C U P R I N S

Prefa ...................................... 61. SOLICITRI COMPUSE ... 81.1 Consideraii generale ... 81.2 Traciunea compresiunea excentric 91.3 Smburele central 14 1.3.1 Smburele central pentru suprafaa dreptunghiular 15 1.3.2 Smburele central pentru suprafaa circular . 16 1.3.3 Smburele central pentru suprafaa I simetric .. 18 1.3.4 Tensiuni normale extreme n seciune, exprimate funcie de limitele

limitele smburelui central . 191.4 Teorii de rezisten. ncovoiere cu torsiune 21 1.4.1 Teorii de rezisten . 21 1.4.2 ncovoierea cu torsiune .. 241.5 Aplicaii ... 27 2. METODE PENTRU CALCULUL DEPLASRILOR .. 42 2.1 Consideraii generale ... 422.2 Metode clasice pentru calculul deplasrilor barelor drepte solicitate la

ncovoiere 43 2.2.1 Metoda dublei integrri 43 2.2.2 Metoda parametrilor iniiali . 47 2.2.3 Metoda grinzii conjugate . 522.3 Metoda sarcinii unitare 60 2.3.1 Procedeul Mohr Maxwell .. 61 2.3.2 Regula de integrare Veresceaghin 662.4 Sisteme static nedeterminate ... 702.5 Aplicaii ... 74 3. STABILITATEA ECHILIBRULUI ELASTIC. FLAMBAJUL ... 84 3.1 Consideraii generale ... 843.2 Calculul forei critice de flambaj la barele drepte zvelte solicitate la

compresiune axial .. 85 3.2.1 Bara articulat la ambele capete ... 85 3.2.2 Bara nepenit la un capt i liber la cellalt . 87 3.2.3 Bara articulat la un capt i nepenit la cellalt ... 88 3.2.4 Bara nepenit la ambele capete .. 913.3 Limitele de valabilitate ale formulei lui Euler. Flambajul elastic i plastic 95 3.3.1 Flambajul elastic .. 95 3.3.2 Flambajul plastic. Relaiile Tetmajer Iasinski ... 963.4 Calculul la flambaj .. 98 3.4.1 Calculul n domeniul elastic i plastic .. 98 3.4.2 Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj ... 1003.5 Flambajul barelor sub aciunea forelor excentrice . 1013.6 Flambajul lateral al grinzilor subiri solicitate la ncovoiere ... 1043.7 Aplicaii ... 108

3

4. SOLICITRI DINAMICE .. 112 4.1 Consideraii generale ... 1124.2 Solicitri prin fore de inerie .. 112 4.2.1 Calculul cablului de ascensor sau de macara ... 114 4.2.2 Calculul volantului n micarea de rotaie 115 4.2.3 Calculul barei n micarea de rotaie n jurul unei axe perpendiculare

pe planul su . 118 4.2.4 Calculul bielei motoare 1214.3 Solicitri produse de variaii rapide ale acceleraiei 123 4.3.1 Consideraii generale 123 4.3.2 ntinderea (compresiunea) prin oc .. 124 4.3.3 ncovoierea prin oc . 127 4.3.4 Torsiunea prin oc 129 4.3.5 Calculul arcului elicoidal cu spire strnse solicitat la oc 131 4.3.6 Efectul masei corpului lovit asupra solicitrii prin oc 1334.4 Aplicaii ... 136 5. SOLICITRI VARIABILE 144 5.1 Cicluri ale solicitrilor variabile .. 1445.2 Oboseala materialelor .. 1475.3 Rezistena la oboseal. Curba lui W hler

... 147

5.4 Diagramele rezistenelor la oboseal .. 1505.5 Schematizarea diagramelor rezistenelor la oboseal . 152 5.5.1 Schematizri ale diagramei Haigh 153 5.5.2 Schematizarea diagramei Smith ... 1545.6 Factorii care influeneaz rezistena la oboseal . 1555.7 Calculul la oboseal. Calculul coeficientului de siguran . 158 5.7.1 Calculul coeficientului de siguran, schematizarea Soderberg,

criteriul R = const. 161 5.7.2 Calculul coeficientului de siguran, schematizarea Serensen,

criteriul R = const. 162 5.7.3 Calculul coeficientului de siguran la solicitri variabile compuse 1645.8 Calculul la durabilitate limitat ... 1665.9 Aplicai 168 6. CALCUL PLCILOR PLANE IZOTROPE .. 172 6.1 Consideraii generale ... 1726.2 Calculul la ncovoiere al plcilor circulare ncrcate simetric 173 6.2.1 Relaii ntre tensiuni i deformaii specifice . 173 6.2.2 Echilibrul elementului de plac 176 6.2.3 Calculul plcii circulare ncrcat cu o sarcin uniform distribuit

i ncastrat pe contur .. 183 6.2.4 Calculul plcii circulare ncrcat cu o sarcin uniform distribuit i

simplu rezemat pe contur 187 6.2.5 Calculul plcii circulare ncrcat cu o for concentrat n centru i

4

nepenit pe contur .. 1916.3 Calculul la ncovoiere al plcilor dreptunghiulare .. 1946.4 Calculul la oc al plcilor plane .. 1966.5 Calculul aproximativ al plcilor plane 197 6.5.1 Calculul aproximativ al plcii circulare simplu rezemat pe contur i

ncrcat cu o sarcin uniform distribuit pe o suprafa circular n jurul centrului plcii . 198

6.5.2 Calculul aproximativ al plcii dreptunghiulare simplu rezemat pe contur 200

7. VASE DE REVOLUIE CU PEREI SUBIRI . 202 7.1 Consideraii generale ... 2027.2 Calculul vaselor de revoluie cu perei subiri . 203 8. TUBURI CU PEREI GROI .. 210 8.1 Consideraii generale ... 2108.2 Tubul cilindric cu perete gros supus la presiune interioar i exterioar 210 8.2.1 Tubul cilindric supus numai la presiune interioar .. 215 8.2.2 Tubul cilindric supus numai la presiune exterioar . 2178.3 Tuburi cilindrice fretate .. 2198.4 Tensiuni termice n tubul cu perete gros . 2238.5 Vase sferice cu perei groi . 228 9. SOLICITRI PESTE LIMITA DE ELASTICITATE . 234 9.1 Consideraii generale ... 2349.2 Schematizarea diagramelor caracteristice ... 2389.3 Calculul n domeniul elasto plastic .. 2429.4 Criterii de plasticitate .. 2489.5 Solicitri simple n domeniul elasto plastic .. 250 9.5.1 Traciunea sau compresiunea n domeniul elasto plastic .. 250 9.5.2 ncovoierea barelor drepte n domeniul elasto plastic .. 251 9.5.3 Tensiuni i deformaii remanente la ncovoiere n domeniul elasto

plastic ... 257 9.5.4 Torsiunea barelor drepte circulare n domeniul elasto plastic ... 259 9.5.5 Tensiuni remanente n cazul rsucirii barei drepte circulare n

domeniul elasto plastic .. 261 9.5.6 Rsucirea simpl a unei bare drepte de seciune transversal oarecare

n domeniul elasto plastic .. 2629.6 Tubul cu perete gros supus la presiune interioar, n domeniul elasto plastic . 2659.7 Cedarea sistemelor alctuite din bare drepte, solicitate la ncovoiere . 269 BIBLIOGRAFIE ... 274

5

1. SOLICITRI COMPUSE

1.1 CONSIDERAII GENERALE Dac n seciunea transversal a unui element de rezisten acioneaz un singur efort, atunci n acea seciune se realizeaz o solicitare simpl (axial, forfecare, ncovoiere, torsiune). Deoarece, n cele mai multe cazuri fora tietoare se neglijeaz, se poate considera c ncovoierea cu for tietoare (ncovoierea simpl) este o solicitare simpl. Dac ns n seciunea transversal a elementului de rezisten acioneaz dou sau mai multe eforturi, n acea seciune se realizeaz o solicitare compus. Solicitarea compus apare din aciunea simultan a mai multor componente ale eforturilor din seciunea transversal n diferite combinaii (dou, trei, patru, cinci sau chiar ase componente). n Fig.1.1-1 se prezint starea general de solicitare compus, cnd n seciunea transversal acioneaz toate componentele eforturilor.

Miz

Ty

Tz

N

Miy Mt

Fig.1.1-1 Dup cum se constat, unele eforturi la solicitarea compus produc tensiuni normale (N, Miz, Miy) iar altele (Tz, Ty, Mtt) tensiuni tangeniale . Dac n seciunea transversal acioneaz eforturi care produc numai tensiuni de acelai fel, solicitarea compus este de categoria I, iar dac produc tensiuni normale i tangeniale, solicitarea este compus de categoria a II-a. n cele de categoria I, se ncadreaz solicitarea axial cu cea de ncovoiere sau de

8

forfecare cu cea de torsiune. n categoria a II-a, cea mai rspndit este ncovoierea simpl cu torsiunea. Calculul de rezisten la solicitarea compus, impune calculul tensiunilor cele mai mari din seciunea transversal, care se determin cu relaiile de calcul ale solicitrilor simple. n cazul general de solicitare compus, pentru bara dreapt, starea de tensiune ntr-un punct al acesteia poate fi considerat ca o stare plan. n acest caz, calculul de rezisten se efectueaz dup teoriile strilor de tensiune limit. De asemenea pentru solicitarea compus de categoria I, ncovoiere oblic sau traciune (compresiune) cu ncovoiere, starea de tensiune poate fi considerat liniar dac se neglijeaz fora tietoare, care eventual ar putea exista. Aici, criteriul strii limit utilizat este cel de la solicitarea de ntindere sau compresiune simpl. n cazurile ce se vor prezenta n continuare, se va considera valabil principiul independenei aciunii forelor, ceea ce nseamn c tensiunile i deformaiile la solicitarea compus de categoria I, se vor determina prin nsumarea geometric a tensiunilor i deformaiilor produse de fiecare efort existent n seciunea respectiv. Acest mod de calcul simplificat, poate fi acceptat numai pentru barele rigide, la care deformaiile mici produse de ncrcri nu modific semnificativ forma iniial a barelor. ncovoierea oblic care este un caz simplu de solicitare compus de categoria I, a fost prezentat n volumul anterior al lucrrii Rezistena Materialelor, motiv pentru care nu se mai prezint n acest volum. De altfel, studiul ncovoierii oblice este un caz particular al celui care se prezint n continuare.

1.2 TRACIUNEA-COMPRESIUNEA EXCENTRIC Se consider o bar dreapt solicitat de o for F normal la planul seciunii transversale a crei direcie nu coincide cu axa longitudinal a barei (Fig.1.2-1a).

yF

y

z

a)

zF

N

y

z

N Miy

Miz

b) Fig.1.2-1

9

Fa de centrul de greutate al seciunii transversale, punctul de aplicaie al forei excentrice F, are coordonatele (zF , yF). Reducnd fora excentric F n centrul de greutate al seciunii transversale n care ea acioneaz, se obine torsorul format dintr-o for axial (N = F) i dou cupluri (Miz , Miy). Torsorul forelor este prezentat n Fig.1.2-1a. Valoarea acestora este: N = F Miz = F yF 1.2-1 Miy = F zF

Diagramele de eforturi n lungul barei pentru aceast situaie, sunt prezentate n Fig.1.2-2a,b.

Mi

Miz = F yF Miy = F zF

Miy Miz N

N

+

F

F

c) b) a)

Fig.1.2-2 Cum bara are seciunea constant, iar eforturile au aceeai valoare n

oricare seciune, rezult c seciunea periculoas poate fi oricare. Calculul de rezisten se efectueaz n aceast seciune. Deci eforturile din seciunea periculoas sunt:

N = F Miz = F yF 1.2-2 Miz = F zF Fiecare efort produce n seciunea transversal a barei tensiuni normale , rezultnd astfel o solicitare compus de categoria I. Pentru cele trei eforturi tensiunile se calculeaz cu relaiile cunoscute de la solicitrile simple:

AF

AN

N == 1.2-3a

10

yIyF

yI

M

z

F

z

izMiz

== 1.2-3b

zIzFz

IM

y

F

y

iyMiy

== 1.2-3c

Variaia tensiunilor normale produse de cele trei eforturi sunt prezentate n Fig.1.2-2c. Fiind tensiuni de acelai fel i avnd aceeai direcie (normal la seciunea transversal), tensiunea rezultant ntr-un punct al seciunii transversale, se obine prin nsumarea algebric a tensiunii normale produs de fiecare efort:

z

IzF

yIyF

AF

zI

My

IM

AN

y

F

z

F

y

iy

z

izMiyMizNrez

==++=

1.2-4

n relaia 1.2-4 apare semnul deoarece ntr-un punct oarecare al seciunii transversale, cele trei eforturi pot produce tensiuni normale de ntindere (semnul +) sau de compresiune (semnul -). Se poate uor constata c, variaia tensiunii normale rezultante pe seciune este una liniar. Rezultnd att tensiuni de ntindere ct i de compresiune, nseamn c exist puncte n seciunea transversal n care tensiunea este nul. Locul geometric al acestor puncte reprezint axa neutr. Ecuaia axei neutre rezult din relaia 1.2-4, ca fiind ecuaia tensiunii rezultante nule:

0zIzFy

IyF

AF

0y

F0

z

Frez =

+

+= 1.2-5

n relaia 1.2-5, z0 i y0 reprezint coordonatele unui punct situat pe axa neutr. Aceast ecuaie reprezint ecuaia unei drepte, iar reprezentarea ei grafic poate fi fcut prin intersecia cu direciile principale:

intersecia cu direcia Gz:

F

2y

F

y0

0

zi

zAI

z

0y

=

=

=

1.2-6a

11

intersecia cu direcia principal Gy:

F

2z

F

z0

0

yi

yAIy

0z

=

=

=

1.2-6b

Se constat c intersecia axei neutre cu direciile principale ale seciunii transversale, are loc pe sensurile negative ale acestora. Din acest motiv trebuie stabilite sensurile pozitive ale direciilor principale de inerie. Acestea pot fi fixate de la nceput, ceea ce poate complica calculul tensiunii normale rezultante, sau se aleg astfel nct ele s fixeze cadranul n care tensiunile produse de cele trei eforturi s aib acelai semn, adic toate s fie de ntindere sau toate de compresiune. n cazul nostru vom opta pentru cea de-a doua variant. Pentru problema pus n discuie (Fig.1.2-1a), cadranul determinat de sensurile pozitive ale direciilor principale (cadranul n care toate eforturile produc tensiuni de ntindere, vezi i Fig.1.2-2c) coincide cu cadranul I trigonometric. Poziia axei neutre pentru cazul studiat, este prezentat n Fig.1.2-3.

max,C

Ty

axa neutr

C+

-

z0

y0 z

cadranul I

max,t

Fig.1.2-3 Poziia axei neutre poate rezulta din relaia 1.2-4 n funcie de eforturi:

0zIM

yI

MAN

0y

iy0

z

iz =++ 1.2-7

Procednd ca mai nainte, se obin coordonatele punctelor de intersecie

ale axei neutre cu direciile principale: intersecia cu direcia principal Gz:

12

iy

y0

0

MN

AI

z

0y

=

=

1.2-8a

intersecia cu direcia principal Gy:

iz

z0

0

MN

AIy

0z

=

=

1.2-8b

Analiznd ecuaia axei neutre precum i coordonatele punctelor de intersecia ale axei neutre cu direciile principale de inerie ale seciunii transversale, rezult urmtoarele:

poziia axei neutre nu depinde de valoarea forei F poziia axei neutre depinde de poziia iniial a punctului de aplicaie al

forei, astfel: dac punctul de aplicaie al forei F se apropie de centrul de greutate al seciunii, axa neutr se ndeprteaz de centrul de greutate. Cnd fora se aplic n centrul de greutate, axa neutr se afl la infinit.

dac punctul de aplicaie al forei F se deprteaz de centrul de greutate al seciunii, axa neutr se apropie de centrul de greutate.

Dac axa neutr intersecteaz direciile principale ale seciunii, n seciune exist tensiuni att de ntindere ct i de compresiune. n cazul n care axa neutr nu intersecteaz seciunea, tensiunile normale din seciune sunt de acelai fel, fie de ntindere fie de compresiune.

Rezult c exist o suprafa n jurul centrului de greutate al seciunii, n care dac este situat punctul de aplicaie al forei F, axa neutr nu intersecteaz seciunea sau este cel mult tangent la aceasta. Aceast suprafa din jurul centrului de greutate n care aplicnd fora F axa neutr este cel mult tangent la seciune, reprezint aa numitul smbure central. Studiul smburelui central pentru cteva suprafee simple se face ntr-un paragraf separat. Dac fora excentric F este aplicat pe o ax principal de inerie a seciunii, unul din momente este nul iar axa neutr este paralel cu acea direcie principal.

Calculul de rezisten la solicitarea compus de categoria I, solicitare axial cu ncovoiere, impune calculul tensiunii rezultante maxime la ntindere respectiv, la compresiune.

13

Pentru cazul analizat, punctul cel mai solicitat la ntindere este colul din cadranul I trigonometric (punctul T din Fig.1.2-3), iar cel mai solicitat la compresiune este colul din cadranul III trigonometric (punctul C din Fig.1.2-3). n aceste puncte, toate cele trei eforturi produc valori maxime ale tensiunilor. n punctul T, efortul axial produce tensiuni maxime de ntindere (de altfel aceleai valori n toate punctele), iar momentele ncovoietoare, de asemenea tensiuni maxime de ntindere. n punctul C, efortul axial produce tensiuni maxime de ntindere, iar momentele ncovoietoare, tensiuni maxime de compresiune. n punctele cele mai solicitate i acestea trebuie stabilite, se pune condiia de rezisten cunoscut:

acCcmax,

atTtmax,

=

= 1.2-9

unde: at tensiunea admisibil la ntindere ac tensiunea admisibil la compresiune Relaiile explicite pentru calculul de rezisten sunt:

ac

y

iy

z

iz

aty

iy

z

iz

zI

My

IM

AN

zI

My

IM

AN

1.2-10

unde, y respectiv z, reprezint coordonatele punctului n care se calculeaz tensiunea normal. Variaia pe seciune a tensiunii normale rezultante este prezentat n Fig.1.2-3. Arcul elicoidal cu pas mic se poate ncadra n solicitarea compus de categoria I, unde toate tensiunile sunt de acelai fel, dar tangeniale. Acest caz a fost prezentat n cadrul capitolului de torsiune din primul volum al lucrrii.

1.3 SMBURELE CENTRAL n cazul elementelor de rezisten, mai ales din construcii, realizate din materiale care au rezisten mic la ntindere (betoane simple, piatr natural, crmid etc.), este foarte important pentru acestea ca pe ntreaga seciune transversal s se produc numai tensiuni de compresiune. n aceste condiii, trebuie precizat poziia punctului de aplicaie al forei normale, astfel ca pe

14

seciune, tensiunile normale s fie de acelai fel. Altfel spus, trebuie determinat smburele central. La stabilirea mrimii smburelui central, se pornete de la relaiile care dau intersecia axei neutre cu direciile principale de inerie ale suprafeei seciunii transversale (relaiile 1.2-6a,b), numai c n acest caz ne intereseaz coordonatele (zF ; yF) ale punctului de aplicaie al forei, cunoscnd intersecia axei neutre cu direciile principale. 1.3.1 Smburele central pentru suprafaa dreptunghiular Suprafaa dreptunghiular a seciunii transversale de dimensiunile b, respectiv h, este prezentat n Fig. 1.3.1-1.

y Cazul III

h

Cazul IV

h/6

h/6Smburele central

z

b/3

bCazul ICazul II

Fig.1.3.1-1 Relaiile de calcul utilizate sunt relaiile 1.2-6a,b:

F

z0

F

y0

yAI

y

zAI

z

=

=

1.3.1-1

Cazul I: Punem condiia ca axa neutr s fie tangent la conturul suprafeei n partea dreapt. n acest caz z0 = b/2:

6b

bbh12

hb2

bAI2

z

zAI

2b

2bz

3

yF

F

y0

=

=

=

==

1.3.1-2a

15

Cazul II: Punem condiia ca axa neutr s fie tangent la conturul suprafeei n partea stng (z0 = - b/2):

6b

bbh12

hb2

bAI2

z

zAI

2b

2bz

3

yF

F

y0

=

=

=

==

1.3.1-2b

Cazul III: Punem condiia ca axa neutr s fie tangent la conturul suprafeei n partea superioar (y0 = h/2):

6h

hbh12

hb2

hAI2y

yAI

2h

2hy

3

zF

F

z0

=

=

=

==

1.3.1-2c

Cazul IV: Punem condiia ca axa neutr s fie tangent la conturul suprafeei n partea inferioar (y0 = - h/2):

6h

hbh12

hb2

hAI2y

yAI

2h

2hy

3

zF

F

z0

=

=

=

==

1.3.1-2d

Punnd condiii ca axa neutr s fie tangent la conturul suprafeei i n alte puncte se obin alte coordonate pentru punctul de aplicaie al forei F. Forma i mrimea smburelui central obinute pentru suprafaa dreptunghiular sunt prezentate n Fig.1.3.1-1. 1.3.2 Smburele central pentru suprafaa circular Se vor studia aceleai cazuri ale poziiei axei neutre fa de conturul exterior a suprafeei i se utilizeaz aceleai relaii care s-au folosit i la suprafaa dreptunghiular. Poziiile axei neutre la suprafaa circular de diametru d pentru cele patru cazuri sunt prezentate n Fig.1.3.2-1.

16

y

d/4

Cazul ICazul II

Cazul III

Cazul IV

Smburele central

z

d

Fig.1.3.2-1 Cazul I:

8d

d4d

64d2

dAI2

z

zAI

2d

2dz

2

4

yF

F

y0

=

=

=

==

1.3.2-1a

Cazul II:

8d

d4d

64d2

dAI2

z

zAI

2d

2dz

2

4

yF

F

y0

=

=

=

==

1.3.2-1b

Cazul III:

8d

d4d

64d2

dAI2y

yAI

2d

2dy

2

4

zF

F

z0

=

=

=

==

1.3.2-1c

Cazul IV:

17

8d

d4d

64d2

dAI2

y

yAI

2d

2dy

2

4

zF

F

z0

=

=

=

==

1.3.2-1d

Punnd condiia ca axa neutr s fie tangent la suprafa i n alte puncte se obin alte valori pentru coordonatele punctului de aplicaie al forei F. n cazul seciunii circulare se obine tot valoarea d/8, ceea ce nseamn c pentru suprafaa circular smburele central este o suprafa circular de diametru d/4 n jurul centrului de greutate. Forma i mrimea smburelui central pentru suprafaa circular sunt prezentate n Fig.1.3.2-1. 1.3.3 Smburele central la suprafaa I simetric Ca i la suprafaa dreptunghiular se pot considera patru tangente la contur (Fig.1.3.3-1), rezultnd patru cazuri.

1

y

z

Cazul III

Cazul II Cazul IV

Cazul I

22

1

h

b

Fig.1.3.3-1 Cazul I i II:

bAI2

zzA

I2b

2bz yF

F

y0

=

== 1.3.3-1a

Punctele de aplicaie ale forei F sunt punctele 2, respectiv 2 (Fig.1.3.3-1). Cazul III i IV:

18

bAI2y

yAI

2h

2hy zF

F

z0

=

== 1.3.3-1b

Punctele de aplicaie ale forei F sunt punctele 1, respectiv 1 (Fig.1.3.3-1). Ca i la seciunea dreptunghiular, rezult c forma smburelui central este rombul 1212 (Fig.1.3.3-1). 1.3.4 Tensiuni normale extreme n seciune, exprimate funcie de limitele smburelui central

Pentru anumite elemente de rezisten solicitate la compresiune cu ncovoiere, este avantajos ca tensiunile extreme (maxime, respectiv minime) s fie determinate prin reducerea forei normale n raport cu limitele smburelui central al suprafeei i nu n raport cu centrul de greutate, aa cum se procedeaz n mod curent.

S considerm o suprafa simetric n raport cu axa Gy, iar punctul de aplicaie B al forei normale este situat pe aceast ax (Fig.1.3.4-1).

y

z

max

min

N/A BG

eh2

h1

y2

y1

Fig.1.3.4-1

Punctele extreme (limit) ale smburelui central al suprafeei pe axa de simetrie Gy sunt la distanele h1, respectiv h2 de axa Gz, iar fora normal are excentricitatea GB = e (Fig.1.3.4-1) Fora normal F redus n centrul de greutate al suprafeei, conduce la eforturile:

N = F , Miz = F e 1.3.4-1 Dac se consider fora normal F de ntindere (la compresiune se va considera cu semnul -), tensiunile extreme se determin cu relaiile cunoscute:

19

2

z

izmin

1z

izmax

yI

MAN

yI

MAN

=

+=

1.3.4-2

innd seama de expresia momentului ncovoietor Miz i c Iz = iz2 A, tensiunile extreme (relaiile 1.3.4-2) pot fi scrise i sub forma:

=

=+=

+

=

+

=+=

eyi

IyN

IyeN

IiNy

IM

AN

eyi

IyN

IyeN

IiNy

IM

AN

2

2z

z

2

z

2

z

2z

2z

izmin

1

2z

z

1

z

1

z

2z

1z

izmax

1.3.4-3

innd acum seama de relaiile (1.2-6a,b) care conduc la stabilirea limitelor smburelui central (punctul de aplicaie al forei) se poate scrie:

12

2z

1

2z

2

212z

2

2z

1

yhiyih

yhiyih

==

==

1.3.4-4

care nlocuite n relaiile 1.3.4-3 conduc la:

( ) ( )

( ) ( )ehW

NehI

yN

ehWNeh

IyN

yz

yz

=

=

+=+

=

112

min

221

max

2

1

1.3.4-5

Dac se noteaz:

( )( ehNM

ehNM

h

h

= )+=

1

2

2

1 1.3.4-6

care sunt momentele forei normale F n raport cu punctele limit ale smburelui central al suprafeei de pe axa de simetrie Gy, rezult c tensiunile extreme din seciune se pot calcula cu relaiile:

20

2

2

1

1

y

hmin

y

hmax

WM

WM

=

=

1.3.4-7

Aceste relaii sunt asemntoare cu cele de la solicitarea de ncovoiere.

1.4 TEORII DE REZISTEN. NCOVOIERE CU TORSIUNE 1.4.1 Teorii de rezisten La solicitarea simpl de ntindere sau compresiune, tensiunea principal 1 care poate avea teoretic orice valoare, conduce la rupere atunci cnd se atinge starea limit 1 = r (rezistena la rupere). La solicitarea pe dou direcii, tensiunile principale 1 i 2, pot avea de asemenea o infinitate de valori. Este util de tiut la ce valori sau la ce combinaie ale celor dou tensiuni principale, se atinge starea limit, se produce ruperea. n decursul anilor, cercettorii au ncercat s dea un rspuns acestei probleme, care s poat fi confirmat i de cercetarea experimental. Astfel, ntre tensiunile principale s-au stabilit o serie de relaii matematice, corespunztoare atingerii strii limit. Aceste relaii sunt cunoscute sub diferite denumiri: teorii de rupere, teorii de rezisten, teorii ale strilor limit. Deoarece relaiile respective sunt stabilite pe baza Teoriei Elasticitii, extinderea lor pn la rupere este incorect. Din acest motiv denumirea de teorii de rupere este improprie, mai potrivite sunt denumirile de teorii de rezisten sau teorii ale strilor limit. Noi le vom numi teorii de rezisten. Ca stare limit se va considera atingerea unei anumite caracteristici de material: limita de elasticitate, limita de proporionalitate, limita de curgere sau rezistena admisibil, pn la care se pot utiliza relaiile teoriei elasticitii. Cea mai utilizat limit este limita de elasticitate e, care poate fi nlocuit dup caz cu p, c, a. Formularea teoriilor de rezisten se bazeaz pe observaia c, la ntinderea simpl, atingerea limitei de elasticitate poate fi constatat cantitativ, prin atingerea uneia dintre mrimile:

tensiunea de ntindere, e alungirea, e = e / E tensiunea tangenial pe seciunea nclinat la 450 (tensiunea

tangenial maxim), e = e / 2 energia specific de deformaie, Ud = e2 / 2E

21

energia specific modificatoare de form, Udf = (1+)e2 / 3E. Dup cum se poate constata, teoriile de rezisten stabilesc relaii ntre tensiunile principale 1, 2, 3 care conduc la atingerea uneia sau alteia dintre cele cinci mrimi ale strilor limit. Cu aceste relaii se stabilete o tensiune echivalent ech a strii de tensiune (plan sau spaial), care permite compararea cu tensiunea corespunztoare strii limit de la solicitarea de ntindere simpl, e. Pentru calculul de rezisten se utilizeaz criteriul strii limit: aech 1.4.1-1 n funcie de tensiunile principale, cele cinci teorii de rezisten prezint urmtoarele relaii:

Teoria I (teoria tensiunii normale maxime) Conform acestei teorii, starea limit se atinge atunci cnd tensiunea

principal maxim din corp, atinge valoarea tensiunii corespunztoare strii limit de la solicitarea de ntindere simpl:

1echI

e1

==

1.4.1-2

Teoria a II-a (teoria deformaiei specifice maxime) Conform acestei teorii, starea limit se atinge atunci cnd lungirea

specific (alungirea) maxim din corp, atinge valoarea lungirii specifice (alungirii) corespunztoare strii limit de la solicitarea de ntindere simpl: ( )[ ] ee321max E

1E1

==+= 1.4.1-3a

Tensiunea echivalent pentru teoria a II-a de rezisten este: ( )321echII += 1.4.1-3b

Teoria a III-a de rezisten (teoria tensiunii tangeniale maxime) Conform acestei teorii, starea limit se atinge atunci cnd tensiunea

tangenial maxim atinge valoarea tensiunii tangeniale corespunztoare strii limit de la solicitarea de ntindere simpl:

31echIII

e31max 22

=

=

=

1.4.1-4

22

Teoria a IV-a (teoria energiei specifice totale de deformaie) Conform acestei teorii, starea limit se atinge atunci cnd energia

specific de deformaie este egal cu energia de deformaie specific corespunztoare strii limit de la ntinderea simpl:

( ) ( )E2EE2

1 2e133221

23

22

21

=++

++ 1.4.1-5a

de unde rezult: ( ) ( )133221232221echIV 2 ++++= 1.4.1-5b

Teoria a V-a (teoria energiei specifice modificatoare de form) Conform acestei teorii, starea limit se atinge atunci cnd energia de deformaie specific modificatoare de form este egal cu energia de deformaie specific modificatoare de form corespunztoare strii limit de la solicitarea de ntindere simpl:

( ) ( ) ( )[ ] 2e213232221 2E61

E61

+

=+++

1.4.1-6a

de unde se obine:

( ) ( ) ( ) ][21 2

132

322

21 ++= echV 1.4.1-6b

Pentru starea plan de tensiune (3 = 0), tensiunea echivalent pentru cele cinci teorii de rezisten, capt urmtoarea form:

2122

21

2122

21

21

21

1

2

+=

+=

==

=

echV

echIV

echIII

echII

echI

1.4.1-7

23

n cazul particular al elementelor de rezisten la care exist numai tensiuni normale n lungul axei longitudinale i tensiuni tangeniale n planul seciunii, tensiunile principale 1,2 au expresiile cunoscute:

222,1 421

2+

= 1.4.1-8

care nlocuite n relaiile 1.4.1-7, conduc pentru acestea la urmtoarea form:

a22

echI 421

2++

= 1.4.1-9a

aechII ++=

22 465,035,0 1.4.1-9b a

22echIII 4 += 1.4.1-9c

a

22echIV 6,2 += 1.4.1-9d

a

22echV 3 += 1.4.1-9e

Cercetrile experimentale au demonstrat c pentru materialele tenace rezultate mai apropiate de cele reale dau teoria a III-a i a V-a de rezisten, iar pentru materialele fragile, teoria a II-a de rezisten. Ca urmare, dintre relaiile 1.4.1-9 utilizate n calculele de rezisten, se vor alege cele mai potrivite materialului din care sunt realizate elementele respective. 1.4.2 ncovoierea cu torsiune ncovoierea cu torsiune este una dintre cele mai ntlnite solicitri compuse. n special este ntlnit n cazul arborilor. La aceast solicitare, cele dou eforturi produc tensiuni de natur diferit: momentul ncovoietor tensiuni normale ; momentul de torsiune tensiuni tangeniale . nseamn c solicitarea de ncovoiere cu torsiune este o solicitare compus de categoria a II-a. Pentru acest tip de solicitare compus, calculul de rezisten se face pe baza teoriilor de rezisten (relaiile 1.4.1-9) care impun calculul tensiunii echivalente. Prima etap de calcul impune determinarea separat a tensiunilor normale , respectiv tangeniale . Aceste tensiuni pot rezulta de la solicitri simple sau de la solicitri compuse (de categoria I):

24

Tensiunile normale care pot aprea, sunt:

AN

= 1.4.2-1a

WM i= 1.4.2-1b

WM

AN i+= 1.4.2-1c

iar cele tangeniale:

IbST

f

= 1.4.2-2a

t

t

p

tt W

Msau

WM

== 1.4.2-2b

tfrez += 1.4.2-2c n calculul care se efectueaz se va ine seama de orientarea i sensul (semnul) tensiunilor din punctul considerat. n cazul arborilor de seciune circular, solicitai la ncovoiere i torsiune, introducnd expresiile tensiunilor (relaiile 1.4.2-1b, respectiv 1.4.2-2b) n expresiile tensiunii echivalente pentru cele cinci teorii de rezisten (relaiile 1.4.1-9), acestea capt forma (funcie de eforturi):

(I) ( )

a

2t

2ii

WMMM5,0

++

1.4.2-3a

(II) a2t

2ii

WMM65,0M35,0

++

1.4.2-3b

(III) a2t

2i

WMM

+

1.4.2-3c

25

(IV) a2t

2i

WM65,0M

+

1.4.2-3d

(V) a2t

2i

WM75,0M

+

1.4.2-3e

Relaiile 1.4.2-3 utilizate pentru calculul de rezisten la solicitarea compus de ncovoiere cu torsiune, seamn cu relaia de la ncovoiere simpl, dac expresia de la numrtor care este o combinaie ntre momentul ncovoietor Mi i cel de torsiune Mt, poate fi considerat un moment echivalent (nici ncovoietor nici de torsiune). Aadar, calcul de rezisten pentru solicitarea compus de ncovoiere cu torsiune, poate fi fcut pe baza unei relaii generale de forma:

aech

WM

(...) 1.4.2-4

unde: Mech() reprezint expresia momentului echivalent, corespunztor uneia dintre teoriile de rezisten W modulul de rezisten al seciunii transversale (pentru seciunile circulare acesta poate fi oricare, inclusiv Wz). Din relaiile 1.4.2-3 rezult expresiile momentului echivalent corespunztor celor cinci teorii de rezisten:

(I) ( )2t2iiechI MMM5,0M ++= 1.4.2-5a (II) 2t

2iiechII MM65,0M35,0M ++= 1.4.2-5b

(III) 2t

2iechIII MMM += 1.4.2-5c

(IV) 2t

2iechIII M65,0MM += 1.4.2-5d

(V) 2t

2iechIII M75,0MM += 1.4.2-5e

Dup cum se poate constata, n calculul arborilor de seciune circular solicitai la ncovoiere i torsiune, efectul forei tietoare a fost neglijat.

26

Calculul de dimensionare la solicitarea compus: axial, ncovoiere i torsiune, este destul de dificil din punct de vedere al rezolvrii ecuaiei care se obine. Din acest motiv, la aceste solicitri, calculul de dimensionare se efectueaz pe baza solicitrii de ncovoiere i torsiune, dup care se efectueaz un calcul de verificare cu dimensiunea obinut de data aceasta la solicitarea compus iniial. Dac este nevoie se modific dimensiunea obinut iniial, pn cnd condiia de verificare este ndeplinit.

1.5 APLICAII Aplicaia 1.5.1. Pentru bara de font din Fig.1.5.1-1 se cere:

a) fora capabil pentru at = 30 MPa i ac = -90 MPa, a = 200 mm b) diagrama de variaie a tensiunii normale n seciunea periculoas.

60

120

2aF a

2F

Fig.1.5.1-1 Rezolvare: Etapele de rezolvare a elementelor de rezisten supuse la solicitri compuse sunt prezentate ntr-o alt lucrare a autorului. Mai nti se reduc forele aplicate n centrul de greutate al seciunii n care ele acioneaz i torsorul de reducere obinut se pune pe bara reprezentat numai prin axa sa geometric (Fig.15.1-2).

2a

a

Miy = 2F 30 F

2F

Miz = 2F 60

27

Cu ncrcarea din Fig.1.5.1-2, se traseaz diagramele de eforturi (toate n afara celui tietor care la astfel de bare se neglijeaz). Diagramele rezultate sunt prezentate n Fig.1.5.1-3.

Fig.1.5.1-2

60F

400F

120F

2F

2F +

Mi N Fig.1.5.1-3 Analiznd diagramele de eforturi se constat c seciunea periculoas este n ncastrare, unde acioneaz eforturile:

==

=

F60MF520M

F2N

iy

iz

Toate cele trei eforturi produc tensiuni normale, ceea ce nseamn c n seciunea periculoas se realizeaz o solicitare compus de categoria I. Problema este de efort capabil i trebuie determinate punctele cele mai ntinse, respectiv cele mai comprimate. Studiind semnul tensiunii normale produs de fiecare efort existent n seciunea periculoas, rezult c punctul cel mai solicitat la ntindere este punctul T, iar cel mai solicitat la compresiune, punctul C (Fig.1.5.1-4). T

30 MPa

axa neutr

- 26,33 MPa

C+

Fig.1.5.1-4

28

Relaiile de calcul utilizate sunt cele de la solicitarea compus de

categoria I (relaiile 1.2-10), care particularizate pentru punctul T, respectiv C, au forma:

9030

IF6060

IF520

AF2

3030I

F6060I

F520AF2

yzCcmax

yzTtmax

=

==

=

+

+==

Din relaiile anterioare rezult valorile pentru fora capabil:

( ) KN32,6F,FminF

KN8,21F

KN32.6F

''cap

'capcap

''cap

'cap

==

Pentru punctul b), trebuie determinat poziia axei neutre. Tieturile axei neutre cu direciile principale de inerie ale seciunii transversale, se calculeaz cu relaiile 1.2-8a,b:

mm6,4

MN

AIy

mm10MN

AI

z

iz

z0

iy

y0

==

==

Caracteristicile geometrice (A, Iz, Iy) pentru suprafaa dreptunghiular sunt destul de uor se determinat. Poziia axei neutre (atenie la primul cadran) i sensul pozitiv al direciilor principale sunt prezentate n Fig.1.5.1-4. Ducnd paralele la axa neutr prin punctele cele mai ndeprtate de aceasta (trec prin aceleai puncte T i C), se poate trasa diagrama de variaie a tensiunii normale (vezi Fig.1.5.1-4). La valoarea forei capabile obinute, trebuie determinat tensiunea maxim la compresiune (cea din punctul C):

MPa33,2630I

1032,66060I

1032,6520A

1032,62

y

3

z

33

Ccmax =

==

29

Aplicaia 1.5.2. Pentru bara cu forma, dimensiunile i ncrcarea din Fig.1.5.2-1, se cere:

a) verificarea barei pentru a = 150 MPa b) diagrama de variaie a tensiunii normale n seciunea periculoas.

yG = 25 mm

20

F = 30 KN 40

20

40

Fig.1.5.2-1 Rezolvare: Pentru a putea reduce fora F, trebuie determinat poziia centrului de greutate al seciunii transversale. Poziia centrului de greutate yG este prezentat n Fig.1.5.2-1. Componentele torsorului de reducere sunt prezentate n Fig.1.5.2-2a iar diagramele de eforturi pentru bar, n Fig.1.5.2-2b,c.

N

Miy = 20 F

Miz = 25 F

F

F

Miz = 25 F

Mi

+

Miy = 20 F

a) b) c)

Fig.1.5.2-2

30

Toate seciunile sunt la fel de periculoase. n seciunea periculoas acioneaz eforturile: N = F Miz = 25 F Miy = 20 F deci, o solicitare compus de categoria I. Analiznd semnul tensiunii normale produs de fiecare efort n seciune, rezult punctul T ca fiind cel mai solicitat la ntindere, respectiv C la compresiune (Fig.1.5.2-3).

y

C

T

T = 146,7 MPa

axa neutr

C = -79,35 MPa

z

Fig.1.5.2-3 Tensiunile extreme sunt:

acyz

Ccmax

atyz

Ttmax

MPa35,7910I

F2035

IF25

AF

MPa7,14620I

F2025

IF25

AF

mm33,12MI

ANy

iz

z0 ==

Poziia axei neutre, variaia tensiunii normale i valorile extreme ale acesteia sunt prezentate n Fig.1.5.2-3. Aplicaia 1.5.3. Pentru grinda circular din Fig.1.5.3-1, se cere:

a) fora capabil, pentru a = 150 MPa b) diagrama de variaie a tensiunii normale n seciunea periculoas.

F

a = 1 m

4a 2a

d = 40 mm Fig.1.5.3-1 Diagramele de eforturi (N i Mi) sunt prezentate n Fig.1.5.3-2a,b.

a)

Fa/3

Fa/3

F N Mi 2Fa/3 b) Fig.1.5.3-2 Seciunea periculoas este la mbinarea barei orizontale cu cea vertical. Eforturile din aceast seciune sunt:

32

3

aF2M

FN

iz =

=

deci, solicitare compus categoria I, dar cu un singur moment ncovoietor. Punctele cele mai solicitate sunt prezentate n Fig.1.5.3-3.

T

C

y0

z Axa neutr

ac

t Fig.1.5.3-3 Dintre cele dou puncte, mai solicitat este punctul C, unde tensiunea normal este:

acmaxz

max yI

aF32

AF

==

Dac se are n vedere c A = 4 102 mm2, Iz = 4 104 mm4, ymax = 20 mm, rezult valoarea forei capabile: Fcap = 1,4 KN Axa neutr n acest caz, intersecteaz numai direcia principal Gy (este paralel cu Gz) la distana:

mm15,0MI

ANy

iz

z0 ==

Poziia axei neutre i variaia tensiunii normale pe seciunea transversal a barei sunt prezentate n Fig.1.5.3-3.

33

Aplicaia 1.5.4. Pentru bara de seciune dreptunghiular din Fig.1.5.4-1, se cere:

a) tensiunile maxime la ntindere, respectiv la compresiune b) diagrama de variaie a tensiunii normale n seciunea periculoas.

Se cunosc: F1 = 10 KN, F2 = 20 KN, F3 = 30 KN, a = 100 mm, b = 200 mm, h = 300 mm. Rezolvare Torsorul de reducere al forelor exterioare este prezentat n Fig.1.5.4-2a, iar diagramele de eforturi corespunztoare n Fig.1.5.4-2b,c.

F2F3a/4

h

a b

Fig.1.5.4-1

F3 a/4 + F2 h

F3 a/4

F3 b/2 + F1 h

F3 b/2

F3

F3F3 b/2

F3 a/4 F3

F2

F1

F1

N Mi c) a) b)

Fig.1.5.4-2

34

Seciunea periculoas este n nepenire, unde eforturile au valorile:

hF4aFM

hF2bFM

FN

23iy

13iz

3

+=

+=

=

Punctele cele mai solicitate din seciunea periculoas (T, respectiv C) sunt indicate n Fig.1.5.4-3.

z

axa neutr

-90 MPa

75 MPay

T

C

Fig.1.5.4-3 Tensiunea normal din punctele T, respectiv C, se calculeaz cu relaiile:

2a

IM

2b

IM

AN

2a

IM

2b

IM

AN

y

iy

z

izCcmax

y

iy

z

izTtmax

==

++==

innd seama de valoarea mrimilor din relaiile anterioare i c A = 200 cm2, Iz = 6666,6 cm4, Iy = 1666,6 cm4 , pentru cele dou puncte rezult valorile:

MPa90MPa75

Ccmax

Ttmax

==

Tieturile axei neutre sunt:

35

mm2,22

MN

AI

y

mm7,3MN

AI

z

iz

z0

iy

y0

=

=

Poziia axei neutre i variaia tensiunii pe seciune sunt prezentate n Fig.1.5.4-3. Aplicaia 1.5.5. Pentru bara de seciune inelar din Fig.1.5.5-1, se cere:

a) dimensiunile (d, D) ale seciunii transversale pentru a = 60 MPa i k = d/D = 0,8 unde: d diametrul interior, D diametrul exterior. La nevoie se va utiliza teoria a V-a de rezisten.

10 F

10 D F = 12 KN Fig.1.5.5-1 Rezolvare Torsorul de reducere al forelor exterioare i diagramele de eforturi sunt prezentate n Fig.1.5.5-2a, iar diagramele de eforturi aferente, n Fig.1.5.5-2b,c,d.

10 F

b)

N Mt

F D/2

10 F

5 FD

Mi

F D/2

5 FD

10 F D/2 F

F D/2

a) c)10 F Fig.1.5.5-2

36

Sunt dou seciuni la fel de periculoase, iar eforturile din aceast seciune sunt:

2DFM

DF5MKN120F10N

t

iz

=

===

Rezult c n seciunea periculoas se realizeaz o solicitare compus de categoria a II-a (traciune, ncovoiere. torsiune). Calculul de rezisten impune determinarea unei tensiuni echivalente, care necesit o teorie de rezisten. n enunul problemei se indic teoria a V-a de rezisten. Se poate lucra n tensiuni sau cu momentul echivalent (MechV). Optm pentru prima variant:

arezechV =+=22 3

unde

p

t

z

izrez

WM

WM

AN

=

+=

Condiia de rezisten dup teoria a V-a este atunci:

( ) ( ) ( )a

2

43

2

43

22

k116D

2DF

k132D

FD5

k14D

F10=

+

+

+

Dup rezolvarea ecuaiei de mai sus i innd seama de valoarea mrimilor care intervin, se obin dimensiunile seciunii transversale: D = 157 mm d = 125 mm

37

Aplicaia 1.5.6. Dou roi de greutate G1 i G2 sunt montate pe un arbore de seciune circular, ca n Fig.1.5.6-1a. Utiliznd ipoteza tensiunilor tangeniale maxime, s se determine diametrul arborelui (d), cunoscnd: a = 80 MPa i G1 = G2 = 100 daN.

BA

37.500

G1 = 100 daN

F + G2

F D/2

F D/2 G1

F

10.500

3.000 F + G2 = 600 daN

7.500 15.000F = 500 daN

d

400400 300

D = 1,5 mD

F

F = 500 daN a) b) MiH c)

[daN cm] MiV d) [daN cm]

[daN cm]

Mt e) Fig.1.5.6-1 Rezolvare n Fig.1.5.6-1b se prezint torsorul de reducere al forelor exterioare, iar n Fig.1.5.6-1c,d diagramele momentului ncovoietor produs de forele care acioneaz n plan orizontal, respectiv plan vertical. Diagrama momentului de torsiune este prezentat n Fig.1.5.6-1e.

38

Dup o analiz a variaiei eforturilor rezult c seciunea periculoas este n reazemul A, unde momentul ncovoietor rezultant are cea mai mare valoare. n seciunea periculoas se realizeaz o solicitare compus de categoria a II-a, de ctre eforturile:

cmdaN500.37McmdaN000.3McmdaN000.15M

t

iV

iH

===

Momentul ncovoietor rezultant din seciunea A, este:

cmdaN300.15MMM 2iV2iHiArez =+=

iar momentul echivalent din aceiai seciune, dup teoria a III-a de rezisten este: cmdaN500.40MMM 2tiArezechIII =+= Condiia de rezisten dup teoria a III-a de rezisten i problem de dimensionare este:

mm81M32d

M32

dMW

3

a

echIII

a

echIII3

a

echIIIznec

=

=

=

Aplicaia 1.5.7. S se dimensioneze bara cotit de seciune circular din Fig.1.5.7-1 dup teoria a V-a de rezisten dac se cunosc: a = 150 MPa, F = 15 KN, a = 200 mm.

F

2F

2a

a

a

Fig.1.5.7-1

39

Rezolvare Pentru acest sistem nu este nevoie de nici o reducere a forelor exterioare, deoarece ele sunt fixate pe axa longitudinal a barei cotite. Diagramele de eforturi sunt prezentate n Fig.1.5.7-2a,b,c. Fa

Fa Mt

Fa

2F

2F

N

Fa

Fa

Fa

Fa

2Fa

Mi

c) b)a) Fig.1.5.7-2 Seciunea periculoas este n capetele barei de lungime 2a, unde acioneaz eforturile:

aFMaFM

aFMFN

t

iV

iH

===

=2

2

Solicitarea din seciunea periculoas este compus, de categoria a II-a. Pentru dimensionare se neglijeaz efortul axial N. Dimensionarea se face atunci numai la ncovoiere oblic i torsiune unde se calculeaz o tensiune echivalent. Se impune n enun teoria a V-a de rezisten. Mai nti se calculeaz momentul ncovoietor rezultant maxim: 222iV

2iH

2irez aF5MMM =+=

iar momentul echivalent dup teoria a V-a de rezisten este: aF75.5M75,0MM 2t

2irezechV =+=

Relaia de dimensionare corespunztoare acestui caz este:

40

mm80M32d 3

a

echV

=

Deoarece la dimensionare s-a neglijat efortul axial, dup determinarea prin rotunjire a dimensiunii seciunii transversale, se impune o verificare a condiiei de rezisten innd seama i de efortul axial. Numai dup ndeplinirea condiiei de rezisten la toate eforturile se poate accepta dimensiunea determinat (eventual modificat). Pentru cazul prezentat, dimensiunea obinut satisface condiia de rezisten innd seama i de efortul axial.

Observaie: La toate exemplele prezentate nu s-a pus un accent deosebit pe calculul numeric. A interesat n mod deosebit nsuirea modului de abordare i a etapelor ce trebuie parcurse n vederea rezolvrii acestor tipuri de problem.

Acest principiu va fi aplicat i n cazul exemplelor care vor fi prezentate n capitolele urmtoare.

41

42

2. METODE PENTRU CALCULUL DEPLASRILOR

2.1 CONSIDERAII GENERALE Pentru un element de rezisten solicitat la ncovoiere condiia de rezisten este primordial. De foarte multe ori satisfacerea acesteia nu este suficient pentru buna funcionare a elementului (piesei) respectiv. n acest sens, este necesar i un calcul al deformaiilor acestuia. n acest studiu se cerceteaz forma pe care o ia dup ncovoiere (deformare) axa geometric a elementului de rezisten. Aceast ax (linie) poart numele de fibr medie deformat. n cazul ncovoierii, o seciune transversal, sufer o deplasare (Fig.2.1-1), care n funcie de sensul n care se produce, poart diferite denumiri:

x deplasare axial, care fiind mic n general se neglijeaz y = v deplasare vertical (transversal) sau sgeat - deplasare unghiular (rotire) Dac deplasarea axial x se neglijeaz, rezult c = (Fig.2.1-2). Deci, o seciune a unei bare ncovoiate sufer dou deplasri: v deplasare liniar numit i sgeat

x

y = v

1

1

Fig.2.1-1

v

Fig.2.1-2

fibra medie deformat

F

F

43

- deplasare unghiular numit i rotire. Studiul deformaiilor barei const n a cunoate funciile: v = f1(x) i = f2(x) 2.1-1 pentru orice seciune a acesteia. ntr-un sistem de axe ca cel din Fig.2.1-3, rezult c

dxdv

= 2.1-2

ntruct deformaiile sunt mici se poate considera c tg . Aceast egalitate poate fi acceptat numai pentru barele cu deformaii relativ mici, excluzndu-se cele cu deformaii mari (arcul spiral, lamele elastice etc.).

2.2 METODE CLASICE PENTRU CALCULUL DEPLASRILOR BARELOR DREPTE SOLICITATE LA NCOVOIERE

Pentru calculul celor dou deplasri produse la solicitarea de ncovoiere a

barelor drepte, s-au dezvoltat mai multe metode. n continuare se vor prezenta cteva dintre acestea, de fapt cele mai utilizate.

2.2.1 Metoda dublei integrri (Metoda ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate)

Se consider c ntr-o seciune curent x fibra medie deformat a barei are raza de curbur (a se vedea ncovoierea simpl), a crei expresie n geometria diferenial este de forma urmtoare:

22

23

2

2

2

dxvd

dxdv1

dxvd

1

+

= 2.2.1-1

x

y Fig.2.1-3

44

De la studiul ncovoierii pure s-a vzut c ntre raza de curbur a fibrei medii, momentul ncovoietor Mi i rigiditatea barei EI exist relaia:

z

iz

iz

z

IEM1

MIE

=

= 2.2.1-2

Din relaiile 2.2.1-1 i 2.2.1-2 se obine:

z

iz2

2

IEM

dxvd

= 2.2.1-3

Cu sistemul de axe din Fig.2.1-3 derivata de ordinul doi v a sgeii este negativ, iar momentul ncovoietor este pozitiv. Rezult c relaia 2.2.1-3 capt forma final:

z

iz2

2

IEM

dxvd

= 2.2.1-4

Derivnd nc de dou ori relaia 2.2.1-4, se obine:

z

y

z

iz3

3

IET

IEM

dxd

dxvd

=

= 2.2.1-5a

zz

y

z

y4

4

IEp

IEp

IET

dxd

dxvd

=

=

= 2.2.1-5b

Integrnd o dat ecuaia fibrei medii deformate (relaia 2.2.1-4) se obine rotirea seciunii :

+== 1z

iz CdxIE

Mdxdv

2.2.1-6a

iar integrnd din nou se obine sgeata v:

++

= 21

z

iz CxCdxdxIE

Mv 2.2.1-6b

45

unde C1 i C2 sunt dou constante de integrare care se determin din condiiile de rezemare i de continuitate la trecerea de la un interval la altul. Astfel:

pe reazeme simple

0i0v = 2.2.1-7a

n nepeniri

0i0v == 2.2.1-7b Pentru calculul deplasrilor produse la ncovoiere prin aceast metod, se indic parcurgerea urmtoarelor etape:

se scriu funciile momentului ncovoietor pe fiecare interval caracteristic al barei

se scrie ecuaia fibrei medii deformate pentru fiecare interval se integreaz o dat aceast ecuaie i se obine expresia rotirii se mai integreaz o dat relaia obinut i rezult expresia pentru sgeata v

se pun toate condiiile de rezemare i de continuitate de la un interval la altul i se obin constantele de integrare

se scriu expresiile finale pentru deplasri pe fiecare interval se calculeaz deplasrile cerute.

Atenie: Fiecare interval caracteristic introduce dou constante de integrare. Acest lucru constituie un mare inconvenient pentru metoda dublei integrri. Aplicaie: Pentru bara de rigiditate constant din Fig.2.2.1-1 s se calculeze deplasarea (sgeata) maxim i rotirea (deplasarea unghiular) pe reazeme. Rezolvare Pentru aceast bar se delimiteaz dou intervale caracteristice: 1-2 i 2-3.

F

F/2 F/2

1 2 3

a/2 a/2

Fig.2.2.1-1

x1 x2

46

Se rezolv problema n paralel pe cele dou intervale, urmndu-se etapele de rezolvare recomandate la finalul prezentrii acestei metode. Intervalul 1-2 Intervalul 2-3

42322

3221

31

32221

21

21

22223112

CxCx8aFx

12FvIECxCx

12FvIE

Cx4aFx

4FIECx

4FIE

4aFx

2F''vIEx

2F''vIE

4aFx

2FxFx

2a

2FMx

2FM

++=++=

+=+=

==

+=

+==

)2(0C0

)1(0C96aC48Fa2

0v0v0C0v0x

30x

433

2/ax321

2

2

===++

=====

=

=

Condiia de continuitate la trecerea de la un interval la altul (seciunea 2) este: 00x2/ax 21 == ==

Din relaia (1) innd seama de (2), se obine:

48aF

C3

4 =

iar condiia de continuitate conduce la

16aFC

2

1 =

Constantele de integrare fiind determinate, relaiile pentru deplasri

corespunztoare celor dou intervale caracteristice au forma final: Pentru intervalul 1-2:

47

1

231

221

x16aFx

12FvIE

16aF

x4FIE

+=

+=

iar pentru intervalul 2-3:

48aFx

8aFx

12FvIE

x4aFx

4FIE

322

32

222

+=

=

Acum se pot calcula deplasrile solicitate:

z

2

2/ax0x31

z

3

0x2/axmax

IE16aF

IE48aF

vvv

21

21

====

===

==

==

2.2.2 Metoda parametrilor iniiali (metoda parametrilor n origine)

Cnd n lungul barei exist mai multe intervale (multe expresii pentru momentul ncovoietor), metoda dublei integrri devine dificil, din cauza multor constante de integrare (dou pentru fiecare interval). n continuare se prezint o metod universal pentru calculul deplasrilor unei bare drepte de rigiditate constant, numit metoda parametrilor iniiali (metoda parametrilor n origine) sau metoda Macaulay. n aceast metod intervin numai dou constante de integrare i anume: valorile iniiale (n origine) ale sgeii i rotirii. Se consider o bar dreapt (Fig.2.2.2-1) la care nu se precizeaz modul de rezemare.

a

b

c

d

x

x

x

x

0 1 2 34

5 x

M F p

Fig.2.2.2-1

48

Grinda este ncrcat cu un moment concentrat M, o for concentrat F i o sarcin uniform distribuit p. Fa de originea O a sistemului de referin forele exterioare au coordonatele a, b, respectiv c. Cu d s-a notat distana de la originea sistemului pn la seciunea n care se termin aciunea sarcinii uniform distribuite. Pe cele patru intervale funciile momentului ncovoietor sunt: 0M01 = 2.2.2-1a ( )012 axMM = 2.2.2-1b ( ) ( )1023 bxFaxMM = 2.2.2-1c

( ) ( ) ( )2

cxpbxFaxMM2

1034

= 2.2.2-1d

( ) ( ) ( ) ( )2dxp

2cxpbxFaxMM

2210

45

+

= 2.2.2-1e

Dup seciunea 4 unde sarcina uniform distribuit se termin, se consider

c aceasta ar continua pn la captul barei. n plus se aplic o sarcin egal i de sens contrar cu ea, aa c de fapt practic de la 4 spre dreapta nu mai acioneaz nici o sarcin. Se poate constata c pe fiecare interval, ecuaia de momente este cea de pe intervalul precedent plus un nou termen.

Se integreaz relaiile 2.2.2-1a,b,c,d,e tiind c:

iM''vIE = 2.2.2-2 Toate binoamele din relaiile 2.2.2-1a,b,c,d,e se integreaz sub formele:

( )

( ) ( )

=

=

2bxdxbx

axdxax2

0

2.2.2-3

ceea ce conduce numai la o schimbare a constantelor de integrare. Integrnd o singur dat (relaiile 2.2.2-1) se obin expresiile rotirilor:

101 CEI = 2..2-4a ( ) 212 CaxMEI += 2.2.2-4b

( ) ( ) 32

23 C2bxFaxMEI ++= 2.2.2-4c

( ) ( ) ( ) 432

34 C6cxp

2bxFaxMEI +++= 2.2.2-4d

49

( ) ( ) ( ) ( ) 5332

45 C6dxp

6cxp

2bxFaxMEI +++= 2.2.2-4e

Integrnd nc o dat relaiile 2.2.2-4, se obin expresiile pentru sgei:

1101 DxCvEI += 2.2.2-5a ( )

22

2

12 DxC2axMvEI ++= 2.2.2-5b

( ) ( )33

3

23 DxC6bxF

2axMvEI +++= 2.2.2-5c

( ) ( ) ( )44

432

34 DxC24cxp

6bxF

2axMvEI ++++= 2.2.2-5d

( ) ( ) ( ) ( )55

4432

45 DxC24dxp

24cxp

6bxF

2axMvEI ++++= 2.2.2-5e

Se noteaz cu 0 rotirea, respectiv cu v0 sgeata, n originea sistemului de coordonate. Scriind relaia rotirii pentru origine (x = 0), rezult: 10 CEI = 2.2.2-6 Scriind prima relaie i a doua a rotirii n seciunea 1 (pentru x = a) care sunt egale (continuitate de la un interval la altul), se obine: ( ) 2121 CCCaaMC =+= 2.2.2-7a La fel, ntre a doua i a treia pentru x = b:

( ) ( ) ( ) 32322 CCCbb2FabMCaxM =++=+ 2.2.2-7b

Procednd mai departe la fel, se obine o relaie ntre constantele de integrare C: 54321 CCCCC ==== 2.2.2-7c Urmnd acelai raionament pentru sgei, se obine n final: 54321 DDDDD ==== 2.2.2-7d Rezult c relaiile pentru deplasri se pot scrie sub o form concentrat (se ncepe cu constantele de integrare):

50

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )24

dxp24

cxp6

bxF2

axMxEIEIvvEI

6dxp

6cxp

2bxFaxMEIEI

4432

00

332

0

+

+

++=

+

++=

2.2.2-8

sau sub o alt form:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

+

++=

+

+

+=

!4dxp

!4cxp

!3bxF

!2axM

EI1vv

!3dxp

!3cxp

!2bxF

!1axM

EI1

4432

00

332

0

2.2.2-9

n relaiile 2.2.2-8, respectiv 2.2.2-9, forele exterioare M, F, p intervin cu semn. Ele au semnul + dac sunt orientate pe bar aa cum sunt orientate pe bara din Fig.2.2.2-1 sau cum se mai prezint n Fig.2.2.2-2. Originea sistemului de referin se alege ntotdeauna n seciunea cea mai din stnga a barei. Constantele de integrare 0 i v0 (care sunt numai dou) se determin din condiiile de rezemare. Dup ce acestea au fost determinate i relaiile pentru deplasri sunt n forma lor final, se poate trece la calculul deplasrilor (sgei sau rotiri) n orice seciune a barei. Trebuie avut n vedere faptul c atunci cnd se determin constantele de integrare sau se calculeaz deplasrile, n relaiile finale intervin numai termenii care provin de la sarcinile situate strict n stnga seciunii respective. De altfel pentru o seciune situat unde acioneaz o sarcin, termenii din relaii au valori nule, iar pentru seciuni situate dup sarcini, termenii sunt negativi (nu se ia n considerare exponentul). Astfel de termeni se elimin (nu se iau n considerare). Aplicaie: Pentru bara dreapt din Fig.2.2.2-3 s se calculeze sgeata i rotirea seciunii 2. Se cunoate EI = 1,4 KN m2.

x

y

M F p

Fig.2.2.2-2

O

51

Rezolvare Se calculeaz reaciunile: V1 = 2,5 KN V2 = 17,5 KN Originea sistemului de referin este n seciunea 1. Nu exist dect numai sarcini concentrate. Relaiile pentru deplasri (relaiile 2.2.2-8) particularizate pentru problema dat sunt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )6

n2xV6

nxF6

0xVxEIvEIvEI

2n2xV

2nxF

20xVEIEI

3

2

33

100

2

2

22

10

+

+=

+

=

n relaiile de mai sus, se avut n vedere c 0 = 1, v0 = v1 iar fora F din

seciunea 4 nu s-a luat n considerare deoarece la calculul deplasrilor nu va avea efect (paranteza va avea valoarea zero). Condiiile la limit pentru calculul parametrilor n origine sunt:

pentru x = 0 v1 = v0 = 0 pentru x = 2 n = 2 m v3 = 0

nlocuind aceste condiii n relaiile deplasrilor, rezult:

( ) ( )

6nn2F

6n2Vn2EI0

33

10

+=

Din aceast relaie se calculeaz rotirea n origine: rad592,010 == Cunoscndu-se acum deplasrile din origine (parametri iniiali) se poate trece la calculul sgeii n seciunea 2. Pentru aceasta n relaia sgeii se ia x = n = 1 m:

F = 10 KN F

V1 = 2,5 KN V2 = 17,5 KN

200

100 n = 1 m n n/2

Fig.2.2.2-3

1 2 3 4

52

( ) ( ) ( )

( )

m2952,0v6

0nVnEI

6n2nV

6nnF

60nVnEIvEI

2

3

10

3

2

33

102

=

=

=

+

=

Pentru calculul rotirii n seciunea 3, n relaia rotirii se consider x = 2n i se obine: rad297,02 =

2.2.3 Metoda grinzii conjugate (reciproce) sau metoda Mohr Se consider o grind simplu rezemat ncrcat cu o sarcin distribuit dup o lege oarecare p(x) ca n Fig.2.2.3-1a. Sub aciunea acesteia, grinda se deformeaz la ncovoiere. Ne propunem s determinm deplasrile (sgeata i rotirea) ntr-o seciune oarecare a acestei bare, seciune poziionat de coordonata x. Pentru grinda dat numit grind real, considerm c am trasat diagrama momentului ncovoietor (Fig.2.2.3-1b). nseamn c se pot scrie urmtoarele relaii (deja cunoscute):

p(x)

x

v a)

b)

Mi(x) pf = Mi(x)

x ??c)

Fig.2.2.3-1

53

( )xMdx

vdEI i22

= 2.2.3-1a

( ) ( )xT

dxxdMi = 2.2.3-1b

( ) ( )xp

dxxdT

= 2.2.3-1c

( ) ( ) ( )xp

dxxdT

dxxMd

2i

2

== 2.2.3-1d

Se consider acum o alt grind numit grind conjugat sau grind reciproc al crui mod de rezemare nc nu se precizeaz i pe care o ncrcm cu sarcina fictiv pf ce variaz dup aceeai lege ca i momentul ncovoietor Mi(x) al grinzii reale (Fig.2.2.3-1c):

( ) ( )xMxp if = 2.2.3-2 Toate mrimile care se vor referi la grinda conjugat vor purta de acum nainte indicele f . Se poate scrie pentru grinda conjugat:

f

f2

if2

ff

fif

pdxdT

dxMd

pdxdT

;Tdx

dM

==

==

2.2.3-3

innd seama de relaia 2.2.3-1a, rezult:

( )

2if

2

2

2

fi2

2

dxMd

dxvdEI

pxMdx

vdEI

=

==

2.2.3-4

Integrnd o dat relaia 2.2.3-4 se obine:

1if C

dxdM

dxdvEI += 2.2.3-5

54

Se pune acum condiia ca grinda conjugat s fie astfel rezemat nct constanta de integrare C1 = 0. Cu aceast condiie, relaia 2.2.3-5 devine:

fif TdxdMEI

dxdvEI === 2.2.3-6

de unde rezult expresia pentru rotire:

z

f

IET

= 2.2.3-7

Integrnd nc o dat relaia 2.2.3-4 (sau relaia 2.2.3-6) se obine expresia sgeii:

z

ifif EI

MvMvEI == 2.2.3-8

i la aceast integrare se impun condiii de rezemare astfel nct constanta de integrare care apare s fie nul. Modurile de rezemare pentru grinzile conjugate ale ctorva grinzi reale, astfel nct constantele de integrare s fie nule sunt prezentate n Fig.2.2.3-2.

GRINDA REAL GRINDA CONJUGAT

= 0 v = 0

0 v 0

0 v = 0

0 v = 0

0 v 0

0 v = 0

0 v = 0

Tf = 0 Mif = 0

Tf 0 Mif 0

Tf 0 Mif = 0

Tf 0 Mif = 0

Tf 0 Mif 0 Tf 0

Mif = 0 Tf 0 Mif = 0

a)

b)

c)

Fig.2.2.3-2

55

n practic se ntlnesc multe situaii cnd barele au seciune variabil (momentul de inerie Iz al seciunii transversale nu este constant n lungul barei). Metoda grinzii conjugate spre deosebire de celelalte metode care au fost prezentate, poate fi utilizat i pentru bare cu seciune variabil. La calculul deplasrilor n acest caz se pornete de la ecuaia fibrei medii deformate, iar domeniile (intervalele) barei se stabilesc att n funcie de sarcinile aplicate ct i de variaia momentului de inerie Iz(x). Aplicnd metoda dublei integrri, ecuaia fibrei medii deformate este:

( )( )xI

xM''vE

z

i= 2.2.3-9

Prin dou integrri succesive se ajunge la expresia rotirii, respectiv a sgeii:

( )( ) += 1zi CdxxIxM

E 2.2.3-10a

( )( ) ++

= 21

z

i CxCdxdxxIxM

vE 2.2.3-10b

Se introduce acum noiunea de moment ncovoietor redus (Mired). De

asemenea, se fixeaz un moment de inerie I0 fa de care se efectueaz convenional o reducere. Momentul de inerie I0 este unul dintre momentele de inerie ale barei, de obicei de pe intervalul corespunztor momentului ncovoietor maxim sau cea mai mic valoare a momentului de inerie de pe bar.

Expresia fibrei medii deformate (relaia 2.2.3-9) se nmulete cu I0 i rezult:

( ) ( ) iredz0

i0 MxIIxM''vEI == 2.2.3-11

Integrnd de dou ori relaia 2.2.3-11 se obine: += 1ired0 CdxMEI 2.2.3-12a ( ) ++= 21ired0 CxCdxdxMvEI 2.2.3-12b n relaiile 2.2.3-11, 2.2.3-12a,b, Mired este momentul ncovoietor redus n raportul momentelor de inerie I0 / Iz(x):

56

( ) ( )xII

xMMz

0iired = 2.2.3-13

Acum deplasrile se calculeaz cu relaiile:

0

if

0

f

IEM

v

IET

=

=

2.2.3-14

Pentru calculul deplasrilor n cazul barelor cu seciune variabil, se parcurg aceleai etape ca i la bara de seciune constant, numai c dup trasarea diagramei momentului ncovoietor se traseaz diagrama momentului ncovoietor redus Mired i grinda conjugat se ncarc cu aceast diagram. Pentru calculul deplasrilor prin metoda grinzii conjugate la barele drepte de seciune constant, se parcurg urmtoarele etape:

se traseaz diagrama de moment ncovoietor pentru grinda real (grinda dat)

se reprezint grinda real fr sarcini (dar cu reazeme) se formeaz grinda conjugat a grinzii reale (vezi cazurile din Fig.2.2.3-2)

se ncarc grinda conjugat cu diagrama momentului ncovoietor al grinzii reale (s-a obinut astfel un sistem fictiv)

pentru calculul deplasrilor ntr-o seciune, de pe sistemul fictiv se determin dup caz fora tietoare fictiv (Tf) sau momentul ncovoietor fictiv (Mif) i se aplic relaiile 2.2.3-7 sau 2.2.3-8.

PAVEL TRIPA - REZISTENA MATERIALELOR

57

Aplicaia nr.1: Pentru grinda de rigiditate constant din Fig.2.2.3-3 s se calculeze 1 i v4.

Rezolvare Diagrama momentului ncovoietor pentru grinda real este trasat prin suprapunere de efecte i este prezentat n Fig.2.2.3-3b. n Fig.2.2.3-3c este prezentat grinda conjugat a grinzii reale. Grinda conjugat este ncrcat cu diagrama de moment ncovoietor obinndu-se sistemul fictiv (Fig.2.2.3-d). Pentru calculul rotirii n seciunea 1 (grinda real) trebuie determinat fora tietoare din seciunea 1f. Aceast for tietoare este tocmai reaciunea Vif din seciunea 1f. Dup calcul se obine:

zz

f

iff

IEap

EIT

paVT

31

1

3

1

2

2

==

==

2pa2 4pa p

a a a

2pa2pa2/2

2pa2

2pa2

2pa2 pa2/2

V1f = pa3/2

1 2 3 4

1f 2f3f 4f

1f 2f 3f 4f

a)

b)

c)

d)

Fig.2.2.3-3

58

Pentru calculul sgeii din seciunea 4 (grinda real) se calculeaz momentul ncovoietor fictiv din seciunea 4f (Mi4f). Pentru exemplul studiat se obine:

z

4

4

4

f4i

IE8apv

8apM

=

=

Aplicaia nr.2: S se calculeze rotirea i deplasarea seciunii 2 pentru bara de rigiditate variabil din Fig.2.2.3-4. Rezolvare Mai nti se traseaz diagrama momentului ncovoietor. i de aceast dat, diagrama momentului ncovoietor se traseaz prin suprapunere de efecte (Fig.2.2.3-5a).

4Fa FIz 2 Iz

1 2

3

a a

Fig.2.2.3-4

4Fa

4Fa

2Fa

Fa/22Fa

Fa

Fa/2Fa/4

1f 2f 3f

a)

b)

c)

59

La acest tip de bar trebuie trasat diagrama de moment ncovoietor redus. Momentul ncovoietor redus se calculeaz n seciunile caracteristice ale barei cu relaia:

z

0iired I

IMM =

Pentru exemplul prezentat s-a considerat c I0 = I (momentul de inerie al primului interval, intervalul 1-2). nseamn c pe acest interval diagrama real a momentului ncovoietor coincide cu cea redus (nu se modific), ns pe intervalul 2-3 aceasta se reduce (se micoreaz). Diagrama momentului ncovoietor redus Mired este prezentat n Fig.2.2.3-5b. Grinda conjugat a grinzii reale este prezentat n Fig.2.2.3-5c. Grinda conjugat ncrcat cu diagrama momentului ncovoietor redus se prezint n Fig.2.2.3-5d, obinndu-se aa numitul sistem fictiv. Acum se pot calcula deplasrile cerute. Pentru calculul acestora este nevoie de calculul cel puin a unei reaciuni. S-a calculat reaciunea din reazemul 3f (Fig.2.2.3-5d). Fora tietoare fictiv din seciunea 2f este:

z

2

0

22

22 EI

aF2411

EIT

Fa2411T f

f===

iar momentul ncovoietor fictiv din aceeai seciune este:

z

3

0

2i2

32i EI

aF2417

EIM

vFa2417M f

f===

4Fa

1f 2f

3f

Fa/2Fa/4

Fa 2Fa

d)

Fig.2.2.3-5

V3f = 5 Fa2 / 6 V1f

60

2.3 METODA SARCINII UNITARE (METODA MOHR-MAXWELL)

n domeniul elastic de solicitare, lucrul mecanic al forelor exterioare este egal cu cel al forelor interioare (eforturilor). Acest principiu este cunoscut sub numele de principiul lui Clapeyron.

Le = Li 2.3-1

unde:

= =

+=n

1i

m

1jjjiie M2

1F21L 2.3-2

cu Fi forele exterioare aplicate Mj momentele exterioare aplicate i deplasrile seciunilor n care acioneaz forele exterioare j rotirile seciunilor n care acioneaz momentele exterioare. Lucrul mecanic al forelor interioare (se neglijeaz efortul tietor) este dat de expresiile deja cunoscute:

=l

iN dxAEN

L0

2

2 2.3-3a

=l

z

iiM dxIE

ML

i

0

2

2 2.3-3b

=l

p

tiM dxIG

ML

t

0

2

2 2.3-3c

Metodele de calcul care se bazeaz pe energia de deformaie sunt metode energetice. n Rezistena Materialelor se cunosc mai multe metode energetice cu ajutorul crora se pot determina deplasrile elementelor de rezisten.

Metoda sarcinii unitare sau metoda Mohr - Maxwell este una dintre aceste metode. Se va studia aceast metod deoarece este o metod relativ simpl i se poate aplica fr restricii deosebite. Ea poate fi aplicat barelor drepte, curbe cu seciune constant sau variabil.

61

2.3.1 Metoda Mohr Maxwell (Metoda sarcinii unitare)

Demonstrarea acestui procedeu din metoda sarcinii unitare se face pentru

o bar dreapt solicitat la ncovoiere. Ne intereseaz pentru nceput sgeata produs ntr-o seciune curent a

grinzii (Fig.2.3.1-1a). Asupra grinzii acioneaz un sistem de fore transversale concentrate F1

Fn care n dreptul lor produc barei deplasrile 1 n (Fig.2.3.1-1a). n acelai timp, datorit deformrii, n grind a luat natere un moment ncovoietor Miz. Conform principiului lui Clapeyron, se poate scrie:

=l

z

izii dxIE

MF

0

2

221

2.3.1-1

nlturm acum toate forele exterioare aplicate, iar n seciunea n care

dorim s calculm sgeata, aplicm o for transversal concentrat f (Fig.2.3.1-1b). Sub aciunea acesteia grinda se deformeaz iar n aceasta se dezvolt momentul ncovoietor miz. n seciunea n care acioneaz sarcina f, sgeata este . Principiul lui Clapeyron n acest caz conduce la:

=l

z

iz dxIE

mf

0

2

221

2.3.1-2

F1 F2 Fn

f

F1 F2 Fn f

1 2 n

1 2 n

a)

b)

c) Fig.2.3.1-1

62

Meninnd fora f pe bar (Fig.2.3.1-1c) se aeaz din nou sistemul de fore F1 Fn situaie n care n bar exist momentele ncovoietoare Miz + miz. Aplicnd principiul lui Clapeyron, se poate scrie:

( )

+

=++l

z

izizii dxIE

mMffF

0

2

221

21

2.3.1-3

n relaia 2.3.1-3 la termenul f nu apare 1 / 2 deoarece fora f parcurge deplasarea cu ntreaga sa intensitate, fiind deja pe bar cnd s-a aplicat sistemul de fore exterioare. nlocuind termenii din stnga ai relaiei 2.3.1-3 n funcie de eforturi (relaiile 2.3.1-1, 2.3.1.2) se poate scrie:

++=++l

0

l

0

l

0

l

0 z

iziz

z

2iz

z

2iz

z

2iz

l

00 z

2iz

IEmM

221dx

EIm

21dx

EIM

21fdx

EIm

21dx

EIM

21

Dup reducerea termenilor, rezult:

=l

0 z

iziz

IEmM

f 2.3.1-4

Dac lui f i se atribuie valoarea unitar (unu), relaia 2.3.1-4 conduce la relaia de calcul a sgeii unei seciuni:

=l

0 z

iziz

IEmM

2.3.1-5

n relaia 2.3.1-5: Miz funcia momentului ncovoietor pe fiecare interval, produs de forele exterioare direct aplicate miz funcia momentului ncovoietor pe aceleai intervale, dar produs de o sarcin unitar concentrat care acioneaz n seciunea n care se dorete a se calcula sgeata. Aceast for unitar trebuie s aib aceeai direcie cu direcia pe care se calculeaz sgeata. Dac se dorete a se determina rotirea unei seciuni la solicitarea de ncovoiere se procedeaz analog cu observaia c n seciunea respectiv se pune un moment unitar concentrat. Atunci, rotirea seciunii poate fi calculat cu relaia:

63

=l

0 z

iziz

IEmM

2.3.1-6

unde: miz funcia momentului ncovoietor pe fiecare interval, produs de momentul unitar concentrat pus n seciunea n care se dorete calculul rotirii. Dac se ine seama i de alte eforturi, relaiile 2.3.1-5, 2.3.1-6 se completeaz cu termenii de la aceste eforturi:

+

+

=

++=

l

0

l

0 p

tt

z

iziz

l

0

l

0 p

tt

z

iziz

IGmM

dxIEmM

AEnN

IGmM

dxIEmM

AEnN

2.3.1-7

unde: N, Mt funciile efortului axial, respectiv a momentului de torsiune pe fiecare interval al barei, produse de forele exterioare direct aplicate n, mt funciile efortului axial, respectiv ale momentului de torsiune pe fiecare interval, produse de fora unitar aezat n seciunea n care se calculeaz sgeata n, mt - funciile efortului axial, respectiv ale momentului de torsiune pe fiecare interval, produse de momentul unitar aezat n seciunea n care se calculeaz rotirea. Observaie: Interval caracteristic este acel interval al barei pe care toate eforturile prezint aceleai funcii i rigiditatea este constant. La stabilirea intervalelor se are n vedere i seciunile n care urmeaz a se calcula deplasrile. Exemplele care vor urma ne vor elucida mai bine aceste aspecte.

64

Aplicaie: Pentru bara de seciune variabil din Fig.2.3.1-2a s se calculeze deplasarea pe orizontal i vertical a seciunii 1 i rotirea seciunii 2. Rezolvare Bara prezint trei intervale: 1-2, 2-3, 3-4. Primele dou au rigiditatea la ncovoiere EI, iar ultimul, 2EI. Mai nti se scriu funciile momentului ncovoietor produs de sarcinile aplicate, pe cele trei intervale:

intervalul 1-2 Mi = px2/2 intervalul 2-3 Mi = 2pa2 intervalul 3-4 Mi = 2pa2 + 2pa x

Pentru calculul deplasrii pe orizontal, pe bara eliberar de sarcinile aplicate, n seciunea 1 se pune o for unitar orientat pe orizontal (Fig.2.3.2-2b). Pentru acest sistem se scriu funciile momentului ncovoietor:

intervalul 1-2 miH = 0 intervalul 2-3 miH = 1 x = x intervalul 3-4 miH = 1 (a + x) = a + x

Se calculeaz acum deplasarea pe orizontal a seciunii 1, cu relaia:

( ) ( )

IEap

310

dxIE2

xaxpa2pa2dxIE

xpa2dxIE

02

px

dxIEmM

4

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

iHiH1

=

=++

+

+

=

=

Pentru calculul deplasrii seciunii 1 pe vertical, pe bara eliberat de sarcinile aplicate, n seciunea 1 se pune pe vertical o for unitar (Fig.2.3.1-2c). Pentru acest sistem, se scriu funciile momentului ncovoietor:

2pa

p

2a a

a

1 2

3

4

1 1 1

I

2I a) b) c) d)

Fig.2.3.1-2

65

intervalul 1-2 miV = 1 x = x intervalul 2-3 miV = 1 2a = 2a intervalul 3-4 miV = 1 2a = 2a

Deplasarea pe vertical a seciunii 1, se calculeaz cu relaia:

( )

IEap9

dxIE2

a2xpa2pa2dxIE

a2pa2dxIE

x2

px

dxIEmM

4

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

iViV1

=

=+

+

+

=

=

Pentru calculul rotirii seciunii 2, pe bara eliberat de sarcinile aplicate, n seciunea 2 se pune un moment ncovoietor unitar (Fig.2.3.1-2d). Pentru acest sistem se scriu funciile momentului ncovoietor:

intervalul 1-2 mi = 0 intervalul 2-3 mi = 1 intervalul 3-4 mi = 1

Rotirea seciunii 2 se calculeaz cu relaia:

( )

IEap

27

dxIE2

1xpa2pa2dxIE

1pa2dxIE

02

px

dxIE

mM

3

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

ii2

=

=+

+

+

=

=

Cunoscndu-se deplasarea pe orizontal i vertical a seciunii 1, se poate determina deplasarea total a acestei seciuni. Deplasarea total se calculeaz cu relaia:

21

211 VHtot +=

66

2.3.2 Regula de integrare Vereceaghin (procedeul Vereceaghin)

Dup cum se cunoate, pentru determinarea deplasrilor prin metoda sarcinii unitare, trebuie efectuate integrale. Nu totdeauna, aceste integrale sunt uor de efectuat. Din acest motiv, Vereceaghin a dezvoltat o metod grafo- analitic folosind ns tot metoda sarcinii unitare. Aceast metod i poart numele. Ca urmare este mai corect s se denumeasc procedeu i nu metod, deoarece ce a stabilit el nu este o nou metod, metoda fiind aceea a sarcinii unitare. Din pcate acest procedeu nu la toate tipurile de bare poate fi utilizat.

Se consider o poriune dintr-o bar dreapt care prezint diagrama de moment ncovoietor ca cea din Fig.2.3.2-1a. Prin nlturarea sarcinilor direct aplicate i punerea sarcinii unitare n seciunea n care urmeaz a se determina deplasarea, pe acelai interval, va rezulta pentru acest sistem o variaie liniar a momentului ncovoietor (Fig.2.3.2-1b).

Punctul C reprezint centrul de greutate al diagramei de moment ncovoietor Miz produs de sarcinile direct aplicate. Integralele de tip Mohr-Maxwell folosite pentru calculul deplasrilor n metoda sarcinii unitare pot fi scrise astfel:

( ) ( )

( ) icMcMcMM

x

xM

x

xM

x

x

x

x

x

xMiziziziz

mxbaxba

dxbdadxbadxMmdxmM

iziziziz

2

1

iz

2

1

iz

2

1

2

1

2

1

iz

=+=+=

=+=+==

Deci s-a obinut:

x1

x2xc

x

x

x dx xc

a + b x mic = a + b xc

a)

b)

Miz

dMiz Miz C

Fig.2.3.2-1

67

=

=

z

icM

icMiz

x

xiz

IEm

mmM

iz

iz

2

1

2.3.2-1

n relaia 2.3.2-1: Miz aria diagramei de moment ncovoietor produs de sarcinile direct aplicate mic valoarea momentului ncovoietor produs de fora unitar, din seciunea corespunztoare centrului de greutate C al diagramei momentului ncovoietor al sarcinilor direct aplicate (al suprafeei Miz) Analog, rotirea se poate determina cu relaia:

=

=

z

icM

icMiz

x

xiz

IEm

mmM

iz

iz

2

1

2.3.2-2

unde: mic - valoarea momentului ncovoietor produs de momentul unitar, din seciunea corespunztoare centrului de greutate C al diagramei momentului ncovoietor al sarcinilor direct aplicate (al suprafeei Miz) Observaie. Dup cum se poate constata, n acest procedeu nu se mai rezolv integrale, n schimb se traseaz diagrame de eforturi. La suprafeele diagramelor de eforturi trebuie cunoscut aria i poziia centrului de greutate al acestor suprafee. Din aceste considerente, este recomandat ca diagramele de eforturi s fie trasate prin suprapunere de efecte, astfel se obin suprafee simple la care se cunoate aria i poziia centrului de greutate. n Fig.2.3.2-2, se prezint cteva suprafee des ntlnite n calculul deplasrilor, cu relaia ariei i poziia centrului de greutate.

b

h

b/2 b/2

b

h

b/3 2b/3 A = b h

A = b h / 2

68

Procedeul Vereceaghin se poate utiliza numai pe intervalele drepte ale barei.

Aplicaie: Pentru bara cotit de rigiditate constant, din Fig.2.3.2-3, aplicnd procedeul Vereceaghin, se cere:

a) deplasarea pe vertical i orizontal a seciunii 1 b) rotirea seciunii 1

Rezolvare Pentru calculul deplasrilor, procedeul Vereceaghin, impune trasarea diagramelor de eforturi ale sarcinilor direct aplicate. i n acest caz se va lua n considerare numai momentele. Pentru acest exemplu, moment de torsiune nu exist. Diagrama momentului ncovoietor al forei aplicate este prezentat n Fig.2.3.2-4a.

A = 2 b h / 3

h

b

3b/8 5b/8

A = b h / 3

b/43b/4

Fig.2.3.2-2

3 a

2 a a

F

12

Fig.2.3.2-3

2Fa

Fa

Fa

Fa

Fa 2a

a

aa

a

2a

2a 2a

1

1

1

1

1

1

1 1

a) b)

c) d)

Fig.2.3.2-4

69

Pentru calculul deplasrii seciunii 1 pe orizontal, n seciunea 1 se pune o for unitar pe orizontal i se traseaz diagrama momentului ncovoietor (Fig.2.3.2-4b). Cu diagramele din Fig.2.3.2-4a de unde se ia suprafaa i cele din Fig.2.3.2-4b de unde se ia momentul mic din seciunea corespunztoare centrului de greutate al suprafeei , se calculeaz deplasarea pe orizontal a seciunii 1:

IEaF

aFa2a2Fa221a2aFa

21

2a2a2Fa0aFa

21EI

3

H1

3H1

=

=++=

Pentru calcul deplasrii seciunii 1 pe vertical, n seciunea 1 se pune o for unitar pe vertical i se traseaz diagrama momentului ncovoietor (Fig.2.3.2-4c). Cu diagramele din Fig.2.3.2-4a de unde se ia suprafaa i cele din Fig.2.3.2-4c de unde se ia momentul mic din seciunea corespunztoare centrului de greutate al suprafeei , se calculeaz deplasarea pe vertical a seciunii 1:

IEaF

316

aF3

16a232a2Fa2

21a

32aFa

21aa2Faa

32aFa

21EI

3

V1

3V1

=

=+++=

Pentru calcul rotirii seciunii 1, n seciunea 1 se pune un moment unitar i se traseaz diagrama momentului ncovoietor (Fig.2.3.2-4d). Cu diagramele din Fig.2.3.2-4a de unde se ia suprafaa i cele din Fig.2.3.2-4d de unde se ia momentul mic din seciunea corespunztoare centrului de greutate al suprafeei , se calculeaz rotirea seciunii 1:

IEaF

aF1a2Fa2211aFa

211a2Fa1aFa

21EI

2

1

21

=

=++=

Observaie: Pe intervalele unde diagramele momentului ncovoietor al sarcinilor direct aplicate i cel al sarcinilor unitare sunt pe pri opuse, produsul Mi mic este negativ (are semnul -). n diagramele sarcinilor unitare, momentele mic, respectiv mic sunt ngroate.

70

2.4. SISTEME STATIC NEDETERMINATE Un sistem este static nedeterminat atunci cnd numrul necunoscutelor (reaciuni i eforturi) este mai mare dect numrul ecuaiilor de echilibru care se pot scrie pentru acel sistem. Diferena dintre numrul necunoscutelor i cel al ecuaiilor de echilibru indic gradul de nedeterminare (n) al sistemului. Cnd necunoscutele sunt reaciuni (Fig.2.4-1a) sistemul este static nedeterminat exterior, cnd necunoscutele sunt eforturi (Fig.2.4-2b) sistemul este static nedeterminat interior, iar cnd necunoscutele sunt att reaciuni ct i eforturi (Fig.2.4-1c) sistemul este static nedeterminat exterior i interior (3 ori interior i o dat exterior). O articulaie micoreaz gradul de nedeterminare cu o unitate. Dac ntr-o articulaie se ntlnesc trei bare, gradul de nedeterminare scade cu dou uniti. n general, dac ntr-o articulaie se ntlnesc s bare, fa de cele cunoscute, gradul de nedeterminare scade cu s 1 uniti. Se considerm un sistem static nedeterminat de n ori. nlturnd de pe sistemul real (static nedeterminat) toate sarcinile aplicate i legturile suplimentare (numrul lor este egal cu gradul de nedeterminare) se obine aa numitul sistem de baz (SB). Dac de pe sistemul real se nltur numai legturile suplimentare, i acestea se nlocuiesc cu forele corespunztoare legturilor nlturate, se obine un sistem echivalent (SE). Desigur, acest sistem este echivalent cu cel real, numai dac deplasrile sistemului obinut prin nlocuirea legturilor suplimentare cu forele corespunztoare sunt aceleai cu cele ale sistemului real (static nedeterminat). Aadar, n locul legturilor suplimentare i nlturate, trebuie introduse fore de legtur sau eforturi (dup caz) care s aib o astfel de valoare nct mpreun cu sarcinile direct aplicate s produc sistemului aceleai deplasri (liniare sau rotaii) ca n cazul sistemului static nedeterminat (sistemul real). n general, aceste deplasri sunt nule. La nceput se ncarc sistemul de baz (care este un sistem static determinat i nencrcat) numai cu sarcinile direct aplicate. n seciunile unde s-

n = 2 n = 3n = 4

a) b) c)

Fig.2.4-1

71

au nlturat legturi, se produc deplasrile: 10, 20 n0. ncrcnd acum (pe rnd) sistemul de baz cu forele de legtur X1, X2, Xn , acestea vor produce n seciunile respective deplasrile iX1, iX2 iXn. Suma deplasrilor forelor direct aplicate i a celor de legtur trebuie s fie nul:

0......

0...

0...

n21

n21

n21

nXnXnX0n

X2X2X220

X1X1X110

=++++

=++++

=++++

2.4-1

Dac se aplic nu fore Xi ci fore unitare i cunoscnd c deplasrile sunt proporionale cu forele unitare (sau cupluri unitare) aplicate: jijiX Xj = 2.4-2 sistemul de ecuaii (relaiile 2.4-1) se poate scrie sub forma:

0X...XX...

0X...XX0X...XX

nnn22n11n0n

nn222212120

nn121211110

=++++

=++++=++++

2.4-3

unde: ij deplasarea pe direcia i produs de fora unitar ce acioneaz pe direcia j i 0 deplasarea pe direcia i produs de sarcinile direct aplicate. Sistemul de ecuaii (relaiile 2.4-4) reprezint sistemul de ecuaii canonice pentru sistemul static nedeterminat. Rezolvnd acest sistem de ecuaii, se determin forele de legtur suplimentare ale sistemului static nedeterminat. Pent