Resumo EAP (1)

Andreia Martins

Modelo com VD contínua e um Preditor com mais de 2 Categorias: Problema

tipo 4 (Caso de amostras independentes)

Regressão Linear Múltipla com Mais de uma Dummy

Neste tipo de problemas é necessário o sistema de codificação Dummy, ou seja, substituir

uma variável por números, por exemplo: dummyfumar 1, dummynaofumar 2

Nestes problemas o investigador tem uma hipótese unilateral, verifica só o lado do gráfico que

quer.

Passos para resolver estes problemas:

Modelo Nulo

o Modelo Nulo: Indicadores de Erro

erro: ei = Yi – Ŷi

SSE: Erro2 + Erro2 …

Variância

Erro-Padrão

Desvio-Padrão

Re-especialização do modelo : Modelo Proposto

Ŷi = bo

Ŷi = bo + ei

Ŷi = bo + b1Di1 + b2Di2 + b3Di3…

Dumm

y

b 1 b 2

bo Divide-se por 2 para

o teste de hipóteses

Andreia Martins

Valores Preditos: São o resultado do modelo proposto (formula) para cada

individuo

PRE (Redução Proporcional do Erro) – Utiliza-se para descobrir qual dos modelos

é melhor.

o PRE é designado R2 e o seu valor ajustado calcula-se:

Teste de hipótese para bo

1. Hipótese

2. Estatística de teste

3. Regra de teste – Usa-se a distribuição t

4. Decisão

5. Conclusão

Teste de Hipótese para b1 – Testa se o valor de b1 é menor que 0.

1. Hipótese

H0: b1 = 0 vs H1: b1 < 0 2. Estatística de teste


4. Decisão

5. Conclusão

Teste de Hipótese para b2 – Testa se o valor de b2 é maior que 0.

1. Hipótese

H0: b2 = 0 vs H1: b2 > 0

Desvio-padrão Média

da VI

Como é unilateral divide-se

o valor-p por 2.

Andreia Martins



4. Decisão

5. Conclusão

Teste de Hipótese para PRE (R, R2)

1. Hipótese


3. Regra de teste - Distribuição F de Snedecor com (p = número de

parâmetros estimados nos modelos):

gl do numerador (pProposto − pnulo), gl do denominador (N − pProposto)

4. Decisão

5. Conclusão

O coeficiente de regressão estandardizado (Beta)

o Passando b1 para Beta1


One way ANOVA com Contrastes Planeados

O coeficiente de regressão estandardizado (Beta)



Análise menos complexa: análise de Variâncias com um Factor (One-way ANOVA)

o Análise de Variâncias Técnica estatística usada quando o teste de hipótese envolve a

comparação de duas ou mais médias; Foi desenvolvida pelo estatístico britânico Ronald Fisher (1918,1921) para

a análise de experimentos; Posteriormente, George W. Snedecor ampliou a utilização da técnica para

pesquisas baseadas em distribuições por amostragem, denominando-o estatística "F", em homenagem a Fisher.

ANOVA não se usa o teste t pois tem mais que 3 médias.

Quando se passa para Beta a constante

(bo) passa para 0, é 0 porque temos todas

as variáveis 0 e 0-0=0

Andreia Martins

Teste de Hipótese

1. Hipótese H0: μG1 = μG2 = μG3 (Hipótese Nula) H1: nem todas μs são iguais (Hipótese Alternativa)

2. Estatística de Teste a. Aceitar Ho

b. Rejeitar Ho

c. Distribuição F de Snedecor com (p = número de parâmetros estimados

nos modelos):

gl do numerador (pProposto − pnulo), gl do denominador (N − pProposto)

Andreia Martins

3. Regra de teste

4. Decisão

5. Conclusão

ANOVA é outra vertente de fazer o processo da Regressão Linear

Os resultados da ANOVA não nos dizem nada acerca do problema que o

investigador está a estudar! Para isso precisamos de fazer contrastes planeados.

o Comparação Planeadas

Sistema de comparação de médias usado quando o investigador tem hipóteses específicas para as diferenças entre as médias. Esse sistema é muitas vezes chamado “contrastes”. Abaixo temos um exemplo de codificação para comparações planeadas.

C1 = Compara o grupo 1 com o grupo 2; C2 = Compara o grupo 2 com o grupo 3.

Regras: A quantidade de contraste é igual ao número de graus de liberdade do numerador; A soma de cada contraste deve ser igual à zero.

Quadrados Médios

Factor

Quadrados Médios

Residual

Soma dos

quadrados Factor

Soma dos

quadrados Residual Soma dos

quadrados totais.

Andreia Martins

Contrastes Ortogonais o Sistema de comparação de médias usado quando o investigador tem hipóteses

específicas para as diferenças entre as médias. Abaixo temos um exemplo de codificação para contrastes.

Contraste 1 = Compara o grupo 1 com o grupo 3; Contraste 2 = Compara os grupos 1 e 3 (juntos) com o grupo 2. Regras: A quantidade de contraste é igual ao número de graus de liberdade do numerador; a soma de cada contraste deve ser igual à zero; a soma dos produtos entre os contrastes deve ser igual a zero.

One-way Anova: Comparações Múltiplas (Post Hoc)

Sistema de comparação de médias quando o investigador não tem hipóteses

especificas para as diferenças entre as médias.

Todas as médias são comparadas umas contra as outras.

Exemplos:

o LSD – Least-Significant Difference (nada conservador)

o Duncan (pouco conservador)

o Bonferroni (conservador)

o Turkey (conservador)

o Scheffé (muito conservador)

Teste de Scheffé

o Devem ser consideradas diferentes todas as médias, quando:

Quadrado médio

Residual (dentro

dos grupos Número de

observações

num dos

grupos

(pressupõe

igual número

de

observações

em cada

grupo)

Quantidade de

grupos

Valor do F critico

ao nível de

significância

adotado

Andreia Martins

Modelos com uma Variável Dependente Contínua e Dois Preditores

Categóricos: Problema tipo 4

Resolução do Problema Usando Análise de Regressão

1. Definições

Efeito principal – o efeito de uma VI (fator) quando as outras Vis estão no seu ponto

médio

Efeito de interação – o efeito resultante da multiplicação entre 2 ou mais Vis.

Também chamado “efeito de moderação”.

1. Codificação de cada VI em Dummy

Exemplo: Normatividade – controlo 0 e Pressão não fumar 1

Stress – baixo 0 e alto 1

1.1. Médias de cigarros fumados em cada condição

Andreia Martins

1.2. Erro- Padrão

2. Especificação dos Modelos

2.1. Modelo Nulo

Yi = bo

Modelo Proposto

Ŷi = b0 + b1Normatividadei + b2Stressi

Para obter os parâmetros corretos precisamos de uma correlação

2. Correlação Bivariada (r de Pearson)

Correlações: rYX = A + B rYZ = C + B rXZ = D + B

2.1. Correlação Parcial (correlação entre 2 variáveis controlando o efeito de 3 variáveis)

Exemplo: prYX_Z = A (Correlação entre Cigarros e Normas, controlando o stress)

Cor de rosa: efeito de interação

Azul: efeito principal de Stress

Amarelo: efeito principal da

Normatividade

Dados

previstos

Constante: valor de Yi no

modelo quando não

incluímos VI’s “grand mean”

Média de cigarros na

condição de controlo e

baixo stress

Compara a pressão para não

fumar com a condição de

controlo na condição de

baixo stress

Compara o baixo com o alto

stress na condição de controlo

da pressão normativa

Confunde o efeito de cada variável independente (x e z)

na variável dependente (y)

É necessário separar os efeitos

Andreia Martins

1. Modelo Proposto

2. Especificação do modelo (formula)

3. Interpretação

Nesta situação os cálculos do SPSS e os realizados à mão não coincidem pois

calculou-se: b1 = A R2 = A + C b2 = C

Mas precisas de calcular: b1 = A b2= C b3 = B R2 = A+B+C

Ou seja, o modelo especificado está mal, necessitamos da interação

3. Especificação do Modelo 3.1. Modelo Complexo

Ŷi = b0 + b1Normatividadei + b2Stressi + b3 (Normatividadei*Stressi )

Média da

VD

Média da 1ª

VI

Legenda:

Sy/Sx = Desvio Padrão

VD/VI

Ryx = Coeficiente de

correlação bivariada (r de

pearson) entre y e x

Andreia Martins

Extrai os outputs da regressão utilizando as duas VIs e o termo de interação

Após a criação de uma variável com a interação entre as Vis, volta-se a especificar o

modelo com os valores específicos dos parâmetros

4. Interpretação

Andreia Martins

Quando se quer testar a diferença no número de cigarros fumados entre a pressão para não fumar e o controlo é maior na condição baixo stress do que na condição alto, tem-se que recodificar uma das VIS (stress) e o termo de interação.

5. Recodificação da Dummy do Stress

Ou seja, inverte-se a codificação; Antes: Stress – baixo =0 alto= 1

Depois: Stress – baixo = 1 alto = 0

6. Interpretação

Andreia Martins

Resolução do Problema Usando ANOVA Fatorial

1. Utilizar as duas Vis categorizadas com fatores

2. Interpretação da interação

Andreia Martins

Regressão Linear

Passos Necessários Antes da Análise 1. Codificação de cada VI em Dummy 2. Criação de uma variável com a interação entre as Vis 3. Utilizar as 3 variaveis (2 dummies e a interação) com preditores na regressão 4. Interpretação do primeiro contraste

Recodificação de uma das dummies

1. Cálculo de uma nova variável com a interação entre as Vis

2. Utilizar as 3 variáveis (VI recodificada, VI original e interação recalculada) como

preditores na interação

3. Interpretação do segundo contraste

4. Interpretação geral dos contrastes

Andreia Martins

ANOVA

1. Criar contrastes entre as Vis através da sintaxe do SPSS

2. Interação com contrastes

Regressão Linear (apenas quando as condições da interação

têm o mesmo n (dimensão amostral)

1. Codificação de Cada VI em Dummy utilizando código de contrastes para efeitos

principais (assegurar os efeitos)

2. Criar uma variável com a interação entre as VIs

Regras:

A média de cada VI tem de ser igual a zero

A soma dos códigos deve ser igual a zero

A soma dos produtos dos códigos deve ser igual a zero

A diferença entre os códigos deve ser igual a 1. Isto é 0,5 – (-0,5) =1

Andreia Martins

3. Utilizar as 3 variáveis (2 Vis dummies e interação) com preditores na regressão

Especificação do modelo

4. Interpretação dos efeitos principais

ANOVA

1. Utilizar as duas Vis como factores

2. Interpretar os efeitos principais

Modelos com uma Variável Dependente Contínua e Um Preditor

Categórico e Um Preditor Contínuo: Problema tipo 3

Regressão Linear

1. Centrar as duas variáveis (Sexo e TSO)

1.1. TSO centra-se em torno da sua média

1.1.1. Subtrair a média dos valores da variável a ser centrada, de modo que a

média da variável centrada seja igual a zero. Isto é TSO_C = TSO - 2,375

1.2. Sexo utiliza-se os códigos de contraste

Necessário definir um sistema de codificação de modo assegurar os efeitos

principais

Andreia Martins

1. Especificação do Modelo

1.1. Modelo Nulo

Yi = b0

1.2. Modelo Completo

Ŷi = b0 + b1Sexoi + b2TSO_Ci + b3 Interaçãoi

1.3. Modelo Reduzido – Recalcula-se a regressão sem o termo de interação

Ŷi = b0 + b1Sexoi + b2TSO_Ci

Na medida em que aumenta um ponto na escala de TSO, aumenta também 2.017 cigarros fumados. Isto acontece tanto nos homens como nas mulheres.

Dados

previstos

Constante: valor de Yi no

modelo quando não

incluímos VI’s “grand mean”

Grande média quando são atribuídos códigos de contraste para a variável categórica (Sexo_C) e a

variável contínua está

centrada (TSO_C)

Compara masculino

com feminino quando a

variável TSO está centrada

(TSO_C).

Assim, b1 =

efeito

principal do sexo;

O efeito da TSO quando

a variável sexo está no

seu ponto médio.

Assim, b2 =

efeito

principal da

TSO;

Coeficiente de

regressão que

representa a interação entre

o sexo e a

TSO.

Efeito

Principal

do Sexo Efeito

Principal

da TSO

Interação: não

significativa – é

necessário corrigir o

modelo

Partial2 = PRE para cada

variável

Andreia Martins

ANCOVA

Definição: Análise de Variâncias com ao menos um fator (um preditor categórico) e também ao menos um preditor contínuo.

1. Especificação do Modelo

1.1. Modelo Completo

Ŷi = b0 + b1Sexoi + b2TSOi + b3 (Sexoi*TSOi )

2. Estimação dos Parâmetros

3. Estimação do Modelo (TSO Centrada)

Andreia Martins

4. Interpretação

Andreia Martins

5. Testar os contrastes

5.1. Codificar o sexo como 0 (homens) e 1 (mulheres)

5.2. Utilizar as variaveis sexo e TSO centrada na regressao

5.3. Intrepretar b2

b2 = variação no número de cigarros fumados em função da TSO para os homens

5.4. Recodificar sexo como 0 (mulheres) e 1 (homens)

5.5. Utilizar a variável sexo10 e TSO centrada na regressão

5.6. Interpretar b2

b2 = variação no número de cigarros fumados em função da TSO para os homens

Andreia Martins

Introdução à Análise Fatorial

Características:

o Método estatístico para a descrição de variáveis latentes;

o A variância é decomposta em comum (explicada) e única (erro);

o Tem um modelo de medida subjacente às análises;

o O número de fatores é menor do que o número de variáveis.

O problema deste tipo é por exemplo: Eles foram instruídos a estimar em que medida as pessoas representadas nos itens costumam fumar. As respostas para cada item podiam variar de 0 (fumam pouco) a 4 (fumam muito). Os item são os seguintes: Item 1: Os amigos da universidade; Item 2: Os familiares; Item 3: As pessoas em

o Neste tipo de análise as variáveis são:

Sistema de Equações

Yi1 = β1Fator + ei1 Yi2 = β2Fator + ei2 Yin = βnFator + ein

o Método de Centroide

Para calcular os betas sem dados sobre a normatividade:

Σri-n = Somatório das correlações do item i com todos os itens (incluindo a correção do item com si próprio).

o Apenas precisa de saber as correlações entre as variáveis

Interpretação

Variáveis manifestas

(observáveis) no

individuo. Normalmente

camado de item ou

indicador Coeficiente de

regressão

estandardizados que

representam o peso do

fator em cada item

Erros de estimação.

Normalmente

chamados erros de

medida

Andreia Martins

Múltiplos Fatores

O problema base: O investidor considera que estes itens medem dimensões diferentes da adição, especificamente: 3 deles medem a Normatividade, outros 3 a Compulsão, e finalmente outros e a Atitude em relação ao consumo.

Rotação Ortogonal

Sistema de Equações – Fatores ortogonais

Ci1 = β11Fator1 + β12Fator2 + β13Fator3 + ei1 Ci2 = β21Fator1 + β22Fator2 + β23Fator3 + ei2 Ci3 = β31Fator1 + β32Fator2 + β33Fator3 + ei3 Ai1 = β41Fator1 + β42Fator2 + β43Fator3 + ei4 Ai2 = β51Fator1 + β42Fator2 + β53Fator3 + ei5 Ai3 = β61Fator1 + β42Fator2 + β63Fator3 + ei6

Estimação dos parâmetros

Andreia Martins

Avaliação de fatores (autovalores) o Um factor é consistente (existe) quando o autovalor > 1.00 o Autovalores = Σβ2F1 ΣβF2 Σβ2F3

o Calcular-los

o Calcular a variância explicada

Autovalores (Factor 1) = 0.8422 + 0.8662 + ... 0.1792 = 2.435 Autovalores (Factor 2) = 0.1452 + 0.1552 + ... 0.2222 = 1.978 Autovalores (Factor 3) = 0.1872 + 0.1782 + ... 0.6332 = 1.327

Andreia Martins

Para ser descobrir se um item pertence a um factor temos a comunalidades h2:

O item pertence ao factor se h2 > 0.09 e β ≧ 0.30

1. Calcular a Comunidade

2. Calcular o Beta

Andreia Martins

Rotação Oblíqua

Fatores correlacionados

Sistema Equacionais

Ci1 = β11Fator1 + β12Fator2 + β13Fator3 + ei1 Ci2 = β21Fator1 + β22Fator2 + β23Fator3 + ei2 Ci3 = β31Fator1 + β32Fator2 + β33Fator3 + ei3 Ai1 = β41Fator1 + β42Fator2 + β43Fator3 + ei4 Ai2 = β51Fator1 + β42Fator2 + β53Fator3 + ei5 Ai3 = β61Fator1 + β42Fator2 + β63Fator3 + ei6

Andreia Martins

Para ser descobrir se um item pertence a um factor temos a comunalidades h2:

O item pertence ao factor se h2 > 0.09 e β ≧ 0.30

1. Calcular a Comunidade

2. Calcular o Beta

Andreia Martins

Análise Não Paramétrica (tipo 4)

Problemas: O investigador quer saber se o nível de ansiedade influencia a classificação que os alunos obtêm num exame de matemática. Ele quer testar a hipótese de que o nível de ansiedade moderada leva os alunos a obterem melhores resultados. Para testar esta hipótese, o investigador manipulou a ansiedade (baixa vs. moderada) enquanto os alunos realizavam o exame. Em seguida, observou a classificação obtida por cada aluno no exame.

As variáveis têm de ser ordinais (rank)

Estimação dos Parâmetros

Andreia Martins

Representações

Outro Problema: Noutro estudo sobre a influência do nível de ansiedade

na classificação que os alunos obtêm num exame de matemática, o investigador testou as seguintes hipóteses: o nível de ansiedade moderada leva os alunos a obterem melhores resultados do que o nível de ansiedade baixa; o nível alto de ansiedade leva os alunos a obterem piores resultados do que a ansiedade moderada. Para testar estas hipóteses, o investigador manipulou a ansiedade (baixa vs. moderada vs. alta) enquanto os alunos realizavam o exame. (tipo 4)

Andreia Martins

Problema: Um investigador pretende saber se o sexo dos jovens (masculino vs.

feminino) prediz a sua aprovação na seleção para uma bolsa de investigacao. Os Dados estão apresentados na Tabela seguinte.

Andreia Martins

Análise dos Pressupostos para Análise de Dados

4 Básicos

Ausência de Outliers

Normalidade da distribuição dos erros;

A Homogeneidade dos erros;

Ausência de multicolinearidade

1. Outliers

o Definição: são casos\observações tão extremadas que se situam fora da

distribuição prevista da variável na população.

o Pode ocorrer tanto na VD como na VI

o Se o Erro/desvio-padrão ultrapassar o 3 ou -3 este pressuposto é um

outline.

Andreia Martins

Solução:

o Ver se os outliers resultam de erros (na inserção dos dados ou ma

interpretação da resposta)

Se houver algum destes erros, corrigir

o Se não houver, faze-se estes passos:

I. Correr a análise incluindo os outliers

II. Correr a análise excluindo os outliers

III. Avaliar os resultados

Se, na analise que fizeste primeiro (com outliers) deu NAO significativo. e na analise que fizeste depois (sem outliers) deu significativo. ou seja, se deram interpretaçao diferentes, analisas SEM outliers (a segunda);

No entanto... se derem ambas não significativas, ou seja, se ambas tiverem a mesma interpretaçao, analisas COM outlier (a primeira)

2. Distribuição Normal dos Erros

o Precisa-se de Análise do seu achatamento (kurtosis) e o enviesamento

(skewness):

Andreia Martins

Ou então fazemos pelo Teste de Kolmogorov-Smirnov

Solução:

o Transformação da variável dependente:

Andreia Martins

3. Homogeneidade dos Erros

Definição: significa que a sua variabilidade (SSE; variância; desvio-padrão) são iguais em todas as condições da variável independente.

Análise Estatística:

Solução:

Andreia Martins

o Escolhe-se o erro que se aproxima mais do zero

4. Multicolinariedade

Definição: ocorre quando as variáveis independentes são fortemente correlacionadas. Os problemas ocorrem sempre quando a correlação entre as VIs são maiores do que 0.90.

Quando analisamos um modelo com 2 preditores:

Soluções

o Usar apenas uma das variáveis o Fazer um compósito das 2 variáveis

Ansiedade + stress / 2 o Se houver mais do que 2 VI

Análise fatorial dos preditores Se emergir apenas um fator, fazer um compósito Se emergirem mais do que um fator, fazer os compósitos

consoante o número de fatores.

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Resumo EAP (1)