan garis (kira-kira) yang menghubungkantitik-titik ujung garis dengan bangunan sepertidigambarkan berikut. Jarak tempat Fatihberdiri dengan bangunan adalah…

15º

60º

5A B

C

120º45º

Jawab :

4. Pada segitiga PQR, panjang sisi PR = s, sisi QR = p, dan p+s = 6. Jika ∠P = 30º dan ∠Q = 60º, maka tentukan panjang sisiPQ!

PR

Q

p + s = 6s = 6 - p

60º

30º90º

Jawab :PR

sin 60º=

QR

sin 30º

6 − p

12 3

=p

12 2

6 – p = p 3

6 = p 3 + 𝑝

p = 6

3+1x

3−1

3−1

p = 3 ( 3 - 1)

p

sin 30º=

PQ

sin 90º

3 ( 3 − 1)

12

=PQ

1

PQ = 6 3 − 6 (𝐷)

↔

s

p

5. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut. AB = AC =2, ∠BAC = 90º, ∠DAC = 60º. Jika sin 105º = sin 60º cos 45º + cos 60º sin

45º, maka panjang BD = ?

60º

C

A B2

2

BD

sin A=

AB

sin D

BD

sin 30º=

2

sin 105º

BD

12

=2

14 ( 6 + 2)

Jawab :

Sin 105º = sin 60º cos 45º + cos 60º sin 45º

= 1

23 .

1

22 +

1

2.1

22

= 1

46 +

1

42 =

1

4( 6 + 2)

BD = 1

1

4( 6 + 2)

= 4

6 + 2x

6 − 2

6 − 2

= 6 − 2 (A)

↔

D

30º 45º

105º

A

D

B

6. Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 4 2 cm, dan∠C = 30º. Dengandemikian∠A = ?

4A

C

B

Jawab : c

sin 30º=

b

sin B

4

12

=4 2

sin B

sin B = 1

22

∠B = 45º

4 2 30º

Maka ∠A = 180º - 30º - 45º = 105º (E)

7. Perbandingan sudut – sudut suatu segitiga 3 : 4 : 5. Perbandingan dua sisi terpendek adalah…

Jawab : ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5

3x + 4x + 5x = 18012x = 180

x = 15

∠A = 45º ; ∠B = 60º ; ∠C = 75º

𝑎

sin A=

b

sin B

𝑎

𝑏=

sin A

sin 𝐵

𝑎

𝑏=

12 2

12 3

𝑎

𝑏=

2

3

↔

(A)

TERIMAKASIH

“Menuntut ilmu itu adalah taqwa

Menyampaikan ilmu adalah ibadah

Mengulang-ulang ilmu adalah dzikir

MENCARI ILMU ADALAH JIHAD. ”

Imam Al-Ghazali