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Risoluzione di problemi matematici con l’origamiweb.math.unifi.it/users/mathesis/conferenze/files-presentazioni/1011/Caserta.pdf · origami?!O1 : Dati due punti P e Q possibile

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  • ! Risolvere un’equazione di secondo grado.

    ! Risolvere un’equazione di terzo grado.

    ! Costruzione di Poligoni regolari.

    ! Quali poligoni regolari sono costruibili con gli

    origami?

  • ! O1 : Dati due punti P e Q è possibile piegare

    la retta passante per tali punti.

    Q

    P

  • ! O2 : Dati due punti P e Q è possibile piegare

    uno sull’altro (asse del segmento PQ)

    P Q

  • ! O3 : Dati un punto P e una retta r è possibile

    piegare la perpendicolare alla retta passante

    per il punto.

    P

    r

  • ! O4 : Date due rette è possibile piegarne

    una sull’altra (bisettrice dell’angolo).

    !

    "

  • ! O5: Dati due punti P,Q e una retta r è possibile

    piegare una linea per P che porti il punto Q su

    r.

    PQ

    r

  • Dal punto P1 costruiamo una linea ortogonale a L1 (O4)

  • XP1 e XA hanno la stessa lunghezza . L2 è l’asse del seg. AP1

  • Costruire l’ortogonale a L1 per Y (O4) . L2 è la tangente alla

    parabola di fuoco P1 e direttrice L1

  • ! Abbiamo ottenuto la parabola come inviluppo

    di rette tangenti.

    ! Il coefficiente angolare della retta tangente

    alla parabola risolve un’equazione di secondo

    grado.

  • ! O6: Dati due punti P,Q e due rette r,s è

    possibile piegare una linea che porti

    contemporaneamente P su r e Q su s.

    r

    s

    QP

  • ! !"

  • ! Il problema di risolvere un’equazione di terzo

    grado si riconduce (analiticamente) in generale

    a cercare le tangenti comuni a due parabole.

    #$%

    &

  • #$!%&'!()$*+',-.&*/($00-,$*123456

    *

  • Come applicare il MP ?

    Consideriamo un’equazione di III grado nella

    forma

    74*8**9*$8**9*:*8*;*.

    interpretiamola geometricamente.

  • < *=2

    +:

    >?

    >?

    >

    .

    @

    $

    **74*/((0($/((0(1(/(2(3

    @?

    >?;>

    *ABAA**12CDE6

  • *>>GHG*[email protected]<

    >?*;*>*K

  • **

    < *=2

    +:

    >

    .

    @

    $

    @?

    >?;>

    IL$MN-*>?;>*$,,-!$*,$*

    O("L!$*[email protected]?*P*LM$*

    "-,L0(-M'*N',,?'QL$0(-M'R

    **74*/((0($/((0(1(/(2(3

  • %

    2

    &

    '%())*(+,-..(+/*-0(

    .

  • ! Duplicazione del cubo (!2) – Grecia

    Eratostene (600-300 a.C)

    Dato un cubo di

    lato l trovare il lato L del

    cubo di volume doppio.

    4

  • Dividere il lato del foglio

    in 3 parti ugualiApplicare l’assioma O6

    portando P1 su L1 e P2

    su L2

    F-,L0(-M'*N(*/')'!*#'""M'!

  • Si ottiene che X^3 =2

  • ! S!("'0(-M'*N(*LM*$M%-,-

    1/3

    1/3

    1/3

  • ! Per risolvere il problema analiticamente

    possiamo impostare l’equazione

    cos(3") = 4 cos(")- 3 cos (")=

    La nostra incognita è cos (")

    X- (3/4)X- (1/4) cos (3") =0=

  • Dividere in 4 parti uguali Si porta P2 su L2 e P1 su

    L1 (Assioma O6)

  • I Triangoli P2AB, P2BC e P2CD sono congruenti

  • ! Definizione: Un numero reale !, è costruibilese con riga e compasso e l’unità di misurafissata, si riesce a costruire un segmento dilunghezza |!|

    ! Quindi : Un punto P è costruibile se e solo selo sono le sue coordinate rispetto ad unsistema di riferimento cartesiano

  • ! In generale un angolo " non può essere

    trisecato con la geometria di riga e compasso.

    ! Quali angoli sono trisecabili con gli assiomi

    di euclide?

  • ! Lemma: Se Un numero reale ! soddisfa unpolinomio irriducibile (in Q[x]) di grado n chenon è una potenza di 2,allora il numero non ècostruibile (con riga e compasso).

    Ma alcuni angoli sono costruibili……Quali?

    Ad esempio : #/2

    >[email protected]*AA>

  • ! *****>-")!L(!'*LM*'T)$%-M-*!'%-,$!'

    X + X - 2X - 1 =0(= B

  • ! *****>-")!L(!'*LM*'T)$%-M-*!'%-,$!'

  • ! F(*TLU*N(O-")!$!'*.&'*(*T-,(%-M(*.-")!L(:(,(

    .-M*V(%$*'*>-OT$""-*N'W-M-*$W'!'*LM

    MLO'!-*N(*,$)(*T$!(*$

  • ! =)(,(00$!'*,$*O$)'O$)(.$*T'!*!("-,W'!'*T!-:,'O(*X)(T--!(%$O(Y

    ! >-O'*"(*TLU*N(W(N'!'*LM*Z-%,(-*(M*4[*M*T$!)(*L%L$,(K

  • BM*LM$*".L-,$*"LT'!(-!'*"(*TLU*(M)!-NL!!'*(,*.-M.'))-*N(*BM*LM$*".L-,$*"LT'!(-!'*"(*TLU*(M)!-NL!!'*(,*.-M.'))-*N(*,(O()'*,(O()'*

    N(*LM$*"L..'""(-M'N(*LM$*"L..'""(-M'..

  • /'!.&\*)$,'*O')-N-*ZLM0(-M$K/'!.&\*)$,'*O')-N-*ZLM0(-M$K

    ](-.$*LM*!L-,-*N')'!O(M$M)'*,$*](-.$*LM*!L-,-*N')'!O(M$M)'*,$*"(O(,()LN(M'"(O(,()LN(M'*)!$*)!($M%-,(*)!$*)!($M%-,(

  • /-""($O-*%'M'!$,(00$!'/-""($O-*%'M'!$,(00$!' )$,'*O')-N-K)$,'*O')-N-K

  • >

  • 1)Soggetto in considerazione 1)Soggetto in considerazione

    76G")!$T-,$0(-M'*$,:'!-*O$)'O$)(.-*76G")!$T-,$0(-M'*$,:'!-*O$)'O$)(.-*

    Inventare ….. pensare

  • 3)Trasformazione in un insieme di cerchi (3)Trasformazione in un insieme di cerchi (circlecircle)e fiumi()e fiumi(riversrivers) )

    rispettandorispettando le giuste proporzioni del soggetto matematico le giuste proporzioni del soggetto matematico

  • 4)Disposizione simmetrica dei cerchi e dei fiumi 4)Disposizione simmetrica dei cerchi e dei fiumi allall’’internodelinternodel

    nostro nostro poligono poligono : il : il quadratoquadrato

  • 5) Si uniscono i segni di ogni cerchio, per mezzo di linee in5) Si uniscono i segni di ogni cerchio, per mezzo di linee in

    senso senso orizzontale orizzontale e verticalee verticale

  • 6)Si uniscono tutti i centri di ogni cerchio all6)Si uniscono tutti i centri di ogni cerchio all’’interno delinterno del

    nostro nostro quadrato rispettando quadrato rispettando anche la distanza dei fiumianche la distanza dei fiumi

    inseritiinseriti

  • 7)Si piega la base rispettando la sequenza di pieghe a monte e a valle7)Si piega la base rispettando la sequenza di pieghe a monte e a valle

    Ottenendo così la nostra base che andrà modificata con ulteriori passaggiOttenendo così la nostra base che andrà modificata con ulteriori passaggi

    (secondari) che serviranno sia per ottenere armonia al modello sia per(secondari) che serviranno sia per ottenere armonia al modello sia per

    Terminare la modellazione .Terminare la modellazione .

  • Tarantola

  • Tartaruga dell’ovest

  • XA$*%'-O')!($*P*LM?$!)'*N'%,(*-..&(*'*N',,'O$M([*M-M*"-,-*N',,$O'M)'Y

    J.Pedersen(Teorico dei numeri)