Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich · 2019. 2. 3. · Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek masy figury płaskiej

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek masy figury płaskiej

Zależności na współrzędne środka masy ( Cx , Cy ) figury płaskiej złożonej z i figur regularnych (rys. 1.1) możemy zapisać w następujący sposób:

∑∑=

i

ii

AxA

xC (1.1)

∑∑=

i

ii

AyA

yC (1.2)

gdzie:

iA — pole powierzchni i-tej figury regularnej,

ix — odległość środka masy i-tej figury regularnej od osi x dowolnego układu współrzędnych,

iy — odległość środka masy i-tej figury regularnej od osi y dowolnego układu współrzędnych.

Rys. 1.1

Figura płaska przedstawiona na rys. 1.1. składa się z 3 figur regularnych – pro-

stokąta 1 (pole powierzchni 1A , środek masy w punkcie 1C ), prostokąta 2 (pole powierzchni 2A , środek masy w punkcie 2C ) oraz trójkąta 3 (pole powierzchni 3A , środek masy w punkcie 3C ). W oparciu o zależności (1.1) i (1.2) możemy zapisać zatem:

1.2 Wytrzymałość materiałów

321

332211C AAA

xAxAxAx++++

=

321

332211C AAA

yAyAyAy++++

=

Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich

Geometryczne momenty bezwładności i momenty dewiacji figur płaskich wyrażane są w jednostkach [(długość)4], np. [m4], [cm4], [mm4]. Momenty bezwładności przyj-mują tylko wartości dodatnie, natomiast momenty dewiacji mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Znak momentu dewiacji zależy od położenia figury, co przedstawiono na rys. 1.2 i 1.3.

Rys. 1.2

Rys. 1.3

Geometryczne momenty bezwładności wybranych figur regularnych zestawiono

w tabeli 1.1. Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera dla zagadnień 2D (rys. 1.4) przyjmuje postać: — dla momentów bezwładności xI , yI :

2C )(yAII cxx += (1.3)

2C )(xAII cyy += (1.4)

— dla momentu dewiacji xyI :

CCyxAII ccyxxy += (1.5) gdzie:

cxI — centralny moment bezwładności względem osi cx (centralnej),

cyI — centralny moment bezwładności względem osi cy (centralnej),

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.3

Tabela 1.1. Charakterystyki geometryczne wybranych figur regularnych

Figura Pole powierzchni Współrzędne środka masy

Centralne momenty bezwładności

Centralny moment dewiacji

2aA = 2Cax =

2Cay =

12

4aIcx =

12

4aIcy =

0=

ccyxI

hbA = 2C

bx =

2Chy =

12

3hbIcx =

12

3hbIcy =

0=

ccyxI

2hbA = 3

Cbx =

3Chy =

36

3hbIcx =

36

3hbIcy =

72

22hbIccyx −=

2hbA = 2

Cbx =

3Chy =

36

3hbIcx =

36

3hbIcy =

0=

ccyxI

2rπA = 0C =x

0C =y

4

4rπIcx =

4

4rπIcy =

0=

ccyxI

2

2rπA = πrx

34

C =

0C =y

8

4rπIcx =

4

98

8r

ππI

cy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

0=ccyxI

4

2rπA = πrx

34

C =

πry

34

C =

4

94

16r

ππI

cx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

4

94

16r

ππI

cy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

4

81

94 rπ

Iccyx ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −−=


ccyxI — centralny moment dewiacji względem osi cx i cy (centralnych),

A — pole powierzchni figury płaskiej,

Cx — odległość środka masy figury płaskiej od osi x dowolnego układu

współrzędnych (odległość pomiędzy osią cx oraz osią x ),

Cy — odległość środka masy figury płaskiej od osi y dowolnego układu

współrzędnych (odległość pomiędzy osią cy oraz osią y ).

Rys. 1.4

W oparciu o twierdzenie Steinera możemy wyznaczyć momenty bezwładności i de-

wiacji figury płaskiej względem osi x, y dowolnego układu współrzędnych, przy czym osie te muszą być równoległe do osi centralnych cx i cy (rys. 1.4).

W przypadku, gdy znamy momenty bezwładności i dewiacji względem osi x, y dowol-nego układu współrzędnych, możemy wyznaczyć momenty centralne wykorzystując „odwrotne” twierdzenie Steinera. Możemy je zapisać w następującej formie: — dla centralnych momentów bezwładności

cxI , cyI :

2C )(yAII xxc −=

2C )(xAII yyc −=

— dla momentu dewiacji xyI :

CCyxAII xyyx cc −=

W przypadku figury złożonej z figur regularnych (rys. 1.5), twierdzenie Steinera dla i-tej figury składowej możemy zapisać w następującej postaci:

2C)( )( yyAII iix

ix ic

−+= (1.6)

2C)( )( xxAII iiy

iy ic

−+= (1.7)

))(( CC)( yyxxAII iiiyx

iyx iicc

−−+= (1.8)

gdzie: )(i

xcI — moment bezwładności i-tej figury względem osi cx ,

)(iyc

I — moment bezwładności i-tej figury względem osi cy , )(iyx cc

I — moment dewiacji i-tej figury względem osi cx i cy ,

ixI — centralny moment bezwładności i-tej figury względem osi ix ,

iyI — centralny moment bezwładności i-tej figury względem osi iy ,


Rys. 1.5

iiyxI — centralny moment dewiacji i-tej figury względem osi ix i iy ,

iA — pole powierzchni i-tej figury,

ix — odległość osi ix od osi x dowolnego układu współrzędnych,

iy — odległość osi iy od osi y dowolnego układu współrzędnych,

Cx — odległość osi cx od osi x dowolnego układu współrzędnych,

Cy — odległość osi cy od osi y dowolnego układu współrzędnych, Główne centralne momenty bezwładności

Aby określić główne centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury należy znaleźć główne osie bezwładności, czyli takie, dla których moment dewiacji figury będzie równy zeru. Wzory transformujące momenty bezwładności i dewiacji wzglę-dem centralnego układu współrzędnych do układu osi (ξ , η ) obróconego o kąt φ (rys. 1.6) są następujące:

φIφIφIIcccc yxyxξ 2sinsincos

22 −+= (1.9)

φIφIφIIcccc yxyxη 2sincossin

22 ++= (1.10)

φIφIIIcccc yxyxηξ 2cos2sin)(2

1+−= (1.11)

Rys. 1.6

Moment dewiacji względem osi głównych jest równy zeru. Tak więc przekształ-

cając ostatni z powyższych wzorów otrzymamy kąt 0φ , o który należy obrócić układ osi cx i cy , aby uzyskać zerowe momenty dewiacji:


02cos2sin)(21

00 =+− φIφII cccc yxyx

00 2cos2sin)(21 φIφII

cccc yxxy =−

cc

cc

xy

yx

III

φ−

=2

2tg 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

cc

cc

xy

yx

III

φ2

arctg21

0 (1.12)

Osie (ξ , η ) układu obróconego o kąt 0φ nazywamy osiami głównymi centralnymi i oznaczamy cyframi 1 i 2. Momenty bezwładności względem tych osi (rys. 1.7) osią-gają wartości ekstremalne – maksymalną 1I oraz minimalną 2I :

221 4)(21)(

21

cccccc yxyxyx IIIIII +−++= (1.13)

222 4)(21)(

21

cccccc yxyxyx IIIIII +−−+= (1.14)

Rys. 1.7

Przekroje cienkościenne

Rozpatrując przekroje cienkościenne, jak na rys. 1.8, możemy w ich kształcie wyodrębnić prostokąty o wymiarach δb × , przy czym wymiar poprzeczny δ jest dużo mniejszy niż wymiar wzdłużny b .

Rys. 1.8

Momenty bezwładności są w takim przypadku równe:

12

3δbIcx = (1.15)

12

3δbIcy = (1.16)


Zadanie 1.1. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych cen-

tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.9.

Rys. 1.9

Rozwiązanie

Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.10. Rozpatrywana figura posiada jedną oś symetrii. Dlatego najpraktyczniej jest przyjąć układ współrzędnych tak, aby jedna z jego osi pokrywała się właśnie z osią symetrii. Oś ta (w naszym przykładzie oś y ) będzie jedną z głównych centralnych osi bezwładności.

Rys. 1.10

Rozpatrywaną figurę dzielimy na dwa prostokąty o wymiarach aa ×6 oraz aa 3× .

Pola powierzchni oraz współrzędne środka masy każdego z prostokątów wynoszą:

— prostokąt 1: 21 66 aaaA =⋅= ; 01 =x ; ay 21

1 =


2 =

Wykorzystując zależności (1.1) i (1.2) wyznaczamy współrzędne środka masy roz-patrywanej figury:

036

030622

22

21

2211C =

+⋅+⋅

=++

==∑∑

aaaa

AAxAxA

AxA

xi

ii

aaa

aaaa

AAyAyA

AyA

yi

ii

67

36253

216

22

22

21

2211C =

+

⋅+⋅=

++

==∑∑


Wyznaczamy momenty bezwładności prostokątów względem osi przechodzących przez ich środki masy (rys. 1.10):

43

21

126

1aaaI x =

⋅= 4

318

12)6(

1aaaIy =

⋅=

43

49

12)3(

2aaaI x =

⋅= 4

3

41

123

2aaaIy =

⋅=

Centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury są sumą algebraiczną momentów bezwładności figur składowych względem osi centralnych cc yx , . Do wyzna-czenia tych momentów wykorzystujemy twierdzenie Steinera.

44444

224

224

2C22

2C11

443

316

49

38

21

67

253

49

67

216

21

])([])([21

aaaaa

aaaaaaaa

yyAIyyAII xxxc

=+++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=−++−+=

444

224224

2C22

2C11

473

4118

)00(341])00(618[

])([])([21

aaa

aaaa

xxAIxxAII yyyc

=+=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−+=

=−++−+=

Wyznaczone momenty centralne rozpatrywanej figury są jednocześnie głównymi centralnymi momentami bezwładności (rys. 1.11). Moment dewiacji 0=

ccyxI .

4

473aII

cy ==1

4

443aII

cx ==2

Rys. 1.11



tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.12.

Rys. 1.12

Rozwiązanie

Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.13. Rozpatrywana figura posiada dwie osie symetrii, które są zarazem głównymi centralnymi osiami bezwład-ności. Współrzędne środka masy figury są równe 0C =x , 0C =y .

Rozpatrywaną figurę dzielimy na trzy prostokąty – dwa o wymiarach aa ×6 oraz jeden o wymiarach aa 42 × . Pola powierzchni oraz współrzędne środka masy każdego z prostokątów wynoszą:


1 −=

— prostokąt 2: 22 842 aaaA =⋅= ; 02 =x ; 02 =y


3 =

Rys. 1.13


Wyznaczamy momenty bezwładności prostokątów względem osi przechodzących przez ich środki masy:

43

21

126

1aaaI x =

⋅= 4

318

12)6(

1aaaIy =

⋅=

43

332

12)4(2

2aaaI x =

⋅= 4

3

38

124)2(

2aaaIy =

⋅=

43

21

126

3aaaI x =

⋅= 4

318

12)6(

3aaaIy =

⋅=

Wyznaczamy centralne momenty bezwładności całej figury:

444444

224224

224

2C33

2C22

2C11

3260

275

210

332

275

21

0256

21)00(8

3320

256

21

])([])([])([321

aaaaaa

aaaaaaaa

yyAIyyAIyyAII xxxxc

=+++++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

=−++−++−+=

4444

224224224

2C33

2C22

2C11

311618

3818

])00(618[)00(838])00(618[

])([])([])([321

aaaa

aaaaaa

xxAIxxAIxxAII yyyyc

=++=

=−++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−+=

=−++−++−+=

Główne centralne momenty bezwładności są równe (rys. 1.14):

4

3260 aII

cx ==1

4

3116 aII

cy ==2

Rys. 1.14


Zadanie 1.3. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych

centralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.15.

Rys. 1.15

Rozwiązanie

Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.16. Rozpatrywana figura nie posiada żadnej osi symetrii.

Figurę dzielimy na trzy prostokąty o wymiarach aa ×5 , aa 4× oraz aa ×3 . Pola powierzchni oraz współrzędne środka masy każdego z prostokątów wynoszą:

— prostokąt 1: 21 55 aaaA =⋅= ; ax 25

1 = ; ay 21

1 =


2 = ; ay 32 =


3 = ; ay 211

3 =

Rys. 1.16


Wykorzystując zależności (1.1) i (1.2) wyznaczamy współrzędne środka masy roz-patrywanej figury:

aaaa

aaaaaa

AAAxAxAxA

AxA

xi

ii

411

345273

254

255

222

222

321

332211C =

++

⋅+⋅+⋅=

++++

==∑∑

aaaa

aaaaaa

AAAyAyAyA

AyA

yi

ii

1231

3452

11334215

222

222

321

332211C =

++

⋅+⋅+⋅=

++++

==∑∑

Wyznaczamy momenty bezwładności prostokątów względem osi przechodzących przez ich środki masy (rys. 1.16):

43

125

125

1aaaI x =

⋅= 4

3

12125

12)5(

1aaaIy =

⋅=

43

316

12)4(

2aaaI x =

⋅= 4

3

31

124

2aaaIy =

⋅=

43

41

123

3aaaI x =

⋅= 4

3

49

12)3(

1aaaIy =

⋅=

Wyznaczamy centralne momenty bezwładności całej figury:

4444444

224

224

224

2C33

2C22

2C11

12647

481225

41

3625

316

1443125

125

1231

2113

41

123134

316

1231

215

125

])([])([])([321

aaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

yyAIyyAIyyAII xxxxc

=+++++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=−++−++−+=

4444444

224

224

224

2C33

2C22

2C11

461

1627

49

164

31

165

12125

411

273

49

411

254

31

411

255

12125

])([])([])([321

aaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

xxAIxxAIxxAII yyyyc

=+++++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=−++−++−+=

W celu określenia położenia głównych centralnych osi bezwładności konieczne będzie wyznaczenie momentu dewiacji rozpatrywanej figury. Momenty dewiacji każdego prostokąta względem osi przechodzących przez środek jego masy są równe zeru.

0332211=== yxyxyx III

Centralny moment dewiacji całej figury jest równy:

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=−−++

+−−++−−+=

aaaaaaaaaa

yyxxAI

yyxxAIyyxxAII

yx

yxyxyx cc

12313

411

2540

1231

21

411

2550

)])(([

)])(([)])(([

22

C3C33

C2C22C1C11

33

2211


4444

2

435

16105

125

48125

1231

211

411

2730

aaaa

aaaaa

=+−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych (rys. 1.17), aby moment dewiacji był równy zeru:

°−≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 175,12

232105arctg

21

12647

461

4352

arctg212arctg

21

44

4

0aa

a

III

φcc

cc

xy

yx

Główne centralne momenty bezwładności są równe (1.13) i (1.14):

4444

24

24444

221

8046,5512

6484941512

6484912415

4354

461

12647

21

461

12647

21

4)(21)(

21

aaaa

aaaaa

IIIIIIcccccc yxyxyx

≈+

=+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=+−++=

4444

24

24444

222

3621,1312

6484941512

6484912415

4354

461

12647

21

461

12647

21

4)(21)(

21

aaaa

aaaaa

IIIIIIcccccc yxyxyx

≈−

=−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=+−−+=

Rys. 1.17



tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.18 (podziałka 1:2).

Rys. 1.18

Rozwiązanie

W rozpatrywanej figurze możemy wyodrębnić trójkąt prostokątny o wymiarach cm 96× oraz 90-stopniowy wycinek koła o promieniu cm 3 (rys. 1.19).

Rys. 1.19

Charakterystyki figur składowych są następujące (na podstawie tabeli 1.1):

— trójkąt 1 (rys. 1.19a)

21 cm 272

96=

⋅=A

cm 4632

1 =⋅=x

cm 339

1 ==y

43

cm 5,1213696

1=

⋅=xI

43

cm 5436

961

=⋅

=yI


422

cm 5,4072

9611

=⋅

=yxI moment dewiacji dodatni (rys. 1.2)

— wycinek koła 2 (rys. 1.19b)

22

2 cm 0686,743

=⋅

=πA

cm 7268,43

3462 =⋅

−=π

x

cm 2732,13

342 =

⋅=

πy

44 cm 4452,4394

162=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππI x

44 cm 4452,4394

162=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππIy

44 cm 3342,1381

94

22=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=π

I yx moment dewiacji dodatni (rys. 1.3)

Współrzędne środka masy figury (rys. 1.19c) są równe:

cm 7423,30686,727

7268,40686,7427

21

2211C =−

⋅−⋅=

−−

==∑∑

AAxAxA

AxA

xi

ii

cm 6124,30686,727

2732,10686,7327

21

2211C =−

⋅−⋅=

−−

==∑∑

AAyAyA

AyA

yi

ii

Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji figury są równe:

4

22

2C22

2C11

cm 5023,886784,384452,41259,105,121

])6124,32732,1(0686,74452,4[)6124,33(275,121

])([])([21

=−−+=

=−⋅+−−⋅+=

=−+−−+= yyAIyyAII xxxc

4

22

2C22

2C11

cm 4967,448512,64452,47931,154

])7423,37268,4(0686,74452,4[)7423,34(2754

])([])([21

=−−+=

=−⋅+−−⋅+=

=−+−−+= xxAIxxAII yyyc

4

C2C22C1C11

cm 1834,512786,163342,12610,45,40

)]6124,32732,1)(7423,37268,4(0686,73342,1[

)6124,33)(7423,34(275,40

)])(([)])(([2211

=+−−=

=−−⋅+−

+−−⋅+=

=−−+−−−+= yyxxAIyyxxAII yxyxyx cc

Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych, aby moment dewiacji był równy zeru:

°−≈−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 3689,33)3262,2(arctg

21

5023,884967,441834,512arctg

212arctg

21

0cc

cc

xy

yx

III

φ


Wyznaczamy główne centralne momenty bezwładności (1.13) i (1.14):

4

22

22

cm 2118,1227123,554995,66

)1834,51(4)4967,445023,88(21)4967,445023,88(

21

4)(21)(

21

=+=

=⋅+−++⋅=

=+−++=cccccc yxyxyx IIIIII1

4

22

22

cm 7872,107123,554995,66

)1834,51(4)4967,445023,88(21)4967,445023,88(

21

4)(21)(

21

=−=

=⋅+−−+⋅=

=+−−+=cccccc yxyxyx IIIIII2

Na rys. 1.20 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C ,

centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .

Rys. 1.20




Rys. 1.21

Rozwiązanie

Rozpatrywana figura składa się z trzech figur podstawowych – dwóch prostokątów o wymiarach cm 34× i cm 46× oraz trójkąta prostokątnego o wymiarach cm 36× (rys. 1.22).

Rys. 1.22


— prostokąt 1 (rys. 1.22a)

21 cm 1234 =⋅=A

cm 21 =x

cm 23

1 =y

43

cm 912

341

=⋅

=xI


43

cm 1612

341

=⋅

=yI

011=yxI

— prostokąt 2 (rys. 1.22b)

22 cm 2446 =⋅=A

cm 32 =x

cm 52 =y

43

cm 3212

462

=⋅

=xI

43

cm 7212

462

=⋅

=yI

022=yxI

— trójkąt 3 (rys. 1.22c)

23 cm 92

36=

⋅=A

cm 43 =x

cm 83 =y

43

cm 29

3636

3=

⋅=xI

43

cm 1836

363

=⋅

=yI

422

cm 29

7236

33=

⋅=yxI moment dewiacji dodatni (rys. 1.2)

Współrzędne środka masy figury (rys. 1.23) są równe:

cm 1544

9241249324212

321

332211C =++

⋅+⋅+⋅=

++++

==∑∑

AAAxAxAxA

AxA

xi

ii

cm 3

1492412

895242312

321

332211C =++

⋅+⋅+⋅=

++++

==∑∑

AAAyAyAyA

AyA

yi

ii


4

222

2C33

2C22

2C11

cm 2

53710029

3832

33619

31489

29

31452432

314

23129

])([])([])([321

=+++++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

=−++−++−+= yyAIyyAIyyAII xxxxc


Rys. 1.23

4

222

2C33

2C22

2C11

cm 5

6342525618

75872

7578416

15444918

154432472

154421216

])([])([])([321

=+++++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

=−++−++−+= xxAIxxAIxxAII yyyyc

4

C3C33

C2C22C1C11

cm 2

1453229

1580

155320

3148

154449

29

3145

15443240

314

23

15442120

)])(([

)])(([)])(([

33

2211

=+++++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

=−−++

+−−++−−+=

yyxxAI

yyxxAIyyxxAII

yx

yxyxyx cc


°−≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 8297,22

14171450arctg

21

2537

5634

21452

arctg212arctg

21

0cc

cc

xy

yx

III

φ


4

22

22

cm 0205,2992041103893953

21454

5634

2537

21

5634

2537

21

4)(21)(

21

≈+

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=



4

22

22

cm 2795,962041103893953

21454

5634

2537

21

5634

2537

21

4)(21)(

21

≈−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=


Na rys. 1.24 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C , centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .

Rys. 1.24




Rys. 1.25

Rozwiązanie Rozpatrywana figura składa się z dwóch figur podstawowych – prostokąta o wy-

miarach cm 63× oraz trójkąta prostokątnego o wymiarach cm 63× (rys. 1.26).

Rys. 1.26


— prostokąt 1 2

1 cm 1863 =⋅=A

cm 23

1 =x

cm 31 =y

43

cm 5412

631

=⋅

=xI

43

cm 2

2712

631

=⋅

=yI

011=yxI


— trójkąt 2

22 cm 92

63=

⋅=A

cm 42 =x

cm 72 =y

43

cm 183663

2=

⋅=xI

43

cm 29

3663

2=

⋅=yI

422

cm 29

7263

22=

⋅=yxI moment dewiacji dodatni (rys. 1.2)


cm 37

918

492318

21

2211C =+

⋅+⋅=

++

==∑∑

AAxAxA

AxA

xi

ii

cm 3

13918

79318

21

2211C =+

⋅+⋅=

++

==∑∑

AAyAyA

AyA

yi

ii


4

22

2C22

2C11

cm 16864183254

3137918

31331854

])([])([21

=+++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

=−++−+= yyAIyyAII xxxc

4

22

2C22

2C11

cm 2

1112529

225

227

3749

29

37

2318

227

])([])([21

=+++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

=−++−+= xxAIxxAII yyyc

4

C2C22C1C11

cm 2

1294029200

3137

3749

29

3133

37

23180

)])(([)])(([2211

=+++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

=−−++−−+= yyxxAIyyxxAII yxyxyx cc


°−≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 4543,24

225258arctg

21

1682

1112

1292arctg

212arctg

21

0cc

cc

xy

yx

III

φ



4

22

22

cm 3322,1974

130213447

21294

2111168

21

2111168

21

4)(21)(

21

≈+

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=


4

22

22

cm 1678,264

130213447

21294

2111168

21

2111168

21

4)(21)(

21

≈−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=




Rys. 1.27




Rys. 1.28

Rozwiązanie W rozpatrywanej figurze możemy wyodrębnić trzy wycinki kół o promieniach, odpo-

wiednio cm 5 i cm 2 (rys. 1.29a) oraz cm 3 (rys. 1.29b).

Rys. 1.29


— połówka koła 1

22

1 cm 2699,3925

=⋅

=πA

cm 51 =x

cm 1221,23

541 =

⋅=

πy

44 cm 5981,68598

81=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππI x

44

cm 4369,24585

1=

⋅=πIy

011=yxI


22

2 cm 2832,622

=⋅

=πA


cm 82 =x

cm 8488,03

242 −=

⋅−=

πy

44 cm 7561,1298

82=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππI x

44

cm 2832,682

2=

⋅=πIy

022=yxI


22

3 cm 1372,1423

=⋅

=πA

cm 33 =x

cm 2732,13

343 =

⋅=

πy

44 cm 8903,8398

83=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππI x

44

cm 8086,3183

3=

⋅=πIy

033=yxI


cm 5,61372,146,283239,2699

31372,1486,2832539,2699

321

332211C

=−+

⋅−⋅+⋅=

=−+−+

==∑∑

AAAxAxAxA

AxA

xi

ii

cm 9099,11372,146,283239,2699

2732,11372,14)8488,0(6,28321221,239,2699

321

332211C

=−+

⋅−−⋅+⋅=

=−+−+

==∑∑

AAAyAyAyA

AyA

yi

ii

Rys. 1.30



4

2

22

2C33

2C22

2C11

cm 3190,1056213,145739,493664,70

])9099,12732,1(1372,148903,8[

)9099,18488,0(2832,67561,1)9099,11221,2(2699,395981,68

])([])([])([321

=−+=

=−⋅+−

+−−⋅++−⋅+=

=−+−−++−+= yyAIyyAIyyAII xxxxc

4

2

22

2C33

2C22

2C11

cm 2253,1499893,2044204,207942,333

])5,63(1372,148086,31[

)5,68(2832,62832,6)5,65(2699,394369,245

])([])([])([321

=−+=

=−⋅+−

+−⋅++−⋅+=

=−+−−++−+= xxAIxxAIxxAII yyyyc

4

C3C33

C2C22C1C11

cm 0056,705040,310002,264996,12

)]9099,12732,1)(5,63(1372,140[

)9099,18488,0)(5,68(2832,60)9099,11221,2)(5,65(2699,390

)])(([

)])(([)])(([

33

2211

−=−−−=

=−−⋅+−

+−−−⋅++−−⋅+=

=−−+−

+−−++−−+=

yyxxAI

yyxxAIyyxxAII

yx

yxyxyx cc


°−≈−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 2945,36)1889,3(arctg

21

3190,1052253,149)0056,70(2arctg

212arctg

21

0cc

cc

xy

yx

III

φ


4

22

22

cm 6404,2003671,732722,127

)0056,70(4)2253,1493190,105(21)2253,1493190,105(

21

4)(21)(

21

=+=

=−⋅+−++⋅=


4

22

22

cm 9051,533671,732722,127

)0056,70(4)2253,1493190,105(21)2253,1493190,105(

21

4)(21)(

21

=−=

=−⋅+−−+⋅=





Rys. 1.31


Zadanie 1.8. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności oraz wyznaczyć wartości

głównych centralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.32 (podziałka 1:2). Wyniki podać z dokładnością do czterech cyfr po przecinku.

Rys. 1.32

Rozwiązanie

W rozpatrywanej figurze możemy wyodrębnić 5 figur regularnych: prostokąty o wymiarach cm 68× i cm 24× oraz ćwiartkę koła o promieniu cm 4 (rys. 1.33a), oraz trójkąt prostokątny o wymiarach cm 63× i połówkę koła o promieniu cm 3 (rys. 1.33b). Charakterystyki geometryczne figur zestawiono poniżej:

— prostokąt 1 2

1 cm 4868 =⋅=A

cm 41 =x

cm 31 =y

43

cm 14412

681

=⋅

=xI

43

cm 25612

681

=⋅

=yI

011=yxI

— prostokąt 2 2

2 cm 824 =⋅=A

cm 102 =x

cm 52 =y

43

cm 6667,212

242

=⋅

=xI

43

cm 6667,1012

242

=⋅

=yI

022=yxI

Rys. 1.33 — ćwiartka koła 3

22

3 cm 5664,1244

=⋅

=πA


cm 6977,93

4483 =⋅

+=π

x

cm 3023,23

4443 =⋅

−=π

y

44 cm 0489,14494

163=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππI x

44 cm 0489,14494

163=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππIy

44 cm 2166,4481

94

33=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=π

I yx

— trójkąt 4

24 cm 92

63=

⋅=A

cm 14 =x

cm 44 =y

43

cm 183663

4=

⋅=xI

43

cm 5,436

634

=⋅

=yI

422

cm 5,472

6344

=⋅

=yxI


22

5 cm 1372,1423

=⋅

=πA

cm 45 =x

cm 2732,13

345 =

⋅=

πy

44 cm 8903,8398

85=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππI x

44

cm 8086,3183

5=

⋅=πIy

055=yxI


cm 2270,71372,1495664,12848

41372,14196977,95664,12108448

54321

5544332211C

=−−++

⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=

=−−++

−−++==

∑∑

AAAAAxAxAxAxAxA

AxA

xi

ii

=−−++

−−++==

∑∑

54321

5544332211C AAAAA

yAyAyAyAyAAyA

yi

ii


Rys. 1.34

cm 4985,31372,1495664,12848

2732,11372,14493023,25664,1258348=

−−++⋅−⋅−⋅+⋅+⋅

=


4

2

22

22

2C55

2C44

2C33

2C22

2C11

cm 5002,1098972,782635,200301,327027,209281,155

])4985,32732,1(1372,148903,8[

])4985,34(918[)4985,33023,2(5664,120489,14

)4985,35(86667,2)4985,33(48144

])([])([

])([])([])([

54

321

=−−++=

=−⋅+−

+−⋅+−−⋅++

+−⋅++−⋅+=

=−+−−+−

+−++−++−+=

yyAIyyAI

yyAIyyAIyyAII

xx

xxxxc

4

2

22

22

2C55

2C44

2C33

2C22

2C11

cm 2845,3860267,1794798,3537587,901829,728494,755

])2270,74(1372,148086,31[

])2270,71(95,4[)2270,76977,9(5664,120489,14

)2270,710(86667,10)2270,74(48256

])([])([

])([])([])([

54

321

=−−++=

=−⋅+−

+−⋅+−−⋅++

+−⋅++−⋅+=

=−+−−+−

+−++−++−+=

xxAIxxAI

xxAIxxAIxxAII

yy

yyyyc

4

C5C55

C4C44C3C33

C2C22C1C11

cm 3120,05198,101)6056,23(9228,323093,332157,77

)]4985,32732,1)(2270,74(1372,140[)]4985,34)(2270,71(95,4[

)]4985,33023,2)(2270,76977,9(5664,122166,4

)4985,35)(2270,710(80)]4985,33)(2270,74(480

)])(([

)])(([)])(([

)])(([)])(([

55

4433

2211

−=−−−−+=

=−−⋅+−−−⋅+−

+−−⋅++

+−−⋅++−−⋅+=

=−−+−

+−−+−−−++

+−−++−−+=

yyxxAI

yyxxAIyyxxAI

yyxxAIyyxxAII

yx

yxyx

yxyxyx cc



°−≈−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 0646,0)0023,0(arctg

21

5002,1092845,386)312,0(2arctg

212arctg

21

0cc

cc

xy

yx

III

φ


4

22

22

cm 2849,3863925,1388924,247

)3120,0(4)2845,3865002,109(21)2845,3865002,109(

21

4)(21)(

21

=+=

=−⋅+−++⋅=


4

22

22

cm 4999,1093925,1388924,247

)3120,0(4)2845,3865002,109(21)2845,3865002,109(

21

4)(21)(

21

=−=

=−⋅+−−+⋅=



centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2.

Rys.1.35


Zadanie 1.9. Wyznaczyć środek ciężkości oraz główne centralne momenty bezwładności figury

przedstawionej na rys. 1.36 (podziałka 1:2).

Rys. 1.36

Rozwiązanie

Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.37. Rozpatrywana figura posiada jedną oś symetrii. Dlatego najpraktyczniej jest przyjąć układ współrzędnych tak, aby jedna z jego osi pokrywała się właśnie z osią symetrii. Oś ta (w naszym przykładzie oś y ) będzie jedną z głównych centralnych osi bezwładności. Moment dewiacji całej figury będzie równy zeru.

W rozpatrywanej figurze złożonej możemy wyodrębnić trzy prostokąty (rys. 1.37) – dwa o wymiarach cm 102× oraz jeden o wymiarach cm 210× . Charakterystyki geo-metryczne figur zestawiono poniżej:

— prostokąt 1 2

1 cm 20102 =⋅=A

cm 41 −=x

cm 51 =y

43

cm 3

50012102

1=

⋅=xI

43

cm 320

12102

1=

⋅=yI

— prostokąt 2 2

2 cm 20102 =⋅=A

cm 42 =x

cm 52 =y

43

cm 3

50012102

2=

⋅=xI


Rys. 1.37

4

3cm

320

12102

2=

⋅=yI

— prostokąt 3 2

3 cm 20210 =⋅=A

cm 03 =x

cm 13 −=y

43

cm 320

12210

3=

⋅=xI

43

cm 3

50012

2103

=⋅

=yI


0C =x

cm 3202020

)1(20520520

321

332211C =++

−⋅+⋅+⋅=

++++

==∑∑

AAAyAyAyA

AyA

yi

ii

Centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury są równe:

4222

2C33

2C22

2C11

cm 820)31(20320)35(20

3500)35(20

3500

])([])([])([321

=−−⋅++−⋅++−⋅+=

=−++−++−+= yyAIyyAIyyAII xxxxc

4222

2C33

2C22

2C11

cm 820)00(203

500)04(203

20)04(203

20

])([])([])([321

=−⋅++−⋅++−−⋅+=

=−++−++−+= xxAIxxAIxxAII yyyyc

Wyznaczone momenty centralne rozpatrywanej figury są jednocześnie głównymi centralnymi momentami bezwładności 1I i 2I .


Zadanie 1.10. Wyznaczyć środek ciężkości oraz główne centralne momenty bezwładności figury

przedstawionej na rys. 1.38.

Rys. 1.38

Rozwiązanie

Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.39. W rozpatrywanej figu-rze możemy wyodrębnić dwa prostokąty o wymiarach cm 8,02,7 × oraz cm 128,0 × . Charakterystyki geometryczne prostokątów zestawiono poniżej:

— prostokąt 1 2

1 cm 6,9128,0 =⋅=A

cm 4,01 =x

cm 61 =y

43

cm 2,11512

128,01

=⋅

=xI

43

cm 512,012

128,01

=⋅

=yI

011=yxI

— prostokąt 2 2

3 cm 76,58,02,7 =⋅=A

cm 4,42 =x

cm 4,02 =y

43

cm 3072,012

8,02,72

=⋅

=xI

43

cm 8832,2412

8,02,72

=⋅

=yI

022=yxI

Rys. 1.39



cm 9,176,56,9

4,476,54,06,9

21

2211C =+

⋅+⋅=

++

==∑∑

AAxAxA

AxA

xi

ii

cm 9,376,56,9

4,076,566,9

21

2211C =+

⋅+⋅=

++

==∑∑

AAyAyA

AyA

yi

ii


422

2C22

2C11

cm 4032,228)9,34,0(76,53072,0)9,36(6,92,115

])([])([21

=−⋅++−⋅+=

=−++−+= yyAIyyAII xxxc

422

2C22

2C11

cm 9952,82)9,14,4(76,58832,24)9,14,0(6,9512,0

])([])([21

=−⋅++−⋅+=

=−++−+= xxAIxxAII yyyc

4

C2C22C1C11

cm 64,80)9,34,0)(9,14,4(76,50)9,36)(9,14,0(6,90

)])(([)])(([2211

−=−−⋅++−−⋅+=

=−−++−−+= yyxxAIyyxxAII yxyxyx cc


°≈=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 9813,23),10921(arctg

21

4032,2289952,82)64,80(2arctg

212arctg

21

0cc

cc

xy

yx

III

φ


4

22

22

cm 2749,2645757,1086992,155

)64,80(4)9952,824032,228(21)9952,824032,228(

21

4)(21)(

21

=+=

=−⋅+−++⋅=


4

22

22

cm 1235,475757,1086992,155

)64,80(4)9952,824032,228(21)9952,824032,228(

21

4)(21)(

21

=−=

=−⋅+−−+⋅=


Na rys. 1.40 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C , centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .


Rys. 1.40

Documents

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich · 2019. 2. 3. · Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek masy figury płaskiej