9
1 МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра общей физики ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Часть 3. Электричество и магнетизм Новосибирск, 2000

R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

1

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Фи з и ч е с к и й ф а к ул ь т е т

Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Часть 3. Электричество и магнетизм

Новосибирск, 2000

Page 2: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.2

Тема: R,L,C - цепи. Определение линейной электрической цепи.

В идеализированных моделях электрических цепей элементы характеризуются уравне-

ниями, связывающими напряжения и токи. Простейшими элементами электрических цепей являются сопротивления, емкости, индуктивности:

Элементы называются линейными, если их динамические переменные U(t) и I(t) удов-

летворяют принципу суперпозиции: Пусть I'(t) и U'(t) - произвольная пара функций, удовлетворяющая уравнению элемен-

та, а I"(t) и U"(t) - любая другая пара, удовлетворяющая тому же уравнению, то говорят, что элемент линейный, если пара функций:

( ) ( ) ( )tIbtIatI ′′⋅+′⋅=

( ) ( ) ( )tUbtUatU ′′⋅+′⋅= также удовлетворяет уравнению элемента для любых значений констант a и b.

Приведенные выше элементы являются линейными. Электрическая цепь, в которую входят только линейные элементы, называется линейной электрической цепью. По способу включения электрической цепи в общую схему установки различают двухполюсники и мно-гополюсники. Простейшими двухполюсниками являются просто сами элементы: сопротивле-ния, ёмкости, индуктивности. Среди многополюсников наиболее широко представлены че-тырехполюсники. Такие цепи играют роль передаточного звена, т. е. их функциональная зна-чимость заключается в преобразовании входного сигнала x(t) в выходной y(t) по определен-ному закону. Для линейной цепи (в дальнейшем четырехполюсник мы будем называть про-сто цепью) связь между выходным и входным сигналом выражается линейным дифференци-альным уравнением, которое составляется с помощью законов Киргофа.

В зависимости от функционального предназначения цепи, в её свойствах выделяют те или иные параметры и характеристики. Например, цепь, изображённая на рис. 3 , может ис-пользоваться для интегрирования сигнала. В этом случае важной характеристикой является переходная характеристика, а важным параметром - постоянная времени. В другом случае эта же цепь может играть роль фильтра низких частот, т. е. служить для ослабления высоко-частотных составляющих сигнала, при этом важно знать её частотную характеристику и частоту среза.

( ) ( )tIRtU ⋅=

( ) ( )dt

tdUCtI ⋅=

( ) ( )dt

tdILtU ⋅=

Page 3: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

3

Если характеристика описывает поведение цепи в зависимости от времени, то её отно-сят к классу динамических, а характеристики, которые дают представление о поведении цепи в зависимости от частоты относят к классу частотных. Для линейных цепей динамические и частотные характеристики взаимосвязаны, т. е. одни характеристики могут быть представле-ны через другие. Опишем основные характеристики более подробно. Динамические характеристики.

Переходная характеристика представляет выходной сигнал цепи как функцию време-ни g(t) при подаче на вход сигнала в форме единичной ступеньки (рис. 1).

( ) ( )

≥<

≡=0100

, t, t

tutx

Импульсная характеристика - это

также выходной сигнал как функция вре-мени h(t) при подаче на вход цепи сигна-ла в форме δδδδ-функции, т. е. очень корот-кого импульса с единичной площадью (рис. 2). Для линейной цепи знание пере-ходной или импульсной характеристики дает возможность определить выходной сигнал для любого входного. Например, если для некоторой цепи известна импульсная характеристика h(t) и на вход цепи подаётся сигнал x(t), то выходной сигнал будет представлять собой свёртку двух функций: входного сигнала и импульсной характеристики цепи:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞+

∞−−≡∗= dôôhôtxthtxty (1)

При известной переходной характеристике g(t) выходной сигнал может быть определен по той же формуле, если воспользоваться связью между импульсной и переходной характе-ристикой:

( ) ( )dt

tdgth =

Анализ линейных цепей, использующий динамические характеристики, несколько проще, чем анализ дифференциальных уравнений, описывающих цепи, т. к. требует знания лишь одной из динамических характеристик, которое может быть получено эксперименталь-ным путем.

Полезно будет разобрать, для примера, несколько простых цепей: Интегрирующая цепь, схема которой приве-

дена на рис.3, описывается уравнением: ( ) ( ) ( )txty

dtxdyRC =+ , (2)

где x(t), y(t) - входное и выходное напряжение соот-ветственно.

Вывод этого уравнения достаточно прост: Ток через сопротивление равен

( ) ( ) ( )R

tytxtIR−=

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Page 4: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

4

Если пренебречь выходным током (в случае достаточно большого входного сопротивления прибора, подключаемого к выходу цепи), то ток через сопротивление будет равен току через емкость

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdyCR

tytx , i i, dt

tdyCi CRC =−⇒==

Переходной характеристикой будет являться решение уравнения (2) при ступенчатом входном сигнале

( ) ( )

≥<

≡=0100

, t, t

tutx

Это решение (рис.4):

( ) ( )

≥−−

<==

01

00

, tRC

texp

, ttytg

Показатель экспоненты содержит величину, характеризующую скорость роста выходного сигнала RCô= . Эта величина на-зывается постоянной времени интегрирующей цепи.

Импульсную характеристику можно определить, взяв производную от переходной характеристики (рис. 5).

( ) ( )

−==

RCtexp

RCdttdgth 1

Дифференцирующая цепь (рис. 6) описывается уравнением

( ) ( ) ( )dt

tdxtyRCdt

tdy =+ 1.

Переходная характеристика представляется в виде функ-ции (рис. 7).

( )

≥−

<=

0

00

, tRC

texp

, ttg

Импульсная характеристика (рис. 8).

( )

>−−

=<

=

010

00

, tRC

texpRC

ä(t), t

, tth

Для этой характеристики имеет место особенность при t=0 в виде δδδδ-функции. Теорети-

чески - это следствие дифференцирования переходной характеристики вблизи нуля. На прак-тике эта особенность проявляется в следующем: Выходной сигнал на момент действия вход-

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Page 5: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

5

ного импульса повторяет этот импульс. По окончании импульса идет разряд емкости через сопротивление по экспоненциальному закону с постоянной времени RCô= . Частотные характеристики.

Отличительной особенностью линейных электрических цепей является то, что при по-

даче на вход цепи синусоидального сигнала, выходной сигнал будет также иметь форму си-нусоиды с частотой исходного сигнала. Отличие амплитуды и фазы выходного от амплитуды и фазы входного синусоидального сигнала в зависимости от частоты определяет частотную характеристику цепи.

Пусть входной сигнал описывается функцией ( ) ðftcosxtx 20= , а выходной -

( ) ( ) ( )( )fðftcosfyty ϕ+= 20 . Амплитудно-частотной характеристикой цепи называется зависимость отношения

амплитуд выходного и входного сигнала от частоты:

( ) ( )0

0

xfyfA =

Фазо-частотной характеристикой называется зависимость разности фаз между вы-ходным и входным сигналом от частоты ( )fϕ .

В общем случае цепь описывается линейным дифференциальным уравнением:

x0101 bdtdxb...

dtxdbya

dtdya...

dtyda m

m

mn

n

n +++=+++

где x и y - входной и выходной сигнал, соответственно. Для теоретического анализа частот-ных характеристик цепи удобно пользоваться представлением сигналов в виде комплексных экспонент. Пусть синусоидальный входной сигнал с частотой f представлен в виде:

( ) ðftéXetx 2= , тогда выходной сигнал можно представить как

( ) ðftéYety 2= Подставив эти выражения в уравнение цепи, после выполнения дифференцирования и

сокращения на tðfj2e получим ( )( ) ( )( )0101 2222 bfjb...fjbXafja...fjaY m

mn

n +++⋅=+++⋅ ππππ . Отношение

( ) ( )( ) 01

01

2222

aðfja...ðfjabðfjb...ðfjb

XYfK n

n

mm

++++++==

является комплексной функцией частоты и называется комплексным коэффициентом пе-редачи цепи. Модуль этого коэффициента определяет амплитудно-частотную характеристи-ку, а аргумент - фазо-частотную характеристику цепи.

Используя уравнение для интегрирующей цепи, получим комплексный коэффициент передачи:

( )fRCj

fKπ211

+=

Амплитудно-частотная характеристика представляется функци-ей

( )( )221

1

fRCfK

π+=

а фазо-частотная характеристика (рис. 9). ( )( ) ( )fRCarctanfKarg π2−=

Рис. 9

Page 6: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

6

Как знание динамических характеристик цепи позволяет определить выходной сигнал

по известному входному сигналу (см. выше формулу (1)), так и знание её частотных характе-ристик дает возможность решить ту же задачу. Для этого входной сигнал представляют в ви-де суперпозиции гармонических составляющих, т. е. в виде интеграла Фурье:

( ) ( )∫∞+

∞−= dfefXtx ðftj2 .

Каждая гармоническая составляющая будет преобразована цепью согласно выражению ( ) ( ) ( ) ( ) ftjftjftj efXfKefYefX πππ 222 =→

и выходной сигнал определится как

( ) ( ) ( )∫+∞

∞−= dfefXfKty ftj π2 .

Иными словами, спектр входного сигнала будет преобразован цепью, суть преобразо-вания заключается в умножении спектра входного сигнала на комплексный коэффициент пе-редачи цепи. Для модуля и аргумента спектральной функции выходного сигнала будет иметь место выражение:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ).fXargfKargfYarg

,fXfKfY+=

⋅=

Рассмотрим специальный случай, когда входной сигнал представляет собой импульс ( ) ( )tätx = . Его спектр

( ) ( ) 1022 === ⋅−+∞

∞−

−∫ ðfjðftj edtetäfX .

Значит, спектр выходного сигнала, являющегося по сути импульсной характеристикой, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fKfKfXfKfY =⋅== 1

совпадает с комплексным коэффициентом передачи цепи. Таким образом, связь между ди-намической и частотной характеристикой цепи выражается прямым и обратным преобразо-ванием Фурье:

( ) ( )

( ) ( )∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

=

=

dfefKth

dtethfK

ðftj

ðftj

2

2

Page 7: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

7

Порядок включения работы.

1. Включить стойку КАМАКа нажатием черной кнопки внизу стойки. 2. Включить тумблером КАМАК-крейт. 3. Включить Компьютер. 4. Включить остальные Приборы, используемые в работе. Правила пользования программой.

В данной версии программы пользователю предоставляется возможность одновремен-ного управления двумя АЦП. Меню программы состоит из двух окон: верхнего и нижнего, в каждом из которых независимо друг от друга можно выводить сигнал, регистрируемый пер-вым или вторым АЦП, реальную и мнимую часть ДВПФ от сигнала, амплитуду и фазу спек-тра сигнала, поступающего с любого из двух АЦП.

Выбор верхнего окна производится нажатием клавиши <Page Up>, а нижнего - <Page Down>.

Перед началом работы необходимо задать режимы работы АЦП. Это осуществляется следующим образом. Вы входите в программу. На экране появится колонка из двух столб-цов:

Клавишей <Tab> необходимо выбрать первое или второе АЦП, а затем при помощи

клавиш < ⇐⇐⇐⇐ >, < ⇒⇒⇒⇒ > выбрать позицию АЦП в крейте. Например, если Вы подвели маркер к цифре 10 и затем нажали <Enter>, то позиция АЦП в этом случае будет определена как 10. Если Вы желаете изменить позицию, то маркер необходимо подвести к слову NewValue и нажать <Enter>. После этого набрать на экране число соответствующее позиции АЦП в крейте и нажать <Enter>.

Далее, по вышеописанной схеме необходимо задать вход АЦП: 50 Ом или 100 кОм. Следует обращать внимание на используемые входы АЦП (низкоомный или высоко-омный). Диапазон по напряжению и времени задается в подпункте меню "Voltage Range" и "Clock Time" соответственно.

Здесь следует пояснить следующее. Если Вы, например, задали напряжение 1.024В и время 1мкс, то это означает, что верхняя граница окна соответствует напряжению +1.024В, а нижняя - -1.024В при масштабе 1, +1.024/2 и -1.024/2 соответственно при масштабе 2, +1.024/4 и -1.024/4 при масштабе 4 и т.д. Время при любом масштабе остается неизменным и при 1 мкс развертка всего окна составляет 512точек*1мкс, т.е. 512мкс.

Следует отметить, что для одинаковой скорости считывания сигнала первым и вторым АЦП, они работают от одного тактового генератора, находящегося во втором АЦП. Это оз-начает, что когда Вы задаете режимы работы АЦП по времени, то необходимо в первом АЦП задать внешний такт, поставив в подпункте меню "Clock Time" маркер на External и нажать <Enter>, а во втором АЦП любое время, которое Вам необходимо. При этом оба АЦП будут считывать сигнал с одинаковой скоростью, которая определяется временным режимом, установленным во втором АЦП.

A D C 1:

Position: 10 NewValue

Input: 500m 100kOm

Voltage Range: 0.512V 1.024V 2.024V

Clock Time: 1mks 2mks 4mks 8mks 16mks 32mks 64mks External

A D C 2:

Position: 10 NewValue

Input: 500m 100kOm

Voltage Range: 0.512V 1.024V 2.024V

Clock Time: 1mks 2mks 4mks 8mks 16mks 32mks 64mks External

Page 8: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

8

Выход из режима задания параметров АЦП осуществляется нажатием клавиши <Esc>. Например, Вы хотите посмотреть сигнал с генератора, реальную и мнимую часть ДВПФ сигнала, амплитуду и фазу спектра сигнала. Для этого необходимо подать сигнал с выхода генератора на вход одного из АЦП с помощью соединительного кабеля и нажать <Enter>. В первом или во втором окне, в зависимости от выбранного АЦП, появится сигнал, который при необходимости можно масштабировать с помощью клавишей < ⇑⇑⇑⇑ >, < ⇓⇓⇓⇓ >, предвари-тельно перейдя при помощи клавиш <Page Up> и <Page Down> в то окно, где находится сигнал.

Чтобы посмотреть реальную часть ДВПФ сигнала необходимо нажать клавишу <R>, после чего программа сделает ДВПФ и выведет реальную часть спектра в окно, где раньше был сам сигнал. Если вы хотите посмотреть одновременно сигнал и реальную часть, то перед нажатием клавиши <R> необходимо перейти в пустое от сигнала окно при помощи клавиш <Page Up> и <Page Down>. В этом случае в одном окне будет сигнал с генератора, а в дру-гом его реальная часть. Это удобно для работы и анализа.

Точно также можно посмотреть мнимую часть, амплитуду и фазу спектра сигнала. Для этого необходимо вместо клавиши <R> нажать <I>, <A>, <P> соответственно. Буквы, кото-рые следует нажимать, выделены в меню другим цветом.

Если Вы хотите посмотреть сигнал до RC цепочки и после нее одновременно, то необ-ходимо подать сигнал с выхода генератора на вход первого АЦП и на вход RC цепочки, а выход RC цепочки соединить с входом второго АЦП и нажать <Enter>. В первом окне поя-вится сигнал, который поступает на RC цепочку, а во втором окне - сигнал прошедший RC цепочку. Если необходимо, то можно посмотреть реальную и мнимую часть ДВПФ, ампли-туду и фазу спектра сигнала в первом или втором окне с помощью клавиш <R>, <I>, <A>, <P> соответственно.

Узнать численное значение в любой точке графика можно при помощи маркера, кото-рый перемещается стрелками < ⇐⇐⇐⇐ >, < ⇒⇒⇒⇒ > на одну точку окна экрана или <Ctrl> + < ⇐⇐⇐⇐ >, и <Ctrl> + < ⇒⇒⇒⇒ > - с шагом по 10 точек. Напомним, что в каждом окне по горизонтали - 512 точек.

Программа позволяет производить печать с экрана, которая осуществляется нажатием клавиш <Ctrl> + <Print Screen>.

Page 9: R,L,C - цепи: Методические указания к лабораторной работе

9

Задания.

1. Снимите несколько спектров ( )fX одиночного прямоугольного импульса с различной длительностью ∆t . По спектральным картинам определите ширину главных лепестков ∆f . Постройте по нескольким точкам примерную зависимость ширины ∆f от длительности им-пульса ∆t .

2. Для каждой из предлагаемых Вам цепей (интегрирующей, дифференцирующей, полосо-вого фильтра на RC элементах и колебательного контура) снимите переходную характери-стику. Для этого подайте на вход цепи сигнал прямоугольной формы с периодом достаточно большим по сравнению с характерным временем длительности переходных процессов в це-пи.

3. По переходным характеристикам для интегрирующей и дифференцирующей цепи опре-делите постоянную времени, а для колебательного контура - собственную частоту.

4. Подайте на вход тех же цепей одиночный импульс с длительностью меньшей времени преобразования АЦП. Снимите спектр ( )fX импульсной характеристики. Для интегри-рующей, дифференцирующей цепи и полосового фильтра определите частоту на полувысоте

( )fX , сравните её с теоретическим расчетом. Для колебательного контура по спектру опре-делите резонансную частоту и добротность.

Справочные данные Величина кванта измеряемого напряжения АЦП ФК-4225

1024U

2UU макс

10макс

кванта ==

Литература. •••• Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. М.: Мир, 1988. •••• Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электромагнитное поле. Ч.1. Н-ск: Наука, 1987. •••• Бонч-Бруевич А.М. Радиоэлектроника в экспериментальной физике. М.: Наука, 1966 •••• Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. М.: Мир, 1983. Интернет версия подготовлена на основе издания:

Физический факультет НГУ,2000

Лаборатория электричества и магнетизма НГУ,2000, http://www.phys.nsu.ru/electricity/