Résolution de problèmes Pistes pour le cycle 2

Bruno Canivenc, ESPE Université d’Aix-Marseille

Des pistes générales à l’école

- pratique régulière du calcul mental - petits problèmes en calcul mental - amener l ’élève à résoudre un problème, même avec des procédures non expertes - construire des situations de référence - distinguer « chercher dans sa tête » et « chercher avec sa tête » - prendre le temps de l ’exploration dans des situations où les élèves peuvent construire

Traduction de ces pistes au cycle 2 1) Des acquis de la maternelle à consolider et sur lesquels s’appuyer

2) Différents types de problèmes : de quoi parle-t-on?

3) De la manipulation vers l ’abstraction en passant par des langages: utiliser des représentations et verbaliser

4) Typologie des problèmes additifs et soustractifs : construire du sens à partir de situations de référence

5) Typologie du champ multiplicatif

6) Une place pour les problèmes de recherche

7) Construire des compétences sur le nombre et le calcul

8) Des difficultés de lecture?

9) Des pistes prioritaires en guise de conclusion

1) Des acquis de l’école maternelle à consolider et sur lesquels s’appuyer

Des acquis de la maternelle •  Des compétences sur le nombre : récitation de la suite

numérique, plusieurs procédures de détermination du cardinal d’une collection, reconnaissance d ’écritures chiffrées, le nombre comme mémoire d’une quantité ou d’une position, le nombre pour comparer…

•  Des compétences en ca lcu l : p remiè res décompositions additives, premiers doubles…

•  Une première pratique de résolution de problème avec des procédures non expertes : le nombre pour anticiper…

2) Différents types de problèmes

Différents types de problèmes Un problème peut être défini comme étant la donnée

- d'une situation initiale (ensemble d'informations) - et d'un but à atteindre (question ou consigne).

Pour atteindre ce but, l'élève doit élaborer une suite d'actions ou d'opérations ; traitement nécessitant l'utilisation de notions ou d'outils mathématiques. Pour qu'il y ait problème, la réponse ne doit pas être disponible directement dans les informations données, mais doit être possible à construire par l'élève.

Différents types de problèmes

- Résoudre un problème, c’est répondre à des questions sur des objets en l’absence de ces objets, c’est être capable d’anticiper un phénomène. - C’est pour ce besoin-là que, dans les différentes cultures, les êtres humains ont inventé les nombres, d’abord avec des représentations analogiques, puis avec des chiffres - Ne jamais oublier que c’est quand même fort de pouvoir dire combien de personnes resteront dans un bus de 35 passagers quand 12 seront descendus, alors qu’il n’y a pas de bus en vue !

Différents types de problèmes Il est d ’usage de distinguer plusieurs types de problèmes :

- problèmes dont la résolution vise la construction d ’une nouvelle connaissance (activité introductrice);

- problèmes destinés à permettre l’entraînement de connaissances déjà travaillées, à les exercer; problèmes de réinvestissement plus complexes dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances;

- problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher : en général, pour résoudre ces problèmes, les élèves ne connaissent pas encore de solution experte (problèmes de recherche).

3) De la manipulation vers l’abstraction,

en passant par des langages :

utiliser des représentations et verbaliser

De la manipulation vers l’abstraction en passant par des langages

Exemple de la situation Garage en GS

-  l’enseignant place 3 à 5 voitures dans un garage opaque, puis fait entrer, en une fois, 1 à 3 voitures. -  il demande alors : « combien y a-t-il de voitures dans le garage maintenant? » -  techniques disponibles : mime avec d’autres voitures, utilisation des doigts, dessin, utilisation de résultats mémorisés -  mêmes questions en faisant sortir des voitures

De la manipulation vers l’abstraction en passant par des langages

•  Ce n’est pas la répétition de la manipulation qui fait passer à l’abstraction : ce sont les langages qui permettent ce passage.

•  Nécessité de penser l’accompagnement langagier dès la manipulation : « ces voitures jaunes, c’est comme les voitures rouges », « c’est pareil que les voitures rouges », « c’est à la place des voitures rouges », « elles remplacent les voitures rouges», « elles représentent les voitures rouges ».

•  Le langage descriptif deviendra le langage d’évocation qui permettra l’abstraction.

4) Typologie des problèmes additifs et soustractifs : construire du sens à

partir de situations de référence

Typologie des problèmes additifs et soustractifs : construire du sens à partir de situations de référence

Les 4 grands types de problèmes du champ additif étudiés au cycle 2 (typologie de Vergnaud) : - transformation de collection ( j ’ai 8 billes, j ’en perds 2, combien en ai-je maintenant?) - transformation de position ( je suis sur la case 8, je recule de 2, sur quelle case?) - réunion de parties (j ’ai 2 billes dans une main, 6 dans l ’autre, combien en

tout?) - comparaison d ’états (tu as 8 ans, j’ai 2 ans de moins que toi, quel est mon âge ?)

Des situations de référence dans le champ additif (1)

Transformation d ’une collection

Situation : une boîte fermée avec une fente contient une

collection initiale de jetons : on en met dedans ou on en sort.

On cherche l ’état final ou la transformation ou l ’état initial.

La situation de la boîte est introduite dès la fin de la MS, les

procédures évoluent progressivement vers l ’addition et la

soustraction à partir du CP.

Des situations de référence dans le champ additif (2)

Transformation d’une collection

Repères pour une progression - Recherche de l’état final : expert fin CP - Recherche de la transformation : expert fin CE1 - Recherche de l’état initial : non expert fin CE1

Des situations de référence dans le champ additif (3)

Transformation d ’une position

Situation : déplacement d ’un pion sur une piste graduée

(type jeu de l ’oie)

On cherche la position finale, le déplacement, la position initiale.

La situation est abordée dès la MS/GS, d ’abord en avançant, puis

avec un dé « avance/recule » et un dé indiquant la valeur du

déplacement. Les procédures évoluent progressivement vers

l’addition et la soustraction à partir du CP.

Des situations de référence dans le champ additif (4)

Transformation d’une position

Repères pour une progression

- Recherche de l’état final : expert fin CP - Recherche de la transformation : expert fin CE1 - Recherche de l’état initial : non expert fin CE1

Des situations de référence dans le champ additif (5)

Réunion de parties

Situation : des billes dans la main gauche, des billes dans

la main droite, on réunit ou on sépare les deux collections

Situation introduite dès la fin de la MS et la GS : jeu de

greli-grelo

On calcule la valeur de la réunion ou de celle d ’une main.

Les procédures évoluent progressivement vers l ’opération

experte au CP et trois collections au CE1.

Des situations de référence dans le champ additif (6)

Réunion de parties

Repères pour une progression

Calcul du tout : expert fin CP Calcul d’une partie : expert CE1 Calcul du tout (3 parties ou plus) : expert fin CE1 Calcul d’une partie (de 3 ou plus) : expert CE2

Des situations de référence dans le champ additif (4)

Comparaison d ’états

Situation : comparer deux collections (cardinal, sommes

d ’argent) ou positions ou mesures

Première rencontre avec ce type de problème au cycle 2 en vue

de le résoudre de manière experte au cycle 3. Familiarisation

avec la situation et avec les expressions « de plus que » et « de

moins que ».

5) Typologie du champ multiplicatif

Typologie du champ multiplicatif

Au cycle 2, les catégories rencontrées relèvent : a) de la proportionnalité simple avec présence de l ’unité:

problèmes de multiplication, de partage (recherche de la valeur d ’une part), de groupement (recherche du nombre de parts)

1kg coûte 3€, combien coûtent 5kg? : calcul du prix total et dans certains cas, du prix à l ’unité ou du nombre de kg;

b) de la comparaison multiplicative : tu as 3 billes, j ’en ai 5 fois plus; combien ai-je de billes ?

c) d ’un produit de mesures : problèmes schématisables par un tableau à double entrée ou l’aire d ’un rectangle - j ’ai 3 pantalons et 4 chemises. Combien ai-je de tenues différentes? - nombre de carreaux sur une page quadrillée de 25 sur 60?

Typologie du champ multiplicatif Introduction de la division

•  Ce sont les situations de division qui doivent être introduites au cycle 2 et pas forcément l’opération

•  Ce sont donc d’abord des situations de manipulation puis de représentation avant de solliciter les compétences en numération et en calcul ( addition, soustraction, multiplication)

•  Situation de partage : répartir équitablement 12 étiquettes dans 4 enveloppes (vers 36 dans 3)

•  Situation de groupement : construire des bracelets de 5 perles avec 30 perles

6) Une place pour les problèmes de recherche

Une place pour les problèmes de recherche (1)

•  Apport précieux pour casser une représentation de l ’activité mathématique vue comme reconnaissance et appl icat ion systémat ique de connaissances , représentation qui est un obstacle majeur dès le cycle 2 (chercher « avec » sa tête)

•  Ils ne sont ni recommandés ni interdits dans les programmes 2008 et ils sont fortement recommandés par les travaux de didactique des mathématiques : exercer sa liberté pédagogique (1 à 2 par période ?)

Une place pour les problèmes de recherche (2) Exemples d ’énoncés

•  « Trouver un maximum de tours différentes de quatre cubes de quatre couleurs différentes. » (Ermel CP)

•  « Dans un magasin, on peut acheter des œufs par boîtes de 6 œufs ou de 10 œufs. Marion veut acheter 66 œufs. Combien de boîtes doit-elle prendre? Il y a plusieurs solutions, cherche-les. Même question possible avec 74 ou 88.» (Ermel CE1)

•  « Dans ce bar, on peut prendre des repas à 8€ ou à 12€. Mardi, après le départ des clients, le patron a 104€ dans sa caisse. Cherche combien de repas ont été servis. » (d ’après Ermel CE1)

•  « Au pays des Cinq-Trois, il n’y a que des pièces de 3 et 5 sous. Peut-on tout acheter sans rendre la monnaie? Et en la rendant?

Une place pour les problèmes de recherche (3) Les compétences travaillées

•  mettre en œuvre un raisonnement, articuler les différentes étapes d ’une solution

•  formuler et communiquer sa démarche et ses résultats (par écrit et) les exposer oralement

•  contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution

•  identifier les erreurs dans une solution en distinguant celles qui sont relatives au choix d ’une procédure de celles qui interviennent dans sa mise en œuvre

•  argumenter à propos de la validité d ’une solution

7) Construire des compétences sur les nombres et le calcul

C’était l’an dernier !

8) Des difficultés de lecture?

Des difficultés en lecture … ou en maths ?

•  Grande place laissée à l’oral pour les élèves qui ont des difficultés en lecture

•  Apprendre à lire des énoncés : une piste datée historiquement et qui n ’a pas fait ses preuves

•  Un travail « méthodologique » n’a de sens qu’en lien avec une résolution effective d ’exercices

Des difficultés en lecture ... ou en maths ? •  Grande place laissée à l’oral pour les élèves qui ont des

difficultés en lecture •  Apprendre à lire des énoncés : une piste datée

historiquement et qui n’a pas fait ses preuves •  Un travail « méthodologique » n’a de sens qu ’en lien

avec une résolution effective d ’exercices •  Faciliter la construction de représentations mentales et le

lien avec des situations de référence •  Susciter l ’organisation et la structuration des données

en vue de leur opérationnalisation

Des difficultés en lecture … ou en maths ?

•  Grande place laissée à l’oral pour les élèves qui ont des difficultés en lecture

•  Apprendre à lire des énoncés : une piste datée historiquement et qui n’a pas fait ses preuves

•  Un travail « méthodologique » n’a de sens qu’en lien avec une résolution effective d ’exercices

•  Faciliter la construction de représentations mentales et le lien avec des situations de référence

•  Susciter l ’organisation et la structuration des données en vue de leur opérationnalisation

•  « Qu’est-ce que je sais? », « Qu’est-ce que je cherche? », « Qu’est-ce que j’imagine? », « Est-ce que ça me fait penser à un problème déjà rencontré? »

Et en guise de conclusion...

•  Intérêt pour l ’enseignant de la distinction entre problèmes introductifs, problèmes d ’entraînement, problèmes de recherche, tous nécessaires, mais avec des contrats didactiques différents

•  Ne pas précipiter l’utilisation des opérations expertes

•  Avoir une activité mathématique, c’est à la fois COMPRENDRE et UTILISER DES AUTOMATISMES les deux se travaillent

•  Faire vivre le plaisir de chercher … et de trouver !

Eléments de bibliographie

•  Document ressource « Le nombre au cycle 2(3) », MEN

•  Problèmes additifs et soustractifs CP-CE1, Sceren Nord-Pas de Calais (2009), idem pour champ multiplicatif au cycle 3

•  Le calcul mental à l ’école élémentaire, Gamo et Djament, Hachette Éducation (2009)

•  Livres du maître des collections Cap Maths, Euromaths, Pour comprendre les maths, J ’apprends les maths...

•  Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1, 2 tomes, Berdonneau, Hachette Éducation (2007)

•  Apprentissages numériques au CP (CE1), Ermel, Hatier

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