rezistenta materialelor1

8/7/2019 rezistenta materialelor1

1/71

1 PROBLEMELE REZISTENEI MATERIALELOR

1.1 Obiectul i problemele Rezistenei materialelor

Rezistena materialelor este o disciplin de cultur tehnic general carecontinu logic i dezvolt Mecanica prin introducerea n calcule a proprietilorde deformabilitate ale corpurilor solide reale. n Mecanic corpul solid esteconsiderat rigid, nedeformabil, iar vectorii for de ncrcare sunt considerai

alunectori.Rezistena materialelor ia n studiu corpurile reale, care sub aciuneaforelor exterioare (vectori legai) i schimb forma geometric, respectivdimensiunile iniiale i se distrug prin rupere, la valori mari ale acestora. Princalculele de rezisten se determin dimensiunile seciunilor transversale alecorpurilor (elemente de rezisten) n funcie de mrimea, poziia i modul deacionare a forelor exterioare; proprietile mecanice ale materialelor;dimensiunile constructive,forma i importanaansamblului n care se nglobeaz,iar n anumite cazuri i de durata defuncionare. Elementele de rezisten trebuies ndeplineasc urmtoarele condiii de baz:

- condiia de rezisten, care are n vedere ca eforturile din elementul derezisten s nu produc distrugerea acestuia prin rupere sau spargere n buci;

- condiia de rigiditate, se refer la valorile deformaiilor ce nu trebuie sdepeasc mrimile admisibile;

- condiia de stabilitate, care consider posibilitatea meninerii formei deechilibru stabil, pentru o anumit stare de ncrcare.

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenei materialelor sunt:- criteriul economic, prin care se impune ca orice element de rezisten

(pies) s fie proiectat i realizat cu soluia cea mai economic, n privinamaterialului utilizat i al manoperei;

- criteriul de bun funcionalitate a ansamblului din care face parteelementul de rezisten proiectat, respectnd condiiile de rezisten, rigiditate istabilitate.

n cadrul Rezistenei materialelor se admit ipoteze simplificatoare carepermit obinerea unor relaii de calcul relativ simple i care exprim destul defidel fenomenul de solicitare real. Experimentrile practice n laborator, permitverificarea legilor rezistenei materialelor i determinarea caracteristicilormecanice ale materialelor.

Rezistena materialelor permite rezolvarea urmtoarelor categorii deprobleme:


2/71

- probleme de dimensionare, prin care se stabilesc dimensiunile optime aleelementelor de rezisten proiectate, n funcie de ncrcrile exterioare (sarcini) ide caracteristicile mecanice ale materialului utilizat;

- probleme de verificare, la care se determin dac un element derezisten, de dimensiuni cunoscute, satisface condiiile de rezisten, rigiditate istabilitate, cunoscnd ncrcarea exterioar i caracteristicile mecanice alematerialului utilizat;

- probleme de calcul al capacitii de ncrcare al unui element derezisten, cunoscndu-se caracteristicile mecanice ale materialului, dimensiunilei modul de solicitare.

1.2 Clasificarea corpurilor n Rezistena materialelor

Corpurile (elementele de rezisten) au, n general, forme constructiverelativ complicate. n Rezistena materialelor, pentru simplificarea calculelor,corpurile se schematizeaz prin forme geometrice mai simple, obinndu-seurmtoarele grupe:

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare dect celelalte dou(corpuri cu fibr medie). Elementele geometrice caracteristice sunt axalongitudinaliseciunea transversal. Aceste corpuri solide pot fi:

-fire, care pot prelua solicitarea de ntindere;

- bare, care rezist att la solicitri axiale ct i la solicitri transversale.Dup forma axei longitudinale barele pot fi drepte, cotite (cu axa o linie

frnt), curbe n plan sau n spaiu. Dup modul de solicitare barele poart diferitedenumiri convenionale: tirani, solicitai la ntindere (fig.1.1,a); stlpi, solicitaila compresiune (fig.1.1,b); grinzi, solicitate la ncovoiere (fig.1.1,c) i arborisolicitai la rsucire (fig.1.1,d). Seciunea transversal (plan i normal pe axa

barei) poate avea orice form geometric constant sau variabil n lungul barei.

Fig. 1.1 Denumirea convenional a barelor


3/71

b) corpuri care au dou dimensiuni mari, n raport cu a treia. Elementelegeometrice caracteristice suntforma i dimensiunile suprafeei mediane respectiv

grosimea. Dup form i destinaie se deosebesc plci plane,nveliuri (curbe),vase, tuburi, membrane.

c) corpuri masive, care au dimensiunile aproximativ de acelai ordin demrime (blocuri de fundaii, bile i role derulmeni, tuburi cu perei groi etc.).

Calculele de rezisten sunt mai simple n cazul barelor drepte i maicomplicate la barele curbe, plci respectiv blocuri.

1.3 Clasificarea ncrcrilor exterioare

Elementele de rezisten sunt supuse aciunilor ncrcrilor exterioare, care pot fi fore sau momente (cupluri de fore) i care pot fi clasificate dupurmtoarele criterii:

a) dup mrimea suprafeei pe care se aplic:-sarcini concentrate, aplicate teoretic ntr-un punct (fig.1.2,a);- sarcini distribuite uniform sau cu intensitate variabil n lungul barei sau

pe o suprafa (fig.1.2,b,c i d).

b) dup locul de aplicare se deosebesc:-fore de suprafasau de contur, care sunt aplicate din exterior i indic

legtura cu piesele nvecinate;- fore masice, distribuite n tot corpul, ca de exemplu greuti, fore de

inerie respectiv fore electromagnetice.

Fig. 1.2 Tipuri de sarcini dup mrimea suprafeei de aplicare


4/71

c) dup modul de aciune n timp se disting:-sarcini statice, care se aplic lent i progresiv pn la valoarea maxim i

apoi rmn constante (fig.1.3,a);- sarcini dinamice, care se aplic cu viteze de ncrcare relativ mari. Se

deosebesc sarcini aplicate prin oc, cu variaie brusc de vitez (fig.1.3,b) isarcini variabile periodic ntre o valoare minim i una maxim (fig.1.3,c).

d) dup poziia ocupat, sedisting:

- sarcini fixe, care nui modific poziia;- sarcini mobile, carei schimb poziia fade elementul derezisten n timpulaciunii.

1.4 Diagrame de eforturi n barele drepte

1.4.1 Definirea eforturilor n seciunea barei

n vederea calculului de rezisten, de rigiditate i de stabilitate a barelor ia sistemelor de bare este necesar determinarea forelor i momentelor interioare(eforturilor) care apar n seciunile transversale ale acestora i datoratencrcrilor exterioare. Eforturile indic legtura dintre particulele din interiorulcorpului i se pun n eviden prin metoda seciunilor ; se secioneaz imaginarelementul de rezisten printr-un plan normal pe axa longitudinal, separndu-l ndou pri.

Pe ambele fee ale seciunii se introduc eforturi egale i de sens contrar,astfel nct fiecare parte component s fie n echilibru sub aciunea foreloraferente ei.

Eforturile se pun n eviden prin reducerea tuturor forelor interioare,aplicate pe elementele de arie ale unei fee a seciunii transversale, n raport cucentrul de greutate. Astfel, se obine torsorul de reducere (R , M ) aleforturilor, care este echivalent cu forele exterioare de pe partea nlturat

Fig.1.3 Tipuri de sarcini dup modul deaciune n timp


5/71

imaginar. Pentru exemplificare se consider bara din fig.1.4,a, avnd seciunea deform oarecare i ncrcat cu sistemul de fore exterioare 1F , 2F , ..., nF carei fac echilibrul. Aplicnd metoda seciunilor, se obin dou pri componente can fig.1.4,b i 1.4,c, care sunt n echilibru sub aciunea forelor exterioare ieforturilor aferente.

Eforturile R ,M aplicate n centrul de greutate al seciunii, se determincu ajutorul relaiilor de echilibru din Mecanic. Pentru rezolvarea problemelor,eforturile Ri M se descompun n componente pe normala la planul seciunii icomponente coninute n planul seciunii, cum este prezentat n fig. 1.4:

a) rezultanta R are o component normal N , numitfornormalsau

for axiali o component T , coninut n planul seciunii, numit fortietoare;

b) momentul M se descompune ntr-un moment de rsucire rM , dirijatde-a lungul axei i un moment ncovoietor iM , avnd vectorul coninut n planulseciunii.

Mrimile N , T , iM i rM poart denumirea de eforturi, eleconsiderndu-se convenional aplicate n centrul de greutate, pentru a uuraexplicarea fenomenului de interaciune dintre cele dou pri ale corpului.

Fig.1.4 Eforturi n seciunea barei drepte


6/71

Observaie: deoarece T i iM pot avea direcii oarecare n planulseciunii ele se descompun n componente pe axele: zT , yT , respectiv izM ,

iyM prin adoptarea unui sistem de axe de coordonate conform fig. 1.4,d axa Cxn lungul barei, axa Cz orizontal n seciune i axa Cy vertical n seciune.

1.4.2 Convenii de semne


7/71

Pentru simplificarea modului de expunere se consider c toate foreleexterioare aplicate barei se afl ntr-un plan de simetrie longitudinal, care trece

prin axa barei i care este un plan principal de inerie, adic conine una dintreaxele principale de inerie ale fiecrei seciuni transversale. n acest caz momentul


8/71

de rsucire este nul, fora tietoare se afl pe axa principal care determinplanul forelor, iar momentul ncovoietor pe a doua ax principal (fig.1.5,a).

Pentru studiul s-a ales grinda simplu rezemat ncrcat complex conformfig.1.5. n prima etap se analizeaz echilibrul exterior al grinzii, determinndu-sereaciunile. Aplicnd metoda seciunilor se obin dou pri de grind: partea dindreapta II, mrginit prin faa din dreapta a seciunii i partea din stnga I,mrginit prin faa din stnga a seciunii (fig. 1.5,b i c).

n seciunea barei pot exista cel mult urmtoarele trei eforturi:a) O for axial N , egal cu suma algebric a proieciilor pe axa barei, n

dreptul seciunii considerat, a tuturor forelor exterioare (inclusiv reaciunile) din

stnga seciunii sau a celor din dreapta luate cu sensuri schimbate.Fora axial N se consider pozitiv cnd are tendina s lungeasc

elementul de bar (fig.1.6,a);b) O for tietoare T , egal cu suma algebric a proieciilor pe normala

la axa barei, n dreptul seciunii considerate, a tuturor forelor exterioare (inclusivreaciunile) din stnga seciunii sau a celor din dreapta cu sensuri schimbate.

Fora tietoare T se consider pozitiv cnd este dirijat de jos n sus pefaa din dreapta a seciunii (Ad) i de sus n jos pe faa din stnga (As), respectivcnd forele tietoare de pe feele limitrofe ale unui element de bar au tendinas-l roteasc n sens orar i s produc lunecarea relativ a celor dou fee(fig.1.6,b).

c) Un moment ncovoietor iM , egal cu suma momentelor n raport cucentrul de greutate C al seciunii considerate, a tuturor forelor din stnga seciuniisau a celor din dreapta luate cu sensuri schimbate. Momentul ncovoietor seconsider pozitiv cnd pe faa din dreapta (Ad) a seciunii este n sens orar, iar pefaa din stnga (As) n sens antiorar, respectiv cnd produce o curbare aelementului de bar care lungete fibrele inferioare i scurteaz pe cele superioare(fig.1.6,c).

n figurile 1.5,d i 1.6,d se indic sensurile pozitive ale eforturilorN ,Ti iM pe ambele fee ale seciunii. La trecerea de la o seciune la alta a unei barencrcate, eforturile N ,T i iM variaz, obinndu-se diagramele de eforturi la

care intereseaz n special valorile maxime ale acestora.


9/71


10/71

a) tpdx

dN= ; b) np

dx

dT= ; c) T

dx

dMi = (1.2)

denumite relaiile difereniale dintre eforturi i sarcini.Relaiile (b) i (c) se pot scrie sub form reunit:

n2

i

2

pdx

dT

dx

Md== . (1.3)

Relaiile stabilite mai sus au importan n construcia diagramelor deeforturi, datorit regulilor ce se desprind din interpretarea lor i anume:

- dac pt = pn = 0, diagramele N, T sunt constante, iar diagrama Mivariaz

liniar; - pentru pt i pn constante, diagramele N i T variaz liniar, iar diagramaMi, parabolic;

- sarcina distribuit pn msoar panta diagramei T, iar mrimea foreitietoare ntr-o seciune msoar panta diagramei Mi din seciune;

- n seciunea unde T = 0, diagrama Mi are un minim sau un maxim local;- funcia forei tietoare este cu un grad superioar funciei sarcinii

distribuite, iar cea a momentului cu un grad superioar celei a forei tietoare;- pe intervale unde fora tietoare este pozitiv, momentul ncovoietor

crete i invers;- diagrama forei tietoare prezint salturi n dreptul forelor concentrate

verticale, iar diagrama momentelor ncovoietoare are salturi numai n dreptul unorcupluri exterioare, aplicate pe bar.n tabelul 1.1. sunt indicate cteva tipuri de ncrcri, precum i modul de

variaie a diagramelorT i Mi.

Tipul de ncrcri i modul de variaie a diagramelor T i Mi Tabelul 1.1


11/71

1.6 Construcia analitic a diagramelor de eforturii

Diagramele de eforturi sunt nite reprezentri grafice ale variaieieforturilor de-a lungul unei bare. Pentru construcia acestora este necesaralegerea unui sens de parcurs al barei, adic de cretere a variabilei x, de obicei de

la stnga la dreapta, sau a variabilei x, de la dreapta spre stnga.Etapele de rezolvare sunt:

- determinarea echilibrului exterior al barei prin calculul reaciunilor,utiliznd ecuaiile de echilibru;

- se stabilesc punctele caracteristice ale barei i se delimiteaztronsoanele dintre acestea;

- se scriu ecuaiile de variaie a eforturilor de-a lungul fiecrui tronson albarei: N = f1(x); T = f2(x) respectiv Mi = f3(x);

- reprezentarea grafic a ecuaiilor de variaie a eforturilor.Observaii:- prinpunct caracteristic se nelege acel punct al barei n care apare o

noutate (exemple: capt de bar, punct de reazem, punct de aplicaie al foreiconcentrate, nceput i sfrit de sarcin distribuit etc.);

- tronsonul reprezint poriunea de bar cuprins ntre dou punctecaracteristice succesive.

1.6.1 Grinzi simplu rezemate


12/71

Bara articulat la un capt i simplu rezemat la cellalt poart denumireageneral degrind simplu rezemat la capete.

a) Grind simplu rezemat la capete acionat de o sarcinconcentrat

n fig.1.8 este reprezentat grindacare are deschiderea l, este articulat n

punctul 1, simplu rezemat n punctul 2 incrcat cu o for concentrat F nclinatcu unghiul . Scriind ecuaiile de echilibruse gsesc valorile reaciunilor:

= cosFH1;

l

sinFbV1

= ;

l

sinFaV2

= .

Se noteaz cu 1,2,3, punctelecaracteristice ale grinzii, fie reazemele, fie

punctele n care se aplic fore sau cupluri.Utiliznd metoda seciunilor i innd

seama de convenia de semne se pot scrielegile de variaie ale eforturilor pentru

fiecare tronson (distana dintre dou punctecaracteristice succesive) ale grinzii.

== cosFHN 113 ;

0FHN H132 =+=

l

sinFbVT 113

=+= ;l

sinFaVFVT 2V132

==+=

;x

l

sinFbxVM 1i

13

==

( )

=

==

sin)ax(Fxl

sinFb

axFxVM V1i32

pentru [ ]ax ,0 pentru [ ]lax ,Momentul ncovoietor variaz liniar, avnd n punctele caracteristice

valorile:

0M;l

sinFabMM;0M

2max21iiii =

=== .

Reprezentarea diagramelor de eforturi este redat n fig.1.8.

Fig. 1.8 Grind simplurezemat ncrcat cu o for

concentrat


13/71

b)Grind simplu rezemat ncrcat cu sarcinuniform distribuit

O astfel de grind este reprezentat n fig.1.9; din ecuaiile de echilibrurezult reaciunile:

2

plVV;0H 211 ===

Fora axial este identic nul. Expresiile eforturilorT i Mi ntr-o seciunecurent [ ]l,0x;x sunt:

=== x2l

ppx2

pl

pxVT 1x ;

2

plT1 = ;

2

plT2 =

( )xl

2

px

2

px

2

plx

2

xpxxVM

2

1i x

=

===

0MM21 ii== .

Pentru2

lx = fora tietoare se anuleaz, iar

momentul ncovoietor devine maxim:

8

plM

2

max = . Variaie funciei T este liniar,

iar a funciei Mieste parabolic.

1.6.2 Grinzi n consol

Grinzile n consol reprezintbare ncastrate la un capt i libere lacellalt.

Pentru exemplificare seconsider o grind n consol ncrcatcu o sarcin concentrat (fig.1.10).Pentru grinzile n consol regulilestabilite pentru trasarea diagramelor deeforturi rmn valabile. Ecuaiile deechilibru dau reaciunile din ncastrare:

Fig. 1.9 Grind simplurezemat acionat de o

sarcin uniform distribuit

Fig. 1.10 Diagramele de eforturipentru o grind n consol


14/71

== cosFFH H2 ; == sinFFV V2 ;

== sinFllFM Vi2 .

ntr-o seciune, la distana x de captul 1, eforturile sunt:== cosFFN H12 ;

== sinFFT V12 ;

== sinFxxFM Vix

.

Fora axial i fora tietoare sunt constante, iar momentul ncovoietorvariaz liniar, fiind nul la captul liber i (- sinFl ) n ncastrare.

Observaie: Barele simplu rezemate, avnd la unul sau la ambele capete prelungiri, ncrcate cu sarcini, numite console, poart denumirea de grindsimplu rezemat cu console. n acest caz modul de construcie a diagramelor deeforturi respect etapele prezentate pe cazurile particulare de mai sus.

1.7 Elemente caracteristice strilor de solicitare

1.7.1 Eforturi i tensiuni (eforturi unitare)

Sub aciunea ncrcrilor exterioare, n interiorul elementelor de rezistenapar fore i momente interioare, numite eforturi. Au fost prezentate i explicateeforturile: N (for axial), T (for tietoare), Mi (moment ncovoietor) i Mr(moment de rsucire), care apar n elementele de rezisten. Fiecare dintre eforturiluat separat produce asupra elementului de rezisten o solicitare simpl. Dac nseciunea unui element de rezisten se evideniaz simultan dou sau mai multeeforturi se spune c este supus la solicitri compuse (ntindere cu ncovoiere,ncovoiere cu rsucire, ncovoiere cu forfecare i rsucire etc.)

Studiul repartiiei eforturilor ntr-o seciune a unui element de rezisten,necesit introducerea unei mrimi care s caracterizate, n fiecare punct al

seciunii, intensitatea acestor eforturi. Mrimea utilizat poart denumirea detensiune sau de efort unitar. Se consider o seciune An, a unui element derezisten definit de vectorul normalei n i pe care acioneaz un sistem de foreinterioare. Pe elementul de arie An acioneaz fora interioar aferent nF cudirecia diferit de cea a normalei n (fig.1.11,a). Valoarea raportului:


15/71

( )n

n

mednA

Fp

= , se numete tensiune (efort unitar) medie.

Trecnd la limit relaia de mai sus, se obine:

n

n

n

n

0An

dA

Fd

A

Flimp

n

=

=

(1.4)

Vectorul np se numete tensiune (efort unitar) total i se exprimdimensional n N/m2, N/mm2 sau daN/cm2 etc. n calculele de rezisten suntutilizate componentele tensiunii totale pe normala nn - tensiune normal; i

pe planul elementului de suprafa dAn n - tensiune tangenial (fig.1.11,b).

n cazul particular al unei seciuniAx

,pentru care normala coincide cu direciaaxei barei (fig.1.11,c), vectorul tensiune total i componenetele sale se noteaz:px, x i x ;( xy i xz ) i ntre aceste mrimi exist relaia:

2xz

2xy

2x

2x

2xxp ++=+= , (1.5)

n care xy i xz sunt componentele tensiunii tangeniale x , dup axele caredetermin planul seciunii Ax. Primul indice corespunde axei normale la seciune,iar al doilea corespunde axei cu care tensiunea tangenial este paralel.

1.7.2 Ecuaii de echivalen static ntre eforturi i tensiuni

Se consider o bar de seciune dreptunghiular solicitat de un sistem defore spaiale n echilibrul static. Prin metoda seciunilor se pun n eviden, pe unelement de arie dA, eforturile unitare x, xy i xz crora le corespund foreleelementare: dAdN xx = ; dAdT xyy = i dAdT xzz = , paralele cu axele decoordonate (fig. 1.12,a i fig.1.12,b). Prin reducerea acestor fore elementare, de

pe ntreaga seciune, n raport cu centrul de greutate al acesteia se obin eforturile

Fig.1.11 Tensiuni normale i tangeniale pe seciunea barei


16/71

Nx, Ty, Tz (fig. 1.12,c), respectiv Mx, My i Mz (fig. 1.12,d). Aceste eforturi secalculeaz cu relaiile:

- fora axial Nx:

AdNdNA

xx

A

x == ; (1.6)- momentele ncovoietoare My i Mz:

AdzNzdMA

xx

A

y == ;(1.7)

- fora tietoare Ty i Tz:AdTdT

A

xyy

A

y == ;(1.8)

- momentul dersucire Mx (se noteaz cu Mr):

( ) ( ) AdyzydTzdTMMA

xzxy

A

zyrx === . (1.9)Relaiile (1.6, , 1.9) se numesc ecuaiile de echivalen static ntre

eforturi i eforturi unitare.

.AdzNydMA

xx

A

z ==

AdTdTA

xzzA

z

==

Fig. 1.12 Eforturi i tensiuni pe seciunea barei


17/71

n cazurile practice se ntlnete frecvent situaia n care grinzile suntsolicitate de fore coplanare, situate de exemplu n planul xCy. n acest caz nseciune apar numai eforturile: Nx, Ty i Mz = Mi.

1.7.3 Deformaii i deplasri

Sub aciunea sarcinilor (ncrcrilor) exterioare elementele de rezisten sedeformeaz, iar punctele lor se deplaseaz. Deformaia poate fi elasticdac dupndeprtarea cauzelor care au produs-o, elementul de rezisten revine la forma idimensiunile iniiale precum i elasto-plastic sau plastic, dac elementul de

rezisten rmne cu deformaii, numite deformaii remanente. Deformaiiledepind de o serie de factori: caracteristicile mecanice ale materialului, forma idimensiunile elementului, mrimea i modul de aplicare a sarcinilor etc.

a)Deformaii liniare. Elementul de rezisten din fig.1.13,a este solicitat lantindere de ctre fora exterioar F care produce o deformaie longitudinal(lungire) i deformaii transversale. Aceste deformaii se calculeaz cu relaiile: l = l l0; b = b b0 ; h = h h0 , n care l0,b0, h0 i l, b, h sunt dimensiunileiniiale respectiv finale ale elementului. Diferena l = l l0 reprezint lungirea

barei, iar deformaia unitii de lungime poart denumirea de deformaie specificsau alungire i se calculeaz cu relaia:

00

0

l

l

l

ll == (1.10)

Cnd bara este solicitat la compresiune, mrimile l i se numescscurtare, respectiv scurtare specific.

Experimental s-a constatat c deformaiile specifice transversale suntproporionale cu deformaia specific longitudinal:

Fig. 1.13 Deformaii liniare i unghiulare


18/71

=

=

=00

trh

h

b

b(1.11)

Coeficientul se numete coeficientul de contracie transversal saucoeficientul lui Poisson.

b)Deformaii unghiulare. Se consider un element de volum infinit mic,de form paralelipipedic, detaat imaginar dintr-un element de rezisten, pefeele caruia acioneaz tensiunile tangeniale , cu sensurile din fig.1.13,b. Subaciunea acestora apar deformaii unghiulare materializate prin modificareaunghiurilor drepte, cu valoarea numit lunecare specific. Convenional,lunecarea specific este pozitiv cnd are loc micorarea unghiului drept inegativ, n sens contrar.

c)Deplasri. Prin deplasare se nelege drumul parcurs de un punct alelementului de rezisten n decursul deformrii, sub aciunea ncrcrilorexterioare.

1.7.4 Relaia ntre tensiuni (eforturi unitare) i deformaiile specifice

n orice punct al unui element de rezisten solicitat de ncrcri exterioareexist o dependen ntre tensiuni i deformaiile specifice, care depinde decaracteristicile materialului. Unor tensiuni normale le corespund deformaiispecifice liniare , iar tensiunilor tangeniale , deformaii specifice unghiulare . Din curba caracteristic a materialului la traciune (fig. 1.14,a) se constat,

pentru majoriatatea materialelor, o dependen liniar dintre i , exprimatprin relaia:

( ) == Etg , (1.12)numit legea lui Hooke pentru ntinderea simpl. Mrimea E este o caracteristicelastic a materialului, se exprim n N/m2 sau daN/cm2 i poart denumirea demodul de elasticitate longitudinal.

Fig.1.14 Curbe caracteristice ale materialului


19/71

Curba = f ( ), se obine prin solicitarea unei epruvete la rsucire(fig.1.14,b) la care legea lui Hooke este valabil pe poriunea liniar i se exprim

prin: = (tg ) = G

(1.13)n care G este modulul de elasticitate transversalal materialului i se exprim naceeai unitate de msur ca i E. Valoarea tensiunii pn la care se respect legealui Hooke poart denumirea de limit de proportionalitate( p respectiv p).

Mrimile E, G i sunt constante elastice ale materialului.

1.7.5 ncercarea materialelor la traciune

Prin ncercrile mecanice se urmrete determinarea unor mrimi numitecaracteristici mecanice ale materialului.

ncercarea la traciune (ntindere) se caracterizeaz prin ncrcarea uneiepruvete cu o for progresiv, cresctoare pn la epuizarea capacitii dedeformare (Reglementat prin normativul SR EN 10002-1:2002).

Mainile universale de ncercat permit determinarea continu a mrimilorF i L prin trasarea diagramei F = f( L). Prin prelucrarea acestei diagrame, seobine curba caracteristica convenional = f ( ) a materialului (fig.1.15.), pecare se deosebesc urmtoarele caracteristici:- limita de proporionalitate p , care este ordonata punctului A pn lacare curba caracteristic este o linie dreapt;

- limita de elasticitate e, care corespunde valorii tensiunii normale pnla care materialul se comport perfect elastic;

- limita de curgere c, care reprezint valoarea tensiunii normale la caredeformaia specific crete la o sarcin constant. Pentru materialele la care

palierul CD de curgere nu exist, se definete limita de curgere tehnic 0,2(Rp0,2) creia i corespunde o deformaie specific remanent c= 0,2% ;

- rezistena la traciune r (Rm), care reprezint valoarea maxim atensiunii normale

0

max

S

F== maxr (1.14)

Fig.1.15 Curba caracteristic convenional Fig.1.16 Gtuirea epruvetei


20/71

Dup atingerea ncrcrii maxime (Fmax), epruveta se gtuiete (fig.1.16.)

pn cnd se produce ruperea.

n final se pot determina urmtoarele caracteristici, aferente condiiei de rigiditate:- alungirea procentual dup rupere

%100L

LLA

u

0u= (1.15)

n care L0 i Lu reprezint lungimea iniial respectiv final, dintre repereleepruvetei, de pe partea calibrat a acesteia.

- coeficientul de gtuire

%100S

SSZ

0

u0 = (1.16)

n care S0 i Su sunt aria iniial respectiv ultim, a seciunii epruvetei.

1.7.6 Rezistene admisibile. Coeficieni de siguran

Se presupune cunoscut curba caracteristic a materialului unui element derezisten i trebuie precizat valoarea maxim a tensiunii normale sau tangeniale

(n funcie de tipul solicitrii), numit rezisten admisibil, astfel nct s fiendeplinite condiiile de rezisten respectiv de rigiditate. Rezistena admisibileste o mrime convenional aleas n calcul, pe baza experienei practice, pentrutensiunea maxim ce poate aprea ntr-un element de rezisten n condiii date desolicitare i de material; se noteaz cu a respectiv a.

Tensiunea efectiv din elementele de rezisten trebuie stabilit sub limitade elasticitate, deoarece:

- determinarea sarcinilor este n general aproximativ;- schemele de calcul duc la diferene fa de cazul real;- caracteristicile mecanice ale materialelor nu se pot cunoate cu

certitudine.Rezistena admisibil se raporteaz la una dintre tensiunile particulare de

pe curba caracteristic i anume c , c (pentru materialele tenace), respectiv r, r (pentru materialele fragile)

c

c

ac

= ,

r

r

ac

= respectiv

c

c

ac

= ,

r

r

c

= (1.17)

Coeficienii cci crse numesc coeficeni de siguran.


21/71

La alegerea rezistenelor admisibile i deci a coeficienilor de siguran,trebuie s se in cont de o serie de factori: natura materialului, tratamenteletermice, durata de funcionare, felul i natura sarcinilor, temperatura, ipotezelede calculetc.

1.7.7 Ipotezele Rezistenei materialelor

Rezistena materialelor utilizeaz o serie de ipoteze simplificatoare asuprastructurii materialelor i a strii de solicitare. Experimentrile practice au artat

justeea utilizrii lor pentru stabilirea schemelor i relaiilor de calcul.

a) Ipoteza mediului continuu, pe baza creia materialul elementului derezisten considerat este un mediu continuu, care ocup ntreg spaiul ocupat devolumul su.

b) Ipoteza omogenitii i izotropiei, prin care materialele se consider cuaceleai proprieti n toate punctele i dup toate direciile.

c ) Ipoteza elasticitii perfecte, care consider, c atunci cnd sarcinile nudepesc anumite limite, materialele se comport perfect elastic.

d) Ipoteza deformaiilor mici, arat c deformaiile elastice sunt mici nraport cu dimensiunile elementului de rezisten, ceea ce permite scriereaecuaiilor de echilibru static pe form nedeformat.

e) Ipoteza proporionalitii dintre eforturile unitare i deformaiile

specifice, care indic faptul c eforturile unitare efective din elementul derezisten solicitat nu depesc limita de elasticitate i deci este valabil legea luiHooke.

f) Ipoteza lui Bernoulli (ipoteza seciunilor plane), conform creia oseciune plan i normal pe axa barei nainte de deformare rmne plan inormal pe ax i dup deformare. Exemple de aplicare se ntlnesc la solicitareade ntindere (fig. 1.17, a) i ncovoierea pur (fig. 1.17, b).

Fig. 1.17 Exemple de aplicare a ipotezelor lui Bernoulli respectiv Saint-Venant


22/71

g) Ipoteza lui Saint-Venant, care arat c dou sisteme de fore echivalente dinpunct de vedere mecanic, au efecte diferite n ceea ce privete distribuia deeforturi unitare (tensiuni) n zona de aplicare, dar au acelai efect ntr-o seciunesuficient de ndeprtat.

Zona cu efecte diferite se consider n jurul poriunii de aplicare, pe odistan egal cu cel mult dimensiunea maxim de gabarit a seciunii transversalea barei.

n fig. 1.17,c este reprezentat o grind ncastrat avnd la captul liber ofor concentrat F (prima variant), respectiv o sarcin distribuit p (a doua

variant). La locul de aplicare, distribuia eforturilor unitare n seciune estediferit, iar n seciunea x sau n ncastrare distribuie este identic.


23/71

2 NTINDEREA I COMPRESIUNEA

O bar este solicitat la ntindere sau compresiune, dac n seciunilenormale pe axa ei apar numai eforturi de tip for axial.

2.1 Tensiuni normale i deformaii

Se consider o bar dreapt de seciune constant, acionat la capete deun sistem de dou fore exterioare egale i sens contrar, fa de care greutatea

proprie a barei este neglijabil de mic. n orice seciune transversal fora axial Neste egal cu fora F din capt i care solicit bara la ntindere (fig.2.1,a) sau lacompresiune (fig.2.1,c).

Pentru barele ncrcate cu mai multe fore, de-a lungul axei, este necesarconstruirea unei diagrame a forelor axiale, care s indice seciunile periculoase,adic seciunile cu eforturi maxime (fig. 2.2).

Fie o seciune transversal BC, situat la o distan x de la un capt al barei solicitat la ntindere (fig.2.3). Sub aciunea forelor exterioare bara sedeformeaz, iar seciunea transversal se deplaseaz, dar rmne plan i normal

Fig. 2.1 Bare drepte solicitate la ntindere sau compresiune


24/71

pe axa longitudinal i dup deformaie (ipoteza lui Bernoulli este respectat).Toate punctele seciunii transversale se deplaseaz axial cu aceeai cantitate x,iar deformaiile specifice

x

x= sunt constante.

Aplicnd legea lui Hooke E = , rezult c tensiunea normal esteconstant pe seciunea transversal. Utiliznd relaia de echivalen static dintrefora axial N i tensiunea normal se obine:

AdAdANAA

=== A

N= (2.1)

relaia reprezint formula de baz, n calculul de ntindere sau compresiune, dincondiia de rezisten.

Dac materialul barei respect legea lui Hooke, se poate exprimadeformaia specific respectiv deformaia barei, cu relaiile:

EA

N

E=

= respectiv

EA

Nll = (2.2)

Numitorul acestor relaii (EA) se numete rigiditatea la ntindere respectivla compresiune a barelor.

Cu relaiile de mai sus se pot efectua cele trei categorii de probleme dinRezistena materialelor (tabelul 2.1).

Relaiile de calcul la ntindere compresiune Tabelul 2.1

Relaia de baz Dimensionare VerificareCalculul efortului

capabil

A

N=

a

nec

NA

= a

ef

efA

N=

efacap AN =

Fig. 2.2 Diagram de eforturi axiale Fig. 2.3 Deformaii i deplasri lantindere


25/71


26/71

n cazul unei platbande solicitate la ntindere i slbit printr-o gaur,tensiunea (efortul unitar) normal variaz n seciunea slbit, avnd valoareamaxim la marginea gurii (fig. 2.5.). Tensiunea normal max este mult maimare dect tensiunea normal n din seciunea neslbit. Relaia de legtur sestabilete prin coeficientul de concentrare k> 1, astfel c:

max = k n (2.3)Acest fenomen se numete concentrarea eforturilor unitare, iar variaiile

de seciune (gaur, racordare, cresttur, canal etc.) sau orice alt cauz care provoac acest fenomen se numete concentrator de eforturi unitare.Concentratorii de tensiune sunt deosebit de periculoi n cazul materialelor fragile.La materialele tenace, efortul de concentrare este mai redus, uneori chiarneglijabil. Mrimea coeficientului de concentrare k depinde de forma idimensiunile concentratorului precum i de materialul piesei. Valorile lui k sedau n memoratoare, sub form de tabele, sau se obin din diagrame.

2.3 Tensiuni i deformaii innd cont de greutatea proprie

La barele de lungime mare, care se afl n poziie vertical, este necesar sse in cont i de greutatea proprie. n fig.2.6. se prezint o bar vertical delungimel l, cu rigiditatea EA = ct. i din material omogen cu greutatea specific

.

Fig 2 6 Bara solicitat axial i Fig 2 7 Forma practic a barei de


27/71

Bara este ncastrat la captul superior i solicitat la ntindere de o for F la

captul liber, precum i de greutatea proprie. ntr-o seciune x, de la captul liber,fora axial i tensiunea normal se calculeaz cu:

AxF +=xN xA

F

A

N x +==x

(2.4)

Deci, Nx i xvariaz liniar de-a lungul barei (fig.2.6.).La extremitile barei valorile tensiunilor normale sunt:

minA

F==1 , respectiv maxl

A

F =+=2 (2.5)

Seciunea periculoas este la captul ncastrat al barei, iar pentrudimensionare se impune amax = i se obine:

lFA

a

nec = (2.6)

La bare de lungimi foarte mari (de exemplu cablurile din industriaminier), se poate ajunge la ruperea sub greutate proprie (F = 0 i r = lr).Lungimea de rupere sub efectul greutii proprii se calculeaz cu realia:

= rrl . (2.7)

Calculul deformaiei se face innd cont c variaz n lungul barei.Se presupune, pe lungimea infinit mic dx, c x = const., obinnd

lungirea elementului dx cu expresia:

dxxAF

E1dx

Edxdx xx

+=== (2.8)

Lungirea l a ntregii bare se obine integrnd relaia anterioar pelungimea l, adic


28/71

EA

llA2

1F

E2

l

EA

Fldxx

A

F

E

1dxl

21

0

1

0

+

=

+=

+==

(2.9)innd cont de greutatea barei G = lA, se obine

EA

l2

GF

l

+

=, iar pentru F = 0 rezult

EA2

Gll = (2.10)

n tabelul 2.2. se prezint relaiile de calcul, inndu-se cont de greutatea

proprie a barei.

Relaiile de calcul la ntindere innd cont i de greutatea proprie Tabelul 2.2.

Dimensionare Verificare Calculul efortuluicapabil Deformaia

l

FA

a

nec = a

ef

ef lA

F+= ( ) efacap AlN =

+=

2

GF

EA

ll

Bara de lungime mare i seciune constant este o soluie neeconomic deutilizare a materialului. Soluia corect o constitue bara de egal rezisten la

ntindere sau compresiune, la care tensiunea normal este constant n lungulbarei. Aria seciunii barei trebuie s varieze de-a lungul acesteia (fig.2.8.), dup olege exponenial.

Notnd cu Gx greutatea de bar situat sub seciunea x i considerndelementul de bar dintre seciunile x i (x + dx) ca prismatic, deci de greutate Axdx, se poate scrie echilibrul n seciunile x i (x + dx),sub forma:

Ax a = F + Gx;

( ) dxAGFdAA xxaxx ++=+ .

Prin scdere, se obine ecuaia diferenial a barei de egal rezisten lantindere:

dxAdA xax = , sau dxA

dA

ax

x

= .

Prin integrare se obine:


29/71

Cx

Alna

x +

= , (2.11)

unde constantaa

0

FAC== se determin din condiiile la limit pentru x = 0 i Ax

= A0.

Legea exponenial de variaie a seciunii barei este:

x

a

x aeF

A

= (2.12)

Constructiv, o bar de egal rezisten (fig.2.8) este dificil de executat. Ease nlocuiete printr-o bar cu variaie n trepte a seciunii transversale (fig.2.7,a),realizabil constructiv mai simplu. Aplicnd succesiv formula de dimensionare(2.6) pentru bara din fig.2.6, se obine:

;l

FA

1a

nec1 = ef111 AlG = ;

;l

GFA2a

1nec2 +=

ef222 AlG = ; (2.13)

;l

G...GFA

na

1n1necn

+++= efnnn AlG = ;

Variaia tensiunilor normale de-a lungultronsoanelor este indicat n fig.2.7,b.

Lungirea total se determin prin nsumarea

lungirilor tronsoanelor componete ale barei:

n21 l...lll +++=

Lungirea unui tronson se calculez cu relaia general:

Fig.2.8 Grinda de egalrezisten la ntindere


30/71

+++=

2

G...GF

EA

ll n1

efn

nn (2.14)

Observaie: Formulele de calcul stabilite pentru barele verticale lungisolicitate la ntindere sunt valabile i pentru barele verticale solicitate lacompresiune, innd cont i de greutatea proprie, care este de asemenea o fo decompresiune dac nu intervin fenomene de pierdere a stabilitii.

2.4 Probleme static nedeterminate de ntindere compresiune

Pentru unele probleme de ntindere sau de compresiune, valorile foreloraxiale din seciunile transversale ale barei nu se pot determina numai cu metodelede calcul ale staticii. Aceste probleme se numesc static nedeterminate. n cadrulacestor probleme se poate descompune o for ntr-un numr de componente maimare dect numrul de ecuaii de echilibru; se pot calcula eforturile ntr-o seciuneneomogen sau se pot studia efectele variaiilor de temperatur. Pentru rezolvareasistemelor static nedeterminate de ntindere-compresiune trebuia ca, pe lngecuaiile de echilibru static, s se formeze cu necunoscutele respective noi ecuaii,egale ca numr cugradul de nedeterminare statical sistemului respectiv. Acesteecuaii se formeaz cu ajutorul relaiilor de deformaii i deplasri, care s fiecompatibile cu legturile sistemului deformat. Rezolvarea acestor problemeimplic cunoaterea prealabil, sau admiterea drept cunoscute a rigiditilortuturor barelor sau, cel puin, a raportului dintre aceste mrimi. Modul derezolvare a acestor probleme este indicat prin cteva exemple tipice.

a) Bara articulat (sau ncastrat) la capete


31/71

Considerm bara dublu articulat (fig. 2.9), de rigiditate EA=ct. incrcat cu fora F aplicat n punctul M. Se cer reaciunile H1 i H2 din

articulaii. Bara se deformeaz petronsoanele 1 3 cu a i pe 3 2 cu b, dar lungirea ei total este zero,deoarece reazemele 1 i 2 sunt fixe.Pentru calculul necunoscutelor sescrie ecuaia de echilibru static ( )0Xi = i condiia de deformaie ( )0l = obinndu-se:

0=+ HFH (2.15)

a + b = 0 (2.16)Deformaiile a i b se calculeaz curelaia specific, innd cont c petronsonul 13 fora axial este 113 HN = i creeaz ntindere, iar pe tronsonul32, 2132 HFHN == determin

compresiune. Revenind n (2.16) se obine:

( ) 0EA

bFH

EA

aHl 11 =+=

sau:0b)FH(aH 11 =+ ,

din care se deduce

l

bF

ba

bFH1 =+

=

Folosind relaia 2.15, se gsete:

l

aFH 2 =

Cunoscnd valorile forelor axiale pe fiecare tronson al barei, se poatetrasa diagrama N (fig. 2.9). Metoda este aplicabil pentru orice numr de fore i

pentru cazul rigiditilor diferite pe intervalele barei.

b) Eforturi unitare datorate variaiilor de temperatur

Fig. 2.9 Bara articulat (sauncastrat la capete)


32/71

n cazul unei variaii de temperatur t = T, bara de lungime l sufero variaie de lungime egal cu:

tll t = (2.17)

n care este coeficientul de dilataretermic liniar al materialului barei.

Dac dilatarea unei bare datoritunei variaii de temperatur este parial sautotal mpiedicat de legturi, n bara

respectiv se produc eforturi i eforturiunitare termice (tensiuni). n cazul dilatriimpiedicate (fig. 2.10,a) n bar apare unefort N (egal cu reciunea reazemelor) care

produce o scurtare a barei (reazemele fiindfixe) de mrime.

EA

NllN = (2.18)

Condiia de deformare este 0== Nt lll , de unde rezult:

EANltl = , respectiv tEAN = (2.19)

Efortul unitar normal datorit dilatrii mpiedicate este:

tEA

N== (2.20)

Dac la captul barei exist un rost de dilatare, de mrime (fig. 2.10,b),relaia de deformaie are forma:

=EA

Nltl (2.21)

i prin rezolvare se obine N. Dac N este negativ, nseamn c prin dilatare nu seumple rostul i deci nu se produc eforturi unitare termice.

3 COMPRESIUNEA PE SUPRAFAA DE CONTACT A DOUCORPURI. STRIVIREA

Fig. 2.10 Elemente derezisten supuse variaiilor de

temperatur


33/71

Transmiterea unor ncrcri de la un element de rezisten la altul estensoit de o solicitare de compresiune pe suprafaa comun de contact a celordou elemente de rezisten, numit compresiune local sau strivire. La valorimari ale tensiunii pe suprafaa de contact numit presiune de contact( s ),zona de

contact se poate deteriora saudistruge prin strivire. Pentru fiecare

pereche de materiale n contact,solicitate la strivire, calculul seface pe baza tensiunii normale

admisibile la strivire as (saupresiune de contact admisibil pac)a materialului mai puin rezistent.Forma geometric a suprafeei decontact poate fi: plan, curb,liniarsaupunctiform.

a) Suprafa plan decontact. n general, rezultantaforelor de apsare trece princentrul de greutate al suprafeei de

contact, calculul fcndu-se ca i ncazul compresiunii centrice,admind o repartiie uniform a presiunii de contact. Pentru exemplificare seconsider un stlp de oel rezemat centric pe teren prin intermediul unei plci defont i al unui bloc din beton (fig.3.1.).

S-au notat: F, fora de compresiune aplicat stlpului; G1, G2, G3greutileproprii ale elementelor componente; A1, A2, A3 ariile suprafeelor de contact ale perechilor de materiale; terenas,betonas,font as,otelas, >>> tensiunile normaleadimisibile la strivire ale materialelor elementelor de rezisten n contact.

Se efectueaz urmtoarele verificri:

font ,as11

1s A

GF

+

= beton,as221

2s A

GGF

++

= (3.1)

teren,as3

3213s

A

GGGF

+++=

b)Suprafee curbe de contact. n cazul contactului dintre fusul radial decapt al unui arbore i lagr (fig.3.2,a), dintre tija unui nit sau bulon (fig. 3.2,c) i

Fig. 3.1 Strivirea suprafeelor plane de

contact


34/71

pereii gurilor pieselor asamblate etc., suprafaa de contact este de formcilindric. Pentru fusul sferic contactul cu lagrul respectiv este dup o suprafasferic (fig. 3.2,d)

Repartiia presiunii de contact pe conturul unei seciuni transversale estedup o lege dificil de stabilit (fig.3.2,b). n calculele practice se opereaz, n modconvenional, cu o presiune medie de contact dat de relaia:

asmed,sld

F

= (3.2)

Valoarea as depinde de natura perechilor de materiale i de condiiile delucru ale elementelor de rezisten n contact.

c)Suprafee mici de contact. n cazul rezemrilor dintre elementele derezisten, prin intermediul bilelor sau rolelor, suprafeele de contact sunt foartemici, respectiv presiunile de contact sunt foarte mari. Este cazul rulmenilor cu

bile sau cu role, a roilor vagoanelor pe in etc.Calculul acestor presiuni de contact se face utiliznd relaiile stabilite de

ctre Hertz, avnd la baz ecuaiile teoriei elasticitii.

4 FORFECAREA

2.1 Tensiuni tangeniale i deformaii

Fig. 3.2 Strivirea suprafeelor curbe de contact


35/71

Solicitarea simpl de forfecare este produs de ctre fora tietoare. npractic, solicitarea de forfecare este nsoit, de regul, de ncovoiere respectivstrivire. O bar se consider solicitat la forfecare sau tiere dac perpendicular

pe axa ei acioneaz dou fore distribuite liniar, egale i sens contrar, cu odistana foarte mic ntre suporturile lor (fig. 4.1). Un exemplu de forfecare oreprezint tierea unei bare cu ajutorul cuitelor unei foarfeci. La cretereamodulelor forelorF, bara se foarfec n dreptul unei seciuni, numit seciune de

forfecare A, cuprins ntre planele de alunecare ale cuitelor foarfecelui. naceast seciune se produce o for tietoare T egal i de sens contrar cu F, carecreeaz tensiuni tangeniale . n calculul la forfecare se admite ipotezasimplificatoare a repartiiei uniforme a tensiunii tangeniale pe suprafaaseciunii de forfecare. Pe baza relaiei de echivalen static dintre fora tietoareT i tensiunea tangenial din seciunea de forfecare avnd aria A, se poatescrie:

AdAdATA A

=== A

T= (4.1)

Expresia de mai sus reprezint formula de baz n calculul convenional laforfecare, din condiia de rezisten, cu care se pot efectua urmtoarele tipuri de

probleme:a)Calculul de dimensionare. n acest caz trebuie cunoscute ncrcarile

exterioare (cu care se determin T) i caracteristica de material af. Aria minimnecesar a seciunii de forfecare se determin cu relaia:af

nec

TA

= (4.2)

n funcie de elementele standardizate sau de componente constructive seadopt aria efectiv Aef Anec.

b) Calculul pentru verificare. Se presupun cunoscute ncrcareaexterioar (pentru determinarea lui T), aria seciunii de forfecare Aef icaracteristica mecanic de materiale af. Verificarea const n calculul efortuluiunitar tangenial (tensiunea tangenial) efectiv din seciunea piesei i comparereacu af. Condiia de rezisten este ndeplinit dac se respect relaia:

(4.3)

c) Calculul efortului capabil. n acest caz trebuie cunoscute Aefi af.Efortul capabil se determin cu relaia:

(4.4)

af

ef

efA

T =

afefcap AT =


36/71

La prelucrarea unor piese prin tieresau decupare trebuie determinattensiunea de rupere prin forfecare a

piesei, pentru alegerea corect a tipuluide foarfec sau de pres, pe care s seexecute operaia tehnologic. Relaiade calcul este:

efrrup AT = (4.5)Deformaia la forfecare nu

prezint un interes practic. Eaconst n deplasarea relativs a dou seciuni situate la

distana a (fig.4.1).Pentru materialele care

satisfac legea lui Hooke seobin succesiv deplasri

calculate cu:

GA

Taa

Gas === (4.6)

n care produsul GA se numete rigiditatea la forfecare aseciunii transversale.

Relaia convenional (4.1), suficient pentru nevoile practicii, permiterezolvarea celor trei categorii de probleme, redate schematic n tabelul 4.1.

Relaiile de calcul la solicitarea de forfecare Tabelul 4.1

Dimensionare Verificare Calculul efortuluicapabil Deformaii

Fig. 4.1 Schema solicitrii la forfecare


37/71

af

nec

TA

= af

ef

efA

T= afefcap AT =

GA

Taas ==

4.2 Elemente de mbinare solicitate la forfecare

mbinarea reprezint o legtur dintre dou sau mai multe elemente derezisten, realizat astfel nct s se asigure condiiile de rezisten, rigiditate,

funcionalitate i economicitate a ansamblului din care face parte.

a a a

mbinrile pot fi nedemontabile, respectiv demontabile (asamblri). Lambinrile nedemontabile prin nituire, sudare respectiv lipire apare solicitareasimpl de forfecare. n (fig. 4.2,a) este redat schema unei mbinri prin nituire

precum i modul de transmitere a ncrcrii prin nit. Schema unei mbinri sudatecu sudur lateral de col este redat n (fig. 4.2,b). Aria de forfecare se considerde-a lungul cordonului de sudur, fiind nclinat la 450 i avnd valoarea 2(ls.a). n

Fig. 4.2 Exemple de elemente solicitate la forfecare


38/71

cazul mbinrilor prin lipire (fig. 4.2,c) aria de forfecare este tocmai aria desuprapunere a profilelor lipite.

6 NCOVOIEREA BARELOR DREPTE

6.1 Noiuni generale

Dac n seciunea unei bare se pune n eviden efortul moment

ncovoietor (Mi) atunci bara este solicitat la ncovoiere. ncovoierea poate fi dedou tipuri: ncovoiere pur, respectiv ncovoiere simpl. ncovoierea pur apareatunci cnd n seciunea barei exist numai tensiuni normale ( ), produse demomentul ncovoietor (fig.6.1,a). Solicitarea barei este de ncovoiere simpl dacexist simultan, n seciunea barei, tensiunile i produse de ctre momentulncovoietor respectiv de o for tietoare (fig.6.1,b).

Fig. 6.1Eforturi i tensiuni la ncovoiere pur respectiv ncovoiere simpl

Fig. 6.2. Grind simplu rezemat solicitat la ncovoiere


39/71

La grinda simplu rezemat (fig.6.2) ncrcat simetric, tronsoanele 1 2 i3 4 sunt solicitate la ncovoiere simpl(T 0 i Mi ct.), iar tronsonul 2 3 lancovoiere pur(T = 0 i Mi = ct.).

6.2 ncovoierea pur. Formula lui Navier

Considerm un element de lungime dx (fig.6.3) dintr-o bar solicitat lancovoiere pur i se admite planul forelor ca un plan de simetrie al barei (xOy),rezult c axa Oy este ax principal de inerie.

Experimental s-a demonstrat c ipoteza lui Bernoulli este valabil n cazulbarelor solicitate la ncovoiere pur.

Fig. 6.3Deformaia grinzii supuse la solicitarea de ncovoierea pur


40/71

n urma deformaiei elementului de bar, arcele AC; OP; MN i BDcare provin prin scurtarea segmentului AC i lungirea segmentelor MN respectivBD, au centrul de curbur la intersecia dreptelor AB i CD.

Linia OP care este locul geometric al centrelor de greutate al tuturorseciunilor, numit fibr medie a barei, rmne de lungime neschimbat. Fibrele

barei care dup deformaie i pstreaz lungimea poart denumirea de fibreneutre. Totalitatea fibrelor neutre corespunztoare ntregii limi a seciuniideterminsuprafaa neutr. Lungimea arcului de curb OP, n funcie de raza decurbur a fibrei medii deformate este:

dx = d (6.1)

Unghiul d msoar rotirea celor dou seciuni situate la distana dx unafa de cealalt. n urma deformaiei, fibra MN de lungime iniial dx i situat ladistana y de fibra medie devine arcul MN (fig.6.3,c) de lungime arc MN =( + y)d . Alungirea acestei fibre se calculeaz cu relaia:

( )

=

+== y

ddy

dx

dx(6.2)

Pe baza legii lui Hooke se calculeaz tensiunea normal , ce corespundefibrei MN, cu expresia:

==

yEE (6.3)

Relaiile (6.2) i (6.3) arat c efortul unitar i alungirea variazliniar pe seciune (fig.6.4).Pentru a determina relaia de

legtur dintre momentulncovoietori tensiunea normalnseciunea considerat, se utilizeazecuaiile de echivalen static. Peelementele de arie dA, eforturileunitare produc eforturileelementare dA paralele (fig.6.1,a). Deoarece n seciune nuexist fora axial N, iar momentulncovoietor este dirijat de-a lungul

Oz, ecuaiile de echivalen sunt:

a) == A 0AN ; b) == Ay 0zAM ; c) == A iz MydAM (6.4)

Fig.6.4 Variaia pe seciune a tensiuniinormale i deformaiei specifice


41/71

innd cont c 0E

(din relaia 6.3) i c nu depinde de elementul dA,

din relaiile (6.4) se obin:

a) =A ydA 0 ; b) =A 0zydA ; c) = A i2 MdAy

E

(6.5)i rezult:

a) Sz = 0; b) Iyz = 0; c) iz MIE

=

(6.6)

Relaiile obinute arat urmtoarele:

- axa z trece prin centrul de greutate al seciunii, deoarece momentulstatic fa de ea este nul. Ea se numete axa neutr a seciunii:

Axa neutr reprezint intersecia dintre suprafaa neutr cu planulseciunii transversale i coincide n cazul solicitrii de ncovoiere pur cu axavectorului moment ncovoietor.

- axele y i z sunt axe principale de inerie deoarece momentulcentrifugal este nul.

Din relaiile (6.6,c i 6.3) se obine expresia de calcul a tensiunii normale(efort unitar normal):

z

i

I

yM= (6.7)

numit formula luiNavier.n fibrele extreme ale seciunii (y = ymax) se produc tensiunile normale max calculabile din formula lui Navier:

z

i

z

imaxmax

W

M

I

My== (6.8)

n caremax

zz

y

IW = se numete modulul de rezisten axiali este o caracteristic

geometric a seciunii.

6.3 Relaii de calcul

Calculul la ncovoierea pur se face pe baz condiiei de rezistenutiliznd relaia (6.8).

a) Calculul de dimensionare. Se determin caracteristica minim deseciune cu relaia:


42/71

ai

maxiznec

MW

= (6.9)

n care maxiM este momentul de ncovoiere maxim, iar ai rezistena admisibil.Dup determinarea valorii znecW trebuie aleas forma raional a seciunii igsite dimensiunile ei astfel nct zneczef WW . Forma seciunii este cu att mairaional cu ct modulul de rezisten are o valoare mai mare pentru un consum dematerial ct mai mic. Seciunea este mai economic cu ct raportul dintre modululde rezisten i arie este mai mare. n tabelul 6.1. se dau comparativ valorileacestui raport pentru cteva forme uzuale de seciune.

Raportul dintre caracteristicile geometrice uzuale de seciune Tabelul 6.1

b)Calculul pentru verificare. n funcie de momentul ncovoietor maximi de caracteristica efectiv a seciunii, se calculeaz tensiunea normal efectiv ise compar cu valoarea admisibil:

ai

zef

maxief

W

M= (6.10)

c) Calculul efortului capabil. Se determin valoarea maxim a

momentului ncovoietor ce poate fi preluat de ctre o grind cunoscndcaracteristica efectiv a seciunii i valoarea rezistenei admisibile:

aizeficapWM = (6.11)

n tabelul 6.2 sunt prezentate formulele de calcul la ncovoierea pur, dincondiia de rezisten.


43/71

Relaii de calcul la ncovoierea pur Tabelul 6.2


capabil

z

i

W

M= ( )

ai

maxi

necz

MW= ai

efz

maxief

)W(

M= ( ) ( ) aiefzcapi WM =

Dac ncrcrile exterioare ale unei bare au componente n planele xOy ixOz, atunci n seciunea barei apar simultan momentele ncovoietoare Mizi Miy

dirijate dup axele Oz respectiv Oy. Aceast solicitare poart denumirea dencovoiere oblic. ntr-un punct al seciunii transversale de coordonate z i y,tensiunea normal este egal cu suma algebric a tensiunilor normale produse dectre cele dou momente ncovoietoare:

y

iy

z

iz

y

iy

z

iz'''

W

M

W

M

I

zM

I

yM==+= (6.12)

Modulele de rezisten axiale pentru cteva seciuni caracteristice suntdate n tabelul 6.3.Module de rezisten axiale pentru seciuni particulare Tabelul 6.3


44/71

6.4 Dualitatea tensiunilor (eforturilor unitare) tangeniale

Se consider un element de volum paralelipipedic (fig. 6.5, a) pe feelecruia apar eforturi unitare normale i tangeniale datorit ncrcrii exterioare aelementului de rezisten din care face parte. Deoarece grosimea elementuluiconsiderat este egal cu unitatea, starea de solicitare poate fi reprezentat printr-ofigur plan (fig. 6.5, b) i poart denumirea de stare plan de eforturi unitare.Dac se scrie ecuaia de momente n raport cu O1 a tuturor forelor elementare de

pe feele elementului, se obine:

02

dy1dx22

dx1dy2 yxxy =

de unde rezult:yxxy = . (6.13)

Relaia (6.13) exprim una dintre teoremele fundamentale ale teorieielasticitii, numit dualitatea eforturilor unitare tangeniale i care se enunastfel: dac pe un plan din interiorul uni corp exist un efort unitar tangenial,atunci pe un plan perpendicular pe el exist acelai efort unitar tangenial,

Fig. 6.5 Tensiuni normale i tangeniale pe feele elementului de volum


45/71

ambele fiind orientate simetric fa de muchia comun a planelor iperpendiculare pe ea.

6.5 Tensiuni tangeniale la ncovoiere simpl

La grinzile solicitate la ncovoierea simpl, n seciunile transversaleacioneaz simultan momente ncovoietoare i fore tietoare. Din tronsonul 1 3al barei reprezentate n fig. 6.2 se detaeaz un element solicitat la ncovoieresimpl, de lungime dx. Pe feele elementului apar eforturile moment ncovoietori for tietoare (fig.6.6,a) care produc eforturile unitare reprezentate nfig.6.6,b. Eforturile unitare tangeniale , din seciunile PQB i PPQQ au n

punctele de pe muchia comun aceeai valoare, n conformitate cu principiuldualitii eforturilor unitare tangeniale (fig.6.6,d). n dreptul unui punct deordonat y valoarea eforturilor unitare normale, pe feele elementului, secalculeaz cu relaia lui Navier:

z

i

I

yM= , respectiv

( )

z

ii

I

ydMMd

+=+ (6.14)

Echilibrul forelor elementare de pe elementul secionat (fig.6.6,d) seexprim cu ajutorul unei ecuaii de proiecie 0X i = , dup cum urmeaz:

( ) 0bdxdAdAdAyAy

=+


46/71

Fig. 6.6 Starea de tensiuni n seciunea grinzii solicitate la ncovoieresimpl


47/71

Utiliznd relaiile (6.14) se obine:( )

0bdxdAI

yMdA

I

ydMM

Ay z

i

Ay z

ii =+

de unde rezult expresia tensiunii tangeniale:

=yA

i

z

ydAdx

dM

bI

1.

Deoarece Tdx

dM i = este fora tietoare din seciune; Iz momentul de

inerie axial al ntregii seciunii, calculat fa de Oz ; b laimea seciunii la

distana y fa de axa neutr i zAy

SydA = este momentul static al prii de

seciune (Ay) n raport cu axa neutr a seciunii, se obine:

z

z

bI

TS= , (6.15)

numit formula lui Juravski.Modul de variaie a tensiunilor tangeniale la diferite seciuni transversale ale

grinzii:

a) seciune dreptunghiularPentru seciunea dreptunghiular (fig.6.7), mrimile geometrice care suntcuprinse n formula lui Juravski au expresiile:

=

+

= 2

2

42242y

hbyhyy

hbSz ;

bhA;12

bhI

3

z ==

iar tensiunea (efortul unitar) tangenial este:

=

=

=

=2

2

2

2

2

222

33

22

65,14

64

6

12

42hy

AT

hy

hh

ATyh

bhT

bhb

yhb

T

xy


48/71

Fig.6.7Variaia tensiunilortangeniale la seciunea

dreptunghiularFig.6.8 Variaia tensiunilor

tangeniale la seciunea circular


49/71

Variaia efortului unitar tangenial este parabolic, avnd valoare maxim n axa

neutr (y = 0) i nul n fibrele extreme

=

2

hy , fiind n opoziie cu efortul unitar normal

, care este nul n axa neutr i maxim n fibrele extreme:AT5,1

bhT

23

maxxy == . (6.17)

b) seciunea circularAnaliznd fig. 6.8 se pot scrie urmtoarele relaii:

dxsinrdy;cosry ==

Mrimile geometrice care intr n formula lui Juravski sunt:

4

r

64

dI;sinr2b

44

z

=

== i

3323

0

2 sin3

2cossin2 rdxrybdyydAS

d

yAy

z ==== ,

iar tensiunea tangenial (efortul unitar tangenial) are expresia:

(6.18)

Tensiunea tangenial xy variaz dup legea funciei sin2 , este nul n fibreleextreme i maxim n axa neutr ( = / 2), iar:

A

T

3

4= (6.19)

c)Seciune transversal n form de profil In aceast situaie se poate considera c seciunea este compus din mai multe

dreptunghiuri crora li se aplic formula lui Juravski. n timp ce momentul static Szvariaz continuu cnd se parcurge distana de la axa neutr spre fibrele extreme, n Bapare un salt al limii b, ceea ce d o discontinuitate a parabolei care reprezint variaiatensiunii tangeniale x.

Fig. 6.9 Variaia tensiunilor tangeniale pe nlimea seciuniitransversale n form de Ia grinzii

Se aplic formula lui Juravski, mai nti pentru dreptunghiul tlpii, de lime bt iapoi pentru dreptunghiul inimii, de lime mai mic, bii se obin:

- n talp

=

= 2

4

33

xy sinA

T

3

4

4

rsinr2

sinr3

2T


50/71

=

= 2

2

z

22

t

zt

yx y4

h

I2

Ty

4

h

2

b

Ib

T

- n inim

+

=

2222

4442 yh

bhh

bIb

Tiiit

zi

yx

Observaie: Tensiunea tangenial din seciune ( yx) are o variaie parabolic pentreaga nlime a acesteia, dar din cauza trecerii de la bt la bi diagrama acesteia vaprezenta un salt pentru y = hi / 2. Rezult c la profilul I, din cauza formei sale, seproduc tensiuni tangeniale yx destul de mari n apropierea de fibrele extreme, latrecerea de la inim la talp.

Prin calcule se poate demonstra c raportul dintre tensiunea (efortul unitar)tangenial i tensiunea normal (efortul unitar) normal este direct proporional cunlimea seciunii i invers proporional cu deschiderea grinzii. Pentru h/l suficient demic, max este neglijabil n comparaie cu max. Din acest motiv, calculul se efectueaznumai n baza momentului ncovoietor. La grinzile cu h/l mare se ine seama detensiunea tangenial produs de fora tietoare.

6.6 Neglijarea tensiunilor tangeniale n unele calcule de ncovoiere

S-a pus problema de examinare a raportului existent ntre valorile maxime aletensiunilor i , ntr-o bar solicitat lancovoiere. Calculul se realizeaz peexemplul particular al unei grinzi simplurezemat la capete, cu o sarcin concentrataplicat la mijlocul deschiderii (fig.6.10),avnd seciunea dreptunghiular b.h.Eforturile n seciunea pe care acioneazsarcina concentrat F, au urmtoarele valorimaxime:

4;

2

F lM

FT

iz==

Tensiunile maxime n aceeaiseciune sunt:

Fig. 6.10 Grind simplu rezemat idiagramele de eforturi aferente


51/71

2maxmax 2

3;

4

3

2

3

dh

Fl

W

M

bh

F

A

T

z

iz ====

mprind aceste valori, se afl:

l2

h

max

max =

Pentru grinzile care au, n general, raportul h/l destul de mic, ceea ce face ca maxs aib o valoare neglijabil n comparaie cu max. Din acest motiv, la grinzile omogene,executate dintr-o singur bucat, de obicei, nu se ine cont n calcule de tensiuniletangeniale, dimensionarea fcndu-se n baza momentului ncovoietor, ca i lancovoierea pur.

La grinzile cu raportul h/l relativ mare, n calcule se va ine cont i de efectuldatorat tensiunilor tangeniale.

6.7 Lunecarea longitudinal i mpiedicare ei

Pe planul orizontal PQQP din fig.6.6, tensiunile tangeniale dau o for paralelcu axa barei.

dxI

TSbdx

bI

TSbdxdL

z

z

z

zyx ===

Pe o lungime oarecare de grind l,fora de lunecare longitudinaleste:

== lz

z

ldx

ITSdLL

Pentru bara prismatic, mrimile Sz, Iz sunt constante i ies de sub integral:

= lz

z TdxI

SL (6.20)

Dac planul PQQP este plan de separare efectiv a grinzii, lunecarealongitudinal nu mai este mpiedicat i cele dou pri lunec una fa de alta.

Pentru exemplificare se analizeaz cazul a dou grinzi de seciune ptrat,executat din lemn (fig.6.11,a).

n urma ncrcrii, grinzile se deformeaz conform fig. 6.11, b, iar ipoteza

seciunilor plane nu mai este valabil pentru ansamblul, ci doar pentru grinzile luateseparat.


52/71

Fig. 6.11 Lunecarea longitudinal impiedicarea ei

Modulul de rezisten a ntregiigrinzi este suma modulelor derezisten ale celor dou grinzi

separate: 3

a

6

a2W

33

1 ==

Pentru ansamblul grinzii trebuiempiedicat lunecarea, astfelnct rigidizarea se poate realizaprin dou buloane (fig.6.11, c).

n noua situaie modululde rezisten axial este:

3

a2

6

)a2(a

6

bhW

322

2 ===


53/71

Observaie: Se constat c W2 = 2W1 deci, n cazul considerat grinda solidarizatare capacitatea portant de dou ori mai mare dect pentru cazul de nesolidarizare.

Se poate calcula fora de lunecare i apoi se face dimensionarea bulonului.Schema de ncrcare este reprezentat n fig. 6.11. Integrnd pe lungimea l/2, pe carefora tietoare este constant, se poate calcula fora preluat de un bulon.

==2

l

0z

z

z

z

I4FlSdx

2F

ISL

n aceast relaie Sz se refer la suprafaa care tinde s lunece, fa de restulseciunii, adic la un ptrat complet.

3

a2

12

)a2(a

12

bhI

2

a

2

aaS

433

z

32

z=====

a16

Fl3

3

a24

Fl2

a

L4

3

== (6.21)

Pentru grinzile de seciuni compuse mbinate prin nituire sau sudare, lunecarealongitudinal este preluat de nituri respectiv cordoanele de sudur.Pentru exemplificare se ia calculul cordoanelor de sudur, la o grind de seciuni

sub form de I, compus dintr-o inim i dou tlpi solidarizate prin sudur (fig. 6.12,a ib).

Fig. 6.12 Elementele componente ale unor mbinri sudate

n prima faz se va determina modul de calcul la rezisten al cordonului desudur, avnd seciunea n form de triunghi isoscel, ca n fig.6.12,c. Pe feele BC i CD,cordonul ader la piesele care se mbin; acestea exercit asupra lui forele de lunecarelongitudinal L de sensuri contrare. Se admite situaia n care cordonul s-ar putea rupeprin forfecare dup planul de simetrie CEEC. Ca urmare pe acest plan, de arie A = ac,

se produc tensiuni tangeniale de forfecare , care se consider uniform distribuite,avnd mrimea:

ac

L= .

n cazul grinzilor din fig.6.12, lunecarea tlpii fa de inim este mpiedicat dedou cordoane de sudur, situate de o parte i de alta a inimii.

Sudura se poate face n dou variante: prin cordon continuu (fig.6.12,a) sau princordon intermitent(fig.6.12,b).


54/71

n cazul sudurii continue, dac se ia o lungime oarecare de cordon c, i seegaleaz fora de lunecare cu fora capabil a celor dou cordoane rezult:

ac2TcI

SL as

z

p =

De unde rezult:

zas

p

I2

TSa

(6.22)

n aceast relaie, Sp este momentul static al suprafeei tlpii (suprafaa hauratdin fig.6.12,d), calculat fa de axa neutr, T este fora tietoare considerat constant pelungimea c i as este rezistena admisibil la forfecare a cordonului de sudur.

n situaia unei suduri avnd cordon intermitent se poate scrie relaia:

ac2TeI

Sas

z

p , de unde rezultTS

Ia2

c

e

p

zas (6.23)

Observaie: se alege valoarea segmentului e i rezult c sau invers.

6.8 Bare de egal rezisten la ncovoiere sau bare cu moment de inerievariabil.

n cazul barelor drepte solicitate la ncovoiere (grinzile), care au A = constant. (ariaseciunii transversale) soluia este neconvenabil. Este necesar ca grinda s aib momentde inerie variabil pentru seciunile transversale, n lungul ei.

Grinda de egal rezisten este soluia optim, fiind nevoie ca momentul deinerie axial (Iz) s varieze astfel nct n fibrele extreme ale grinzii s fie max. = ai =constant.

( )( )

ai

izz

xMxW= (6.24)

n relaia 6.24 se evideniaz mrimile: Wz (x) i Miz(x) care sunt funcii de x ivariaz dup aceeai lege.

Forma grinzii este funcie de: modul de rezemare; felul sarcinilor; modul deaplicare a acestora, precum i de forma seciunii.

Pentru exemplificare se studiaz o grind ncastrat la un capt i liber la cellalt,de seciune dreptunghiular, solicitat la captul liber de ctre o for concentrat(fig.6.13).Se vor examina dou cazuri particulare dup cum urmeaz:

( ) ( )( )

aiai

iz

ziz

FxxMxWFxxM

=== ;


55/71

1) Seciunea are b = constant i nlimea h variabil (fig.6.14).

ai

2

ai

2

zb

Fx6;

6

byFx;

6

by)x(W

==

= 2y (6.25)

Fig. 6.13 Grinda ncastrat la un capt iliber la cellalt, cu diagramele aferente

Fig. 6.13 Grinda ncastrat la un capt iliber la cellalt, cu diagramele aferente


56/71

Se obine o variaie parabolic pentru care soluiile practice sunt prezentate prin: parabol nesimetric(fig. 614,a) respectiv parabol simetric(fig. 6.14,b) Valoareamaxim ymax. = h pentru x = l.

aib

flhy

6max ==

Fig.6.14 Grind de egal rezisten la ncovoiere cu seciunea dreptunghiular, cub = const. i y variabil.

2) Seciunea are h = const. i limea z variabil (fig.6.15)

ai

z

Fxzh

zhxW

=

=

6

;6

)(

2

2

Fig.6.15 Grind de egal rezisten la ncovoiere cu seciuneaavnd h = const. i z variabil.


57/71

2

ai h

Fx6z

= (6.26)

Dimensiunea z are o variaie liniar cu o valoare maxim 2ai

maxh

Fl6bz==

6.9 Forma optim a seciunii barelor solicitate la ncovoierePentru dimensionarea unei bare solicitate la ncovoiere se parcurg urmtoarele

etape:1. Determinarea echilibrului exterior al barei prin calculul reaciunilor, utiliznd

ecuaiile de echilibru;2. Stabilirea ecuaiilor de variaie a eforturilor de-a lungul barei N = f1(x); T =

f2(x) i respectiv Mi = f3(x);3. Se reprezint grafic ecuaiile de variaie ale eforturilor i se determin valoarea

momentului maxim, la care se dimensioneaz grinda. Dac grinda are seciunea variabil,se va cuta momentul ncovoietor din seciunea periculoas. n fig. 6.16 se reprezint ogrind ncastrat pentru care trebuie calculat momentul ncovoietor att n seciunea I cti n seciunea II, adoptndu-se pentru calcule seciunea cu momentul maxim;

4. Se alege rezistena admisibil la ncovoiere a materialului nglobat n elementulde rezisten;

5. Se aplic formula de dimensionare la ncovoiere obinndu-se modulul derezisten axial. Trebuie aleas forma seciunii i gsirea dimensiunilor ei, respectivdeterminarea formei optime a seciunii.

Fig.6.16 Bar ncastrat la un capti liber la cellalt avnd variaii ale

seciunii transversale

Fig.6.17Seciuni cu ariiegale i module de rezisten

axiale inegale

La valori egale ale ariilor, seciunea I este mai avantajoas dect ceadreptunghiular, deoarece este capabil s preia un moment ncovoietor mai mare (fig.6.17). Acest lucru se explic prin faptul c o parte a suprafeei este aezat n apropiereafibrei extreme, unde este maxim.


58/71

Pentru barele solicitate la ncovoiere sunt de preferat formele de seciuni la carematerialul este ct mai deprtat de axa neutr, cum sunt profilele I, U respectiv seciunileinelare.

Analiznd elementele prezentate se pot desprinde urmtoarele:a) n expresia modulului de rezisten Wz intr att momentul de inerie Izct i

distana ymax. Dac se compar cele dou seciuni din fig. 6.18 se observ c seciunea dinfig.6.18,b are un moment de inerie mai mare dect cel din fig.6.18,a, datorit plusului desuprafa haurat. Deoarece ymax este mai mare pentru fig. 6.18,b, rezult c modulul derezisten este mai mic dect cel din fig.6.18,a. n consecin, ariile suplimentare(haurate n figur) sunt dezavantajoase deoarece conduc la micorarea capacitii derezisten a barei.

b) Trebuie inut cont c modulele de rezisten axiale Wz i Wynu pot fi nsumatealgebric, ci trebuie calculat momentul de inerie al ansamblului

Fig.6.18Creterea valori

momentului de inerie axial nsoitde micorarea modului de rezisten

Fig.6.19 Modaliti deaezare a profilelor I

Este posibil nsumarea algebric a modulelor de rezisten numai n cazulparticular cnd axa neutr trece prin centul de greutate al fiecrui element component itoate elementele de rezisten au acelai ymax. n fig. 6.19 sunt prezentate situaiile n carenu se pot aduna modulele de rezisten (fig. 6.19,a), dar pot fi adunate pentru profilele

aezate alturat (fig.6.19,b)c) Seciunile la care axa

neutr este ax de simetrie sunt cele

mai potrivite pentru materialele carese comport identic la ntindere icompresiune: la astfel de seciuni,tensiunile din fibrele extreme ntinsesunt egale cu cele din fibreleextreme comprimate.

La materialele care secomport diferit la ntindere fa de

Fig.6.20 Variaiatensiunii normalen sec iunea transversal


59/71

compresiune, astfel de seciuni nu sunt economice, deoarece cnd una din fibre atingerezistena admisibil, n cealalt efortul unitar este superior sau inferior rezisteneiadmisibile.

Ca urmare pentru astfel de materialele se utilizeaz seciuni la care axa neutr nueste ax de simetrie. Pentru bar de font (fig. 6.20) se prefer seciuni de forma profil T

sau de I, cu tlpi neegale. La fonte rezistenele de rupere la compresiune i ntindere seafl n raportul este de aproximativ 3, deci i rezistenele admisibile au acelai raport,seciunea va fi alctuit astfel:

( )

( )3

e

e

maxt

maxc

1

2 =

=

La aezarea grinzii se va avea n vedere c fibrele cele mai ndeprtate de axaneutr s fie cele comprimate. Tensiunile normale n fibrele extreme pentru o astfel degrind sunt:

( ) ( )z

iz1

maxt

z

iz2

maxcI

Me;

I

Me== (6.27)

6.10 Deformaia barelor drepte solicitate la ncovoiere

6.10.1 Generaliti privind elementele ce caracterizeaz deformaia barelorPrin solicitarea la ncovoiere barele drepte se deformeaz i iau forme curbe.

Studiul se face asupra axei barei care n urma deformaiei poart denumirea de fibr

medie sau linie elastic a barei.

Fig. 6.21Analiza deformaiilor unei grinzi solicitate la ncovoiere

Prin calcule se urmrete stabilirea formei fibrei medii deformate saudeterminarea deplasrilor produse n dreptul unor seciuni. Starea deformat n dreptul


60/71

unei seciuni transversale de abscis x se caracterizeaz prin urmtoarele mrimigeometrice (fig.6.21):

- deplasarea transversalv numitsgeati care rezult din ecuaia fibrei mediideformate ca ordonat corespunztoare unei abscise:

( )xfv = (6.28)

- rotirea seciunii sau nclinarea fibrei medii care se obine prin derivareaecuaiei fibrei medii deformate:(6.29)

- raza de curbur a fibrei medii deformate, care este dat de a doua derivat aacestei funcii:

(6.30)

Din relaiile (6.6,c i 6.30) i innd cont de sistemul de axe ales n fig.6.21 seobine ecuaia diferenial aproximativ a fibrei medii deformate:

(6.31)

Dac o bar are rigiditatea la ncovoiere EIz constant i se ine cont de relaiiledifereniale ntre eforturi rezult urmtoarele ecuaii difereniale aproximative, de ordinsuperior, ale fibrei medii deformate:

z

EI

T

dx

vd

, respectiv z

EI

p

dx

vd

(6.32)Integrarea analitic a ecuaiei (6.31) este recomandat n cazurile simple de

ncrcare, cnd grinda conine una sau dou tronsoane. n cazul existenei mai multortronsoane metoda devine greoaie, deoarece determinarea constantelor de integrarenecesit un volum mare de calcule. Constantele de integrare se determin utilizndcondiiile de limiti de continuitate a fibrei medii deformate.

Condiiile de limit, reprezint valori ale deplasrii v sau rotirii n punctele derezemare sau n alte seciuni caracteristice ale grinzii. n afara unor cazuri speciale,condiiile de limit sunt:

- n articulaie i n simpla rezemare, sgeata este nul;- n ncastrare, unghiul i sgeata sunt nule.Condiiile de continuitate indic faptul c n punctul de trecere de la un tronson la

altul, sgeata i unghiul au aceeai valoare pe ambele tronsoane. n zona n caremomentul ncovoietor se anuleaz fibra medie deformat are un punct de inflexiune.Modul de integrare a ecuaiei (6.31) va fi prezentat pentru cteva exemple de ncrcare.

dx

dvtg =

dx

d

dx

vd12

2 =

z

i

2

2

EI

M

dx

vd


61/71

6.10.2 Exemple de calcul a elementelor ce caracterizeaz deformaia barelora) Grind n consol, ncrcat cu o sarcin concentrat la captul libern fig.6.22 este prezentat o grind n consol ncrcat la captul liber de fora

concentrat F. Momentul ncovoietor n seciunea x este negativ i are expresia:

( )xlFM i = .Ecuaia fibrei medii deformateeste:

( )

zz

i

EI

xlF

EI

M

dx

vd == .

Se integreaz de dou ori i sedetermin constantele de integrare inndcont c n ncastrare, pentru x=0, se

cunosc dx

dv == i v = 0.

C;C

xlxEI

F

dx

dv

z=+

==

C;C

x

lx

EI

Fv

z

=+

=

Ecuaiile finale ale sgeii i unghiului de rotire sunt:

=

xlx

EI

Fv

z

; (6.33)

(6.34)

Pentru x = l, se gsesc valorile maxime:

;EI

Flfv

z

max == (6.35)

.EI

Fl

z

= (6.36)

b) Grind simplu rezemat, ncrcat cu o sarcin uniform distribuitO astfel de grind este reprezentat n fig.6.11. ntr-o seciune x, momentul

ncovoietor are expresia:

( )

i xlx

p

xpx

pl

xpxVM === .

Ecuaia fibrei medii deformate este:

( )zz

i

xlxEI

p

EI

M

dx

vd== .

Se integreaz aceast ecuaie de dou ori i se obine:

Fig. 6.22 Elementele deformaiei lancovoiere ntr-o grind ncrcat

cu o sarcin concentrat

=

2

xlx

EI

F 2

z


62/71

z

C

x

lx

EI

p

dx

dv+

== ;

z

CxC

x

lx

EI

pv ++

= .

Fig. 6.23 Elementele deformaiei la ncovoiere ntr-o grind ncrcat

cu o sarcin uniform distribuit

Condiiile de limit permit determinarea constantelor de integrare:0C,0v,0x 2 ===

z

3

1 EI24

pl

C,0dx

dv

,2/lx ==== .Ecuaiile finale ale deformaiei sunt:

+==

12

l

2

lx

3

x

EI2

p

dx

dv 323

z

; (6.37)

(6.38)

Sgeata maxim este la mijlocul barei

=

2

1x

z

4

EI384pl5f = , (6.39)

Iar unghiurile pe reazeme sunt:

2

z

3

1EI24

pl== . (6.40)

n literatura de specialitate se gsesc expresiile sgeilor i rotirilor pentru diferitetipuri de grinzi i de moduri de ncrcare.

.12

xl

6

lx

12

x

EI2

pv

334

z

+=


63/71

7 RSUCIREA

7.1 Calculul momentului de rsucire

Rsucirea este solicitarea simpl care apare datorit existenei n seciuniletransversale ale unui element de rezisten a unui moment de rsucire (Mr), avndvectorul dirijat n lungul axei longitudinale. Acest efort este produs de forele dencrcare care nu ntlnesc axa elementului de rezisten i nu sunt paralele cu ea(fig.7.1).

Elementele de rezisten solicitate la rsucire sunt: arborii, arcurile elicoidale,elementele construciilor spaiale etc.

Calculul de rezisten i de rigiditate la rsucire este relativ simplu n cazulseciunilor circulare sau inelare i mai dificil pentru alte forme i seciuni.

n cazul arborilor de transmisie, ncrcarea exterioar este dat prin puterea P ituraia n de regim, iar calculul momentului de rsucire se face cu relaia

n

PkM r = [Nm] (7.1)

unde keste o constant, avnd valorile: k= 9,55 103, pentru P n kw i n n rot/min; k=7,02 103, pentru P n CPi n n rot/min.

Cnd pe arbore sunt montate roi de curea (fig.7.2), momentul de rsuciretransmis de roata motoareI(S1> S2) este egal cu cel preluat de roata condusII(S4> S3)( ) ( ) rSSRSSM 3421r == (7.2)

Pe intervalul dintre roile de curea arborele este solicitat la rsucire de un momentconstant. La arborii pe care sunt montate mai multe roi de transmisie (roi de curea, roidinate etc.) se traseaz diagrama momentelor de rsucire respectnd regula general:momentul ntr-o seciune este egal cu suma momentelor de rsucire din stnga seciunii

Fig.7.1Bar dreapt de seciunecircular solicitat la rsucire

Fig.7.2Moment de rsucirela baraacionat de dou cupluri


64/71

sau a celor din dreapta seciunii, luate cu semn schimbat. Convenional, momentul dersucire motor se consider pozitiv, iar momentele rezistente sunt negative.

7.2 Rsucirea barelor drepte cu seciunea circular respectiv inelar

Pe bara de seciune circular, ncastrat la unul din capete i liber la cellalt(fig.7.3,a) se traseaz o reea de generatoare i de cercuri la distane egale, apoi la captulliber se aplic un moment de rsucire Mr.

n urma deformaiei barei se constat urmtoarele:

-seciunile plane i normale pe axa longitudinal a barei nu i modific poziia (severific ipoteza lui Bernoulli);

-seciunile transversale se rotesc una fa de cealalt cu un unghi numit unghi dersucire i a crui valoare depinde de distana dintre seciuni;

-dreptunghiurile curbilinii elementare abcdse transform n paralelograme astfelnct unghiurile drepte variaz cu unghiul de lunecare specific max (fig.7.3,b).Conform legii lui Hooke pe feele elementului exist eforturi unitare tangeniale max =G max, elementul aflndu-se ntr-o stare de forfecare pur.

Se consider un element de bar din partea central r < R, de lungime dx(fig.7.3,c) ale crui fee extreme se rotesc relativ cu unghiul . Din considerente dedeformaii se poate scrie arcgg = dx = rd , de unde:

=

= rdx

dr (7.3)

S-a notat cu unghiul de rsucire specific(unghiul cu care se rotesc una fade cealalt dou seciuni transversale distanate cu o unitate de lungime). Utiliznd relaia(7.3), legea lui Hooke pentru rsucire devine:

== GrG (7.4)

Fig.7.3 Variaia tensiunilor tangeniale i a deformaiei la rsucire


65/71

Tensiunile tangeniale sunt nule n centrul seciunii (r = 0) i variaz liniar cu razaavnd valoarea maxim lng conturul seciunii (fig.7.3,d):

== GRG maxmax (7.5)Relaia de legtur dintre tensiunea tangenial i momentul de rsucire Mrse

obine scriind echilibrul dintre Mr i suma momentelor dAr ale tuturor forelor

elementare fa de centrul O (fig.7.3,e).p

A

2

A

2

Ar IGdArGdAGrdArM ==== (7.6)

Se obine relaiap

r

I

MG = , care nlocuit n relaia (7.4) conduce la:

p

r

I

rM= (7.7)

Pentru r = R se obine:

p

r

p

rmax

W

M

I

RM== (7.8)

n care:RIW

p

p = este modulul de rezisten polar (7.9)

Din relaiile (7.4 i 7.7) se obine relaia deformaiei specifice:

p

r

GI

M= (7.10)

Integrnd relaia d = dx pe o lungime l se obine valoarea unghiului dersucire:

=== l lp

r

p

r

GI

lMdx

GI

Mdx (7.11)

7.3 Relaii de calcul

Calculul la solicitarea de rsucire se face pe baza condiiilor de rezisten i derigiditate utiliznd relaiile de baz (7.8 i 7.10).

a) Calculul de dimensionare. Se determin caracteristica minim de seciune, curelaiile:

a

rp

MW

nec = sau

a

rp

G

MI

nec = (7.12)

n care Mreste momentul de rsucire maxim, a rezistena admisibil a materialului, arsucirea specific admis a barei, iar G este modulul de elasticitate transversal almaterialului.

Modulul se rezisten polar se calculeaz cu expresiile:- pentru seciunea circular:

;16

d

2

d32

d

R

IW

3

4

p

p

=

== (7.13)

- pentru seciunea inelar cu diametrul exterior D i diametrul interior d:


66/71

( );

D

d1

16

D

2

D

dD32

R

IW

4344

p

p

=

== (7.14)

b) Calculul pentru verificare. n funcie de momentul de rsucire i decaracteristicile efective ale seciunii se calculeaz tensiunea tangenial respectivrsucirea specific efectiv i se compar cu valorile admisibile:

a

ef

ref

Wp

M= sau a

efp

ref

GI

M= (7.15)

c) Calculul efortului capabil. Se determin valoarea maxim a momentului dersucire ce poate fi preluat de ctre un element de rezisten cunoscnd caracteristicileefective ale seciunii respectiv tensiunea tangenial sau rsucirea specific admisibil.

apr efcapWM = sau apr efcap GIM = (7.16)

Cu relaiile de mai sus se pot efectua cele trei categorii de probleme dinRezistena materialelor (tabelul 7.1).

Relaiile de calcul la rsucire Tabelul 7.1


capabil

p

r

W

M= ( )

a

r

necp

MW

= ( ) a

efp

ref

W

M= ( ) ( ) aefpcapr WM =

p

r

GI

M= ( )

a

r

necp G

MI=

( ) aefp

ref

IG

M= ( ) ( ) aefp

'

caprIGM =

Observaie: dac se impun condiiile de rezisten respectiv rigiditate atunci seadopt momentul de rsucire cel mai mic dintre (Mr)capi ( )

'

caprM .

Fig. 7.4.Tensiunea tangeniale pe

seciunea inelar

Capacitatea portant a unei bare deseciune inelar este mai maredect cea a barei de seciunecircular plin, cu aceeai mrimea suprafeei, deci cu aceeaicantitate de material, deoarecevaloarea modulului de rezistenpolar este mai maren fig.7.4 s-a reprezentat modul devariaie a tensiunilor tangeniale peo seciune inelar


67/71

10 STABILITATEA ECHILIBRULUI ELASTIC A BARELOR DREPTE.FLAMBAJUL

10.1 Generaliti

Compresiunea barelor drepte cu seciunea transversal relativ mic, comparativ culungimea lor, conduce la deformaii care se accentueaz cu creterea forei axiale decompresiune, astfel nct poate apare o dezechilibrare a elementului de rezisten. Acestfenomen de pierdere a stabilitii elastice poart denumirea deflambaj.

Se poate face o analogie ntre echilibrul mecanic care poate fi stabil, instabil sauind

Documents

rezistenta materialelor1