Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc

8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc

1/36

GEOMETRI DIMENSI DUA

Mengidentifikasi sudut

1. Satuan Sudut

Satuan sudut ada 3 macam, yaitu derajat, radian dan gradian (gon)

a. Derajat

Besar sudut disebut satu derajat (1o), jika panjang busur

lingkarannya sama dengano360

1

dari keliling lingkarannya.

O Jadi : 1o =o360

1

. 2 r, dengan = 722

= 3,14159

Jika jari-jari r sama dengan satu satuan, maka besarnya

1o =o360

1

. 2 =o180

= 0.017 rad

Dari sistem satuan derajat dibagi lagi menjadi menit dan detik atau disebut sistem DMS (derajat,

menit dan detik) dengan konversi :

1o = 60' (menit)

1' = 60" (detik) atau

1o = 3600" (detik)

b. Radian

Besar disebut satu radian ditulis 1 rad, jika panjang busur

lingkarannya sama dengan jari-jari lingkaran.O AOB = = 1 rad dengan AB = r

Untuk panjang busur rsudut pusat = 1 radUntuk panjang busur 2 rsudut pusat = 360o

Terdapat hubungan : 2 rad = 360o atau rad = 180o

1 rad =

o180

= 57,3o

c. Gradian (gon)

Besar disebut satu gon dan ditulis 1g, jika panjang busur lingkarannya = 4001

dari keliling

lingkarannya. Jadi besar sudut pusat lingkaran = 400g.

Hubungan : 360o = 2 rad = 400g atau 180o = rad = 200g

1o = 180

200

= 1,11g atau 1g = 200

180

= 0,9o

1 rad =

200

(gon) atau 1g = 200

rad

Created by Sukani, S.Pd

Email: [email protected]


2/36

2. Konversi Satuan Sudut

a. Derajat ke radian dan atau sebaliknya

Tabel Konversi satuan sudut derajat dengan radian

Derajat 0 30 45 60 90 120 135 150 180

Radian 0

6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

b. Derajat ke gradian (gon) dan atau sebaliknya

keliling lingkaran = 1 putaran = 360o = 400g atau 180o = 200g

1o = 180

200

x 1g = 1,11g

1g = 200

180

x 1o = 0,9o

c. Radian ke gradian dan atau sebaliknya

1 putaran = 2 rad = 400 gon atau rad = 200 gon

1 rad =

200

x 1g = 63,66g

1g = 200

x 1 rad = 0,0157 rad

Keliling Dan Luas Daerah Bangun Datar

1. Rumus-rumus keliling dan luas bangun datar

a. Segitiga (jumlah sudutnya 180o)

Segitiga siku-siku

L = . alat . tinggi

b c L = . a . b

Kel. = a + b + c

aSegitiga sama kaki

L = . alas . tinggi

L = . a . t

b t c t =

22 a

2

1(c)

; b = c

a

Segitiga sedmbarang dengan sudut diketahui

L = . a . t t = b . sin L = . a . b . sin

b t c

a


3/36

dtc a

Segitiga sembarang dengan

semua sisi diketahui

L =c)(s.b)(s.a)(s.s

b c Keliling = a + b + c

s = . (a + b + c)

a

Hukum Pythagoras untuk segitiga siku-siku :

" Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya "

Dari hukum Pythagoras tersebut ada beberapa perbandingan untuk segitiga siku-siku, yaitu

(3 : 4 : 5) ; (5 : 12 : 13) ; (7 : 24 : 25) ; (8 : 15 : 17) atau kelipatannya.

b. Segiempat (jumlah sudutnya 360o)

1. Persegi panjangL = panjang . lebar

l L = p . l

Keliling = 2 . (p + l)

p

2. Bujur sangkar

L = sisi . sisi

L = a . a

a Keliling = 4a

a

3. Jajaran genjang

L = panjang alas . tinggi

b t L = a . t

L = a . b . sin a Keliling = 2 . (a + b)

4. Belah ketupat

b L = 2

1

. diagonal . diagonal

a L = 2

1

a . b

5. Trapesium

b L =x tinggi

2

sejajarsisijumlah

L = 2

1

(a + b) . t

a Keliling = a + b + c + d

6. Layang-layang

L = 21

. diagonal . diagonal




4/36


5/36

yang menggunakan sifat dari cermin datar.

c. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah suatu tarnsformasi yang memindahkan setiap titik dengan cara memutar setiap ttiik

tersebut denganm besar dan arah yang telah ditentukan.

y Pada rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar P' (x', y') dengan arah positif, maka titik P (x, y)

menjadi titik P' (x', y')

x' = x cos y sin y' = x sin + y cos

P (x, y)

x

1. Rotasi sejauh 90o, matriks transformasinya adalah : T =

01

10

'

'

y

x

=

01

10

.

y

x

2. Rotasi sejauh 180o, matriks transformasinya adalah : T =

10

01

'

'

y

x

=

10

01

.

y

x

3. Rotasi sejauh 270o, matriks transformasinya adalah ; T =

0110

'

'

y

x

=

01

10

.

y

x

4. Rotasi sejauh derajat, matriks transformasinya adalah : T =

cossin

sincos

'

'

y

x

=

cossin

sincos

.

y

x

Untuk perputaran berlawanan arah jarum jam positif dan searah jarum jam negatif.

d. Dilatasi (perkalian)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) dengan

suatu faktor skala.

P (x, y) P' (x', y') dengan x' = kx dan y' = ky

2. Komposisi Transformasi

a. Komposisi dua Translasi berurutan




6/36

T1

=

1

1

b

a

dan T2

=

2

2

b

a

T2

o T1

=

1

1

b

a

+

2

2

b

a

(T2

o T1) A (x, y) A" (x", y") dengan x" = x + (a

1+ a

2) dan y' = y + (b

1+ b

2)

b. Komposisi dua Refleksi berurutan

1. Pencerminan terhadap garis x1

= k dan x2

= l

P (x, y)lx,kx

xMoxM

21

12

==P" (2 (l k) + x , y)

2. Pencerminan terhadap garis y1

= m dan y2

= n

P (x, y)ny,my

yMoyM

21

12

==P" (x, 2 (n m) + y)

c. Komposisi dua Rotasi berurutan

Jika titik P (x, y) diputar sebesar1

dan diteruskan ke 2

dengan arah positif sama dan titik pusat

yang sama, maka bayangannya adalah : P" (x", y")

Dimana :

x" = x cos (1

+ 2) y sin (

1+

2)

y" = x sin (1

+ 2) + y cos (

1+

2)


7/36

GEOMETRI DIMENSI TIGA

Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya

1. Unsur-unsur bangun ruang

a. Kubus

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar, dimana masing-masing

bidang datar berbentuk bujur sangkar. Kubus disebut juga dengan Hexaeder.

H G Perhatikan gambar kubus ABCD - EFGH

Enam bidang datar adalah :

E F ABCD, EFGH, ABEF, CDGH, BCFG, dan ADEHKubus mempunyai 12 rusuk, yaitu :

AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, CG, BF, AE, dan DH

D C Kubus juga mempunyai 8 titik sudut, yaitu titik :

A, B, C, D, E, F, G, dan H.

A B

Jika panjang sisi kubus = a, maka panjang diagonal bidangnya :

BD2 = AB2 + AD2 AB = AD = aBD2 = a2 + a2 = 2a2

BD = a 2

Panjang diagonal ruang :

BH2 = BD2 + DH2

= 2a2 + a2 = 3a2

BH = a 3

b. Balok

Balok adalah suatu bangun yang dibatasi oleh enam bidang datar yang berbentuk persegi

panjang. Pada balok ukuran rusuknya tidak sama, yaitu terdiri dari panjang, lebar dan tinggi.

Panjang, semua rusuk yang sejajar dengan bidang gambar

Lebar, semua rusuk yang arahnya ke belakang bidang gambar

Tinggi, semua rusuk tegak.

Perhatikan gambar balok ABCD EFGH

H G Panjang : AB, CD, EF, dan GH

Lebar : BC, AD, FG, dan EH

E F Tinggi : AE, BF, CG, dan DH

D C Balok mempunyai 12 sisi diagonal yang tidak sama

panjangnya.

AC = BD = EG = FH

A B BG = CF = AH = DE

AF = BE = CH = DGDiagonal ruang balok ada 4 buah yang sama panjang, yaitu : AG, BH, CE, dan DF.




8/36

c. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar (bidang alas dan bidang

atas) dan bidang tegak yang saling berpotongan menurut rusuk-rusuk sejajar.

Prisma tegak segi empat bentuknya sama dengan balok.

d. Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang alas yang berbentuk segi-n dan bidang

tegak yang berbentuk segitiga. Bentuk limas tergantung dari bentuk bidang alasnya.

T T

T

C

D C E

A A D

A B B C

B

Perhatikan gambar Limas segi empat T ABCD

Titik A, B, C, dan D merupakan titik sudut alas, sedangkan titik T merupakan titik puncak.

ABCD disebut bidang alas, sedangkan TAB, TBC, TCD, dan TAD disebut bidang tegak.AB, BC, CD, dan DA disebut rusuk alas, TA, TB, TC, dan TD disebut rusuk tegak

e. Tabung

Tabung adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk lingkaran, yang dibatasi oleh dua bidang

lingkaran sejajar (alas dan atas) dan sebuah bidang lengkung tegak

r = jari-jari tabung

t = tinggi tabung

t

r


9/36

f. kerucut

Kerucut adalah bangun limas yang bidang alasnya berbentuk lingkaran dengan jari-jari r dan

tinggi t.

r = jari-jari kerucut

t = tinggi kerucutt

r

g. Bola

Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung sebagai tempat kedudukan titik-

titik yang berjarak sama erhadap suatu titik pusat

r

Menghitung Luas Permukaan Bangun Ruang

1. KubusH G Jaring-jaring kubus

E F H G

D C D C G H D

A B

A B F E A

E F

Jika panjang sisi kubus adalah "a", maka :

Panjang diagonal bidang = a 2

Luas bidang sisi L = a2

Luas bidang diagonal = a2 2

Luas permukaan kubus Lp = 6a2




10/36

2. Balok

H G Jaring-jaring balok

G F

E FD C C B F G C

A B

D A E H D

H E

Luas permukaan balok :

Lp = 2 {(p . l) + (p . t) + (l . t)}

Volume balok : V = p . l . t

3. Prisma

T Jaring-jaring prisma

R S T

Q T R S T

O P

Q O P Q

Q

Luas selimut prisma segi-n = keliling bidang alas segi-n x tinggi prisma

Luas permukaan prisma segi-n = luas selimut + luas alas + luas atas


11/36

H GE

FD CA

B

4. Limas

T Jaring-jaring limas

T

D C

D C

A B T T

A B

T

Luas selimut = n . luas bidang segitiga n = jumlah segi bidang alasLuas permukaan = luas selimut + luas alas

5. Limas Terpancung

Jaring-jaring limas terpancung

Luas selimut = n . luas bidang trapesium n = jumlah segi bidang alasLuas permukaan = luas selimut + luas alas




12/36

6. Kerucut

T

Jaring-

jaring

T

A

t ss

A r B

r B

Luas selimut : Ls =

tegakbidanglingkaranluasxtegakbidanglingkarankel.

alaslingkarankel.

=

2sxs2

r2

= r sLuas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas

= r s + r2 = r (s + r)

7. Kerucut terpotong

T Jaring-jaring kerucut terpotong

Ts

1

s1

r r

s

R s

R

Luas selimut = (R + r) sLuas permukaan = luas selimut + luas alas + luas atas


13/36

8. Tabung

Jaring-jaring tabung

r

t

r 2 rt

Luas selimut : Ls = keliling lingkaran alas x tinggi tabung

= 2 . r . tLuas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas + luas atas.

9. Bola

Luas permukaan = 4 . r2Volume : V = 4/3 . . r3

r

Menerapkan konsep volum bangun ruang

1. Kubus

Volume kubus :

V = s . s . s

s = s3

2. Balok

Volume balok :

V = panjang x lebar x tinggi

t = p x l x t

lp




14/36

H GaEa F

tD CbA

b B

3. Prisma

Volume prisma :

V = luas alas x tinggi

4. Limas

T Volume limas :

V = 3

1

x luas alas x tinggi

D C

MA B

5. Limas Terpancung

Volume limas terpancung :

V = 3

1

. t . (b . b + b . a + a . a)

6. Kerucut

Volume kerucut

V = 3

1

x luas alas x tinggi

= 3

1

. . r2 . t

7. Kerucut terpotong


15/36

Volume kerucut terpotong :

r V = 3

1

. . t . (R2 + R . r + r2)

t

R

8. Tabung

Volume tabung :

V = luas alas x tinggi

V = . r2 . t

9. Bola

Volume bola :

V = 3

4

. r3 atau

V = 6

. d3

Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang

1. Jarak pada bangun ruang

a. Jarak titik ke titik

Jarak antara titik A ke titik B adalah penghubung terpendek antara A dan B, yaitu garis AB.

B

A

b. Jarak titik ke garis

Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan antara titik P ke

garis g.

P PP' adalah jarak antara titik P ke garis g

P' g




16/36

c. Jarak titik ke bidang

Jarak titik ke bidang adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P ke bidang.

P

P'

2. Sudut pada bangun ruang

a. Sudut dua garis bersilangan

sudut pada dasarnya terbentuk oleh dua garis yang saling berpotongan. Dengan demikian

sudut dua garis yang bersilangan sama artinya dengan membentuk sudut dua garis yang

berpotongan.

b. Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang terbentuk oleh perpotongan antara garis

dengan garis lain yang menempel pada bidang.

c. Sudut antara dua bidang

Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk dari perpotongan dua garis yang

terletak pada bidang.

KONSEP VEKTOR


17/36

00ff0000030004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f00400004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f00400000093010000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f112000000aa03000000000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f1120000

Menerapkan konsep vektor pada bidang datar

1. Pengertian dan Jenis-Jenis Vektor

a. Pengertian dan notasi vektor

y

P

j a

O i x

Perhatikan gambar, sebuah vektor disajikan dalam bentuk garis lurus OP atau bisa juga

dinyatakan dengan vektor tunggal a . Titik O disebut titik pangkal vektor, titik P disebut

titik ujung vekor, OP disebut vektor OP aau vektor a , dan besarnya vektor atau panjang

dari garis vektor dinyatakan denganOP

ataua

.

b. Penyajian vektor

Vektor a dapat disajikan dalam bentuk matriks kolom a =

2

1

a

a

, atau dalam bentuk

matriks baris a = (a1, a

2), atau dinyatakan dalam bentuk matriks satuan a = a

1i + a

2

j ,

dengan a1

komponen vektor horizontal (sumbu x), dan a2

komponen vektor verikal (sumbu

y). i vektor satuan untuk sumbu x dan j vektor satuan untuk sumbu y.

c. Besar vektor

Misalkan vektor a =

2

1

a

a

= a1i + a

2

j , besarnya vektor atau panjang vektor a

dinotasikan dengana

, yang besarnya adalah :a

=2

2

2

1 aa +

2. Operasi Vektor

a. Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara segitiga dan cara jajaran

genjang.

1. Cara segitiga

Vektor c = a + b adalah :

a

b




18/36

000000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f11200000

000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f112000000aa0300b2f

00000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f112000000

0004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f004000000930100f0000030004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f004000000

2. Cara jajaran genjang

a b

b. Pengurangan vektorPengurangan vektor merupakan penjumlahan dengan vektor inversnya (vektor negatif).

a b = a + (b )

b

a

b

a b

c. Perkalian skalar dengan vektor

Misalkan skalar m dikalikan dengan vektor a , maka hasilnya adalah suatu vektor yang

panjangnya merupakan k kali vektor a dan arahnya sama dengan arah vektor a .

a 2a 3a

Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar :

1. m . a = a . m

2. m . ( a ) = m . a

3.a.m

=a.m

4. m . (a + b ) = ma + mb

5. (m + n) . a = ma + na

d. Resultan dua vektor

P1 R

P2

Jika P1

adalah panjang vektor 1p , P2

adalah panjang vektor 2p dan sudut yang

dibentuk oleh kedua vektor 1p dan 2p maka resultan kedua vektor tersebut adalah :

R =cos).)((2)()(

21

2

2

2

1

PPPP ++


19/36

e. Perkalian skalar dua vektor

Perkalian skalar dua vektor adalah perkalian dua vektor dengan bentuk perkalian titik (dot

product) dan hasilnya skalar.

Hasil kali vektor a dengan vektorb ditulis a . b (dibaca a dot b) adalah :

a . b =

a

.

b

. cos 0o 180oa

= besar (panjang) vektor a a

=2

2

2

1 )()( aa +

b= besar (panjang) vektorb

b=

2

2

2

1 )()( bb +

= sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b

Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

1. Panjang vektor

Jika a = a1i + a

2

j + a3k maka panjang vektora adalah :

a=

2

3

2

2

2

1 )()()( aaa ++

2. Operasi vektor

Operasi vektor dalam ruang sama seperti operasi vektor pada bidang, yaitu penjumlahan,pengurangan dan perkalian vektor dangan skalar.

3. Perbandingan vektor

Misalkan titik P membagi garis Ab dengan perbandingan AP : PB = m : n dengan a dan b

vektor posisi titik A dan B. Vektor posisi titik P adalah :

A

m

p

=

+ nm1

. (na

+ mb

) a P

p n

O b B

Koordinat titik P adalah :

xp

= nm

mxnx

++ 21

; yp

= nm

myny

++ 21

; zp

= nm

mznz

++ 21




20/36


21/36

ffffffffffffffffff000003000400ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

08a0100000000ffffffff5cf31200040000000300040004000000f0010300030000000000000000000000000000000000000

00f439b271000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000300040

c = b

b.a

b. Proyeksi vektor ortogonal

Pada gambar di samping, proyeksi vektor a pada b

adalah c .

c =

b.b

b.a2

6. Perkalian vektor dua vektor

Perkalian vektor dua vektor a dan b ditulis a x b (dibaca a cross b) atau disebut jugadengan perkalian silang (cross product). Hasil kalinya adalah :

a x b =a

.b

. sin

a x b =321

321

bbb

aaa

kji




22/36


23/36

Rumus Kombinasi :

nCr =!r)-(n.r!

!n

Menghitung peluang suatu kejadian

a. Peluang dari suatu kejadian

Peluang dari suatu kejadian adalah perbandingan antara banyaknya titik sampel dan ruang

sampel dari suatu kejadian dan dirumuskan dengan :

P = s

n

n = titik sampel dan s = ruang sampel

misal : uang logam memiliki s = 2 ; dadu memiliki s = 6 ; kartu bridge s = 52

2 uang logam s = 22 = 4 ; 2 dadu memiliki s = 62 = 36

b. Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan adalah harapan munculnya kemungkinan dari suatu kejadian dan dirumuskan

dengan :

Frekuensi Harapan = peluang kejadian x banyaknya percobaan :

FH = P (A) . N

c. Kejadian saling lepas ( kata penghubung "atau")

Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling bebasantara A dan B adalah :

P ( A U B ) = P (A) + P (B)

d. Kejadian tidak saling lepas

Jika A adalah munculnya kejadian A dan B adalah munculnya kejadian B dimana A dan B tidak

saling lepas karena ada anggota A yang juga anggota B, maka peluang A atau peluang B adalah :

P ( A U B ) = P (A) + P (B) P ( A B )

e. Kejadian saling bebas (kata penghubung "dan")

Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling lepas

antara A dan B adalah :

P ( A B ) = P (A) x P (B)

e. Kejadian tidak saling bebas (kata penghubung "dan")

Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, dengan kejadian B sangat




24/36


25/36

STATISTIK

Pengertian statistik, statistika, populasi dan sampel

Statistik : adalah kumpulan data yang berbentuk angka-angka atau keterangan-keterangan

yang disusun dan disajikan dalam bentuk tabel atau diagram.

Statistika : adalah suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan metode ilmiah untuk

mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, berdasarkan methode

analisis, sehingga dapat mengambil kesimpulan yang teliti serta keputusan yang

rasional dan logis.Data : adalah keterangan tentang sesuatu hal dari hasil pengamatan atau penelitian baik

yang berbentuk katagori maupun yang berbentuk bilangan.

Menurut jenisnya data dibedakan menjadi ;

a. Data Kuantitatif, yaitu data yang berbentuk bilangan.

Berdasarkan nilainya, data kuantitatif ada dua macam yaitu

1. Data variabel diskrit (hasil menghitung/membilang)

Contoh : Keluarga B sudah punya anak 2 laki-laki dan 3 perempuan

2. Data kontinu (hasil pengukuran)

Contoh : Tinggi badan Budi 167 cm

b. Data kualitatif, yaitu data yang berbentuk katagori (sifat)

Contoh : sembuh, sehat, sukses, dan sebagainya

Populasi : adalah seluruh data dari hasil perhitungan maupun pengukuran yang berbentuk data

kuantitatif maupun kualitatif dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas

yang ingin dipelajari sifat-sifatnya.

Sampel : adalah sebagian data yang diambil secara random/acak dari populasi.

Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram

1. Pengumpulan Data

Ada beberapa cara pengumpulan data, antara lain :1. Penelitian lapangan (penelitian langsung) atau observasi

Pengumpulan data dapat dilakukan dengan mengadakan penelitian langsung ke lapangan

atau di laboratorium terhadap objek penelitian. Hasilnya dicatat, kemudian dianalisa.

2. Wawancara (interview)

Data dikumpulkan dengan melakukan wawancara langsung kepada objek atau kepada

orang yang mengetahui persoalan objek.

3. Angket (kuesioner)

Pengumpulan data dengan menggunakan daftar atau isian atau pertanyaan yang telah

disiapkan dan disusun sedemikian rupa sehingga objek tinggal mengisi atau menandai

jawaban dari pertanyaan yang diberikan.

4. Dengan mengambil atau menggunakan sebagian atau seluruh data yang telah dicatat ataulaporan dari penelitian sebelumnya.




26/36


27/36

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median, fMe = frekuensi kelas median

b. Modus

Modus adalah data yang frekuensinya terbanyak atau data sering muncul.

Data tunggal : lihat data yang paling sering muncul

Data kelompok :

Mo =

)bb

b(pTb

21

1

++

Tb = tepi bawah kelas modus, p = interval kelas

b1

= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelum kelas modus

b2

= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas setelah kelas modus

Menentukan ukuran penyebaran data

1. Daerah Jangkauan (range)

Jangkauan data adalah selisih antara data tertinggi dengan data terendah.

Jangkauan data biasa juga disebut dengan range, dengan rumus :

R = Xmaks Xmin

2. Rata-rata simpangan

Rata-rata simpangan atau deviasi rata-rata adalah ukuran seberapa jauh penyebaran nilai-nilai

terhadap nilai rata-rata hiung (mean)

Rata-rata simpangan dirumuskan :

Rs = n

X-xn

1i

i=

(data tunggal) ; Rs = n

X-x.fn

1i

i1=

(data kelompok)

xi

= data ke i

X = rata-rata hitung (mean)

fi

= frekuensi data ke i

n = banyaknya data

3. Simpangan Baku dan Varians

a. Simpangan Baku (Deviasi Standar)

Ds = n

)X(xn

1i

2

i=

( data tunggal) ; Ds = n

)X(x.fn

1i

2

ii=

(data kelompok)

b. Varians sama dengan simpangan baku dipangkatkan dua (Ds2)




28/36

4. Kuartil dan Jangkauan Semi Inter Kuartil

a. Kuartil

Kuatil adalah kelompok data dibagi menjadi empat bagian yang sama

Syarat kuartil data harus diurut dari yang kecil ke besar

Data tunggal :

Letak kuartil bawah : Q1

= 4

1n +

Letak kuartil tengah : Q2

= 4

1)(n2 +

Letak kuartil atas : Q3

= 4

1)(n3 +

Data kelompok :

Nilai kuartil : Qi =

+fQi

Fi-4

n.i

.pTbi

Qi = nilai kuartil ke i, i = 1, 2, 3 ; Tbi = tepi bawah kelas kuartil ke I

p = interval kelas

n = banyaknya data

Fi = frekuensi komulatif sebelum kelas kuartil ke I

FQi = frekuensi kelas kuartil ke i

b. Jangkauan semi inter kuartil

Qd = 2

1

( Q3

Q1

)


29/36

IRISAN KERUCUT

Irisan kerucut adalah irisan antara bidang datar dengan kerucut tegak. Irisan tersebut berupa

lingkaran, parabola, ellips, dan hiperbola tergantung posisi perpotongan antara bidang datar

dengan kerucut tegaknya, seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

Lingkaran Parabola Ellips Hiperbola

Rumus dasar untuk menentukan rumus persamaan lingaran, parabola, ellips, dan hiperbola

adalah :

1. Rumus jarak titik A (x1, y

1) dan titik B (x

2, y

2) :

2

12

2

12 )()( yyxxAB +=

2. Rumus jarak titik A (x1, y

1) ke garis Ax + By + C = 0 :

22

11

BA

CByAxR

+

++=




30/36


31/36

sudut pusat = n

o360

, sudut segi =)2.(

180n

n

o

Jumlah sudut segi tiga = 180o dan segi empat = 360o

B. Garis Singgung

Suatu garis dikatakan menyinggung lingkaran dan disebut dengan garis singgung adalah jikamempunyai satu titik persekutuan.

Sifat-sifat garis singgung

a. hanya mempunyai satu titik persekutuan

b. tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgung.

P

O R

QOP = OQ = r

OPR = OQROR merupakan sumbu simetri dan PR = QR

Garis singgung persekutuan dalam dan luar

P

P Q

R R

r r

M N M N

Q

garis singgung persekutuan dalam garis singgung persekutuan luar

MN2 = PQ2 + (R + r)2 MN2 = PQ2 + (R r)2

C. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

C D

C E

O

A B

D A B

AOD = 2 ACD , AOB = 2 ACB ACB = ADB = AEB

A

DC

C O D




32/36

A B

B

A + C = 180O , garis yang menyinggung lingkaran akan tegak lurus B + D = 180O jika dari titik singgungnya ditarik ke titik pusat.

AOB = 180O - ACB , AOB = 2 ADB

D. Persamaan Lingkaran

a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R

x2 + y2 = R2 atau22 yxR +=

b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R

A (x, y) PA = R

R Rbyax =+22

)()( atau :

P (a, b) (x a)2 + (y b)2 = R2

c. Persamaan Umum Lingkaran

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Dengan pusat lingkaran P { 2

1

A , 2

1

B} dan jari-jari R =CBA + 22

4

1

4

1

E. Persamaan Garis Singgung

a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = R2 di titik (x1, y

1) adalah :

x1

x + y1

y = r2

b. Persamaan garis singgung lingkaran (x a)2 + (y b)2 = R2 dan melalui titik (x1, y

1)

adalah :

(x1

a) (x a) + (y1

b ) (y b) = R2

c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y

1) adalah :

x1x +y

1y + 2

1

Ax1

+ 2

1

Ax + 2

1

By1

+ 2

1

By + C = 0

Menerapkan Konsep Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan dari titik-titik yang jaraknya dari titik tertentu dan garis

terentu sama. Titik tertentu iu disebut dengan fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.

Garis yang membagi dua bagian yang sama disebut sumbu simetri, dan perpotongan antara

sumbu simetri dengan kurva disebut puncak parabola.


33/36

A. Persamaan parabola

1. Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0)

a. Persamaan parabola dengan sumbu simetri sumbu x

Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0) dengan sumbu simetri sumbu x dan parameter

p adalah :

y2 = 4px

Dengan fokus F (p, 0) dan direktriks x = p

2. Persamaan parabola dengan puncak P (a, b)

Jika puncak parabola P (a, b), maka rumus-rumusnya adalah :

a. Sumbu simetrinya sumbu x :

Persaman parabola : (y b)2 = 4p(x a)

Koordinat fokus : F {(p + a), b}

Direktriks : x = a p

b. Sumbu simetrinya sumbu y :

Persamaan parabola : (x a)2 = 4p(y b)

Koordinat fokus : F {a, (p + b)}

Direktriks : y = b p

3. Bentuk Umum Persamaan ParabolaSumbu simetris di sumbu x

(y b)2 = 4p (x a)

y2 2by + b2 = 4px 4pa

y2 2by 4px + b2 + 4pa

y2 + Ay + Bx + C = 0 A = 2b ; B = 4p ; C = b2 + 4pa

Sumbu simetris di sumbu y

(x a)2 = 4p (y b)

x2 2ax + a2 = 4py 4pb

x2 2ax 4py + a2 + 4pb = 0

x2 + Ax + By + C = 0 A = 2a ; B = 4p ; C = a2 + 4pb

B. Garis Singgung Parabola

Persamaan parabola Garis singgung

y2 = 4px

x2 = 4py

y1y = 2px

1+ 2px

x1x = 2py

1+ 2py




34/36

(y b)2 = 4p (x a)

(x a)2 = 4p (y b)

(y1

b) (y b) = 2p (x1

a) + 2p (x a)

(x1

a) (x a) = 2p (y1

b) + 2p (y b)

y2 + Ay + Bx + C = 0

x2 + Ax + By + C = 0

y1y + Ay

1+ Ay + Bx

1+ Bx + C = 0

x1x + Ax

1+ Ax + By

1+ By + C = 0

Menerapkan Konsep Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak dari dua titik tertentu tetap.

Kedua titik tertentu tersebut dinamakan fokus (F1

dan F2). Garis yang

melalui kedua fokus disebut sumbu panjang atau sumbu mayor,

sedangkan garis yang melalui tengah-tengah fokus disebut sumbu pendek

atau sumbu minor.

A. Persamaan Ellips

1. Ellips dengan pusat (0, 0)

Jika titik fokus F1

(c, 0) dan F2

(-c, 0) serta panjang sumbu panjang 2a dan panjang sumbu

pendek 2b maka persamaan ellips dengan pusat (0, 0) adalah :

2

2

a

x

+2

2

b

y

= 1 ellips horizontal

2

2

b

x

+2

2

a

y

= 1 ellips vertikal

a = jari-jari sumbu panjang

b = jari-jari sumbu pendek

Fokus = c2 = a2 b2

2. Ellips dengan pusat di titik (h, k)

Persamaan Puncak Fokus

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

ky

a

hx (h a, k)

(h, k b)

(h c, k)

1)()(

2

2

2

2

=+a

ky

b

hx (h, k a)(h b, k)

(h, k c)

3. Bentuk umum persamaan ellips.

Ellips horizontal :

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

ky

a

hx

b2 (x h)2 + a2 (y k)2 = a2.b2

b2 (x2 2hx + h2) + a2 (y2 2ky + k2) a2.b2 = 0

b2x2 2b2hx + b2.h2 + a2y2 2a2ky + a2.k2 a2.b2 = 0

b2x2 + a2y2 2b2hx 2a2ky + b2.h2 + a2.k2 a2.b2 = 0

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

A = b2 ; B = a2 ; C = 2b2h ; D = 2a2k ; E = b2.h2 + a2.k2 a2.b2


35/36

Ellips vertikal :

1)()(

2

2

2

2

=

+

a

ky

b

hx

a2 (x h)2 + b2 (y k)2 = a2.b2

a2 (x2 2hx + h2) + b2 (y2 2ky + k2) a2.b2 = 0

a2

x2

2a2

hx + a2

.h2

+ b2

y2

2b2

ky + b2

.k2

a2

.b2

= 0a2x2 + b2y2 2a2hx 2b2ky + a2.h2 + b2.k2 a2.b2 = 0

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

A = a2 ; B = b2 ; C = 2a2h ; D = 2b2k ; E = a2.h2 + b2.k2 a2.b2

B. Garis Singgung Ellips.

Persamaan Garis Singgung

2

2

ax

+2

2

by

= 1

2

2

b

x

+2

2

a

y

= 1

12

12

1 =+byy

axx

12

1

2

1=+

a

yy

b

xx

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

ky

a

hx

1)()(

2

2

2

2

=

+

a

ky

b

hx

2

1

2

1 )).(()).((

b

kyky

a

hxhx +

= 1

2

1

2

1 )).(()).((

a

kyky

b

hxhx +

= 1

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A(x1 + x) + B(y1 + y) + C(x1 + x) + D(y1 + y) + E = 0

Menerapkan Konsep Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya dari dua titik

tertentu tetap sebesar 2a. Kedua titik tertentu tesebut

adalah F1

dan F2

dan disebut fokus.

Garis yang membagi kurva menjadi dua bagian yang

sama disebut sumbu. Sumbu yang melalui fokus

disebut sumbu mayor (real) dan sumbu lainnya disebut

sumbu minor (khayal).

A. Persamaan Hiperbola

1. Persamaan Hiperbola dengan pusat (0, 0)

12

2

2

2

=b

y

a

x

Hiperbola horizontal

Puncak : (a, 0)Fokus : c2 = a2 + b2

2a = panjang sumbu real dan 2b = panjang sumbu khayal




36/36

Asimtot : y = a

b

x

12

2

2

2

=b

x

a

y

Hiperbola vertikal

Puncak : (a, 0)

Fokus : c2 = a2 + b2

2a = panjang sumbu real dan 2b = panjang sumbu khayal

Asimtot : y = b

a

x

2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat (h, k)

Persamaan Puncak Fokus Asimtot

1)()(

2

2

2

2

=

b

ky

a

hx (h a, k) (h c, k)

y k = a

b

(x h)

1)()(

2

2

2

2

=

b

hx

a

ky (h, k a) (h, k c)

y k = b

a

(x h)

B. Garis Singgung hiperbola

Persamaan Garis Singgung

2

2

a

x

2

2

b

y

= 1

2

2

a

y

2

2

b

x

= 1

121

2

1

= b

yy

a

xx

12

1

2

1 =b

xx

a

yy

1)()(

2

2

2

2

=

b

ky

a

hx

1)()(

2

2

2

2

=

b

hx

a

ky

2

1

2

1 )).(()).((

b

kyky

a

hxhx

= 1

2

1

2

1 )).(()).((

b

hxhx

a

kyky

= 1

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A(x1

+ x) + B(y1

+ y) + C(x1

+ x) + D(y1

+ y) + E = 0

Documents

Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc