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7/31/2019 Riepilogo Di Scienza Delle Costruzioni
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Redattore: Dott. Ing. Simone Caff
RIEPILOGO DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
Codice Rev. 01 PaginaData Rev. 16/09/05 1 di 17
Il presente documento viene distribuito alla persona ivi indicata, fatto salvo il principio che la riproduzione e la diffusione diqualsiasi informazione contenuta debba avvenire tramite autorizzazione della stessa Societ.
RIEPILOGO DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
1.MODELLAZIONE DELLA STRUTTURALa fase pi importante nello studio delle strutture quella di riuscire a modellare il
comportamento reale e la geometria reale del sistema strutturale da analizzare con un opportunoschema statico che sar oggetto di tutte le considerazioni statico deformative, che porterannoalla verifica o meno dello stesso.
1.1. Modellazione geometricaLa modellazione geometrica quel processo che serve a trasformare loggetto
reale da studiare in un sistema di elementi da introdurre nel calcolo:
1.1.1. Modellazione monodimensionaleMoltissime strutture reali, come per esempio gli edifici in calcestruzzo armato,
o le coperture reticolari dei capannoni industriali, o gli edifici prefabbricati possono esseremodellati semplicemente come un insieme di aste o di travi o di colonne semplici o
accoppiate che formano il sistema strutturale da analizzare.Nel caso di elementi monodimensionali ovvero elementi nei quali una dimensione prevaricasulle altre due (es. travi, colonne) la modellazione avviene assumendo nel calcolo lassebaricentrico dellelemento reale:
1.1.2. Modellazione bidimensionaleGli elementi strutturali come i solai, le piastre o le lastre, posseggono due
dimensioni prevaricanti sulla terza, per tale ragione la modellazione avviene attraverso il loro pianomedio.
1.1.3. Modellazione tridimensionaleInfine gli elementi come i plinti di fondazione i muri di sostegno o le mensoletozze non hanno nessuna dimensione prevaricante sulle altre, per tale ragione vengono
generalmente studiati come elementi tridimensionali rigidi.
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2.MODELLAZIONE DEI VINCOLI ESTERNILe strutture reali sono vincolate a terra in modo da trasferire al terreno, attraverso vari sistemi
di fondazione, i carichi per le quali sono state dimensionate.Nella pratica della scienza delle costruzioni questi sistemi di fondazione vengono modellatiattraverso dei vincoli che permettono o meno traslazioni e rotazioni.
3.SVINCOLI INTERNIGli svincoli interni alla struttura sono delle connessioni tra gli elementi che permettono o
meno la trasmissione di determinate caratteristiche di sollecitazione. Per esempio lo svincolo acerniera che in assoluto quello pi comune, permette la trasmissione da un elemento a quelloconnesso della forza normale e del taglio, ma non del momento flettente, ne segue che nella
cerniera lunico spostamento relativo consentito la rotazione. Viceversa la connessione rigida tradue elementi, consente la trasmissione integrale delle caratteristiche di sollecitazione poich ivitutti gli spostamenti relativi tra gli elementi collegati sono impediti.
Si sottolinea che si sta parlando di spostamenti relativi tra gli elementi collegati, e non dispostamenti assoluti, infatti nella connessione rigida un elemento rispetto ad un altro non hamovimenti, ma nel complesso il nodo pu subire spostamenti.
Spostamento relativo Spostamento assoluto
Tipo di vincolo Spostamenti impediti Spostamenti trasmessi ReazioniCarrello semplice 02 =u 01 u ; 03 02 R
Cerniera01 =u ; 02 =u 03 01 R ; 02 R
Doppio pendolo 02 =u ; 03 = 01 u 02 R ; 03 M
Incastro 01 =u ; 02 =u ; 03 = - 01 R ; 02 R ; 03 M
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4.GRADO DI STATICITALe strutture devono essere in grado di non subire cinematismi che portino a collasso per
moto rigido lintero sistema o parte di esso.Per tale motivo si deve sempre essere in grado di valutare il grado di staticit della strutturaanalizzata, ovvero se la quantit di vincoli e la loro direzione efficace sono in grado di impedireogni atto di moto rigido della struttura. Latto di moto rigido un concetto completamentediverso dalla deformazione, infatti il primo implica un tipo di spostamento che non conservalequilibrio generale dalla struttura, mentre il secondo rappresenta uno spostamento dellassebaricentrico dalla configurazione iniziale a quella deformata a seguito dellapplicazione diunazione esterna, conservando lequilibrio generale.
Le strutture possono definirsi:
Labili o ipostatiche: Se il numero di vincoli o la loro direzione efficace non sono ingrado di impedire atti di moto rigido dellintero sistema o di parte di esso.
Isostatiche: Se il numero di vincoli ben posizionati lo stretto necessario perimpedire ogni atto di moto rigido nel sistema.
Iperstatiche: Se il numero di vincoli sovrabbondante rispetto al minimo necessarioper garantire limpedimento di ogni atto di moto rigido del sistema.
5.CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONELe caratteristiche di sollecitazione sono delle forze o dei momenti che si distribuiscono lungo
lasse baricentrico che modella lelemento strutturale a seguito dei carichi agenti e delle reazionivincolari. Se ad esempio si prende una trave sottoposta ad un sistema di forze di azione (carichi) edi reazione (forze trasmesse dai vincoli) in equilibrio sotto tali azioni e si attua una sezione idealesullasse baricentrico ci si accorge che lequilibrio generale non sarebbe pi soddisfatto a menoche le due porzioni della sezione non si scambino delle mutue azioni in grado di equilibrare le azioniesterne. Queste azioni che le faccia di destra trasmette alla faccia di sinistra e viceversa vengonoappunto definite caratteristiche di sollecitazione:
Le sollecitazioni evidenziate sono quelle che sistudiano nella analisi piane.
Caratteristica Simbolo Asse di azioneForza normale
Sd.xN Lungo x
Forza di taglioSd.yV Lungo y
Forza di taglioSd.zV Lungo z
Momento flettenteSd.yM Attorno a y
Momento flettenteSd.zM Attorno a z
Momento torcenteSd.xT Attorno a x
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Si noti che gli assi di riferimento delle caratteristiche di sollecitazione sono conformi con quelli deinuovi manuali sui profilati e degli Eurocodice, e si tratta di Assi Locali e non di assi globali.
Gli assi globali sono quelli relativi ad un sistema di riferimento immobile nello spazio. Gli assi locali sono quelli che caratterizzano ogni elemento strutturale e quindi come tali si
deformano insieme ad esso. Lasse parallelo allasse baricentrico generalmente indicatocon x o con 1, differentemente dai vecchi manuali che lo identificavano con z o con 3.
6.ESEMPIO DI CALCOLO DI UN TELAIODi seguito si riporta lesempio di calcolo manuale di un telaio piano:
!
!"
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6.1. Grado di staticitasteintext nvv =+ 3
3
523
422
=
=+=
=+=
aste
int
ext
n
v
v
la struttura isosltatica
6.2. Equilibrio delle forze e dei momenti
=+
=++
=+
05521005255
055
0100
B
BA
BA
V..
HH
VV
Equazione ausiliaria attorno alla cerniera:
05 =BH
=
=
=
=
562
537
025
.V
.V
HH
B
A
B
A
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6.3. Caratteristiche di sollecitazione6.3.1. Forza normale
( ) 503731 .xN = [ ]kN ( ) 055002553 =+= .xN [ ]kN ( ) 506252 .xN = [ ]kN
6.3.2. Forza di taglio( )
( )
( )
=+==
+===+=
055255
25025
31
3131
xV
xVxqxV [ ]kN
( ) 503743 .xV += [ ]kN ( ) 5062100503754 ..xV =+= [ ]kN ( ) 065 = xV [ ]kN ( ) 052 = xV [ ]kN
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6.3.3. Momento flettente( )
( )
( )
==
===
=
50625
00
225
31
312
31.xM
xMxqxxM [ ]mkN
( )( )
( )
==
===
+=
2515652
50620
2
52553743
432
43
..xM
.xMlqx.xM [ ]mkN
( )( )
( )
==
====
2515652
005062
45
4545
..xM
xMx.xM [ ]mkN
( ) 056 = xM [ ]mkN
( ) 052 = xM [ ]mkN
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In generale si possono scrivere le equazioni indefinite dellequilibrio, nel seguente modo:
#
$
#%#
$%$
& &%&
'
( ) ( ) 0=+ dxxpdNNN ( ) ( ) 0=+ xpdx
xdN
( ) ( ) 0=+ dxxqdVVV ( )
( ) 0=+ xqdx
xdV
( ) ( ) ( ) ( ) 02
2
=++++dx
xqdxxmdxdVVdMMM ( )
( ) ( )xVxmdx
xdM=+
Se sulla struttura non sono presenti momenti applicati lungo lasse, il taglio la derivata dellafunzione del momento flettente.
Taglio nullo il momento ha un massimo o un minimo Taglio positivo il momento cresce Taglio negativo il momento decresce Taglio lineare il momento ha andamento quadratico
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7.Concetto di tensione( )n
n
n
AS Slimn
tR
=
0 0
0=
n
n
AS Slimn
M
La tensione definita come il limite per la superficie che tende a zero della forza o deimomenti su di essa agenti.
La forza agente sulla superficie si scompone in tre vettori di tensione it uno per ciascuna superficie
in direzione degli assi cartesiani.
Tale vettore a sua volta ha tre componenti ijT (una normale alla superficie e due tangenziali) chesono dette componenti di tensione.
Si definisce per tanto Tensore delle tensioni la matrice delle componenti dei tre vettori tensione perciascuna direzione degli assi.
[ ]
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ijT esiste una base ortonormale per cui [ ] [ ]
==
zz
yy
xx
ij
00
00
00
T
Tale tensore doppio e simmetrico ovvero : jiij TT =
Le componenti sulla diagonali sono dette tensioni normali, perch agiscono in direzioneperpendicolare alla superficie.
Le componenti al di fuori della diagonale sono dette tensioni tangenziali, perch agisconotangenzialmente alla superficie.
I materiali reagiscono bene alle tensioni normali e meno bene a quelle tangenziali.
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7.1. Legame tra le caratteristiche di sollecitazione e le tensioniForza normale: =
A
xxx.Sd dAN
Forza di taglio: =A
xzz.Sd dAV
=A
xyy.Sd dAV
Momenti flettenti: =A
xxy.Sd dAzM
=A
xxz.Sd dAyM
Momento torcente: ( ) =A
xzxyx.Sd dAyzT
"
&
#
#
&
$&
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8.ANALISI DELLE SEZIONI TRASVERSALITutte le seguenti considerazioni valgono se gli assi locali considerati sono baricentrici e principalidinerzia.
8.1. Forza Normale: Trazione semplice8.1.1. Trazione semplice in condizione elastica
La trazione genera tensioni normali nella sezione allungandone le fibre in
modo costante su tutta la sezione trasversale.
ammx.Sd
xxA
N=
8.1.2. Trazione semplice in condizione plasticaLa resistenza plastica di una sezione soggetta a trazione semplice si valuta a
partire dalla resistenza del materiale allo snervamento.
0M
y
Rd.tSd
fANN
=
$
"
8.2. Forza Normale: Compressione sempliceSe si prescinde dai fenomeni di stabilit, la compressione in un materiale ideale,
elastico e isotropo, del tutto analoga alla trazione fatto salvo che le fibre dellintera sezione siaccorciano uniformemente sotto lazione della forza esterna.
ammx.Sd
xxA
N=
0M
y
Rd.cSd
fANN
=
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8.3. Momento flettente: Flessione sempliceLa flessione come la forza normale genera una stato di tensione normale nella
sezione: per la precisione il momento positivo fa allungare le fibre al di sotto dellasse neutro,mentre accorcia quelle al di sopra dellasse neutro e viceversa il momento di segno negativo.
8.3.1. Flessione semplice in condizione elastica
"
&
(
(
amm
yy.el
y.Sd
yy
y.Sd
max.xx
yy
y.Sd
xx.txx.c
W
Mh
I
M
zI
M
==
==
2
andamento lineare
Dove:
yyI momento dinerzia rispetto allasse forte y y
yy.elW modulo di elasticit rispetto allasse y y
Per un rettangolo
12
3hbIyy
= per tanto il modulo di resistenza vale
6
2hbW yy.el
= .
Ne consegue che la tensione massima di trazione e di compressione vale:
amm
y.Sd
max.xxhb
M
=
2
6e il momento resistente vale: ammy.Rd.el
hbM
=
6
2
Lo stesso risultato pu essere determinato considerando le risultanti di trazione e compressioneapplicate nei baricentri dei triangoli del diagramma di tensione:
xxxxct hbbh
NN ===4
1
22
1
ammxxty.Rd.el
hbhhbzNM
=
== 623
2
24
1 2
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8.3.2. Flessione semplice in condizione plasticaQuando le massime tensioni nelle fibre pi esterne della sezione raggiungonoil valore di snervamento yeld point yxx.max f= la possibilit di un ulteriore allungamento
impedito, per cui le massime tensioni migrano allo strato subito inferiore. Il processo procede fino aquando la sezione non interamante plasticizzata, e si forma la cosiddetta cerniera plasticaovvero una cerniera che in grado di trasferire un momento massimo pari al momento plasticodella sezione:
"
&
(
(
0M
yyy.ply.Rd.ply.Sd
fWMM
=
Dove:
yy.plW modulo di plasticit rispetto allasse y y (pari a due volte il momento statico di mezza
sezione rispetto allasse neutro)
*neutroasse2 SW yy.pl =
Per una sezione rettangolare:
4422
2
hbhhbW yy.pl =
=
NOTA:Si definisce asse neutro quel particolare asse rispetto al quale le tensioni elastiche risultano nulle.Nella flessione semplice lasse neutro sempre baricentrico.
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8.4. Momento flettente: Flessione deviataUna sezione sottoposta a flessione deviata se su di essa insistono sia i momenti
attorno allasse y y che quelli attorno allasse z z:
8.4.1. Flessione deviata in condizione elastica
amm
zz.el
z.Sd
yy.el
y.Sd
zz
z.Sd
yy
y.Sd
max.xxW
M
W
Mb
I
Mh
I
M+=+=
22
&
&
"
(&
(&
(&
(&
Lasse neutro passa comunque per il baricentro della sezione.
8.4.2. Flessione deviata in condizione plastica1
00
+
M
yzz.pl
zz.Sd
M
yyy.pl
yy.Sd
fW
M
fW
M
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8.5. Presso e tenso flessione compostaUna sezione sottoposta a flessione attorno ad uno solo o ad entrambi gli assi
contemporaneamente e a forza normale di compressione o di trazione si dice presso inflessa otenso inflessa:
(&
&
(&
&
(&
(&
"
($
($
$
8.5.1. Presso o tenso flessione in condizione elastica
amm
zz.el
z.Sd
yy.el
y.Sdx.Sdmax.xx
zz
z.Sd
yy
y.Sdx.Sdmax.xx
W
M
W
M
A
N
b
I
Mh
I
M
A
N
=
=22
Ricordandosi il fatto che un momento pu sempre essere scritto come una forza per un bracciopossiamo riscrivere la precedente formula nel utilizzando solo la forza normale agente con
uneccentricit lungo y e una lungo z tali da generare gli stessi momenti z.SdM e y.SdM .
yI
eNz
I
eN
A
N
zz
yx.Sd
yy
zx.Sdx.Sdmax.xx
=
Moltiplicando e dividendo per A e ricordandosi che il raggio dinerzia vale AIi= si ottiene:
yIA
AeNz
IA
AeN
A
N
zz
yx.Sd
yy
zx.Sdx.Sdmax.xx
=
=
221
zz
y
yy
zx.Sdmax.xx
iye
ize
AN
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Dove:
yyS~
il momento statico dellarea A~
considerata rispetto allasse y y
yb la corda considerata
Si noti che nella sezione trasversale considerata cost=z.SdV , cost=yyI , mentre yyS~
e yb
variano. Dimensionalmente yyS~
pari ad una lunghezza al cubo mentre yb una lunghezza, per
tanto il loro rapporto pari ad una lunghezza al quadrato. Va di conseguenza che landamentodelle tensioni tangenziali di tipo parabolico con massimo nel baricentro.
In campo plastico il taglio resistente viene cos definito:
03 M
y
z.VRd.z
fAV
=
Dove z.VA quella porzione della sezione in grado di resistere al taglio. Nel caso di un profilo a H
laminato tale area corrisponde allarea dellanima del profilo.
8.7. Composizione delle tensioniIn campo elastico la composizione delle tensioni avviene per mezzo del criterio di
resistenza di Von Mieses secondo il quale:
ammid +=22 3
Tale criterio permette di comporre le tensioni normali con quelle tangenziali in modo da creare unatensione ideale da confrontare con la tensione ammissibile del materiale.
________________________________________________________________________________________________FINE DOCUMENTO