TESELADOS

Un teselado se refiere a una partición del plano mediante polígonos idénticos, o a un polígono o grupo de polígonos idénticos que convenientemente agrupados recubren enteramente el plano. También es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

• Que no queden huecos

• Que no se superpongan las figuras

Teselar es embaldosar una superficie con figuras regulares o irregulares. Al teselar un plano, entre las figuras, no queda espacios y tampoco se superponen.

Teselados regulares

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.

Un teselado regular debe cubrir toda una superficie con un solo tipo de polígono regular,

Sin que se sobrepongan y sin dejar espacios vacíos. Esto nos permite deducir que los

Polígonos que cumplen esta condición deben ser divisores de 360º, el ángulo Diédrico que Deben cubrir.

Esta condición sólo la cumplen:

El triángulo [3,6], el cuadrado [4,4] y el hexágono [6,3].

2

Teselados semiregulares:

Son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teselado semiregular tiene las siguientes propiedades:

1. Está formada sólo por polígonos regulares. 2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. 3. Existen sólo 8 teselados semi-regulares

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.

Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

3

Teselados Demirregulares:

Los teselados demirregulares al igual que los anteriores cubren toda una superficie con dos o más polígonos regulares, sin que se sobrepongan y sin dejar espacios vacíos. La diferencia es que la distribución no es la misma para todos los vértices, esta se repite

Periódicamente. El grupo de polígonos que concurren a cada vértice deben siempre sumar 360º. (Existen 14 tipos de teselados de demirregulares).

4

Teselados Irregulares:

Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares.

Que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo.

Completo, para tal efecto veamos dos ejemplos de la distribución del pentágono.-

5

M. C. Escher, el hombre al que todo lo asombraba Escher observaba y hallaba patrones de diseño en todos y cada uno de los detalles más comunes de la vida cotidiana. Porque para Escher era precisamente en la vida donde pasaban las cosas.

Escher fabricó caleidoscopios y teselaciones. Entendió estéticamente los atributos de los ángulos llenos de catetos. Comprendió las dimensiones, los espacios y las transformaciones geométricas, de fabricó tablas de datos sabiendo lo que hacía, emocionándose al vislumbrar tendencias.

6

A continuación vamos a obtener la expresión correspondiente al área total del Teselado:

Supongamos que el lado de cada cuadrado es “X”

Tenemos entonces que el área de cada uno es:

Área cuadrado = X² y como son 26 cuadrados entonces

Sup. Total de los cuadrados = 26 X²

Las otras figuras son triángulos equiláteros, de lado “X”

Tenemos que: Sup. Triángulo= base . altura

2

7

Para obtener la altura, aplicamos Teorema de Pitágoras:

Hip² = cat1 ² + cat2 ²

X² = (X : 2)² + altura²

X² - X²/4 = altura² entonces altura= √ 3 X² / 4 = √ 3 . X

2

Reemplazando, tenemos:

Área del triángulo = X . √ 3 . X : 2 = √ 3 . X²

2 4

Hay 42 triángulos, entonces Área total de triángulos = 42 √ 3. X²

4

8

AREA TOTAL DEL TECELADO =

26 X² + 21 √ 3 X² = (26 + 21 √ 3) X²

2 2

Observa que la expresión obtenida permite calcular la superficie del teselado para cualquier medida del lado!!!!! Sólo debemos reemplazar la “X”

Te dejamos el siguiente teselado para que obtengas la expresión de su área

Recuerda cómo obtener el área de un polígono!!!!

Área del polígono = perímetro x apotema

2

9

Algunos Teselados:

10

Imagen de teselado (Triángulos y Decágonos)

Imagen de Teselados (Triángulos y Hexágonos)

Imagen de teselado de unas baldosas

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Teselado: Pelota de fútbol (Pentágonos y Hexágonos)

Teselado: Bolso (Hexágonos)

Síndrome de la PC Aumentaron las consultas a los oculistas por fatiga o sequedad en los ojos. Y a los traumatólogos por dolores cervicales y por tendinitis en las manos. El fenómeno se

expande también entre los chicos.

Medio de comunicación, herramienta de trabajo, entretenimiento. Sin duda, por sus múltiples usos, la PC se ha convertido en la mano derecha del hombre urbano. Tanto en lugares de trabajo como en hogares, millones de argentinos pasan largas horas golpeando teclas y moviendo el mouse frente al monitor. Y si bien nadie se atreve a afirmar que la computadora puede causar problemas, en los últimos años aumentaron las consultas médicas por los trastornos que genera la utilización full time de la PC. Es lo que en algunos países ya se define como Síndrome de la Computadora: molestias visuales, dolores musculares y cefaleas. Los expertos sostienen que una persona que trabaja con una PC ejecuta por día entre 12 mil y 33 mil movimientos de cabeza y de ojos, entre 4 mil y 17 mil reacciones de las pupilas y 30 mil pulsaciones del teclado, por lo que no resulta extraño que semejante actividad dé motivo a diversas manifestaciones clínicas. Pruebas al canto: en algunos hospitales porteños, las consultas por dolores de espalda y contracturas a causa del uso intensivo de la PC se dispararon en los últimos años. Y los oftalmólogos admiten que están recibiendo pacientes cada vez más jóvenes con síntomas de cansancio visual y sequedad ocular. ¿Cómo se manifiesta el problema en el plano de los ojos? Un estudio reciente del Colegio de Opticos de Galicia asegura que el 80% de los jóvenes españoles sufre algunos de los síntomas visuales del Síndrome de la Computadora. Los mismos, según la Sociedad Americana de Optometría, suman 14, entre los cuales están: enrojecimiento, cansancio y sequedad ocular, visión lejana y cercana ocasionalmente borrosa, alteración cromática, mareos y cefaleas. Algunos investigadores de la misma academia científica fueron más allá: vaticinaron en un polémico estudio difundido en 2002 que uno de cada tres chicos que pasan mucho tiempo delante de la pantalla desarrollará miopía si no utiliza anteojos especialmente recetados. Y los técnicos de la empresa de óptica Bausch & Lomb estiman que 60 millones de personas en todo el mundo tienen problemas visuales a causa del Síndrome de la Computadora y que este número aumenta a razón de un millón por año.

Fuente: Diario Clarín

Sección Sociedad, 28 de abril de 2004

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Actividades:

1)- Calcular el promedio de movimientos de cabeza y ojos que, según expertos realiza una persona por día.

2)- Calcula el promedio de reacciones de pupila por día.

3)- Según los datos de los técnicos de la empresa Óptica Bausch y Lomb: ¿Cuántas personas en el mundo aproximadamente tendrán problemas visuales en el 2007?

4)- Calcular la de “A” al monitor.

5)- Calcular la longitud de “B” al mueble.

6)- ¿Cuántos grados mide el ángulo ß?

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Respuestas:

1)- El promedio sería de 22.500 movimientos de cabeza y ojos.

2)- El promedio sería de 10.500 reacciones de pupila.

3)- Serían 66 millones de personas en todo el mundo afectadas por problemas visuales.

4)- La longitud de “A” al monitor es de 50 cm.

“En todo triángulo rectángulo se puede plantear:

SIN24º = cateto opuesto

Hipotenusa

Sin 24° = 20 cm.

A

0,40 = 20 cm.

A

A = 20 cm.

0,40

A = 50 cm.

14

5)- La longitud de “B” al mueble es de 66, 46 cm.

(47m)2 +(47m)2 = ß2

2209+2209= ß2

4418 = ß2

4418 = ß2

66,46m= ß

6)- El ángulo ß es de 66°.

24°+90°= 114

180°- 114°= 66°

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La Circunferencia en la Música En la música se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas, por ejemplo, los CD, son una placa con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo, que sirve para tomar el CD y para que pueda ser reproducido.

Otro ejemplo sería la batería, un instrumento formado por 5 tambores y los platillos, los tambores son de forma tubular y con un cierto largo. Cuando alguien se refiere a algún tipo de tambor habla por ejemplo de “un bombo de 46 x 35”, esto significa que es un bombo que tiene 46 centímetros de diámetro y 35 centímetros de fondo. Con los platillos también se usa la circunferencia. Los platillos son placas metálicas, redondas y semi-planas que producen sonidos al ser golpeadas. También tienen sus medidas, y para hablar de estas se recurre al diámetro. Por ejemplo: “Ese platillo es de 18”, esto significa que el platillo tiene 18 pulgadas de diámetro.

La circunferencia en el transporte

En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las ruedas están hechas de un “arco” . La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.

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La circunferencia en el deporte Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes sería en las pelotas... Pero no, si solo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas geométricas y Circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de Básquet. La circunferencia en el sistema horario El reloj consiste en una placa redonda (circunferencial) que esta dividida en 12 partes iguales, al centro tiene un agujero por donde sale el sistema del horario, minutero y segundero. Está formado por 12 partes exactamente iguales, que a futuro podrán dar una medición de hora perfecta, es necesario usar criterios de ángulos de la circunferencia. Usando el centro como vértice, se puede observar que el ángulo interno de la circunferencia mide 360°. Entonces será necesario dividir 360° en 12. El resultado será 30° y entonces cada parte del reloj tendrá que medir 30°. También se puede usar la formula: 2 PI x radio para obtener el perímetro de la circunferencia y entonces dividir este en 12 para tener la distancia de cada uno de los 12 arcos de la circunferencia.

La circunferencia en la Naturaleza Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los años. Primero crecen pequeñas ramificaciones desde el suelo. Luego crecen más y con esto va aumentando el grosor de su Tronco. La circunferencia se aplica entonces debido a que las personas relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros Forestales, saben perfectamente que al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos “anillos” que están en el tronco. Y con el “tamaño” de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto árbol. Lo que nuevamente se usa, entonces, es el diámetro de cada anillo.

Construyendo un corral 17

Quiero hacer un corral con tres hilos de alambre y para ello tengo ciento veinte metros de alambre, además tengo un paredón a lo largo de todo el terreno. ¿Cómo podría hacer para que el corral ocupe la mayor superficie posible?

Resolución

120 m : 3 = 40 m *Metros de alambre, lo divido por la cantidad de hilos que quiero

a + 2x = 40 *Para obtener la dimensión del corral sumo todos sus lados

a = 40 – 2x *Despejamos (a)

y = a . x = (40 – 2x) . x = 40x – 2x²

y = 40x – 2x² *Realizamos una tabla para ver cual será el mayor valor posible.

18

x = base

y = superficie

*Para sacar la superficie multiplicamos lado por lado

Paredón

x x

a

19

x y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

38

72

102

128

150

168

182

192

198

200

198

*Una vez obtenido el mayor valor, realizamos un gráfico, correspondiente a una función cuadrática.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25

20

Rta: El ancho (x) debe medir 10 m y la altura (a) debe medir 20 m.

Un panal es una estructura formada por celdillas de cera, que

comparten paredes en común construida por las abejas melíferas para contener sus larvas y acoplar miel y polen dentro de la colmena.

Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Cuál de todas les conviene utilizar para aprovechar al máximo el lugar y guardar la mayoría de miel posible? Calcular el área de las tres figuras teniendo en cuenta que el perímetro es de 12 centímetros.

SI FUERA UN TRIÁNGULO…

Cada lado tendría que ser de 4 cm cada uno. Sabiendo que para saber el área de un triángulo se calcula:

Área de un triángulo:

BASE. ALTURA 2

4 cm . 3,46 cm = A

13,84 cm = A 2

6,92 cm2 = A

Teorema de Pitágoras:

Hip2=cat2 +cat2

(4cm) 2= (2cm) 2+ cat2

16cm2 – 4cm2= cat2

12cm2= cat2

(12cm2)^1/2=cat

3,45cm=cat

Tendremos que sacar la altura

con el teorema de Pitágoras.

b.h

2

21

Sabiendo que la altura es 3,45 cm, podemos hacer el cálculo para averiguar su área:

SI FUERA UN CUADRADO…

Cada lado seria de 3 cm. Entonces, sabiendo que el área de un cuadrado es calcular el cuadrado de su lado, seria así:

Área de un cuadrado

lado . lado = lado2

(3 cm)2 = 9 cm2

SI FUERA UN HEXÁGONO…

Los lados tendrían que ser de 2 cm cada uno. Entonces, si para saber el área de un hexágono se calcula el perímetro por la apotema, dividido dos, primero habrá que saber cuanto mide la apotema. Para esto usaremos el teorema de Pitágoras nuevamente.

Teorema de Pitágoras:

Hip2=cat2 +cat2

(2cm) 2= (1cm) 2+ cat2

4cm2 – 1cm2= cat2

3cm2= cat2

(3cm2)^1/2=cat

1,73cm=cat

22

3 cm

3 cm

2 cm

Ya sabiendo que la apotema es de 1,73 cm, podemos calcular la superficie del hexágono.

Área de un hexágono:

PERIMETRO.APOTEMA

2

12 cm . 1,73 cm =A

2

Y así, llegamos a la conclusión de que a las abejas les conviene hacer las celdas de sus panales con forma hexagonal, ya que

con la misma cantidad de material, pueden abarcar mayor espacio para poder guardar más miel.

23

Un nido es un lugar de refugio utilizado por animales para procrear y criar a

su descendencia. Las aves, reptiles, insectos, peces depositan sus huevos

y los incuban, mientras que los mamíferos paren en ellos, pero todos crían

posteriormente a su prole en los nidos.

24

Los nidos pueden ser de variadas formas, la más común es la forma de

cuenco o copa. Le van formando la concavidad central aplastando con el

pecho y las patas, a esa mezcla de barro o ramas y saliva. Hay casos, como

los nidos de águilas, en que es un aglomerado de ramas amontonadas con

un peso superior al de un automóvil.

Cada especie tiene un modelo de construcción, y necesita solamente el

instinto. Los tipos de nidos también varían según las presas que van en

busca de sus huevos y de las aves mismas.

25

Las aves utilizan materiales de tipo vegetal,

como ramitas, hierbas, musgos, líquenes o

algas. Pero esta lista es aun más grande ya que

también se pueden construir con barro. Además

pueden utilizar como materiales de construcción

restos suyos, como su propio plumón, su propio

excremento e incluso materiales hechos por el hombre.

La elección de los materiales depende del lugar donde habiten.

Los más comunes son: Copa: El nido de copa es lisamente semiesférico por dentro, con una depresión profunda para albergar los huevos. La mayoría son hechos de materiales flexibles—incluyendo hierbas—aunque un pequeño número son hechos de barro. Colgante: El nido colgante es una bolsa alargada tejida de materiales flexibles como hierbas y fibras de plantas y suspendidas de una rama. Esférico: El nido esfera es una estructura redondeada; está completamente cerrado, excepto por una pequeña abertura que permite el acceso.

26

Problemas:

Un nido de copa tiene un radio de 20 cm hasta el

primer borde, y un radio de 23 hasta el segundo borde.

a) ¿Cuál es su volumen y qué volumen ocupan sus paredes? b) ¿Cuál es el espacio libre dentro del nido? c) ¿Cuál es el área de la cara interna, y cuál de la cara externa? d) Supongamos que tenemos un huevo de forma esférica con 2 cm de

radio, ¿cuál es su volumen? Resoluciones:

a) V= 4 x π x r3

3

V= 4 x 3,14 x (23cm) 3

3

V= 4 x 3,14 x 12467cm3

3

V= 152817,52 cm 3

3

V= 50939,17 cm3

V del nido = 50939,17

2

Volumen del nido = 25469,585 cm3

27

VOLUMEN INTERIOR

V= 4 x π x r3

3

V= 4 x 3,14 x (20cm) 3

3

V= 4 x 3,14 x 8000 cm3

3

V=100480 cm3

V= 100480 cm3

3

V= 33493,33cm3

Volumen del nido interior = 33493,33 cm3

2

Volumen del nido interior = 16746,66 cm3

25469,585

- 16746,66 Volumen interior

Volumen de su pared = 8722,925 cm 3

b) El espacio libre dentro del nido es de 16746,66 cm 3

28

Volumen del nido

AREA CARA INTERNA

Area = 4 x π x Radio ²

= 4 x 3,14 x (20cm)²

= 4 x 3,14 x 400cm²

= 5024cm²

Area de la cara interna = 5024 cm²

2

AREA INTERNA DEL NIDO = 2512 cm²

29

AREA EXTERNA

Area = 4 x π x Radio ²

= 4 x 3,14 x (23cm) ²

= 4 x 3,14 x 529cm²

= 6644,24cm²

3322,12 AREA EXTERNA DEL NIDO

d) V= 4 x π x r3

3

V= 4 x 3,14 x (2cm)3

3

V= 4 x 3,14 x 8cm³

3

V= 4 x 3,14 x 8cm³

V= 100,48 cm³

3

V= 33,49 cm 3

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Información sobre quien fue Pitágoras:

Filósofo griego nacido en La Isla de Samos y muerto en Metaponto. Se lo considera el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos. La sociedad que lideró estaba regida por códigos secretos que hace que su figura sea muy misteriosa.

Tres filósofos se encontraban entre sus maestros. Uno fue Pherekydes. Los otros dos filósofos son Thai es y su discípulo Anaximandro, ambos vivían en Mileto, quienes Lo introdujeron en tas ideas matemáticas.

Pitágoras conoce a ThaLes en Mileto entre Los 18 y 20 años. En esta época, Thales era un anciano y contribuyó al interés de Pítágoras por la Matemática y La Astronomía y le aconseja viajar a Egipto para profundizar estos temas. Anaximandro Le dio clases de Geometría y Cosmología y muchas de sus ideas influyeron en Pitágoras.

Pitágoras viaja a Egipto en el 535 a.C. Esto es unos años antes de que el tirano Policrates tomara eL control de Samos. Pitágoras va a Egipto con una carta de recomendación de Policrates, de quien era amigo. Había una alianza y estrechos vínculos políticos, en esa época, entre Egipto y Samos. Allí visitó muchos templos y se vinculó con los sacerdotes, de quienes tomó muchas ideas que impuso posteriormente a su sociedad.

La muerte de Pitágoras fue debida a una revuelta popular, debido a que el pueblo de Crotona pensaba que tas tierras conquistadas por una guerra con un pueblo vecino, se iban a entregar a Los pitagóricos. Los amotinados, rodearon la casa de Mitón, taparon las salidas y te prendieron fuego. Pitágoras y muchos de sus discípulos murieron. Los supervivientes huyeron y esto sirvió para divulgar sus conocimientos. Las teorías pitagóricas sólo se conocieron a través de sus discípulos

31

Teorema de Pitágoras:

Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

Problema:

Una mosca tiene que ir desde un punto “A” el punto “D” ¿Cuál es la distancia que hay de un punto al otro si cada lado de la habitación mide 5cm de ancho y 3cm de alto?

5cm

32

A

B

C

F

D

G

H

E 5cm

5cm

Hip2 = cat12 + cat22

GD2= (5m) 2 + (5m) 2

GD2= 25m2 + 25 cm2

GD= √ 50 √m2

GD= 7.07m

Hip2 = cat2 + cat2

AD2= (3m)2 + (7.07m) 2

AD2 = 9 m2 + 49, 98

AD = √58,98 √m2

33

LA MOSCA DEBERÁ RECORRER 7,98m AL IR DE UN PUNTO DE LA HABITACIÓN A OTRO.

AD= 7,67m

THALES

Thales de Mileto fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.2 Fue además uno de los más grandes astrónomos y matemáticos de su época. Sus estudios abarcaron profundamente el área de la geometría, álgebra lineal, geometría del espacio y algunas ramas de la física, tales como la estática, la dinámica y la óptica. Su vida está envuelta en un halo de leyenda.

TEOREMA DE THALES

Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

En este caso solo veremos uno y su variante.

Primer Teorema

Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segmentos determinados es una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinando en la otra.

a a’

b b’

c c’

d’

34

A

B

C

D

E F

d

ab

a’b’

=

bc

b’c

=

cd

c’d’

E y F son las transversales

COROLARIO DEL TEOREMA DE THALES Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos

triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Ej.:

En la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Thales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Thales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

En cualquier caso, en el teorema se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente entre sus lados.

ACTIVIDAD:

• Encuentra la altura del árbol utilizando una varilla de 0,4 m de longitud, si se conoce que la sombra del árbol es de 6m y la sombra de la varilla es de 1m.

35

Una torre muy particular La torre inclinada de pisa se comenzó a

construir en el año 1163. Cuando se estaba levantando el tercer piso, se produjo un hundimiento y la obra se detuvo. Tiempo después, esta se reanudó, y comenzaron los intentos por reparar la inclinación que presentaba. La torre se terminó de construir a finales del siglo XIV; sin embargo, siguió inclinándose y esta peculiaridad la hizo famosa.

a

h

A principios de 1997 un ingeniero británico

especialista en mecánica de suelos, la salvó de un

derrumbe inminente colocando un contrapeso de

900 toneladas de plomo en una de sus bases.

Según los cálculos del ingeniero, el edificio se

derrumbaría hacia el año 2050.

A continuación le presentaremos una forma de obtener la altura de la torre

inclinada. Para empezar, tenemos que obtener la medida de una línea vertical

que se extienda desde el punto mas alto de la torre hasta el suelo (55m.);

también utilizaremos la medida que es igual al espacio existente entre la vertical

trazada anteriormente y el comienzo de la base (6m).

Hay que relacionar estas dos medidas en un eje cartesiano (x = 6ĭ + 55 ﬞj), para

luego aplicar el teorema de Pitágoras

36

Hp2 = Cat2 + Cat2

x2 = (6m)2 + (55m)2

x2 = 36m2 + 3025m2

x2 = 3061m2

x = (3061m2)^1/2

x = 55,32m

Rta.: La torre de Pisa mide 55,32m aproximadamente.

Podemos concluir que actualmente la torre ha disminuido su altura en 32 cm.

Ya que al inclinarse pierde progresivamente altura con respecto a su

elevación original.

37

Detallaremos la pista estándar tal y como lo exige la reglamentación de la federación internacional.

Ubicación estándar

La instalación de atletismo incluye zonas de competición para carreras, marcha atlética, saltos y lanzamientos. Estas zonas están normalmente integradas dentro del estadio, cuyo diseño viene determinado por la pista “circular” de 400 m. Las zonas de competición son individualmente.

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de estar a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

Cómo calcular la longitud de una circunferencia.

- Los matemáticos griegos decidieron indicar, con una letra de su alfabeto, el número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro. La letra elegida fue la letra π. Del número π, se conocen muchas cifras (tiene infinitas). Como las primeras son 3,141592653589...pero normalmente consideramos como valor de π 3,14.

38

La Pista Estándar de 400 m. tiene las ventajas de ser una construcción simple, las secciones rectas y curvadas son casi de la misma longitud y de curvas uniformes, que son más adecuadas para el ritmo de carrera de los atletas. Además, la zona interior de la pista es suficientemente grande para que se puedan llevar a cabo todas las pruebas de lanzamientos y también tenga cabida un campo de fútbol estándar (68 m. x 105 m.).

Esta se compone de dos semicírculos, cada uno de ellos con un radio de 36,50 m., unidos por dos rectas, cada una de ellas con una longitud de 84,39 m.

Observa la figura:

Para calcular exactamente la longitud de carrera es posible descomponer la pista en dos semicírculos unidos por dos rectas. El borde interno de la pista tiene una longitud

de 398.12m.

En la prueba de 400 metros sólo pueden participar 8 corredores y cada corredor corre por una calle propia. Con

los datos del párrafo anterior puedes calcular cuál es la compensación que se debe dar en la salida a cada corredor.

39

Longitud de la circunferencia: ∏. Diámetro

Longitud de la circunferencia = π. Diámetro

40

Considerando los dos semicírculos tenemos:

Longitud de la circunferencia = 36,50m. X 2 x π = 229,22m

Pero el calculo de la línea de carrera se toma a 30 cm. del borde, se tiene entonces un radio de 36,8 m

Entonces la línea de carrera resulta:

-Longitud de la circunferencia = 36,80m x 2 x π = 231,22m.

-A esto le sumamos dos veces las rectas: Líneas rectas= 84,39 m. x 2 = 168,78 m

-Se tiene una línea de carrera = 231,22m + 168,78m

-La calle interior (calle 1) tendrá, por lo tanto, una longitud de 400,00 m. a lo largo de su línea teórica de carrera.

La longitud de cada una del resto de las calles se medirá a lo largo de una línea teórica de carrera a 0,20 m. del borde externo de la línea de la calle interior adyacente.

Vamos a calcular la linea de carrera de la calle 2 , para ello sumaremos 0,20m al radio de la calle 1

Longitud de la circunferencia= 37,1m x 2 x π = 232,988m

Se tiene una línea de carrera = 232,988m + 168,78m = 401,768m Queda claro por qué no todos los corredores salen de la misma línea, la

diferencia en la salida esta dada por la diferencia en la línea de recorrido de cada calle.

La distancia en la salida de calle1 y calle 2 es: 401,768m – 400m = 1,768m

Lo mismo sucede con las otras calles.

La Pista Estándar de 400 m. tiene 8, 6 y, ocasionalmente, 4 calles.

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INDICE

Teselados 1

Teselados semirregulares 2

Teselados demirregulares 3

Teselados irregulares 4

M.C. Escher, el hombre al que todo lo asombraba 5

Algunos Teselados 10

Síndrome de la PC 12

Actividades 14

Respuestas 15

Círculos en la naturaleza 17

Construyendo un corral 19

Panales de las abejas 22

Nidos 25

Problemas 28

Pitágoras 32

Thales 35

Una torre muy particular 37

Pista de atletismo 39

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