Rotore e teorema di Stokes Forze magnetiche. Forza di Lorentz.ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Forza di Lorentz. Lezione n. 19 – 6.3.2018. Elettromagnetismo – Prof. Francesco

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Rotore e teorema di StokesForze magnetiche. Forza di Lorentz.

Lezione n. 19 – 6.3.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 3

Forza elettromotrice• Abbiamo descritto un generatore di forza elettromotrice

• Nella batteria descritta ci sono portatori di carica che si muovono contro il campo elettrico• La reazione chimica rende questo passaggio conveniente energeticamente• Possiamo schematizzare l'aumento di energia come il lavoro fatto da un campo che chiamiamo campo elettromotore CE

• Ritorniamo alla nostra schematizzazione di generatore• Indichiamo i poli positivo e negativo• Il campo elettrico è diretto come in figura

• Calcoliamo il lavoro fatto sulla carica in un ciclo• La forza che agisce sulla carica è

• Nel circuito esterno al generatore F = qE• Dentro il generatore F = qE + qCE

• La grandezza E prende il nome di forza elettromotrice della batteria• È simile a un potenziale; si misura in Volt

q≡ E

W d= ⋅∫ F l ( )B A

A Bq d q d= ⋅ + + ⋅∫ ∫E l E C lE

−

+

EE C

A

B

A

Bd q d= ⋅ + ⋅∫ ∫E l C lE

A

Bq d= ⋅∫ C lE


Prodotto vettoriale= ×w a b

a

b

• Richiamiamo la definizione di prodotto vettoriale• In inglese cross product• Si usa anche la notazione

• Definizione 1• Un vettore perpendicolare al piano determinato da a e b

• Verso determinato con la mano destra• Il modulo del vettore è a b sinθ

• È l'area del parallelogramma che ha come lati a e b• Definizione 2

• Definizione 3 (tensore di Levi Civita)

• Sintetizzabile in

= ∧w a b

θ

a

bw

ˆ ˆ ˆx y z

x y z

x y z

a a a

b b b

× =e e e

a b ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆx y z z y y z x x z z x y y xa b a b a b a b a b a b= − + − + −e e e

( )3

1ijk j ki

jk

a bε=

× = ∑a b( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

1 se , , 1, 2, 3 3,1, 2 2, 3,1

1 se , , 2,1, 3 1, 3, 2 3, 2,1

0 altrimenti 2 o 3 indici ugualiijk

i j k

i j kε

⎧⎪+⎪⎪⎪= −⎨⎪⎪⎪⎪⎩i ijk kjε ε= −


Prodotto vettoriale• Come esempio, calcoliamo la componente x (i = 1) utilizzando il tensore di Levi Civita

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

1 se , , 1, 2, 3 3,1, 2 2, 3,1

1 se , , 2,1, 3 1, 3, 2 3, 2,1

0 altrimenti 2 o 3 indici ugualiijk

i j k

i j kε

⎧⎪+⎪⎪⎪= −⎨⎪⎪⎪⎪⎩

( )3

111

jk j kjk

a bε=

× = ∑a b

1jkε \ 1 2 3

1 0 0 0

2 0 0 1

3 0 1 0

j k

+−

( ) 1 3 32 23 21 312a b a bε ε× = +a b3 3 22a b a b= + −


Prodotto vettoriale• Esempio

• Troviamo delle identità per il prodotto triplo a⋅(b×c)• Ricordiamo il prodotto scalare di due vettori

• Il prodotto triplo è pertanto

• Esercizio• Provare l'identità a⋅(b×c) = c⋅(a×b)

• Inoltre, dalla definizione di determinante, segue

3

1i i

i

u v=

⋅ = ∑u v

( )⋅ ×a b c3 3

1 1i ijk j k

i jk

a b cε= =

= ∑ ∑3

1ijk i j k

ijk

a b cε=

= ∑3

1k i j

ijkji ka b cε

=

= ∑3

1k i j k

ijj

ki a b cε

=

= −∑3

1i ik k

ijj j

k

cb aε=

= −∑3 3

1 1j jik i k

j ik

b a cε= =

= −∑ ∑ ( )= − ⋅ ×b a c

( )x y z

x y z

x y z

a a a

b b b

c c c

⋅ × =a b c

a

b

cInfine notiamo che è l'area del parallelepipedo


Rotore di un campo vettoriale• Nello studio dell'elettrostatica abbiamo incontrato la legge di Gauss

• Inizialmente enunciata in forma integrale

• Successivamente in forma differenziale

• La forma differenziale evidenzia proprietà locali del campo elettrico• ∇⋅E è una funzione del punto r

• Abbiamo inoltre espresso la proprietà del campo elettrostatico di essere conservativo utilizzando ancora una volta una legge integrale• La circuitazione del campo elettrico è nulla

• Abbiamo finora evitato di introdurre la forma differenziale della legge sulla circuitazione per non complicare la trattazione dell'elettrostatica• Tuttavia questo non è conveniente per gli sviluppi ulteriori

dell'elettromagnetismo

0S

Qd

ε⋅ =∫ E a

0

ρε

⋅ =E∇

0Cd⋅ =∫ E l


Rotore di un campo vettoriale• Ricordiamo la procedura seguita nel caso della legge di Gauss

• Avevamo espresso il flusso attraverso una superficie come la somma di tanti flussi attraverso superfici sempre più piccole• Al limite infinite superfici infinitesime

• Avevamo poi definito la divergenza come limitedel rapporto fra il flusso e il volume racchiuso

• Analogamente consideriamo la circuitazione di un campo vettoriale V lungo una curva chiusa C

• Otteniamo lo stesso risultato se sommiamo duecircuitazioni lungo i cammini C1 e C2

• Notiamo che gli integrali lungo la regione di confine fra C1 e C2 (regione B) si elidono

• Sono percorsi in senso inverso• Rimangono i contributi del resto dei cammini

CdΓ = ⋅∫ V l

Cd= ⋅∫ V l

C Vdl

2C

1C

B

1 2C Cd d= ⋅ + ⋅∫ ∫V l V l1 2Γ + Γ

0div lim

i

i

ViV→

Φ=E

= Γ


Rotore di un campo vettoriale• Il processo appena descritto può essere ripetuto

• Sommando su tutti i cammini rimane solo ilcontributo del cammino originale (esterno)

• Al crescere del numero delle suddivisioni ilvalore delle circuitazioni Γi diventa sempre più piccolo: Γi → 0

• Nel caso della legge di Gauss avevamo definitouna proprietà differenziale del campo legata alla legge del flusso calcolando il limite del rapporto fra il flusso Φi e il volume Vi con Φi, Vi → 0• Il limite del rapporto esisteva e definiva la divergenza del campo

• Analogamente possiamo trovare una proprietà differenziale del campo legata alla legge della circuitazione calcolando il limite del rapporto fra le circuitazioni Γi e le superfici ai

• Tuttavia ci sono importanti differenze

ii

Γ = Γ∑C

dΓ = ⋅∫ V l

ii C

dΓ = ⋅∫ V l

0div lim

i

i

ViV→

Φ=E

ia

0limi

i

aia→

Γ

C


Rotore di un campo vettoriale• Esaminiamo le differenze

• La superficie ai è delimitata dal cammino Ci in modo ambiguo• Ad esempio le due superfici di seguitohanno lo stesso contorno Ci ma hanno differenti valori ai e ai′

• Il limite del rapporto Γi/ai dipende dalla forma della superficie• Si può ovviare a questa ambiguità utilizzando la normale n alla superficie

• Se si fa tendere a zero la superficie mantenendo fissa la direzione ndella normale si dimostra che il limite esiste ed è univoco• È un limite diverso per ogni direzione• In conclusione la grandezza che stiamo definendo è un vettore• Mantenere fissa la direzione della normale equivale a dire che si sta calcolando la componente del vettore nella direzione di n

• Il limite (vettoriale) definisce il rotore del campo vettoriale V

ia

Cn

0rot lim

i

i

aia→

Γ⋅ =n V

iC iCia ia′


Rotore di un campo vettoriale• Notiamo che la grandezza che abbiamo definito è una funzione vettoriale del punto r

• Inoltre dobbiamo anche risolvere altre due ambiguità• Un cammino può essere percorso in due sensi

• La normale alla superficie può avere due versi

• Si usa la convenzione della mano destra• Lega il verso della normale al sensodi percorrenza del cammino

0rot lim

i

i

aia→

Γ⋅ =n V

ii C

dΓ = ⋅∫ V l r( )rot =V F r

n

−n

n


Teorema di Stokes• Il teorema di Stokes lega il flusso del rotore di un campo vettoriale Vattraverso una superficie alla circuitazione del campo vettoriale V• È analogo al teorema di Gauss che lega l'integrale di volume della divergenza

di un campo vettoriale V al flusso del vettore V• Consideriamo la circuitazione del campo V

• Per N sufficientemente grande

• Sostituendo

• Otteniamo pertanto il teorema di Stokes

Vdl

CdΓ = ⋅∫ V l

1

N

ii=

= Γ∑1

Nii

i i

aa=

Γ= ∑

( )roti

ii

iaΓ

→ ⋅r

n V

( )1

roti

N

i ii

a=

Γ = ⋅∑ rn V rotN

S

da→∞⎯⎯⎯⎯→ ⋅∫ V n

rotC S

d da⋅ = ⋅∫ ∫V l V n

inia

La superficie S è arbitraria ma è delimitata da C


Rotore in coordinate cartesiane• La definizione di rotore che abbiamo dato, benché rigorosa, risulta poco conveniente per un utilizzo nei calcoli• Ricaviamo un'espressione che consenta di scrivere per

un campo vettoriale V le componenti di rot V• Esplicitamente e semplicemente

• Il calcolo dipende dal sistema di coordinate utilizzato• Iniziamo con le coordinate cartesiane

• Nelle esercitazioni: espressione del rotore in altri sistemi di coordinate• La componente del rotore nella direzione n è n⋅rot V

• Per trovare le tre componenti di rot V utilizziamo i tre versori cartesiani

• Ad esempio calcoliamo la componente z

• Utilizziamo un cammino rettangolare Cz

• Delimita una superficie parallela al piano x−y• Il cammino è percorso in senso antiorario• La normale alla superficie punta nella direzione

positiva dell'asse z (regola della mano destra)

0rot lim

i

i

aia→

Γ⋅ =n V

ˆxe ˆ

ye ˆze

( )ˆ rot rotz z⋅ =e V V

x

y

z

zC

ˆze


Rotore in coordinate cartesiane• Calcoliamo la circuitazione del campo V(r)lungo il cammino rettangolare della figura• I lati del rettangolo sono infinitesimi

e hanno lunghezza Δx e Δy• Calcoliamo il campo V(r) nei punti r1,r2,r3,r4

• Definiamo per abbreviare Vi = V(ri)• Approssimando al primo ordine la circuitazione

• Le componenti del campo necessarie possonoessere calcolate sviluppando al primo ordineintorno al punto r0

• Tutte le derivate sono calcolate nel punto r0

0r

1r

2r

3r

4r

x

y

3V 2V

1V

4V

ˆx xΔe

ˆx x− Δe ˆ

y yΔe

ˆy y− Δe

CdΓ = ⋅∫ V l

1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆx y x yx y x yΓ = ⋅ Δ + ⋅ Δ − ⋅ Δ − ⋅ ΔV e V e V e V e

1 2 3 4x y x yV x V y V x V yΓ = Δ + Δ − Δ − Δ

1 0 2x

x x

V yV V

y

⎛ ⎞∂ Δ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎝ ⎠ 2 0 2y

y y

V xV V

x

∂ Δ= +

∂

3 0 2x

x x

V yV V

y∂ Δ

= +∂ 04 2

yy y

V xV V

x

⎛ ⎞∂ Δ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎝ ⎠

C


Rotore in coordinate cartesiane

• Introduciamo nell'espressione della circuitazione

• Notiamo che il contributo Vx0 nei termini Vx1 e Vx3 si cancella• Analogamente il contributo Vy0 nei termini Vy2 e Vy4

• Otteniamo

• L'area della superficie delimitata dal cammino è a = ΔxΔy• Dalla definizione di rotore otteniamo infine

1 2 43 yx y xx yVV x yV VΓ = Δ Δ Δ+ − Δ−

1 0 2x

x x

V yV V

y

⎛ ⎞∂ Δ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎝ ⎠ 2 0 2y

y y

V xV V

x

∂ Δ= +

∂3 0 2

xx x

V yV V

y∂ Δ

= +∂ 4 0 2

yy y

V xV V

x

⎛ ⎞∂ Δ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎝ ⎠

2 2 22x xy yx y

V VxV Vy yx

xy

x xy y∂ ∂Δ Δ

− − Δ∂ ∂

∂ ∂Δ Δ+ +

∂ ∂Γ = Δ Δ Δ

x yxVV

yxy xy

∂+

∂− Δ=

∂Δ Δ

∂Γ Δ y x

V Vy x

x y

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟= − Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠

( )0

rot lim y xz a

V Va x y→

∂ ∂Γ= = −

∂ ∂V


Rotore in coordinate cartesiane• Esaminiamo il risultato ottenuto

• In particolare l'ordine z x y• Sono ordinate ciclicamente

• Le componenti del vettore V da derivare sono "le altre" rispetto alla coordinata z del rotore che stiamo calcolando• Rispetto alla derivazione sono "scambiate"

• Avendo notato queste regolarità possiamo scrivere le altre due componenti

( )rot y xz

V Vx y

∂ ∂= −

∂ ∂V

( )rot yzx

VVy z

∂∂= −

∂ ∂V ( )rot x z

y

V Vz x

∂ ∂= −

∂ ∂V

ˆ ˆ ˆ

rot

x y z

x y z

x y zV V V

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂

e e e

V ˆ yzx

VVy z

⎛ ⎞∂∂ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠e ˆ x z

y

V Vz x

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠e ˆ y x

z

V Vx y

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠e

rot = ×V V∇


Il rotore del campo elettrostatico• Applichiamo il teorema di Stokes al campo elettrostatico E

• Sappiamo inoltre che per un campo elettrostatico e per un cammino arbitrario C

• L'arbitrarietà di C implica che per una superficie arbitraria S

• Ovviamente ne consegue che

• Questa è la forma differenziale della legge sulla circuitazione del campo elettrostatico

• È condizione necessaria e sufficiente

C S

d da⋅ = × ⋅∫ ∫E l E n∇

0C

d⋅ =∫ E l

0S

da× ⋅ =∫ E n∇

0× =E∇


Campi conservativi• Vale la pena notare che se un campo vettoriale è il gradiente di un campo scalare il suo rotore è identicamente nullo• Infatti sia

• Calcoliamo il rotore di V• Ad esempio la componente x

• Sostituendo Vy e Vz

• Risultati analoghi per le altre due componenti• Anche in questo caso si tratta di condizione necessaria e sufficiente

• Notiamo infine che nei libri inglesi e americani si usa una notazione differente

φ=V ∇ ˆ ˆ ˆx y zx y z

φ φ φ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂e e e

( ) yzx

VVy z

∂∂× = −

∂ ∂V∇

( )x y z z y

φ φ∂ ∂ ∂ ∂× = −

∂ ∂ ∂ ∂V∇

2 2

0y z y zφ φ∂ ∂

= − =∂ ∂ ∂ ∂

rot curl= = ×V V V∇


Significato fisico del rotore• Per comprendere il significato fisico del rotore utilizziamo ancora una volta un esempio preso dalla fluidodinamica• Il flusso dell'acqua di un fiume

• La velocità non è uniforme• È nulla sull'argine, massima al centro

• Un oggetto galleggiante è sottopostoad un momento delle forze di attrito• Le forze sono differenti perché

le velocità sono differenti

• Dimensionalmente ∇×v èuna velocità angolare

• https://www.youtube.com/watch?v=vvzTEbp9lrc

maxv0=v

ˆ ˆ( ) ( )y yu x Cx d x= = −v e e

y

x

ˆ( 2 ) zC d x× = −v e∇


Le forze magnetiche• Come per le forze elettriche anche per i fenomeni magnetici le prime conoscenze sono molto antiche• Fin dall'antichità si conoscevano le proprietà di uno

strano materiale, la magnetite• Il nome ha un origine classica, dalla citta Magnesia (Asia Minore) presso cui si trovava facilmente questo materiale

• Oggi sappiamo che si tratta di una combinazione di ossidi di ferro: FeO⋅Fe2O3

• È nota la capacita della magnetite di attirare la limatura di ferro

• Oggetti costruiti utilizzando la magnetite prendono il nome di magneti (permanenti)

• Una delle proprietà caratteristiche dei magnetiè la presenza di due poli (Nord, Sud)• Due poli magnetici si attraggono o si

respingono• Poli di segno diverso si attraggono

• Nord-Sud• Poli di segno uguale si respingono

• Sud-Sud Nord-Nord


Le forze magnetiche• Un'altra caratteristica importante di un magnete permanente è l'impossibilità di isolare un polo magnetico• Il tentativo di isolare un polo, ad esempio spezzando

il magnete, porta comunque alla formazione di due o più magneti sempre con due poli

• È un fatto sperimentale di fondamentale importanza l'impossibilità di isolare un polo magnetico• È una differenza fondamentale con le forze elettriche

• Una delle applicazioni più importanti delle forze magneticheè stata senza dubbio la bussola per la navigazione • Se ne hanno notizie a partire dall'XI secolo• Si tratta di un sottile magnete permanente

(ago magnetico) libero di ruotare in un piano• Il polo nord dell'ago indica la direzionedel nord (magnetico)

• Oggi sappiamo che la terra possiede un campomagnetico analogo a quello di un magnete • L'asse del dipolo magnetico forma circa

11.5 gradi con l'asse di rotazione• L'ago magnetico si allinea con il campo


Magneti permanenti• I magneti permanenti applicano forze

• Ad altri magneti permanenti• A oggetti metallici• Generano un campo di forza: il campo magnetico

• Definiremo fra poco rigorosamente il campomagnetico

• Possiamo visualizzare il campo magnetico utilizzando un ago magnetizzato• Vale la pena notare le somiglianze con il campo

di un dipolo elettrico• Vedremo che la somiglianza della "mappa"delle linee di forza non è casuale

• Attenzione: gli effetti del campo magneticosono molto diversi da quelli del campo elettrico

• Si possono realizzare magneti permanenti di forme differenti• Genera linee di forza parallele all'interno

NS


L'esperimento di Oersted• Per molti secoli la comprensione dei fenomeni magnetici non fece progressi di rilievo• Coulomb studiò le forze fra magneti giungendo ad una legge formalmente

simile a quella delle forze elettrostatiche• Tuttavia non si trattò di una strada destinata a portare ulteriori progressi

• I fenomeni magnetici rimanevano separati da quelli elettrici• Nel 1820 Oersted studiava gli effetti delle correnti

• Da poco le scoperte di Galvani e Volta avevano dotato gli scienziati di un nuovo strumento di ricerca per creare correnti elettriche: le batterie

• Oersted aveva intuito che le forze magnetiche avevano un'origine elettrica• Il famoso esperimento di Oersted

dimostra l'effetto di una correnteelettrica su un ago magnetico

• Una corrente elettrica generaun campo magnetico analogoa quello della terra• Perpendicolare al filo

• Le cariche in movimento generanoun campo magnetico• È nato l'elettromagnetismo


Forze fra correnti• Quasi in contemporanea agli studi di Oersted avanzavano anche gli studi di Ampère • Grazie alla possibilità di costruire batterie si potevano studiare gli effetti

delle correnti elettriche• Ampère scoprì che due fili percorsi da corrente esercitano forze l'uno

sull'altro• Ampère scopre la legge con cui due fili percorsi da corrente si attraggono o si respingono

• Nel sistema MKSA

l

a 1i

2i

1F

2F

Correnti nello stesso senso

Correnti in senso oppostoForza repulsiva

Forza attrattiva

1 20 2i i

F la

μπ

=

7 20 4 10 Kg mCμ π − −=


La forza di Lorentz• Per iniziare lo studio quantitativo delle forze magnetiche abbandoniamo da ora in poi lo sviluppo storico• Iniziamo dall'osservazione sperimentale che la forza magnetica viene

esercitata su una carica elettrica in movimento• Una prima caratteristica molto importante della forza magnetica è che essa dipende dalla velocità della carica test• In particolare la forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità

• Ad esempio la deflessione di unfascio di elettroni

• Gli elettroni eccitano livelli energetici dell'Argon che emetteluce azzurrina

• Il magnete deflette il fascio• Applica una forza centripeta

• Si può definire una procedura simile a quella utilizzata per la definizione operativa del campo elettrico• Misurare la forza che viene esercitata su una carica di test

vF


La forza di Lorentz• Il risultato di una serie di esperimenti in una regione dello spazio condotti su cariche in movimento porterebbe al seguente risultato• È possibile definire un campo vettoriale B(r) (detto induzione magnetica)

funzione della posizione r• La forza su una carica q che si muove con velocità v è data dalla relazione

• Se nella regione esiste anche un campo elettrico E la forza totale è

• L'ultima formula è la definizione della Forza di Lorentz • Il fatto che si possa sempre trovare un campo vettoriale B che soddisfi la relazione precedente è una circostanza a priori non scontata• La legge sopra enunciata vale anche per campi variabili nel tempo• È una relazione locale

• Tutte le grandezze sono misurate nello stesso punto r = (x,y,z) e tempo t• Tutte le grandezze sono misurate nello stesso sistema inerziale

q= ×F v B

q q= + ×F E v B


La forza di Lorentz• Insistiamo ancora sul fatto che una sola misura non è sufficiente

• Supponiamo infatti che per una velocita v1 si sia misurata una forza F1

• Abbiamo già detto che sperimentalmente si trova che F1 e v1 sono perpendicolari

• Il vettore B deve giacere sul piano perpendicolare a F1• Inoltre il modulo della forza è F1 = qv1Bsinθ• Tuttavia è evidente che esistono infiniti vettori B che

giacciono sul piano e che producono la stessa forza F1

• Tutti i vettori Bα tali che Bsinθ = Bαsinα• Un altro modo di mettere in evidenza l'indeterminazione• Se B soddisfa• Allora la relazione è soddisfatta anche da

• Si può dimostrare che se v1 e v2 sono due velocita perpendicolari e le forze misurate sono F1 e F2 rispettivamente

1v θ αB αB

1F

( )2 2 11 1 12 2

1 2

1qv v

⎡ ⎤× ⋅⎢ ⎥= × +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F v vB F v v

1 1q= ×F v B

1k→ +B B v con k arbitrario

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