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! Risolvere un’equazione di secondo grado.
! Risolvere un’equazione di terzo grado.
! Costruzione di Poligoni regolari.
! Quali poligoni regolari sono costruibili con gli
origami?
! O1 : Dati due punti P e Q è possibile piegare
la retta passante per tali punti.
Q
P
! O2 : Dati due punti P e Q è possibile piegare
uno sull’altro (asse del segmento PQ)
P Q
! O3 : Dati un punto P e una retta r è possibile
piegare la perpendicolare alla retta passante
per il punto.
P
r
! O4 : Date due rette è possibile piegarne
una sull’altra (bisettrice dell’angolo).
!
"
! O5: Dati due punti P,Q e una retta r è possibile
piegare una linea per P che porti il punto Q su
r.
PQ
r
Dal punto P1 costruiamo una linea ortogonale a L1 (O4)
XP1 e XA hanno la stessa lunghezza . L2 è l’asse del seg. AP1
Costruire l’ortogonale a L1 per Y (O4) . L2 è la tangente alla
parabola di fuoco P1 e direttrice L1
! Abbiamo ottenuto la parabola come inviluppo
di rette tangenti.
! Il coefficiente angolare della retta tangente
alla parabola risolve un’equazione di secondo
grado.
! O6: Dati due punti P,Q e due rette r,s è
possibile piegare una linea che porti
contemporaneamente P su r e Q su s.
r
s
QP
! !"
! Il problema di risolvere un’equazione di terzo
grado si riconduce (analiticamente) in generale
a cercare le tangenti comuni a due parabole.
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Come applicare il MP ?
Consideriamo un’equazione di III grado nella
forma
74*8**9*$8**9*:*8*;*.
interpretiamola geometricamente.
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*ABAA**12CDE6
! Duplicazione del cubo (!2) – Grecia
Eratostene (600-300 a.C)
Dato un cubo di
lato l trovare il lato L del
cubo di volume doppio.
4
Dividere il lato del foglio
in 3 parti ugualiApplicare l’assioma O6
portando P1 su L1 e P2
su L2
F-,L0(-M'*N(*/')'!*#'""M'!
Si ottiene che X^3 =2
! S!("'0(-M'*N(*LM*$M%-,-
1/3
1/3
1/3
! Per risolvere il problema analiticamente
possiamo impostare l’equazione
cos(3") = 4 cos(")- 3 cos (")=
La nostra incognita è cos (")
X- (3/4)X- (1/4) cos (3") =0=
Dividere in 4 parti uguali Si porta P2 su L2 e P1 su
L1 (Assioma O6)
I Triangoli P2AB, P2BC e P2CD sono congruenti
! Definizione: Un numero reale !, è costruibilese con riga e compasso e l’unità di misurafissata, si riesce a costruire un segmento dilunghezza |!|
! Quindi : Un punto P è costruibile se e solo selo sono le sue coordinate rispetto ad unsistema di riferimento cartesiano
! In generale un angolo " non può essere
trisecato con la geometria di riga e compasso.
! Quali angoli sono trisecabili con gli assiomi
di euclide?
! Lemma: Se Un numero reale ! soddisfa unpolinomio irriducibile (in Q[x]) di grado n chenon è una potenza di 2,allora il numero non ècostruibile (con riga e compasso).
Ma alcuni angoli sono costruibili……Quali?
Ad esempio : #/2
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X + X - 2X - 1 =0(= B
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>VG@FG*/@SSGVJ>VG@FG*/@SSGVJSoggetto: LibellulaSoggetto: Libellula
1)Soggetto in considerazione 1)Soggetto in considerazione
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Inventare ….. pensare
3)Trasformazione in un insieme di cerchi (3)Trasformazione in un insieme di cerchi (circlecircle)e fiumi()e fiumi(riversrivers) )
rispettandorispettando le giuste proporzioni del soggetto matematico le giuste proporzioni del soggetto matematico
4)Disposizione simmetrica dei cerchi e dei fiumi 4)Disposizione simmetrica dei cerchi e dei fiumi allall’’internodelinternodel
nostro nostro poligono poligono : il : il quadratoquadrato
5) Si uniscono i segni di ogni cerchio, per mezzo di linee in5) Si uniscono i segni di ogni cerchio, per mezzo di linee in
senso senso orizzontale orizzontale e verticalee verticale
6)Si uniscono tutti i centri di ogni cerchio all6)Si uniscono tutti i centri di ogni cerchio all’’interno delinterno del
nostro nostro quadrato rispettando quadrato rispettando anche la distanza dei fiumianche la distanza dei fiumi
inseritiinseriti
7)Si piega la base rispettando la sequenza di pieghe a monte e a valle7)Si piega la base rispettando la sequenza di pieghe a monte e a valle
Ottenendo così la nostra base che andrà modificata con ulteriori passaggiOttenendo così la nostra base che andrà modificata con ulteriori passaggi
(secondari) che serviranno sia per ottenere armonia al modello sia per(secondari) che serviranno sia per ottenere armonia al modello sia per
Terminare la modellazione .Terminare la modellazione .
Tarantola
Tartaruga dell’ovest
XA$*%'-O')!($*P*LM?$!)'*N'%,(*-..&(*'*N',,'O$M([*M-M*"-,-*N',,$O'M)'Y
J.Pedersen(Teorico dei numeri)
