Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6

Ciągłość

6.1 Granica funkcji

Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność.Definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ Roraz niech a, x0 ∈ R.Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0, gdy

zachodzą dwa warunki:(i) x0 jest punktem skupienia zbioru X,(ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x−x0| < δ

zachodzi |f(x)− a| < ε.Fakt ten zapisujemy lim

x→x0f(x) = a lub limx→x0 f(x) = a lub f(x)→ a, gdy x→ x0.

Uwaga 6.1.1. Niech f : X → R oraz x0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ R.Definicję Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie x0 można zapisać następująco:

limx→x0f(x) = a ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− a| < ε).

Powyższy warunek jest równoważny następującemu

limx→x0f(x) = a ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x− x0| 6 δ ⇒ |f(x)− a| 6 ε),

Nie można natomiast zmienić warunku ε > 0 na ε > 0, warunku δ > 0 na δ > 0 aniopuścić warunku 0 < |x− x0|.

Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R orazniech a, x0 ∈ R.Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0, gdy

zachodzą dwa warunki:(i) x0 jest punktem skupienia zbioru X,(ii) dla każdego ciągu (xn)n∈N ⊂ X takiego, że xn 6= x0 dla n ∈ N oraz lim

n→∞xn = x0

zachodzi limn→∞f(xn) = a.

Pokażemy teraz, że powyższe dwie definicje są równoważne

121

122 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ

Twierdzenie 6.1.2. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, niech x0 będzie punktem skupieniazbioru X oraz niech a ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) a jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0,

(b) a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0.

Dowód. Ad. (a)⇒ (b) Weźmy dowolny ciąg (xn)n∈N ⊂ X\{x0} taki, że limn→∞xn = x0.

Pokażemy, że limn→∞f(xn) = a. Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ a jest granicą w

sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0, więc istnieje δ > 0, że dla x ∈ X takich, że0 < |x− x0| < δ zachodzi |f(x)− a| < ε. Ponieważ xn 6= x0 dla n ∈ N oraz lim

n→∞xn = x0,

więc istnieje N ∈ R takie, że dla n > N zachodzi 0 < |xn − x0| < δ i w konsekwencji|f(xn)− a| < ε. Reasumując lim

n→∞f(xn) = a. To daje, że a jest granicą w sensie Heinego

funkcji f w punkcie x0.Ad. (b) ⇒ (a) Przypuśćmy przeciwnie, że a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w

punkcie x0 lecz nie jest granicą w sensie Cauchy’ego. Wtedy istnieje ε > 0, że dla każdegoδ > 0 istnieje x ∈ X dla którego 0 < |x − x0| < δ oraz |f(x) − a| > ε. W szczególności,dla każdego n ∈ N zbiór Xn = {x ∈ X : 0 < |x − x0| < 1

noraz |f(x) − a| > ε} jest

niepusty. Stosując teraz Aksjomat wyboru (1) istnieje ciąg (xn)n∈N ⊂ X taki, że xn ∈ Xndla n ∈ N. Wtedy lim

n→∞xn = x0 oraz |f(xn)− a| > ε, w szczególności ciąg (f(xn))n∈N nie

jest zbieżny do a. To przeczy definicji granicy w sensie Heinego i kończy dowód. �

W świetle twierdzenia 6.1.2 nie ma znaczenia, którą definicję granicy funkcji przyjmie-my. Powinniśmy jednak zdecydować się na jadną z nich.Definicja granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niecha, x0 ∈ R. Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicąw sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0.

Z definicji dostajemy, że granica funkcji w punkcie jest własnością lokalną, to znaczyzależy od tej funkcji tylko w dowolnie małym otoczeniu punktu. Mianowicie mamy

Wniosek 6.1.3. Niech a, x0 ∈ R oraz x0 będzie punktem skupienia zbioru X ⊂ R. Wów-czas a jest granicą funkcji f : X → R w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdegootoczenia U ⊂ R punktu x0, liczba a jest granicą funkcji f |U∩X w punkcie x0.

Wobec twierdzenia 6.1.2 możemy teraz przenieść pewne własności granicy ciągów naprzypadek granicy funkcji. Z własności 4.2.4(a) dostajemy natychmiast

Wniosek 6.1.4. (jednoznaczność granicy funkcji). Jeśli a, a′ ∈ R są granicami funk-cji f w punkcie x0, to a = a′.

Z własności 4.2.4(b) i twierdzenia 6.1.2 dostajemy

Wniosek 6.1.5. (o granicach dwóch funkcji). Niech f, g : X → R, gdzie X ⊂ R,będą funkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X oraz a, b ∈ R. Jeśli

limx→x0f(x) = a, lim

x→x0g(x) = b oraz f(x) 6 g(x) dla x ∈ X \ {x0},

to a 6 b.1dla rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych Yn = Xn × {n}, n ∈ N.

6.1. GRANICA FUNKCJI 123

Z twierdzenia o trzech ciągach 4.2.6 i twierdzenia 6.1.2 dostajemy natychmiast

Wniosek 6.1.6. (o trzech funkcjach). Niech f, g, h : X → R, gdzie X ⊂ R, będąfunkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ R. Jeśli


x→x0h(x) = a oraz f(x) 6 g(x) 6 h(x) dla x ∈ X \ {x0},

to limx→x0g(x) = a.

Z twierdzeń 4.2.9, 4.3.4 i 6.1.2 mamy

Wniosek 6.1.7. (o działanich na granicach funkcji). Niech f, g : X → R, gdzieX ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X oraz a, b ∈ R. Niech


x→x0g(x) = b.

Wówczas:

(a) limx→x0(f(x) + g(x)) = a+ b.

(b) limx→x0(f(x)− g(x)) = a− b.

(c) limx→x0(f(x)g(x)) = ab.

(d) Jeśli b 6= 0 oraz g(x) 6= 0 dla x ∈ X \ {x0}, to limx→x0

f(x)g(x) =

ab.

(e) Jeśli a > 0 oraz f(x) > 0 dla x ∈ X \ {x0}, to limx→x0(f(x))g(x) = ab.

(f) Jeśli a = 0 i b > 0 oraz f(x) > 0 dla x ∈ X \ {x0}, to limx→x0(f(x))g(x) = 0.

Z własności 4.2.10 i twierdzenia 6.1.2 mamy

Wniosek 6.1.8. Niech f, g : X → R, gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupie-nia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ograniczoną oraz lim

x→x0f(x) = 0, to lim

x→x0(f(x)g(x)) = 0.

Z twierdzenia 6.1.2 i własności granicy ciągu dostajemy

Wniosek 6.1.9. Niech a, x0 ∈ R oraz n ∈ N. Wówczas:

(a) limx→x0xa = xa0, gdy x0 > 0,

(b) limx→0xa = 0, gdy a > 0 (2),

(c) limx→x0

n√x = n√x0, gdy n jest liczbą nieparzystą,

(d) limx→x0|x| = |x0|,

(e) limx→x0ax = ax0, gdy a > 0,

2liczba 0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji x 7→ xa.


(f) limx→x0loga x = loga x0, gdy a > 0, a 6= 1 oraz x0 > 0,

(g) limx→x0sinx = sinx0, lim

x→x0cosx = cos x0,

(h) limx→x0

tgx = tgx0, gdy cosx0 6= 0,

(i) limx→x0

ctgx = ctgx0, gdy sin x0 6= 0,

Dowód. Części (a), (b) i (e) wynikają z twierdzenia 4.3.4, część (f) – z twierdzenia4.3.3, część (d) – z wniosku 4.2.11, części (g) – z wniosku 5.10.6.Ad. (h) Jeśli cos x0 6= 0, to w myśl wniosku 5.10.8, x0 jest punktem skupienia dziedziny

funkcji tg . Wówczas z wniosku 5.10.9 dostajemy limx→xn

tgx = tgx0, czyli mamy (h).

Część (i) dowodzimy analogicznie jak część (h).Pozostało udowodnić (c). Rozważymy trzy przypadki:Dla x0 > 0, tezę (c) dostajemy z części (a), gdy a = 1n .Dla x0 < 0 mamy −x0 > 0 oraz z własności pierwiastka nieparzystego stopnia do-

stajemy n√x0 = − n

√−x0. Wówczas dla dowolnego ciągu (xk)∞k=1 takiego, że lim

k→∞xk = x0

mamy limk→∞(−xk) = −x0, więc istnieje N ∈ N takie, że dla k > N zachodzi −xk > 0.

Zatem z twierdzenia 4.3.4 mamy limk→∞

n√xk = lim

k→∞(− n√−xk) = − n

√−x0 = n

√x0, co daje

tezę w tym przypadku.Niech teraz x0 = 0. Ponieważ − n

√|x| 6 n

√x 6 n

√|x|, więc dla dowolnego ciągu (xk)∞k=1

takiego, że limk→∞xk = 0 mamy − n

√|xk| 6 n

√xk 6 n

√|xk|. Z wniosku 4.2.11 wynika, że

limk→∞|xk| = 0, z twierdzenia 4.3.4 zaś, że lim

k→∞n

√|xk| = 0. W konsekwencji twierdzenie o

trzech ciągach daje, że limk→∞

n√xk = 0, czyli mamy (c) w tym przypadku. �

Z twierdzenia 6.1.2 i wniosków 4.5.4(d) i 5.10.6(c) dostajemy

Wniosek 6.1.10. Zachodzą następujące:

(a) limx→0(1 + x)

1x = e,

(b) limx→0

sinxx= 1.

Granica maksimum i minimum rodziny funkcjiUdowodnimy twierdzenie o granicy maksimum i minimum rodziny funkcji. Zacznijmy od definicji.

Definicja maksimum i minimum rodziny funkcji. Niech f1, ..., fn : X → R, gdzie n ∈ N, będzierodziną funkcji.Funkcję max(f1, ..., fn) : X → R określoną wzorem

max(f1, ..., fn)(x) = max{f1(x), ..., fn(x)} dlax ∈ X

nazywamy maksimum rodziny funkcji f1, ..., fn.Funkcję min(f1, ..., fn) : X → R określoną wzorem

min(f1, ..., fn)(x) = min{f1(x), ..., fn(x)} dlax ∈ X

nazywamy minimum rodziny funkcji f1, ..., fn.

6.2. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 125

Twierdzenie 6.1.11. Niech f1, ..., fn : X → R, gdzie X ⊂ R i n ∈ N będzie rodziną funkcji oraz niechx0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli lim

x→x0fj(x) = gj, gdzie gj ∈ R dla j = 1, ..., n, to

(6.1) limx→x0

max(f1, ..., fn)(x) = max{g1, ..., gn} oraz limx→x0

min(f1, ..., fn)(x) = min{g1, ..., gn}.

Dowód. Zastosujemy zasadę indukcji. Jeśli n = 1, to teza jest oczywista. Dla n = 2 teza wynikaz wniosku 4.2.12 i równoważności definicji Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji (twierdzenie 6.1.2).Załóżmy, że teza zachodzi dla rodziny n funkcji. Rozważmy rodzinę f1, ..., fn+1 : X → R i niech gj = lim

x→x0fj(x) dla j = 1, ..., n+ 1. Łatwo sprawdzamy, że

max{f1(x), ..., fn+1(x)} = max{max{f1(x), ..., fn(x)}, fn+1(x)} dla x ∈ X.

Zatem stosując założenie indukcyjne i przypadek n = 2 dostajemy pierwszą część (6.1) dla n+ 1. Analo-gicznie dowodzimy drugą część (6.1) dla n+ 1. Reasumując, zasada indukcji kończy dowód. �

6.2 Granice jednostronne funkcji

Definicja . Dla zbioru X ⊂ R oraz liczby x0 ∈ R określamy zbiory

X−x0 = {x ∈ X : x < x0}, X+x0 = {x ∈ X : x > x0}.

Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech X ⊂ R,f : X → R oraz niech a, x0 ∈ R.Mówimy, że liczba a jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicą

funkcji f |X−x0 w punkcie x0 (3). Fakt ten zapisujemy a = lim

x→x−0f(x).

Mówimy, że liczba a jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy a jestgranicą funkcji f |X+x0 w punkcie x0 (

4). Fakt ten zapisujemy a = limx→x+0

f(x).

Uwaga 6.2.1. Niech f : X → R będzie funkcją oraz x0 ∈ R. Wprost z definicji dostajemy:(a) Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X−x0, to fakt, że liczba a ∈ R jest granicą

lewostronną funkcji f w punkcie x0 można zapisać w notacji Cauchy’ego:

(6.2) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (x < x0 ∧ |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− a| < ε)

lub równoważnie w notacji Heinego:

∀(xn)n∈N⊂X−x0( limn→∞xn = x0 ⇒ lim

n→∞f(xn) = a).

(b) Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X+x0, to fakt, że liczba a ∈ R jest granicąprawostronną funkcji f w punkcie x0 można zapisać w notacji Cauchy’ego:

(6.3) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (x0 < x ∧ |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− a| < ε)

lub równoważnie w notacji Heinego:

∀(xn)n∈N⊂X+x0( limn→∞xn = x0 ⇒ lim

n→∞f(xn) = a).

3wtedy x0 jest punktem skupienia zbioru X−x0 .4wtedy x0 jest punktem skupienia zbioru X+x0 .


Twierdzenie 6.2.2. (związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi). Niechf : X → R, gdzie X ⊂ R, będzie funkcją, x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbiorów X−x0 iX+x0 oraz a ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) limx→x0f(x) = a,

(b) limx→x−0

f(x) = a oraz limx→x+0

f(x) = a.

Dowód. Ad. (a) ⇒ (b) Ponieważ limx→x0f(x) = a, więc z definicji mamy

(6.4) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− a| < ε).

Stąd dostajemy natychmiast (6.2) i (6.3), czyli mamy (b).Ad. (b) ⇒ (a) Ponieważ lim

x→x−0f(x) = a oraz lim

x→x+0f(x) = a, więc można założyć, że

w (6.2) i (6.3) dla ustalonego ε istnieje ta sama δ > 0 (przez wybranie mniejszej z nich).Zatem z (6.2) i (6.3) wynika (6.4), co daje (a). �

Granica funkcji w punkcie nie musi istnieć, odnosi się to również do granic jednostron-nych. Jednak przy dodatkowym założeniu mamy

Twierdzenie 6.2.3. (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niechf : X → R, gdzie X ⊂ R, będzie funkcją monotoniczną i ograniczoną.

(a) Jeśli x0 ∈ R jest punktem skupienia zbioru X−x0, to istnieje granica limx→x−0

f(x).

(b) Jeśli x0 ∈ R jest punktem skupienia zbioru X+x0, to istnieje granica limx→x+0

f(x).

Dowód. Ponieważ dla funkcji malejącej f mamy, że −f jest funkcją rosnącą, więcwystarczy rozważyć przypadek, gdy f jest funkcją rosnącą. Niech więc f : X → R będziefunkcją rosnącą.Ad. (a) Niech A = {f(x) : x ∈ X−x0}. Wówczas A jest zbiorem niepustym i ograni-

czonym, więc a = supA jest liczbą rzeczywistą. Pokażemy, że a = limx→x−0

f(x). Istotnie,

weźmy dowolne ε > 0. Wówczas a − ε < a, więc z określenia supA, istnieje x′ ∈ X−x0 , żea− ε < f(x′). Niech δ = x0 − x′. Ponieważ x′ ∈ X−x0 , więc x

′ < x0, zatem δ > 0. Weźmydowolny x ∈ X taki, że x < x0 i |x − x0| < δ. Wtedy x ∈ X−x0 , zatem f(x) − a 6 0 < ε.Z drugiej strony x > x′, więc z założenia, że f jest funkcją rosnącą mamy f(x) > f(x′) iw konsekwencji −ε < f(x′)− a 6 f(x)− a. Reasumując mamy |f(x)− a| < ε dla x ∈ Xtakich, że x < x0 i |x− x0| < δ. To daje (a).Ad. (b) Podobnie jak w (a), biorąc B = {f(x) : x ∈ X+x0} oraz b = inf B dostajemy,

że b ∈ R. Podobnie, z definicji kresu dolnego oraz założenia, że f jest funkcją rosnącąotrzymujemy lim

x→x+0f(x) = b. �

Podamy szczególną wersję warunku Heinego istnienia granicy jednostronnej.

6.2. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 127

Twierdzenie 6.2.4. Niech f : [a, b)→ R. Następujące warunki są równoważne:

(a) Istnieje granica limx→b−f(x) (5).

(b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (xn)∞n=1 ⊂ [a, b) takiego, że limn→∞ xn = b istniejeskończona granica lim

n→∞f(xn).

Dowód. Implikacja (a)⇒(b) wynika definicji Heinego granicy funkcji w punkcie.Udowodnimy implikację (b)⇒(a). Niech (xn)∞n=1 ⊂ [a, b) będzie ściśle rosnącym cią-

giem takim, że limn→∞xn = b oraz, wobec (b), niech A ∈ R będzie takie, że lim

n→∞f(xn) = A.

Pokażemy, że limx→bf(x) = A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje ε0 > 0 takie, że dla każ-

dego δ ∈ [a, b) istnieje x ∈ (δ, b), że |f(x) − A| > ε0. Wtedy b jest punktem skupieniazbioru {x ∈ [a, b) : |f(x)− A| > ε0}, więc istnieje ciąg (yj)∞j=1 ⊂ [a, b), gdzie limj→∞ yj = b,że zachodzi

(6.5) |f(yj)− A| > ε0 dla j = 1, 2, ...

Wybierzmy teraz podciągi (xnk)∞k=1 oraz (yjk)

∞k=1 odpowiednio ciągów (xn)

∞n=1 oraz (yj)

∞j=1

takie, że

(6.6) yjk < xnk < y′jk+1

dla k = 1, 2, ... (6).

Weźmy ciąg (γn)∞n=1 określony wzorami

γ2k = yjk oraz γ2k+1 = xnk dla k = 0, 1, ...

Z (6.6) dostajemy, że (γk)∞k=1 ⊂ [a, b) jest ciągiem ściśle rosnącym. Ponadto limn→∞ γn =b oraz, wobec założenia, istnieje B ∈ R takie, że B = lim

n→∞f(γn). W szczególności z

określenia A i B mamy

B = limk→∞f(γ2k+1) = lim

k→∞f(xnk) = A,

zatem limk→∞f(yjk) = lim

k→∞f(γ2k) = A. To przeczy (6.5) i kończy dowód. �

Analogicznie jak twierdzenia 6.2.4, dowodzimy

Twierdzenie 6.2.5. Niech f : (a, b]→ R. Następujące warunki są równoważne:

(a) Istnieje granica limx→a+

f(x).

(b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (xn)∞n=1 ⊂ (a, b] takiego, że limn→∞ xn = a istniejeskończona granica lim

n→∞f(xn).

5skończona, tzn. istnieje g ∈ R takie, że limx→b−

f(x) = g, por. dalej istnienie granicy niewłaściwej.6Na przykład kładąc X = {(n, j) ∈ N × N : xn > yj} i biorąc funkcję F : X × N → X określoną

wzorem F (n, j, k) = (p, q), gdzie q = min{m ∈ N : m > k ∧ ym > xn} oraz p = min{m ∈ N : m >k ∧ (m, q) ∈ X}, ciąg ((xnk), (yjk))∞j=1 określony indukcyjnie przez dowolny (n, j) ∈ X oraz funkcję Fspełnia powyższe warunki.


6.3 Granice niewłaściwe

Definicja granicy niewłaściwej funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R,oraz niech x0 ∈ R.Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki:(a) x0 jest punktem skupienia zbioru X,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x−x0| < δzachodzi f(x) > A.

Fakt ten zapisujemy limx→x0f(x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→x0f(x) = −∞ (7).

Granice +∞ i −∞ nazywamy granicami niewłaściwymi funkcji w punkcie x0. Graniceokreślone w punkcie 6.1 nazywamy granicami właściwymi funkcji.

Uwaga 6.3.1. Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioruX. Wówczas łatwo dostajemy

limx→x0f(x) = +∞ ⇔ ∀A>0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) > A),

limx→x0f(x) = −∞ ⇔ ∀A<0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) < A).

Ponadto granica niewłaściwa jest określona jednoznacznie. Dokładniej, jeśli limx→x0f(x) = a

oraz limx→x0f(x) = +∞, to a = +∞. Analogicznie dla granicy lim

x→x0f(x) = −∞.

Bazpośrednio z definicji granicy niewłaściwej funkcji mamy

Wniosek 6.3.2. Niech f : X → R, X ⊂ R oraz x0 będzie punktem skupienia zbioru X.Wówczas a ∈ {−∞,+∞} jest granicą funkcji f : X → R w punkcie x0 wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego otoczenia U ⊂ R punktu x0, element a jest granicą funkcji f |U∩Xw punkcie x0.

Analogicznie jak w przypadku granic właściwych dowodzimy następujące własności:

Własność 6.3.3. (warunek Heinego dla granicy niewłaściwej). Niech f : X → R,gdzie X ⊂ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ {−∞,+∞}. Wówczasnastępujące warunki są równoważne:

(a) a jest granicą funkcji f w punkcie x0,

(b) dla każdego ciągu (xn)n∈N ⊂ X takiego, że xn 6= x0 dla n ∈ N oraz limn→∞xn = x0

zachodzi limn→∞f(xn) = a (8).

Z własności 6.3.3 i własności granic niewłaściwych ciągów dostajemy

7Mówimy, że −∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki:(a) x0 jest punktem skupienia zbioru X,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x−x0| < δ mamy f(x) < A.8warunek ten nazywamy definicją Heinego granicy niewłaściwej.

6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 129

Wniosek 6.3.4. (o granicach niewłaściwych dwóch funkcji). Niech f, g : X → R,gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X oraz niech f(x) 6 g(x)dla x ∈ X \ {x0}.

(a) Jeśli limx→x0f(x) = +∞, to lim

x→x0g(x) = +∞.

(b) Jeśli limx→x0g(x) = −∞, to lim

x→x0f(x) = −∞.

Wniosek 6.3.5. (o działaniach na granicach niewłaściwych). Niech f, g : X → R,gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X. Wówczas:

(a) Jeśli limx→x0f(x) = +∞, to lim

x→x0(−f(x)) = −∞.

(b) Jeśli limx→x0f(x) = +∞ oraz lim

x→x0g(x) = +∞, to lim

x→x0(f(x) + g(x)) = +∞.

(c) Jeśli limx→x0f(x) = +∞ oraz lim

x→x0g(x) = a, gdzie a > 0, to lim

x→x0(f(x)g(x)) = +∞.

(d) Jeśli limx→x0f(x) = +∞, to lim

x→x01f(x) = 0.

Wniosek 6.3.6. Niech f : X → R oraz x0 będzie punktem skupienia zbioru X. Jeślif(x) > 0 dla x ∈ X \ {x0} oraz lim

x→x0f(x) = 0, to lim

x→x01f(x) = +∞.

Definicja granicy niewłaściwej lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie.Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, oraz x0 ∈ R. Niech X−x0 = {x ∈ X : x < x0} iX+x0 = {x ∈ X : x > x0}.Mówimy, że +∞ jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, gdy +∞ jest granicą

funkcji f |X−x0 w punkcie x0 (9). Fakt ten zapisujemy lim

x→x−0f(x) = +∞. Analogicznie

określamy limx→x−0

f(x) = −∞ (10).

Mówimy, że +∞ jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy +∞ jestgranicą funkcji f |X+x0 w punkcie x0. Fakt ten zapisujemy limx→x+0

f(x) = +∞. Analogicznie

określamy limx→x+0

f(x) = −∞ (11).

Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 6.2.2 dostajemy

Własność 6.3.7. (związek granicy niewłaściwej z granicami jednostronnymi).Niech f : X → R, X ⊂ R, będzie funkcją, x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbiorów X−x0i X+x0 oraz a ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) limx→x0f(x) = a,

(b) limx→x−0

f(x) = a oraz limx→x+0

f(x) = a.

9wtedy x0 jest punktem skupienia zbioru X−x0 .10Mówimy, że −∞ jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, gdy −∞ jest granicą funkcjif |X−x0 w punkcie x0 .11Mówimy, że −∞ jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy −∞ jest granicą funkcji f |X+x0w punkcie x0 .


Podobnie jak twierdzenie 6.2.3 dowodzimy

Własność 6.3.8. (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niechf : X → R, X ⊂ R, będzie funkcją monotoniczną.

(a) Jeśli x0 ∈ R jest punktem skupienia zbioru X−x0, to istnieje granica limx→x−0

f(x).

(b) Jeśli x0 ∈ R jest punktem skupienia zbioru X+x0, to istnieje granica limx→x+0

f(x).

Definicja granicy funkcji w nieskończoności. Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz niecha ∈ R.Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(a) zbiór X jest nieograniczony z góry,

(b) dla każdego ε > 0 istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x > δ zachodzi|f(x)− a| < ε.

Fakt ten zapisujemy limx→+∞

f(x) = a. Analogicznie określamy limx→−∞

f(x) = a (12).

Definicja granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności. Niech f : X → R, gdzieX ⊂ R.Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(a) zbiór X jest nieograniczony z góry,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x > δ zachodzi f(x) > A.Fakt ten zapisujemy lim

x→+∞f(x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→+∞f(x) = −∞ (13).

Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(a) zbiór X jest nieograniczony z dołu,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x < δ zachodzi f(x) > A.Fakt ten zapisujemy lim

x→−∞f(x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→−∞f(x) = −∞ (14).

Uwaga 6.3.9. Dla granic funkcji w +∞ i w −∞ zachodzą analogiczne własności dowłasności 6.3.3 i wniosków 6.3.4, 6.3.5, 6.3.6.

Z odpowiednich własności granicy ciągów (twierdzenia 4.4.6 i 4.4.7) dostajemy

12Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:(a) zbiór X jest nieograniczony z dołu,

(b) dla każdego ε > 0 istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x < δ zachodzi |f(x)− a| < ε.13Mówimy, że −∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:(a) zbiór X jest nieograniczony z góry,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x > δ zachodzi f(x) < A.14Mówimy, że −∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:(a) zbiór X jest nieograniczony z dołu,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x < δ zachodzi f(x) < A.

6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 131

Wniosek 6.3.10. Niech a ∈ R. Wówczas mamy:

(a) limx→+∞

xa = +∞, gdy a > 0,

(b) limx→+∞

xa = 0, gdy a < 0,

(c) limx→−∞

xa = −∞, gdy a ∈ N jest liczbą nieparzystą,

(d) limx→−∞

xa = +∞, gdy a ∈ N jest liczbą parzystą,

(e) limx→+∞

ax = +∞ oraz limx→−∞

ax = 0, gdy a > 1,

(f) limx→+∞

ax = 0 oraz limx→−∞

ax = +∞, gdy 0 < a < 1,

(g) limx→+∞

loga x = +∞ oraz limx→0+loga x = −∞, gdy a > 1,

(h) limx→+∞

loga x = −∞ oraz limx→0+loga x = +∞, gdy 0 < a < 1.

Z wniosku 4.5.4 dostajemy

Wniosek 6.3.11. Dla każdego y ∈ R,

limx→+∞

(1 +y

x

)x= ey lim

x→−∞

(1 +y

x

)x= ey.

Analogicznie jak twierdzenia 6.2.4 dowodzimy wersję warunku Heinego dla granic nie-właściwych.

Twierdzenie 6.3.12. Niech f : [a,+∞)→ R. Następujące warunki są równoważne:

(a) Istnieje granica limx→+∞

f(x) (właściwa lub niewłaściwa).

(b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (xn)∞n=1 ⊂ [a,+∞) takiego, że limn→∞ xn = +∞istnieje granica lim

n→∞f(xn) (skończona lub nieskończona).

W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) sąskończone.

Twierdzenie 6.3.13. Niech f : (−∞, b]→ R. Następujące warunki są równoważne:

(a) Istnieje granica limx→−∞

f(x) (właściwa lub niewłaściwa).

(b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (xn)∞n=1 ⊂ (−∞, b] takiego, że limn→∞ xn = −∞istnieje granica lim

n→∞f(xn) (skończona lub nieskończona).

W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) sąskończone.


6.4 Funkcje ciągłe

Poniższa definicja ciągłości pochodzi od Cauchy’ego.

Definicja funkcji ciągłej. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz x0 ∈ R.Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy zachodzą warunki:(i) x0 ∈ X,(ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że |x − x0| < δ

zachodzi |f(x)− f(x0)| < ε.Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X.

Definicję ciągłości funkcji w punkcie możemy sformułować następująco:

Twierdzenie 6.4.1. (topologiczna charakteryzacja ciągłości funkcji w punkcie).Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, oraz niech x0 ∈ X. Następujące warunki są równoważne:(i) funkcja f jest ciągła w punkcie x0.(ii) dla każdego otoczenia W ⊂ R punktu f(x0) istnieje otoczenie U ⊂ R punktu x0

takie, że f(X ∩ U) ⊂ W .

Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0. Wówczas z definicji ciągłościfunkcji w punkcie mamy

(6.7) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε).

Weźmy dowolne ε > 0 i niech δ > 0 spełnia powyższe. Oznaczając

W = {y ∈ R : |y − f(x0)| < ε} oraz U = {x ∈ R : |x− x0| < δ},

z powyższego dostajemy, że jeśli x ∈ X i x ∈ U , to f(x) ∈ W , czyli f(X ∩ U) ⊂ W izachodzi (ii).Odwrotnie, zakładając (ii), dla dowolnego ε > 0, biorąc otoczenie W = {y ∈ R :

|y− f(x0)| < ε} punktu f(x0), istnieje otoczenie U = {x ∈ R : |x− x0| < δ}, gdzie δ > 0,takie że f(X ∩ U) ⊂ W . Zatem dla x ∈ X takich, że |x− x0| < δ mamy x ∈ X ∩ U , więcf(x) ∈ W , czyli |f(x)− f(x0)| < ε. To daje (6.7). �

Analogicznie jak równoważność definicji Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji w punk-cie (twierdzenie 6.1.2) dowodzimy

Twierdzenie 6.4.2. (warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie). Niechf : X → R, X ⊂ R, oraz x0 ∈ X. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) f jest funkcją ciągłą w punkcie x0.

(b) dla każdego ciągu (xn)∞n=1 ⊂ X, jeśli limn→∞ xn = x0, to limn→∞ f(xn) = f(x0) (15).

Wprost z definicji funkcji ciągłej w punkcie oraz granicy funkcji w punkcie mamy

15warunek ten nazywamy definicją Heinego ciągłości funkcji w punkcie.

6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 133

Twierdzenie 6.4.3. (związek ciągłości z granicą). Niech f : X → R, X ⊂ R,oraz x0 ∈ X.(a) Jeśli x0 jest punktem izolowanym zbioru X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie x0.

(b) Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X, to

funkcja f jest ciągła w punkciex0wtedy i tylko wtedy, gdy limx→x0f(x) = f(x0).

Dowód. Ad. (a) Jeśli x0 jest punktem izolowanym zbioru X, to istnieje otoczenie U0punktu x0 takie, że X ∩U0 = {x0}. Zatem dla dowolnego otoczenia W ⊂ R punktu f(x0)mamy f(X ∩ U0) = {f(x0)} ⊂ W . To, wraz z twierdzeniem 6.4.1 daje część (a).Ad. (b) Niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X.Załóżmy najpierw, że f jest funkcją ciągłą w punkcie x0. Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy

istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że |x−x0| < δ zachodzi |f(x)−f(x0)| < ε. Wszczególności dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x− x0| < δ zachodzi |f(x)− f(x0)| < ε.To daje, że lim

x→x0f(x) = f(x0).

Załóżmy teraz, że limx→x0f(x) = f(x0). Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje δ > 0,

że dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x − x0| < δ zachodzi |f(x) − f(x0)| < ε. Stąd,ponieważ |f(x0)−f(x0)| = 0 < ε, dostajemy, że dla każdego x ∈ X takiego, że |x−x0| < δzachodzi |f(x)− f(x0)| < ε. To daje ciągłość funkcji f w punkcie x0 i kończy dowód. �

Z twierdzenia 6.4.3 i własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.7) dostajemy

Wniosek 6.4.4. (działania na funkcjach ciągłych). Niech f, g : X → R, X ⊂ R,oraz x0 ∈ X.(a) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi w punkcie x0, to f + g, f − g, fg oraz fg przy

dodatkowym założeniu g(x) 6= 0 dla x ∈ X, są funkcjami ciągłymi w punkcie x0.(b) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi, to f + g, f − g, fg oraz f

gprzy dodatkowym

założeniu g(x) 6= 0 dla x ∈ X, są funkcjami ciągłymi.

Z powyższego wniosku, łatwą indukcją dostajemy

Wniosek 6.4.5. Niech f1, ..., fn : X → R, gdzie X ⊂ R, n ∈ N oraz niech x0 ∈ X.(a) Jeśli f1, ..., fn są funkcjami ciągłymi w punkcie x0, to f1 + · · · + fn oraz f1 · · · fn

są funkcjami ciągłymi w punkcie x0.

(b) Jeśli f1, ..., fn są funkcjami ciągłymi, to f1 + · · · + fn oraz f1 · · · fn są funkcjamiciągłymi.

Z twierdzenia 6.4.1 dostajemy

Wniosek 6.4.6. (o złożeniu funkcji ciągłych). Niech f = g ◦ h : X → R, gdzieh : X → R, g : Y → R, X, Y ⊂ R oraz h(X) ⊂ Y . Niech x0 ∈ X.(a) Jeśli h jest funkcją ciągłą w punkcie x0, funkcja g jest zaś ciągła w punkcie y0 =

h(x0), to funkcja f jest ciągła w punkcie x0.

(b) Jeśli h i g są funkcjami ciągłymi, to f jest funkcją ciągłą.


Dowód. Udowodnimy (a). Zastosujemy twierdzenie 6.4.2. Weźmy dowolny ciąg(xn)∞n=1 ⊂ X taki, że limn→∞ xn = x0. Wówczas (h(xn))

∞n=1 ⊂ Y . Ponieważ h jest funk-

cją ciągłą w punkcie x0, to z twierdzenia 6.4.2, limn→∞h(xn) = h(x0) = y0. Stąd i z ciągłości

funkcji g w punkcie y0 dostajemy

limn→∞f(xn) = lim

n→∞g(h(xn)) = g(h(x0)) = f(x0).

Reasumując, wobec dowolności ciągu (xn)∞n=1, z twierdzenia 6.4.2 wynika ciągłość funkcjif w punkcie x0, czyli mamy (a). Część (b) wynika natychmiast z (a). �

Wniosek 6.4.7. (o granicy złożenia funkcji). Niech f = g ◦ h : X → R, gdzieh : X → R, g : Y → R, X,Y ⊂ R oraz h(X) ⊂ Y . Niech ponadto x0 ∈ R będzie punktemskupienia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ciągłą w punkcie y0 ∈ Y oraz lim

x→x0h(x) = y0, to

limx→x0f(x) = g(y0).

Dowód. Niech h : X ∪ {x0} → R będzie funkcją określoną wzorami: h(x) = h(x) dlax ∈ X \{x0} oraz h(x0) = y0. Wówczas z założenia, że lim

x→x0h(x) = y0 i związku ciągłości z

granicą (twierdzenie 6.4.3) wynika, że h jest funkcją ciągłą w punkcie x0. Zatem f = g ◦ hjest funkcją ciągłą w punkcie x0 (patrz twierdzenie o złożeniu funkcji ciągłych – wniosek6.4.6). W szczególności, z twierdzenia 6.4.3 mamy lim

x→x0f(x) = f(x0) = g(y0). Stąd

dostajemy tezę, gdyż dla x ∈ X \ {x0} mamy f(x) = f(x). �

Z twierdzenia 6.1.11 dostajemy natychmiast

Wniosek 6.4.8. Niech f1, ..., fn : X → R, gdzie X ⊂ R i n ∈ N będzie rodziną funkcji oraz niech x0 ∈ X.(a) Jeśli f1, ..., fn są funkcjami ciągłymi w punkcie x0, to max(f1, ..., fn) oraz min(f1, ..., fn) są funk-

cjami ciągłymi w punkcie x0.

(b) Jeśli f1, ..., fn są funkcjami ciągłymi, to max(f1, ..., fn) oraz min(f1, ..., fn) są funkcjami ciągłymi.

Twierdzenie 6.4.9. Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne ifunkcja x 7→ |x| są ciągłe. Ponadto ciągłe są wielomiany i funkcje wymierne.

Dowód. Z twierdzenia 6.4.3, wniosku 6.4.4 oraz z odpowiednich własności granicyfunkcji (patrz wniosek 6.1.9) dostajemy ciągłość funkcji potęgowych, wykładniczych, lo-garytmicznych, trygonometrycznych i funkcji x 7→ |x|. Druga część wynika z pierwszeji własności 6.4.5, gdyż wielomiany są sumami skończonej ilości jednomianów, a więc sąsumami funkcji ciągłych. Funkcje wymierne zaś są ilorazami wielomianów. �

Uwzględniając definicję zbioru otwartego w topologii indukowanej dostajemy

Twierdzenie 6.4.10. (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X → R,gdzie X ⊂ R. Następujące warunki są równoważne:

(a) f jest funkcją ciągłą.

(b) dla każdego zbioru otwartego W ⊂ R, zbiór f−1(W ) jest otwarty w X (16).

16to znaczy f−1(W ) = X ∩G, gdzie G ⊂ R jest zbiorem otwartym.

6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 135

Dowód. (a)⇒(b) Niech W ⊂ R będzie zbiorem otwartym. Przypomnijmy, żef−1(W ) = {x ∈ X : f(x) ∈ W}. Musimy pokazać, że ten zbiór jest otwarty w X.Jeśli W ∩ f(X) = ∅, to teza jest oczywista. Załóżmy, że W ∩ f(X) 6= ∅. Wówczas dlakażdego x ∈ X takiego, że f(x) ∈ W istnieje otoczenie Wx ⊂ W punktu f(x). Zatem ztwierdzenia 6.4.1 istnieje otoczenie Ux ⊂ R punktu x, że f(X ∩ Ux) ⊂ Wx. Połóżmy

G =⋃x ∈ X,f(x) ∈ W

Ux.

Zbiór G jest otwarty, jako suma zbiorów otwartych. Zauważmy, że

(6.8) f−1(W ) = X ∩G.

Istotnie,

f(X ∩G) = f(⋃x ∈ X,f(x) ∈ W

X ∩ Ux) =⋃x ∈ X,f(x) ∈ W

f(X ∩ Ux) ⊂⋃x ∈ X,f(x) ∈ W

Wx ⊂ W.

Zatem X ∩ G ⊂ f−1(W ). Z drugiej strony dla każdego x ∈ f−1(W ) mamy f(x) ∈ W ,więc x ∈ X ∩Ux ⊂ X ∩G. To daje, że f−1(W ) ⊂ X ∩G. Reasumując mamy (6.8), a więczbiór f−1(W ) jest otwarty w X, co daje (b).Ad. (b)⇒(a) Weźmy dowolny x0 ∈ X. Niech W będzie dowolnym otoczeniem punktu

f(x0). Z (b) mamy, że f−1(W ) jest zbiorem otwartym w X zawierającym x0. Zatemistnieje otoczenie U ⊂ R punktu x0, że X ∩U ⊂ f−1(W ). W konsekwencji f(X ∩U) ⊂ Wi z twierdzenia 6.4.1 dostajemy ciągłość funkcji f w punkcie x0. Z dowolności punktu x0mamy ciągłość funkcji f . To kończy dowód. �

Z powyższego twierdzenia dostajemy natychmiast topologiczną charakteryzację cią-głości funkcji określonej na zbiorze otwartym.

Wniosek 6.4.11. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R jest zbiorem otwartym. Następującewarunki są równoważne:


(b) dla każdego zbioru otwartego W ⊂ R, zbiór f−1(W ) jest otwarty.

Wniosek 6.4.12. (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X → R, gdzieX ⊂ R. Następujące warunki są równoważne:


(b) dla każdego zbioru domkniętego Y ⊂ R, zbiór f−1(Y ) jest domknięty w X (17).

Dowód. Ad. (a) ⇒ (b). Weźmy dowolny zbiór domknięty Y ⊂ R. Wówczas R \ Yjest zbiorem otwartym, więc z twierdzenia 6.4.10 mamy, że f−1(R \ Y ) jest otwarty w X.Ponadto

f−1(Y ) = X \ f−1(R \ Y ),17to znaczy f−1(Y ) = X ∩D, gdzie D ⊂ R jest zbiorem domkniętym.


więc f−1(Y ) jest zbiorem domkniętym w X.Ad. (b) ⇒ (a). Weźmy dowolny zbiór otwarty W ⊂ R. Wtedy Y = R \ W jest

domknięty, więc f−1(Y ) jest domknięty w X. Zatem f−1(W ) = X \ f−1(Y ) jest zbioremotwartym w X. Stąd i z twierdzenia 6.4.10 dostajemy ciągłość funkcji f . �

Wniosek 6.4.13. Jeśli X, Y ⊂ R są zbiorami domkniętymi oraz f : X → R jest funkcjąciągłą, to zbiór f−1(Y ) jest domknięty.

Dowód. Z wniosku 6.4.12 mamy, że f−1(Y ) jest zbiorem domkniętym, jako domkniętypodzbiór zbioru domkniętego X. �

Z topologicznej charakteryzacji ciągłości (twierdzenie 6.4.10) dostajemy natychmiast,że ciągłość jest własnością dziedziczną, to znaczy obcięcie funkcji zachowuje tę własność.

Wniosek 6.4.14. (o obcięciu funkcji ciągłej). Jeśli f : X → R, gdzie X ⊂ R, jestfunkcją ciągłą oraz Y ⊂ X, Y 6= ∅, to obcięcie f |Y : Y → R jest funkcją ciągłą.

6.5 Ciągłość i spójność

Głównym twierdzeniem tego punktu będzie twierdzenie o ciągłym obrazie zbioru spójnego,czyli tak zwana własność Darboux funkcji ciągłych. Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat 6.5.1. Jeśli P jest przedziałem oraz f : P → R jest funkcją ciągłą, to zbiórwartości f(P ) jest zbiorem jednoelementowym lub przedziałem.

Dowód. Załóżmy, że f(P ) nie jest zbiorem jednoelementowym. Pokażemy, że f(P )jest przedziałem. W myśl twierdzenia 4.9.27 wystarczy pokazać, że f(P ) jest zbioremspójnym. Przypuśćmy przeciwnie, że f(P ) nie jest spójny. Wtedy istnieją zbiory otwarteD,G ⊂ R, rozłączne i takie, że

f(P ) = (f(P ) ∩D) ∪ (f(P ) ∩G) oraz (f(P ) ∩D) 6= ∅ i (f(P ) ∩G) 6= ∅.

Zatem

(6.9) P = f−1(D) ∪ f−1(G), f−1(D) 6= ∅, f−1(G) 6= ∅ oraz f−1(D) ∩ f−1(G) = ∅.

Ponieważ zbioryD, G są otwarte, to z topologicznej charakteryzacji ciągłości 6.4.10 mamy,że f−1(D) i f−1(G) są zbiorami otwartymi w P . Zatem istnieją zbiory otwarte U,W ⊂ R,że f−1(D) = P ∩ U oraz f−1(G) = P ∩W .Niech a, b, a < b będą końcami przedziału P . Wówczas

(6.10) a 6∈ U ∩W oraz b 6∈ U ∩W.

Istotnie, pokażemy że a 6∈ U ∩W . W przeciwnym razie istnieje otoczenie V ⊂ R punktua, że V ⊂ U ∩W . Wtedy V ∩ P 6= ∅ oraz

V ∩ P ⊂ (P ∩ U) ∩ (P ∩W ) = f−1(D) ∩ f−1(G),

6.5. CIĄGŁOŚĆ I SPÓJNOŚĆ 137

co wobec (6.9) jest niemożliwe. Analogicznie pokazujemy, że b 6∈ U ∩W .Zauważmy, że istnieją zbiory otwarte U1,W1 ⊂ R takie, że

(6.11) U1 ∩W1 = ∅ oraz P ∩ U1 = P ∩ U, P ∩W1 = P ∩W.

Istotnie, wobec (6.10), mamy przypadki: a, b 6∈ U ; a 6∈ U i b 6∈ W ; a 6∈ W i b 6∈ U ;a, b 6∈ W . Jeśli a, b 6∈ U , to biorąc U1 = U ∩ (a, b), W1 = W , dostajemy P ∩ U1 = P ∩ U ,P ∩W1 = P ∩W oraz U1 ⊂ P , a więc z (6.9),

U1 ∩W1 = P ∩ U1 ∩W1 = (P ∩ U) ∩ (P ∩W ) = ∅.

To daje (6.11) w tym przypadku. Jeśli a 6∈ U i b 6∈ W , to biorąc U1 = U ∩ (a,+∞),W1 = W ∩ (−∞, b), dostajemy (6.11). Analogicznie rozważamy przypadki a, b 6∈ W oraza 6∈ W i b 6∈ U .Z (6.9) i (6.11) dostajemy P = (P ∩ U1) ∪ (P ∩ W1), U1 ∩ W1 = ∅, P ∩ U1 6= ∅ i

P ∩W1 6= ∅ oraz U1, W1 są zbiorami otwartymi w R. To przeczy spójności przedziału Pi kończy dowód. �

Twierdzenie 6.5.2. (własność Darboux). Niech X ⊂ R oraz f : X → R będziefunkcją ciągłą. Jeśli Y ⊂ X i Y jest zbiorem spójnym, to obraz f(Y ) jest zbiorem spójnym.

Dowód. Z twierdzenia 4.9.27 mamy, że Y jest albo zbiorem jednoelementowym albojest przedziałem. Jeśli Y jest jednoelementowy, to f(Y ) jest zbiorem jednoelementowym,a więc zbiorem spójnym. Jeśli Y jest przedziałem, to teza wynika z twierdzenia o obcięciufunkcji ciągłej (wniosek 6.4.14) i z lematu 6.5.1. �

Z lematu 6.5.1 dostajemy inne sformułowanie własności Darboux.

Wniosek 6.5.3. (własność Darboux). Niech P będzie przedziałem oraz f : P → R –funkcją ciągłą. Niech a, b ∈ P , a < b oraz c ∈ R.(a) Jeśli f(a) < c < f(b), to istnieje x ∈ P taki, że a < x < b oraz f(x) = c.(b) Jeśli f(b) < c < f(a), to istnieje x ∈ P taki, że a < x < b oraz f(x) = c.

Dowód. Ad. (a) Ponieważ f |[a,b] : [a, b]→ R jest funkcją ciągłą, która nie jest funkcjąstałą (bo f(a) < f(b)), więc z lematu 6.5.1 mamy, że f([a, b]) jest przedziałem. Zatemc ∈ [f(a), f(b)] ⊂ f([a, b]), więc istnieje x ∈ [a, b], że f(x) = c. Ponieważ c 6= f(a) ic 6= f(b), więc x 6= a i x 6= b. To daje (a).Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a). �

Z wniosku 6.5.3 dostajemy natychmiast

Wniosek 6.5.4. Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą taką, że f(a) < 0 < f(b) lubf(a) > 0 > f(b), to istnieje x0 ∈ (a, b), że f(x0) = 0.

Z powyższego wniosku dostajemy natychmiast

Wniosek 6.5.5. Jeśli f : R → R jest wielomianem nieparzystego stopnia, to istniejex0 ∈ R, że f(x0) = 0.


Twierdzenie 6.5.6. Jeśli P jest przedziałem i f : P → R – funkcją różnowartościową iciągłą, to f jest funkcją ściśle monotoniczną.

Dowód. Rozważmy najpierw przypadek, gdy P = [a, b]. Ponieważ f jest funkcjąróżnowartościową, więc f(a) 6= f(b). Załóżmy najpierw, że f(a) < f(b). Pokażemy, żewtedy f jest funkcją ściśle rosnącą. Zauważmy najpierw, że

(6.12) f(a) < f(x) dla x ∈ (a, b].

Istotnie, weźmy dowolny x ∈ (a, b]. Jeśli f(x) 6 f(a), to wobec różnowartościowościfunkcji f mamy f(x) < f(a), więc f(x) < f(a) < f(b). Stąd i z własności Darboux 6.5.3istnieje x′ ∈ (x, b), że f(x′) = f(a), co przeczy różnowartościowości f . Reasumując mamy(6.12).Przypuśćmy teraz przeciwnie, że f nie jest funkcją ściśle rosnącą. Wtedy istnieją

x1, x2 ∈ [a, b], że x1 < x2 oraz f(x1) > f(x2). Z różnowartościowości f mamy więcf(x1) > f(x2). Stąd i z (6.12) wynika, że f(a) < f(x2) < f(x1). Zatem z własności Dar-boux, istnieje x ∈ (a, x1) takie, że f(x) = f(x2) i oczywiście x 6= x2. To jest sprzeczne zróżnowartościowością funkcji f . Otrzymana sprzeczność kończy dowód w przypadku, gdyf(a) < f(b).Przypadek f(a) > f(b) rozważa się analogicznie jak powyżej udowodniony.Niech teraz P będzie dowolnym przedziałem. Przypuśćmy przeciwnie, że f nie jest

funkcją ściśle monotoniczną. Wtedy istnieją x1, x2, x3, x4 ∈ P , że x1 < x2 i x3 < x4oraz f(x1) 6 f(x2) i f(x3) > f(x4). Oznaczając a′ = min{x1, x2, x3, x4} oraz b′ =max{x1, x2, x3, x4} mamy [a′, b′] ⊂ P . Ponadto f |[a′,b′] : [a′, b′] → R jest funkcją róż-nowartościową i ciągłą, która nie jest ściśle monotoniczna. To przeczy przypadkowi udo-wodnionemu na początku i kończy dowód. �

Twierdzenie 6.5.7. Jeśli P , Q są przedziałami oraz f : P → Q jest bijekcją monoto-niczną, to f jest funkcją ciągłą.

Dowód. Załóżmy najpierw, że f jest funkcją rosnącą. Przypuśćmy przeciwnie, żeistnieje x0 ∈ P w którym funkcja f nie jest ciągła. Ponieważ f jest funkcją rosnącą, to

f(x0) < limx→x+0

f(x) lub limx→x−0

f(x) < f(x0),

przy czym odpowiednie granice jednostronne istnieją i są skończone (jeśli x0 jest końcemprzedziału, to można mówić o jednej z powyższych granic). Rozważmy przypadek, gdyf(x0) < lim

x→x+0f(x). Oznaczmy a = lim

x→x+0f(x) i niech f(x0) < b < a. Ponieważ funkcja f

jest rosnąca, to dla x ∈ P mamy a < f(x) gdy x > x0 i f(x) 6 f(x0) < b gdy x 6 x0.Stąd i z założenia, że f jest bijekcją, mamy

Q = f(P ) = (f(P ) ∩ (−∞, b)) ∪ (f(P ) ∩ (a,+∞)) = (Q ∩ (−∞, b)) ∪ (Q ∩ (a,+∞)),

przy czym Q∩ (−∞, b) 6= ∅ i Q∩ (a,+∞) 6= ∅. Dostaliśmy więc sprzeczność ze spójnościąprzedziału Q. Przypadek lim

x→x−0f(x) < f(x0) rozważamy analogicznie.

W przypadku funkcji malejącej dowód przebiega analogicznie. �

Z twierdzenia 6.5.7 dostajemy natychmiast

6.6. RODZAJE NIECIĄGŁOŚCI 139

Wniosek 6.5.8. Każda funkcja f : (a, b) → R różnowartościowa i spełniająca własnośćDarboux (tzn. dla każdego przedziału P ⊂ (a, b), obraz f(P ) jest przedziałem) jest ciągła.

6.6 Rodzaje nieciągłości

Definicja nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju. Niech f : X → R, gdzieX ⊂ R,Punkt x0 ∈ X w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości

funkcji f .Mówimy, że f ma nieciągłość pierwszego rodzaju w punkcie x0, gdy x0 jest punktem

nieciągłości funkcji f oraz f ma skończone granice jednostronne w punkcie x0.Mówimy, że f ma nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie x0, gdy x0 jest punktem

nieciągłości funkcji f oraz co najmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f w punkciex nie istnieje lub jest nieskończona.

Udowodnimy, że każda funkcja monotoniczna w przedziale może mieć tylko nieciągło-ści pierwszego rodzaju. Ponadto zbiór punktów nieciągłości takiej funkcji może być conajwyżej przeliczalny. Zacznijmy od lematu.

Lemat 6.6.1. Niech f : (a, b)→ R oraz niech x1, x2 ∈ (a, b) będą takie, że x1 < x2.

(a) Jeśli f jest funkcją rosnącą, to

(6.13) limx→x−1

f(x) 6 f(x1) 6 limx→x+1

f(x) 6 limx→x−2

f(x) 6 f(x2) 6 limx→x+2

f(x).

(b) Jeśli f jest funkcją malejącą, to

(6.14) limx→x−1

f(x) > f(x1) > limx→x+1

f(x) > limx→x−2

f(x) > f(x2) > limx→x+2

f(x).

Dowód. Ad. (a) Ponieważ funkcja f jest rosnąca, więc dla x ∈ (a, b) takich, że x < x1mamy f(x) 6 f(x1). Zatem z twierdzenia o granicach dwóch funkcji 6.1.5 i twierdzeniao granicach jednostronnych funkcji monotonicznych 6.2.3 dostajemy lim

x→x−1f(x) 6 f(x1).

Analogicznie dowodzimy limx→x+1

f(x) > f(x1), limx→x−2

f(x) 6 f(x2) oraz limx→x+2

f(x) > f(x2).

Ponadto, biorąc dowolny x1 < x′ < x2 dostajemy limx→x+1

f(x) 6 f(x′) oraz f(x′) 6

limx→x−2

f(x). Reasumując mamy (6.13).

Analogicznie dowodzimy (b) (18). �

Wniosek 6.6.2. Funkcje monotoniczne w przedziale otwartym nie mają nieciągłości dru-giego rodzaju w żadnym punkcie.

18Część (b) można wywnioskować z (a), jeśli bowiem f jest funkcją malejącą, to funkcja g(x) = −f(x)dla x ∈ (a, b) jest rosnąca, więc (6.14) dostajemy natychmiast z (6.13).


Dowód. Niech f : (a, b)→ R bądzie funkcją rosnącą oraz x0 ∈ (a, b). Weźmy dowolnex′, x′′ ∈ (a, b) takie, że x′ < x0 < x′′. Z założenia, że f jest funkcją rosnącą i z lematu6.6.1 mamy, że

f(x′) 6 limx→x−0

f(x) 6 f(x′′) oraz f(x′) 6 limx→x+0

f(x) 6 f(x′′).

W konsekwencji granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 są skończone, więc f możew punkcie x0 być funkcją ciągłą lub mieć nieciągłość pierwszego rodzaju.Analogicznie rozważamy przypadek, gdy f jest funkcją malejącą. �

Wniosek 6.6.3. Jeśli f : (a, b)→ R jest funkcją monotoniczną, to zbiór punktów niecią-głości funkcji f jest co najwyżej przeliczalny.

Dowód. Rozważmy przypadek, gdy f jest funkcją rosnącą. Niech Z ⊂ (a, b) będziezbiorem punktów nieciągłości funkcji f . Niech dla każdego z ∈ Z, az = lim

x→z−f(x) oraz

bz = limx→z+

f(x). W myśl lematu 6.6.1 i związku ciągłości z granicą (patrz twierdzenia

6.2.2, 6.4.3) mamy az < bz dla z ∈ Z. Ponadto, wobec lematu 6.6.1 dla z, w ∈ Z takich,że z < w mamy bz 6 aw i w konsekwencji Z = {(az, bz) : z ∈ Z} jest rodziną przedziałówparami rozłącznych. Stąd i z wniosku 2.6.16 dostajemy, że Z jest zbiorem co najwyżejprzeliczalnym. Oczywiście Z jest równoliczny z Z. To daje, że Z jest zbiorem co najwyżejprzeliczalnym.Analogicznie rozważamy przypadek, gdy f jest funkcją malejącą. �

Ciągłość lewostronna i prawostronnaW analizie rozważa się pojęcie ciągłości lewostronnej i prawostronnej.

Definicja ciągłości lewostronnej i prawostronnej. Niech f : (a, b)→ R oraz x0 ∈ (a, b).Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0, gdy lim

x→x−0f(x) = f(x0). Mówimy, że

funkcja f jest lewostronnie ciągła, gdy jest lewostronnie ciągła w każdym punkcie zbioru (a, b).Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0, gdy lim

x→x+0f(x) = f(x0). Mówimy, że

funkcja f jest prawostronnie ciągła, gdy jest prawostronnie ciągła w każdym punkcie zbioru (a, b).

Uwaga 6.6.4. Łatwo sprawdzamy, że funkcja f : (a, b) → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a, b) wtedy itylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła w punkcie x0. Analogicznie funkcja f jest ciągławtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła.

Uwaga 6.6.5. W analizie rozważa się również lewostronną nieciągłość pierwszego i drugiego rodzaju.Mianowicie mówimy, że funkcja f : (a, b) → R ma w punkcie x0 ∈ (a, b) lewostronną nieciągłość pierw-szego rodzaju, gdy jest lewostronnie nieciągła w punkcie x0 oraz lim

x→x−0f(x) istnieje i jest skończona. Jeśli

granica limx→x−0

f(x) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy o lewostronnej nieciągłości drugiego

rodzaju. Analogicznie wprowadza się dwa rodzaje prawostronnej nieciągłości.

PółciągłośćW analizie rozważa się funkcje półciągłe z góry i półciągłe z dołu.

Definicja granicy górnej i dolnej funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niechx0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X.

6.6. RODZAJE NIECIĄGŁOŚCI 141

Granicą dolną funkcji f w punkcie x0 nazywamy element g ∈ R określony wzorem

g = sup{inf{f(x) : x ∈ X ∧ 0 < |x− x0| < δ} : δ > 0},

który oznaczamy lim infx→x0

f(x).

Granicą górną funkcji f w punkcie x0 nazywamy element g ∈ R określony wzorem

g = inf{sup{f(x) : x ∈ X ∧ 0 < |x− x0| < δ} : δ > 0},

który oznaczamy lim supx→x0

f(x).

Uwaga 6.6.6. Niech f : X → R, X ⊂ R oraz x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Z definicjiwynika, że granice dolna i górna funkcji f w punkcie x0 istnieją. Ponadto funkcja f ma granicę g ∈ R wpunkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy g =lim inf

x→x0f(x) =lim sup

x→x0f(x).

Uwaga 6.6.7. Niech f : X → R, X ⊂ R oraz x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Niech Ebędzie zbiorem wszystkich elementów q ∈ R takich, że dla pewnego ciągu (xn)∞n=1 ⊂ X \ {x0} takiego, żelimn→∞

xn = x0, zachodzi q = limn→∞

f(xn). Można pokazać, że

lim infx→x0

f(x) = inf E, lim supx→x0

f(x) = supE.

Definicja funkcji półciągłej z dołu i z góry. Niech f : X → R, X ⊂ R.Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x0 ∈ X, gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru

X lub x0 jest punktem skupienia zbioru X i

lim infx→x0

f(x) > f(x0).

Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu, gdy f jest półciągła z dołu w każdym punkcie x ∈ X.Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x0 ∈ X, gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru

X lub x0 jest punktem skupienia zbioru X i

lim supx→x0

f(x) 6 f(x0).

Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry, gdy f jest półciągła z dołu w każdym punkcie x ∈ X.

Uwaga 6.6.8. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R. Z definicji granicy dolnej i górnej funkcji dostajemy:

(a) Funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego A < f(x0) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x ∈ X, |x− x0| < δ zachodzi A < f(x).W szczególności funkcja f jest półciągła z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego A ∈ R zbiór {x ∈ X : f(x) > A} jest otwarty w X.

(b) Funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego B > f(x0) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x ∈ X, |x− x0| < δ zachodzi B > f(x).W szczególności funkcja f jest półciągła z góry wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego B ∈ R zbiór {x ∈ X : f(x) < B} jest otwarty w X.

Uwaga 6.6.9. Niech f : X → R, X ⊂ R. Wówczas funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylkowtedy, gdy w punkcie x0 jest półciągła z dołu i z góry.


6.7 Jednostajna ciągłość i zwartość

Definicja funkcji jednostajnie ciągłej. Mówimy, że funkcja f : X → R, gdzie X ⊂ R,jest jednostajnie ciągła, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla dowolnych x1, x2 ∈ Xtakich, że |x1 − x2| < δ zachodzi |f(x1)− f(x2)| < ε.

Wprost z definicji mamy

Własność 6.7.1. Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Twierdzenie 6.7.2. (warunek Heinego ciągłości jednostajnej). Niech f : X → R,gdzie X ⊂ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) f jest funkcją jednostajnie ciągłą,(b) dla dowolnych ciągów (xn)∞n=1, (x

′n)∞n=1 ⊂ X takich, że limn→∞ (xn−x

′n) = 0 zachodzi

(6.15) limn→∞(f(xn)− f(x′n)) = 0.

Dowód. (a)⇒(b). Niech ciągi (xn)∞n=1, (x′n)∞n=1 ⊂ X będą takie, że limn→∞ (xn−x′n) = 0.

Pokażemy, że zachodzi (6.15). Weźmy dowolne ε > 0 i niech wobec jednostajnej ciągłościfunkcji f , δ > 0 będzie takie, że dla dowolnych x, x′ ∈ X spełniających |x − x′| < δ,zachodzi |f(x) − f(x′)| < ε. Ponieważ lim

n→∞(xn − x′n) = 0, to istnieje N takie, że dla

n > N zachodzi |xn − x′n| < δ. Zatem dla n > N mamy |f(xn) − f(x′n)| < ε. To daje(6.15).(b)⇒(a). Przypuśćmy przeciwnie, że funkcja f nie jest jednostajnie ciągła. Wówczas

istnieje ε0 > 0 takie, że dla każdego δ > 0 istnieją x, x′ ∈ X dla których |x − x′| < δ i|f(x) − f(x′)| > ε0. W szczególności dla każdego n ∈ N oraz δ = 1

nistnieją xn, x′n ∈ X

takie, że

|xn − x′n| <1n

i |f(xn)− f(x′n)| > ε0 (19).

W konsekwencji limn→∞

(xn − x′n) = 0 lecz (6.15) nie zachodzi. To przeczy (b) i kończydowód. �

Przy dodatkowym założeniu zwartości dziedziny funkcji zachodzi twierdzenie odwrotnedo własności 6.7.1.

Twierdzenie 6.7.3. (o funkcji ciągłej na zbiorze zwartym). Jeśli funkcja f : X →R, gdzie X ⊂ R, jest ciągła i X jest zbiorem zwartym, to funkcja f jest jednostajnieciągła.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że funkcja f nie jest jednostajnie ciągła. Wówczasz twierdzenia 6.7.2, istnieją ciągi (xn)∞n=1, (x

′n)∞n=1 ⊂ X takie, że limn→∞ (xn − x

′n) = 0 oraz

granica limn→∞[f(xn)− f(x′n)] nie istnieje lub jest różna od 0. Zatem, wybierając podciągi,

możemy założyć, że

(6.16) limn→∞(xn − x′n) = 0 oraz lim

n→∞[f(xn)− f(x′n)] = g, gdzie g 6= 0.

6.7. JEDNOSTAJNA CIĄGŁOŚĆ I ZWARTOŚĆ 143

Ponieważ X jest zbiorem zwartym, więc istnieje podciąg (xnk)∞k=1 ciągu (xn)

∞n=1, zbieżny

do pewnego x0 ∈ X. Wówczas mamy

limk→∞x′nk = x0,

gdyż limk→∞(xnk−x′nk) = limk→∞ (xn−x

′n) = 0. Stąd i z ciągłości funkcji f w punkcie x0 mamy

limk→∞f(xnk) = f(x0) = lim

k→∞f(x′nk), więc

limk→∞[f(xnk)− f(x′nk)] = 0.

To jest jednak sprzeczne z drugą częścią (6.16). Otrzymana sprzeczność kończy dowód. �

Wniosek 6.7.4. Jeśli f : [a,+∞)→ R jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granicęw +∞, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Dowód. Niech g = limx→+∞

f(x). Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje η ∈ R, η > a,że

(6.17) dla każdego x > η zachodzi |f(x)− g| < ε4.

Ponieważ przedział domknięty jest zbiorem zwartym, więc w myśl twierdzenia 6.7.3, ob-cięcie f |[a,η] : [a, η]→ R jest funkcją jednostajnie ciągłą. Zatem istnieje δ > 0, że

(6.18) dla każdych x′, x′′ ∈ [a, η] takich, że |x′ − x′′| < δ zachodzi |f(x′)− f(x′′)| < ε2.

Weźmy dowolne x1, x2 ∈ [a,+∞) takie, że |x1 − x2| < δ. Jeśli x1, x2 ∈ [a, η], to z (6.18)mamy

(6.19) |f(x1)− f(x2)| <ε

2< ε.

Jeśli x1, x2 > η, to z (6.17) wynika, że

(6.20) |f(x1)− f(x2)| 6 |f(x1)− g|+ |g − f(x2)| <ε

4+ε

4=ε

2< ε.

Jeśli x1 6 η 6 x2, to x1 ∈ [a, η], x2 ∈ [η,+∞) i |x1 − η| < δ, więc z (6.18) i (6.20)dostajemy

(6.21) |f(x1)− f(x2)| 6 |f(x1)− f(η)|+ |f(η)− f(x2)| <ε

2+ε

2= ε.

Analogicznie pokazujemy (6.21), gdy x2 6 η 6 x1, Reasumując, z (6.19), (6.20) i (6.21)dostajemy, że f jest funkcją jednostajnie ciągłą. �

Uwaga 6.7.5. Analogicznie jak wniosku 6.7.4 dowodzimy następujących własności:

(a) Jeśli f : (−∞, a] → R jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granicę w −∞,to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.

(b) Jeśli f : R→ R jest funkcją ciągłą posiadającą skończone granice w −∞ i w +∞,to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.


Udowodnimy kilka związków między ciągłością funkcji i zwartością dziedziny.

Twierdzenie 6.7.6. Niech X ⊂ R, X 6= ∅ będzie zbiorem zwartym. Jeśli f : X → R jestfunkcją ciągłą, to f(X) jest zbiorem zwartym.

Dowód. Weźmy dowolny ciąg (yn)∞n=1 ⊂ f(X). Niech (xn)∞n=1 ⊂ X będzie ciągiemtakim, że f(xn) = yn dla n ∈ N (20). Ponieważ zbiór X jest zwarty, więc istnieje podciąg(xnk)

∞k=1 ciągu (xn)

∞n=1 zbieżny do pewnego punktu x0 ∈ X. Stąd i z ciągłości funkcji f

dostajemylimk→∞ynk = lim

k→∞f(xnk) = f(x0) ∈ f(X).

Reasumując zbiór f(X) jest zwarty. �

Z twierdzenia 6.7.6 i własności zbiorów zwartych (patrz wniosek 4.9.22) dostajemynatychmiast

Wniosek 6.7.7. Niech X ⊂ R, X 6= ∅ będzie zbiorem zwartym. Jeśli f : X → R jestfunkcją ciągłą, to istnieją min f(X) oraz max f(X). Inaczej funkcją ciągła na zbiorzezwartym osiąga wartość najmniejszą i największą.

Ponieważ każdy przedział domknięty jest zbiorem zwartym (jako zbiór domknięty iograniczony), więc z wniosku 6.7.7 wynika

Wniosek 6.7.8. Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, to istnieje min f([a, b]) orazmax f([a, b]).

Definicja homeomorfizmu. Niech X, Y ⊂ R, X 6= ∅, Y 6= ∅. Funkcję f : X → Ynazywamy homeomorfizmem, gdy f jest bijekcją ciągłą i f−1 : Y → X jest funkcją ciągłą.

Twierdzenie 6.7.9. Niech X, Y ⊂ R, X 6= ∅, Y 6= ∅ oraz niech f : X → Y będzie bijek-cją. Jeśli f jest funkcją ciągłą oraz X jest zbiorem zwartym, to f jest homeomorfizmem.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że f−1 : Y → X nie jest ciągła. Wówczas istniejepunkt y0, w którym f−1 jest nieciągła. Zatem y0 jest punktem skupienia zbioru Y orazistnieje ciąg (yn)∞n=1 ⊂ Y taki, że limn→∞ yn = y0 oraz limn→∞ f

−1(yn) nie istnieje lub jest różnaod x0 = f−1(y0). Oznaczmy xn = f−1(yn) dla n ∈ N. W obu przypadkach po ewentualnymwyborze podciągu można założyć, że lim

n→∞xn = x′, gdzie x′ ∈ R, x′ 6= x0. Ponieważ zbiór

X jest zwarty, więc x′ ∈ X. Z ciągłości funkcji f w punkcie x′ mamy

f(x′) = limn→∞f(xn) = lim

n→∞f(f−1(yn)) = lim

n→∞yn = y0,

czyli f(x′) = y0. To jest jednak niemożliwe, gdyż f jest funkcją różnowartościową, więcf(x′) 6= f(x0) = y0. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. �

Definicja warunku Lipschitza. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R. Mówimy, że funkcjaf spełnia warunek Lipschitza, gdy istnieje stała M ∈ R taka, że dla każdych x, x′ ∈ Xzachodzi |f(x)− f(x′)| 6M |x− x′|.20Istnienie takiego ciągu (xn)∞n=1 wynika z aksjomatu wyboru. Mianowicie biorąc rodziną zbiorówniepustych i rozłącznych f−1(yn) × {n}, n ∈ N, w myśl aksjomatu wyboru istnieje zbiór E mającydokładnie jeden punkt wspólny z każdym zbiorem f−1(yn) × {n}, n ∈ N. Oznaczając przez (xn, n),jedyny punkt wspólny zbioru E i f−1(yn)× {n} dostajemy szukany ciąg (xn)∞n=1.

6.8. LICZBA π 145

Wniosek 6.7.10. Jeśli funkcja f : X → R, gdzie X ⊂ R, spełnia warunek Lipschitza, tof jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Dowód. Niech M ∈ R, M > 0, będzie taka, że dla dowolnych x, x′ ∈ X zachodzi|f(x)−f(x′)| 6M |x−x′|. Bez zmniejszenia ogólności rozważań można założyć, żeM > 0.Wówczas dla każdego ε > 0 biorąc δ = ε

M, dostajemy, że δ > 0 oraz dla dowolnych

x, x′ ∈ X takich, że |x− x′| < δ zachodzi

|f(x)− f(x′)| 6M |x− x′| < Mδ = ε.

To daje jednostajną ciągłość funkcji f i kończy dowód. �

Wniosek 6.7.11. Dla dowolnych x, y ∈ R mamy

(6.22) | sin x− sin y| 6 |x− y| oraz | cosx− cos y| 6 |x− y|.

W szczególności funkcje sin i cos są jednostajnie ciągłe.

Dowód. Z wniosku 5.10.4(d) i (a) mamy

(6.23) | sin x− sin y| = 2∣∣∣∣sin ∣∣∣∣x− y2

∣∣∣∣ cos x+ y2∣∣∣∣ 6 2 ∣∣∣∣sin ∣∣∣∣x− y2

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Jeśli

∣∣∣x−y2 ∣∣∣ 6 1, to z twierdzenia 5.10.5 (wzór (5.17)) dostajemy(6.24) 2

∣∣∣∣sin ∣∣∣∣x− y2∣∣∣∣∣∣∣∣ 6 2 ∣∣∣∣x− y2

∣∣∣∣ = |x− y|.Jeśli

∣∣∣x−y2 ∣∣∣ > 1, to nierówność (6.24) jest oczywista. Reasumując z (6.23) i (6.24) dostajemypierwszą część (6.22). Drugą część dowodzi się analogicznie. Z (6.22) i wniosku 6.7.10dostajemy jednostajną ciągłość funkcji sin i cos. �

6.8 Liczba π

Lemat 6.8.1. Istnieje x0 ∈ (1, 2) takie, że cosx0 = 0 oraz cosx > 0 dla x ∈ [0, x0).

Dowód. Z twierdzenia 5.10.3(a) mamy cos 0 = 1, więc z wniosku 5.10.7 dostajemy

(6.25) cos x > 0 dla x ∈ [0, 1] oraz cos 2 < 0.

Ponieważ cos jest funkcją ciągłą (patrz twierdzenie 6.4.9), więc z własności Darboux(wniosek 6.5.3 lub 6.5.4) istnieje x ∈ (1, 2) taki, że cos x = 0. Stąd i z nierówności (6.25)wynika, że zbiór Z = {x ∈ [1, 2] : cos x = 0} jest niepusty i ograniczony. Z własności6.4.13 mamy, że Z jest zbiorem domkniętym. W konsekwencji Z jest zbiorem zwartym,jako zbiór domknięty i ograniczony (patrz twierdzenie 4.9.21). Zatem minZ ∈ Z (patrzwniosek 4.9.22). Oznaczmy x0 = minZ. Wtedy 1 < x0 < 2 oraz z (6.25) i własnościDarboux dostajemy cosx > 0 dla x ∈ [0, x0). To daje tezę. �


W świetle lematu 6.8.1, poniższa definicja jest poprawna.Definicja liczby π. Symbolem π oznaczamy liczbę dodatnią spełniającą warunki:

(i) cos x 6= 0 dla x ∈ [0, π2 ),(ii) cos π2 = 0.

Lemat 6.8.2. Dla x ∈ (0, π2 ) mamy cosx > 0 oraz sin x > 0, ponadto sinπ2 = 1.

Dowód. Z lematu 6.8.1 mamy cosx > 0 dla x ∈ (0, π2 ). Ponadto 1 <π2 < 2, więc

dla x ∈ (0, π2 ] mamyx2 ∈ (0, 1), więc sin

x2 > 0 oraz cos

x2 > 0 (patrz wniosek 5.10.7).

Zatem sinx = 2 sin x2 cosx2 > 0. W szczególności sin

π2 > 0. Stąd, ponieważ cos

π2 = 0 oraz

sin2 π2 + cos2 π2 = 1, więc sin

π2 = 1. �

Twierdzenie 6.8.3. (wzory redukcyjne). Dla każdego x ∈ R mamy:

(a) cos(π2 − x) = sin x, sin(π2 − x) = cosx,(b) cos(π2 + x) = − sin x, sin(π2 + x) = cosx,

(c) cos(π − x) = − cosx, sin(π − x) = sinx,(d) cos(π + x) = − cosx, sin(π + x) = − sin x,(e) cos(x+ 2kπ) = cosx, sin(x+ 2kπ) = sinx, gdzie k ∈ Z.

Dowód. Ad. (a) Ponieważ cos π2 = 0 oraz sinπ2 = 1 (patrz lemat 6.8.2), więc cos(

π2 −

x) = cos π2 cosx+sinπ2 sin x = sinx (patrz twierdzenie 5.10.3(c)). Analogicznie dowodzimy

drugą część (a).Część (b) wynika z (a) i własności sin(−x) = − sin x oraz cos(−x) = cosx.Ad. (c) Z (a) mamy cos(π−x) = cos(π2−(x−

π2 )) = sin(x−

π2 ) = − sin(

π2−x) = − cosx.

Analogicznie dowodzimy drugą część (c).Część (d) wynika z (c).Ad. (e) Z (d) mamy cos(x + 2π) = − cos(π + x) = cosx. Stąd, łatwo indukcyjnie

dostajemy pierwszą część (e). Analogicznie dowodzimy drugą część (e). �

Z lematu 6.8.2 i wzorów redukcyjnych (twierdzenie 6.8.3) dostajemy

Wniosek 6.8.4. Niech k ∈ Z. Wówczas:

(a) Dla każdego x ∈ (2kπ, π2 + 2kπ) mamy cosx > 0 i sin x > 0,(b) Dla każdego x ∈ (π2 + 2kπ, π + 2kπ) mamy cosx < 0 i sin x > 0,(c) Dla każdego x ∈ (π + 2kπ, 32π + 2kπ) mamy cosx < 0 i sin x < 0,(d) Dla każdego x ∈ (32π + 2kπ, 2π + 2kπ) mamy cosx > 0 i sin x < 0.

Dowód. Część (a) wnika natychmiast z lematu 6.8.2 i twierdzenia 6.8.3(e). Udowod-nimy (b). Dla każdego x ∈ (π2 + 2kπ, π + 2kπ), istnieje y ∈ (2kπ,

π2 + 2kπ), że x =

π2 + y,

więc z (a) i twierdzenia 6.8.3(b) mamy cos x = − sin y < 0 oraz sin x = cos y > 0. To daje(b). Analogicznie dowodzimy pozostałe części wniosku. �

6.8. LICZBA π 147

Wniosek 6.8.5. Zachodzą następujące:

(a) cos x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = π2 + kπ.

(b) sinx = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = kπ.

Dowód. Dla k ∈ Z, ze wzorów redukcyjnych (twierdzenie 6.8.3) i lematu 6.8.2 dosta-jemy

(6.26) cos 2kπ = 1, sin(π

2+ 2kπ) = 1,

(6.27) cos(π

2+ kπ) = 0, sin kπ = 0,

(6.28) cos(π + 2kπ) = −1, sin(−π2+ 2kπ) = −1.

Z wniosku 6.8.4 wynika, że jeśli cosx = 0, to x = k π2 dla pewnego k ∈ Z. Stąd, z (6.26),(6.27) i (6.26) dostajemy implikację prostą w (a). Analogicznie dowodzimy implikacjęprostą w (b). Z (6.27) wynikają implikacje odwrotne w (a) i (b). �

Wniosek 6.8.6. Dla dowolnych x, y ∈ R mamy:

(a) cosx = cos y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x− y = 2kπ lub x+ y = 2kπ.

(b) sinx = sin y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x−y = 2kπ lub x+y = π+2kπ.

Dowód. Ad. (a) Ponieważ

cosx− cos y = −2 sin x− y2sinx+ y2,

więc równość cos x = cos y jest równoważna alternatywie równości sin x−y2 = 0 lubsin x+y2 = 0. To, w myśl wniosku 6.8.5(b), jest równoważne temu, że istnieje k ∈ Z,że x−y2 = kπ lub

x+y2 = kπ. To daje (a).

Część (b) dowodzimy analogicznie. �

Uwaga 6.8.7. Analogicznie jak we wniosku 6.8.5 dostajemy

(a) sin x = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = π2 + 2kπ.

(b) cos x = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = 2kπ.

(c) sinx = −1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = 3π2 + 2kπ.

(d) cos x = −1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = π + 2kπ.


Uwaga 6.8.8. Funkcje trygonometryczne sin i cos można wprowadzić aksjomatycznie.Mianowicie można pokazać, że następujące własności jednoznacznie charakteryzują funk-cje sin i cos i liczbę π:

1. sin2 x+ cos2 x = 1 dla x ∈ R,

2. sin(x+y) = sin x cos y+cosx sin y oraz cos(x+y) = cosx cos y−sin x sin y dlax, y ∈ R,

3. sin x > 0, cosx > 0 oraz sin x < x < sinxcosx dla x ∈ (0,π2 ),

4. sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin π2 = 1, cosπ2 = 0.

Wprowadzone przez nas funkcje trygonometryczne spełniają powyższe własności. Wła-sności 1. 2. i 4. udowodniliśmy wcześniej. Nierówność sin x < x dla x ∈ (0, π2 ) dowodzimyanalogicznie jak we wniosku 6.7.11. Pozostaje udowodnić nierówność x cosx < sin x dlax ∈ (0, π2 ). Istotnie dla x ∈ (0,

π2 ) mamy y =

x2 ∈ (0, 1), więc z twierdzenia 5.10.5(wzór

(5.18)) mamy

x cosx = 2y(cos2 y − sin2 y) < 2y cos2 y < 2 sin y cos y = sin 2y = sinx.

Ze wzorów redukcyjnych (twierdzenie 5.18) i wniosku 6.8.4 dostajemy natychmiast

Wniosek 6.8.9. Dla każdego x ∈ R oraz k ∈ Z mamy:

(a) tg (π2 − x) = ctgx, gdy sin x 6= 0 oraz ctg (π2 − x) = tgx, gdy cosx 6= 0,

(b) tg (π2 +x) = − ctgx, gdy sin x 6= 0 oraz ctg (π2 +x) = − tgx, gdy cosx 6= 0,

(c) tg (x+ kπ) = tgx, gdy cosx 6= 0 oraz ctg (x+ kπ) = ctgx, gdy sin x 6= 0.

Z wniosku 6.8.5 dostajemy natychmiast

Wniosek 6.8.10. Dla dowolnego x ∈ R mamy:

(a) Jeśli cosx 6= 0, totgx = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = kπ.

(b) Jeśli sin x 6= 0, toctgx = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x = π2 + kπ.

Wniosek 6.8.11. Dla dowolnych x, y ∈ R mamy:

(a) Jeśli cosx 6= 0 i cos y 6= 0, totgx = tg y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x− y = kπ.

(b) Jeśli sin x 6= 0 i sin y 6= 0, toctgx = ctg y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ Z, że x− y = kπ.

Dowód. Ad. (a) Równość tgx = tg y jest równoważna sinx cos y − cosx sin y =0, czyli sin(x − y) = 0. To, wraz z wnioskiem 6.8.5(b) daje (a). Część (b) dowodzimyanalogicznie. �

6.9. FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE 149

6.9 Funkcje cyklometryczne

Lemat 6.9.1. Zachodzą następujące:

(a) Funkcja f : [0, π]→ [−1, 1] określona wzorem f(x) = cosx jest homeomorfizmem.

(b) Funkcja g : [−π2 ,π2 ]→ [−1, 1] określona wzorem g(x) = sinx jest homeomorfizmem.

(c) Funkcja u : (−π2 ,π2 )→ R określona wzorem u(x) = tgx jest homeomorfizmem.

(d) Funkcja v : (0, π)→ R określona wzorem v(x) = ctgx jest homeomorfizmem.

Ponadto funkcje g i u są ściśle rosnące, funkcje f i v zaś są ściśle malejące.

Dowód. Ad. (a) Z twierdzenia 6.4.9 mamy, że f jest funkcją ciągłą.Pokażemy różnowartościowość funkcji f . Weźmy dowolne x, y ∈ [0, π] takie, że f(x) =

f(y), czyli cos x = cos y. Wówczas mamy x − y ∈ [−π, π] oraz x + y ∈ [0, 2π]. Z drugiejstrony, w myśl wniosku 6.8.6(a), istnieje k ∈ Z, że x − y = 2kπ lub x + y = 2kπ. Wkonsekwencji x − y = 0 lub x + y = 0 lub x + y = 2π. Jeśli x − y = 0, to x = y. Jeślix + y = 0, to x = 0 = y. Jeśli x + y = 2π, to x = π = y. Pokazaliśmy więc, że x = y. Todaje różnowartościowość funkcji f .Pokażemy, że f([0, π]) = [−1, 1]. Istotnie, z wniosku 5.10.4(a) mamy f([0, π]) ⊂ [−1, 1].

Z drugiej strony f(0) = 1 i f(π) = −1, więc z własności Darboux (wniosek 6.5.3) dosta-jemy [−1, 1] ⊂ f([0, π]). To daje f([0, π]) = [−1, 1].Reasumując funkcja f jest bijekcją. Ponieważ przedział [0, π] jest zbiorem zwartym i

f jest bijekcją ciągłą, więc z twierdzenia 6.7.9 mamy, że f jest homeomorfizmem.Z powyższego i z twierdzenia 6.5.6 mamy, że f jest funkcją ściśle monotoniczną. Po-

nieważ f(0) > f(π), więc f jest funkcją ściśle malejącą.Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a).Ad. (c) Z wniosku 6.8.4 dostajemy, że funkcja u jest poprawnie określona. Ciągłość i

różnowartościowość funkcji u pokazujemy analogicznie jak w (a). W konsekwencji u jestfunkcją ściśle monotoniczną. Ponieważ tg 0 = 0 < tg 1, więc jest to funkcja ściśle rosnąca.Pokażemy, że u jest bijekcją. Ponieważ jest to funkcja różnowartościowa, więc wystar-

czy pokazać, że zbiorem wartości funkcji u jest R. Zauważmy najpierw, że

(6.29) limx→π2

−u(x) = +∞ oraz lim

x→−π2+u(x) = −∞.

Istotnie, dla x ∈ (0, π2 ) mamy cosx > 0, ponadto limx→π2

−sin x = 1 oraz lim

x→π2−cosx = 0.

Zatem z własności granic niewłaściwych (wnioski 6.3.5(c) i 6.3.6) mamy limx→π2

−tgx = +∞.

Analogicznie pokazujemy, że limx→−π2

+tgx = −∞. W konsekwencji mamy (6.29). Z (6.29)

wynika, że dla dowolnego y ∈ R istnieją x1, x2 ∈ (−π2 ,π2 ) takie, że u(x1) < y < u(x2).

Ponieważ u jest funkcją ciągłą, więc z własności Darboux dostajemy, że y należy do zbioruwartości funkcji u. To daje, że zbiorem wartości funkcji u jest R, a więc u jest bijekcją.Pokażemy teraz, że u jest homeomorfizmem. Wystarczy pokazać ciągłość funkcji u−1.

Weźmy więc dowolny y0 ∈ R oraz niech y1, y2 ∈ R będą takie, że y1 < y0 < y2. Niechu−1(y1) = x1, u−1(y2) = x2. Z monotoniczności funkcji u mamy x1 < x2. Ponadto funkcja


u : [x1, x2] → [y1, y2] określona wzorem u(x) = u(x), x ∈ [x1, x2] jest ciągła i różnowar-tościowa. Zatem u−1 jest ciągła w punkcie y0. Ponieważ u−1(y) = u−1(y) dla y ∈ [y1, y2],więc u−1 jest funkcją ciągłą w punkcie y0.Część (d) pokazujemy analogicznie jak (c). �

W myśl lematu 6.9.1, poniższa definicja jest poprawnaDefinicja funkcji cyklometrycznych. Arcusem cosinusem nazywamy funkcję odwrot-ną do funkcji f : [0, π]→ [−1, 1] określonej wzorem f(x) = cosx i oznaczamy arccos (21).Arcusem sinusem nazywamy funkcję odwrotną do funkcji g : [−π2 ,

π2 ] → [−1, 1] okre-

ślonej wzorem g(x) = sin x i oznaczamy arcsin.

Arcusem tangensem nazywamy funkcję odwrotną do funkcji u : (−π2 ,π2 )→ R określo-

nej wzorem u(x) = tgx i oznaczamy arctg .

Arcusem cotangensem nazywamy funkcję odwrotną do funkcji v : (0, π)→ R określonejwzorem v(x) = ctgx i oznaczamy arcctg .

Funkcje arcus cosinus, arcus sinus, arcus tangens i arcus cotangent nazywamy funk-cjami cyklometrycznymi.

Uwaga 6.9.2. Wprost z określenia funkcji odwrotnej dostajemy:

(a) Dziedziną funkcji arccos jest [−1, 1], przeciwdziedziną zaś [0, π].(b) Dziedziną funkcji arcsin jest [−1, 1], przeciwdziedziną zaś [−π2 ,

π2 ].

(c) Dziedziną funkcji arctg jest R, przeciwdziedziną zaś (−π2 ,π2 ).

(d) Dziedziną funkcji arcctg jest R, przeciwdziedziną zaś (0, π).

Wprost z lematu 6.9.1 dostajemy.

Własność 6.9.3. Funkcje cyklometryczne są ciągłe. Ponadto arcus sinus i arcus tangenssą ściśle rosnące, zaś arcus cosinus i arcus cotangent są ściśle malejące.

Definicja funkcji elementarnych. Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczneoraz cyklometryczne nazywamy podstawowymi funkcjami elementarnymi. Funkcją elementarną nazywa-my każdą funkcję rzeczywistą, którą otrzymujemy z podstawowych funkcji elementarnych za pomocądodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i złożenia zastosowanych skończoną ilość razy.

ZADANIA

Zadanie 6.9.1. Dla x ∈ [−1, 1] zachodzi arcsinx+ arccos x = π2 .

Zadanie 6.9.2. Dla x ∈ (−1, 1) zachodzi arcsinx = arctg x√1−x2 .

Zadanie 6.9.3. Niech x ∈ R będzie takie, że cos x2 6= 0. Oznaczając t = tgx2 mamy

sin x = 2t1+t2 oraz cosx =

1−t21+t2 .

21zgodnie z definicją funkcji odwrotnej zmieniliśmy tutaj przeciwdziedzinę funkcji cos |[0,π] : [0, π]→ Rtak, aby była bijekcją.

Documents

Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji