Revista Nr.17 Mai.2014

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    1/64

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    2/64

    IIINNNSSSPPPEEECCCTTTOOORRRAAATTTUUULLLCCCOOOLLLAAARRRJJJUUUDDDEEEEEEAAANNNPPPRRRAAAHHHOOOVVVAAA

    CCCOOOAAALLLAAAGGGIIIMMMNNNAAAZZZIIIAAALLLRRRAAARRREEEVVVOOODDDPPPLLLOOOIIIEEETTTIII

    PPPuuubbbllliiicccaaaiiieeepppeeerrriiiooodddiiicccaaallluuucccrrrrrriiilllooorrrppprrreeezzzeeennntttaaattteeedddeeeeeellleeevvviiilllaaa

    CCCOOONNNCCCUUURRRSSSUUULLLNNNAAAIIIOOONNNAAALLL

    MMMaaattteeemmmaaatttiiiccctttiiiiiinnniiillliiimmmbbbuuunnniiivvveeerrrsssaaalll

    EEEdddiiiiiiaaaaaaIIIVVV---aaa---222000111333

    PPPLLLOOOIIIEEETTTIII

    NNNrrr...111777 mmmaaaiii222000111444

    1

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    3/64

    CCoooorrddoonnaattoorrii::

    PPrrooff..DDaanniieellaaBBaaddeeaa PPrrooff..IIoonnBBaaddeeaa

    CCooppeerrtt::PPrrooff..DDaanniieellaaBBaaddeeaa

    TTeehhnnoorreeddaaccttaarree::PPrrooff..MMiihhaaeellaaGGaavvrriillooiiuuPPrrooff..DDaanniieellaaBBaaddeeaa

    Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiInterferene n universul colii (online) = ISSN 2069 8690ISSN L = 2069 8690

    Responsabilitatea privind coninutul articolelor revine n totalitateautorilor.Toate drepturile asupra prezentei ediii aparin colii GimnazialeRareVod Ploieti Prahova

    2

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    4/64

    3

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    5/64

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    6/64

    Statistica de participare este urmtoarea:Seciunea I - Concurs

    Mandala cercul sacruSeciunea II-a

    Concurs de referate,eseuriTOTAL

    coli participante:59 din 28 judee coli participante: 37din 15 judeecoli participante: 78 din 29 judeeProfesori participani: 92 Profesori participani: 41 Profesori participani: 112Elevi participani:

    437 cu 478 lucrri

    Elevi participani:

    150 cu 98 lucrriElevi participani: 555

    Premii i diplome de participare acordate:

    SECIUNEA PremiulI

    PremiulII

    PremiulIII

    Meniunearticipare

    eleviTotalelevi

    Participareprof.

    SECIUNEA ICREII

    PLASTICEMandala-

    cercul sacru

    PRECOLAR 2 2 2 8 13 27 16

    PRIMAR 5 6 4 14 105 134 29

    GIMNAZIU 5 8 6 20 90 129 38

    LICEU 8 4 6 10 87 115 21

    TOTAL SECIUNEA I 222000 222000 111888 555222 222999555 444000555 111000444

    SECIUNEAII

    REFERATE

    GIMNAZIU

    TIINIFICE 2 2 3 3 16

    ESEURI 3 5 5 7 43

    PPT 2 1 1 5 59

    TOTAL 7 8 27 15 20 59 27

    LICEU

    TIINIFICE 4 6 6 10 68

    ESEURI 1 5 2 6 23

    PPT 4 5 5 7 91

    TOTAL 9 16 13 23 30 91 18

    TOTAL SECIUNEA II 111666 222444 222222 333888 555000 111555000 444555

    TOTAL GENERAL 333666 444444 444000 999000 333444555 555555555111444999( 111111222)

    n perioada 18 iunie6 iulie 2013 au fost expediate diplomele i acordurile de parteneriat. S-au realizat de asemenea albumul foto i portofoliul activitii.

    ncepnd cu luna septembrie 2013 i pn n mai 2014 referatele prezentate la ediia a IV -a aconcursului sunt publicate n numerele revistei on-line Interferene n universul coliicu cod ISSN.

    5

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    7/64

    Cuprins1. Prof. ndrumtor Badea Ion,Colegiul Spiru Haret Ploieti

    Elevi Dima Rare Stnescu VictorInegalitatea Cauchy-Bunyakowsky-Schwartz..72. Prof. ndrumtor Seria Daniel,Colegiul Naional Mihail Koglniceanu GalaiElevi Prvu Daniel Gherman AlexandruTeorema lui Euler ........................................................10

    3. Prof. ndrumtor MoiseLuminiaDominica,coala Superioar Comercial Nicolae KretzulescuBucuretiElevi Floriu Andreea Brignola AuroraSecretele numerelor prime n abordri contemporane..124. Prof. ndrumtorLeica Valeria,Colegiul Tehnic Traian Vuia GalaiElev Apostolache Mihai Gabriel irul lui Fibonnaci unul dintre misterele universului.........165. Prof. ndrumtor Trac Iuliana,coala Gimnazial Gh. Popescu Mrgineni, OltElev Barbu Amalia Despre Teorema lui Pitagora............................................................................18 6. Prof. ndrumtor Dracinschi Nicoleta,coala Gimnazial Radu Stanian PloietiElev Stancu Ioana AntoniaDespre logic..........................................................................................21 7. Prof. ndrumtor Dinc Maria,coala Superioar Comercial Nicolae Kretzulescu BucuretiEleviNstsoiu Andrei Iosubtefan Matematica mesajelor........................................................248. Prof. ndrumtor Seria Daniel,Colegiul Naional Mihail Koglniceanu GalaiElevi Borcea Alexandu Stoica Daniel Geometrii neeuclidiene....................................................289. Prof. ndrumtor Beleag Ramona,Colegiul Spiru Haret PloietiElevi Pcureanu Bogdan Ungureanu Sergiu Bugete......................................................................30

    10.Prof. ndrumtorBciucu Cirina,coala Gimnazial nr. 24 BucuretiElev tefan Iulia Miracolul matematicii..........................................................................................33 11.Prof. ndrumtor Gavrila Alina,Liceul Tehnologic Construcii de Maini UNIO Satu MareElev Mezei Brenda Geometria despre sine......................................................................................37 12.Prof. ndrumtor Dracinschi Nicoleta,coala Gimnazial George Cobuc PloietiElevi Vlad Maria Dicusar Rebeca Calculul probabilitilor i lumea de azi..........................3913.Prof. ndrumtor Seria Daniel,Colegiul Naional Mihail Koglniceanu GalaiElevi Popa Andreea Cloc Luminia Teorema lui ieica............................................................41 14.Prof. ndrumtor Cojocaru Carmen,Colegiul Economic Virgil Madgearu GalaiElevi Zebega Mdlina Drguanu Cristina Noiuni de matematic aplicat n fizic..4515.Prof. ndrumtor Musti Liliana,Liceul Teoretic Tata Oancea BocaElev Blocu Emanuela Exactitatea i unicitatea matematicii.........................................................47 16.Prof. ndrumtor Seria Daniel,Colegiul Naional Mihail Koglniceanu GalaiElevi Matache Radu Epure Daniel Progresii aritmetice i geometrice......................................4917.Prof. ndrumtor Nicolescu Alina,Liceul Teoretic Lupeni - coala Gimnazial Nr.2 Lupeni, HunedoaraElev Rusu Diana Numere naturale pare..........................................................................................52

    6

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    8/64

    INEGALITATEA CAUCHY-SCHWARZ-BUNIAKOVSKI

    Autori : Dima Rare, Stnescu Victor clasa a X-aColegiul Spiru Haret PloietiProf. coordonator: Badea I on

    Trei mari matematicieni i un rezultat comun: inegalitatea ce le poart

    numele. S vedem n cteva cuvinte cine sunt acetia.Augustin Louis Cauchy(n. 21 august 1789 - d. 23 mai 1857) a fost unuldintre cei mai importani matematicieni francezi. A demarat un proiect important dereformulare i demonstrare riguroas a teoremelor de algebr, a fost unul dintrepionierii analizei matematice i a adus o serie de contribuii i n domeniul fizicii .

    Viktor Iakovlevici Buniakovski (n. 16 decembrie 1804 d. 12decembrie 1889) a fost un matematician rus, membru i apoi vicepreedinte alAcademiei de tiine din Sankt Petersburg. Buniakovski a publicat peste 150 lucrridin diverse domenii ale matematicii dar si a mecanicii. Cel mai celebru rezultat alsu este cel din analiz matematic: inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz.Inegalitatea a fost publicat de Cauchy n 1821. n 1859 Buniakovski a reformulat-o

    pentru calculul integral.

    Karl Hermann Amandus Schwarz (n. 25 ianuarie 1843 - d.30 noiembrie 1921) a fost matematician german, cunoscut mai ales pentrucontribuiile sale n analiza complex. A adus contributii pentru: Derivata Schwarz,Lema lui Schwarz, Teorema lui Schwarz, Triunghiul lui Schwarz, Inegalitatea luiCebev , dar i pentru Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz.

    Iat enunul celebrei inegaliti:Dac naaa ,....,, 21 i nbbb ,.....,, 21 sunt numere reale, n N, n>1 atunci avem :

    22

    2

    2

    1

    22

    2

    2

    1

    2

    2211 ........... nnnn bbbaaabababa .

    Membri sunt egali dac .....2

    2

    1

    1

    n

    n

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    Demonstraie: Avem2 2 2 20 2 0 ; 1,i i i i ia x b a x a b x b i n

    nsumnd dup iobinem:

    Deci rezult condiia ca discriminantul s fie mai mic sau egalcu 0 i obinem:

    0

    1

    2

    1

    2

    2

    1

    n

    i

    i

    n

    i

    i

    n

    i

    ii baba .

    Vom prezenta n continuare cteva aplicaii n algebr dar i n geometrie ale inegalitii Cauchy-Schwarz-Buniakovski.I. Aplicaii n algebr

    1. Dac cba ,, >0 demonstrai c 9111

    cbacba .

    Soluie:lum1 2 3 1 2 3

    1 1 1, , , , ,a a a b a c b b b

    a b ci aplicnd BCS

    2 2 2

    1 1 1

    2 0 x 0n n n

    i i i i

    i i i

    a x a b x b

    7

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    9/64

    2 2 2 2 2 2 2

    1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

    2

    2 2 2

    2 2 2

    2

    1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 11 1 1 9

    a b a b a b a a a b b b

    a b c a b ca b c a b c

    a b c a b ca b c a b c

    2. Dac cba ,, >0 atunci23

    bac

    cab

    cba

    Soluie:notm bacbcabbcbabba

    ca

    ca

    ba

    cb

    aa 321321 ,,,,,

    Aplicnd BCS2a b c

    a b c b a c c a b a b cb c a c a b

    2

    .2

    a b ca b c

    b c a c a b ab bc ca

    Dar 2 2 2 2a b c ab bc ca ab bc ca 2 1

    32

    a b c ab bc caab bc ca

    2 23 3

    2 2 2 2

    a b c ab bc ca a b c

    ab bc ca ab bc ca ab bc ca

    2

    3 3Din

    2 2 2

    a b ca b c a b c

    b c a c a b ab bc ca b c a c a b

    II.Aplicaii n geometrie

    1. n interiorul ABCse consider un punct M care se proiecteaz pe laturile AB, AC, BC n punctele

    C, B, A.S se arate c2 2 2

    2 2 2' ' '4

    BC AC ABA B B C C A

    .

    Ce poziie va ocupa punctul M pentru a avea egalitate?Soluie:

    Avem MB2AB2 =MC2AC2

    MC2BC2 = MA2BA2

    MA2C`A2 =MB2CB2

    nsumnd cele trei relaii obinem:2 2 2 2 2 2

    2 2 22 2 2

    2 2 2

    22 2

    2

    ' ' ' ' ' '

    ' ' ' ' ' '

    2 ' ' '

    ' ' '2

    A B B C C A A C B A C B

    A B B C C A BC A B CA B C AB C A

    BC CA AB BC A B CA B C AB C A

    BC CA ABBC A B CA B C AB C A

    Notm 1 2 3, ,a BC a AC a AB ; 1 2 3' , ' , 'b A B b B C b C A

    Aplicnd inegalitatea CSB2

    2 22 2 2 2 2 2' ' '

    2

    BC CA ABBC CA AB A B B C C A

    8

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    10/64

    Avem egalitate ntre membri dac: 31 21 2 3

    aa a

    b b b

    Notm 1 1 2 2 3 3, ,a kb a kb a kb i obinem:2

    2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3

    1 2 3 1 2 3

    2 2 2 2 2 2 2 2

    1 2 3 1 2 3

    2

    4 4 2

    ', ', ' - mediane M - centrul de greutate al ABC

    k b k b k bk b k b k b b b b

    k b b b b b b k k

    AA BB CC

    Bibliografie:1. Cristinel Mortici-Sfaturi Matematice, Editura Minus, Trgovite, 20072. I.V. Maftei, Pantelimon George Popescu- Inegaliti alese n matematic,Editura

    Niculescu, Bucureti, 2005

    9

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    11/64

    TEOREMA LUI EULER

    Elevi: Gherman Al exandru, Prvu Daniel, clasa a X-aColegiul Naional Mihail Koglniceanu GalaiProfesor coordonator: Seria Daniel

    Teorem:Dac E i F sunt mijloacele diagonalelor [AC] i [BD] ale unui patrulater ABCD, atunci

    funcioneaz relaia Euler:

    AB+BC+CD+DA=AC+BD+4EF.Folosind teorema medianei se obine:

    BE=(AB+BC)-AC; DE=(AD+CD)-AC;AF=(AB+AD)-BD; CF=(BC+CD)-BD.

    Adunnd membru cu membru cele 4 relaii, se obine:AB+BC+CD+DA=AC+BD+BE+AF+DE+CF.

    Folosind teorema medianei n triunghiurile AFC i BED, rezult:AF+CF=AC+2EFBE+DE=BD+2EF.

    Din ultimele 3 egaliti se obine:AB+BC+CD+DA=AC+BD+4EF.

    Teorem: Fie ABCD un patrulater. Urmtoarele afirmaiisunt echivalente:a) ABCD este paralelogramb) Are loc relaia: AB+BC+CD+DA=AC+BD.

    Din egalitatea AB+BC+CD+DA=AC+BD i din relaia luiEuler rezult E=F, adic diagonalele patrulaterului ABCD senjumtesc, ceea ce ne arat c ABCD este paralelogram.*Fie C(I,r) i C(O,R) cercul nscris i respectiv circumscris

    triunghiului ABC. Atunci exist relaia lui Euler: OI=R-2Rr.

    Fie D punctul n care bisectoarea [AI intersecteaz cerculcircumscris triunghiului i fie punctele E, F, astfel nct {E,F}=C(O,R)OI. Din triunghiul ABDrezult: BD=2Rsin(A), iar din triunghiul dreptunghic AII rezult: AI=rsin(A). Deoarece [AI i [BIsunt bisectoare ale unghiurilor BAC i ABC, se obine uor c BD=ID. Folosind puterea punctului Ifa ce cercul C(O,R), din ultimele relaii rezult:

    2Rr=IDIA=IEIF=(RIO)(R+IO)=RIO.

    Teorema lui Euler: Mijloacele laturilor unui triunghi,picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor ce unescfiecare vrf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe unacelai cerc, numit cercul lui Euler.

    Fie A, B, C mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] i fie A1=proieciapunctului A pe dreapta BC, B1=proiecia punctului Bpe dreapta AC, C1= proiecia punctului C pe dreapta AB.Deoarece BC//A1A, rezult c patrulaterul ABCA1 estetrapez. Din faptul c [AB] este linie mijlocie n triunghiulABC, rezult AB=AB. n triunghiul dreptunghic AA1B,A1C este median, deci A1C=AB. Rezult A1C=AB, adicABCA1este trapez isoscel. Prin urmare A1aparine cercului determinat de A, B, C.

    10

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    12/64

    Analog se arat c punctele B1 i C1 aparin cercului cetrece prin punctele A, B, C.Se demonstreaz n continuare c punctul A1, mijloculsegmentului [AH], aparine cercului determinat de puncteleA, B, C. Este uor de vzut c [CA1] este linie mijlocien triunghiul ABH, deci CA1//BH. Cum BHAC i

    AC//AC, rezult CA AC. Prin urmare punctul A1 se

    afl pe cercul ce trece prin punctele A, B, C. Analog searat c mijloacele B1 i C1 ale segmentelor [BH] i [CH]se afl pe cercul determinat de punctele A, B, C.

    Se prezint n continuare o alt demonstraie ateoremei. Pentru aceasta se vor folosi trei leme:Lema1: Locul geometric almijlocului N al segmentului

    [HM], unde H este un punct fix iar M descrie un cerc C(O,R) este uncerc.

    Deoarece punctele O i H sunt fixe, rezult c i mijlocul alsegmentului [OH] este un punct fix. n plus, N=OM=R=ct. Rezult c

    punctul N descrie cercul C(,R).(fig 1)Lema 2: Simetricul ortocentrului H al

    triunghiului ABC fa de mijlocul uneilaturi se afl pe cercul circumscris triunghiului.

    Fie A mijlocul segmentului [BC] i A punctul diametral opus lui A.Deoarece HB//CA i HC//BA, rezult c patrulaterul BHCA esteparalelogram, deci simetricul lui H fa de mijlocul A al laturii [BC] seafl pe cercul circumscris triunghiului.(fig 2)

    Lema 3: Simetricul ortocentrului H altriunghiului ABC fa de una din laturi

    se afl pe cercul circumscris triunghiului.Notm cu A2punctul n care nlimea AA1 intersecteaz cercul

    circumscris triunghiului. Deoarece m(HBA1) =900 m(BCA) =900

    m(BA2A) =m(A2BA1), rezult c HA1=A1A2.(fig 3)Se folosesc cele 3 leme. Se tie c locul geometric al mijlocului

    segmentului [HM] este cercul C(,R), unde este mijloculsegmentului [OH]. Fie A1 mijlocul segmentului [AH]. Se consider Mn poziiile A, A2,A(i analoagele). Se obine c mijloacele A1, A1iA ale segmentelor [HA], [HA2] i [HA] aparin cercului C(,R).

    Prin urmare cele 9 puncte(A, A1, A1 i analoagele) sunt situate pe un acelai cerc, numit cercul luiEuler sau cercul celor nou puncte.

    11

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    13/64

    SECRETELE NUMERELOR PRIME N ABORDRI CONTEMPORANE

    Floroiu Andreea, coala Superioar Comercial Nicolae Kretzulescu, BucuretiBrignola Aurora, Colegiul Naional "Ion Neculce", BucuretiProf. coordonator M oise Luminita Dominica,

    coala Superioar Comercial Nicolae Kretzulescu Bucureti

    Matematicianul este mblnzitorul ce a domesticit infinitulLucian Blaga

    1. IntroducereNumerele prime i-au dezvluit multe dintre secrete de-a lungul timpului, unele prezentate n lucrare,dar distribuia lor este o problem nca nerezolvat. Ipoteza lui Riemann propune o soluionare aacestei probleme prin analiza zerourilor funciei zeta (s) ns afirmaia sa rmne nc

    nedemonstrat. nelegerea profund a noiunilor din afirmaia lui Riemann presupune cunotiine maiample asupra analizei n mulimea numerelor complexe, dar cu noiunile din analiza real dincurriculum liceal ne putem face o prim impresie asupra afirmaiei lui Riemann care preocup lumeamatematicienilor i nu numai pe ei, deoarece rezolvarea problemei ar avea consecine i n altedomenii. Pornind de la seria armonic generalizat construim funcia zeta (s) pentru s numr real iapoi, prin analogie introducem funcia zeta (s) pe mulimea numerelor complexe. O prim legaturcu numerele prime este dat de formula lui Euler iar cu acesta se poate nelege de ce studiul functieizeta Riemann va lmuri problema distribuiei numerelorprime i va oferi posibilitatea unei mai bunenelegeri asupra conceptelor fundamentale pe care este construit matematica.

    2. Secrete dezvluite ale numerelor primeNumere prime. Reamintim urmtoarele definiii:Definiie:Numrul p N, p 2 se numeste prim dac

    p se divide doar la 1 i pPropoziie:Dac p N, p 2 este numr prim atunci p | a b => p | a sau p | bTeorema lui Euclid i irul numerelor primeMulimea numerelor prime este infinit.

    Se poate demonstra c pn

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    14/64

    Teorema numerelor primeCt de dense sunt numerele prime? Pentru aceasta s notm cu A(x) numrul numerelor prime mai micica x de exemplu: A(3)= 1, A(10) = 4.Teorema numerelor prime a fost enunat de Gauss pornind de la o conjectur a lui Legendre idemonstrat ulterior de Jacques Hadamard (1896) i de Charles-Jean Poussin n acelai an n modindependent.Aceast teorem afirm c:

    Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x / ln x.Teorem. (Dirichlet)Dac a, bN* iar (a, b)=1, atunci mulimea { an+b | nN*} conine o infinitate de numere prime.Teorema Bertrand-CebevDac n N*, n4, atunci ntre n i 2(n-1) se afl cel puin un numr natural prim.Teorema ( Wilson ).Dacp este numr prim, atunci ( p 1)! 1(modp) .Demonstraie.Pentru p = 2 relaia se verific. Fie acum p > 2 , prim . Pentru orice 1 a p 1 exist un inversmodulo p al lui a notat a adic a a 1(modp) .Dar a a ( mod p) atunci a 1(modp) . deci a= 1 Astfel, toate numerele a< p n afar de 1 i p-1

    pot fi grupate cte dou n p 3/2 produse de forma a a . Rezult 2 3 ... ( p 2) 1 (modp)de unde( p 1)! (p 1) 1(modp) .Mica teorema a lui Fermat.Fie p numr prim i a Z, p nu divide a . Atunci, a p11 (modp) .Demonstraie.Considerm numerele ntregi a, 2a, , (p-1)a .Se poate arta c dac ja ka (modp) atunci j = k folosind faptul c (a,p) =1.Deci, a 2a ... (p 1)a 1 2 3 ...(p 1) (modp) adic a p1(p 1)! (p 1)!(modp) .Obinem acum, a p11(modp) .O generalizare a teoremei lui Fermat a fost dat de Euler

    3. Conjecturi din Teoria numerelorcare ateapt soluionarea:nelegem prin numr prim Mersenne, numrul prim de forma:

    12nnM .

    Exemplu: 3122

    ; 7123

    ; 31125

    ; 127127

    ; Pn azi se cunosc numai 48 de numere prime Mersenne.Dintre ultimile numere descoperite suntM46= 2

    42 643 801-1, are 12 837 064 cifre si a fost descoperit in 2009M47= 2

    43 112 609- 1 are 12 978 189 de cifre (GIMPS, PrimeNet)

    M48= 257 885 161- 1cu 17 425 170 de cifre a fost descoperit la 25 ianuarie 2013 i este cel mai marenumr prim cunoscutintrebarea este: exist o infinitate de numere prime Mersenne ?

    Se nelege prin numr perfect, un numr natural egal cu suma divizorilor si mai puin elnsui. De exemplu: 6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14.

    ntrebarea este:orice numr perfect este par ? exist o infinitate de numere perfecte?Dou numere naturale ai bse zic prietene dac suma suma divizorilor unui numr mai puin elnsui este egal cu cellalt. De exemplu: a= 220 i b= 284.

    13

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    15/64

    Mai general, trei numere naturale a, b, cse zic prietene, dac b= (a), c= (b), a= (c) unde(n) este suma divizorilor lui nmai puin el nsui. Un exemplu de numere prietene sunt: a=1945330728960; b= 2324196638729; c= 2615631953920

    ntrebarea este: exist o infinitate de perechi de numere amice ? exist o infinitate de tripletesociabile?

    Numerele primep, qse zic gemene,dac |p - q| = 2. De exemplu (3;5); (5;7); (17;19); (29;31ntrebarea este: exist o infinitate de numere prime gemene?

    Conjectura lui Goldbach.n 1742, matematicianul Christian Goldbach, ntr-o scrisoaretrimis marelui matematician al vremii Leonard Euler (1707 1783), i propune problema s arate c orice numr par > 6 estesuma a dou numere prime. De exemplu: 12 = 5 +7, 18 = 5 + 13 =7 + 11ntrebarea este: orice numr par > 6 este suma a dou numereprime?

    4. Numerele prime i functia zeta a lui RiemannUna dintre cele mai mari provocri pentru matematica secoluluiXXI este Ipoteza Rieman formulat de matematicianul Bernhard

    Riemann n anul 1854 i apoi menionat de ctre David Hilbert nanul1900 printre celebrele sale 23 de probleme propuse spre rezolvare matematicienilor. Afirmaia estedespre distribuiazerourilor unei anumite funcii, numite zeta, funcie care a dobdit o semnificaieimportant nteoria numerelor din cauza relaiei pe care o are cu distribuianumerelor prime (oferrspunsuri legate de intervalele dintre numerele prime) i are aplicaii n diferite domenii cum arfifizica,teoria probabilitilori nstatistica aplicat.Dupa cum afirm unii autori, Riemann a descoperit, se pare, Sfntul Graal al matematicii : o formulpentru a prezice cu certitudine distribuia numerelor prime, dar pentru care nu a oferit o riguroasdovada matematic.Literatura de specialtate definete funcia zeta Riemann (s) ca o funcie de variabil complexs iniialdefinit prin urmtoarea serie infinit:

    pentru anumite valori ale luisi apoi continuat analitic la toate numerele complexes 1. Aceastserie Dirichlet convergepentru toate valorilereale ale luismai mari ca 1. Putem s ne apropiem denelegere acestor afirmaii pornid de ka seria armonica generalizat din analiza real.Pentru s numr natural, seria se numete seriaarmonic generalizat

    Demonstrmc pentru s=1 seria armonic1

    1

    n n este

    divergent:

    Presupunnd ca seria armonic este convergent la S atunci i

    subirul va converge la S i n acest caz va avealimita la infinit 0. Dar :

    .

    Contradictie ! Deci, presupunerea este fals i seria estedivergent.

    Funcia zeta Riemann pentrusrealis> 1

    14

    http://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_numerelorhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_primhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Fizicahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_probabilit%C4%83%C8%9Bilorhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_probabilit%C4%83%C8%9Bilorhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_probabilit%C4%83%C8%9Bilorhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Statistic%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Serie_(matematic%C4%83)http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Serie_convergent%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_realhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_realhttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Serie_convergent%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Serie_(matematic%C4%83)http://ro.wikipedia.org/wiki/Statistic%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_probabilit%C4%83%C8%9Bilorhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Fizicahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_primhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_numerelor
  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    16/64

    Demonstrm convergena pentru s=2:

    Deoarece

    rezultat dedus din identitile; .

    Observnd c rezult c seria converge la un numr mai mic dect 2.

    Consecin. Seria armonic generalizat este convergentpentru s > 2 deoarece

    Demonstraia convergenei pentru s > 1 utilizeaz binomul lui

    Newton i inegalitatea:

    O legtur cu numerele prime este dat de Formula lui Euler

    Funcia zeta Riemann admite o infinitate de valorispentru care (s) =0. Dintre acestea -2, -4, -6, ... senumesc zerouri triviale deoarece existena lor este relativ uor de demonstrat. Zerourile netriviale suntcele care au captat atenia att de mult, deoarece distribuia lor este legat de numerele prime. Estecunoscut faptul c oricare dintre zero-urile netriviale se afl n banda {s C: 0

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    17/64

    IRUL LUI FIBONACCI- UNUL DINTRE SECRETELE UNIVERSULUI

    Apostolache M ihai Gabriel, clasa a XI -aColegiul Tehnic Traian Vuia- GalaiProfesor coordonator: L eica Valerica

    Leonardo Pisano Bogolo(1170-1250) cunoscut i sub numele de Leonardo Fibonacci sauFibonacci a fost un matematician italian care s- a remarcat n perioada Evului Mediu, fiind consideratunul dintre cei mai talentai matematicieni ai Europei.

    irul care i poart numele reprezint o secven de numere, n care fiecare numr se ob ine dinsuma precedenilor doi termeni din ir. Exemplu: 0+1=1,1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, etc., descoperind astfelprimele 10 numere ale irului 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55. Acest ir poate continua pn la infinit.Ceea ce amai remarcat Fibonacci n legtura cu irul este faptul c orice lucru ce are via se nate, crete ievolueaz dup o secven prestabilit, n form unei spirale.

    Se crede c ar exista o legtura ntre creterea plantelor i numrul de aur: proporia tainic aacestui numr, reprezentat fie n triunghiul de aur (isoscel) al lui Pitagora, n elipsa de aur din tradiiahindus sau n spirala de aur care, prin irul lui Fibonacci, se demonstreaz pstrnd proporia de 1,618.S-a dovedit c aceast proporie este prezent n ntreaga creaie, de aici i se trage si numele deformula fericirii

    Pe msura ce se nainteaz n irul lui Fibanacci raportul dintre doi termeni succesivi tinde sprePhi(1,61803). Primul lucru interesant care se observ n acest ir este c dac mprim un element alirului Fibonacci la precedentul su, obinem rezultatul 1,61803. Acest lucru este valabil de la al 14-leaelement n sus (233:144=1,61803, 377:233=1,61803, etc.), indiferent ct de mare va fi acel numr din

    ir.Numrul de aur sau seciunea divin, un alt ir care mai este cunoscut i ca Phi (1,618), este un

    numr foarte cunoscut n art, avndu-i originile fundamentale n natur, astfel nct, orice element dinnatur este proporional cu Phi. Dac nlocuim literele PHI cu numerele corespunztoare, obinem 781,a crei sum total se reduce la 7. Adunnd i cifrele 1618 vedem c obinem tot 7, care este consideratcel mai frumos numr din univers, nsemnnd numrul perfectiunii, numrul lui Dumnezeu. Sunt aptezile n saptmn, apte note muzicale, apte minuni ale lumii, apte centri energetici (chakre), apteculori ale curcubeului.

    16

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    18/64

    Acum s vedem i ce legtura are irul lui Fibonacci cu creterea plantelor artnd niteexemple mai des ntlnite n aranjamentul petalelor florilor: 3 petale: crin,stnjenel 5 petale: piciorul cocoului, trandafirul slbatic, cldrua 8 petale: delphinius 13 petale: glbenelele 21 petale: cicoare 24 petale:ptlagina,piretru 55, 89 petale: margaretele Sf.Mihail i familia asteraceae.

    Acest ir nu se regsete doar la petalele florilor se regsesc i la aranjamentul frunzelor, alconurilor de brad i de pin,la floarea soarelui , al galaxiilor n form de spiral ,al valurilor mrii, i nunumai. Fiecare plant i creeaz acest aranjament nu pentru c ar cunoate acest ir ci doar prin feluln care ele se adapteazmediului nconjurtor.

    Observm ca lumea a fost conceput de Dumnezeu ntr-o anumit ordine, fiecare lucru dinunivers se dezvolt ntr-un anumit ritm, un ritm cunoscut de Creator. Dar, el nu a ascuns acest lucru ,el

    ne-a lsat pe noi sdescoperim n continuare secretele universului, iar acest ir al lui Fibonacci estedoar unul dintre nenumratele chei spre cunoasterea creaiei universului nostru.

    Bibliografie :

    1. Dncil , Ioan , Matematica Gimnaziului ntre professor si elev, Editura Aramis, 20012. Enciclopedia Britanica Online3. Wikipedia, enciclopedia liber

    17

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    19/64

    DESPRE TEOREMA LUI PITAGORA

    Eleva; Barbu Amalia, clasa a VI I I -acoala Gimnazial Gh. Popescu Mrgineni, OltProf. coord. Iuliana Trac

    Teorema lui Pitagoraeste una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plan. Teoremalui Pitagora afirm c "n orice triunghi dreptunghic, suma ptratelor catetelor este egal cuptratul ipotenuzei". Dac se noteaz cu a i cu b lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic iar cuc lungimea ipotenuzei acestuia, atunci teorema lui Pitagora afirm c: 2 2 2a b c . Reciproca esteadevrat: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, castfel nct a2+ b2= c2, exist un triunghi cu laturide lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a i bva fi drept.

    Scurt istoricDei teorema i se atribuie astzifilozofului imatematicianuluigrec anticPitagora,care a trit n

    Secolul al VI-lea .Hr., se tie cu siguran c a fost cunoscut de mai toate civilizaiile de -a lungultimpului:indienii antici,asiro-babilonienii,egiptenii antici,chinezii antici ialii.Acest subiect poate fi

    mprit n trei: cunoaterea tripletelor pitagoreice (seturi de cte trei numere ntregi care reprezintlungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoaterea teoremei propriu-zise i cunoaterea unordemonstraii.

    Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unuiunghi drept n condiii practice: o sfoar este marcat cu noduri aflate la anumite distane; formnd dinea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 i 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folositde exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.

    Monumente megalitice de acum 6000 de ani (n Egipt) sau 4500 de ani (n Insulele Britanice)conin triunghiuri dreptunghice culaturi de lungimi numere ntregi, dar aceasta nu nseamn neapratc cei care le-au construit cunoteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egipteani din Mesopotamia menioneaz triplete pitagoreice.

    Sulba Sutra lui Baudhayana, scris n secolul 8 .e.n. n India, conine o list de tripletepitagoreice descoperite algebric, un enun al teoremei, precum i o demonstraie pentru un triunghidreptunghic isoscel.Sulba Sutra lui Apastamba (circa 600 .e.n.) conine o demonstraie numeric acazului general, calculnd arii. Unii cercettori susin c de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, n timpulcltoriei sale n India.

    Pitagora (aproximativ 569 - 475 .e.n.) a folosit metode algebrice pentru a construi tripletepitagoreice, conform lui Proclus. Acesta a scris ns ntre anii 410 i 485 e.n., adic 9 secole mai trziu.Dup Sir Thomas L. Heath, teorema nu i-a fost atribuit lui Pitagora timp de cinci secole dup perioadan care acesta a trit. Totui, atunci cnd autori cum ar fi Plutarh i Cicero au vorbit despre teorem cafiind a lui Pitagora, au fcut-o ca i cum acesta era un lucru binecunoscut i de necontestat.

    n jurul anului 400 .e.n., conform lui Proclus, Platon a dat o metod de a determina tripletepitagoreice care combina algebra i geometria.Exist o infinitate de astfel de triplete,forma lor generalfiind x=2uv,y=u2-v2, z=u2+v2,unde u i v sunt numere naturale oarecare,cu u>v. Dup aproximativ 100de ani, Euclid a dat n cadrul lucrrii Elemente primademonstraie axiomatic a teoremei.Demonstraia cu triunghiuri asemenea-se folosete de dou ori Teorema lui Euclid: ptratul unei cateteeste egal cu aria dreptunghiului avnd ca laturi proiecia aceste

    18

    http://ro.wikipedia.org/wiki/Filozofhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Filozofhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Matematicianhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Matematicianhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Grecia_antic%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagorahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagorahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Secolul_al_VI-lea_%C3%AE.Hr.http://ro.wikipedia.org/wiki/Secolul_al_VI-lea_%C3%AE.Hr.http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Indienii_antici&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Mesopotamiahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Istoria_Egiptului_Antichttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Chinezii_antici&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Chinezii_antici&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Istoria_Egiptului_Antichttp://ro.wikipedia.org/wiki/Mesopotamiahttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Indienii_antici&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Secolul_al_VI-lea_%C3%AE.Hr.http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagorahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Grecia_antic%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Matematicianhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Filozof
  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    20/64

    catete pe ipotenuz i ipotenuza nsi.Fie H piciorul perpendicularei coborte din C pe ipotenuza AB.Din asemnarea triunghiurilor AHC ~ ACB rezult b2= m.cDin asemnarea triunghiurilor BHC ~ BCA rezult a2= n.cPrin nsumarea celor dou egaliti de mai sus, se obine a2+ b2= m.c + n.c = (m+n).c = c2Q.E.D.

    Teorema lui Pitagora formulat acum 26 de secole - este o sintagm perfect marcat n cunoatereanoastr. Ea are drept de cetate n universul raional al geometriei. Timp de milenii, nimeni nu i-acontestat prioritatea n istoria gndirii matematice. i iat cntr-o zi arheologii descoper o seamde tblie de lut ars, din ale cror inscripii reiese c akkadienii utilizau formula respectiv ncalculele lor pragmatice cu mai mult de 1000 de ani nainte ca gnditorul ionic s-i nveediscipolii esena vestitei teoreme. n urm cu 3500 de ani,aadar, socotitorii din ara-celor-dou-fluvii i faceau calculele folosind Ingenioasa teorem izvodit, de bun seam, dintr-o ndelungatexperien n mnuirea cifrelor. Dar nu numai scribii o utilizau in metod de calcul, ci i nvceiianticei Mesopotamii.

    n casa tblielor de lut, n coala sumerian, i apoi n ceaakkadian, elevii nvau nu numai s efectueze cele patru operaiuni adunarea, scderea, nmulirea i mprirea ci i in rezolve omare diversitate de probleme din cmpul aritmeticii si geometriei.Ei se ajutau de tabele cu rezultate gata calculate pentru nmuliri cu 10,30 i 50 de uniti; de asemenea, foloseau tabele de rdcini ptrate ide grad mai nalt. Din tell-urile (tell-colina, movila inalta) Akkadiei iale Elamului, precum i n ara Urartu au fost aduse la lumin mii detblie cu inscripii alctuite din semne socotite, ntru nceput, doar

    simboluri magice. Prin strdania de o via a unor orientaliti, ca Franois Thureau-Dangin, ArthurDeimel, Andre Parrot, L. Lipin, O. Neugebauer, au fost ns descifrate enunurile i rezolvrile a sutede probleme cu aplicaii practice. S-a vdit astfel c colarii de acum 3500 de ani tiau s rezolveecuaii cu dou sau chiar cu mai multe necunoscute. Ucenicii-socotitori erau temeinic pregtii pentruviaa practic: ei nvau s msoare terenurile i s le mpart n loturi, n raport cu suprafeele pe carele deineau proprietarii, s calculeze exact volumul de pmnt ce trebuia dislocat pentru nlareapiramidelor-templu i a cldirilor de tot felul, s stabileasc numrul de crmizi i de blocuri de piatrpentru zidirile proiectate, s socoteasc forele de munc necesare i cte altele. Toate aceste obiectivedeterminau profilul nvmntului predat n casa tblielor. Scrierea pe tblie, socotelile nu eraudoar apanajul sacerdoilor, cum s-ar putea crede. La rndul lor, i nsemnau tranzaciile i valoareamrfurilor vndute sau cumprate negutorii i bancherii, care percepeau dobnzi cam 20% dincapitalul investit n afacerea respectiv i trebuiau deci s tie s le calculeze.

    19

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    21/64

    Nivelul gndirii matematice a nvailor mesopotamieni este remarcabil: n practica socotelilorgeometrice, ei aplicau adesea metoda algebric pentru rezolvarea unor ecuaii de gradul patru, cinci iase (s-au gsit tblie ce atest faptul c au fost perfect rezolvate chiar i ecuaii de gradul 8). Unelenscrisuri cuneiforme, descoperite prin anii 50, relev c babilonienii calculau cifra n la o valoare de3,125, ceea ce reprezint un summum de exactitate pentru acel ndeprtat segment de timp.

    Despre viaa faimosului matematician i filozof-idealist grec, Pitagora, se tiu foarte puine. Secrede c el a trit ntre anii 580-500 .e.n. El este originar de pe insula Samos.

    A fost ideolog al aristocraiei sclavagiste. Stabilindu-se n orasul Crotona (n sudul Italiei), el acreat o unicoala politic reacionar, Uniunea Pitagoreic, o coala filozofico-matematic i oconferire politico-religioas.Pitagora considera numrul drept esen a lucrurilor, iar Universul un sistem armonios de numere i derelaii dintre acestea. Cercetnd numai partea cantitativ a lucrurilor, faimosul savant mistific lumeareal.

    Scrierile sale nu s-au pstrat, de aceea descoperirile i ideile sale (care i-au influenat pe Platon,Euclid i Aristotel) nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor. Prin tradiie, lui i seatribuie urmtoarele descoperiri tiintifice importante:

    n geometrie: vestita teorem a lui Pitagora i construirea unor poligoane i poliedre regulate; n astronomie i geografie: ideea ca Pmntul este o sfer care se rotete n jurul axei sale i c

    exist i alte lumi asemenea lui; n muzic: lungimea coardei sau a flautului depinde de sunetul pe care-l produc ele.

    De asemenea Pitagora a descoperit tabla nmulirii i a introdus metoda de demonstrare ngeometrie.Bibliografie

    Mic Enciclopedie de Matematic, traducere dup KLEINE ENZIKLOPADIE DERMATHEMATIK sixth edition, VEB Bibliographic Institute Leipzig, 1971,cu completri dinMATHEMATICS AT A GLANCE, 1975.

    Anton Dumitriu, Istoria Logicii, vol. 1, Editura Tehnic, Bucureti 1993

    a2= b2 + c2

    20

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    22/64

    DESPRE LOGIC

    Stancu Antoni a, clasa a VI -a Acoala Gimnazial Radu Stanian PloietiProfesor ndrumtor: Dracinschi Nicoleta-Ionela

    Motto: Permitei-mi s admit c doi i cu doi fac cincii v voi demonstra c pe coul sobei iese o stafie.

    D. HilbertLogica, n cele mai multe cazuri este folosit pentru determinarea valabilitii unor argumente n

    matematic , sau n afara ei.Valabilitatea unei demonstraii depinde de forma ei logic i nu de sensurile particulare ale

    termenilor separai ce-i conine. De exemplu regula:

    Toi x sunt y, toi y sunt z, de aceea toi x sunt z,este adevrat oricare ar fi x,y,z.

    n logic, judeciile si argumentele pot fi reprezentate prin scheme i grafice. Argumentelevalabilitii pot fi identificate folosind tabele de adevr i diagrame.

    n matematica gimnaziului cele mai frecvente erori de raionament sunt urmtoarele:1.Nici un x nu este y, i nici un z nu este x, deci nici y nu este z.

    Exemple:a. Nici un preedinte de banc nu este o stea a rockului. Nici o stea a rockului nu are prul vopsit.b. Nici un trapez nu poate fi romb.Nici un ptrat nu poate fi trapez. Deci , nici un romb nupoate fi ptrat.c. Nici un numr natural terminat n 2,3,7,8 nu poate fi ptrat perfect. Nici un numr de forma 100n+75,(n) nu se termin n 2,3,7 sau 8. Deci, nici un numr de forma 100n+75, nu poate s nu fie ptratperfect. (Aadar , numerele de forma 100n+75 sunt ptrate perfecte).

    2. Unii x sunt y i unii y sunt z, deci unii x sunt z.Exemple:

    21

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    23/64

    a. Unele zburtoare sunt insecte. Unele psri sunt zburtoare. Deci, unele psri sunt insecte.b. Unele triunghiuri isoscel sunt echilaterale . Unele triunghiuri dreptunghice sunt isoscele. Deci unele

    triunghiuri dreptunghice sunt echilaterale.c. Unele numere divizibile cu 9 sunt divizibile cu 4. Unele numere impare sunt divizibile cu 9. Deci,

    unele numere divizibile cu 4 sunt impare.

    3.Unii x sunt x i unii z nu sunt x, deci unii z nu sunt y.

    a. Unii boxeri nu sunt nali. Unii oameni nali nu sunt brbai. Deci unii boxeri nu sunt brbai.b. Unele poligoane cu un unghi drept nu sunt patrulatere.Unele paralelograme nu au un unghi drept. Deci,unele paralelograme nu sunt patrulatere.

    tiai c ...ntemeietorul logicii ca tiina a fost marele savant al antichitii Aristotel?Printre marii matematicieni creatori de logic s-au numrat si:

    1. George Boole- matematician irlandez , inventatorul calcului logic.2. Bernard Russel- filozof englez, creator al celui mai vestit tratat de logic matematic.3. David Hilbert- matematician german, eful colii formaliste4. G.C. Moisilprintele logicii matematice in Romnia.

    Trei utilizri ale raionamentelor logice

    Logica portarulu intr-o zi , Sir John sosete cu ntrziere la o edina a lui Royal Society i este vizibil grbit. n

    schimbul plriei , pe care urma s-o lase la vestiar, trebuia s primeasc unjeton. Portarul, care fcea de serviciu i la garderob , foarte amabil , ispune:

    -V rog ,Sir, putei s nu mai ateptai jetonul, fiindc i fr el vvoi restitui plria. Sir John se duce la edin fr s-i ia jetonul, plcutimpresionat , dar i oarecum nelinitit de soarta plriei. ns, cnd dup

    edin s-a dus din nou la vestiar , portarul i-a restituit plria fr nici oezitare . Sir John era vizibil satisfcut, dar ceva-nu tiu ce- l-a fcut s-lntrebe totui pe portar:

    - De unde tii c aceasta este plria mea?Dar portarul nu tiu ce i-a venit - a gsit poate c Sir John i-a vorbit pe un ton prea ironic - n

    orice caz, fapt este c i-a rspuns destul de tios:-Sir, nu tiu dac aceast plrie este sau nu a dumneavoastr, dar este sigur cea pe care mi -ati

    dat-o.

    22

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    24/64

    nelepciunea btrnului...i ntreaga mea avere, o las motenire aceluia dintre voi al crui armsar, va ajunge ultimul

    n cursa de la TAIF la JIDDA, mai spuse eicul i se stinse.De dou zile stteau n a, fiecare pe calul su, n piaa mare din Taif, i nici unul dintre cei din

    fii nu-i clintiser calul din loc. Firete, fiecare dintre ei vroia sa moteneasc imensa avere i de aceeafiecare ar fi fcut tot ce-i sttea n putin ca armsarul su s ajung ultimul la Jidda, aa cum o cereatestamentul.

    Dar, deodat din mulimea care asista curioas, un btrn venerabil le face semn pretendenilors se apropie de el. Cei doi descalec, se apropiarde btrn, care cu voce stins le optete la urecheceva.

    Nici n-apuc btrnul s-i termine cuvintele icei doi frai aleargnapoi, se arunc fiecare na, dau pinteni cailor i ncep o curs nebuneasc spre Jidda.

    Ce le-o fi optit ineleptul ?

    Isteimea feteiUn supus tare srac, care avea o mare datorie ctre Sultanul su, era

    ameninat cu nchisoarea din cauz c nu va putea s-o plteasc la timp. El s-aprezentat n faa Sultanului, rugndu-l s-i mai amne plata datoriei.

    Vrnd s par mrinimos, Sultanul i-a propus urmtorul joc: El,

    Sultanul, va plasa ntr-o pung dou bomboane, una alb i una roie, iar pungao va aeza pe cretetul prea frumoasei fiice a datornicului. Nevinovata fiic vatrebui s aleag cu ochii nchii una dintre cele dou bomboane din pung. Dacalege bomboana alb, datoria printelui va fi anulat. Dac ns alege bomboan aroie, atunci ea va trebui s se cstoreasc cu Sultanul cel urt.

    Sracul om n-a avut ncotro i a fost de acord cu rmagul. Viclean,Sultanul a luat din bomboniera plin cu repeziciune dou bomboane i le-abgat n pung, dar privirea ager a feteia remarcat c ambele bomboane erauroii.

    Dac ar fi dezvluit fapta Sultanului, n faa ntregii curi, atunci att ea,ct si srmanul su tat ar fi strnit mnia i rzbunarea lui. Iar dac ar fi continuat jocul, orice

    bomboan ar fi ales din punga depe cap, aceasta ar fi fost roie i ar fi trebuit s se cstoreasc cuSultanul cel btrn si viclean.

    Cum a procedat fata pentru a-i salva tatl, fr s se cstoreasca cu Sultanul ?

    Bibliografie:M. Ardelean - Matematic recreativ,Editura Militar, Bucureti, 1995Dncil, Ioan Matematica gimnaziului ntre profesor i elev, Editura Dramis, Bucureti,2001

    23

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    25/64

    MATEMATICA MESAJELOR

    Elevi: I osubtefa, Nstsoiu Andrei,clasa a X-acoala Superioar Comercial Nicolae KretzulescuBucuretiProf. coord.Dinic Maria

    n Dicionarul explicativ al limbii romane - DEX '98 numruleste definit drept o cantitate de

    elemente de acelai fel care intr ntr-o niruire, cantitate care arat de cte ori o mrime se cuprinde nalta de aceeai natur; ceea ce reprezint rezultatul unei msurri; semn grafic sau grup de semnegrafice care indic o asemenea cantitate, un asemenea rezultat.

    Prin termenul cifrse nelege fiecare din caracterele grafice ce servesc la reprezentarea n scrisa numerelor. Impropriu, termenul cifr este folosit destul de des ca sinonim pentru numr. Cifrele seclasific dup civilizaia (cultura) n care au aprut i s-au dezvoltat (cifre indiene, arabe, romane etc.)iar cele asociate sistemelor de numeraie poziionale se clasific i dup baza de numeraie (cifrebinare, zecimale, hexazecimale etc.).

    Astzi, cele mai cunoscute i folosite sunt cifrele zecimale, cunoscute i sub numele de cifreindoarabe sau arabe (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), cifrele romane ( I, V, X, L, C, D, M), cifrelebinare (0, 1) i cifrele hexazecimale (0 ... 9, A, B, C, D, E i F).

    Un sistem de numeraie este un sistem lingvistic i un mod de notaie matematic pentrureprezentarea numerelor, folosind n mod coerent un set de simboluri.n mod ideal, un sistem de numeraie ar trebui: s poat reprezenta numerele uzuale,ntregi sau fracionare; s reprezinte un numr ntr-un mod unic; s reflecte structuraaritmetici algebrica numerelor.Un sistem binareste un sistem bazat pe 2 elemente, posibiliti, aspecte, pri, etape.n sistemul (de numeraie) binar exist doar dou cifre posibile, 0 i 1. Conform definiiei

    lui Claude Shannon, o cifr binar conine cantitatea de informaie de 1 bit. Sistemul binar este nacelai timp i cel mai natural mod de stocare a informa iei n domeniul calculatoarelor deoarece acolo1 bit (celula de memorie cu capacitate minim) gzduiete unitatea elementar de informaie: valoarea

    bitului poate fi ori un 0, ori un 1.n orice sistem informatic, conform definiiei lui Turing, este nevoie de o memorie fiabil(sigur n funcionare). Cea mai fiabil metod de prelucrare i respectiv de stocare a datelor decalculator se bazeaz pe sistemul binar: "celula este magnetizat sau nu este magnetizat", "trece curentsau nu trece curent", "cartela este perforat sau nu este perforat" etc. Datorit uurinei implementriisistemului binar n circuitele electronice, el se folosete practic la toate calculatoarele moderne.

    Prima descriere cunoscut a unui sistem de numeraie binar a fost scris cndva ntre sec. VIIIi IV .Hr. de ctre matematicianul indianPingala. n China antic s-au folosit seturi complete de 8trigrame i 64 hexagrame, corespunznd cu numere cu cte 3 respectiv 6 cifre binare. i n Africa secunosc diverse combinaii binare antice.

    n anul 1605 Francis Bacon i-a imaginat un sistem de codificare a literelor alfabetului prin cteo secven de cifre binare. El i-a dat seama c, pentru codificare, se pot folosi nu numai cifrele binare,dar i orice alte obiecte cu 2 stri, ca de exemplu clopote (bat sau nu bat), lumini, tore .a.

    Tot n sec. XVII matematicianul german Gottfried Leibniz,a descris n articolul suExplicationde l'Arithmtique Binairesistemul binar n ntregime, folosindu-se chiar de simbolurile moderne 0 i 1.

    n anul 1854 matematicianul i filozoful englez George Boole a publicat o lucrare fundamentalcare prezint un sistem logic denumit mai trziu algebra Boolean. Acest sistem s-a dovedit esenialpentru dezvoltarea sistemului binar i implementarea sa n circuitele electronice de mai trziu.

    n 1937, Claude Shannon, un inginer i matematician american, a pus bazele teoriei informaieiprecum i cele ale proiectrii circuitelor electronice digitale.

    24

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    26/64

    n texte care conin numere n mai multe sisteme de numeraie, pentru a evita ambiguitile,dup numrul n cauz se adaug ca subindice i baza sistemului de numeraie n paranteze. Deexemplu numrul zecimal (obinuit) 100 se noteaz 100(10)(n baza zece), spre a-l deosebi de 100(2)(nbaza doi), care are valoarea unui 4 obinuit (n baza zece).

    Numerele binare sunt alctuite din secvene de cifre binare ("bii"), care la rndul lor reprezintorice entiti care au numai 2 stri stabile diferite.

    Numrarea n sistemul binar este n bun msur asemntoare cu cea din sistemul zecimalobinuit. Diferena const n faptul c n binar stau la dispoziie doar dou cifre anume 0 i 1, n timp cen sistemul zecimal exist zece cifre, cele de la 0 la 9. Regulile pentru toa te sistemele, deci i pentru celbinar, sunt urmtoarele dou:

    1.Numrarea ncepe cu o singur poziie, care pornete ca valoare (sau coninut) de la cifra 0 icontinu cresctor pn la cea mai mare cifr din sistem. Aceast poziie, cea mai din dreapta anumrului, poart numele de "poziia (cifra) cea mai puin semnificativ".

    2. Dup ce o poziie curent ajunge la cifra maxim, poziia curent "sare" napoi la 0, iarpoziia din stnga ei trebuie incrementat cu o unitate. Aceast situa ie se numete "depire". Dacpoziia din stnga nc nu exist, ea se creeaz i i se d mai nti valoarea 1. Prin acest procedeu esteposibil ca i poziia din stnga s prezinte o depire. n acest caz se aplic chiar aceast regul din nou,altfel spus, n mod recursiv, din ce n ce mai spre stnga, pn se ntlnete un 0, care, fr depire,devine un 1.

    Sistemul hexazecimal(numit i sistemul hexadecimal) este sistemul de numeraie n baza 16,scris de obicei cu ajutorul simbolurilor (cifrelor hexazecimale) 0-9 i A-F. Sistemul este ntlnit maiales n domeniul informatic, unde este folosit intens deoarece un octet cuprinde exact dou cifrehexazecimale.

    Pentru a arta c un numr este hexazecimal se folosesc mai multe notaii:- n matematic, baza de numeraie se noteaz cu un subindice, de exemplu 5A3(16).- n C, Java i alte limbaje de programare similare, prefixul hexazecimal este "0x", de exemplu

    0x5A3.- n Pascal i Delphi, prefixul hexazecimal este "$", de exemplu $5A3.- n HTML, prefixul hexazecimal este caracterul special "#" (hash), de exemplu #5A3.- n diferite variante de Assembler, numerele hexazecimale sunt notate cu sufixul "H": 5A3H.

    ASCII este acronimul pentru American Standard Code for Information Interchange (CodulStandard American pentru Schimbul de Informaii). ASCII reprezint unsistem de codificare acaracterelor, bazat pe alfabetul englez. Codurile ASCII reprezint caractere text pentru computere,echipamente de comunicaie i echipamente care lucreaz cu text. Majoritatea sistemelor moderne decodificare a caracterelor, care asigur reprezentarea mult mai multor caractere, se bazeaz pe ASCII.

    Setul de caractere ASCII conine 128 de caractere: litere mari i mici, numere, elementede punctuaie i coduri de control, cum ar fi grafemul ce marcheaz sfritul unei linii de text. Fiecareliter este reprezentat de un numr. De exemplu, literaA este reprezentat prin numrul65, n timp cepentru litera z este alocat numrul122.

    Criptografiareprezint o ramur a matematicii care se ocup cu securizarea informaieiprecum i cu autentificarea i restricionarea accesului ntr-un sistem informatic. n realizarea acestorase utilizeaz att metode matematice, ct i metode decriptare cuantic.

    Pn n vremurile moderne, termenulcriptografie se referea aproape exclusiv la criptare,procesul de conversie a informaiei obinuite (text n clar) ntr-un text neinteligibil (text cifrat).Decriptareaeste inversul, trecerea de la textul cifrat, neinteligibil, n text clar.

    Un cifrueste o pereche de algoritmi care efectueaz att criptarea, ct i decriptarea. Modul deoperare detaliat al unui cifru este controlat de algoritm i de ocheie. Aceast cheie este un parametrusecret (n mod ideal, cunoscut doar celor care comunic) pentru contextul unui anume schimb demesaje. Cheile sunt importante, iar cifrurile fr chei variabile sunt simplu de spart i deci mai puinutile.

    25

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    27/64

    Criptarea se poate realiza prin doumetode: transpoziia i substituia.Transpoziiapresupune ca literele dintr-un mesaj s fie pur i simplu rearanjate cu scopul de a

    crea anagrame. Totui, aceast metod este folosit cu precdere pentru mesajele scurte i poate finesigur avnd n vedere c, n acest caz exist un numr limitat de litere ce pot fi rearanjate relativrepede. n textele lungi, transpoziia ofer oarecare siguran. Pe msur ce numrul literelor crete,numrul combinaiilor posibile se multiplic, iar descifrarea mesajului se poate face doar cunoscndsau aflnd procedeul exact de codificare.

    Substituia, pe de alt parte, ca metod de codificare, este una dintre cele mai vechi modalitide criptare. Una dintre tehnicile recomandate este gruparea alfabetului pe perechi alese la ntmplarepentru ca apoi fiecare liter s fie substituit cu perechea ei.

    De-a lungul istoriei, cifrurile erau adesea folosite direct pentru criptare i decriptare, frproceduri adiionale, cum ar fi autentificarea sau testele de integritate. Primele ncercri de a trimitemesaje secrete s-au bazat pe ascunderea propriu-zis a textului. Unele dintre cela mai vechi exemple aufost semnalate de Herodot n scrierile sale cnd a descris disputele dintre greci i persani. Demaratos,un grec exilat a trimis acas un mesaj prin care s avertizeze conductorii de pericolul ce i atepta.Neputnd s trimit o simpl scrisoare, el a ras ceara de pe o tbli, a scrijelit mesajul pe lemn i areacoperit suprafaa cu cear.

    n 1918, inventatorul german Arthur Scherbius a construit o main criptografic care avea labaz discul de cifrare creat nsecolul al XV-lea, o invenie a unui arhitect italian, pe numele su LeonAlberti. Enigma, aa cum a fost botezat maina, a devenit n scurt timp cel mai de temut sistem decriptare din istorie. Cu ajutorul acestei maini, expeditorul putea s tasteze textul n clar, iar mainagenera mesajul criptat. La rndul su, destinatarul, dotat i el cu o Enigma i un exemplar al crii decoduri, tasta textul cifrat pentru a genera mesajul n clar. n acest caz, chiar dac inamicul captura oastfel de main, decriptarea mesajului era una dificil n lipsa configuraiilor iniiale folosite pentruscrierea mesajului. Fr cartea de coduri, inamicul trebuie s ncerce toate cele 17.576 configuraiiposibile de codare. Cu timpul, maina a primit mbuntiri datoritcrora Germania ajunsese s sebucure de cel mai sigur sistem de comunicaii din lume.

    Securitatea reelelorde calculatoare este n acest moment parte integrant adomeniului reelelor de calculatoare i ea implicprotocoale, tehnologii, sisteme, instrumente i tehnicipentru a securiza i opri atacurile ru intenionate. Atacurile cibernetice au crescut considerabil nultimii ani, iar conform unor rapoarte Europol, infraciunile comise n spaiul cibernetic provoacpagube anual de peste 1 trilion de dolari.

    Preocuparea pentru codificarea mesajelor a fost realizat cu succes i prin utilizarea unorsemnale fizice. Timp de mai mult de 160 de ani, Codul Morse, inventat la mijlocul anilor 1830, a fostprincipalul mod de comunicare la distan. Descrierea acestui cod este metod de transmitere ainformaiei folosind secvene standardizate de semne sau pulsaii scurte i lungi. Acestea mai suntnumite i linii i puncte, pentru a forma din combinarea lor litere, cifre i semne de punctuaie.

    Dorina de a descoperi alte forme de viaa inteligent n Univers i, implicit, de a comunica cuele determin oamenii de tiin s fie n permanent cutare de coduri care s decripteze posibilelemesaje ale acestora.

    26

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    28/64

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    29/64

    GEOMETRII NEEUCLIDIENE

    Borcea Alexandru, Stoica Daniel, clasa a X-aColegiul Naional Mihail Koglniceanu ,GalaiProfesor ndrumtor: Seria Daniel

    Geometria neeuclidianeste o ramur a geometriei care difer de geometria euclidiana printr-o alt axiom de paralelism.

    n geometria neeuclidian hiperbolic numit de obicei geometria lui Lobacevski, printr-unpunct dat se pot duce cel puin dou drepte paralele la o dreapt dat. n geometria neeuclidian eliptic nu exist drepte paralele.

    Crearea acestor geometrii neeuclidiene a dovedit faptul c n mod logic sunt posibile mai multesisteme geometrice. Pentru a putea urmri din punct de vedere istoric originea geometriilor moderne,este bine s ne ntoarcem cu 22 de secole n urm, n Alexandria, pe vremea matematicianului Euclid,creatorul geometriei tradiionale.

    n concepia sa, geometria se prezenta ca o tiin esenial deductiv organizat ca o nlnuirelogic de propoziii bazate pe un sistem de ase axiome iniiale, afirmaii considerate ca evidente itotodat nedemonstrabile.

    1. Prin oricare dou puncte neconfundate trece o dreapt i numai una;2. Orice segment de dreapt poate fi extins la infinit (sub forma unei drepte);3. Dat fiind un segment de dreapt, se poate construi un cerc cu centrul la unul din capetele

    segmentului i care are segmentul drept raz;4. Toate unghiurile drepte sunt congruente;5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singurparalel la acea dreapt.6. Dou drepte nu pot nchide ntre ele vreun spaiu.Primele ncercri de demonstrare a axiomei paralelelor care au condus la o anumit lmurire a

    problemei au loc in secolul XVIII i se datoreaz in special matematicienilor Saccheri, Lambert siLegendre ns tot ce reuesc s fac aceste incercri este s pun i mai mult la ndoial axioma lui Euclid.

    Demonstraiile postulatului V al lui Euclid pot fi duse att de departe, nct se pare c nu a rmas

    dect o nimica toat.ns dac am analiza cu atenie, am observa ca in aceast nimica toat este ascunstoat esena chestiunii : de obicei ea conine sau o afirmaie care trebuie demonstrat sau un postulatechivalent cu postulatul V. Faptul c diferite ncercri de demonstrare a postuatului paralelelor au datgre a fcut s se nasc ideea c acest postuat nu poate fi demonstrat, deci c dac ar fi negat s -ar puteaconstrui o geometrie diferit de geometria lui Euclid. Realizarea acestei idei se datoreazmatematicianului rus N.I. Lobacevski.

    Lobacevski a ncercat i el la nceput s demonstreze postuatul lui Euclid, ns dndu-i seamac acest lucru nu este posibil a pornit la construirea unei geometrii in care acest postuat este nlocuit cuPrintrum punct la o dreapt ntr-un plan se pot duce mai multe paralele.

    Janos Bolyai, mare matematician maghiar, cu origine n Banat a creat independent o geometrieneeuclidian echivalent cu a precedentului, o dat cu o trigonometrie numit de el absolut.

    28

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    30/64

    Descoperirea spaiilor neeuclidiene a marcat un moment decisiv n evoluia geometriei i amatematicilor n general, revoluionnd concepia asupra spaiului fizic i modelului abstract,geometric. Actualmente, geometria apare ca studiul categoriei varietilor difereniabile finit i infinitdimensionale, obiectele acestei categorii fiind asociate cu anumite structuri geometrice supuse aciuniiunor morfisme naturale. Aplicaiile, extrem de importante n mecanica cuantic, mecanica analitic,optica relativist, control optimal, biologie, economie etc., se realizeaz prin intermediul modelelorgeometrice. Una dintre cele mai cunoscute aplicaii ale geometriei neeuclidiene este in demonstrareaTeoriei relativitii. Einstein a conceput um corp foarte greu aflat intr-um spaiu tridimensional ca pe oportocal (Pmntul de exemplu). Dac am aeza aceast portocal pe o pnz ntins ntr-un cadru amobserva c pnza este deformat de greutatea cu care acioneaz asuprea acesteia.

    Dac am aeza o bil pe marginea pnzei i am lsa-o acolo aceasta s-ar rostogoli de la panta ceamai nalt pn cnd ar ajunge la portocal. La fel de bine am putea afirma c portocala a modificatspaiul, desennd o cavitate i c bila se rostogolete fr s fie atins, n mod natural de -a lungul linieide la panta cea mai mare. Afirmnd c spaiul este curbat afirmm de asemenea c cea mai scurtdistan ntre dou puncte nu este linia dreapt..din geometria euclidian ci o curb.

    Dei sunt nc extrem de contestate de adeptii geometriei euclidiene s-a demonstrat c geometriileneeuclidiene sunt necontradictorii i s-au construit i modele n spaiul euclidian pe care ele le verific.

    Bibliografie:Geometrie Afin i Euclidian Mircea Craioveanu i Ion Doru Albu, editura FaclaEroare i paradox n matematic Alexandru FrodaEinstein, bucuria gndiriiFrancoise Balibar, editura UniversIstoria matematicii n Romnia, vol 2/3 pt 4 G. t. Andonie, Editura tiinific

    Bucureti,..1966Geometrii Euclidiene. Geometrii Neeuclidienehttp://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrii_neeuclidiene

    29

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    31/64

    BUGETE

    Elevi: Pcureanu Bogdan, Ungureanu Sergiu, clasa: a XI-aColegiul Spiru-Haret-PloietiProf .coordonator : Besleaga Ramona

    Bugetulse refer n general la o list cu toate veniturile si cheltuielile. Bugetul este un conceptimportant n microeconomie si este reprezentat grafic printr-o linie, pentru a ilustra schimbul ntredou sau mai multe bunuri

    Bugetele se clasifica astfel:Bugetul familial este format din veniturile pe care le realizeaza membrii unei familii pe un

    timp determinat.Bugetul personal este un plan pe care il poate alcatui orice individ in care sunt prevazute

    veniturile si cheltuielile pe o perioada data.Bugetul guvernamentaleste o nsumare sau un plan al veniturilor si cheltuielilor planificate de

    guvern. n tari ca i Statele Unite ale Americii, bugetul este stabilit de puterea legislativ, n alte triacesta este stabilit de guvern. n Marea Britanie bugetul este stabilit de ctre ministrul de finan e,

    membru al guvernului aflat pe locul doi ca importan , i trebuie s fie votat deparlament.Bugetul unei companii este stabilit anual. Un buget terminat cere, de obicei, un efortconsiderabil i poate fi vazut ca un plan financiar pentru noul an financiar. n timp ce n modtraditional departamentul de finante stabileste bugetul companiei, softul modern permite sutelor simiilor de oameni din diferite departamente (resurse umane, IT) s contribuie prin veniturile sicheltuielile ateptate, la bugetul final.

    Componentele cheie ale bugetului sunt:1. Veniturile2. Cheltuielile

    1.Veniturilereprezintctigurile realizate pe o perioadde timp. Acestea

    includ:Ctigurile din activiti profesionale: salariu sau alte categorii de compensaiibneti la care eti ndreptit.Bonusuri:prime de Crciun, dobnzi din profit, comisioane.Pensii:pensii de stat, pensii private, indemnizaii pentru invaliditate.Indemnizaii sociale: alocatii pentru copii, indemnizaii de boal, scutiri de taxe, indemnizaii pentruinvaliditate.Venituri din activiti nonprofesionale: dobnzi, dividende, rente.

    2.Cheltuielilepot fi mprite n trei categorii principale: cheltuieli obligatorii, cheltuieli zilnice icheltuieli ocazionale.

    a. Cheltuielile obligatorii trebuie achitate la intervale regulate i includ toate cheltuielile

    indispensabile. Valoarea acestora este destul de previzibil.Impozite: pe venit, impozite locale.Cheltuieli de ntreinere: chiria, gazul, apa, curentul electric, facturi telefonicePolie de asigurare: pentru main, cas, alteleDiverse: cheltuieli de transport, ngrijirea copilului, pacheelul zilnic pentru coal, cheltuieli colareextracurriculareRambursri:ipotec, rate la mprumuturi, achitarea unor credite pe cardAlte angajamente, cum ar fi sumele destinate realizrii unor economii pot fi considerate, de asemenea,cheltuieli fixe (sau obligatorii), de vreme ce i acestea se fac periodic.

    30

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    32/64

    b. Cheltuielile zilnice i cele ocazionale:- Cheltuielile zilnice includ toate cheltuielile, de valori variabile,

    facute pentru acoperirea necesitilor zilnice:alimente, curenie,sntate, combustibil, mbrcminte, spltorie,l sport, cinema, cri iziare, divertisment, grdinrit i altele

    - Cheltuielile ocazionale includ toatecheltuielile de valori variabile care nu suntabsolute necesare, dar sunt previzibile: cheltuielide concediu nlocuirea bunurilor din locuin,ntreinerea autoturismului, mbuntiri aduselocuinei, cadouri i aniversri familiale.

    - Cheltuielile pentru petrecerea timpului liber (sport, cinema, cri iziare, divertisment, grdinrit pot fi considerate fie cheltuieli zilnice, fiecheltuieli ocazionale; depinde de tine.

    Proiectarea bugetului constn:Estimarea veniturilor;Anticiparea cheltuielilor care se face in functie de nevoile;

    proprii fiearui membru al familiei;Stabilirea economiilor;Fixarea pe termen scurt sau lung a prioritatilor.

    Tipuri de buget n activitatea economicBuget de vnzri

    Reprezint o estimare a viitoarelor vnzri i este foarte folositor pentru setarea obiectivelorechipei i firmei.Bugetul de producie

    Acest tip de buget se referla o estimare a numrului de uniti ce trebuie sfie fabricate pentrua se atinge obiectivul firmei. Include de asemenea o estimare a variatelor costuri implicate n produciaefectiv, fra exclude fora de muncai materialele.

    Bugetul financiarEste o proiecie a veniturilor i cheltuielilor pentru o perioada limitata de timp . De obiceiaceasta perioadse referla viitorul apropiat. Un beneficiu mare pe care il aduce acest tip de bugetareeste determinarea perioadei n care veniturile vor intra i dac vor fi suficiente pentru acoperireacheltuielilor.Bugetul de Marketing

    Cu bugetul de marketing estimm fondurile necesare pentru creaie, promovare i relatii publice.Bugetul pe proiect

    Previzionarea se refer la costurile asociate cu un anume proiect al companiei. Aceste costuriinclud fora de munc, materialele i alte chetuieli. Deseori acest tip de buget este desfurat nresponsabiliti specifice, cu bugete alocate separat.

    Crearea i verificarea bugetuluiUnul din cele trei instrumente pe care le folosesc n gestionarea banilor este bugetul. Acesta se face

    la nceputul unei perioade de timp. De obicei eu folosesc ca etalon luna sau sptmna, sau amndou.ns poi lua ca unitate de timp ziua, un trimestru, un an, doi etc. Depinde de ce planuri ai.

    Verificarea bugetului se poate face la sfritul lunii sau poi s o faci i pe parcursul acesteia,adaptndu-te din mers. Toat operaiunea de creare i verificare a bugetului are cinci etape.Etapa 1. Situaia iniial a bugetului sau mai exact crearea acestui.Etapa 2. Stabilirea limitelor de toleran.

    31

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    33/64

    Se ntmpl de cele mai multe ori s mai treci peste linia bugetului, de aceea e bine s stabiletianumite abateri maxime de la situaia iniial. Faptul c stabileti aceste limite nu i permite sdepeti bugetul. E ca o frnghie de sigura.

    magineaz-i c mergi ntr-o excursie i i-ai stabilit un buget de 1000 de lei. Totui mai iei cu tinenc 500 de lei, bani pentru orice eventualite. Se pot ntmpla anumite urgene i ai nevoie de oanumit sigura c nu vei rmne fr bani.Etapa 3. Determinarea situaiei reale.

    Situaia real nu poate fi determinat fr o eviden corect a banilor. Cea mai uoar metod estes ii o eviden zilnic a cheltuielilor i veniturilor tale.

    Etapa 4. Confruntarea situaiilor (ideal i real).n momentul verificrii confruni bugetul realizat la nceputul lunii, cu ceea ce ai fcut de fapt.

    Foarte mult de ajut dac faci i un bilanla sfritul lunii.Etapa 5. Concluziile

    Dup ce ai confruntat realul i idealul, poi s tragi i anumite concluzii. Aceste concluzii te vorajuta n realizarea bugetului pentru perioada viitoare. Poate ai cheltuit mai mult dect te a teptai la oanumit categorie de cheltuieli i va trebui s suplimentezi banii ce merg n acea parte, sau poatecheltui mai puin i banii poi s i aloci pentru altceva.

    Nu uita c banii trebuie controlai, doar atunci poi s i stpneti cu adevrat.Calcularea bugetului

    Venituri (lei) Cheltuieli (lei)

    Salariu=4000 Mncare=500Pensie Chirie =200A utor de stat Ener ie electric=150Dobnzi Gaze =40Alocatie=80 Telefon, Internet=200Altele A a =100

    m rumut =0Pensie rivat=0

    Economii, investitii=0Tim liber=400Alcool/ i ri=0Tv=40Vacan e =0ntre inere co il=300Altele =200

    Total venituri=4080 Total cheltuieli=2130Sumar cheltuieli

    Categorie Suma (lei) Procent din venitCasa 1190 29,17%Distractii 440 10,78%

    Co ii 300 7,35%Altele 200 4,9%Total 2130 52,21%

    32

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    34/64

    MIRACOLUL MATEMATICII-PITAGORA I NUMERELE

    Eleva: tefan Iulia, clasa a VII-acoala Gimnazial nr.24, BucuretiProf. ndrumtor Bciucu Corina

    Pitagora, care a murit n jurul anului 490 .Hr., a fost fondatorul uneicomuniti religioase din sudul Italiei. El nu a lsat scrieri, iar detaliile vieii i alenvturilor sale sunt cunoscute doar prin adepii si. Conform acestora, el s-anscut la Samos, n Grecia, ca fiu al unui negustor, Mnesarchus. A ctigatntrecerile de pugilat la cea de-a 48-a Olimpiad (554 .Hr.) i apoi a pornit ntr-unir de cltorii lungi prin Orientul Apropiat. Cnd s-a ntors, el i-a nfinat gruparea religioas ncolonia greac Crotona, n sudul Italiei. Acestea se ntmplau n jurul anului 529 .Hr.

    La nceput, nvturile lui Pitagora au avut un succes remarcabil, iar filosofia sa a fostadoptat ntr-un numr de colonii vestice greceti. ns el susinea ideea unei aristocraii care intra nconflict cu idealul democratic grec, i ca urmare fireasc, intruziunea pitagoreic a fost urmat derevolte i masacrarea majoritii membrilor friei. Pitagora a plecat spre nord, n colonia Metaponte i

    a rmas acolo pn la moarte.nvtura:

    ns doctrina sa a supravieuit. Ea a fost enunat, aproape nemodificat, n dialogul Timaeus(aprox. 350 .Hr.) al lui Platon, a disprut timp de mai multe secole, a reaprut odat cuneoplatonicienii n sec. III d.Hr. i a fost absorbit n filosofia cretin n sec. VI.Care a fost nvtura lui Pitagora? Baza doctrinei sale, derivat din idei pe care probabil le-a nsuit ntimpul cltoriilor sale n Orientul Apropiat, a fost conceptul c Universul este o creaie divin, n carerolul omului este dea-i nvinge firea animal i de a ncuraja divinul. Legat de aceasta era credina lui Pitagora ntransmigraia sufletelor. ns doctrina diferea de celelalte prin insistena pe care o acorda numerelor idisciplinelor legate de acestea, precum geometria, aritmetica i muzica. Dup cum spunea un vestit

    principiu pitagoreic, numerele sunt totul.Probabil c marea descoperire a lui Pitagora a fost faptul c intervalele muzicale armonice pot

    fi descrise prin relaii numerice foarte simple. Ct timp tensiunea este constant, o coard care vibreazintoneaz octava dac lungimea sa este njumtit; cincimea cnd lungimea sa este redus la doutreimi i ptrimea la trei sferturi din lungimea sa. Pornind de aici, filosofii pitagoreici susineau c toatefenomenele naturale sunt armonice. Cerurile, spuneau ei, alctuiesc o scar muzical i numeric, unconcept reluat de Johannes Kepler (1571-1630) aproximativ 2000 de ani mai trziu, cnd a ncercat sfac legtura ntre orbitele elipsoidale ale planetelor. Chiar i principiile abstracte ca raiunea, dreptateai cstoria au primit o identitate numeric.

    Matematicienii colii pitagoreice erau fascinai de numere i de relaia dintre ele. Aezndpietricele mici i rotunjite n diferite modele, ei au renunat la ideea c numrul este doar o msur a

    cantitii, i au stabilit un concept al naturii sale mistice, magice, care a prefigurat calculele abstracteale matematicii pure.Forme:

    Un exemplu este tetrada sacr, care reprezenta numrul 10. El este format din 1+2+3+4,dispuse sub form de patru iruri de puncte ntr-un model triunghiular, un punct aflndu-se n vrf,dou n irul urmtor, i aa mai departe. Adugnd alte iruri de puncte, ei au descoperit c sumaoricrei serii de numere, ncepnd cu 1, poate fi ntotdeauna dispus sub forma unui triunghi. O seriesimilar de numere impare formeaz un ptrat i o serie de numere pare produce un oval.

    33

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    35/64

    Se spune c nsui Pitagora a construit o formul general pentru descoperirea a dou numerela ptrat a cror sum este un al treilea numr la ptrat i acesta, fr ndoial, este motivul pentrucare numele su a fost dat teoremei geometrice despre raportul dintre laturile triunghiuluidreptunghic.

    Forma Lumii:n filosofia pitagoreic, numrul 1 este atribuit unui punct, 2 este atribuit unei linii, 3 unei

    suprafee i 4 unui solid. Solidele obinuite au o calitate ciudat i magic, i probabil din acest motivpitagoreicii s-au numrat printre primii care au sugerat c Pmntul este o sfer i c cerurile serotesc n sfere n jurul su. Ei au descoperit construcia matematic a tetraedrului cu patru laturi, aloctaedrului (8 fee), al dodecaedrului (12 fee) i al icosaedrului (20 de fee). Studiind matematicasuprafeelor, ei au fcut descoperirea important c raportul laturii unui ptrat la diagonala sa nu poatefi exprimat n dou numere ntregi. Ei au fcut chiar civa pai spre forma abstract de calcul pe careurmau s o dezvolte mai trziu arabii i care este cunoscut ca algebr.

    PITAGORA, PRINTRE NUMERE PRIME I DIVIZIBILITATE

    PRIMA POVESTE singura cale ca s ai un prieten este ca tu nsui s fii unul .

    Este foarte greu s-i gseti un prieten dar este i mai greu de crezut c nu numai oamenii si pot

    gsi prieteni, ci i numerele. De aceea o s v spunem o poveste despre numerele prietene:Ca s-i asigure protecia unui senior ce-l dumnea, un cavaler a trimis acestuia un dar foartecurios fiindc l-a potrivit n aa fel ca s cuprind exact 220 de buci. Anume : saci de gru, de poameuscate, vase de vin, de ulei, oi, porci i la acestea a adugat o pung de bani, atia la numr ct mai eranevoie ca mpreun cu numrul celorlalte bunuri s ajung la 220.

    Separat, ntr-o pung de piele, cavalerul i-a trimis seniorului un medalion pe care era ncrustatnumrul 284.Seniorul netiind ce semnificaie s dea neobinuitului cadou, s -a dus s se lmureasc lacel mai mare matematician de atunci, Pitagora.

    Pitagora i-a dat seama imediat ca aceast problema poate fi rezolvat cu ajutorul numerelor primei a ncercat s-i explice seniorului de unde ar trebui s nceap cu rezolvarea problemei. El a nceput sexplice astfel :

    Numim numr primorice numr natural mai mare dect 1, care are numai divizori improprii.Numerele prime sunt: 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31Obs. :Singurul nr.prim i par este 2.

    Pentru a afla dac un numr este prim sau nu, l descompunem n factori primi, adic l mprim latoate numerele prime cu care este divizibil.Dac este divizibil doar cu 1 i cu el nsui, atunci numruleste prim.

    Dup aceste mici explicaii, Pitagora lrug pe senior s descompun cele dou numere n produsde factori primi.

    Atunci seniorul not pe hrtie:220 = 2 x 2 x 5 x 11284 = 2 x 2 x 71

    Dar exist o deosebire ntre factorii primi ai unui numr si divizorii lui, divizorii unui numr nusunt numai factorii lui primi ci si produsele formate de acetia.Dac relum calculul adugnd i pe 1 (unu) printre factorii primi se poate constata c prin

    adunarea prilor lui 220 se obine 284.2 x 2 = 42 x 5 = 102 x 11 = 225 x 11 = 552 x 2 x 5 = 20

    34

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    36/64

    2 x 2 x 11 = 442 x 5 x 11 = 110

    Deci : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284Dac l lum pe 284 descompus n factori primi obtinem 2 x 2 x 71

    2 x 2 = 42 x 71 = 142

    Deci : 1 + 2 + 71 + 142 = 220Seniorul plec mulumit de explicaia dat de marele Pitagora i astfel reui s neleag mesajul

    cavalerului.A DOUA POVESTE

    Rspndindu-se vorba prin inut despre nelepciunea lui Pitagora, ntr-o diminea acesta se trezicu un nou musafir care ncerc s-l pun n ncurctur pe marele nvat. Astfel Pitagora trebui srezolve o nou problem care se prezenta astfel:

    Un copil este de dou ori mai vrstnic dect sora lui. Ea are de trei ori mai multe ciree dect are elalune. Dac nmulim numrul ce reprezint vrsta copilului cu numrul cireelor obtinem 510. Cevrst are sora copilului i cte alune are el?Pitagora se gndi un pic i si ddu seama c are de a face din nou cu numerele prime. Astfel, dacdescompunem n factori primi numrul 510 obinem: 2 x 3 x 5 x 17. Vrsta fratelui trebuie s fiecompus din doi dintre aceti factori. Cum este dublul vrstei sorei, unul din numere neaprat este 2.

    Numrul cireelor trebuie s fie un multiplu de 3. Rmn doi factori primi : 5 si 17. Dar vrstafratelui nu poate fi 2 x 17 = 34, pentru c este nc un copil. Atunci putem spune c are 2 x 5 = 10 ani,iar surioara lui are 105 = 5 ani.Numrul cireselor va fi de 3 x 17 = 51, iarcel al alunelor este 17.Dar Pitagora l provoc pe musafirul su s rezolve i el o problem destul de simpl, iar acestaaccept. Problema spunea cam asa ceva:Care sunt nr. prime de 2 cifre, avnd produsul cifrelor 6?

    Rezolvare:ab=?,a este numr natural nenul i ab=6=>a i b sunt divizori ai lui 6D6= {1; 2; 3; 6}a = 1, b = 6 => ab = 16 i nu este nr. prima = 2, b = 3 => ab = 23 i este prima = 3, b = 2 => ab = 32 i nu este prima = 6, b = 1 => ab = 61 i este primab = {23; 61}

    Pitagora a fost multumit de rspunsul musafirului su i i mai puse acestuia o ntrebare tot dindomeniul matematicii. Dar numaidect si ddu seama c nu i -a spus acestuia cte ceva despredivizibilitate pentru a putea rezolva i aceast problem. Aa c ncepu s-i spun urmatoarele:

    Cri teri ul de divizibil itate cu 8Un nr.este divizibil cu 8, atunci cnd nr. format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.

    Cri ter iu l de divizibil itate cu 25

    Un nr.este divizibil cu 25, dac nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25, adic, dacultimele sale 2 cifre sunt: 00; 25; 50; 75.

    Cri teri ul de divizibil itate cu 125Un nr. este divizibil cu 125, dac nr. format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125.

    Cri teri ul de divizibil itate cu 11Un nr. este divizibil cu 11, dac diferena dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelorsituate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.Ex.1925 :9 + 5 = 14; 1 + 2 = 3; 143 = 11; 11/11 => 11/1925

    35

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    37/64

    Dar s aflm problema :A TREIA PROBLEM

    Un om foarte bogat dar la fel de zgrcit a tocmit 3 echipe de muncitori pentru construirea unui zidnalt de jur-nprejurul castelului su. n prima echip erau 10 oameni, n alta 15 i n a treia echip erau18 lucrtori. Obligaia stpnului era, printre altele, ca la masa de prnz s dea fiecrei echipe cte unco cu curmale, vin i pete.Gndindu-se ca n couri s pun ct mai puine curmale, dac se poatepn-n 100, dar i lui s-i rmn n fiecare co cte 2 curmale, l-a ntrebat pe Pitagora cum sprocedeze. Simplu, a rspuns marele nvat. Practic, avem o problem simpl de divizibilitate ianume :

    S se afle cel mai mic numr natural de dou cifre care mprit la 10, 15 i 18 s dea restul 2.Rezolvare:x=10c1+2; x=15c2+2; x=18c3+2.De unde vom aveax2 = [10; 15; 18] x2 = 90 x = 90 + 2 = 92

    Pitagora l rug, drept rsplat pentru rspuns, s gseasc soluia urmtoarei ntrebri:

    A PATRA PROBLEMDetermin cel mai mic a, astfel nct numrul a3579 s fie divizibil cu 11.

    Rezolvare:

    a + 7 + 3 = a + 10.5 + 9 = 14; atunci [14( 10 + a ) ]:11 deci 14( 10 + a ) = 0 (cel mai mic posibil)10 + a = 14a = 1410a = 4(3 + 7 + 4 ) - ( 5 + 9 ) = 1414 = 0 => 11/0=>11/35794.

    A CINCEA PROBLEMLa ua lui Pitagora apru un tnr care avea o problem cu motenirea lsat de tatl su. La

    nceput Pitagora nu a vrut s-l ajute, dar mai trziu, ascultndu-i problema mai pe ndelete, se nvoi s-idea o mn de ajutor. Iat cum se prezenta problema:

    Un negustor grec avea trei fii. Dupa moartea sa, el ls motenire celor trei copii ai lui 19cmile. Dar el le-a spus copiilor s le mpart n felul urmtor: fiul cel mare sa ia jumtate dinnumrul cmilelor, cel mijlociu 1/4 din toate cmilele, iar cel mai mic 1/5 din numrul lor.

    Dup moartea tatlui lor, cei trei feciori au ncercat s mpart ntre ei cmilele aa cumlsase cu limba de moarte printele lor. Dar neizbutind s fac mpreala, au cerut sfatul nvatuluiPitagora. Astfel c Pitagora se duse impreun cu tnrul n grajd i i ddu acestuia o cmil,spunndu-i c acum dac va merge acasa va putea rezolva problema motenirii fr nici o dificultate.Tnrul se duse acas puin nedumerit, dar cnd ajunse acas si ddu seama c acum avea 20 decamile i totul se putea rezolva mai usor.

    Feciorii fcur urmtoarele mprtiri:20 : 2 = 10; 20 : 4 = 5; 20 : 5 = 4; 10 + 5 + 4 = 19 camile.

    Dup mprirea fcut, cei trei feciori au observat c au o cmil n plus. Bineneles c aceastaera cmila marelui nvat Pitagora aa c se duser toi trei i napoiar cmila, mulumindu-i pentruajutorul dat.

    Bibliografie:Florica T. Cmpan -Probleme Celebre Din Istoria Matematicii, Editura Albatros, 1976E. Kolmon - Istoria matematicii in antichitate, Editura tiinific, Bucureri, 1963

    Resurse web:ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora

    36

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    38/64

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    39/64

    A da i a primi iubire este nu doar benefic ci natural, care ine de starea noastr pur.Cnd nu putem iubi, trebuie s tim c n noi exist un blocaj, exist ceva care trebuie purificat.

    n corpul nostru subtil exist o putere care ne d fora de a fi monoton detalat, fa de tot ceeace se ntmpl. Aceast putere nu nseamn uscciune sufleteasc, sau a tri fr iubire, ci din contr aavea mult iubire i pentru toi.

    O alt metod de a ne cunoate pe noi nine este metoda Yoga. Shri Mataji explic faptul cnc din starea embrionar, Duhul Sfnt, esteproiectat n noi, i astfel ncepe construirea multiplelorcanale energetice dintre care cele mai importante sunt: stng, central i drept.

    Canalul stng se mai numete i canalul lunar i reprezint energia feminin de tip Yin, care semanifest prin calitile specifice de intuiie, cooperare, blndee, responsabilitate. Este canalultrecutului, al dorinelor, al amintirilor, al emoiilor i aspiraiilor.

    Canalul drept se mai numete i canalul solar i reprezint energia masculin de tip Yang carese manifest prin trsturile specifice de analiz, competitivitate, mentalizare i agresivitate. Estecanalul viitorului, al aciunilor i activitilor fizice i intelectuale, al planificrilor de viitor.

    Canalul central ndeplinete un rol esenial al vieiisubtile, al vieii spirituale, pentru realizareaunui nivel de contiin mai elevat i mai vast.

    Pe lng aceste canale mai exist i numeroase centre din care decurg numeroase puteri ca:puterea nelepciunii i a umilinei, puterea cunoaterii.

    Cu ajutorul acestora ne putem cunoate mai bine sinele. Putem s desluim tainele trupului attdin punct de vedere moral, adic s ne cunoatem sufletul, ct i din punct de vedere fizic.

    n concluzie trebuie s ne iubim semenii ca pe noi nine pentru c toi facem parte din acelaintreg care este umanitatea, care la rndul ei face parte din Univers.

    BIBLIOGRAFIE

    Fundamentele geometriei Angela Vasiu litografiat Universitatea Babe-BolyaiCluj-Napoca 2000

    38

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    40/64

    CALCULUL PROBABILITILOR I LUMEA DE AZI

    Vlad Maria & Dicusar Rebeca, clasa a VI-aScoala Gimnazial George Cobuc, PloietiProfesor ndrumtor: Dracinschi Nicoleta - Ionela

    Cum s ndrznim s vorbim de legile hazardului? Hazardul nu nseamn antiteza oricreilegi? Aa se exprim Bertrand la nceputul lucrrii sale Calculul probabilitilor.

    i totui, ncepnd cu corespondena dintre PascaliFermat (sec. al 17-lea) pe tema jocurilorde noroc, matematicienii hazardului cu demonstraiile matematice.

    Astzi, legile probabilitilor sunt recunoscute n multe aspecte ale vieii.n coal.Dac v gndii s rspundei la ntmplare la un test cu zece ntrebri cu rspunsurileDA/NU, calculul probabilitilor v avertizeaz c avei o ans doar de 17% de a rspunde corect la 7ntrebri.n fabric. Procesele de prelucrare, controlul i deciziile de continuare a produciei se bazeaz pecalcule probabilistice.n investiii. Oportunitile sunt selectate n urma studiilor probabilistice ale preurilor viitoare.n tiin. Fenomenele fizice, chimice, biologice etc. sunt studiate din punct de vedere probabilistic.

    Msura posibilitilor producerii unui anumit eveniment este tocmai probabilitatea acestuia.Teoriaprobabilitilor continu s aib un rol esenial n calcularea anselor la jocurile de noroc.

    Aadar, probabilitile sunt omniprezente, iar legile lor sunt folosite n tiin, sport, afaceri ijocuri. Este i motivul pentru care calculul probabilitilor a devenit o component esenial aprogramelor colare de matematic.

    Paradoxuri ale probabilitilorChiar dac la aruncarea unei monezi (valoare-stem) a aprut de zece ori valoarea, probabilitatea ca laa unsprezecea aruncare s apar tot valoarea, rmne 1/2!Dac aruncm dou zaruri este de dou ori probabil de a obine suma 11, dect suma 12!Dac familia Ionescu are doi copii, dintre care tim c cel mic este biat,probabilitatea ca cel mare sfie tot biat este de 1/2.

    Catalan: Probabilitatea unui eveniment viitor nu se schimb dac, cauzele de care depind se modificn mod necunoscut. Mai explicit: s presupunem c ntr-o ar mare, ca Frana, se voteaz n 50. 000 debirouri, pentru sau contra unui anumit candidat... Ei bine, s-ar putea suprima n fiecare din acele 50 000de urne, jumtate sau chiar 3/4 din sufragii (voturi), cu condiia ca aceast suprimare s se fac cu totulla ntmplare. Rezultatul alegerii ar fi desigur mai tot acelai ca i cnd nu s-ar fi atins nimeni de urne.tiai c...Probabilitatea ca varianta dumneavoastr din 6 numere s fie ctigtoare la o tragere LOTO 6 din 49este de 1/13 983 816? Dac jucai cte 3 variante diferite n fiecare sptmn n 89 642 de ani, fiisigur c vei obine premiul cel mare!Primul care s-a ocupat de aplicarea teoriei probabilitailor n geometrie a fost naturalistul i literatulBuffon. El a cercetat printre altele problema privind probabilitatea ca un disc circular aruncat peste o

    fie dreptunghiular mprit n ptrate s cad n ntregime n interiorul unui ptrat?La originea corespondenei dintrePascaliFermatpe tema jocurilor de noroc st ntrebarea pus lor,de un original om de lume Anatonie Gambaud Chevalier de Mere: Din cte aruncri de zaruri se poateobine un dublu ase?.nc din secolele XVIII-XIX, direciile de folosire ale teoriei probabilitilor au fost extrem de variate,de exemplu: n tratarea jocurilor de noroc i al pariurilor, n problema determinrii vinovieiinculpailor mpotriva crora existau cteva mrturii, n problema declarrii ca decedai a indivizilordisprui fr urm, la ntocmirea tabelelor de mortalitate, la teoria rentelor viagere, n teoria tragerilorde artilerie i chiar n probleme privind teologia!

    39

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    41/64

    Glume Un profesor se hotrte s le dea elevilor si un test cu rspunsuri DA/NU.

    Dup mprirea formularelor l zrete pe Gigel, n ultima banc aruncnd moneda inotnd rezultatele aruncrilor.-tii, se scuz Gigel, anticipnd ntrebarea profesorului, n-am avut timp s mpregtesc pentru acest test i m-am gndit s completez formularul cu rezultatelearuncarilor monedei: DA pentru valoare i NU pentru stem.

    Dup trecerea timpului acordat, n timp ce strngea lucrrile profesorul l gsetepe Gigel aruncnd n continoare,de zor, moneda.-Gigel, nu neleg de ce i-a luat att de mult timp completarea formularului? se mir profesorul.-Pi tii,acum verific rspunsurile .

    Speriat de tirile despre descoperirea unei bombe la bordul avioanelor,un om de afaceri consult un matematician.-Nu v facei nici o grij, ncerc s-l liniteasc matematicianul.Probabilitatea ca la bordul unui avion s se gseasc o bomb este de la 1 la1000!-Bine, dar eu cltoresc foarte des cu avionul, insist omul de afaceri.-Atunci, iat ce v sftuiesc. Luai de fiecare dat cu dumneavoastr o

    bomb. Probabilitatea de a gsi dou bombe la bordul unui avion este de la 1la 1 000 000!

    Un medic i spune pacientului su:-Suferii de o boal foarte grav. Probabilitatea de vindecare este de 1/10. Din zece pacieni doar unula supravieuit, dar nu va ngrijorai. Avei mare noroc c ai venit la mine. Pn n prezent am tratat 9pacieni i toi au murit!

    Din constatrile luiMuphy:Se poate fora ieirea unui anumit numr miznd pe toate celelalte.

    Probleme ntr-o pung sunt 30 de bile roii, galbene i albastre. Probabilitatea de a extrage la ntmplare o

    bil albastr este 7/15 i sunt de 1/3 ori mai multe bilegalbene dect roii. Extrgnd la ntmplare o

    bil, s se calculeze probabilitatea:a) bila s nu fie albastr;b) bila s nu fie galben;c) bila s nu fie roie.

    Un tnr care locuiete n apropierea staiei de metrou UNIVERSITATE,are dou prietene la care ine la fel de mult, una care locuiete n apropiereastaiei de metrou TINERETULUI i una care locuiete n apropierea staiei demetrou AVIATORILOR.Atunci cnd se hotrte s fac o vizit uneia dintrecele dou prietene, tnrul las hazardul s decid. Coboar n staiaUNIVERSITATE i ia primul metrou care intr n staie (spre TINERETULUIsau spre AVIATORILOR). Metrourile intr n staia UNIVERSITATE spre

    TINERETULUI i n sens contrar spre AVIATORILOR cu aceeai frecven de10 minute. Dar, din motive de neneles, dei coboar n staie la o or absolut ntmpltoare a dup-amiezelor, el constat c i petrece cea mai mare parte a timpului cu fata care locuiete n apropiereastaiei TINERETULUI. ntr-adevr, el merge ntr-acolo de 9 ori din 10.Gsii un motiv valabil pentru a explica, de ce soarta favorizeaz att de mult fata de laTINERETULUI.Bibliografie:*I. Dncil- Matematica distractiv pentru clasele V-VI, Editura Sigma, Bucureti, 1999* G. PolyaDescoperirea n matematic , Editura tiinific, Bucureti, 1974

    40

  • 8/12/2019 Revista Nr.17 Mai.2014

    42/64

    TEOREMA LUI IEICA

    Cloc Luminia Gabriela, Popa Andreea, clasa a X-aColegiul Naional Mihail Koglniceanu Galai