Rozdział 10 Całka Darboux 10.1 Dolna i górna suma Darboux

Rozdział 10

Całka Darboux

10.1 Dolna i górna suma Darboux

Definicja podziału. Niech a, b ∈ R, a < b.Każdy skończony ciąg P postaci

(10.1) P = (x0, ..., xn), gdzie n ∈ N, a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.

nazywamy podziałem przedziału [a, b]. Wyrazy xi, i = 0, ..., n, podziału P nazywamypunktami podziału P.Dla podziału P postaci (10.1) określamy ciąg ∆xi = xi − xi−1, i = 1, ..., n. Liczbę

δ(P) = max{∆xi : i = 1, ..., n}

nazywamy średnicą podziału P.Definicja dolnej i górnej sumy Darboux. Niech f będzie ograniczoną funkcją rze-czywistą określoną na przedziale [a, b]. Niech P będzie podziałem przedziału [a, b] postaci(10.1). Połóżmy

mi = inf f([xi−1, xi]), Mi = sup f([xi−1, xi]), i = 1, ..., n.

Liczby

L(P, f) =n∑i=1

mi∆xi oraz U(P, f) =n∑i=1

Mi∆xi

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b]wyznaczoną przez podział P.

Uwaga 10.1.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale[a, b]. Niech m = inf f([a, b]), M = sup f([a, b]). Wówczas m,M ∈ R oraz dla każdegopodziału P przedziału [a, b] postaci (10.1) mamy

m 6 mi = inf f([xi−1, xi]) 6 sup f([xi−1, xi]) =Mi 6M, i = 1, ..., n

Zatem L(P, f) oraz U(P, f) są liczbami rzeczywistymi oraz

m(b− a) 6 L(P, f) 6 U(P, f) 6M(b− a).

229

230 ROZDZIAŁ 10. CAŁKA DARBOUX

Uwaga 10.1.2. Z definicji dolnej i górnej sumy Darboux dostajemy, że jeśli f, g są funk-cjami ograniczonymi w przedziale [a, b] takimi, że f(x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b], to dla każdegopodziału P przedziału [a, b] mamy

L(P, f) 6 L(P, g) oraz U(P, f) 6 U(P, g).

Własność 10.1.3. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale[a, b]. Wówczas dla każdego podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] mamy

(10.2) L(P, f) = infX, U(P, f) = supX,

gdzie X = {n∑i=1f(ti)(xi − xi−1) : ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n}.

Dowód. Z definicji dolnej sumy Darboux mamy, że L(P, f) jest ograniczeniem dolnymzbioru X. Weźmy dowolne ε > 0 i niech η = ε

b−a . Z definicji kresu dolnego mamy, że dlakażdego i ∈ {1, ..., n} istnieje ti ∈ [xi−1, xi], że f(ti) < inf f([xi−1, xi]) + η. Oznaczającc =

n∑i=1f(ti)(xi − xi−1), mamy, że c ∈ X. Ponieważ η

n∑i=1(xi − xi−1) = η(b− a) = ε, więc

c <n∑i=1

(inf f([xi−1, xi]) + η)(xi − xi−1) = L(P, f) + ηn∑i=1

(xi − xi−1) = L(P, f) + ε.

Reasumując L(P, f) = infX. To daje pierwszą część (10.2). Drugą część (10.2) pokazu-jemy analogicznie jak pierwszą. �

Definicja zagęszczenia podziału. Niech P, P∗ będą podziałami przedziału [a, b]. Mó-wimy, że podział P∗ jest zagęszczeniem podziału P, gdy każdy punkt podziału P jestpunktem podziału P∗.Jeśli podział P∗ jest zagęszczeniem podziałów P1, ...,Pj przedziału [a, b], to mówimy,

że P∗ jest wspólnym zagęszczeniem podziałów P1, ...,Pj.

Uwaga 10.1.4. Jeśli P1, ...,Pj są podziałami przedziału [a, b], to istnieje podział P∗ któryjest wspólnym zagęszczeniem podziałów P1, ...,Pj. (1).

Indukcyjnie, łatwo dowodzimy

Lemat 10.1.5. Jeśli podział P∗ jest zagęszczeniem podziału P przedziału [a, b] orazP∗ 6= P, to istnieje skończony ciąg podziałów Pk, k = 0, ...,m, przedziału [a, b], że

(a) P0 = P, Pm = P∗,

(b) podział Pk+1 jest zagęszczeniem podziału Pk dla k = 0, ...,m− 1,(c) podział Pk+1 ma tylko jeden punkt podziału więcej od podziału Pk dla k = 0, ...,

m− 1.1Istotnie, indukcyjnie łatwo pokazujemy, że każdy skończony podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest

zbiorem wartości pewnego ciągu rosnącego. Zatem każdy skończony podzbiór X = {x0, ..., xn} ⊂ [a, b]taki, że x0 = a, xn = b wyznacza podział przedziału [a, b], którego zbiorem punktów podziału jest zbiórX. Suma wszystkie punktów podziałów P1, ...,Pj jest zbiorem skończonym, więc jest to zbiór wartościpewnego podziału P∗.

10.1. DOLNA I GÓRNA SUMA DARBOUX 231

Dowód. Dla podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b], oznaczamy P = n+ 1.Zastosujemy indukcję względemm = P∗ −P . Dlam = 1, wystarczy położyć P0 = P

oraz P1 = P∗.Załóżmy, że teza zachodzi dla m ∈ N. Niech P∗ będzie zagęszczeniem podziału

P = (a0, ..., aj) takim, że P∗ − P = m + 1. Wówczas biorąc dowolny punkt x podziałuP∗, który nie jest punktem podziału P, istnieje i ∈ {0, ..., j− 1}, że ai < x < ai+1. ZatemP′ = (a0, ..., ai, x, ai+1, ..., aj) jest podziałem przedziału [a, b] takim, że P∗ − P′ = m.Z założenia indukcyjnego, istnieje więc ciąg podziałów P0, ...,Pm, że P0 = P′, Pn = P∗

oraz Pk+1 = Pk +1 dla k = 0, ...,m−1. W konsekwencji ciągP,P0, ...,Pm jest szukanymciągiem podziałów spełniającym (a), (b), (c).Indukcja kończy dowód. �

Własność 10.1.6. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale[a, b] oraz niech m = inf f([a, b]), M = sup f([a, b]). Jeśli P, P∗ są podziałami przedziału[a, b], przy czym P∗ jest zagęszczeniem podziału P, to

(10.3) m(b− a) 6 L(P, f) 6 L(P∗, f) 6 U(P∗, f) 6 U(P, f) 6M(b− a).W szczególności dla dowolnych podziałów P1, P2 przedziału [a, b] mamy

L(P1, f) 6 U(P2, f).

Dowód. W myśl uwagi 10.1.1, wystarczy pokazać, że

(10.4) L(P, f) 6 L(P∗, f) oraz U(P∗, f) 6 U(P, f).

Jeśli P = P∗, to (10.4) jest oczywiste. Załóżmy, że P 6= P∗. Niech, wobec lematu 10.1.5,P0, ...,Pj, j ∈ N, będzie ciągiem podziałów przedziału [a, b] spełniającym warunki (a),(b), (c) w lemacie 10.1.5. Wobec warunku (a), wystarczy pokazać, że

(10.5) L(Pk, f) 6 L(Pk+1, f) oraz U(Pk+1, f) 6 U(Pk, f) dla k = 0, ..., j − 1.Weźmy dowolne k ∈ {0, ..., j − 1} i niech Pk+1 = (x0, ..., xn). Oznaczmy


Z warunku (c), istnieje i0 ∈ {1, ..., n− 1}, że Pk = (x0, ..., xi0−1, xi0+1, ..., xn). Oznaczając

m̃i0+1 = inf f([xi0−1, xi0+1]), M̃i0+1 = sup f([xi0−1, xi0+1]),

mamy m̃i0+1 6 mi0 , m̃i0+1 6 mi0+1 oraz M̃i0+1 >Mi0 , M̃i0+1 >Mi0+1, więc

(10.6) m̃i0+1(xi0+1 − xi0−1) 6 mi0(xi0 − xi0−1) +mi0+1(xi0+1 − xi0)oraz

(10.7) M̃i0+1(xi0+1 − xi0−1) >Mi0(xi0 − xi0−1) +Mi0+1(xi0+1 − xi0)Z (10.6) i (10.7), redukując odpowiednie wyrazy w sumach Darboux funkcji f wyznaczo-nych przez przedziały Pk i Pk+1, dostajemy

L(Pk, f)−L(Pk+1, f) = m̃i0+1(xi0+1− xi0−1)−mi0(xi0 − xi0−1)−mi0+1(xi0+1− xi0) 6 0,U(Pk, f)−U(Pk+1, f) = M̃i0+1(xi0+1−xi0−1)−Mi0(xi0−xi0−1)−Mi0+1(xi0+1−xi0) > 0.To daje (10.5). Biorąc wspólne zagęszczenie P∗ podziałów P1, P2, z (10.5) dostajemyL(P1, f) 6 U(P2, f). To kończy dowód. �


10.2 Dolna i górna całka Darboux

Definicja dolnej i górnej całki Darboux. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczy-wistą określoną na przedziale [a, b]. Oznaczmy przez U(f) zbiór wszystkich górnych sumDarboux U(P, f) oraz przez L(f) zbiór wszystkich dolnych sum Darboux L(P, f), gdzieP przebiega wszystkie podziały przedziału [a, b].

Liczbę supL(f) nazywamy dolną całką Darboux funkcji f w przedziale [a, b].

Liczbę inf U(f) nazywamy górną całką Darboux funkcji f w przedziale [a, b].

Dolną i górną całkę Darboux funkcji f w przedziale [a, b] oznaczamy odpowiednio

∫ ba—f(x)dx,

∫ baf(x)dx lub

∫ ba—fdx,

∫ bafdx.

Własność 10.2.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale[a, b]. Wówczas istnieją dolna i górna całka Darboux funkcji f w przedziale [a, b]. Jeśliponadto m,M ∈ R są takie, że m 6 f(x) 6M dla x ∈ [a, b], to

(10.8) m(b− a) 6∫ ba—f(x)dx 6

∫ baf(x)dx 6M(b− a).

Dowód. Wobec własności 10.1.6 mamy, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]mamy m(b− a) 6 L(P, f) 6 U(P, f) 6 M(b− a). Stąd wynika, że m(b− a) i M(b− a)są odpowiednio ograniczeniami dolnymi i górnymi zbioru L(f) wszystkich dolnych sumDarboux oraz zbioru U(f) wszystkich górnych sum Darboux funkcji f w przedziale [a, b].Ponieważ L(f) i U(f) są niepuste, więc ich kresy dolny i górny są liczbami rzeczywistymi.To daje pierwszą część tezy. Ponadto mamy

(10.9) m(b− a) 6 supL(f) =∫ ba—f(x)dx,

∫ ba f(x)dx = inf U(f) 6M(b− a).

Udowodnimy, że

(10.10)∫ ba—f(x)dx 6

∫ ba f(x)dx.

Istotnie, z własności 10.1.6 dla dowolnych podziałów P1,P podziału [a, b] mamy

L(P1, f) 6 U(P, f).

Zatem U(P, f) jest ograniczeniem górnym zbioru L(f), więc supL(f) 6 U(P, f). Z do-wolności podziału P przedziału [a, b] mamy, że supL(f) jest ograniczeniem dolnym zbioruU(f), więc supL(f) 6 inf U(f). To daje (10.10). Z (10.10) i (10.9) dostajemy (10.8), cokończy dowód. �

10.2. DOLNA I GÓRNA CAŁKA DARBOUX 233

Uwaga 10.2.2. Wprost z definicji oraz własności 10.2.1 dostajemy, że dla każdej funkcjistałej w przedziale [a, b], dolna i górna całka Darboux w tym przedziale są równe. Ponadto,jeśli c ∈ R oraz f(x) = c dla x ∈ [a, b], to c 6 f(x) 6 c dla x ∈ [a, b], więc z (10.8)dostajemy ∫ b

a—f(x)dx =

∫ ba f(x)dx = c(b− a).

Uwaga 10.2.3. Istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, których dolna igórna całka Darboux są różne. Istotnie, rozważmy funkcję Dirichleta f : R→ R określonąwzorami f(x) = 0 dla x ∈ Q oraz f(x) = 1 dla x ∈ R \ Q. Jest to funkcja ograniczona,jednak dla dowolnego przedziału [a, b] i jego podziału P mamy L(P, f) = 0 oraz U(P, f) =b− a. Zatem ∫ b

a—f(x)dx = 0 < (b− a) =

∫ ba f(x)dx.

Podamy warunki równoważne na to aby dana liczba była dolną (odpowiednio górną)całką Darboux funkcji na przedziale domkniętym. Zacznijmy od dwóch lematów.

Lemat 10.2.4. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale[a, b] oraz niech M > 0 będzie liczbą taką, że |f(x)| < M dla x ∈ [a, b]. Jeśli P∗ jestzagęszczeniem podziału P przedziału [a, b] takim, że P∗ ma o k punktów podziału więcejod P, to(10.11)

L(P, f) > L(P∗, f)− 3kMδ(P) oraz U(P, f) 6 U(P∗, f) + 3kMδ(P).

Dowód. Jeśli k = 0, to teza jest oczywista. Rozważmy przypadek k = 1. NiechP∗ = (x0, ..., xn). Z założenia, że k = 1 wynika, że istnieje i0 ∈ {1, ..., n − 1} takie, żeP = (x0, ..., xi0−1, xi0+1, ..., xn). Wówczas, z wyboru liczby M , mamy

L(P∗, f)− L(P, f) = (xi0 − xi0−1) inf f([xi0−1, xi0 ] + (xi0+1 − xi0) inf f([xi0 , xi0+1]

−(xi0+1 − xi0−1) inf f([xi0−1, xi0+1] 6 3Mδ(P).

To daje pierwszą część (10.11) dla k = 1. Drugą cząść dowodzimy analogicznie. Stosującteraz lemat 10.1.5, łatwo indukcyjnie dostajemy tezę. �

Lemat 10.2.5. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale[a, b]. Wówczas

(a) Dla każdego ε > 0 istnieje K > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]zachodzi

(10.12) −ε−Kδ(P)+∫ ba—f(x)dx 6 L(P, f) 6

∫ ba—f(x)dx.

(b) Dla każdego ε > 0 istnieje K > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]zachodzi

(10.13)∫ baf(x)dx 6 U(P, f) 6 ε+Kδ(P)+

∫ baf(x)dx.


Dowód. Udowodnimy (a). Niech B =∫ ba—f(x)dx. Nierówność L(P, f) 6 B wynika z

definicji dolnej całki Darboux funkcji f w przedziale [a, b]. Pokażemy pierwszą nierównośćw (10.12). Ponieważ f jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], więc istnieje M > 0, że

(10.14) |f(x)| < M dla każdego x ∈ [a, b].

Weźmy dowolne ε > 0. Z (a) i określenia dolnej całki Darboux wynika, że istnieje podziałP1 = (x0, ..., xk) przedziału [a, b] taki, że

(10.15) B − ε < L(P1, f).

Weźmy dowolny podział P przedziału [a, b]. Niech P∗ będzie wspólnym zagęszczeniempodziałówP iP1, którego zbiorem punktów podziału jest suma zbiorów punktów podziałuP i P1. Wtedy z (10.15) i własności 10.1.6 i mamy

(10.16) B − ε < L(P∗, f).

Ponieważ podział P∗ ma co najwyżej k punktów podziału więcej od podziału P, więc z(10.14) i lematu 10.2.4 dostajemy

(10.17) L(P, f) > L(P∗, f)− 3kMδ(P).

Biorąc K = 3kM , z (10.16) i (10.17) wynika pierwszą nierówność w (10.12). To daje (a).Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a). �

Twierdzenie 10.2.6. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze-dziale [a, b] oraz niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a)

∫ ba—f(x)dx = A.

(b) Dla każdego ciągu (Pn)∞n=1 podziałów przedziału [a, b] takiego, że limn→∞ δ(Pn) = 0,zachodzi lim

n→∞L(Pn, f) = A.

(c) Istnieje ciąg (Pn)∞n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że limn→∞ δ(Pn) = 0 orazlimn→∞L(Pn, f) = A.

Dowód. Udowodnimy implikację (a)⇒(b). Weźmy dowolny ciąg (Pn)∞n=1 podziałówprzedziału [a, b] taki, że lim

n→∞δ(Pn) = 0. Weźmy dowolne ε > 0. Z (a) i z lematu 10.2.5(a)

wynika, że istnieje stała K ∈ R, że

(10.18) A− ε2−Kδ(Pn) 6 L(Pn, f) 6 A dla n ∈ N.

Ponieważ limn→∞δ(Pn) = 0, więc istnieje N ∈ N, że dla n > N mamy Kδ(Pn) < ε2 . Stąd i

z (10.18) wynika, żeA− ε < L(Pn, f) 6 A dla n > N.

To, wobec dowolności ε > 0 daje, że limn→∞L(Pn, f) = A, czyli mamy (b).

Implikacja (b)⇒(c) wynika z faktu, że istnieją ciągi podziałów (Pn)∞n=1 przedziału[a, b] takie, że lim

n→∞δ(Pn) = 0.

10.2. DOLNA I GÓRNA CAŁKA DARBOUX 235

Udowodnimy implikację (c)⇒(a). Niech (Pn)∞n=1 będzie ciągiem podziałów przedziału[a, b] takim, że lim

n→∞δ(Pn) = 0 oraz lim

n→∞L(Pn, f) = A. Niech B =

∫ ba—f(x)dx. Weźmy

dowolne ε > 0. Z lematu 10.2.5(a) wynika, że istnieje stała K ∈ R, że

(10.19) B − ε2−Kδ(Pn) 6 L(Pn, f) 6 B dla n ∈ N.

Ponieważ limn→∞δ(Pn) = 0, więc istnieje N ∈ N, że dla n > N mamy Kδ(Pn) < ε2 . Stąd i z

(10.19) wynika, że B − ε < L(Pn, f) 6 B dla n > N. Przechodząc teraz do granicyprzy n → ∞ dostajemy B − ε 6 A 6 B. To, wobec dowolności ε > 0 daje, że B = A,czyli mamy (a). �

Analogicznie jak twierdzenie 10.2.6 dowodzimy

Twierdzenie 10.2.7. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze-dziale [a, b] oraz niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a)

∫ ba f(x)dx = A.

(b) Dla każdego ciągu (Pn)∞n=1 podziałów przedziału [a, b] takiego, że limn→∞ δ(Pn) = 0,zachodzi lim

n→∞U(Pn, f) = A.

(c) Istnieje ciąg (Pn)∞n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że limn→∞ δ(Pn) = 0 orazlimn→∞U(Pn, f) = A.

Z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 wynika

Twierdzenie 10.2.8. Niech f , g będą ograniczonymi funkcjami rzeczywistymi określony-mi na przedziale [a, b] oraz c ∈ R, c 6= 0. Wówczas

(a) Jeśli f(x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b], to∫ ba—fdx 6

∫ ba—gdx oraz

∫ ba fdx 6

∫ ba gdx.

(b)∫ ba—fdx+

∫ ba—gdx 6

∫ ba—(f + g)dx 6

∫ ba (f + g)dx 6

∫ ba fdx+

∫ ba gdx.

(c)∫ ba—cfdx = c

∫ ba—fdx oraz

∫ ba cfdx = c

∫ ba fdx, gdy c > 0

(d)∫ ba—cfdx = c

∫ ba fdx oraz

∫ ba cfdx = c

∫ ba—fdx, gdy c < 0.

Dowód. Część (a) wynika natychmiast z definicji dolnej i górnej całki Darboux, bo-wiem z założenia, że f(x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b], dostajemy że dla każdego podziału P

przedziału [a, b] zachodzi L(P, f) 6 L(P, g) oraz U(P, f) 6 U(P, g).Niech P = (x0, ..., xk) będzie podziałem przedziału [a, b]. Zanim przejdziemy do do-

wodów dalszych części twierdzenia, udowodnimy trzy pomocnicze własności:

(i) L(P, f) + L(P, g) 6 L(P, f + g) 6 U(P, f + g) 6 U(P, f) + U(P, g).

(ii) L(P, cf) = cL(P, f) oraz U(P, cf) = cU(P, f), gdy c > 0.

(iii) L(P, cf) = cU(P, f) oraz U(P, cf) = cL(P, f), gdy c < 0.


Istotnie, liczba inf f([xi−1, xi]) + inf g([xi−1, xi]) jest ograniczeniem dolnym zbioru(f + g)([xi−1, xi]), więc

inf f([xi−1, xi]) + inf g([xi−1, xi]) 6 inf(f + g)([xi−1, xi]) dla i = 1, ..., k.

Stąd i z definicji dolnej sumy Darboux wynika pierwsza nierówność w (i). Druga nie-równość wynika z własności 10.1.6. Trzecią nierówność w (i) dowodzimy analogicznie jakpierwszą.Z własności kresów dolnego i górnego zbioru mamy

inf cf([xi−1, xi]) = c inf f([xi−1, xi]), sup cf([xi−1, xi]) = c sup f([xi−1, xi]), gdy c > 0.

Stąd dostajemy (ii). Ponadto

inf cf([xi−1, xi]) = c sup f([xi−1, xi]), gdy c < 0.

Stąd wynika (iii).Weźmy dowolny ciąg (Pn)∞n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że limn→∞ δ(Pn) = 0.Z własności (i) dla każdego n ∈ N mamy

L(Pn, f) + L(Pn, g) 6 L(Pn, f + g) 6 U(Pn, f + g) 6 U(Pn, f) + U(Pn, g).

Przechodząc więc do granicy przy n→∞, w myśl twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy (b).Niech c > 0. Z własności (ii) dla każdego n ∈ N mamy

L(Pn, cf) = cL(Pn, f) oraz U(Pn, cf) = cU(Pn, f),

więc przechodząc do granicy przy n → ∞ dostajemy (c). Analogicznie, opierając się nawłasności (iii), dowodzimy część (d). �

Twierdzenie 10.2.9. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze-dziale [a, b] oraz niech c ∈ R, a < c < b. Wówczas

∫ ba—fdx =

∫ ca—fdx+

∫ bc—fdx oraz

∫ bafdx =

∫ cafdx+

∫ bcfdx.

Dowód. Niech (Pan)∞n=1 oraz (P

bn)∞n=1 będą ciągami podziałów odpowiednio przedzia-

łów [a, c] oraz [c, b] takimi, że limn→∞

δ(Pan) = 0 oraz limn→∞ δ(Pbn) = 0. Niech Pn będzie

podziałem przedziału [a, b] utworzonym przez sumę zbiorów punktów podziału Pan orazPbn dla n ∈ N. Wtedy lim

n→∞δ(Pn) = 0 oraz z definicji dolnej i górnej sumy Darboux

dostajemy

L(Pn, f) = L(Pan, f) + L(Pbn, f), U(Pn, f) = U(Pan, f) + U(P

bn, f).

Stąd, przechodząc do granicy przy n→∞, z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy tezę. �

Rozdział 11

Całka Riemanna

11.1 Całka Riemanna

Definicja całki Riemanna. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określonąna przedziale [a, b].

Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [a, b] lub, żejest całkowalna w przedziale [a, b], gdy dolna i górna całka Darboux funkcji f w przedziale

[a, b] są równe, to znaczy∫ ba—f(x)dx =

∫ ba f(x)dx.

Zbiór wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Riemanna w przedziale [a, b] oznacza-my R([a, b]).Jeśli f ∈ R([a, b]), to wspólną wartość dolnej i górnej całki Darboux oznaczamy∫ b

afdx lub

∫ baf(x)dx

i nazywamy całką Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] lub całką oznaczoną Riemannafunkcji f w przedziale [a, b].

Dla uproszczenia zapisu przyjmuje się następujące oznaczeniaDefinicja . Jeśli funkcja f jest określona w punkcie a, to przyjmujemy

∫ aa fdx = 0.

Jeśli f ∈ R([a, b]), to przyjmujemy∫ ab fdx = −

∫ ba fdx.

Uwaga 11.1.1. Wprost z definicji oraz uwagi 10.2.2 dostajemy, że każda funkcja stała wprzedziale [a, b] jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale. Ponadto, jeśli c ∈ Roraz f(x) = c dla x ∈ [a, b], to

∫ ba fdx = c(b− a).

Istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, które nie są całkowalne w sensieRiemanna. Przykładem takiej funkcji jest funkcja Dirichleta (patrz uwaga 10.2.3).

Z własności 10.1.6 dostajemy natychmiast

Własność 11.1.2. Niech f ∈ R([a, b]) oraz niech m = inf f([a, b]), M = sup f([a, b]).Wówczas

(11.1) m(b− a) 6∫ bafdx 6M(b− a).

237

238 ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA

Z własności dolnej i górnej całki Darboux (twierdzenia 10.2.8, 10.2.9) dostajemy

Twierdzenie 11.1.3. Niech f, f1, f2 ∈ R([a, b]), niech g : [a, b] → R oraz niech c ∈ R.Wówczas

(a) f1 + f2 ∈ R([a, b]) oraz cf ∈ R([a, b]) i∫ ba(f1 + f2)dx =

∫ baf1dx+

∫ baf2dx oraz

∫ bacfdx = c

∫ bafdx.

(b) Jeśli f1(x) 6 f2(x) dla x ∈ [a, b], to∫ baf1dx 6

∫ baf2dx.

(c) Jeśli M ∈ R jest takie, że |f(x)| 6M dla x ∈ [a, b], to∣∣∣∣∣∫ bafdx

∣∣∣∣∣ 6M(b− a).(d) Jeśli a < c < b, to f ∈ R([a, c]) i f ∈ R([c, b]) oraz∫ b

afdx =

∫ cafdx+

∫ bcfdx.

(e) Jeśli a < c < b i g ∈ R([a, c]) oraz g ∈ R([c, b]), to g ∈ R([a, b]).

Dowód. Ad. (a) Z twierdzenia 10.2.8(b) dostajemy

(11.2)∫ ba—f1dx+

∫ ba—f2dx 6

∫ ba—(f1 + f2)dx 6

∫ ba (f1 + f2)dx 6

∫ ba f1dx+

∫ ba f2dx.

Z założenia f1, f2 ∈ R([a, b]), mamy

∫ baf1dx =

∫ ba—f1dx =

∫ baf1dx oraz

∫ baf2dx =

∫ ba—f2dx =

∫ baf2dx.

Zatem (11.2) jest ciągiem równości. To daje pierwszą część (a). Druga część (a) wynikanatychmiast z twierdzenia 10.2.8(c)(d). Istotnie dla c = 0 teza jest oczywista. Dla c > 0mamy ∫ b

a—cfdx = c

∫ ba—fdx = c

∫ bafdx = c

∫ bafdx =

∫ bacfdx.

Dla c < 0 zaś

∫ ba—cfdx = c

∫ bafdx = c

∫ bafdx = c

∫ ba—fdx =

∫ bacfdx.

Ad. (b) Część (b) wynika natychmiast z twierdzenia 10.2.8(a).

11.1. CAŁKA RIEMANNA 239

Ad. (c) Ponieważ −M 6 f(x) 6 M dla x ∈ [a, b], więc −M 6 inf f([a, b]) orazsup f([a, b]) 6M . Zatem z własności 11.1.2 dostajemy

−M(b− a) 6∫ bafdx 6M(b− a),

co daje (c).Ad. (d) Z twierdzenia 10.2.9, mamy

∫ ba—f(x)dx =

∫ ca—f(x)dx+

∫ bc—f(x)dx 6

∫ caf(x)dx+

∫ bcf(x)dx =

∫ baf(x)dx.

Z założenia∫ ba—f(x)dx =

∫ ba f(x)dx, więc powyżej zachodzi ciąg równości. Z własności

10.2.1 mamy∫ ca—f(x)dx 6

∫ ca f(x)dx oraz

∫ bc—f(x)dx 6

∫ bc f(x)dx. W konsekwencji,

∫ ca—f(x)dx =

∫ caf(x)dx oraz

∫ bc—f(x)dx =

∫ bcf(x)dx.

To daje, że f ∈ R([a, c]), f ∈ R([c, b]) i zachodzi (d).Ad. (e) Ponieważ g ∈ R([a, c]) oraz g ∈ R([c, b]), więc z twierdzenia 10.2.9 dostajemy

∫ ba—g(x)dx =

∫ ca—g(x)dx+

∫ bc—g(x)dx =

∫ cag(x)dx+

∫ bcg(x)dx =

∫ bag(x)dx,

więc g ∈ R([a, b]). �

Uwaga 11.1.4. W analizie rozważa się również tak zwaną całkę Riemanna-Strieltjesa lubkrótko całkę Stieltjesa. Jest to uogólnienie całki Riemanna. Całkę Stieltjesa definiujemynastępująco:Definicja całki Stieltjesa. Niech α będzie funkcją rosnącą określoną na przedziale [a, b].Dla każdego podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] określamy ∆αi = α(xi)− α(xi−1).Dla dowolnej funkcji rzeczywistej f ograniczonej na przedziale [a, b], kładziemy kolejno


L(P, f, α) =n∑i=1

mi∆αi oraz U(P, f, α) =n∑i=1

Mi∆αi

∫ bafdα = inf{U(P, f, α) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.∫ b

a—fdα = sup{L(P, f, α) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.

Jeśli∫ ba fdα =

∫ ba—fdα, to tę wspólną wartość nazywamy całką Riemanna-Strieltjesa lub

krótko całką Stieltjesa funkcji f względem funkcji α na przedziale [a, b] i oznaczamy∫ ba fdα.


Można pokazać, że całka Stieltjesa ma analogiczne własności do twierdzenia 11.1.3oraz do twierdzeń z następnych punktów: 11.2.1, 11.2.2, 11.3.1, 11.4.2. Przy dodatkowychzałożeniach o funkcji α zachodzą również analogiczne własności do pozostałych twierdzeńw następnych punktach.

11.2 Warunki istnienia całki Riemanna

Podamy teraz równoważne warunki całkowalności funkcji w sensie Riemanna.Z definicji całki Riemanna i z twierdzeń 10.2.6 oraz 10.2.7 mamy

Twierdzenie 11.2.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze-dziale [a, b] oraz niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) f ∈ R([a, b]) oraz

(11.3)∫ baf(x)dx = A.

(b) Dla każdego ciągu (Pn)∞n=1 podziałów przedziału [a, b] takiego, że limn→∞ δ(Pn) = 0,zachodzi

(11.4) limn→∞L(Pn, f) = A oraz lim

n→∞U(Pn, f) = A.

(c) Istnieje ciąg (Pn)∞n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.4).

Dowód. Wobec definicji całki Riemanna, (11.3) jest równoważne temu, że

∫ ba—f(x)dx = A oraz

∫ baf(x)dx = A.

Zatem z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy implikacje (a)⇒(b)⇒(c). Z (c) mamyA 6

∫ ba—fdx i

∫ ba fdx 6 A, zatem

∫ ba fdx = A. To daje implikację (c)⇒(a). �

Twierdzenie 11.2.2. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze-dziale [a, b]. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) f ∈ R([a, b]).(b) dla każdego ε > 0 istnieje η > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b] takiego,

że δ(P) < η zachodzi

(11.5) U(P, f)− L(P, f) < ε.

(c) dla każdego ε > 0 istnieje podział P przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.5).

Dowód. Udowodnimy implikację (a)⇒(b). Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje ε0 > 0takie, że dla każdego η > 0 istnieje podział P przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η,

11.2. WARUNKI ISTNIENIA CAŁKI RIEMANNA 241

że zachodzi U(P, f)− L(P, f) > ε0. W szczególności dla każdego n ∈ N istnieje podziałPn przedziału [a, b] taki, że δ(Pn) < 1n oraz

(11.6) U(Pn, f)− L(Pn, f) > ε0.

Niech A =∫ ba fdx. Ponieważ limn→∞ δ(Pn) = 0, więc twierdzenia 11.2.1 wynika, że

limn→∞L(Pn, f) = A = lim

n→∞U(Pn, f).

To przeczy (11.6). Otrzymana sprzeczność daje, że przypuszczenie było fałszywe.Implikacja (b)⇒(c) jest oczywista.Udowodnimy implikację (c)⇒(a). Weźmy dowolne ε > 0. Z (c) mamy, że istnieje

podział P przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.5). Zatem z definicji dolnej i górnej całkiDarboux mamy

0 6∫ baf(x)dx−

∫ ba—f(x)dx 6 U(P, f)− L(P, f) < ε.

Stąd i z dowolności ε > 0 mamy∫ ba f(x)dx =

∫ ba—f(x)dx, więc f ∈ R([a, b]). To daje (a).�

Twierdzenie 11.2.3. Niech f ∈ R([a, b]) oraz m,M ∈ R będą takie, że

m 6 f(x) 6M dla x ∈ [a, b],

przy czym niech m < M . Niech ϕ będzie funkcją ciągłą w przedziale [m,M ] oraz niech

h(x) = ϕ(f(x)), x ∈ [a, b].

Wówczas h ∈ R([a, b]).

Dowód. Niech K ∈ R będzie takie, że |ϕ(t)| < K dla t ∈ [m,M ]. Weźmy dowolneε > 0 i niech

ε′ =ε

b− a+ 2K.

Ponieważ ϕ jest funkcją jednostajnie ciągłą, więc istnieje δ > 0 taka, że δ < ε′ oraz dlakażdych t′, t′′ ∈ [m,M ] zachodzi

(11.7) |t′ − t′′| < δ ⇒ |ϕ(t′)− ϕ(t′′)| < ε′.

Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc istnieje podział P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] taki, że

(11.8) U(P, f)− L(P, f) < δ2.

Niechmi = inf f([xi−1, xi]), Mi = sup f([xi−1, xi])

oraz niechm∗i = inf h([xi−1, xi]), M∗i = suph([xi−1, xi])


dla i = 1, ..., n. Niech A będzie zbiorem tych i ∈ {1, ..., n} dla których Mi −mi < δ orazniech B – zbiorem tych i ∈ {1, ..., n}, że Mi −mi > δ.Zauważmy, że dla i ∈ A mamy

(11.9)∑i∈A(M∗i −m∗i )(xi − xi−1) 6 ε′(b− a).

Istotnie, z definicji M∗i i m∗i dostajemy, że dla każdego η > 0 istnieją x

′, x′′ ∈ [xi−1, xi]takie, że h(x′) >M∗i − η2 oraz h(x

′′) 6 m∗i +η2 . Zatem

M∗i −m∗i − η 6 h(x′)− h(x′′).

Ponieważ i ∈ A, więc

|f(x′)− f(x′′)| < δ i wobec (11.7), |h(x′)− h(x′′)| 6 ε′.

Stąd dostajemy, że M∗i −m∗i − η 6 ε′ i wobec dowolności η > 0, że M∗i −m∗i 6 ε′. To daje(11.9).Z (11.8) i określenia zbioru B mamy

δ∑i∈B(xi − xi−1) 6

∑i∈B(Mi −mi)(xi − xi−1) 6 U(P, f)− L(P, f) < δ2,

więc∑i∈B (xi − xi−1) < δ. Z wyboru liczby K mamy M∗i −m∗i 6 2K dla i ∈ {1, ..., n},

więc ∑i∈B(M∗i −m∗i )(xi − xi−1) 6 2K

∑i∈B(xi − xi−1) < 2Kδ < 2Kε′.

Stąd i z (11.9) mamy

U(P, h)−L(P, h) =∑i∈A(M∗i −m∗i )(xi−xi−1)+

∑i∈B(M∗i −m∗i )(xi−xi−1) < ε′(b−a+2K) = ε.

To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje, że h ∈ R([a, b]) i kończy dowód. �

Twierdzenie 11.2.4. Jeśli f, g ∈ R([a, b]), to(a) fg ∈ R([a, b]),(b) |f | ∈ R([a, b]) oraz ∣∣∣∣∣

∫ bafdx

∣∣∣∣∣ 6∫ ba|f |dx.

Dowód. Ad. (a) Wobec twierdzenia 11.1.3 mamy f + g, f − g ∈ R([a, b]). Zatembiorąc funkcję ϕ(t) = t2, t ∈ R, w myśl twierdzenia 11.2.3 mamy, że

(f + g)2 = ϕ(f + g) ∈ R([a, b]) oraz (f − g)2 = ϕ(f − g) ∈ R([a, b]).

W konsekwencji

fg =14[(f + g)2 − (f − g)2] ∈ R([a, b]).

11.3. CIĄGŁOŚĆ A CAŁKOWALNOŚĆ 243

Ad. (b) Przyjmując ϕ(t) = |t|, t ∈ R, z twierdzenia 11.2.3 dostajemy, że |f | ∈ R([a, b]).Niech c ∈ {−1, 1} będzie takie, że c

∫ ba fdx > 0. Wtedy, cf(x) 6 |f(x)| dla x ∈ [a, b], zatem

z twierdzenia 11.1.3(a)(b) mamy∣∣∣∣∣∫ bafdx

∣∣∣∣∣ = c∫ bafdx =

∫ bacfdx 6

∫ ba|f |dx.

To kończy dowód. �

Twierdzenie 11.2.5. Niech f ∈ R([a, b]). Jeśli f(x) > 0 dla x ∈ [a, b], to∫ ba f(x)dx > 0.

Dowód. Ponieważ f(x) > 0 dla x ∈ [a, b], to z twierdzenia 11.1.3(b) dla dowolnychc, d ∈ R takich, że a 6 c < d 6 b dostajemy, że

∫ dc f(x)dx > 0. Przypuśćmy przeciwnie,

że∫ ba f(x)dx 6 0. Wtedy

∫ ba f(x)dx = 0. Zauważmy, że

(11.10)∫ dcf(x)dx = 0 dla dowolnych c, d ∈ R takich, że a 6 c < d 6 b.

Istotnie, w przeciwnym razie dla pewnych a 6 c < d 6 b zachodzi∫ dc f(x)dx > 0, a więc∫ b

af(x)dx =

∫ caf(x)dx+

∫ dcf(x)dx+

∫ bdf(x)dx > 0,

co przeczy przypuszczeniu.Zauważmy, że istnieje ciąg przedziałów domkniętych (Pn)∞n=1 taki, że

(11.11) [a, b] ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ . . .

oraz dla każdego n ∈ N,

(11.12) f(x) 61n

dla x ∈ Pn.

Istotnie,∫ ba f(x)dx = 0, więc z twierdzenia 11.2.1 istnieje podział P1 = (x0, ..., xn) prze-

działu [a, b] taki, że U(P1, f) < b − a, a więc istnieje i, że dla P1 = [xi−1, xi] zachodzi(11.12). Wobec (11.10) mamy

∫ xixi−1f(x)dx = 0, więc podobnie jak wyżej istnieje podział

P2 = (y0, ..., ym) przedziału P1 taki, że U(P2, f) < 12(xi − xi−1), a więc istnieje przedziałP2 ⊂ P1 dla którego zachodzi (11.12). Postępując dalej indukcyjnie dostajemy, że istniejezapowiedziany ciąg przedziałów (Pn).Ponieważ (Pn) jest ciągiem przedziałów domkniętych spełniającym (11.11), więc ist-

nieje punkt z ∈ ⋂∞n=1 Pn. Wtedy z ∈ [a, b] i wobec (11.12), f(z) 6 0. To przeczy założeniu.�

11.3 Ciągłość a całkowalność

Z twierdzenia 11.2.2 dostajemy


Twierdzenie 11.3.1. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna wsensie Riemanna w tym przedziale.

Dowód. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b]. Wówczas funkcja f jestjednostajnie ciągła w [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 i niech η > 0 będzie takie, że dlakażdych x′, x′′ ∈ [a, b] zachodzi

(11.13) |x′ − x′′| < η ⇒ |f(x′)− f(x′′)| < ε

2(b− a).

Niech P = (x0, ..., xn) będzie podziałem przedziału [a, b] takim, że δ(P) < η. Oznaczając

Mi = sup f([xi−1, xi]), mi = inf f([xi−1, xi]) dla i = 1, ..., n,

z (11.13) dostajemy

Mi −mi 6ε

2(b− a)dla i = 1, ..., n.

Zatem

U(P, f)− L(P, f) =n∑i=1

(Mi −mi)(xi − xi−1) <ε

b− a

n∑i=1

(xi − xi−1) =ε

b− a(b− a) = ε.

To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje tezę. �

Uwaga 11.3.2. Funkcja f(x) = x, x ∈ [a, b] jest całkowalna w sensie Riemanna. Istotnie,niech Pn = (x0, ..., xn) będzie podziałem przedziału [a, b], postaci xi = a + i

n(b − a),

i = 0, . . . , n, n ∈ N. Weźmy dowolne ε > 0 i niech δ = ε2(b−a) . Dla n >

1δ, podział Pn ma

średnicę 1n(b− a) mniejszą od δ. Ponadto,

U(Pn, f)− L(Pn, f) =n∑i=1

(xi − xi−1)2 < δn∑i=1

(xi − xi−1) = δ(b− a) =ε

2< ε.

Zatem z twierdzenia 11.2.2 dostajemy, że f ∈ R([a, b]). Wobec tego twierdzenie 11.3.1wynika natychmiast z twierdzenia 11.2.3.Stosując twierdzenie 11.2.1 (c)⇒(a) łatwo obliczamy, że

∫ ba xdx =

b2−a22 . Istotnie,

U(Pn, f) =n∑i=1

xi(xi − xi−1) = (b− a)(n+ 1)b+ (1− n)a

2n−→n→∞

b2 − a2

2.

Twierdzenie 11.3.3. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze-dziale [a, b]. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], z wyjątkiem co najwyżej skoń-czonej ilości punktów, to f jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale.

Dowód. Niech Z ⊂ [a, b] będzie zbiorem wszystkich punktów nieciągłości funkcji f wprzedziale [a, b]. Niech Z ∪ {a, b} = {ξ0, ..., ξk}, gdzie a = ξ0 < . . . < ξk = b.Ponieważ f jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], więc istnieje stała M > 0, że

(11.14) −M 6 f(x) 6M dla x ∈ [a, b].

11.3. CIĄGŁOŚĆ A CAŁKOWALNOŚĆ 245

Weźmy dowolne ε > 0. Niech δ > 0 będzie na tyle małe, że 4M(k + 1)δ < ε oraz

ξ0 < ξ0 + δ < ξ1 − δ < ξ1 + δ < . . . < ξk−1 + δ < ξk − δ < ξk.

Oznaczmy

x0 = ξ0, x1 = ξ1 − δ, ..., xk = ξk − δ oraz y0 = ξ0 + δ, y1 = ξ1 + δ, ..., yk = ξk.

Ponieważ funkcja f jest ciągła w każdym przedziale [yi−1, xi], więc z twierdzenia 11.3.1,∫ xiyi−1—f(x)dx =

∫ xiyi−1f(x)dx dla i = 1, ..., k.

Zatem z twierdzenia 10.2.9 mamy

(11.15)∫ baf(x)dx−

∫ ba—f(x)dx =

k∑i=0

∫ yixif(x)dx−

∫ yixi—f(x)dx

.Z (11.14) i własności 10.2.1 mamy

−M(yi − xi) 6∫ yixi—f(x)dx 6

∫ yixif(x)dx 6M(yi − xi) dla i = 0, ..., k,

więc

0 6∫ yixif(x)dx−

∫ yixi—f(x)dx 6 2M(yi − xi) < 4Mδ.

Stąd i z (11.15) dostajemy

0 6∫ baf(x)dx−

∫ ba—f(x)dx 6 4(k + 1)Mδ < ε.

To, wobec dowolności ε daje∫ ba f(x)dx =

∫ ba—f(x)dx, czyli, że f ∈ R([a, b]). �

Wniosek 11.3.4. Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] taką,że f(x) = 0 dla wszystkich x ∈ [a, b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów.Wówczas f ∈ R([a, b]) oraz

∫ ba f(x)dx = 0.

Dowód. Z założenia mamy, że f jest funkcją ciągłą w [a, b] z wyjątkiem skończonejilości punktów. Zatem z twierdzenia 11.3.3 mamy, że f ∈ R([a, b]).Niech

f1(x) = max{0, f(x)} oraz f2(x) = min{0, f(x)} dla x ∈ [a, b].

Wówczas z powyższego mamy, że f1, f2 ∈ R([a, b]). Ponadto łatwo sprawdzamy, że dlakażdego podziału P przedziału [a, b] mamy L(P, f1) = 0 oraz U(P, f2) = 0. Zatem∫ b

af1dx =

∫ ba—f1dx = 0 oraz

∫ baf2dx =

∫ baf2dx = 0.


Ponieważ f = f1 + f2, więc z twierdzenia 11.1.3(a) dostajemy∫ bafdx =

∫ baf1dx+

∫ baf2dx = 0.

To daje tezę. �

Wniosek 11.3.5. Niech f ∈ R([a, b]). Jeśli g : [a, b] → R jest funkcją taką, żef(x) = g(x) dla wszystkich x ∈ [a, b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punk-tów, to g ∈ R([a, b]) oraz

∫ ba gdx =

∫ ba fdx.

Dowód. Niechh(x) = g(x)− f(x), x ∈ [a, b].

W myśl założenia mamy, że h(x) = 0 dla wszystkich x ∈ [a, b] z wyjątkiem co najwy-żej skończonej ilości punktów. Zatem z wniosku 11.3.4 dostajemy, że h ∈ R([a, b]) oraz∫ ba hdx = 0. Stąd i z twierdzenia 11.1.3(a) mamy

g = h+ f ∈ R([a, b]) oraz∫ bagdx =

∫ bafdx.

�

W świetle wniosku 11.3.5 możemy rozszerzyć pojęcie funkcji całkowalnej w sensie Rie-manna w przedziale [a, b] na przypadek funkcji określonej w przedziale [a, b] z wyjątkiemskończonej ilości punktów.Uogólnienie definicji całki Riemanna. Niech Z będzie podzbiorem skończonym prze-działu [a, b] oraz f – funkcją określoną na zbiorze [a, b] \ Z. Mówimy, że funkcja f jestcałkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b], gdy istnieje funkcja g ∈ R([a, b]) taka,że f |[a,b]\Z = g|[a,b]\Z . Wtedy całką Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] nazywamy liczbę∫ ba gdx i oznaczamy

∫ ba fdx.

11.4 Funkcje o wahaniu skończonym

Definicja funkcji o wahaniu skończonym. Niech f będzie funkcją rzeczywistą okre-śloną na przedziale [a, b]. Element V (f, a, b) ∈ R ∪ {+∞} określony wzorem

V (f, a, b) = sup{n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| : (x0, ..., xn) jest podziałem przedziału [a, b]}

nazywamy wahaniem funkcji f na przedziale [a, b]. Jeśli V (f, a, b) < +∞, to mówimy, żefunkcja f ma w przedziale [a, b] wahanie skończone.

Twierdzenie 11.4.1. (Jordana). Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b]wahanie skończone, to istnieją funkcje rosnące g, h : [a, b]→ R takie, że f = g − h.

11.4. FUNKCJE O WAHANIU SKOŃCZONYM 247

Dowód. Niech v : [a, b]→ R będzie funkcją określoną wzorami v(0) = 0 oraz v(x) =V (f, a, x) dla x ∈ (a, b]. Z założenia, że V (f, a, b) < +∞ i z określenia v dostajemy łatwo,że

0 6 v(x) 6 V (f, a, b) dla x ∈ [a, b].Zauważmy, że

(11.16) |f(y)− f(x)| 6 v(y)− v(x) dla każdych x, y ∈ [a, b] takich, że x < y.Istotnie, weźmy dowolne x, y ∈ [a, b] takie, że x < y. Jeśli x = a, to (11.16) wynika zdefinicji v(y). Jeśli x > a, to dla każdego podziału (x0, ..., xn) przedziału [a, x] mamy

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|+ |f(y)− f(x)| 6 v(y),

więc z definicji wahania funkcji, dostajemy v(x) + |f(y)− f(x)| 6 v(y). To daje (11.16).Połóżmy

g(x) =12[v(x) + f(x)] oraz h(x) =

12[v(x)− f(x)] dla x ∈ [a, b].

Wówczas dla każdych x, y ∈ [a, b] takich, że x < y, z (11.16) dostajemyg(y)− g(x) = 1

2 [v(y)− v(x) + f(x)− f(y)] >12 [v(y)− v(x)− |f(y)− f(x)|] > 0,

h(y)− h(x) = 12 [v(y)− v(x)− f(x) + f(y)] >

12 [v(y)− v(x)− |f(y)− f(x)|] > 0.

To daje, że funkcje g i h są rosnące. Ponadto f = g − h, co kończy dowód. �

Monotoniczność funkcji pociąga jej całkowalność, o czym świadczy

Twierdzenie 11.4.2. Każda funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym jest całko-walna w sensie Riemanna w tym przedziale.

Dowód. Niech f będzie funkcją rosnącą w przedziale [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 iniech n ∈ N będzie takie, że

(11.17)(b− a)(f(b)− f(a))

n< ε.

Weźmy podział P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] taki, że

xi = a+ ib− an, i = 0, ..., n.

Ponieważ f jest funkcją rosnącą, więc

f(xi) = sup f([xi−1, xi]) oraz f(xi−1) = inf f([xi−1, xi]) dla i = 1, ..., n.

Stąd i z (11.17) mamy

U(P, f)− L(P, f) =n∑i=1

(f(xi)− f(xi−1))b− an=b− an(f(b)− f(a)) < ε.

To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje tezę w przypadku, gdy f jest funkcją rosnącą.W przypadku, gdy funkcja f jest malejąca, rozumujemy analogicznie. �

Z twierdzeń 11.4.1 i 11.4.2 dostajemy natychmiast

Wniosek 11.4.3. Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b] wahanie skończone,to f ∈ R([a, b]).


11.5 Całka jako granica sum przybliżonych

Udowodnimy tutaj, że całkę Riemanna można określić jako granicę sum przybliżonych.Zacznijmy od lematu potrzebnego również w dalszym ciągu wykładu.

Lemat 11.5.1. Jeśli f, g ∈ R([a, b]), to dla każdego ε > 0 istnieje η > 0 taka, że dlakażdego podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η oraz każdegociągu ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n mamy

(11.18)

∣∣∣∣∣∫ bafgdx−

n∑i=1

f(ti)∫ xixi−1gdx

∣∣∣∣∣ < εDowód. Niech M ∈ R, M > 0, będzie takie, że |g(x)| 6 M dla x ∈ [a, b]. Weźmy

dowolne ε > 0. Z twierdzenia 11.2.2 istnieje η > 0, że dla każdego podziału P przedziału[a, b] takiego, że δ(P) < η zachodzi

(11.19) U(P, f)− L(P, f) < εM.

Weźmy dowolny podział P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] taki, że δ(P) < η i niechti ∈ [xi−1, xi] dla i = 1, ..., n. Wówczas

∫ bafgdx =

n∑i=1

∫ xixi−1fgdx =

n∑i=1

f(ti)∫ xixi−1gdx+

n∑i=1

∫ xixi−1[f − f(ti)]gdx,

więc

(11.20)∫ bafgdx−

n∑i=1

f(ti)∫ xixi−1gdx =

n∑i=1

∫ xixi−1[f − f(ti)]gdx.

Oznaczając

mi = inf f([xi−1, xi]), Mi = sup f([xi−1, xi]) dla i = 1, ..., n,

mamy

|f(x)− f(ti)| 6Mi −mi dla każdego x ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n.

Zatem z twierdzeń 11.1.3, 11.2.4 i wzoru (11.19), dostajemy∣∣∣∣ n∑i=1

∫ xixi−1[f − f(ti)]gdx

∣∣∣∣ 6M n∑i=1

∫ xixi−1|f − f(ti)|dx

6Mn∑i=1(Mi −mi)(xi − xi−1) =M [U(P, f)− L(P, f)] < ε,

co wraz z (11.20) daje (11.18). �

11.5. CAŁKA JAKO GRANICA SUM PRZYBLIŻONYCH 249

Twierdzenie 11.5.2. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze-dziale [a, b] i niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) f ∈ R([a, b]) i∫ ba fdx = A.

(b) dla każdego ε > 0 istnieje η > 0 taka, że dla każdego podziału P = (x0, ..., xn)przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η oraz każdego ciągu punktów ti ∈ [xi−1, xi],i = 1, ..., n zachodzi

(11.21)

∣∣∣∣∣A−n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1)∣∣∣∣∣ < ε.

Dowód. (a)⇒(b). Kładąc g(x) = 1 dla x ∈ [a, b] i biorąc dowolny podział P =(x0, ..., xn) przedziału [a, b], dostajemy

∫ xixi−1gdx = xi−xi−1. Zatem lemat 11.5.1 daje (b).

(b)⇒(a). Weźmy dowolne ε > 0. Z (b) dostajemy, że istnieje η > 0 taka, że dla każdegopodziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η oraz każdego ciągupunktów ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n zachodzi∣∣∣∣∣A−

n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1)∣∣∣∣∣ < ε3 ,

a więc

(11.22) A− ε3<n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1) < A+ε

3.

Z własności 10.1.3 mamy

L(P, f) = inf{n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1) : ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n}

oraz

U(P, f) = sup{n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1) : ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n},

więc z (11.22),

(11.23) A− ε3

6 L(P, f) oraz U(P, f) 6 A+ε

3.

Stąd dostajemyU(P, f)− L(P, f) 6 A+ ε

3− A+ ε

3< ε.

To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje, że f ∈ R([a, b]).Uwzględniając (11.23) mamy, że dla każdego ε > 0 istnieje podział P przedziału [a, b]

taki, że L(P, f) > A − ε oraz U(P, f) < A + ε. To daje, że∫ ba—fdx > A − ε oraz∫ b

a fdx 6 A+ ε, więc ∫ bafdx−

∫ ba—fdx 6 2ε.


Stąd i z dowolności ε > 0 (ponieważ∫ ba—fdx 6

∫ ba fdx), dostajemy

∫ ba—fdx =

∫ bafdx = A,

a więc∫ ba fdx = A. To daje (a). �

Z twierdzenia 11.5.2 wynika

Twierdzenie 11.5.3. (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Jeśli funk-cja f ma w przedziale [a, b] funkcję pierwotną F : [a, b]→ R oraz f ∈ R([a, b]), to∫ b

afdx = F (b)− F (a).

Dowód. Niech A =∫ ba fdx. Weźmy dowolne ε > 0. Z twierdzenia 11.5.2(a)⇒(b),

istnieje η > 0 taka, że dla każdego podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] o średnicymniejszej od η oraz każdego ciągu punktów ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n zachodzi

(11.24)

∣∣∣∣∣A−n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1)∣∣∣∣∣ < ε.

Niech P = (x0, ..., xn) będzie podziałem przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η. Po-nieważ F jest funkcją różniczkowalną i F ′(x) = f(x) dla x ∈ [a, b], więc z twierdzeniaLagrange’a o wartości średniej 7.3.7 dla każdego i = 1, ..., n istnieje ti ∈ [xi−1, xi], że

F (xi)− F (xi−1) = f(ti)(xi − xi−1),

więc

F (b)− F (a) =n∑i=1

(F (xi)− F (xi−1)) =n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1).

Zatem z (11.24) wynika, że|A− (F (b)− F (a))| < ε.

Stąd i z dowolności ε > 0 dostajemy A = F (b)− F (a). To daje tezę. �

Uwaga 11.5.4. Istnieją funkcje całkowalne w sensie Riemanna nie posiadające funkcjipierwotnej. Na przykład funkcja f(x) = 0 dla x ∈ [0, 1], f(x) = 1 dla x ∈ (1, 2] jestcałkowalna w przedziale [0, 2] jednak nie spełnia ona własności Darboux, więc nie mafunkcji pierwotnej (patrz twierdzenie 9.1.9).Można również pokazać, że istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, po-

siadające funkcje pierwotne, które nie są całkowalne w sensie Riemanna w tym przedziale.

Twierdzenie 11.5.5. (o całkowaniu przez podstawienie I). Niech ϕ : [α, β] →R będzie funkcją, różniczkowalną taką, że ϕ′ ∈ R([α, β]) oraz niech ϕ([α, β]) ⊂ [a, b].Wówczas dla każdej funkcji f ciągłej w przedziale [a, b] mamy f ◦ ϕ · ϕ′ ∈ R([α, β]) oraz

(11.25)∫ ϕ(β)ϕ(α)f(t)dt =

∫ βαf(ϕ(x))ϕ′(x)dx.

11.5. CAŁKA JAKO GRANICA SUM PRZYBLIŻONYCH 251

Dowód. Funkcja f ◦ϕ jest ciągła w przedziale [α, β], więc z twierdzenia 11.3.1, mamyf ◦ ϕ ∈ R([α, β]). Z założenia ϕ′ ∈ R([α, β]), zatem z twierdzenia 11.2.4, f ◦ ϕ · ϕ′ ∈R([α, β]). Funkcja f , jako ciągła w przedziale [a, b] ma funkcję pierwotną F : [a, b] → R(patrz twierdzenie 9.2.4). Wówczas F ◦ ϕ : [α, β] → R jest funkcją pierwotną funkcjif ◦ ϕ · ϕ′ w przedziale [α, β].Jeśli ϕ(α) < ϕ(β), to z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego 11.5.3 mamy∫ ϕ(β)

ϕ(α)f(t)dt = F (ϕ(β))− F (ϕ(α)) =

∫ βαf ◦ ϕ(x)ϕ′(x)dx

Jeśli ϕ(α) = ϕ(β), to zgodnie z definicją,∫ ϕ(β)ϕ(α)f(t)dt = 0 = F (ϕ(β))− F (ϕ(α)) =

∫ βαf ◦ ϕ(x)ϕ′(x)dx.

Jeśli ϕ(α) > ϕ(β), to∫ ϕ(β)ϕ(α) f(t)dt = −

∫ ϕ(α)ϕ(β) f(t)dt, więc∫ ϕ(β)

ϕ(α) f(t)dt = −∫ ϕ(α)ϕ(β) f(t)dt = −[F (ϕ(α))− F (ϕ(β))]

= F (ϕ(β))− F (ϕ(α)) =∫ βα f ◦ ϕ(x)ϕ′(x)dx.

Reasumując mamy tezę. �

Poniżej podajemy ogólniejszą wersję twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie,gdzie nie zakładamy ciągłości funkcji f , jednak wzmacniamy założenie o funkcji ϕ.

Twierdzenie 11.5.6. (o całkowaniu przez podstawienie II). Niech ϕ : [α, β] → Rbędzie funkcją rosnącą, różniczkowalną i ϕ′ ∈ R([α, β]) oraz niech a = ϕ(α), b = ϕ(β),a < b. Wówczas dla każdej funkcji f ∈ R([a, b]) mamy f ◦ ϕ · ϕ′ ∈ R([α, β]) oraz

(11.26)∫ baf(t)dt =


Dowód. Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc istnieje L ∈ R, L > 0, że |f(t)| < L dla t ∈ [a, b].Oznaczmy A =

∫ ba f(t)dt. Weźmy dowolne ε > 0.

Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc z twierdzenia 11.5.2(a)⇒(b) dostajemy, że istnieje η > 0taka, że dla każdego ciągu a = t0 6 t1 6 . . . 6 tn = b takiego, że ti−ti−1 < η oraz każdegociągu ξ1, ..., ξn takiego, że ti−1 6 ξi 6 ti dla i = 1, ..., d zachodzi (1)

(11.27)

∣∣∣∣∣A−n∑i=1

f(ξi)(ti − ti−1)∣∣∣∣∣ < ε2 .

Zauważmy, że istnieje δ > 0 taka, że dla każdego podziału P = (x0, ..., xn) przedziału[α, β] o średnicy mniejszej od δ oraz każdych ciągów ηi, η̃i ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n mamy

(11.28)

∣∣∣∣∣n∑i=1

f(ϕ(ηi))(ϕ′(η̃i)− ϕ′(ηi))(xi − xi−1)∣∣∣∣∣ < ε2 .

1nie piszemy tutaj, że (t0, ..., tn) jest podziałem przedziału [a, b], gdyż dopuszczamy równość ti−1 = tidla pewnych i ∈ {1, ..., n}. W takim przypadku mamy f(ξi)(ti − ti−1) = 0, więc możemy stosowaćtwierdzenie 11.5.2.


Istotnie, z założenia, że ϕ′ ∈ R([α, β]), i z twierdzenia 11.2.2, istnieje δ > 0, że dla każdegopodziału P przedziału [α, β] o średnicy mniejszej od δ zachodzi

(11.29) U(P, ϕ′)− L(P, ϕ′) < ε2L.

Weźmy dowolny podział P = (x0, ..., xn) przedziału [α, β] o średnicy mniejszej od δ i niech

Mi = supϕ′([xi−1, xi]), mi = inf ϕ′([xi−1, xi]) dla i = 1, ..., n.

Wtedy dla każdych ηi, η̃i ∈ [xi−1, xi], mamy

|ϕ′(η̃i)− ϕ′(ηi)| 6Mi −mi, i = 1, ..., n,

więc z (11.29),∣∣∣∣ n∑i=1f(ϕ(η))(ϕ′(η̃i)− ϕ′(ηi))(xi − xi−1)

∣∣∣∣ 6n∑i=1|f(ϕ(ηi))| · |ϕ′(η̃i)− ϕ′(ηi)| · |(xi − xi−1)|

6 Ln∑i=1(Mi −mi)(xi − xi−1) = L[U(P, ϕ′)− L(P, ϕ′)] < L ε2L =

ε2 .

Zmniejszając ewentualnie δ, wobec jednostajnej ciągłości funkcji ϕ możemy założyć, żedla dowolnych x′, x′′ ∈ [α, β] zachodzi

(11.30) |x′ − x′′| < δ ⇒ |ϕ(x′)− ϕ(x′′)| < η.

Weźmy dowolny podział P = (x0, ..., xn) przedziału [α, β] o średnicy mniejszej od δ iniech ηi ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n, będzie dowolnym ciągiem punktów pośrednich. Oznaczmy

ti = ϕ(xi) dla i = 0, ..., n oraz ξi = ϕ(ηi) dla i = 1, ..., n.

Z twierdzenia Lagrange’a 7.3.7 dla każdego i ∈ {1, ..., n} istnieje η̃i ∈ [xi−1, xi], że

(11.31) ti − ti−1 = ϕ′(η̃i)(xi − xi−1).

Z założenia, ϕ jest funkcją rosnącą, więc

a = t0 6 ξ̃1 6 t1 6 . . . 6 tn−1 6 ξ̃n 6 tn = b,

ponadto z (11.30) mamy ti − ti−1 < η dla i = 1, ..., n. Zatem z (11.31), (11.27) i (11.28),∣∣∣∣A− n∑i=1f(ϕ(ηi))ϕ′(ηi)(xi − xi−1)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣A− n∑i=1f(ξi)ϕ′(ηi)(xi − xi−1)

∣∣∣∣6∣∣∣∣A− n∑

i=1f(ξi)(ti − ti−1)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ n∑i=1f(ξi)(ti − ti−1)−

n∑i=1f(ξi)ϕ′(ηi)(xi − xi−1)

∣∣∣∣=∣∣∣∣A− n∑

i=1f(ξi)(ti − ti−1)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ n∑i=1f(ξi)ϕ′(η̃i)(xi − xi−1)−

n∑i=1f(ξi)ϕ′(ηi)(xi − xi−1)

∣∣∣∣< ε2 +

∣∣∣∣ n∑i=1f(ξi)(ϕ′(η̃i)− ϕ′(ηi))(xi − xi−1)

∣∣∣∣ < ε2 + ε2 = ε.To, wobec twierdzenia 11.5.2(b)⇒(a) daje, że f ◦ ϕ · ϕ′ ∈ R([α, β]) i zachodzi (11.26). �

11.6. CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE 253

11.6 Całkowanie i różniczkowanie

Twierdzenie 11.6.1. Niech f ∈ R([a, b]). Wówczas funkcja F : [a, b] → R określonawzorem

(11.32) F (t) =∫ tafdx, t ∈ [a, b]

jest ciągła. Ponadto jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ [a, b], to funkcja F mapochodną w tym punkcie oraz F ′(x0) = f(x0).

Dowód. Wobec twierdzenia 11.1.3(d) mamy, że funkcja F jest poprawnie określona.Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc f jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], czyli istniejeM ∈ R, M > 0, takie że |f(x)| 6M dla x ∈ [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 oraz niech

δ =ε

M.

Wówczas dla dowolnych t1, t2 ∈ [a, b], t1 6 t2 takich, że |t1−t2| < δ, z twierdzenia 11.1.3(c)mamy

|F (t2)− F (t1)| =∣∣∣∣∫ t2t1fdx

∣∣∣∣ 6M(t2 − t1) < Mδ = ε.To daje jednostajną ciągłość, a więc ciągłość funkcji F .Załóżmy teraz, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0. Weźmy dowolne ε > 0 i niech

δ > 0 będzie taka, że dla x ∈ [a, b] z warunku |x − x0| < δ wynika |f(x) − f(x0)| < ε.Weźmy dowolne x1 ∈ [a, b]. Pokażemy, że

(11.33) 0 < |x1 − x0| < δ ⇒∣∣∣∣∣F (x1)− F (x0)x1 − x0

− f(x0)∣∣∣∣∣ 6 ε.

Istotnie, jeśli x1 < x0, to z twierdzenia 11.1.3(c), mamy∣∣∣F (x1)−F (x0)x1−x0 − f(x0)

∣∣∣ = ∣∣∣ −1x1−x0

∫ x0x1fdx+ 1

x1−x0

∫ x0x1f(x0)dx

∣∣∣=∣∣∣ −1x1−x0

∫ x0x1(f − f(x0))dx

∣∣∣ 6 ∣∣∣ 1x1−x0

∣∣∣ ε|x1 − x0| = ε.to daje (11.33) w przypadku, gdy x1 < x0. Analogicznie, zamieniając rolami x0 i x1dowodzimy (11.33), gdy x1 > x0. Z (11.33) dostajemy, że F ′(x0) = f(x0). �

Definicja funkcji górnej granicy całkowania. Dla funkcji f ∈ R([a, b]), funkcję okre-śloną wzorem (11.32) nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.

Uwaga 11.6.2. Niech f ∈ R([a, b]). Wówczas funkcja F : [a, b]→ R określona wzorem

F (t) =∫ btfdx, t ∈ [a, b]

jest ciągła. Ponadto jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ [a, b], to funkcja F mapochodną w tym punkcie oraz F ′(x0) = −f(x0).Istotnie, F (t) =

∫ ba fdx−

∫ ta fdx dla t ∈ [a, b], więc teza wynika z twierdzenia 11.6.1.


Z twierdzenia 11.6.1 dostajemy natychmiast inny dowód istnienia funkcji pierwotnejfunkcji ciągłej w przedziale domkniętym (por. twierdzenie 9.2.4).

Wniosek 11.6.3. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], to górna granica całkowa-nia F : [a, b]→ R, F (t) =

∫ ta fdx, t ∈ [a, b], jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

[a, b].

Dowód. Istotnie, ponieważ f jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b], więc z twierdzenia11.6.1, dla każdego x ∈ [a, b] mamy F ′(x) = f(x). �

Wniosek 11.6.4. Niech f ∈ R([a, b]). Jeśli f(x) > 0 dla x ∈ [a, b] oraz istnieje x0 ∈ [a, b]takie, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i f(x0) > 0, to∫ b

afdx > 0.

Dowód. Niech F (t) =∫ ta fdx, t ∈ [a, b]. Ponieważ f(x) > 0 dla x ∈ [a, b], więc funkcja

F jest rosnąca. Istotnie, dla t1, t2 ∈ [a, b], t1 < t2 mamy

F (t2)− F (t1) =∫ t2t1fdx > 0(t2 − t1) = 0.

Z twierdzenia 11.6.1 dostajemy, że F ′(x0) = f(x0), więc F ′(x0) > 0, zatem F nie jestfunkcją stałą i w konsekwencji∫ b

afdx = F (b) = F (b)− F (a) > 0.

�

Podamy teraz twierdzenie o całkowaniu przez części (por. wniosek 11.6.6).

Twierdzenie 11.6.5. (o całkowaniu przez części). Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz niechF,G : [a, b]→ R będą funkcjami określonymi wzorami

F (t) = C1 +∫ tafdx, G(t) = C2 +

∫ tagdx, t ∈ [a, b],

gdzie C1, C1 ∈ R są dowolnymi stałymi. Wówczas fG, Fg ∈ R([a, b]) oraz∫ bafGdx = F (b)G(b)− F (a)G(a)−

∫ baFgdx.

Dowód. Wobec twierdzenia 11.6.1, funkcje F i G są ciągłe w przedziale [a, b], więcz twierdzenia 11.3.1 wynika, że F,G ∈ R([a, b]). Stąd, z założenia, że f, g ∈ R([a, b]) i ztwierdzenia 11.2.4(a) dostajemy, że fG, Fg ∈ R([a, b]).Weźmy dowolne ε > 0. Niech, wobec lematu 11.5.1, η > 0 będzie taka, że dla każdego

podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η zachodzi∣∣∣∣∣∫ bafGdx−

n∑i=1

G(xi−1)∫ xixi−1fdx

∣∣∣∣∣ < ε2 i

∣∣∣∣∣∫ baFgdx−

n∑i=1

F (xi)∫ xixi−1gdx

∣∣∣∣∣ < ε2 ,

11.7. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ 255

czyli

(11.34)

∣∣∣∣∣∫ bafGdx−

n∑i=1

G(xi−1)[F (xi)− F (xi−1)]∣∣∣∣∣ < ε2 ,

(11.35)

∣∣∣∣∣∫ baFgdx−

n∑i=1

F (xi)[G(xi)−G(xi−1)]∣∣∣∣∣ < ε2 .

NiechP = (x0, .., xn) będzie dowolnym podziałem przedziału [a, b] o średnicy mniejszejod η. Stosując przekształcenie Abela dostajemy

F (b)G(b)− F (a)G(a) =n∑i=1

G(xi−1)[F (xi)− F (xi−1)]+n∑i=1

F (xi)[G(xi)−G(xi−1)].

Stąd, z (11.34) i (11.35) dostajemy∣∣∣∫ ba fGdx+ ∫ ba Fgdx− [F (b)G(b)− F (a)G(a)]∣∣∣6∣∣∣∣∫ ba fGdx− n∑

i=1G(xi−1)[F (xi)− F (xi−1)]

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ ba Fgdx− n∑i=1F (xi)[G(xi)−G(xi−1)]

∣∣∣∣< ε2 +

ε2 = ε.

To, wobec dowolności ε > 0 daje tezę. �

Z twierdzenia 11.6.5 dostajemy natychmiast szczególną lecz często stosowaną w prak-tyce wersję twierdzenia o całkowaniu przez części (2).

Wniosek 11.6.6. (o całkowaniu przez części). Jeśli f, g są funkcjami różniczkowal-nymi w przedziale [a, b] oraz f ′, g′ ∈ R([a, b]), to f ′g, fg′ ∈ R([a, b]) oraz∫ b

af ′gdx = f(b)g(b)− f(a)g(a)−

∫ bafg′dx.

11.7 Twierdzenia o wartości średniej

Twierdzenie 11.7.1. (o wartości średniej I). Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz g(x) > 0 dlax ∈ [a, b] i niech m = inf f([a, b]), M = sup f([a, b]). Wówczas istnieje µ ∈ R takie, że

(11.36)∫ bagfdx = µ

∫ bagdx, przy czym m 6 µ 6M.

Dowód. Ponieważ f, g ∈ R([a, b]), więc z twierdzenia 11.2.4(a),mg, fg,Mg ∈ R([a, b]).Z założenia mamy, m 6 f(x) 6M oraz g(x) > 0 dla x ∈ [a, b], więc mg(x) 6 f(x)g(x) 6Mg(x) dla x ∈ [a, b]. Stąd i z twierdzenia 11.1.3(a)(b), dostajemy

m∫ bagdx 6

∫ bafgdx 6M

∫ bagdx.

2Twierdzenie to można również wyprowadzić z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.


Oznaczmy A =∫ ba fgdx, B =

∫ ba gdx. Jeśli B = 0, to z powyższego, A = 0 i biorąc dowolne

m 6 µ 6M dostajemy (11.36). Jeśli B > 0 to biorąc

µ =A

B,

z poprzedniego wynika, że m 6 µ 6M oraz zachodzi (11.36). �

Wniosek 11.7.2. Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz g(x) > 0 dla x ∈ [a, b]. Jeśli f jest funkcjąciągłą, to istnieje c ∈ (a, b) takie, że

(11.37)∫ bagfdx = f(c)

∫ bagdx,

w szczególności istnieje c ∈ (a, b), że

(11.38)∫ bafdx = f(c)(b− a).

Dowód. Ponieważ (11.38) wynika natychmiast z (11.37) dla g = 1, więc wystarczyudowodnić pierwszą część tezy.Niech

m = inf f([a, b]), M = sup f([a, b]).

Wobec twierdzenia 11.7.1 istnieje µ ∈ R takie, że zachodzi (11.36). Ponieważ f jest funkcjąciągłą, to z własności Darboux

istnieje c ∈ [a, b], że µ = f(c),

więc zachodzi (11.37). Pozostaje pokazać, że można wybrać c takie, że c 6= a i c 6= b. Przy-puśćmy przeciwnie, że c ∈ {a, b} i f(x) 6= f(c) dla x ∈ (a, b). Wówczas,f(c) ∈ {m,M}. Niech A =

∫ ba gdx. Jeśli A = 0, to dowolne c ∈ (a, b) spełnia (11.37).

Stąd, z przypuszczenia i założenia, że g(x) > 0 dla x ∈ [a, b], mamy A > 0.Rozważmy przypadek, gdy f(c) = m. Przypadek, gdy f(c) = M rozważa się analo-

gicznie. Ponieważ A > 0, to istnieją a < x1 < x2 < b takie, że∫ x2x1gdx > 0.

Miech m′ = inf f([x1, x2]). Ponieważ f(x) 6= f(c) dla x ∈ (a, b), więc f(x) > m dlax ∈ [x1, x2], i wobec ciągłości funkcji f mamy m′ > m. Uwzględniając teraz założenieg(x) > 0 dla x ∈ [a, b], mamy:

∫ ba fgdx =

∫ x1a fgdx+

∫ x2x1fgdx+

∫ bx2fgdx > m

∫ x1a gdx+m

′ ∫ x2x1gdx+m

∫ bx2gdx

> m∫ x1a gdx+m

∫ x2x1gdx+m

∫ bx2gdx = m

∫ ba gdx = f(c)

∫ ba gdx,

co przeczy (11.37). Otrzymana sprzeczność kończy dowód. �

11.7. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ 257

Twierdzenie 11.7.3. (o wartości średniej II). Niech funkcja g będzie w przedziale[a, b] malejąca oraz f ∈ R([a, b]). Wówczas:(a) Istnieje c ∈ [a, b] takie, że

(11.39)∫ bafgdx = g(a)

∫ cafdx+ g(b)

∫ bcfdx.

(b) Jeśli g(b) > 0, to istnieje c ∈ [a, b] takie, że

(11.40)∫ bafgdx = g(a)

∫ cafdx.

Dowód. Z twierdzenia 11.4.2 mamy, że g ∈ R([a, b]), a z twierdzenia 11.2.4, żefg ∈ R([a, b]).Udowodnimy najpierw (b). Niech

A =∫ bafgdx oraz F (t) =

∫ tafdx, t ∈ [a, b].

Wobec twierdzenia 11.6.1, funkcja F jest ciągła, więc istnieją

m = minF ([a, b]) oraz M = maxF ([a, b]).

Pokażemy, że

(11.41) mg(a) 6 A, A 6Mg(a).

Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Niech, wobec lematu 11.5.1, η > 0 będzie takie że dlakażdego podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η, mamy

(11.42)

∣∣∣∣∣∫ bafgdx−

n∑i=1

g(xi−1)∫ xixi−1fdx

∣∣∣∣∣ < εWeźmy dowolny podział P = (x0, ...xn) przedziału [a, b] taki, że δ(P) < η. Wówczas∫ xi

xi−1fdx = F (xi)− F (xi−1),

więc z (11.42) mamy

(11.43) A− ε <n∑i=1

g(xi−1)[F (xi)− F (xi−1)] < A+ ε

Z drugiej strony, stosując przekształcenie Abela, i uwzględniając, że F (x0) = 0,

(11.44)n∑i=1

g(xi−1)[F (xi)− F (xi−1)] =n−1∑i=1

F (xi)[g(xi−1)− g(xi)] + F (xn)g(xn−1).

Z założenia, że g jest funkcją malejącą mamy g(xi−1)−g(xi) > 0 oraz g(xn−1) > g(b) > 0.W konsekwencji (11.44) daje

n∑i=1

g(xi−1)[F (xi)− F (xi−1)] >n−1∑i=1

m[g(xi−1)− g(xi)] +mg(xn−1) = mg(x0) = mg(a)


oraz

n∑i=1

g(xi−1)[F (xi)− F (xi−1)] 6n−1∑i=1

M [g(xi−1)− g(xi)] +Mg(xn−1) =Mg(a).

Z (11.43) wynika, więc mg(a) < A+ ε i A− ε < Mg(a), z dowolności ε > 0 zaś, (11.41).Wobec (11.41) i ciągłości funkcji F , istnieje c ∈ [a, b], że zachodzi (11.40). To daje (b).Udowodnimy teraz (a). Funkcja g−g(b) jest malejąca i w punkcie b przyjmuje wartość

zero. Zatem z udowodnionej części (b) wynika, że istnieje c ∈ [a, b], że∫ baf [g − g(b)]dx = [g(a)− g(b)]

∫ cafdx.

W konsekwencji∫ bafgdx = g(a)

∫ cafdx+ g(b)

(∫ bafdx−

∫ cafdx

)= g(a)

∫ cafdx+ g(b)

∫ bcfdx.

To daje (a) i kończy dowód. �

11.8 Zbieżność jednostajna a całkowanie

Twierdzenie 11.8.1. Niech (fn)∞n=1 będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale[a, b]. Jeśli fn ∈ R([a, b]) dla n ∈ N oraz ciąg (fn)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny w [a, b] dofunkcji f , to f ∈ R([a, b]) oraz

(11.45)∫ bafdx = lim

n→∞

∫ bafndx (3).

Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Z jednostajnej zbieżności ciągu (fn)∞n=1 do funkcji fw przedziale [a, b], istnieje n ∈ N takie, że

dla każdego x ∈ [a, b], mamy |fn(x)− f(x)| <ε

3(b− a),

czyli

(11.46) fn(x)−ε

3(b− a)< f(x) < fn(x) +

ε

3(b− a)dla x ∈ [a, b].

Ponieważ fn ∈ R([a, b]), więc fn jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], zatem z(11.46) dostajemy, że funkcja f jest ograniczona w tym przedziale. Niech, wobec twier-dzenia 11.2.2, P będzie podziałem przedziału [a, b] takim, że

(11.47) U(P, fn)− L(P, fn) <ε

3.

3inaczej∫ ba

(limn→∞

fn

)dx = lim

n→∞

∫ bafndx.

11.9. CAŁKOWANIE FUNKCJI O WARTOŚCIACH WEKTOROWYCH 259

Z (11.46) i definicji dolnej i górnej sumy Darboux, dostajemy łatwo

L(P, fn)−ε

36 L(P, f) oraz U(P, f) 6 U(P, fn) +

ε

3(4).

Stąd i z (11.47) wynika, że

U(P, f)− L(P, f) 6 U(P, fn) +ε

3− L(P, fn) +

ε

3< ε.

To, wobec dowolności ε > 0 i twierdzenia 11.2.2 daje, że f ∈ R([a, b]).Pokażemy (11.45). Niech

Mn = sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ [a, b]} dla n ∈ N.

Wobec jednostajnej zbieżności ciągu (fn)∞n=1 do funkcji f w [a, b], z własności 8.2.7 mamy,że limn→∞Mn = 0. Ponadto, z twierdzenia 11.1.3(c),∣∣∣∣∣

∫ bafndx−

∫ bafdx

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∫ ba(fn − f)dx

∣∣∣∣∣ 6Mn(b− a).Stąd, ponieważ lim

n→∞Mn(b− a) = 0, mamy tezę. �

Z twierdzenia 11.8.1 dostajemy natychmiast

Wniosek 11.8.2. Niech (fn)∞n=1 będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale [a, b].

Jeśli fn ∈ R([a, b]) dla n ∈ N oraz szereg∞∑n=1fn jest jednostajnie zbieżny w [a, b] do

funkcji f , to f ∈ R([a, b]) oraz

(11.48)∫ bafdx =

∞∑n=1

∫ bafndx.

11.9 Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych

Definicja . Przez Rk oznaczamy k-krotny iloczyn kartezjański zbioru R. Dokładniej jestto zbiór wszystkich k-wyrazowych ciągów liczbowych. Dla punktu x = (x1, ..., xk) ∈ Rk,oznaczamy ‖x‖ =

√x21 + · · ·+ x2k i nazywamy normą x. Jeśli x, y ∈ Rk, to liczbę ‖x− y‖,

gdzie x− y = (x1 − y1, ..., xk − yk), nazywamy odległością euklidesową punktów x i y.

Uwaga 11.9.1. Funkcja ‖ · ‖ : Rk × Rk → R określona wzorem ‖x− y‖ jest metryką wRk. Istotnie dla x, y ∈ Rk mamy ‖x−y‖ > 0, ‖x−y‖ = ‖y−x‖ oraz ‖x−x‖ = 0. Równieżz warunku ‖x− y‖ = 0 łatwo wynika, że x = y. Nierówność ‖x− y‖ 6 ‖x− z‖+ ‖z− y‖,gdzie z ∈ Rk, wynika z nierówności Schwarza (5).

4Istotnie, jeśli P = (x0, ..., xk), to (11.46) daje, że L(P, f) =k∑i=1inf f([xi−1, xi])(xi − xi−1)

>k∑i=1inf fn([xi−1, xi])(xi − xi−1)−

k∑i=1

ε3(b−a) (xi − xi−1) = L(P, fn) −

ε3 . Analogicznie pokazujemy

U(P, f) 6 U(P, fn) + ε3 .5Istotnie, z nierówności Schwarza (twierdzenie 8.8.1) dla a = (a1, ..., ak), b = (b1, ..., bk) mamy ‖a +

b‖2 = ‖a‖2 + 2k∑i=1aibi + ‖b‖2 6 ‖a‖2 + 2‖a‖‖b‖ + ‖b‖2 = (‖a‖ + ‖b‖)2, więc ‖a + b‖ 6 ‖a‖ + ‖b‖.

Oznaczając teraz a = x− z, b = z − y dostajemy ‖x− y‖ 6 ‖x− z‖+ ‖z − y‖.


Definicja . Niech f1, ..., fk będą funkcjami określonymi na przedziale [a, b] i niech f =(f1, ..., fk) : [a, b] → Rk będzie odwzorowaniem przedziału [a, b] w przestrzeń Rk. Jeślifi ∈ R([a, b]) dla i = 1, ..., k, to mówimy, że odwzorowanie f jest całkowalne w sensieRiemanna w przedziale [a, b] i piszemy f ∈ R([a, b]). Wtedy określamy

∫ bafdx =

(∫ baf1dx, ...,

∫ bafkdx

)

i nazywamy całką Riemanna odwzorowania f na przedziale [a, b].

Twierdzenie 11.9.2. Niech f = (f1, ..., fk) : [a, b]→ Rk będzie odwzorowaniem całkowal-nym w sensie Riemanna na przedziale [a, b]. Wówczas funkcja ‖f‖ : [a, b] → R określonawzorem x 7→ ‖f(x)‖ jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b] oraz∥∥∥∥∥

∫ bafdx

∥∥∥∥∥ 6∫ ba‖f‖dx.

Dowód. Wobec twierdzenia 11.2.4 mamy f 2i ∈ R([a, b]) dla i = 1, ..., k, więc z twier-dzenia 11.1.3, f 21 + · · · + f 2k ∈ R([a, b]). Ponadto f 21 (x) + · · · + f 2k (x) > 0 dla x ∈ [a, b]oraz funkcja ϕ(t) =

√t, t ∈ [0,+∞) jest ciągła. Zatem ponownie z twierdzenia 11.2.4

dostajemy ‖f‖ ∈ R([a, b]).Oznaczmy yi =

∫ ba fidx, i = 1, ..., k i niech y = (y1, ..., yk) ∈ Rk. Wtedy y =

∫ ba fdx

oraz

‖y‖2 =k∑i=1

y2i =k∑i=1

yi

∫ bafidx =

∫ ba

(k∑i=1

yifi

)dx.

Z nierówności Schwarza,k∑i=1yifi(x) 6 ‖y‖‖f(x)‖ dla x ∈ [a, b]. Zatem z twierdzenia 11.1.3

mamy

‖y‖2 6∫ ba

(k∑i=1

yifi

)dx 6 ‖y‖

∫ ba‖f‖dx.

Jeśli y = (0, ..., 0), to teza jest oczywista. Jeśli y 6= (0, ..., 0), to ‖y‖ > 0 i dzieląc powyższąnierówność przez ‖y‖ dostajemy tezę. �

11.10 Krzywe prostowalne

Definicja krzywej. Niech γ1, ..., γk : [a, b]→ R będą funkcjami ciągłymi.

Odwzorowanie γ = (γ1, ..., γk) : [a, b] → Rk nazywamy krzywą. Punkty γ(a), γ(b)nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej γ.

Jeśli γ jest odwzorowaniem różnowartościowym, to krzywą γ nazywamy łukiem.

Jeśli γ(a) = γ(b), to krzywą γ nazywamy zamkniętą.

Jeśli wszystkie funkcje γ1, ..., γk sę różniczkowalne w przedziale [a, b] oraz γ′1, ..., γ′k są

ciągłe, to γ nazywamy krzywą gładką.

11.10. KRZYWE PROSTOWALNE 261

Definicja długości krzywej. Niech γ : [a, b]→ R będzie krzywą. Dla każdego podziałuP = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] określamy

V (P, γ) =n∑i=1

‖γ(xi)− γ(xi−1)‖.

Długością krzywej γ nazywamy

V (γ) = sup{V (P, γ) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.

Jeśli V (γ) < +∞, to krzywą γ nazywamy prostowalną.

Twierdzenie 11.10.1. Jeśli γ : [a, b] → Rk jest krzywą gładką, to γ jest prostowalnaoraz

(11.49) V (γ) =∫ ba‖γ′(t)‖dt,

gdzie γ′ = (γ′1, ..., γ′k) : [a, b]→ Rk.

Dowód. Ponieważ γ′j są funkcjami ciągłymi, więc z γ′j ∈ R([a, b]) i z twierdzenia

11.9.2, ‖γ′‖ ∈ R([a, b]). Niech P = (x0, ..., xn) będzie podziałem przedziału [a, b]. Po-nieważ γj jest funkcją pierwotną funkcji γ′j, więc z podstawowego twierdzenia rachunkucałkowego 11.5.3 oraz twierdzenia 11.9.2, mamy

‖γ(xi)− γ(xi−1)‖ =∥∥∥∥∥∫ xixi−1γ′(t)dt

∥∥∥∥∥ 6∫ xixi−1‖γ′(t)‖dt.

Zatem

V (P, γ) 6n∑i=1

∫ xixi−1‖γ′(t)‖dt =

∫ ba‖γ′(t)‖dt.

Stąd i z dowolności wyboru podziału P wynika

(11.50) V (γ) 6∫ ba‖γ′(t)‖dt.

Pokażemy nierówność przeciwną do (11.50). Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ funkcjeγ′j są jednostajnie ciągłe na przedziale [a, b], więc istnieje δ > 0 taka, że dla każdycht1, t2 ∈ [a, b] takich, że |t1− t2| < δ, zachodzi |γ′j(t1)− γ′j(t2)| < 1√

kε

2(b−a) i w konsekwencji‖γ′(t1)− γ′(t2)‖ < ε

2(b−a) . Mamy więc

(11.51) |t1 − t2| < δ ⇒ ‖γ′(t1)− γ′(t2)‖ <ε

2(b− a).

Dla podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od δ, z (11.51), dosta-jemy

‖γ′(t)‖ 6 ‖γ′(xi)‖+ε

2(b− a)dla t ∈ [xi−1, xi].


Zatem dla każdego i = 1, ..., n, uwzględniając (11.51), mamy∫ xixi−1‖γ′(t)‖dt 6 ‖γ′(xi)‖(xi − xi−1) + ε

2(b−a)(xi − xi−1)

=∥∥∥∫ xixi−1 [γ′(t) + γ′(xi)− γ′(t)]dt∥∥∥+ ε

2(b−a)(xi − xi−1)

6∥∥∥∫ xixi−1 γ′(t)dt∥∥∥+ ∥∥∥∫ xixi−1 [γ′(xi)− γ′(t)]dt∥∥∥+ ε

2(b−a)(xi − xi−1)

6 ‖γ(xi)− γ(xi−1)‖+ 2 ε2(b−a)(xi − xi−1).

Stąd i z określenia V (γ), mamy∫ ba‖γ′(t)‖dt 6 V (P, γ) + 2 ε

2(b− a)(b− a) = V (P, γ) + ε,

z dowolności ε > 0 zaś, że∫ ba ‖γ′(t)‖dt 6 V (γ). To, wraz z (11.50) daje (11.49). �


Wniosek 11.10.2. Niech x,R ∈ R, x,R > 0 oraz niech γ(t) = (R cos t, R sin t), t ∈ [0, x].Wówczas V (γ) = xR.

Dowód. Istotnie, γ jest krzywą gładką oraz ‖γ′(t)‖ = R dla t ∈ [0, x]. Zatem ztwierdzenia 11.10.1 dostajemy tezę. �

Uwaga 11.10.3. Rozważmy rodzinę krzywych γx(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, x], gdzie x > 0.Zbiorem wartości γ2π jest okrąg jednostkowy, to znaczy C = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 = 1}.Ponadto dla każdego x ∈ (0, 2π], zbiorem wartości γx jest łuk Cx, okręgu C, o początku(1, 0) i końcu (u, v) = (cosx, sin x). Zgodnie z wnioskiem 11.10.2, długość tego łuku Cxjest równa x. Zatem dla każdego punktu (u, v) ∈ C oraz łuku Cx o końcu (u, v) mamy u =cosV (Cx), v = sinV (Cx). To daje, że definicje funkcji trygonometrycznych (wprowadzonewcześniej) pokrywają się z poznanymi w szkole średniej.

11.11 Miara Jordana a całka Riemanna

W punkcie tym pokażemy, że dla każdej funkcji f : [a, b] → R całkowalnej w sensieRiemanna w przedziale [a, b] i takiej, że f(x) > 0 dla x ∈ [a, b], całka

∫ ba fdx jest miarą w

sensie Jordana zbioru {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ 0 6 y 6 f(x)}.Definicja . Prostokątem nazywamy podzbiór P płaszczyzny R2, postaci

P = [a1, b1]× [a2, b2], (6)

gdzie [a1, b1], [a2, b2] są przedziałami domkniętymi.Wnętrzem prostokąta P nazywamy zbiór IntP = (a1, b1)× (a2, b2).Miarą prostokąta P = [a1, b1]× [a2, b2] nazywamy liczbę |P| = (b1 − a1) · (b2 − a2).Dla rodziny prostokątów Π = {P1, ...,Pk} przyjmujemy |Π| = |P1|+ · · ·+ |Pk|.6inaczej P = {(x, y) ∈ R2 : a1 6 x 6 b1 ∧ a2 6 y 6 b2}.

11.11. MIARA JORDANA A CAŁKA RIEMANNA 263

Twierdzenie 11.11.1. Niech P będzie prostokątem oraz niech {P1, ...,Pk} będzie rodzinąprostokątów takich, że IntPi ∩ IntPj = ∅ dla i 6= i.(a) Jeśli P1 ∪ . . . ∪Pk = P, to |P1|+ · · ·+ |Pk| = |P|.(b) Jeśli Pj ⊂ P dla j = 1, ..., k, to |P1|+ · · ·+ |Pk| 6 |P|.

Dowód części (a) powyższego twierdzenia można znaleźć w książce [7] (twierdzenie1.16, strona 34). Część (b) wynika z (a) i lematu 2 na stronie 33 w książce [7].Definicja . Zbiór X ⊂ R2 nazywamy ograniczonym, gdy istnieje prostokąt P, że X ⊂ P.Definicja miary zewnętrznej Jordana. Niech D ⊂ R2 będzie zbiorem ograniczonym.Oznaczmy przez U(D) zbiór wszystkich rodzin prostokątów Π = {P1, ...,Pk} takich,

żeD ⊂ P1 ∪ . . . ∪Pk oraz IntPi ∩ IntPj = ∅ dla i 6= j.

Miarą zewnętrzną Jordana zbioru D nazywamy liczbę

mz(D) = inf{|Π| : Π ∈ U(D)}.

Uwaga 11.11.2. Miara zewnętrzna Jordana jest poprawnie określona. Istotnie, dla zbioruograniczonego D, istnieje prostokąt P taki, że D ⊂ P. Zatem U(D) 6= ∅. Ponadto zbiór{|Π| : Π ∈ U(D)} jest ograniczony z dołu przez liczbę 0. W konsekwencji mamy mz(D) >0.

Wprost z definicji miary zewnętrznej Jordana mamy

Własność 11.11.3. Jeśli zbiory A,B ⊂ R2 są ograniczone i A ⊂ B, to mz(A) 6 mz(B).

Definicja miary wewnętrznej Jordana. Niech D ⊂ R2 będzie zbiorem ograniczonym.Oznaczmy przez L(D) zbiór wszystkich rodzin prostokątów Π = {P1, ...,Pk} takich,

żeP1 ∪ . . . ∪Pk ⊂ D oraz IntPi ∩ IntPj = ∅ dla i 6= j.

Miarą wewnętrzną Jordana zbioru D nazywamy liczbę

mw(D) = sup{|Π| : Π ∈ L(D)}, gdy L(D) 6= ∅ oraz mw(D) = 0, gdy L(D) = ∅.

Własność 11.11.4. Jeśli D ⊂ R2 jest zbiorem ograniczonym, to 0 6 mw(D) 6 mz(D).

Dowód. Jeśli mw(D) = 0, to teza jest oczywista. Załóżmy, że mw(D) > 0. Weźmydowolny Π = {P1, ...,Pk} ∈ L(D) oraz niech A = P1 ∪ . . . ∪Pk. Zauważmy, że

(11.52) |Π| 6 mz(A).

Istotnie, weźmy dowolny Π′ = {Q1, ...,Ql} ∈ U(A). Wtedy

Π̃ = {Pi ∩Qj : IntPi ∩ IntQj 6= ∅, i ∈ {1, ..., k}, j ∈ {1, ..., l}} ∈ U(A),


Πi = {R ∈ Π̃ : R ⊂ Pi} ∈ U(Pi) dla i = 1, ..., k,

Π′j = {R ∈ Π̃ : R ⊂ Qj} ∈ L(Qj) dla j = 1, ..., l.

Z twierdzenie 11.11.1(a) mamy |Pi| = |Πi| dla i = 1, ..., k, z twierdzenie 11.11.1(b) zaś,|Π′j| 6 |Qj| dla j = 1, ..., l. Reasumując

|Π| = |Π1|+ · · ·+ |Πk| = |Π′1|+ · · ·+ |Π′l| 6 |Q1|+ · · ·+ |Ql| = |Π′|.

To daje (11.52). Ponieważ A ⊂ D, więc z (11.52) i własności 11.11.3 mamy |Π| 6 mz(D).Stąd, wobec dowolności Π i definicji miary wewnętrznej Jordana, dostajemy tezę. �

Definicja zbioru mierzalnego w sensie Jordana. Zbiór ograniczony D ⊂ R2 nazy-wamy mierzalnym w sensie Jordana, gdy mw(D) = mz(D) (7).Jeśli D ⊂ R2 jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana, to miarę zewnętrzną zbioru

D nazywamy miarą Jardana zbioru D i oznaczamy mJ(D).Zbiór wszystkich mierzalnych w sensie Jordana podzbiorów zbioru R2 oznaczamy J .Udowodnimy teraz zapowiedziane zastosowanie geometryczne całki Riemanna.

Twierdzenie 11.11.5. Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz f(x) > g(x) dla x ∈ [a, b]. Wówczaszbiór D = {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ g(x) 6 y 6 f(x)} jest mierzalny w sensie Jordanai

(11.53) mJ(D) =∫ ba(f − g)dx.

Dowód. Zauważmy najpierw, że

(11.54) mz(D) 6∫ ba(f − g)dx.

Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Wobec twierdzenia 11.2.2, istnieje podział P = (x0, ..., xn)przedziału [a, b] taki, że

(11.55) U(P, f)−∫ bafdx <

ε

3oraz

∫ bagdx− L(P, g) < ε

3.

Niechmgi = inf g([xi−1, xi]), M fi = sup f([xi−1, xi]) dla i = 1, ..., n

oraz niech Π1 = {P1, ...,Pn}, gdzie

Pi = [xi−1, xi]×[mgi −

ε

6(b− a),M fi +

ε

6(b− a)

], i = 1, ..., n.

Łatwo sprawdzamy, że Π1 ∈ U(D) oraz

|Pi| = (M fi −mgi )(xi − xi−1) +

ε

3(b− a)(xi − xi−1) dla i ∈ {1, ..., n}.

7W literaturze przyjmuje się również, że zbiór ograniczony D ⊂ R2 jest mierzalny w sensie Jordana,gdy dla każdego zbioru ograniczonego Z ⊂ R2 zachodzimz(Z) = mz(Z∩D)+mz(Z \D). Można pokazać,że ten warunek jest równoważny warunkowi mw(D) = mz(D).

11.11. MIARA JORDANA A CAŁKA RIEMANNA 265

Zatem dodając |Pi|, i = 1, ..., n i uwzględniając (11.55), mamy

|Π1| = U(P, f)− L(P, g) + ε3

= U(P, f)−∫ ba fdx+

∫ ba gdx− L(P, g) +

∫ ba (f − g)dx+ ε3

< ε3 +

ε3 +

∫ ba (f − g)dx+ ε3 =

∫ ba (f − g)dx+ ε.

Stąd mamy mz(D) 6∫ ba (f − g)dx+ ε, więc z dowolności ε > 0 dostajemy (11.54).

Jeśli∫ ba (f − g)dx = 0, to z (11.54) mamy mz(D) = 0, więc z własności 11.11.4,

dostajemy mJ(D) = 0, co daje (11.53) w tym przypadku.Załóżmy, że

∫ ba (f − g)dx > 0 i oznaczmy A =

∫ ba (f − g)dx. Weźmy dowolne ε > 0.

Wówczas istnieje podział P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b] taki, że

(11.56)∫ bafdx− ε

3< L(P, f) oraz U(P, g) <

∫ bagdx+

ε

3.

Bez zmniejszenia ogólności rozważań, można założyć, że ε < A. Niech

mfi = inf f([xi−1, xi]), M gi = sup g([xi−1, xi]) dla i = 1, ..., n

oraz niech

Qi = [xi−1, xi]×[M gi +

ε

6(b− a),mfi −

ε

6(b− a)

], i = 1, ..., n,

gdzie przyjmujemy Qi = ∅, gdy M gi + ε6(b−a) > mfi − ε

6(b−a) . Co najmniej jeden zbiór Qijest niepusty. Istotnie, w przeciwnym razie

M gi +ε

6(b− a)> mfi −

ε

6(b− a)dla i = 1, ..., n,

więc mnożąc powyższe nierówności przez xi − xi−1 i dodając, dostajemy

L(P, f)− ε6

6 U(P, g) +ε

6,

więc L(P, f)− U(P, g) 6 ε3 . Uwzględniając teraz (11.56) mamy

A =∫ bafdx−

∫ bagdx < L(P, f) +

ε

3− U(P, g) + ε

36ε

3+ε

3+ε

3= ε.

To jest sprzeczne z założeniem, że A > ε. W konsekwencji, istnieje Qi 6= ∅. Niech Π2 ={Q1, ...,Qn}. Łatwo sprawdzamy, że Π2 ∈ L(D) oraz

|Qi| > (mfi −Mgi )(xi − xi−1)−

ε

3(b− a)(xi − xi−1) dla i ∈ {1, ..., n}.

Zatem dodając |Qi|, i = 1, ..., n, i uwzględniając (11.56), mamy

|Π2| > L(P, f)− U(P, g)−ε

3>∫ baf(x)− ε

3−∫ bagdx− ε

3− ε3= A− ε.

W konsekwencji mw(D) > |Π2| > A − ε. Z dowolności ε > 0 dostajemy, że mw(D) > A.To, wraz z (11.54) i własnością 11.11.4 daje, że mJ(D) = A i kończy dowód. �



Wniosek 11.11.6. Niech f ∈ R([a, b]) oraz f(x) > 0 dla x ∈ [a, b]. Wówczas zbiór{(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ 0 6 y 6 f(x)} jest mierzalny w sensie Jordana i jego miaraJordana jest równa

∫ ba fdx.

Przytoczymy jeszcze, bez dowodu, podstawowe własności miary Jordana. Dowody te przeprowadzasię w ”Teorii miary”.

Własność 11.11.7. Niech A,B ⊂ R2 będą zbiorami ograniczonymi.

(a) Jeśli A,B ∈ J , to A ∪B, A ∩B, A \B ∈ J .

(b) Jeśli A,B ∈ J oraz A ∩B = ∅, to mJ(A ∪B) = mJ(A) +mJ(B).

(c) Jeśli A ⊂ B i mJ(B) = 0, to A ∈ J .

11.12 Całki niewłaściwe

Dotychczas rozważaliśmy całkę Riemanna dla funkcji ograniczonych w przedziale do-mkniętym. W tym punkcie rozszerzymy to pojęcie na przypadek funkcji nieograniczonychokreślonych w dowolnych przedziałach.

11.12.1 Całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym

Definicja całki funkcji w przedziale [a,+∞). Niech f będzie funkcją określoną wprzedziale [a,+∞). Jeśli dla każdego β > a funkcja f jest całkowalna w sensie Riemannaw przedziale [a, β] oraz istnieje skończona granica

(11.57) A = limβ→+∞

∫ βafdx,

to liczbę A nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale [a,+∞) lubcałką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,+∞) i oznaczmy

(11.58)∫ +∞afdx.

Wtedy mówimy, że całka (11.58) jest zbieżna do A.Jeśli granica (11.57) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa

funkcja f w przedziale [a,+∞) nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.Jeśli zbieżna jest całka

∫+∞a |f |dx, to mówimy, że całka (11.58) jest bezwzględnie zbież-

na.Jeśli całka (11.58) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka

ta jest warunkowo zbieżna.

Analogicznie określamy całkę funkcji w przedziale (−∞, b], którą oznaczamy∫ b−∞ fdx.

Definicja całki funkcji w przedziale (−∞, b]. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (−∞, b].Jeśli dla każdego α < b funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [α, b] oraz istniejeskończona granica

(11.59) B = limα→−∞

∫ bα

fdx,

11.12. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE 267

to liczbę B nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (−∞, b] lub całką niewłaściwąfunkcji f w przedziale (−∞, b] i oznaczmy

(11.60)∫ b−∞fdx.

Wtedy mówimy, że całka (11.60) jest zbieżna do B.Jeśli granica (11.59) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcja f w

przedziale (−∞, b] nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.Jeśli zbieżna jest całka

∫ b−∞ |f |dx, to mówimy, że całka (11.60) jest bezwzględnie zbieżna.

Jeśli całka (11.60) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka ta jest warun-kowo zbieżna.

Definicja całki funkcji w przedziale (−∞,+∞). Niech f będzie funkcją określonąw przedziale (−∞,+∞). Jeśli istnieje c ∈ R takie, że całki

∫ c−∞ fdx oraz

∫+∞c fdx są

zbieżne, to określamy całkę niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (−∞,+∞) jako

(11.61)∫ +∞−∞fdx =

∫ c−∞fdx+

∫ +∞cfdx,

i mówimy, że całka ta jest zbieżna.Jeśli całka

∫ c−∞ fdx lub

∫+∞c fdx jest rozbieżna, to całkę (11.61) nazywamy rozbieżną.

Jeśli całka∫+∞−∞ |f |dx jest zbieżna, to całkę

∫+∞−∞ fdx nazywamy bezwzględnie zbieżną.

Jeśli całka∫+∞−∞ fdx jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że

całka ta jest warunkowo zbieżna.

Łatwo sprawdzamy, że zachodzi następująca

Własność 11.12.1. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (−∞,+∞). Wówczascałka

∫+∞−∞ fdx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego c ∈ R zbieżne są całki∫ c

−∞ fdx oraz∫+∞c fdx.

Z własności całki Riemanna i własności granicy dostajemy natychmiast podstawowewłasności całek niewłaściwych. Przedstawimy je w przypadku całek na przedziale [a,+∞).Analogiczne własności zachodzą dla całek na przedziałach (−∞, b] oraz (−∞,+∞).

Twierdzenie 11.12.2. Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a,+∞) orazniech całki

∫+∞a fdx,

∫+∞a gdx będą zbieżne. Wówczas:

(a) Dla każdego β ∈ R, β > a, całka∫+∞β fdx jest zbieżna i∫ +∞

afdx =

∫ βafdx+

∫ +∞βfdx, ponadto lim

β→+∞

∫ +∞βfdx = 0.

(b) Dla każdego c ∈ R zbieżna jest całka∫+∞a cfdx oraz∫ +∞

acfdx = c

∫ +∞afdx.

(c) Całki∫+∞a [f + g]dx i

∫+∞a [f − g]dx są zbieżne i∫ +∞

a[f + g]dx =

∫ +∞afdx+

∫ +∞agdx,

∫ +∞a[f − g]dx =

∫ +∞afdx−

∫ +∞agdx.


Z twierdzenia 11.12.2 dostajemy

Wniosek 11.12.3. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a,+∞) taką, że całka∫+∞a fdx jest zbieżna. Jeśli istnieje granica g = lim

x→+∞f(x), to g = 0.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że g 6= 0. Niech najpierw g > 0 i niech q ∈ R będzietakie, że 0 < q < g. Wtedy istnieje β0 ∈ R, β0 > a takie, że f(x) > q dla x > β0. Zatemdla każdego β > β0 mamy∫ β

afdx =

∫ β0afdx+

∫ ββ0fdx >

∫ β0afdx+ q(β − β0),

więc limβ→+∞

∫ βa fdx = +∞. To przeczy założeniu, że całka

∫+∞a fdx jest zbieżna i kończy

dowód w tym przypadku. Analogicznie rozważamy przypadek, gdy g < 0. �

Twierdzenie 11.12.4. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a,+∞) taką, żef ∈ R([a, β]) dla każdego β > a. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) całka

∫+∞a fdx jest zbieżna.

(b) dla każdego ciągu (βn)∞n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz limn→∞ βn = +∞,zbieżny jest szereg

(11.62)∞∑n=1

∫ βnβn−1fdx.

Dowód. Oznaczmy F (β) =∫ βa fdx, β ∈ [a,+∞).

Ad. (a)⇒(b). Weźmy dowolny ciąg (βn)∞n=0 taki, że a = β0 < β1 < ... i limn→∞ βn = +∞.

Wówczas F (βn) =n∑i=1

∫ βiβi−1fdx dla n ∈ N. Wobec (a), całka

∫+∞a fdx jest zbieżna, więc

limn→∞

n∑i=1

∫ βiβi−1fdx = lim

n→∞F (βn) =

∫ +∞afdx ∈ R.

To daje (b).Ad. (b)⇒(a). Dla dowolnego ciągu (βn)∞n=0, gdzie a = β0 < β1 < . . . oraz

limn→∞

βn = +∞, mamy F (βn) =n∑i=1

∫ βiβi−1fdx, więc wobec (b) istnieje skończona grani-

ca limn→∞F (βn). Z twierdzenia 6.3.12, więc istnieje skończona granica lim

β→+∞F (β). To daje

(a). �

Twierdzenie 11.12.5. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a,+∞) taką, że f ∈R([a, β]) dla każdego β > a. Niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) całka

∫+∞a fdx jest zbieżna do A.

(b) dla każdego ciągu (βn)∞n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz limn→∞ βn = +∞,

∞∑n=1

∫ βnβn−1fdx = A.


Dowód. Oznaczmy F (β) =∫ βa fdx, β ∈ [a,+∞).

Ad. (a)⇒(b) Z (a), przy oznaczeniach (b) mamy

limn→∞

n∑i=1

∫ βnβn−1fdx = lim

n→∞F (βn) = A.

To daje (b).(b)⇒(a) Z (b) dla każdego ciągu (βn)∞n=0, gdzie a = β0 < β1 < . . . i limn→∞ βn = +∞,

mamy

limn→∞F (βn) = lim

n→∞

n∑i=1


To, wobec twierdzenia 6.3.12, daje (a). �

Analogiczne twierdzenia do 11.12.4 i 11.12.5 zachodzą dla całek w przedziale (−∞, b]. Przytoczymypierwsze z nich.

Twierdzenie 11.12.6. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (−∞, b] oraz f ∈ R([α, b]) dlakażdego α < b. Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) całka

∫ b−∞ fdx jest zbieżna.

(b) dla każdego ciągu (βn)∞n=0 takiego, że b = β0 > β1 > . . . oraz limn→∞

βn = −∞, zbieżny jest szereg

∞∑n=1

∫ βn−1βn

fdx.

Twierdzenie 11.12.7. Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a,+∞) orazniech f, g ∈ R([a, β]) dla każdego β > a.(a) Jeśli całka

∫+∞a fdx jest bezwzględnie zbieżna, to jest zbieżna oraz∣∣∣∣∫ +∞

afdx

∣∣∣∣ 6 ∫ +∞a|f |dx.

(b) Jeśli |f(x)| 6 g(x) dla x ∈ [a,+∞) oraz całka∫+∞a gdx jest zbieżna, to całka∫+∞

a fdx jest zbieżna bezwzględnie oraz∫ +∞a|f |dx 6

∫ +∞agdx.

(c) Jeśli 0 6 f(x) 6 g(x) dla x ∈ [a,+∞) oraz całka∫+∞a fdx jest rozbieżna, to całka∫+∞

a gdx jest rozbieżna.

Dowód. Ad. (a) Weźmy dowolny ciąg (βn)∞n=1 taki, że a = β0 < β1 < ... i limn→∞ βn =+∞. Oznaczmy

an =∫ βnβn−1fdx, bn =

∫ βnβn−1|f |dx dla n ∈ N.

Wówczas |an| 6 bn dla n ∈ N. Wobec założenia, że całka∫+∞a fdx jest bezwzględnie

zbieżna i twierdzenia 11.12.4 mamy, że szereg∞∑n=1bn jest zbieżny, Zatem z kryterium


porównawczego mamy zbieżność szeregu∞∑n=1an. To, wraz z twierdzeniem 11.12.4 daje

zbieżność całki∫+∞a fdx. Ponadto z twierdzenia 11.12.5,

∣∣∣∣∫ +∞afdx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∞∑n=1

an

∣∣∣∣∣ 6∞∑n=1

|an| 6∞∑n=1

bn =∫ +∞a|f |dx.

To daje (a).Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a).Część (c) wynika natychmiast z (b), gdyż z założenia mamy f(x) = |f(x)| dla

x ∈ [a,+∞). �

Twierdzenie 11.12.8. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a,+∞) taką, żef(x) > 0 dla x ∈ [a,+∞) oraz niech f ∈ R([a, β]) dla każdego β > a. Wówczas następu-jące warunki są równoważne:(a) Całka

∫+∞a fdx jest zbieżna.

(b) Istnieje M ∈ R takie, że dla każdego β > a zachodzi∫ βafdx 6M.

Dowód. Ponieważ f(x) > 0 dla x ∈ [a,+∞), więc funkcja F (β) =∫ βa fdx,

β ∈ [a,+∞) jest rosnąca. Zatem granica limβ→+∞

F (β) istnieje i jest skończona wtedy i

tylko wtedy, gdy funkcja F jest ograniczona. To daje tezę. �

Twierdzenie 11.12.9. (kryterium całkowe zbieżności szeregów). Niechf : [1,+∞)→ R będzie funkcją monotoniczną. Wówczas

szereg∞∑n=1

f(n) jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy całka∫ ∞1fdx jest zbieżna.

Dowód. Oznaczmy an = f(n) dla n ∈ N. Ponieważ f jest funkcją monotoniczną, więcistnieje granica g = lim

x→+∞f(x) i wtedy g = lim

n→∞an. Jeśli g 6= 0, to wobec wniosku 11.12.3 i

warunku koniecznego zbieżności szeregów liczbowych mamy, że zarówno szereg jak i całkasą rozbieżne. To daje tezę w tym przypadku.Niech g = 0. Wówczas z założenia o monotoniczności funkcji f mamy, że f(x) > 0

dla x ∈ [1,+∞) lub f(x) 6 0 dla x ∈ [1,+∞). Rozważymy przypadek, gdy f(x) > 0dla x ∈ [1,+∞). Wówczas f jest funkcją malejącą. Weźmy funkcje g, h : [1,+∞) → Rokreślone wzorami

g(x) = an, h(x) = an+1 dla x ∈ [n, n+ 1).

Oczywiście g(x), h(x) > 0 dla x ∈ [1,+∞) oraz g, h ∈ R([a, β]) dla każdego β > a.Ponieważ f jest funkcją malejącą, to

(11.63) g(x) > f(x) > h(x) dla x ∈ [1,+∞).


Jeśli szereg∞∑n=1an jest zbieżny, powiedzmy do A ∈ R, to dla każdego β > 1 oraz n > β

mamy ∫ β1gdx 6

∫ n1gdx =

n−1∑i=1

an 6 A,

a więc z (11.63) mamy∫ β1 fdx 6 A. Zatem z twierdzenia 11.12.8 dostajemy zbieżność

całki∫+∞1 fdx.

Jeśli całka∫+∞1 fdx jest zbieżna, powiedzmy do B ∈ R, to z (11.63) dla każdego n ∈ N

mamyn∑i=1

ai+1 =∫ n1hdx 6

∫ n1fdx 6 B.

Zatem szereg∞∑n=1an+1, jako szereg o wyrazach nieujemnych, jest zbieżny. W konsekwencji

szereg∞∑n=1an jest zbieżny. To daje tezę w przypadku, gdy f(x) > 0 dla x ∈ [1,+∞).

Jeśli f(x) 6 0 dla x ∈ [1,+∞), to −f(x) > 0 dla x ∈ [1,+∞), więc z udowodnionegopowyżej przypadku dostajemy tezę. �

11.12.2 Całki niewłaściwe w dowolnym przedziale

Definicja całki funkcji w przedziale [a, b). Niech f będzie funkcją określoną w prze-dziale [a, b), gdzie a < b, b ∈ R. Jeśli dla każdego β ∈ (a, b) funkcja f jest całkowalna wsensie Riemanna w przedziale [a, β] oraz istnieje skończona granica

(11.64) A = limβ→b−

∫ βafdx,

to liczbę A nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale [a, b) lub całkąniewłaściwą funkcji f w przedziale [a, b) i oznaczmy

(11.65)∫ bafdx.

Wtedy mówimy, że całka (11.65) jest zbieżna do A.Jeśli granica (11.64) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa

funkcja f w przedziale [a, b) nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.Jeśli zbieżna jest całka

∫ ba |f |dx, to mówimy, że całka (11.65) jest bezwzględnie zbieżna.

Jeśli całka (11.65) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całkata jest warunkowo zbieżna.

Analogicznie określamy całkę funkcji w przedziale (a, b], którą oznaczamy∫ ba fdx.

Definicja całki funkcji w przedziale (a, b]. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b], gdziea < b, a ∈ R. Jeśli dla każdego α ∈ (a, b) funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [α, b]oraz istnieje skończona granica

(11.66) B = limα→a+

∫ bα

fdx,


to liczbę B nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (a, b] lub całką niewłaściwąfunkcji f w przedziale (a, b] i oznaczmy

(11.67)∫ ba

fdx.

Wtedy mówimy, że całka (11.67) jest zbieżna do B.Jeśli granica (11.59) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcja f w

przedziale (a, b] nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.Jeśli zbieżna jest całka

∫ ba|f |dx, to mówimy, że całka (11.67) jest bezwzględnie zbieżna.

Jeśli całka (11.60) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka ta jest warun-kowo zbieżna.

Definicja całki funkcji w przedziale (a, b). Niech f będzie funkcją określoną w prze-dziale (a, b) gdzie a, b ∈ R, a < b. Jeśli istnieje c ∈ (a, b) takie, że całki

∫ ca fdx oraz

∫ bc fdx

są zbieżne, to określamy całkę niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (a, b) jako

(11.68)∫ bafdx =

∫ cafdx+

∫ bcfdx,

i mówimy, że całka ta jest zbieżna.Jeśli całka

∫ ca fdx lub

∫ bc fdx jest rozbieżna, to całkę (11.68) nazywamy rozbieżną.

Jeśli całka∫ ba |f |dx jest zbieżna, to całkę

∫ ba fdx nazywamy bezwzględnie zbieżną.

Jeśli całka∫ ba fdx jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka

ta jest warunkowo zbieżna.

Łatwo sprawdzamy, że zachodzi następująca

Własność 11.12.10. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b). Wówczas:(a) całka

∫ ba fdx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego c ∈ (a, b) zbieżne są

całki∫ ca fdx oraz

∫ bc fdx.

(b) jeśli całka∫ ba fdx jest zbieżna, to

∫ ba fdx =

∫ ca fdx+

∫ bc fdx dla każdego c ∈ (a, b).

W przypadku, gdy funkcja f jest ograniczona w przedziale, to pojęcie całki niewłaści-wej funkcji na tym przedziale pokrywa się z definicją całki Riemanna. Przedstawimy to wprzypadku przedziału postaci [a, b). W pozostałych przypadkach rozumujemy analogicz-nie.

Twierdzenie 11.12.11. Niech f : [a, b) → R oraz g : [a, b] → R i niech f(x) = g(x)dla x ∈ [a, b). Jeśli f jest funkcją ograniczoną i dla każdego β ∈ (a, b), f ∈ R([a, β]), tog ∈ R([a, b]) oraz całka niewłaściwa

∫ ba fdx jest zbieżna i równa całce Riemanna funkcji

g w przedziale [a, b] (8).

8Całka niewłaściwa jest więc istotnym rozszerzeniem pojęcie całki Riemanna tylko w przypadku funkcjinieograniczonych. Prowadzi to do pojęcia punktu osobliwego dla całki niewłaściwej.

Definicja punktu osobliwego. Niech f będzie funkcją określoną w sąsiedztwie D punktu x0 (ewentu-alnie sąsiedztwie lewostronnym lub prawostronnym). Punkt x0 nazywamy punktem osobliwym funkcji f ,gdy dla każdego sąsiedztwa D1 punktu x0 (ewentualnie sąsiedztwa lewostronnego lub prawostronnego)funkcja f nie jest ograniczona w D ∩D1.


Dowód. Ponieważ f jest funkcją ograniczoną i zbiory wartości funkcji g i f różnią sięco najwyżej jednym punktem, więc funkcja g jest ograniczona. Niech więcM ∈ R,M > 0będą takie, że −M < g(x) < M dla x ∈ [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 i niech β ∈ (a, b)będzie takie, że

2M(b− β) < ε2.

Ponieważ f ∈ R([a, β]), to (z twierdzenia 11.2.2) istnieje podział P1 = (x0, ..., xn) prze-działu [a, β] taki, że

U(P1, f)− L(P1, f) <ε

2.

Połóżmy P2 = (x0, .., xn, b). Wtedy P2 jest podziałem przedziału [a, b] oraz

U(P2, g)− L(P2, g) = U(P1, f)− L(P1, f) + sup g([β, b])(b− β)− inf g([β, b])(b− β)

< ε2 + 2M(b− β) <

ε2 +

ε2 = ε.

To daje, że g ∈ R([a, b]). Zatem zgodnie z twierdzeniem 11.6.1, górna granica całkowaniaG(β) =

∫ βa gdx, β ∈ [a, b] jest funkcją ciągłą. Z założenia f(x) = g(x) dla x ∈ [a, b), więc

limβ→b−

∫ βafdx = lim

β→b−

∫ βagdx = lim

β→b−G(β) = G(b) =

∫ bagdx.

To daje, że całka∫ ba fdx jest zbieżna do

∫ ba gdx. �

Z własności całki Riemanna i własności granicy dostajemy natychmiast podstawowewłasności całek niewłaściwych. Przedstawimy je w przypadku całek na przedziale [a, b).Analogiczne własności zachodzą dla całek na przedziałach (a, b] oraz (a, b).

Twierdzenie 11.12.12. Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, b) orazniech całki

∫ ba fdx,

∫ ba gdx będą zbieżne. Wówczas:

(a) Dla każdego β ∈ R, a < β < b, całka∫ bβ fdx jest zbieżna i

∫ bafdx =

∫ βafdx+

∫ bβfdx, ponadto lim

β→b−

∫ bβfdx = 0.

(b) Dla każdego c ∈ R zbieżna jest całka∫ ba cfdx oraz∫ b

acfdx = c

∫ bafdx.

(c) Całki∫ ba [f + g]dx i

∫ ba [f − g]dx są zbieżne i∫ b

a[f + g]dx =

∫ bafdx+

∫ bagdx,

∫ ba[f − g]dx =

∫ bafdx−

∫ bagdx.

Analogicznie jak twierdzenie 11.12.4 dowodzimy następujące:


Twierdzenie 11.12.13. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b) taką, żef ∈ R([a, β]) dla każdego β ∈ (a, b). Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) całka

∫ ba fdx jest zbieżna.

(b) dla każdego ciągu (βn)∞n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz limn→∞ βn = b, zbieżnyjest szereg

(11.69)∞∑n=1

∫ βnβn−1fdx.

Powtarzając dowód twierdzenia 11.12.6 dostajemy

Twierdzenie 11.12.14. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b) taką, żef ∈ R([a, β]) dla każdego β ∈ (a, b). Niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki sąrównoważne:(a) całka

∫ ba fdx jest zbieżna do A.

(b) dla każdego ciągu (βn)∞n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz limn→∞ βn = b,

∞∑n=1


Podajmy jedno twierdzenie analogiczne do twierdzenia 11.12.13 zachodzące dla całek w przedziale(a, b].

Twierdzenie 11.12.15. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b] oraz f ∈ R([α, b]) dla każ-dego α ∈ (a, b). Wówczas następujące warunki są równoważne:(a) całka

∫ bafdx jest zbieżna.

(b) dla każdego ciągu (βn)∞n=0 takiego, że b = β0 > β1 > . . . oraz limn→∞

βn = a, zbieżny jest szereg

∞∑n=1

∫ βn−1βn

fdx.


Twierdzenie 11.12.16. Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, b) orazniech f, g ∈ R([a, β]) dla każdego β ∈ (a, b).(a) Jeśli całka

∫ ba fdx jest bezwzględnie zbieżna, to jest zbieżna oraz∣∣∣∣∣

∫ bafdx

∣∣∣∣∣ 6∫ ba|f |dx.

(b) Jeśli |f(x)| 6 g(x) dla x ∈ [a, b) oraz całka∫ ba gdx jest zbieżna, to całka

∫ ba fdx

jest zbieżna bezwzględnie oraz ∫ ba|f |dx 6

∫ bagdx.

(c) Jeśli 0 6 f(x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b) oraz całka∫ ba fdx jest rozbieżna, to całka

∫ ba gdx

jest rozbieżna.



Twierdzenie 11.12.17. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b) taką, żef(x) > 0 dla x ∈ [a, b) oraz niech f ∈ R([a, β]) dla każdego β ∈ (a, b). Wówczas na-stępujące warunki są równoważne:(a) Całka

∫ ba fdx jest zbieżna.

(b) Istnieje M ∈ R takie, że dla każdego β ∈ (a, b) zachodzi∫ βafdx 6M.

Dla całek niewłaściwych zachodzą twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie i przezczęści, zarówno w przedziale (a, b] jak i w [a, b). Podajemy wersje tych twierdzeń dla całekw przedziale [a, b).

Twierdzenie 11.12.18. (o całkowaniu przez podstawienie dla całek niewłaści-wych). Niech ϕ : [α, β) → R będzie ściśle rosnącą funkcją, różniczkowalną taką, żeϕ′ ∈ R([α, ξ]) dla ξ ∈ (α, β) oraz niech ϕ([α, β)) = [a, b), przy czym ϕ(α) = a orazlimξ→β−

ϕ(ξ) = b. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale [a, b) taką, że f ∈ R([a, y])

dla y ∈ (a, b). Jeśli zbieżna jest jedna z całek∫ ba f(t)dt,

∫ βα f(ϕ(x))ϕ

′(x)dx, to zbieżna jesti druga oraz

(11.70)∫ baf(t)dt =


Dowód. Z twierdzenia 11.5.6, mamy

(11.71)∫ ϕ(ξ)af(t)dt =

∫ ξαf(ϕ(x))ϕ′(x)dx dla każdego ξ ∈ (α, β),

(11.72)∫ yaf(t)dt =

∫ ϕ−1(y)α

f(ϕ(x))ϕ′(x)dx dla każdego y ∈ (a, b).

Przechodząc w (11.71) do granicy przy ξ → β, ze zbieżności całki∫ ba f(t)dt dostajemy

zbieżność całki∫ βα f(ϕ(x))ϕ

′(x)dx oraz (11.70). Ponieważ ϕ jest funkcją ściśle rosnącą,więc lim

y→b−ϕ−1(y) = β. Zatem przechodząc w (11.72) do granicy przy y → b, ze zbieżności

całki∫ βα f(ϕ(x))ϕ

′(x)dx dostajemy zbieżność całki∫ ba f(t)dt oraz równość (11.70). �


Twierdzenie 11.12.19. (o całkowaniu przez części dla całek niewłaściwych).Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, b) takimi, że f, g ∈ R([a, t]) dlat ∈ (a, b) oraz niech F,G : [a, b)→ R będą funkcjami określonymi wzorami

F (t) = C1 +∫ tafdx, G(t) = C2 +

∫ tagdx, t ∈ [a, b),

gdzie C1, C1 ∈ R są dowolnymi stałymi. Jeśli istnieje skończona granica limt→b−F (t)G(t)

oraz zbieżna jest jedna z całek∫ ba fGdx,

∫ ba Fgdx, to zbieżna jest i druga oraz∫ b

afGdx = lim

t→b−[F (t)G(t)− F (a)G(a)]−

∫ baFgdx.


Z twierdzenia 11.12.19 mamy

Wniosek 11.12.20. (o całkowaniu przez części dla całek niewłaściwych). Jeślif, g są funkcjami różzniczkowalnymi w przedziale [a, b) oraz f ′, g′ ∈ R([a, t]) dla t ∈ (a, b),Jeśli istnieje skończona granica lim

t→b−f(t)g(t) oraz zbieżna jest jedna z całek

∫ ba f′gdx,∫ b

a fg′dx to zbieżna jest i druga oraz∫ b

af ′gdx = lim

t→b−[f(t)g(t)− f(a)g(a)]−

∫ bafg′dx.

Definicja całki niewłaściwej funkcji o skończonej ilości punktów osobliwych.Niech a, b ∈ R, a < b i niech Z = {x1, ..., xn}, gdzie a < x1 < ... < xn < b, będziepodzbiorem przedziału P o kończach a, b. Niech f będzie funkcją określoną w P \Z. Jeśliwszystkie całki∫ x1

afdx,

∫ bxnfdx oraz

∫ xixi−1fdx dla i = 2, ..., n

są zbieżne (9), to sumę wartości tych całek nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcjif w przedziale [a, b] i oznaczamy

∫ ba fdx.

9w szczególności zbiór punktów osobliwych funkcji f zawiera się w Z ∪{a, b}, przy czym f ∈ R([α, β])dla każdego przedziału [α, β] takiego, że [α, β] ⊂ (xi−1, xi), gdzie i = 1, ..., n oraz [α, β] ⊂ (a, x1) oraz[α, β] ⊂ (xn, b).

Rozdział 12

Dodatek

12.1 Niewymierność liczby π

W punkcie tym udowodnimy

Twierdzenie 12.1.1. Liczba π jest niewymierna.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że liczba π jest wymierna. Wówczas π = ab, gdzie

a, b ∈ N. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Rozważmy funkcję

f(x) =xn(a− bx)n

n!, x ∈ R.

Oznaczając

ci =(n

i

)(−1)ian−ibi dla i = 0, ..., n,

ze wzoru dwumiennego Newtona mamy

f(x) =n∑i=0

ci1n!xn+i, x ∈ R.

Dla k ∈ N zachodzi

(xm)(k) =m!

(m− k)!xm−k, gdy k 6 m oraz (xm)(k) = 0, gdy k > m,

więc

f (k)(x) =

n∑i=0ci

(n+i)!n!(n+i−k)!x

n+i−k, gdy k < n

n∑i=k−n

ci(n+i)!

n!(n+i−k)!xn+i−k, gdy n 6 k 6 2n

0, gdy k > 2n,

277

278 ROZDZIAŁ 12. DODATEK

zatem

f (k)(0) =

0, gdy k < nck−n

k!n! , gdy n 6 k 6 2n

0, gdy k > 2n.

Z powyższego, z faktu, że f(0) = 0 oraz ci ∈ Z dla i = 0, ..., i, dostajemy

(12.1) f (k)(0) ∈ Z dla każdego k = 0, 1, ...

Z określenia funkcji f mamy f(x) = f(π− x), więc f (k)(x) = (−1)kf (k)(π− x) dla k ∈ N.Stąd i z (12.1),

(12.2) f (k)(π) ∈ Z dla każdego k = 0, 1, ...

Oznaczmy

I =∫ π0f(x) sinxdx.

Ponieważ f(x) > 0 dla x ∈ [0, π] i f(x) sinx > 0 dla x ∈ (0, π), więc z wniosku 11.6.4mamy

(12.3) I > 0.

Niech

F (x) =n∑k=0

(−1)kf (2k)(x), x ∈ R

Funkcja F ′(x) sinx− F (x) cos x jest funkcją pierwotną funkcji f(x) sinx w R. Istotnie,

(F ′(x) sinx− F (x) cos x)′ = F ′′(x) sinx+ F (x) sinx = f(x) sinx dla x ∈ R.

Stosując podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mamy więc

I = F ′(π) sinπ − F (π) cos π − F ′(0) sin 0 + F (0) cos 0 = F (π) + F (0).

Z (12.1) oraz (12.2) wynika, że F (0), F (π) ∈ Z, więc z powyższego mamy I ∈ Z. Uwzględ-niając (12.3) dostajemy I > 1. Z drugiej strony

f(x) sinx 6 f(x) 6πnan

n!dla x ∈ [0, π],

więc

1 6 I 6 ππnan

n!dla każdego n ∈ N.

To jest jednak niemożliwe, gdyż limn→∞π πnan

n! = 0. �

12.2. PRZYKŁADY 279

12.2 Przykłady

Przedstawimy pewne przykłady całek Riemanna i całek niewłaściwych, które odgrywająważną rolę w zastosowaniach.

Przykład 12.2.1. Dla każdego n ∈ N, mamy

(12.4)∫ π2

0sin2n xdx =

3 · 5 · · · (2n− 1)2 · 4 · · · (2n)

· π2,

∫ π2

0sin2n+1 xdx =

2 · 4 · · · (2n)3 · 5 · · · (2n+ 1)

,

(12.5)∫ π2

0cos2n xdx =

3 · 5 · · · (2n− 1)2 · 4 · · · (2n)

· π2,

∫ π2

0cos2n+1 xdx =

2 · 4 · · · (2n)3 · 5 · · · (2n+ 1)

.

Istotnie, dla n = 1 powyższe wzory sprawdzamy bezpośrednio. Dla n > 2, wystarczyzastosować następujące wzory rekurencyjne∫

sinn xdx = − 1nsinn−1 x cosx+ n−1

n

∫sinn−2 xdx

∫cosn xdx = 1

ncosn−1 x sin x+ n−1

n

∫cosn−2 xdx

(których proste sprawdzenie pozostawiamy czytelnikowi) i podstawowe twierdzenie ra-chunku całkowego 11.5.3 �

Pierwsze przedstawienie liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych pochodziod Wallisa. Przytaczamy je w poniższym przykładzie.

Przykład 12.2.2. (wzór Wallisa). Zachodzi następujące przedstawienie liczby π:

(12.6) π = limn→∞

1n

(2 · 4 · · · (2n)3 · 5 · · · (2n− 1)

)2.

Istotnie, oznaczmy

an =∫ π2

0sinn xdx dla n ∈ N.

Wobec wzoru (12.4) w przykładzie 12.2.1,

π =(2 · 4 · · · (2n)3 · 5 · · · (2n− 1)

)2· 22n+ 1

· a2na2n+1

=1n·(2 · 4 · · · (2n)3 · 5 · · · (2n− 1)

)2· 2n2n+ 1

· a2na2n+1

.

Wystarczy więc pokazać, że

(12.7) limn→∞

a2na2n+1

= 1.

Dla x ∈ [0, π2 ] mamy sinx ∈ [0, 1], więc

0 6 sin2n+1 x 6 sin2n x 6 sin2n−1 x.


Zatem, z określenia liczb an mamy 0 < a2n+1 6 a2n 6 a2n−1, więc, wobec (12.4),

1 6a2na2n+1

6a2n−1a2n+1

=2n+ 12n.

To daje (12.7) i w konsekwencji (12.6). �

W rachunku prawdopodobieństwa ważną rolę odgrywa całka Poissona przedstawionaw poniższym przykładzie.

Przykład 12.2.3. (całka Poissona). Całka∫+∞0 e−x

2dx, zwana całką Poissona, jest

zbieżna oraz

(12.8)∫ +∞0e−x

2dx =

√π

2.

Zanim wykażemy (12.8), rozważmy całki niewłaściwe

In =∫ +∞0xne−x

2dx, n = 0, 1, ...

Wszystkie powyższe całki są zbieżne (1). Zauważmy, że

(12.11) 2In = (n− 1)In−2 dla n > 2.

Przyjmując f(x) = xn−1, g(x) = e−x2, mamy f ′(x) = (n − 1)xn−2, g′(x) = −2xe−x2 dla

x ∈ R, więc stosując twierdzenie o całkowaniu przez części (wniosek 11.6.6) dla każdegoβ > 0 mamy

(n− 1)∫ β0xn−2e−x

2dx = βn−1e−β

2+ 2

∫ β0xne−x

2dx,

przechodząc więc do granicy przy β → +∞ dostajemy (12.11). Ponieważ −12e−x2 jest (w

R) funkcją pierwotną funkcji xe−x2 , więc

I1 = limβ→+∞

∫ β0xe−x

2dx = lim

β→+∞

(−12e−β

2+12

)=12.

1Rzeczywiście, weźmy dowolne n ∈ Z, n > 0. Dla x > 2 mamy x2 − x > x, więc

(12.9) 0 <xne−x

2

e−x=xn

ex2−x6xn

ex.

Stosując regułę de l’Hospitala, indukcyjnie pokazujemy, że limx→+∞

xn

ex = 0. Zatem istnieje R > 2, że dla

każdego x > R zachodzi xn

ex 6 1 i wobec (12.9),

(12.10) 0 < xne−x2

6 e−x dla x > R.

Ponieważ −e−x jest w R funkcją pierwotną funkcji e−x, więc stosując podstawowe twierdzenie rachunkucałkowego 11.5.3 mamy lim

β→+∞

∫ βRe−xdx = e−R. To daje zbieżność całki

∫ +∞Re−xdx oraz wobec (12.10) i

twierdzenia 11.12.7(b), zbieżność całki∫ +∞Rxne−x

2dx. Ponieważ funkcja xne−x

2jest ciągła, więc istnieje

całka Riemanna∫ R0 x

ne−x2dx. W konsekwencji całka

∫ +∞0 xne−x2dx jest zbieżna.


Stąd i z (12.11), indukcyjnie dostajemy,

(12.12) 2nI2n = 1 · 3 · · · (2n− 1) · I0 oraz 2I2n+1 = n! dla n ∈ N.

Z (12.12) łatwo wynika, że

(12.13) 2In−1In+1 6 nI2n−1.

Ponieważ dla każdego t ∈ R mamy,

In+1 + 2tIn + t2In−1 =∫ +∞0xn−1(x+ t)2e−x

2dx,

więc całka po prawej stronie jest zbieżna do pewnej liczby dodatniej, zatem

4I2n − 4In−1In+1 < 0.

Stąd mamyI2n < In−1In+1 i dalej z (12.13), 2I2n < nI

2n−1.

To, wraz z (12.12) daje

(n!)2

4n+ 2=

22n+ 1

I22n+1 < I22n < I2n−1I2n+1 =

(n!)2

4n.

Stąd, mnożąc przez 4n i ponownie stosując (12.12) mamy

4n(n!)2

4n+ 2< [1 · 3 · · · (2n− 1)]2I20 < 4n

(n!)2

4n,

a więc1n

(2 · 4 · · · (2k)1 · 3 · · · (2n− 1)

)2n

4n+ 2< I20 <

1n

(2 · 4 · · · (2k)1 · 3 · · · (2n− 1)

)2 14.

Uwzględniając teraz wzór Wallisa (12.6), z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy I20 =π4 ,

a ponieważ I0 > 0, więc mamy (12.8). �

Jedną z najważniejszych funkcji w analizie jest funkcja Γ Eulera, którą przedstawiamyw poniższym przykładzie.

Przykład 12.2.4. (funkcja Γ Eulera). Funkcję Γ : (0,+∞)→ R określoną wzorem

(12.14) Γ(a) =∫ +∞0xa−1e−xdx, a > 0

nazywamy funkcją gamma Eulera. W szczególności

(12.15) Γ(n) = (n− 1)! dla n ∈ N oraz Γ(12) =√π.


Pokażemy, że funkcja Γ jest poprawnie określona, to znaczy, że dla każdego a > 0,całka

∫+∞0 xa−1e−xdx jest zbieżna. W tym celu wystarczy pokazać zbieżność dwóch całek

(12.16)∫ 10xa−1e−xdx oraz

∫ +∞1xa−1e−xdx.

Dla x > 0 mamy 0 < e−x < 1, więc 0 < xa−1e−x < xa−1. Ponieważ a > 0, więc łatwosprawdzamy, że całka

∫ 10 xa−1dx jest zbieżna. W konsekwencji pierwsza całka w (12.16)

jest zbieżna. Z drugiej strony mamy limx→+∞

x2xa−1e−x = 0, więc funkcja x2xa−1e−x jest w

przedziale [1,+∞) ograniczona, czyli istnieje R > 0 takie, że 0 < xa−1e−x 6 Rx2dla x > 1.

Ponieważ całka∫+∞1

Rx2dx jest zbieżna, więc mamy zbieżność drugiej całki w (12.16).

Pokażemy teraz pierwszą część (12.15). Dla n = 1 sprawdzamy łatwo, że

(12.17) Γ(1) =∫ +∞0e−xdx = 1 = 0!.

Dla n > 1 stosując twierdzenie o całkowaniu przez części dostajemy

Γ(n) =∫ +∞0xn−1e−xdx = lim

β→+∞(−βn−1e−β) + (n− 1)

∫ +∞0xn−2e−xdx = (n− 1)Γ(n− 1).

Stąd i z (12.17), łatwo indukcyjnie dostajemy pierwszą część (12.15). Druga część (12.15)dostajemy z całki Poissona (12.8), przez podstawienia ϕ(x) =

√x, x ∈ [0,+∞]. Istotnie,

ϕ jest funkcją ściśle rosnącą,

12√xe−x = e−ϕ

2(x)ϕ′(x) dla x ∈ [0,+∞) i ϕ(0) = 0

orazlimβ→+∞

ϕ(β) = +∞,

więc wobec (12.8),

12Γ(12) =

∫ +∞0

12√xe−xdx =

∫ +∞0e−t

2dt =

√π

2.

To daje drugą część (12.15). �

Podstawowymi w teorii szeregów Fouriera są następujące całki.

Przykład 12.2.5. (całki Fouriera). Niech m,n ∈ N, Wówczas mamy

(12.18)∫ π−πsinnx sinmxdx = 0,

∫ π−πcosnx cosmxdx = 0, gdy n 6= m,

(12.19)∫ π−πsinnx cosmxdx = 0,

(12.20)∫ π−πsin2 nxdx = π,

∫ π−πcos2 nxdx = π.


Istotnie dla x, y ∈ R, mamy następujące:

sin x sin y = 12 [cos(x− y)− cos(x+ y)],

sin x cos y = 12 [sin(x+ y) + sin(x− y)],

cosx cos y = 12 [cos(x+ y) + cos(x− y)].

Stąd z łatwością w zbiorze R obliczamy całki nieoznaczone

∫sinnx sinmxdx =

12

[sin(n−m)xn−m − sin(n+m)x

n+m

], gdy n 6= m

12

[x− sin 2nx2n

]gdy n = m,

∫sinnx cosmxdx =

−12

[cos(n+m)xn+m + cos(n−m)x

n−m

], gdy n 6= m

−12cos 2nx2n gdy n = m,

∫cosnx cosmxdx =

12

[sin(n+m)xn+m + sin(n−m)x

n−m

], gdy n 6= m

12

[x+ sin 2nx2n

]gdy n = m,

Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego 11.5.3 dostajemy, więc (12.18), (12.19)i (12.20). �

Odnotujmy jeszcze trzy przykłady.

Przykład 12.2.6. Dla każdego n ∈ N mamy

(12.21)∫ 10(1− x2)ndx = 2 · 4 · · · (2n)

1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1),

Istotnie, niech γ : [0, π2 ]→ R będzie funkcją określoną wzorem γ(t) = sin t, t ∈ [0, π2 ]. Wówczas

γ([0,π

2]) = [0, 1], γ(0) = 0, γ(

π

2) = 1 oraz (1− γ2(t))nγ′(t) = cos2n+1 t dla t ∈ [0, π

2].

Zatem z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie 11.5.5 i przykładu 12.2.1,∫ 10(1− x2)ndx =

∫ π2

0cos2n+1 tdt =

2 · 4 · · · (2n)3 · 5 · · · (2n+ 1)

.

Przykład 12.2.7. Dla każdego n ∈ N, n > 1 mamy

(12.22)∫ +∞0

dx

(1 + x2)n=1 · 3 · · · (2n− 3)2 · 4 · · · (2n− 2)

· π2.

Istotnie, oznaczając

In =∫

1(x2 + 1)n

dx,

w zbiorze R, gdzie n ∈ N, ze wzoru rekurencyjnego (twierdzenie 9.4.9) mamy, I1 = arctg x+C w zbiorzeR oraz

(12.23) In+1 =12n

x

(x2 + 1)n+2n− 12nIn dla n ∈ N.


Zatem, z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego i definicji całki niewłaściwej mamy

(12.24)∫ +∞0

dx

1 + x2= limβ→+∞

( arctg β − arctg 0) = π2.

Postępując dalej indukcyjnie, wobec (12.23) mamy,

limβ→+∞

∫ β0

dx

(1 + x2)n+1=2n− 12n

limβ→+∞

∫ β0

dx

(1 + x2)n,

przy czym granice w powyższym wzorze istnieją i są skończone. W szczególności z (12.24) dostajemy∫ +∞0

dx

(1 + x2)2=12· π2.

Postępując dalej indukcyjnie dostajemy (12.22).

Przykład 12.2.8. Następująca całka jest zbieżna

(12.25)∫ +∞0

sinxxdx.

Ponieważ limx→0

sin xx = 1, więc funkcja f : R → R określona wzorami f(x) = sin x

x dla x 6= 0 oraz

f(0) = 1, jest ciągła. Zatem, dla każdego t > 0 istnieje całka Riemanna F (t) =∫ t0sin xx dx. Wystarczy

więc pokazać, że granica limt→+∞

F (t) istnieje i jest skończona.

Zauważmy najpierw, że

(12.26) dla każdego ε > 0 istnieje R > 0, że dla każdych t1, t2 > R zachodzi |F (t1)− F (t2)| < ε.

Istotnie, funkcja 1x jest malejąca w przedziale (0,+∞). Zatem dla dowolnych a, b ∈ R takich, że a < b, ztwierdzenia o wartości średniej II 11.7.3 istnieje c ∈ [a, b] takie, że∫ b

a

sinxxdx =

1a

∫ ca

sinxdx+1b

∫ bc

sinxdx

Ponieważ∣∣∫ casinxdx

∣∣ = | cos a− cos c| 6 2 i analogicznie ∣∣∣∫ bc sinxdx∣∣∣ 6 2, więc z powyższego mamy∣∣∣∣∣∫ ba

sinxxdx

∣∣∣∣∣ 6 2(1a+1b

)62a.

Dla ustalonego ε > 0, biorąc teraz R > 0 takie, że 2R < ε, dostajemy (12.26).Pokażemy teraz, że istnieje granica lim

t→+∞F (t). Istotnie, w przeciwnym razie istniałyby dwa ciągi

(t′n)∞n=1, (t

′′n)∞n=1 takie, że lim

n→∞t′n = +∞, lim

n→∞t′′n = +∞ oraz istnieją różne granice g1 = lim

n→∞F (t′n),

g2 = limn→∞

F (t′′n). To jest jednak niemożliwe, gdyż wobec (12.26) dla dowolnego ε > 0 istnieje N , że dla

n > N mamy |F (t′n)− F (t′′n)| < ε. �

12.3 Informacje o szeregach Fouriera

W wielu zagadnieniach teoretycznych i technicznych pojawiają się funkcje okresowe. Wbadaniach takich funkcji pomocne są tak zwane szeregi Fouriera.

12.3. INFORMACJE O SZEREGACH FOURIERA 285

Definicja szeregu Fouriera. Szeregiem Fouriera lub szeregiem trygonometrycznym na-zywamy szereg funkcyjny postaci

(12.27)a02+∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx),

gdzie (an)∞n=0, (bn)∞n=1 są ciągami liczbowymi.

Definicja rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Mówimy, że funkcja f : R → Rrozwija się w szereg Fouriera, gdy istnieje szereg Fouriera postaci (12.27), który w każdympunkcie x ∈ R jest zbieżny do f(x). Wtedy szereg (12.27) nazywamy rozwinięciem funkcjif w szereg Fouriera.

Uwaga 12.3.1. Wprost z definicji mamy, że każda funkcja posiadająca rozwinięcie wszereg Fouriera jest okresowa o okresie 2π.

Twierdzenie 12.3.2. Jeśli funkcja f : R→ R ma rozwinięcie w szereg Fouriera

(12.28) f(x) =a02+∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx), x ∈ R

i szereg po prawej stronie (12.28) jest zbieżny jednostajnie, to

(12.29) a0 =1π

∫ π−πf(x)dx,

(12.30) an =1π

∫ π−πf(x) cosnxdx, bn =

1π

∫ π−πf(x) sinnxdx dla n ∈ N.

Dowód. Ponieważ szereg w (12.28) jest jednostajnie zbieżnym szeregiem funkcji cią-głych, więc f jest funkcją ciągłą, w szczególności funkcja f oraz funkcje f(x) cosnx,f(x) sinnx są całkowalne w sensie Riemanna w przedziale [−π, π]. Ponadto, wobec twier-dzenia 11.8.2 mamy

(12.31)∫ π−πf(x)dx =

a02

∫ π−π1dx+

∞∑n=1

(an

∫ π−πcosnxdx+ bn

∫ π−πsinnxdx

).

Ponieważ∫ π−π cosnxdx = 0 i

∫ π−π sinnxdx = 0, więc z powyższego dostajemy (12.29).

Mnożąc (12.28) przez cos kx dostajemy

f(x) cos kx =a02cos kx+

∞∑n=1

(an cosnx cos kx+ bn sinnx cos kx), x ∈ R,

przy czym szereg po prawej stronie jest zbieżny jednostajnie, jako iloczyn szeregu zbież-nego jednostajnie przez funkcję ograniczoną. Zatem analogicznie jak w (12.31) mamy

(12.32)

∫ π−π f(x) cos kxdx

= a02∫ π−π cos kxdx+

∞∑n=1

(an∫ π−π cosnx cos kxdx+ bn

∫ π−π sinnx cos kxdx

).

Uwzględniając przykład 12.2.5 mamy∫ π−π cos

2 kxdx = π,∫ π−π sinnx cos kxdx = 0 dla

n, k ∈ N oraz∫ π−π cosnx cos kx = 0 dla n 6= k. W konsekwencji z (12.32) dostajemy∫ π

−π f(x) cos kxdx = akπ. To daje pierwszą część (12.30). Drugą część (12.30) dowodzimyanalogicznie, po pomnożeniu (12.28) przez sin kx. �

Dla dowolnej funkcji f całkowalnej w sensie Riemanna w przedziale [−π, π] możnaobliczyć współczynniki an i bn określone wzorami (12.29) i (12.30). Prowadzi to do pojęciaszeregu Fouriera funkcji.Definicja szeregu Fouriera funkcji. Niech f ∈ R([−π, π]). Szereg Fouriera postaci

a02+∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx),

gdzie współczynniki an i bn określone są wzorami (12.29) i (12.30) nazywamy szeregiemFouriera funkcji f .

Uwaga 12.3.3. Jeśli funkcja f rozwija się w szereg Fouriera (12.27) i szereg ten jestzbieżny jednostajnie, to szereg Fouriera funkcji pokrywa się z rozwinięciem tej funkcjiw szereg Fouriera. W ogólnym przypadku tak być nie musi. Szereg Fouriera może niebyć zbieżny lub może zbiegać do innych wartości od wartości funkcji. Szukanie warunkówprzy których pojęcia szeregu Fouriera i rozwinięcia w szereg Fouriera pokrywają się jestpodstawowym zagadnieniem teorii szeregów Fouriera.

Dla ilustracji podamy, bez dowodów, dwa podstawowe twierdzenia dotyczące rozwi-jania funkcji w szeregi Fouriera. Dowody tych twierdzeń można znaleźć na przykład wtrzecim tomie książki Fichtenholza [6], w punktach 699 i 686.

Twierdzenie 12.3.4. (Dirichleta-Jordana). Szereg Fouriera funkcji f jest zbieżny dotej funkcji jednostajnie w przedziale [−π, π], jeśli w pewnym szerszym przedziale [a, b],gdzie a < −π, π < b, funkcja ta jest ciągła i ma wahanie skończone.

Jako szczególny przypadek powyższego twierdzenia mamy

Wniosek 12.3.5. Jeśli funkcja f : R→ R jest okresowa o okresie 2π oraz jest klasy C1,to szereg Fouriera funkcji f jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w zbiorze R.

Istotnie, funkcja klasy C1 w przedziale domkniętym spełnia w nim warunek Lipschitza,a więc ma tam wahanie skończone.

Twierdzenie 12.3.6. (Dirichleta). Jeśli funkcja f : R → R ograniczona o okresie 2πjest przedziałami monotoniczna w przedziale [−π, π] (2) i ma skończoną ilość punktównieciągłości w przedziale [−π, π], to szereg Fouriera funkcji f ma sumę f(x0) w każdympunkcie ciągłości x0 funkcji f i sumę równą

12

[limx→x−0

f(x)+ limx→x+0

f(x)],

w każdym punkcie nieciągłości x0 funkcji f .

2Rozumiemy przez to, że istnieje podział P = (x0, ..., xn) przedziału [−π, π] taki, że w każdym prze-dziale (xi−1, xi) funkcja f jest monotoniczna.

Spis literatury

[1] A. Birkholz, Analiza matematyczna dla nauczycieli I, PWN, Warszawa 1980.

[2] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa1996.

[3] G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Nauka, Moskwa 1997 (po rosyj-sku).

[4] J. Chądzyński, Analiza matematyczna, manuskrypt.

[5] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, Nauka, Moskwa1990 (po rosyjsku).

[6] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1, 2, 3, PWN, Warszawa 1980.

[7] F. M. Filipczak, Teoria miary i całki, Skrypt ze zbiorem zadań, Wyd. UŁ, Łódź 1997.

[8] T. Krasiński, Analiza matematyczna, funkcje jednej zmiennej, Wyd. UŁ, Łódź 2001.

[9] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. 1 i 2, PWN,Warszawa 1976.

[10] K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1977.

[11] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1980.

[12] K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 1978.

[13] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1969.

[14] S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973.

[15] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1977.

[16] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t. 1, cz. 1 i 2, Wyd. UAM, Poznań1993.

[17] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1998.

[18] W. Sierpiński, Działania nieskończone, Spółdzielnia Wydawnicza Czytelnik, Warsza-wa 1948.

287

Wykaz symboli i skrótów

= równe, 5

6= różne, 5

∈ należy do, 56∈ nie należy do, 5∨ znak alternatywy, 5∧ znak koniunkcji, 5∼ znak negacji, 5

⇒, ⇐ znaki implikacji, 5

⇔ znak równoważności, 5

∃ znak kwantyfikatora szczegółowego, 5∀ znak kwantyfikatora ogólnego, 5∅ znak zbioru pustego, 5{a} zbiór jednoelementowy, 6{x : ϕ(x)} zbiór elementów spełniających for-

mułę ϕ, 5

(a, b) para uporządkowana, 6

A \B różnica zbiorów, 6

A×B iloczyn kartezjański zbiorów, 6

xRy x jest w relacji z y, 6

F : A→ B funkcja, 6

⊂, ⊃ znaki inkluzji, 6

F (C) obraz zbioru, 7

F (a) wartość funkcji w punkcie a, 7

F−1(D) przeciwobraz zbioru, 7

∩,⋂znak iloczynu zbiorów, 7

∪,⋃znak sumy zbiorów, 7

id funkcja identyczność, 8

f |A obcięcie funkcji8

f−1 funkcja odwrotna, 8

g ◦ f złożenie funkcji, 8+ znak dodawania, 9

· znak mnożenia, 90, 1 liczba zero, jeden, 10

−x element przeciwny do x, 101/x, 1x element odwrotny do x, 10

|x| moduł liczby x, 14

<, >, 6, > znak nierówności, 9, 12, 14

sgn (x) znak liczby x, 15

R zbiór liczb rzeczywistych, 9

(a, b) przedział otwarty, 14

[a, b] przedział domknięty, 14

|P | długość przedziału P , 15inf kres dolny, 16, 37

sup kres górny, 16, 37

max maksimum, 17

min minimum, 17

−E, 18E + F , 18

E · F , 18N zbiór liczb naturalnych, 19

Fn = {k ∈ N : k < n+ 1}, 21Nn0,m0 = {n ∈ N : n0 6 n 6 m0}, 22Nn0 = {n ∈ N : n > n0}, 222N zbiór liczb parzystych, 23

2N− 1 zbiór liczb nieparzystych, 23Z zbiór liczb całkowitych, 23

[x] całość z liczby, 24

Za0 = {a ∈ Z : a > a0}, 24(mn

)symbol Newtona, 26

Q zbiór liczb wymierntch, 24

n! silnia, 26

(ak)nk=1 ciąg skończony, 33

Rn = {(a1, ..., an) : a1, ..., an ∈ R}, 33∏znak iloczynu, 33, 34∑znak sumy, 33, 34

+∞, −∞ nieskończoności, 36

R rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, 36

xy potęga, 39, 42, 45, 47n√x,√x pierwiastek z liczby x, 44

log, loga x logarytm, 52

ln logarytm naturalny, 76

inf f(E) kres dolny funkcji, 55

288

WYKAZ SYMBOLI I SKRÓTÓW 289

sup f(E) kres górny funkcji, 55

max f(E) wartość największa funkcji, 55

min f(E) wartość najmniejsza funkcji, 55

deg f stopień wielomianu f , 57

(an)n∈N, (an) ciąg nieskończony, 61

lim granica, 62, 69, 121

e liczba e, 75

(ank)k∈N podciąg ciągu (an)n∈N, 76

lim inf granica dolna, 81

lim sup granica górna, 81

d(x, y) odległość punktów x, y, 84

IntX wnętrze zbioru X, 87

X domknięcie zbioru X, 87∞∑n=1an szereg, 91, 94

∞∑n=0an(x− x0)n szereg potęgowy, 109

sin sinus, 112

cos cosinus, 112

tg tangens, 117

ctg cotangens, 117

X+x0 = {x ∈ X : x > x0}, 125X−x0 = {x ∈ X : x < x0}, 125limx→x+0

f(x) granica prawostronna funkcji w punk-

cie x0, 125

limx→x−0

f(x) granica lewostronna funkcji w punk-

cie x0, 125

π liczba π, 146

arcsin arcus sinus, 150

arccos arcus cosinus, 150

arctg arcus tangens, 150

arcctg arcus cotangens, 150

f ′(x0), (f(x))′x=x0 pochodna funkcji f w punk-

cie x0, 151, 157

Df ′ dziedzina pochodnej funkcji f , 155

f ′, (f(x))′ pochodna funkcji f , 155, 157

Df ′′ dziedzina pochodnej rzędu drugiego funk-

cji f , 165

f ′′ pochodna funkcji f rzędu drugiego, 165

f ′′(x0) pochodna rzędu drugiego funkcji f w

punkcie x0, 165

f (n) pochodna funkcji f rzędu n, 165

f (n)(x0) pochodna funkcji f rzędu n w punkcie

x0, 165

C0 klasa funkcji ciągłych, 166

C∞ klasa funkcji nieskończenie wiele razy róż-

niczkowalnych, 166

Cn klasa funkcji n krotnie różniczkowalnych w

sposób ciągły, 166

Y X rodzina funkcji określonych na zbiorze X o

wartościach w zbiorze Y , 183

fn ⇒ f ciąg funkcyjny (fn)∞n=1 jest jednostaj-

nie zbieżny do funkcji f , 184

ω moduł ciągłości, 200

A+B, 212

A ◦ ϕ, 212∫fdx,

∫f(x)dx całka nieoznaczona, 212

aA, 212

g +A, 212

P podział przedziału, 229

δ(P) średnica podziału, 229

L(P, f) dolna suma Darboux, 229

U(P, f) górna suma Darboux, 229

L(f) zbiór dolnych sum Darboux, 232

U(f) zbiór górnych sum Darboux, 232∫ ba—f(x)dx dolna całka Darboux, 232∫ b

af(x)dx górna całka Darboux, 232

R([a, b]) zbiór funkcji całkowalnych w sensie Rie-manna w przedziale [a, b], 237∫ b

afdx,

∫ baf(x)dx całka Riemanna, 237∫ b

afdα całka Riemanna-Stieltjesa, 239

V (f, a, b) wahanie funkcji f , 246

V (γ) długość krzywej γ, 261

P prostokąt, 262

|P| miara prostokąta, 262|Π| suma miar prostokątów rodziny Π, 262mw(D) miara wewnętrzna Jordana zbioru D,

263

mz(D) miara zewnętrzna Jordana zbioruD, 263

J rodzina zbiorów mierzalnych w sensie Jorda-

na, 264

mJ(D) miara Jordana zbioru D, 264∫ +∞afdx całka niewłaściwa Riemanna, 266∫ b

−∞ fdx całka niewłaściwa Riemanna, 266∫ +∞−∞ fdx całka niewłaściwa Riemanna, 267∫ bafdx całka niewłaściwa Riemanna, 271

Γ funkcja gamma Eulera, 281

Skorowidz

Aksjomat, 5– antysymetrii relacji mniejszości, 10– istnienia elementów neutralnych działań, 10– – różnicy i ilorazu, 10– przechodzniości relacji mniejszości, 10– przemienności dodawania i mnożenia, 9– rozdzielności mnożenia względem dodawania,

9– spójności relacji mniejszości, 10– zasada ciągłości Dedekinda, 10– łączności dodawania i mnożenia, 9Aksjomaty ciała, 9– porządku, 10– rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych, 36– teorii mnogości, 5– związku między działaniami i relacją mniejszo-

ści, 10argument funkcji, 6asymptota pionowa funkcji, 182– ukośna funkcji, 181

bijekcja, 8

całka Darboux dolna, 232– Darboux górna, 232– nieoznaczona, 212– niewłaściwa rozbieżna, 266, 267, 271, 272– niewłaściwa zbieżna, 266, 267, 271, 272– – – bezwzględnie, 266, 267, 271, 272– – – warunkowo, 266, 267, 271, 272– – Riemanna, 266, 267, 271, 272, 276– Poissona, 280– Riemanna, 237, 246, 260– Riemanna-Stieltjesa, 239całość z liczby, entier, 24ciąg, 61– Cauchy’ego, 80– częściowy, podciąg, 76, 93– funkcyjny, 183, 184– – rozbieżny, 183– – zbieżny, 183– – zbieżny jednostajnie, 184– liczbowy, 33, 61, 93– malejący, 61– monotoniczny, 61– nieskończony, 61, 93

ciąg ograniczony, 61– – z dołu, 61– – z góry, 61– przybliżeń dziesiętnych liczby, 118– reszt we wzorze Taylora, 196– rosnący, 61– rozbieżny, 62– różnowartościowy, 61– skończony, 33, 57– sum częściowych ciągu, 91, 93– – – – funkcyjnego, 183, 184– – – szeregu, 91– – – – funkcyjnego, 183, 184– – – – liczbowego, 94– zbieżny, 62– ściśle malejący, 61– – rosnący, 61czynnik, 11

domknięcie zbioru, 87dostatecznie duże, 62działanie dodawania, 9– dzielenie, 11– mnożenia, 9– odejmowanie, 11dziedzina funkcji, 6długość krzywej, 261– przedziału, 15

ekstremum lokalne, 174– – właściwe, 174element najmniejszy, minimum, 17– największy, maksimum, 17– odwrotny, 10– przeciwny, 10

formuła zdaniowa, 6funkcja, 6– analityczna, 195– – w punkcie, 195– arcus cosinus, 150– arcus cotangens, 150– arcus sinus, 150– arcus tangens, 150– całkowalna w sensie Riemanna, 237, 246– ciągła, 132

290

SKOROWIDZ 291

funkcja ciągła w punkcie, 132– cosinus, 112– cotangens, 117– Dirichleta, 55– dwukrotnie różniczkowalna, 165– – – w zbiorze, 165– Γ, 281– górnej granicy całkowania, 253– identyczność, 8– klasy C0, Cn, C∞, 166– lewostronnie ciągła, 140– – – w punkcie, 140– logarytmiczna, 56– malejąca, 54– monotoniczna, 54– n-krotnie różniczkowalna, 165– – – w zbiorze, 165– ”na”, surjekcja, 7– nieparzysta, 54– o wahaniu skończonym, 246– odwrotna, odwracalna, 8– ograniczona, 55– – z dołu, 55– – z góry, 55– okresowa, 54– parzysta, 54– pierwiastkowa, 56– pierwotna, 207– potęgowa, 55– prawostronnie ciągła, 140– – – w punkcie, 140– półciągła z dołu, 141– – – – w punkcie, 141– półciągła z góry, 141– – – – w punkcie, 141– rosnąca, 54– rozwijalna w szereg Fouriera, 285– – – – potęgowy, 195– rzeczywista, 53– różniczkowalna, 156– – w punkcie, 151– – w zbiorze, 155– różnowartościowa, injekcja, 8– silnia, 26– sinus, 112– tangens, 117– wewnętrzna, 8– wielomianowa, wielomian, 57– wklęsła w przedziale, 177– wykładnicza, 56– wymierna, 60– – dwóch zmiennych, 221– wypukła w przedziale, 177– ζ Riemanna, 98

fnkcja zewnętrzna, 8– ściśle malejąca, 54– – monotoniczna, 54– – rosnąca, 54funkcje cyklometryczne, 150– elementarne, 150– – podstawowe, 150

granica ciągu, 62– – funkcyjnego, 183– cząściowa ciągu, 78– dolna ciągu, 81– – funkcji w punkcie, 140– funkcji w nieskończoności, 130– – w punkcie, 122– – – – w sensie Cauchy’ego, 121– – – – w sensie Heinego, 121– górna ciągu, 81– – funkcji w punkcie, 141– lewostronna funkcji w punkcie, 125– niewłaściwa ciągu, 69– – funkcji w nieskończoności, 130– – – w punkcie, 128– – lewostronna funkcji w punkcie, 129– – prawostronna funkcji w punkcie, 129– – funkcji w nieskończoności, 130– prawostronna funkcji w punkcie, 125– właściwa funkcji w punkcie, 128

hipoteza Goldbacha, 41homeomorfizm, 144

iloczyn ciągu skończonego, 33– dwóch funkcji, 54– funkcji przez liczbę, 54– kartezjański, 6– liczb, 11– rodziny zbiorów, część wspólna, 7– szeregu przez liczbę, 92– szeregów w sensie Cauchy’ego, 106– wartości funkcji, 34iloraz funkcji, 54– liczb, 11– różnicowy funkcji w punkcie, 151– szeregu geometrycznego, 95inkluzja, 6

jednomian, 57– dwóch zmiennych, 221jedynka, 10

kres dolny i górny funkcji, 55– – zbioru, 16, 37– górny zbioru, 16, 37kryterium Abela, 99

292 SKOROWIDZ

kryterium Abela jednostajnej zbieżności szeregufunkcyjnego, 188

– Cauchy’ego, 101, 102– całkowe zbieżności szeregów, 270– d’Alemberta, 100, 101– Dirichleta, 98– – jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego,

189– graniczne, 96– Leibniza, 99– monotoniczności funkcji, 172– porównawcze zbieżności szeregów, 96, 100–Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funk-

cyjnego, 187– ścisłej monotoniczności funkcji, 172krzywa, 260– gładka, 260– koniec krzywej, 260– początek krzywej, 260– prostowalna, 261– zamknięta, 260

liczba algebraiczna, 60– całkowita, 23– dodatnia, 14– naturalna, 19– niedodatnia, 14– nieparzysta, 23– nieujemna, 14– niewymierna, 24– parzysta, 23– pierwsza, 41– przestępna, 60– rzeczywista, 9– ujemna, 14– wymierna, 24licznik, 24logarytm, 52– naturalny, 76łuk, 260

maksimum lokalne, 174– – właściwe, 174– rodziny funkcji, 124metryka, odległość, 84mianownik, 24miara Jordana, 264– – wewnętrzna, 263– – zewnętrzna, 263– prostokąta, 262minimum lokalne, 174– – właściwe, 174– rodziny funkcji, 124moduł ciągłości funkcji, 200– wartość bezwzględna liczby, 14

najmniejsza wartość funkcji, 55największa wartość funkcji, 55nierówność, 12– Bernoulliego, 40– Schwarza, 41, 198nieskończoność +∞, −∞, 36norma, 259

obcięcie funkcji, 8obraz zbioru, 7odległość euklidesowa, 259odwzorowanie, 6– całkowalne w sensie Riemanna, 260ograniczenie dolne zbioru, 16– górne zbioru, 16okres funkcji, 54– podstawowy funkcji, 54określanie funkcji przez indukcję, 26– – – – skończoną, 25otoczenie lewostronne punktu, 84– prawostronne punktu, 84– punktu, 84

para uporządkowana, 6pierwiastek funkcji, zero funkcji, 53– z liczby rzeczywistej, stopnia n, 44– – – ujemnej, 45pochodna funkcji, 155– – rzędu n, 165– – – – w punkcie, 165– – – – w zbiorze, 165– – – drugiego, 165– – – – w punkcie, 165– – – – w zbiorze, 165– – w punkcie, 151– – w zbiorze, 155podstawa potęgi, 47podstawienie Eulera I, 225– Eulera II, 227– Eulera III, 226podzbiór, 6podział przedziału, 229pojęcia pierwotne, 5potęga o wykładniku całkowitym, 42– – – naturalnym, 39– – – rzeczywistym, 47– – – wymiernym, 45prawie wszystkie, 62promień zbieżności szeregu potęgowego, 109prostokąt, 262przeciwdziedzina funkcji, 6przeciwobraz zbioru, 7przedział, 14– domknięty, 15– nieskończony, 37

SKOROWIDZ 293

przedział otwarty, 15– zbieżności szeregu potęgowego, 109przekrój Dedekinda, 17przestrzeń metryczna, 84– zupełna, 88– zwarta, 88punkt izolowany zbioru, 85– nieciągłości funkcji, 139– – – drugiego rodzaju, 139– – – pierwszego rodzaju, 139– osobliwy funkcji, 272– podziału, 229– przegięcia, 180– skupienia zbioru, 85

relacja dwuczłonowa, 6– mniejszości, 9– niewiększe, niemniejsze, 14– rówaoważności, 6reszta Peano, 168– we wzorze Taylora, 196rodzina funkcji jednakowo ciągła, 202– – – – w punkcie, 205– – ograniczona, 202– – – w punkcie, 202– zbiorów, 7Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, 36rozwinięcie dziesiętne liczby, 119– – normalne, 119– funkcji w szereg Fouriera, 285– – – – potęgowy, 195różnica dwóch funkcji, 54– liczb, 11– szeregów, 92– zbiorów, 6

składnik, 11składowa zbioru, 90stopień wielomianu, 57styczna do wykresu funkcji w punkcie, 169suma, różnica, iloczyn ciągów, 61– ciągu skończonego, 33– Darboux dolna, 229– – górna, 229– dwóch funkcji, 53– – szeregów, 92– liczb, 11– rodziny zbiorów, 7– szeregu funkcyjnego, 184– – liczbowego, 91, 94– wartości funkcji, 34symbol Newtona, 26szereg Fouriera funkcji, 286– – , trygonometryczny, 285– funkcyjny, 183, 184

szereg funkcyjny rozbieżny, 184– – zbieżny, 183– – – jednostajnie, 187– geometryczny, 95– harmoniczny, 98– liczbowy, 91, 93– – rozbieżny, 91, 94– – zbieżny, 94– – – bezwarunkowo, 103– – – bezwzględnie, 100– – – warunkowo, 103– pochodnych szeregu funkcyjnego, 194– potęgowy, Taylora, 109, 171sąsiedztwo lewostronne punktu, 84– prawostronne punktu, 84– punktu, 84

średnica podziału, 229

topologia indukowana, 87– przestrzeni, 86transpozycja, 35twierdzenie Ascoliego-Arzeli, 204– Bolzano-Weierstrassa, 77, 85– Cauchy’ego, 81, 92– Cauchy’ego o wartości średniej, 161– Cauchy’ego-Hadamarda, 109– charakteryzacja zbiorów zwartych, 88– Darboux, 160– Dirichleta, 286– Dirichleta-Jordana, 286– działania na funkcjach ciągłych, 133– Fermata, 160– jednoznaczność granicy funkcji, 122– Jordana, 246– kryterium ścisłej monotoniczności funkcji, 173– Lagrange’a o wartości średniej, 161– Mertensa, 107– o całkowaniu przez części, 212, 254, 255– o całkowaniu przez części dla całek niewłaści-

wych, 275, 276– o całkowaniu przez podstawienie, 213– o całkowaniu przez podstawienie dla całek nie-

właściwych, 275– o całkowaniu przez podstawienie I, II, 250, 251– o działaniach na granicach ciągów, 65– o działaniach na granicach niewłaściwych, 129– o działaniach na pochodnej funkcji, 156– o działaniach na pochodnej funkcji w punkcie,

152– o działanich na granicach funkcji, 123– o funkcji ciągłej na zbiorze zwartym, 142– o granicach dwóch funkcji, 122– o granicach jednostronnych funkcji monoto-

nicznej, 126, 130

294 SKOROWIDZ

twierdzenie o granicach niewłaściwych dwóch funk-cji, 129

– o granicy złożenia funkcji, 134– o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej,

210– o istnieniu kresu dolnego, 18– o istnieniu kresu górnego, 17– o istnieniu pierwiastków, 43– o obcięciu funkcji ciągłej, 136– o pochodnej funkcji odwrotnej, 156– o pochodnej funkcji złożonej, 156– o pochodnej w punkcie funkcji odwrotnej, 154– o pochodnej w punkcie funkcji złożonej, 153– o trzech ciągach, 64– o trzech funkcjach, 123– o wartości średniej I, II, 255, 257– o zagęszczaniu, 97– o zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej sze-

regu, 105– o złożeniu funkcji ciągłych, 133– podstawowe rachunku całkowego, 250– prawo łączności dla szeregów, 102– reguła de l’Hospitala, 163– Rolle’a, 161– Stolza, 72– topologiczna charakteryzacja ciągłości, 134, 135– topologiczna charakteryzacja ciągłości funkcji

w punkcie, 132– warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej cią-

gu funkcyjnego, 186– warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej sze-

regu funkcyjnego, 187– warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie,

132– warunek Heinego ciągłości jednostajnej, 142– warunek Heinego dla granicy niewłaściwej, 128– warunek konieczny istnienia ekstremum, 174– warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

I, II, 180– warunek konieczny różniczkowalności, 156– warunek konieczny różniczkowalności funkcji w

punkcie, 152– warunek konieczny zbieżności szeregu, 92– warunek wystarczający istnienia ekstremum I,

II, 175, 176– Weierstrassa o aproksymacji, 201– wzór Taylora I, II, III, 167, 170, 171– własność Darboux, 137– zasada Archimedesa, 20– zasada Archimedesa dla potęgowania, 40– zasada indukcji, 20, 22, 24– zasada indukcji o innym początku, 22– zasada indukcji skończonej, 22– zasada minimum, 22, 23

twierdzenie zasadnicze arytmetyki, 41– związek ciągłości z granicą, 133– związek granicy funkcji z granicami jednostron-

nymi, 126– związek granicy niewłaściwej z granicami jed-

nostronnymi, 129

ułamki proste, 215

wahanie funkcji, 246wartość funkcji, 7– wyrazu ciągu, 33, 61, 93warunek Lipschitza, 144wielomian Bernsteina funkcji, 201– dwóch zmiennych, 221– niezerowy, 57– podzielny przez wielomian, 219– stały, 57– zerowy, 57wnętrze prostokąta, 262– zbioru, 87wskaźnik wyrazu ciągu, 33, 61, 93współczynniki szeregu potęgowego, 109– wielomianu, 57wykres funkcji, 6wykładnik potęgi, 47wyraz ciągu, 33, 61, 93– wolny wielomianu, 57wzory redukcyjne, 146wzór dwumienny Newtona, 40– Maclaurina, 168– Taylora, 168– wielomianny Newtona, 41

zagęszczenie podziału, 230– – wspólne, 230zbieżność szeregu liczbowego, 91zbiory rozłączne, 7– równoliczne, 27zbiór, 5– co najwyżej przeliczalny, 28– domknięty, 86– – w zbiorze, 87– gęsty w zbiorze, 87– liczb całkowitych, 23– – dodatnich, 14– – naturalnych, 19– – niedodatnich, 14– – nieujemnych, 14– – niewymiernych, 24– – rzeczywistych, 9– – ujemnych, 14– – wymiernych, 24– mierzalny w sensie Jordana, 264– mocy continuum, 32

SKOROWIDZ 295

zbiór n-elementowy, 27– nieograniczony, 16– – z dołu, 16– – z góry, 16– nieprzeliczalny, 28– nieskończony, 27– ograniczony, 16, 263– – z dołu, 16– – z góry, 16– otwarty, 86– – w zbiorze, 87– przeliczalny, 28– skończony, 27– spójny, 89– wartości funkcji, 7– zwarty, 88zero, 10złożenie funkcji, 8znak liczby, signum, 15

296 SKOROWIDZ

Spis treści

Wstęp 3

1 Wiadomości wstępne 5

2 Liczby rzeczywiste 92.1 Aksjomaty liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Kresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Liczby całkowite i liczby wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Informacje o definiowaniu przez indukcję . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Ciągi skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Logarytm i potęga 393.1 Potęga o wykładniku naturalnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Potęga o wykładniku całkowitym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Pierwiastek liczby rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Potęga o wykładniku wymiernym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Potęga o wykładniku rzeczywistym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Logarytm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 Informacje o funkcjach rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.8 Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . 553.9 Wielomiany i funkcje wymierne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Ciągi nieskończone 614.1 Ciągi nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Granica ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Granica ciągu potęg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Granice niewłaściwe ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5 Liczba e, logarytm naturalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6 Podciągi, granice częściowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.7 Ciągi Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.8 Granica dolna i górna ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.9 Elementy topologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

297

298 SPIS TREŚCI

5 Szeregi liczbowe 915.1 Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Dalsze informacje o szeregach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Szeregi o wyrazach nieujemnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4 Dalsze kryteria zbieżności szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5 Zbieżność bezwzględna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.6 Łączność wyrazów szeregu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.7 Zbieżność bezwarunkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.8 Mnożenie szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.9 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.10 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.11 Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6 Ciągłość 1216.1 Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 Granice jednostronne funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3 Granice niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4 Funkcje ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5 Ciągłość i spójność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.6 Rodzaje nieciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.7 Jednostajna ciągłość i zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.8 Liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.9 Funkcje cyklometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7 Różniczkowalność 1517.1 Pochodna funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2 Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.3 Funkcje różniczkowalne w przedziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.4 Reguła de l’Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5 Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.6 Przebieg zmienności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.6.1 Pochodna i monotoniczność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.6.2 Ekstrema funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.6.3 Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia . . . . . . . . . . . . . . . 1767.6.4 Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8 Ciągi i szeregi funkcyjne 1838.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.2 Jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.3 Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.4 Zbieżność jednostajna a ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.5 Zbieżność jednostajna a różniczkowalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.6 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.7 Rozwinięcie funkcji potęgowej w szereg potęgowy . . . . . . . . . . . . . . 1968.8 Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

SPIS TREŚCI 299

8.9 Twierdzenie Ascoliego-Arzeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9 Funkcja pierwotna 2079.1 Funkcja pierwotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.2 O funkcji pierwotnej funkcji ciągłej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.3 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.4 Informacje o obliczaniu funkcji pierwotnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.4.1 Całkowanie ułamków prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.4.2 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.4.3 Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4.4 Podstawienia Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10 Całka Darboux 22910.1 Dolna i górna suma Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22910.2 Dolna i górna całka Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

11 Całka Riemanna 23711.1 Całka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23711.2 Warunki istnienia całki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24011.3 Ciągłość a całkowalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24311.4 Funkcje o wahaniu skończonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611.5 Całka jako granica sum przybliżonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24811.6 Całkowanie i różniczkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.7 Twierdzenia o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25511.8 Zbieżność jednostajna a całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25811.9 Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . 25911.10Krzywe prostowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26011.11Miara Jordana a całka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26211.12Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26611.12.1Całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym . . . . . . . . . . . 26611.12.2Całki niewłaściwe w dowolnym przedziale . . . . . . . . . . . . . . 271

12 Dodatek 27712.1 Niewymierność liczby π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27712.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27912.3 Informacje o szeregach Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Spis Literatury 287

Wykaz symboli i skrótów 288

Skorowidz 290

Documents

Rozdział 10 Całka Darboux 10.1 Dolna i górna suma Darboux