Rezolvarea Cadrelor Cu Noduri Fixe

ENCIPEDIA EDUCATIONAL STATICA CONSTRUCTIILOR PUBLICAT LA 04.05.2015SCRIS DE EMIL FLORIN ALBOTA

Rezolvarea Cadrelor cu NoduriFixe

Ecuaiile de condiie ale MetodeiDeplasrilor

Aplicaie

1. Rezolvarea Cadrelor cu Noduri FixeSingurele necunoscute ale cadrelor cu noduri fixe care se rezolv utiliznd MetodaDeplasrilor sunt rotirile nodurilor j=Zj (j = 1, 2, ..., n).

Structura real

Sistem de Baz

Numrul necunoscutelor este egal cu numrul nodurilor rigide. Prin blocarea nodurilor la rotire de nod (atribuindnecunoscutelor valoarea zero) se obine un ansamblu de grinzi independente cu o singur deschidere, static nedeterminate(bare dublu ncastrate i bare ncastrat articulate) numit Sistem de Baz. Aciunile care se manifest asupra acestuia sunt :

1. forele exterioare;

2. necunoscutele rotiri de noduri Z1,Z2, ,Zn;

Se ncarc succesiv Sistemul de Baz cu forele exterioare i cu necunoscutele Zj= j.

Observaie: Sub aciunea forelor date n blocajele nodurilor se devolt reaciuni moment RjF. RjF reprezint deci reaciuneamoment care se dezvolt n blocajul de nod j atunci cnd Sistemul de Baz se ncarc cu forele exterioare. Se constat creaciunea din blocajul de nod are acealai sens cu momentul pe bar mjk.

Bogo Iei din cont

Rezolvarea cadrelor cu noduri fixe - Encipedia http://www.encipedia.org/articole/educational/statica-constructiilor/rezol...

1 din 12 2/9/2016 11:48 AM

Trecnd pe nod (momentul reprezentat punctat) semnele momentelor se inverseaz iar suma lor este:

Momentul poart denumirea de moment neechilibrat n nodul j i reprezint efectul rezultant al aciunii barelor asupranodului.

Acest moment neechilibrat tinde s roteasc nodul, blocajul de nod introdus se opune rotirii i astfel se dezvolt o reaciunemoment.

Reaciunea RjF se obine fcnd suma momentelor de ncastrare perfect mjK considerate pe capetele barelor.

Dac se ncarc Sistemul de Baza cu necunoscuta rotire de nod Zj n blocajul nodului j se dezvolt o reaciune momentRj(Zj). Reaciunea Rj(Zj) se poate exprima n baza principiului proporionalitii astfel:

Rj(Zj)=rjj Zj n care rjj reprezint reaciunea moment care se dezvolt n blocajul nodului j din ncrcarea Sistemului de Bazcu rotirea de nod Zj=j=1 fiind egal cu :


2 din 12 2/9/2016 11:48 AM

Din ncrcarea Sistemului de Baz cu necunoscuta rotire de nod ZK n blocajul nodului j se dezvolt o reaciune moment Rj(Zk):

Rj(Zk )= rjk Zk unde rjk reprezint reaciunea moment care se dezvolt n blocajul nodului j din ncrcarea Sistemului de Bazrotirea de nod Zk=k=1.

Din figura anterioar avem:

Reaciunea moment total care se dezvolt n blocajul nodului j din ncrcarea simultan a Sistemului de Baz cu foreleexterioare i rotirile de noduri Zj trebuie s fie egal cu zero deoarece aceast legtur nu exist n structura real:

unde expresiile coeficienilor necunoscutelor i ale termenilor liberi sunt cunoscute (vezi relaiile anterioare).

Sistemul ecuaiilor de condiie n exprimare matricial este : [r]{Z}+{RF}={0}, iar prin rezolvarea acestuia se obin valori alenecunoscutelor rotiri de noduri Z1, Zj, Zk, Zn.

Observaie: Dou noduri care nu sunt legate ntre ele printr-o bar conduc la o rigiditate secundar nul n matriceacoeficienilor necunoscutelor [r]. Coeficienii secundari sunt diferii de zero numai cnd cei doi indici se refer la dou nodurivecine legate ntre ele printr-o bar.

Momentele finale de la extremitile barelor rezult astfel :

a) Bar cuprins ntre 2 noduri rigide


3 din 12 2/9/2016 11:48 AM

b) Bar cuprins ntre un nod rigid i un reazem ncastrat

c) Bar cuprins ntre un nod rigid i o articulaie

Dup aflarea momentelor totale de la extremitile barelor este necesar s se fac o verificare a rezultatelor. Aceast verificareconst n faptul c fiecare nod trebuie s fie n echilibru (condiia de echilibru static) adic :

1.1. Ecuaiile de condiie ale Metodei Deplasrilorn vederea stabilirii ecuaiilor de condiie ale Metodei Deplasrilor se va considera cadrul din figura urmtoare:

Echilibrul oricrei structuri se realizeaz n poziia deformat i este caracterizat de urmtoarele dou condiii:1. Condiia de compatibilitate cu legturile a deformatei structurii.2. Condiia de echilibru static al forelor exterioare i interioare.

Prin trecerea la Sistem de Baz, rotirile de noduri Z1 i Z2 precum i translaia de GLE Z3 au valori egale cu zero. Pentru


4 din 12 2/9/2016 11:48 AM

regsirea situaiei de echilibru elastic a cadrului n poziia deformat, Sistemul de Baz se ncarc cu aciunile exterioare datei cu necunoscutele deplasri: Z1, Z2 i Z3.

Sub aciunea forelor exterioare i a necunoscutelor deplasrilor n blocajele Sistemului de Baz apar reaciuni. Acestereaciuni nu exist n structura real. Trecerea la Sistemul de Baz se caracterizeaz deci printr-o abatere de la condiia deechilibru static n sensul c se introduc n calcul i fore fictive alturi de cele reale.

Valorile corecte ale deplasrilor nodurilor (notate cu Zi) se determin din condiia ca eforturile care se dezvolt n Sistemul deBaz acionat simultan cu ncrcrile exterioare i necunoscutele reale s satisfac condiia de echilibru static a structurii reale.Aceasta nseamn c reaciunile totale care apar n blocajele nodurilor i gradelor de libertate elastic trebuie s fie nule,deoarece aceste legturi nu exist n structura real.

Observaie: Ecuaiile de condiie n Metoda Deplasrilor sunt ecuaii de echilibru static i se obin pe baza comportrii identicedintre structura real i sistemul de baz al acesteia. Numrul ecuaiilor de condiie va fi egal cu numrul necunoscutelorgeometrice. Se vor obine dou tipuri de ecuaii corespunztoare celor dou tipuri de blocaje adugate.

1. Ecuaii care exprim c reaciunea for total din blocajul GLE din ncrcarea Sistemului de Baz cu deplasrile reale alenodurilor i aciunile date este nul (aceste ecuaii se numesc ecuaii de GLE)2. Ecuaii care exprim c reaciunea moment total din blocajul de nod din ncrcarea Sistemului de Baz cu deplasrile realeale nodurilor i aciunile date este nul (aceste ecuaii se numesc ecuaii de nod)

Pentru exemplul considerat cele trei ecuaii de condiie sunt:

Aplicnd principiul superpoziiei relaiile anterioare devin:

ntruct n blocaje se dezvolt reaciuni proporionale cu mrimile necunoscutelor se poate aplica principiul proporionalitii:

Pentru o structur al crei grad de nedeterminare geometric este n ecuaia j se poate exprima astfel:

Semnificaia coeficienilor necunoscutelor i a termenilor liberi se obine prin particularizarea ncrcrilor pe Sistemul de Baz.Astfel pentru Z1=1 i Z2=Z3=0 i considernd c nu avem aciuni exterioare R1=r11 , adic :


5 din 12 2/9/2016 11:48 AM

r11 - Este reaciunea moment care se dezvolt n blocajul de nod 1 atunci cnd Sistemul de Baz se ncarc cu rotirea de nodZ1=1;

R1A - Este reaciunea moment care se dezvolt n blocajul de nod 1 atunci cnd Sistemul de Baz se ncarc cu aciunileexterioare;

r31 - Este reaciunea moment care se dezvolt n pendulul gradului de libertate 3 atunci cnd Sistemul de Baz se ncarc curotirea de nod Z1=1;

R3A - Este reaciunea for care se dezvolt n pendulul GLE 3 atunci cnd Sistemul de Baz se ncarc cu aciunileexterioare.

Matricea [r] poart denumirea de matrice de rigiditate (matricea reaciunilor unitare) a structurii reale i are urmtoarea form :

sau

Elementele din coloana j a matricei de rigiditate reprezint reaciunile din legturile suplimentare introduse n Sistemul deBaz, produse de aplicarea pe Sistemul de Baz a deplasrii unitate Zj=1. Elementul rjk al acestei matrice reprezintreaciunea din legtura suplimentar j produs de aplicarea pe Sistemul de Baz a deplasrii unitate Zk=1, celelalte deplasrifiind nule.

Deplasarea generalizat unitate Zk=1 produce reaciunile generalizate unitare {rj}=1 dintre care reaciunea pe direcia ei, rjj, senumete coeficient de rigiditate principal, iar celelalte reaciuni, rjk (j k), se numesc coeficieni de rigiditate secundari.

Coeficienii de rigiditate principali sunt pozitivi iar coeficienii de rigiditate secundari pot fi pozitivi, nuli sau negativi. Existcoeficieni de rigiditate secundari nenuli (rjk0) pentru a pune n eviden interaciunea elastic dintre coordonatele statice,numit i cuplaj static. Coeficienii de rigiditate care au poziia simetric n raport cu diagonala principal a matricei [r] suntegali. Rezult c matricea de rigiditate este o matrice simetric.

Coloana necunoscutelor (vectorul deplasrilor nodurilor) {Z}n,1 este :

Coloana termenilor liberi {RA}n,1 reprezentnd reaciunile din legturile suplimentare produse de aplicarea pe Sistemul de Baza aciunilor exterioare (fore, variaii de temperatur, cedri de reazeme, etc.):


6 din 12 2/9/2016 11:48 AM

Un element RjA reprezint reaciunea suplimentar j produs de aplicarea pe Sistemul de Baz a aciunilor exterioare.

Prin rezolvarea sistemului de ecuaii se obin valorile necunoscute Zj. Calculul momentelor ncovoietoare finale de la capetelebarelor se face cu relaiile:

Diagrama de for tietoare T se traseaz prin intermediul diagramei de moment. Se izoleaz fiecare bar n parte, sencarc cu forele exterioare i cu momentele ncovoietoare de la extremiti.Diagrama de for axial N se determin din condiiile de echilibru static ale nodurilor structurii.

2. AplicaieSe cere rezolvarea cadrului cu noduri fixe din urmtoarea figur prin scrierea sistemului ecuaiilor de condiie, trasareadiagramelor de eforturi M, T, N i a poziiei deformatei.

1) Stabilirea gradului de nedeterminare staticNELC=32+6-34=0

Structura este un cadru cu noduri fixe

2) Alegerea Sistemului de Baz

3) Scrierea ecuaiilor de condiie


7 din 12 2/9/2016 11:48 AM

4) Se ncarc Sistemul de Baz cu Z1=1m1

5) Se ncarc Sistemul de Baz cu Z2=1m2

6) Se ncarc Sistemul de Baz cu Forele exterioare MF

7) Calculul rigiditilor barelor la rotire de nod


8 din 12 2/9/2016 11:48 AM

8) Calculul coeficienilor necunoscutelor i al termenilor liberi

9) Rezolvarea sistemului ecuaiilor de condiie

10) Calculul diagramei de moment M

11) Trasarea diagramei de moment M


9 din 12 2/9/2016 11:48 AM

12) Calculul forei tietoare T

Diagrama de for tietoare T se determin punnd condiia de echilibru pentru fiecare bar n parte. Pentru aceasta seizoleaz fiecare bar din structur i se ncarc cu momentele finale de pe capetele de bar i cu forele exterioare ceacioneaz pe lungimea barei.

Bara 1-5

Bara 2-4

Bara 1-2

Bara 2-3


10 din 12 2/9/2016 11:48 AM

13) Calculul forelor axiale N

Diagrama de for axial N se determin cunoscnd diagrama de for tietoare T i punnd condiia de echilibru asupranodurilor. Se izoleaz nodurile i se ncarc cu forele tietoare de pe barele condurente n nod (cunoscute), cu forele axialede pe barele concurente n nod (necunoscute) i cu forele exterioare care acioneaz pe nod. Se scriu ecuaiile de echilibru latranslaie de nod (X=0; Y=0). Determinarea forelor axiale ncepe cu nodurile avnd 2 bare. Se obin valorile forei axiale lacapetele barelor.

Nod 1

Nod 2

14) Trasarea diagramei de for tietoare


11 din 12 2/9/2016 11:48 AM

termeni i condiii politic de confidenialitate 2016 - Encipedia. Toate drepturile rezervate.

15) Trasarea diagramei de for axial

Discut acest articol pe forum. Nici un comentariu.

Las un comentariu

One person recommends this. Sign Up to see what your friendsrecommend.

RecommendRecommend


12 din 12 2/9/2016 11:48 AM

Documents

Rezolvarea Cadrelor Cu Noduri Fixe