RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Kelas Eksperimen)Sekolah : SMA BUPI Majalaya

Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Program : XI eksperimen /IPA 1 Semester : 1 (satu)

Tahun Pelajaran: 2010 - 2011 Alokasi Waktu : 18 jam pelajaran (6 x pertemuan/ 3 minggu efektif).

Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar Indikator : Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya :

1. Menggunakan aturan perkalian untuk menyelesaikan soal cerita. 2. Menerapkan permutasi pada pengerjaan soal-soal cerita. 3. Mengerjakan soal cerita dengan baik dan benar melalui aturan tempat, pada kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan Binom newton. 4. Menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal cerita. 5. Menentukan peluang suatu kejadian dari berbagai situasi dan penafsirannya. 6. Menggunakan frekuensi harapan atau frekuensi relatif dalam pemecahan soal dan penafsirannya. 7. Merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk dan penggunaanya. 8. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian dan penafsirannya. 9. Menentukan peluang dua kejadian yang saling lepas penafsirannya. 10. Menentukan peluang dua kejadian yang saling bebas dan penafsirannya. 11. Menentukan peluang kejadian bersyarat. 12. Mengerjakan soal dengan baik dan benar berkaitan dengan materi percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk. A. Tujuan Pembelajaran a. b. c. Peserta didik dapat menggunakan aturan perkalian untuk menyelesaikan soal cerita. Peserta didik dapat menerapkan permutasi pada pengerjaan soal-soal cerita. Peserta didik dapat mngerjakan soal cerita dengan baik dan benar melalui aturan tempat, pada kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan binom newton.

d. e. f. g. h. i. j. k. l.

Peserta didik dapat menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal cerita. Peserta didik menentukan peluang suatu kejadian dari berbagai situasi dan penafsirannya. Peserta didik dapat Menggunakan frekuensi harapan atau frekuensi relatif dalam pemecahan soal dan penafsirannya. Peserta didik dapat merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk dan penggunaanya. Peserta didik dapat Menentukan peluang komplemen suatu kejadian dan penafsirannya. Peserta didik dapat menentukan peluang dua kejadian yang saling lepas penafsirannya. Peserta didik dapat menentukan peluang dua kejadian yang saling bebas dan penafsirannya. Peserta didik dapat Menentukan peluang kejadian bersyarat. Peserta didik dapat Mengerjakan soal dengan baik dan benar berkaitan dengan materi percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk. Materi Ajar Peluang : Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi pada soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Menggunakan dan menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal soal cerita. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran yang terdapat dalam soal cerita.

B.

C.

Metode Pembelajaran Pendekatan : RME (Realistic Mathematic Education) Strategi : Kooperatif Tipe Jigsaw

D.

Langkah-langkah Kegiatan

Pertemuan Pertama dan Kedua Pendahuluan Fase Pengenalan: a. Apersepsi : Mengingatkan kembali mengenai aturan perkalian permutasi dan kombinasi. b. Motivasi : Memberikan stimulus terhadap siswa mengenai materi yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari yang akan diajarkan dengan tujuan proses pembelajaran lebih menarik untuk dipahami. Kegiatan Inti

Fase Eksplorasi a. Peneliti mengelompokan siswa menjadi kelompok- kelompok kecil dengan anggota 5 6 siswa secara heterogen yang bekerja saling ketergantungan positif dan bertanggungjawab secara mandiri. Peneliti membagikan materi ajar berbentuk LKS, dimana setiap anggota kelompok diberi materi yang berbeda. b. Peserta didik yang mempelajari materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk membahas konsep dalam LKS dan materi ajar mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya kemudian bertanggungjawab untuk menularkan pemahaman kepada anggota kelompok asalnya, sehingga kelompok tersebut memiliki pemahaman yang sama mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi yang digunakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan lingkungan sekitar. d. Kontribusi siswa serta interaktif dalam PBM mempermudah untuk memahami konsep aturan perkalian permutasi dan kombinasi yang diimplementasikan pada soal-soal cerita. e. Peneliti memberikan kuis/tes untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai konsep aturan perkalian permutasi dan kombinasi. Penutup Fase Ringkasan a. Peserta didik dan peneliti melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi, mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi yang digunakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kegiatan sehari-hari.

Pertemuan Ketiga dan keempat Pendahuluan Fase Pengenalan Apersepsi : Mengulang kembali materi yang telah diajarkan sebagai jembatan untuk menuju kemateri yang akan diajarkan mengenai menentukan ruang sampel suatu percobaan. : Memberikan stimulus terhadap siswa mengenai materi

Motivasi

yang akan diajarkan yang berhubungan erat dengan kehidupan sehari-hari dengan tujuan proses pembelajaran lebih menarik untuk dipahami. Kegiatan Inti Fase eksplorasi a. Peneliti mengelompokan siswa dalam kelompok yang sama seperti pertemuan sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar yang berbeda tentang menentukan ruang sampel suatu percobaan.

b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk mendapatkan pemecahan suatu masalah. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai materi menentukan ruang sampel dan percobaan yang dikerjakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari baik secara individu maupun berkelompok. d. Peneliti memberikan kuis/tes untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai ruang sampel dan percobaan. Setelah kuis selesai dikerjakan dilakukan penskoran baik individu atau kelompok untuk menentukan penghargaan. e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal soal pada LKS. Penutup Fase Ringkasan a. Peserta didik dan guru melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan ruang sampel suatu percobaan. Pertemuan kelima dan keenam Pendahuluan Fase Pengenalan Apersepsi : Mengulang kembali materi yang telah diajarkan sebagai jembatan untuk menuju kemateri yang akan diajarkan mengenai : menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. : Memberikan stimulus terhadap siswa mengenai materi

Motivasi

yang akan diajarkan yang berhubungan erat dengan kehidupan sehari-hari dengan tujuan proses pembelajaran lebih menarik untuk dipahami. Kegiatan Inti Fase eksplorasi a. Peneliti mengelompokan siswa dalam kelompok yang sama seperti pertemuan sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar tentang menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk membahas konsep dan contoh soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran yang dikerjakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari baik secara individu maupun berkelompok. e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal soal pada LKS. Penutup

Fase Ringkasan a. E. a. Peserta didik dan guru melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsira Alat dan Sumber Belajar Sumber : Buku paket, yaitu buku Matematika SMA dan MA karangan Nugroho Soedyarto dan Maryanto, hal. 57-86. Sumber referensi lain. Pengetahuan guru dan pengalaman siswa. Kelas XI program IPA,

b. Alat : Laptop LCD OHP F. Penilaian Teknik Bentuk Instrumen : : tugas individu, tugas kelompok. essay (uraian).

Catatan : LKS Terlampir RPP Terlampir Skenario pembelajaran terlampir Silabus terlampir Soal Uji dan kunci jawaban terlampir

Majalaya,

Mengetahui, Kepala Sekolah Peneliti

Enan Suryana, S.Pd NIP.

Tati NIP.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Kelas Kontrol)Sekolah : SMA BUPI Majalaya

Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Program : XI eksperimen /IPA 1 Semester : 1 (satu)

Tahun Pelajaran: 2010 - 2011 Alokasi Waktu : 18 jam pelajaran (6 x pertemuan/ 3 minggu efektif).

Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar Indikator : Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya :

1. Menggunakan aturan perkalian untuk menyelesaikan soal cerita. 2. Menerapkan permutasi pada pengerjaan soal-soal cerita. 3. Mengerjakan soal cerita dengan baik dan benar melalui aturan tempat, pada kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan Binom newton. 4. Menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal cerita. 5. Menentukan peluang suatu kejadian dari berbagai situasi dan penafsirannya. 6. Menggunakan frekuensi harapan atau frekuensi relatif dalam pemecahan soal dan penafsirannya. 7. Merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk dan penggunaanya. 8. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian dan penafsirannya. 9. Menentukan peluang dua kejadian yang saling lepas penafsirannya. 10. Menentukan peluang dua kejadian yang saling bebas dan penafsirannya. 11. Menentukan peluang kejadian bersyarat. 12. Mengerjakan soal dengan baik dan benar berkaitan dengan materi percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk. A. Tujuan Pembelajaran a. b. c. Peserta didik dapat menggunakan aturan perkalian untuk menyelesaikan soal cerita. Peserta didik dapat menerapkan permutasi pada pengerjaan soal-soal cerita. Peserta didik dapat mngerjakan soal cerita dengan baik dan benar melalui aturan tempat, pada kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan binom newton.

d. e. f. g. h. i. j. k. l.

Peserta didik dapat menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal cerita. Peserta didik menentukan peluang suatu kejadian dari berbagai situasi dan penafsirannya. Peserta didik dapat Menggunakan frekuensi harapan atau frekuensi relatif dalam pemecahan soal dan penafsirannya. Peserta didik dapat merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk dan penggunaanya. Peserta didik dapat Menentukan peluang komplemen suatu kejadian dan penafsirannya. Peserta didik dapat menentukan peluang dua kejadian yang saling lepas penafsirannya. Peserta didik dapat menentukan peluang dua kejadian yang saling bebas dan penafsirannya. Peserta didik dapat Menentukan peluang kejadian bersyarat. Peserta didik dapat Mengerjakan soal dengan baik dan benar berkaitan dengan materi percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk. Materi Ajar Peluang : Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi pada soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Menggunakan dan menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal soal cerita. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran yang terdapat dalam soal cerita.

B.

C.

Metode Pembelajaran Pendekatan : Konvensional (biasa) Strategi : Kooperatif Tipe Jigsaw

D.

Langkah-langkah Kegiatan

Pertemuan Pertama dan Kedua Pendahuluan Fase Pengenalan: a. Apersepsi : Peneliti mengkondisikan siswa untuk siap menerima mata pelajaran b. Motivasi : Peneliti memotivasi siswa mengenai materi yang akan diajarkan dengan tujuan siswa menyimak materi yang akan diajarkan. Kegiatan Inti Fase Eksplorasi

a. Peneliti mengelompokan siswa menjadi kelompok- kelompok kecil dengan anggota 5 6 siswa secara heterogen. Peneliti membagikan materi ajar berbentuk LKS, dimana setiap anggota kelompok diberi materi yang berbeda. b. Peserta didik yang mempelajari materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk membahas konsep dalam LKS dan materi ajar mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya kemudian bertanggungjawab untuk menularkan pemahaman kepada anggota kelompok asalnya, sehingga kelompok tersebut memiliki pemahaman yang sama mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi. d. Peneliti memberikan kuis/tes untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai konsep aturan perkalian permutasi dan kombinasi. Penutup Fase Ringkasan a. Peserta didik dan peneliti melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi, mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi. Pertemuan Ketiga dan keempat Pendahuluan Fase Pengenalan Apersepsi : Mengulang kembali materi yang telah diajarkan sebagai jembatan untuk menuju kemateri yang akan diajarkan mengenai menentukan ruang sampel suatu percobaan. : Peneliti memotivasi siswa, agar materi yang akan disampaikan dapat dipahami oleh siswa.

Motivasi

Kegiatan Inti Fase eksplorasi a. Peneliti mengelompokan siswa dalam kelompok yang sama seperti pertemuan sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar yang berbeda tentang menentukan ruang sampel suatu percobaan. b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk mendapatkan pemecahan suatu masalah. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai materi menentukan ruang sampel dan percobaan. d. Peneliti memberikan kuis/tes untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai ruang sampel dan percobaan. Setelah kuis selesai dikerjakan dilakukan penskoran baik individu atau kelompok untuk menentukan penghargaan. e. Peserta didik dan peneliti secara bersama-sama membahas jawaban soal soal pada LKS. Penutup Fase Ringkasan

a. Peserta didik dan peneliti melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan ruang sampel suatu percobaan. Pertemuan kelima dan keenam Pendahuluan Fase Pengenalan Apersepsi : Mengulang kembali materi yang telah diajarkan sebagai jembatan untuk menuju kemateri yang akan diajarkan mengenai : menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. : Peneliti memotivasi siswa agar materi yang akan disampaikan dapat

Motivasi dipahami. Kegiatan Inti

Fase eksplorasi a. Peneliti mengelompokan siswa dalam kelompok yang sama seperti pertemuan sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar tentang menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk membahas konsep dan contoh soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran yang dikerjakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari baik secara individu maupun berkelompok. e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal soal pada LKS. Penutup Fase Ringkasan a. E. a. Peserta didik dan guru melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsira Alat dan Sumber Belajar Kelas XI program IPA,

Sumber : Buku paket, yaitu buku Matematika SMA dan MA karangan Nugroho Soedyarto dan Maryanto, hal. 57-86. Sumber referensi lain. Pengetahuan guru dan pengalaman siswa. b. Alat : Papan tulis & Kapur tulis F. Penilaian Teknik Bentuk Instrumen : : tugas individu, tugas kelompok. essay (uraian).

Catatan : LKS Terlampir RPP Terlampir Skenario pembelajaran terlampir Silabus terlampir Soal Uji dan kunci jawaban terlampir Majalaya, Mengetahui, Kepala Sekolah Peneliti

Enan Suryana, S.Pd NIP.

Tati NIP.

Soal 1. 2. Diva mempunyai 6 kaos, 4 celana pendek dan 4 topi berlainan warna. Ada Seorang siswa disuruh menjawab 5 pertanyaan dari 8 pertanyaan dalam

beberapa pasangan baju, celana panjang, dan topi dapat dipakai ? suatu ujian. Berapa susunan yang mungkin dari pertanyaan-pertanyaan yang dipilih siswa tersebut ? 3. 4. 1 hijau ? 5. 6. 7. 8. 9. 10. Berapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf berikut Suatu pertemuan dihadiri 7 orang dengan posisi duduk mereka melingkar. Dengan angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 Dalam pelatihan tenis meja terdapat 8 pemain putri. Berapa pasangan Dalam satu set kartu bridge, berpakah peluang terambilnya kartu AS Dalam kantin sekolah terdapat 30 siswa, dimana 15 siswa sedang minum es MATEMATIKA ? Berapa banyak susunan posisi duduk yang mungkin ? angka yang berlainan, Berapa banyak bilangan genap berlainan yang dapat dibuat ? ganda yang dapat diperoleh ? berwarna hitam ? dan makan soto, 12 siswa sedang minum es dan makan bakso, sedangkan 3 siswa hanya duduk. Tentukanlah peluang yang minum es saja ? 11. 12. Pada pelemparan 2 buah dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu Peluang siswa lulus ujian adalah 3/4 . Jika di suatu sekolah terdapat 100 berjumlah 7 orang atau berjumlah 4 adalah siswa yang ikut ujian, berapa frekuensi harapan siswa-siswa di sekolah itu lulus ujian ? Kunci jawaban 1. 2. 6 x 4 x 4 = 96 pasangan8 5

Dalam suatu pertemuan ada 25 orang dan saling berjabat tangan. Banyak Sebuah kantong memuat 8 bola merah, 4 bola hijau, 3 bola diambil secara

jabat tangan yang terjadi ada berapa kali acak. Berapa banyak cara pengambilan bola jika bola yang terambil adalah 2 merah dan

P = 8! = 8.7.6.5.4.3! = 6720 pertanyaan yang dipilih siswa (8 5) 3!

3.

25

C2 = 25! = 25! ! ! ! ! (25-2) .2 23 .2

= 25.24.23! = 25.24 = 300 kali jabat tangan 23!.2! 2.1

4.

Diketahui : 8 bola merah dan 4 bola hijau, 3 bola diambil secara acak Ditanyakan : Berapa banyak cara pengambilan bola 2 merah dan 1 hijau 8C2 x 4C1 ? Jawab :8

C2 x 4C1 =

8! x 4! (8-2)!.2! (4-1)!.1! x 4.3! 3!.1!

= 8.7.6! 6!.2!

= 8.7 x 4 = 28 x 4 = 112 cara 2.1 1 5. Diketahui : Kata MATEMATIKA Ada 2 huruf M yang sama, maka p = 2 Ada 3 huruf A yang sama, maka q = 3 Ada 2 huruf T yang sama, maka r = 2 Ditanyakan : Susunan huruf yang sama p(n,p,q,r.....) = r! Jawab : p(10,2,3,2) = 10 ! 2!.3!.2! 6. Termasuk permutasi siklus : P (siklus) = (u-1) ! (7-1) ! = 6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara = 10.9.8.7.6.5.4.3! = 151.200 cara 2.1.3!.2.1 n! p!.q!.

7.

Tiga angka berarti dibuat terlebih dahulu tiga kotak, yaitu : ratusan, puluhan dan satuan. Ratusan Puluhan Satuan 2 4 angka 5 angka 4 3 angka genap 6 Jadi, banyaknya bilangan genap yang terdiri atas 3 angka adalah (4 x 5 x 3) = 60 bilangan.

8.

8

C2 = 8! (8-2) !.2 !

= 8.7.6! = 8.7 = 28 pasang 6!.2! 2

9.

As merah ada 2 Banyak kartu 52 P(As Hitam) = =

M(As hitam) = 2 (Kartu) =5 M

10. m (A B) = 30-3 = 27 m (A^B) = m (A) + m(B) m(A B) = 12 + 18 27 (M^B) = 30 27 = 3 Peluang minum es saja 3 orang 11. M(S) = 36 m(7) = 6 P ( A atau B) = m(4) = 3 P (7 atau 4) = 6 + 3 = 9 = 1 3612.

Jumlah 7 = (1,6),(6,1),(5,2),(2,5),(3,4),(4,3) Jumlah 4 = (1,3),(3,1),(2,2)

36

4 Fhar(lulus ujian) = 100 x 3/4 =75

P(lulus ujian) = 3/4

Jadi, dari 100 orang siswa yang ikut ujian diperkirakan lulus 75 orang.

Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Materi Pokok Kelas/Semester

: SMA : Matematika : Peluang : XI/ganjil

Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

BAHAN AJAR 1 (Kelas Eksperimen) Pertemuan 1A. Aturan Perkalian Permutasi dan Kombinasi1. Aturan Perkalian

Misalkan kota A dan B dihubungkan dengan 3 jalan, sedangkan antara kota B dan C dihubungkan dengan 2 jalan. Maka banyak rute perjalanan dari kota A ke kota B dan dilanjutkan perjalanan B ke C adalah 3 x 2 = 6 rute. Prinsip inilah yang disebut prinsip perkalian. Prinsip dasar dalam aturan pengisian tempat Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian kedua dapat terjadi dengan n2 cara, kejadian ketiga dapat terjadi dengan n3 cara, dan seterusnya maka kejadian kejadian dengan urutan yang demikian dapat terjadi dengan (n1 x n2 x n3 x .........) cara. Catatan : Aturan Perkalian ditandai dengan kata dan

Contoh : 1. Sebuah dadu bermata enam dan uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa banyak hasil yang mungkin terjadi ? Penyelesaian : Dadu dapat terjadi dengan 6 cara, yaitu dapat muncul angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Sedangkan uang logam dapat terjadi dengan 2 cara, yaitu dapat muncul angka (A) dan gambar (G). Berdasarkan prinsip di atas, banyaknya cara hasil yang mungkin adalah (6x2) = 12 cara yang berlainan yaitu : {1G, 1A, 2G, 2A, 3G, 3A, 4G, 4A, 5G, 5A, 6G, 6A}. Lihat Tabel. Dadu Koin 1 2 3 4 5 6

A 1A 2A 3A 4A 5A 6A

B 1B 2B 3B 4B 5B 6B

2.

Permutasi

a. Definisi dan Notasi Faktorial Perkalian bilangan asli dari n sampai dengan 1 atau sebaliknya disebut faktorial yang dinotasikan dengan n!. Dalam notasi matematika, nilai n faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut : Untuk setiap bilangan asli n > 2, nilai n faktorial didefinisikan n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ......x 3 x 2 x 1 0! = 1 dan 1! = 1 Contoh :

Hitunglah nilai dari 3! x 2! dan n! = 6n(n-3)! Penyelesaian : 3! x 2! = (3 x 2 x 1) x (2 x1) = 12 n! = 6n(n - 3)! n(n - 1)(n - 2)(n - 3)! = 6n(n - 3)! (n - 1)(n - 2) = 6 n2 - 3n + 2 = 6 n2 - 3n - 4 = 0 (n - 4)(n + 1) = 0 n = 4 atau n = 1 b. Definisi dan Notasi Permutasi dan Unsur-unsur yang Berbeda Susunan k unsur dan n unsur yang berlainan dengan k < n disebut permutasi k unsur dan n unsur, yaitu urutan berlainan k unsur yang diambil dari n unsur. Banyak permutasi k unsur dari unsur n unsur dilambangkan dengan notasi nPk atau P(n,k) atau Pnk yang didefinisikan P(n,k) = n!

(n-k) ! Bukti : Jika P(n,k) adalah banyaknya cara pengisian n tempat yang berbeda, maka cara pengisiannya dapat dilihat pada diagram berikut : Tempat ke - 1 Banyaknya cara n Tempat ke - 2 ( n 1) .......... ........ Tempat ke - k (n k + 1)

Ada n cara untuk mengisi tempat pertama, (n - 1) cara untuk mengisi tempat ke dua,(n 2) cara untuk mengisi tempat ketiga, dan seterusnya(n k + 1) cara untuk mengisi tempat ke k. Ingat kembali penggunaan kaidah pencacahan k unsur dari n unsur adalah : P(n,k) = n(n - 1)(n - 2)(n - 3).........(n k + 1) = n(n - 1)(n - 2)(n - 3).........(n k + 1) x (n k)(n k 1).....x 2 x 1 (n k)(n k 1).....x 2 x 1 = n(n - 1)(n - 2)(n - 3).........3 x 2 x 1 = (n k)(n k 1).....x 3 x 2 x 1 P(n,k) = n! (n-k) ! Jadi permutasi adalah susunan objek objek yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Contoh : 1. 2. Dengan menggunakan rumus permutasi tentukan nilai dari P(6,3) Pihak pengelola perusahaan memerlukan 3 staf untuk menduduki posisi ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika tersedia 8 calon, berapa banyaknya susunan staf pengurus yang mungkin ? Penyelesaian :1. P(6,3) =

n! (n-k) !

6!

= 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 3! 3x2x1

(6 3) !2.

Susunsn seperti ketua, sekertaris dan bendahara, perlu diperhatikan urutannya. Oleh karena itu, masalah tersebut merupakan masalah permutasi 3 unsur (ketua, sekertaris, bendahara) dari 8 unsur yang tesedia(banyaknya calon). Banyak kemungkinan susunan staf pengurus : P(8,3) = 8! = 8 ! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 336

(8 3) !

5!

5x4x3x2x1

Jadi banyaknya staf pengurus yang dapat dibentuk adalah 336 susunan.

BAHAN AJAR 2 (Kelas Eksperimen) Pertemuan 22. Permutasi c. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama Jika dari n unsur terdapat p unsur yang sama dari satu jenis, q unsur yang sama dari satu jenis, r unsur yang sama dari satu jenis, dan seterusnya, maka : P(n,p,q,r......) = n!

p !.q !.r !... Contok ; Ada berapa carakah dapat disusun kata-kata : K A T A K Penyelesaian : KATAK : Jumlah hurufnya ada 5, maka n = 5 Ada 2 huruf K yang sama, maka p = 2 Ada 2 huruf A yang sama, maka p = 2 Jadi, P(5,2,2) = 5 ! 2 !.2 !d. Permutasi Siklis (Melingkar)

= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 30 2x1x2x1

Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Permutasi siklis dari n unsur dilambangkan dengan notasi P siklis (n) dan banyaknya permutasi dapat ditentukan dengan rumus : Psiklis (n) = n! = (n 1)! n

Contoh : Suatu pertemuan dihadiri 7 orang dengan posisi duduk mereka melingkar. Berapa banyak susunan posisi duduk yang mungkin ? Penyelesaian : Psiklis (n) = (n-1) ! Psiklis(7) = (7-1) ! = 6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara 3. Kombinasi Kombinasi adalah suatu kumpulan unsur (objek-objek) tanpa memperhatikan urutannya. Dari suatu himpunan dengan n anggota dapat dibentuk himpunan bagian dari k unsur (untuk k < n). Setiap himpunan bagian yang terbentuk merupakan kombinasi k unsur dari n unsur. Banyak kombinasi k unsur dari n unsur sering dinotasikan dengan lambang nCk, C(n,k) atau Cnk. Untuk menghitung banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia dapat digunakan rumus : C(n,k) = n!

k!(n-k)! Contoh : 1, Hitunglah nilai dari C(6,2) 2.Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukanlah peluang terambil kelereng 2 merah 2 putih ? Penyelesaian :1. C(6,2) =

6! !(6 2) !

= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 15 2x1x4x3x2x1

2

2.

M

(S)= 9C4 =

=

=

= 126

M

(merah) = 6C2 =

=

= 15

M

(putih) = 3C2 =

=

=3 =

Peluang terambil 2 merah dan putih adalah

BAHAN AJAR 3 (Kelas Eksperimen) Pertemuan 3 & 4B. Peluang Suatu Kejadian 1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk memperoleh hasil tertentu. Ruang sampel atau dinotasikan dengan S adalah himpunan dari semua hasil percobaan. Kejadian pada ruang sampel atau sering disebut dengan kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Titik sampel adalah anggota-anggota dalam ruang sampel. Contoh : 1. Pada suatu percobaan melempar sebuah dadu, A adalah kejadian muncul bilangan ganjil dan B adalah kejadian muncul bilangan kelipatan 3. Nyatakan berikut ini dalam sebuah himpunan a. Ruang Sampel b. Kejadian A c. Kejadian B 2. Pada pelemparan 2 buah dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 orang atau berjumlah 5 adalah

Penyelesaian : 1. Sebuah dadu mempunyai enam sisi permukaan yang masing-masing bernomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi permukaan yang muncul nanti adalah satu dari sisi yang bernomor 1 sampai dengan 6 tersebut. Pada percobaan ini :a. Ruang Sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. Kejadian A = {1, 3, 5} c. Kejadian B = {3, 6}

2.

M(S) =

36

Jumlah 8 = (2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4) Jumlah 5 = (1,4),(4,1),(2,3),(3,2)

m(8) = 5 P ( A atau B) = m(5) = 4

P (8 atau 4) =

=

=

BAHAN AJAR 5 (Kelas Eksperimen) Pertemuan 52.

Pengertian Peluang Suatu Kejadian Jika kejadian A dapat terjadi dengan k cara dari n cara, maka nilai kemungkinan

(probabilitas) terjadinya kejadian A yang dinotasikan P(A) adalah : P(A) = k n Jika dikaitkan dengan ruang sampel, maka peluang kejadian A dapat dinyatakan sebagai P(A) = n(A) , dengan : n(S) P(A) adalah peluang kejadian A n(A) adalah banyak anggota dalam kejadian A n(S) adalah banyak anggota ruang sampel Contoh : Dua buah mata uang dilempar bersamaan. Dalam sekali lemparan, tentukan : a. Peluang kejadian muncul satu angka b. Peluang kejadian munculnya kedua gambar Penyelesaian :

Pada percobaan ini ruang sampelnya S = {AA,AG, GA, GG}, jadi n(S) = 4 a. Peluang kejadian muncul satu angka : A = { AG, GA}, n(A) = 2 P(A) = n(A) = 2 = 1 n(S) 4 2

b. Peluang kejadian muncul kedua gambar : A = {GG}, n(B) = 1 P(A) = n(B) = 1 n(S) 4

BAHAN AJAR 6 (Kelas Eksperimen) Pertemuan 63. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Frekuensi harapan suatu kejadian dari sebuah percobaan yang dilakukan sebanyak n kali didefinisikan sebagai berikut : Misalkan A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dengan peluang P(A). Frekuensi harapan munculnya kejadian A yang dinotasikan Fhar(A) dalam n kali percobaan dirumuskan dengan Fhar(A) = n x P(A). Contoh : Jika peluang kejadian hujan dalam kurun waktu 30 hari adalah 17/30 maka peluang kejadian tidak hujan dalam kurung waktu 30 hari adalah Penyelesaian :Peluang hujan = maka peluang tidak hujan 1=

Satuan Pendidikan : SMA Mata Pelajaran Materi Pokok Kelas/Semester : Matematika : Peluang : XI/ganjil

Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

BAHAN AJAR 1 (Kelas Kontrol) Pertemuan 1A. 1. Aturan Perkalian Permutasi dan Kombinasi Aturan Perkalian Misalkan kota A dan B dihubungkan dengan 3 jalan, sedangkan antara kota B dan C dihubungkan dengan 2 jalan. Maka banyak rute perjalanan dari kota A ke kota B dan dilanjutkan perjalanan B ke C adalah 3 x 2 = 6 rute. Prinsip inilah yang disebut prinsip perkalian. Prinsip dasar dalam aturan pengisian tempat

Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian kedua dapat terjadi dengan n2 cara, kejadian ketiga dapat terjadi dengan n3 cara, dan seterusnya maka kejadian kejadian dengan urutan yang demikian dapat terjadi dengan (n1 x n2 x n3 x .........) cara. Catatan : Aturan Perkalian ditandai dengan kata dan Contoh : Dengan angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka yang berlainan, Berapa banyak bilangan genap berlainan yang dapat dibuat ? Penyelesaian : Tiga angka berarti dibuat terlebih dahulu tiga kotak, yaitu : ratusan, puluhan dan satuan. Ratusan 4 angka Puluhan 2 5 angka 4 6 Jadi, banyaknya bilangan genap yang terdiri atas 3 angka adalah (4 x 5 x 3) = 60 bilangan 3 angka genap Satuan

2. Permutasia.

Definisi dan Notasi Faktorial

Perkalian bilangan asli dari n sampai dengan 1 atau sebaliknya disebut faktorial yang dinotasikan dengan n!. Dalam notasi matematika, nilai n faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut : Untuk setiap bilangan asli n > 2, nilai n faktorial didefinisikan n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ......x 3 x 2 x 1 0! = 1 dan 1! = 1 Contoh : Hitunglah nilai dari 5 ! dan 3 !

Penyelesaian : 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 3!= 3x2x1=6

b. Definisi dan Notasi Permutasi dan Unsur-unsur yang Berbeda Susunan k unsur dan n unsur yang berlainan dengan k < n disebut permutasi k unsur dan n unsur, yaitu urutan berlainan k unsur yang diambil dari n unsur. Banyak permutasi k unsur dari unsur n unsur dilambangkan dengan notasi nPk atau P(n,k) atau Pnk yang didefinisikan P(n,k) = n!

(n-k) ! Jadi permutasi adalah susunan objek objek yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Contoh : Dengan menggunakan rumus permutasi tentukan nilai dari : P(6,3) P(4,2)

Penyelesaian : P(6,3) = 6! = 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 3! 3x2x1

(6 3) ! P(4,2) = 4!

= 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 2! 2x1

(4 2) !

BAHAN AJAR 2

(Kelas Kontrol)

Pertemuan 22. Permutasic.

Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama

Jika dari n unsur terdapat p unsur yang sama dari satu jenis, q unsur yang sama dari satu jenis, r unsur yang sama dari satu jenis, dan seterusnya, maka : P(n,p,q,r......) = n! p !.q !.r !... Contok ; Ada berapa carakah dapat disusun kata-kata : K A T A K Penyelesaian : KATAK : Jumlah hurufnya ada 5, maka n = 5 Ada 2 huruf K yang sama, maka p = 2 Ada 2 huruf A yang sama, maka p = 2 Jadi, P(5,2,2) = 5 ! 2 !.2 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 30 2x1x2x1

d. Permutasi Siklis (Melingkar) Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Permutasi siklis dari n unsur dilambangkan dengan notasi P siklis (n) dan banyaknya permutasi dapat ditentukan dengan rumus :

Psiklis (n) = n! = (n 1)! n Contoh : Suatu pertemuan dihadiri 7 orang dengan posisi duduk mereka melingkar. Berapa banyak susunan posisi duduk yang mungkin ? Penyelesaian : Psiklis (n) = (n-1) ! Psiklis(7) = (7-1) ! = 6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara 3. Kombinasi Kombinasi adalah suatu kumpulan unsur (objek-objek) tanpa memperhatikan urutannya. Dari suatu himpunan dengan n anggota dapat dibentuk himpunan bagian dari k unsur (untuk k < n). Setiap himpunan bagian yang terbentuk merupakan kombinasi k unsur dari n unsur. Banyak kombinasi k unsur dari n unsur sering dinotasikan dengan lambang nCk, C(n,k) atau Cnk. Untuk menghitung banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia dapat digunakan rumus : C(n,k) = n!

k!(n-k)! Contoh : Hitunglah nilai dari C(6,2) C(5,3) Penyelesaian : C(6,2) = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 15 2x1x4x3x2x1 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 10 3x2x1x2x1

2!(6 2) ! C(5,3) = 5!

3!(5 3) !

BAHAN AJAR 3 (Kelas Kontrol) Pertemuan 3 & 4A. Peluang Suatu Kejadian 1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk memperoleh hasil tertentu. Ruang sampel atau dinotasikan dengan S adalah himpunan dari semua hasil percobaan. Kejadian pada ruang sampel atau sering disebut dengan kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Titik sampel adalah anggota-anggota dalam ruang sampel. Contoh : 1. Pada suatu percobaan melempar sebuah dadu, A adalah kejadian muncul bilangan ganjil dan B adalah kejadian muncul bilangan kelipatan 3. Nyatakan berikut ini dalam sebuah himpunan a. Ruang Sampel b. Kejadian A c. Kejadian B Penyelesaian :

Sebuah dadu mempunyai enam sisi permukaan yang masing-masing bernomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi permukaan yang muncul nanti adalah satu dari sisi yang bernomor 1 sampai dengan 6 tersebut. Pada percobaan ini :a. Ruang Sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. Kejadian A = {1, 3, 5} c. Kejadian B = {3, 6}

BAHAN AJAR 5 (Kelas Kontrol) Pertemuan 54. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Jika kejadian A dapat terjadi dengan k cara dari n cara, maka nilai kemungkinan (probabilitas) terjadinya kejadian A yang dinotasikan P(A) adalah : P(A) = k n Jika dikaitkan dengan ruang sampel, maka peluang kejadian A dapat dinyatakan sebagai P(A) = n(A) , dengan : n(S) P(A) adalah peluang kejadian A n(A) adalah banyak anggota dalam kejadian A n(S) adalah banyak anggota ruang sampel Contoh : Dua buah mata uang dilempar bersamaan. Dalam sekali lemparan, tentukan : c. Peluang kejadian muncul satu angka d. Peluang kejadian munculnya kedua gambar

Penyelesaian : Pada percobaan ini ruang sampelnya S = {AA,AG, GA, GG}, jadi n(S) = 4 c. Peluang kejadian muncul satu angka : A = { AG, GA}, n(A) = 2 P(A) = n(A) = 2 = 1 n(S) 4 2

d. Peluang kejadian muncul kedua gambar : A = {GG}, n(B) = 1 P(A) = n(B) = 1 n(S) 4

BAHAN AJAR 6

(Kelas Kontrol)

Pertemuan 65. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Frekuensi harapan suatu kejadian dari sebuah percobaan yang dilakukan sebanyak n kali didefinisikan sebagai berikut : Misalkan A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dengan peluang P(A). Frekuensi harapan munculnya kejadian A yang dinotasikan Fhar(A) dalam n kali percobaan dirumuskan dengan Fhar(A) = n x P(A). Contoh : Jika peluang kejadian hujan dalam kurun waktu 30 hari adalah 17/30 maka peluang kejadian tidak hujan dalam kurung waktu 30 hari adalah Penyelesaian :Peluang hujan = maka peluang tidak hujan 1=