Resume Metode Seismik

WAVELET

Bella Dinna Safitri - 115090700111002

2013, M a l a n g

1

Wavelet

A. Konsep Dasar Wavelet

Dalam survey seismik digunakan perambatan gelombang seismik untuk

mengetahui gambaran bawah permukaan. Pulsa seismik merambat melewati batuan

dalam bentuk gelombang elastis yang mentransfer energi menjadi pergerakan partikel

batuan. Dimensi dari gelombang elastik atau gelombang seismik jauh sangat besar

dibandingkan dengan dimensi pergerakan partikel batuan tersebut. Meskipun begitu,

penjalaran gelombang seismik dapat diterjemahkan dalam bentuk kecepatan dan

tekanan partikel yang disebabkan oleh vibrasi selama penjalaran gelombang tersebut.

Wavelet adalah gelombang mini atau ’pulsa’ yang memiliki komponen amplitude,

panjang gelombang, frekuensi, dan fasa. Wavelet dikenal dengan gelombang yang

merepresentasikan satu reflektor yang terekam oleh satu geophone.

Ada dua properti penting dalam sebuah wavelet, yaitu polaritas dan fase :

1. Polaritas

Terdapat dua jenis polaritas dalam wavelet, yaitu polaritas normal (normal

polarity) dan terbalik (reverse polarity). Saat ini terdapat dua jenis konvesi

polaritas : standar SEG (Society of Exporation Geophysicist) dan standar Eropa.

Gambar 1 dan gambar 2 menunjukkan Polaritas Normal dan Polaritas 'Reverse'

untuk sebuah wavelet fasa nol (zero phase) dan fasa minimum (minimum phase)

pada kasus Koefisien Refleksi atau Reflection Coefficient (KR atau RC) meningkat

(RC positif) yang terjadi pada contoh batas air laut dengan dasar laut/lempung.

Gambar 1 Polaritas normal dan polaritas reverse pada wavelet

berdasarkan konvensi standar SEG

2

Pada standar SEG, polaritas normal didefinisikan sebagai :

a. Sinyal seismik positif akan menghasilkan tekanan akustik positif pada hidrofon

di air atau pergerakan awal ke atas pada geofon di darat dan

b. Sinyal seismik yang positif akan terekam sebagai nilai negatif pada tape,

defleksi negatif pada monitor dan trough pada penampang seismik.

Oleh karena itu, dengan menggunakan standar SEG, penampang seismik yang

menggunakan konvensi SEG akan didapatkan :

a. Pada bidang batas refleksi di mana AI2 > AI1 akan berupa trough dan

b. Pada bidang batas refleksi di mana AI2 < AI1 akan berupa peak.

Pada polaritas normal, kenaikan impedansi akustik akan digambarkan sebagai

lembah (trough) pada trace seismik, sedangkan pada polaritas negatif, kenaikan

impedansi akustik akan dilambangkan dengan puncak (peak) pada trace seismik

(berdasarkan konvensi SEG, Yilmaz, O., 1990).

Gambar 2. Polaritas normal dan polaritas reverse pada wavelet

berdasarkan konvensi standar Eropa

2. Fase

Terdapat empat macam jenis fase dalam wavelet (gambar 3), yaitu fase minimum

(minimum phase), fase nol (zero phase), fase maksimum (maximum phase) dan

fase campuran (mix phase). Tapi yang paling banyak dipakai didalam pengolahan

3

data dan interpretasi seismik adalah wavelet fase minimum dan fase nol (Prihadi, S,

2004).

Gambar 3. Jenis-jenis wavelet (1) Zero phase (2) Maximum phase

(3) Minimum phase (4) Mixed phase

a. Zero phase wavelet

Zero phase wavelet (wavelet fase nol) disebut juga dengan Wavelet Ricker

(gambar 4). Wavelet Ricker mengandung satu puncak (peak) dan dua lembah

(trough) atau sidelobes. Energi yang berhubungan dengan kontras AI berpusat

pada peak bagian tengah, sehingga memiliki bentuk gelombang simetris.

Wavelet Ricker hanya tergantung kepada frekuensi puncak pada spektrum

amplitudonya atau inverse dari periode dominan pada dominan pada domain

waktu (periode dominan bisa diukur dari waktu antara lembah ke lembah).

Gambar 4. Wavelet Ricker dengan frekuensi 20, 30 dan 40Hz

dan fasa = 0 (zero phase)

4

Secara matematis, Wavelet Ricker didefinisikan dengan persamaan (1) :

(1)

Dimana f adalah frekuensi, dt adalah interval sampling, t adalah waktu

dan t0 adalah waktu awal.

b. Wavelet fase maksimum

Energi terpusat pada pada akhir wavelet.

c. Wavelet fase minimum

Wavelet fase minimum memiliki peak terletak di bagian depan. Energi yang

berhubungan dengan batas AI terletak pada onset atau pada bagian depan

sedikit mungkin dengan titik referensi nol (t = 0) dan tidak ada energi sebelum

t = 0.

d. Wavelet fase campuran (mixed)

Energi tidak terpusat pada bagian depan / belakang wavelet.

Jenis wavelet yang paling sering digunakan adalah wavelet fase nol dan wavelet

fase minimum. Namun, dibandingkan dengan wavelet fase minimum, wavelet fase

nol lebih menguntungkan. Wavelet fase nol dengan puncak tunggal pada arrival

time, dengan ekor seminim mungkin, akan memudahkan interpreter dalam

melakukan penentuan waktu refleksi sehingga proses interpretasi kecepatan

(picking) – dalam rekaman hiperbolik reflektor pada gather – menjadi lebih mudah

dan akurat. Selain itu, untuk spektrum amplitudo yang sama akan memberikan

bentuk gelombang yang lebih sempit, sehingga amplitudonya akan lebih besar

daripada dengan fase minimum yang menyebabkan nilai rasio Signal to Noise ratio

(S/N) nya juga makin besar.

Dalam mengestimasi bentuk wavelet untuk interpretasi seismik, dilakukan

beberapa tahapan pemrosesan wavelet. Pemrosesan wavelet merupakan sebuah

kumpulan proses yang merubah bentuk atau pulsa gelombang dalam data seismik,

sehingga lebih mudah untuk diinterpretasikan. Beberapa tahap pemrosesan wavelet

adalah sebagai berikut :

1. Tahap pertama, mengestimasi bentuk atau fase dan spektrum amplitudo wavelet

dan

5

2. Tahap kedua, mendesain operator matematika atau filter yang diterapkan ke data

seismik dan merubah bentuk wavelet tersebut menjadi wavelet sesuai yang

dibutuhkan.

B. Analisis Wavelet

Sebuah gelombang (wave) (gambar 5) biasanya didefinisikan sebagai sebuah fungsi

osilasi dari waktu (space), misalnya sebuah gelombang sinusoidal. Sebuah wavelet

merupakan gelombang singkat (small wave) yang energinya terkonsentrasi pada suatu

selang waktu untuk memberikan kemampuan analisis transien, ketidakstasioneran,

atau fenomena berubah terhadap waktu (timevarying). Karakterisktik daripada

Wavelet antara lain adalah berosilasi singkat, translasi (pergeseran) dan dilatasi (skala).

Berikut ini akan diperlihatkan gambar dari sebuah sinyal biasa dan sinyal wavelet.

Gambar 5. Bentuk Gelombang;(a) Sinyal Sinus (b) Sinyal Wavelet

 

Secara sederhana, translasi (pergeseran) pada Wavelet bermaksud untuk

menggeser permulaan dari sebuah wavelet. Secara matematis, pergeseran sebuah

fungsi f(t) dengan k direpresentasikan dengan f(t-k) gambar 6 berikut ini :

 

Gambar 6. (a) Fungsi Wavelet  (t)ψ  (b) Fugsi Wavelet Yang Digeser  (t-k)ψ

 

Skala (dilatasi) dalam sebuah wavelet berarti pelebaran atau penyempitan wavelet.

Seperti yang terlihat pada gambar 7 :

6

Gambar 7. (a) Nilai Skala Kecil (b) Nilai Skala Besar

 

Sebuah faktor skala dapat dinyatakan sebagai . Apabila diperkecil maka waveletα α

akan menyempit dan terlihat gambaran mendetail namun tidak menyeluruh,

kebalikannya apabila a diperbesar maka wavelet akan melebar dan terlihat gambaran

kasar, global namun menyeluruh. Dengan menggunakan wavelet pada skala resolusi

yang berbeda, akan diperoleh gambaran keduanya, yaitu gambaran mendetail dan

menyeluruh. Selain itu, terdapat korespondensi antara skala pada wavelet dengan

frekuensi yang dianalisa oleh wavelet. Nilai skala yang kecil berkorespondensi dengan

frekuensi tinggi (high frequency) sedangkan nilai skala yang besar berkorespondensi

dengan frekuensi rendah seperti pada gambar 8 :

Gambar 8. Hubungan waktu dan frekuensi pada wavelet

Tahap pertama analisis wavelet adalah menentukan tipe wavelet, yang disebut

dengan mother wavelet atau analysing wavelet, yang akan digunakan. Hal ini perlu

dilakukan karena fungsi wavelet sangat bervariasi dan dikelompokkan berdasarkan

fungsi dasar masing-masing. Data seismik, yang secara alami tidak stasioner,

mempunyai berbagai kandungan frekuensi dalam domain waktu. Dekomposisi waktu-

frekuensi (yang juga disebut sebagai spectral decomposition) dari data seismik

merupakan atribut seismik yang bertujuan untuk mencirikan tanggap frekuensi yang

tergantung waktu dari batuan dan reservoir bawah permukaan. Dekomposisi spektral

(gambar 9) merupakan salah satu teknik analisa sinyal dalam interpretasi data seismik.

7

Hal tersebut biasanya dilakukan menggunakan transformasi Fourier (gambar 10) untuk

perhitungan spektrum amplitudo masing-masing jejak dari jendela waktu yang pendek

yang meliputi semua zona interest. Analisa fourier biasa atau transformasi 1D

menghasilkan sinyal dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Spektrum

amplitudo tersebut dikontrol oleh satuan geologi, sehingga satuan-satuan dengan sifat

dan/atau ketebalan batuan yang berbeda akan menunjukkan tanggap amplitudo yang

berbeda. Jika dekomposisi sinyal dihitung untuk seluruh jejak pada volume seismik 3D

dan direpresentasikan dalam bentuk peta (biasanya sebagai slice frekuensi), peta yang

dihasilkan menunjukkan kemampuan bervariasi secara lateral.

Gambar 9. Proses dekomposisi spektral

Gambar 10. Ilustrasi dekomposisi sinyal menggunakan transformasi Fourier

(Nissen, S.E., 2002)

Chakraborty dan Okaya (1995) menjelaskan bahwa analisis sinyal tidak stasioner

seperti sinyal seismik dengan menggunakan perangkat lunak yang berbasis pada

Transformasi Fourier, seringkali tidak bisa memberikan informasi keadaan bawah

permukaan yang sesungguhnya. Hal ini disebabkan oleh adanya kelemahan dari

perangkat lunak yang berbasis pada Transformasi Fourier tersebut. Transformasi

8

Fourier tidak dapat mengamati saat terjadinya sinyal dengan frekuensi tertentu. Para

ilmuwan mengembangkan analisa fourier biasa yang menghasilkan sinyal 2D dalam

waktu dan frekuensi, kemudian melakukan short-time window setelah dilakukan

transformasi fourier. Metode ini dikenal dengan nama Short-Time Fourier Transform

(STFT). Cohen (1995) menjelaskan bahwa Short Time Fourier Transform (STFT)

menghasilkan spektrum waktu-frekuensi dengan menggunakan Transformasi Fourier

pada window waktu yang dipilih. Pada STFT, resolusi waktu-frekuensi disesuaikan pada

seluruh ruang waktu-frekuensi dengan panjang window yang dipilih sebelumnya. Oleh

karena itu resolusi pada analisis data seismik menjadi tergantung pada pengguna

panjang gelombang tertentu atau bersifat subjektif.

Lebih dari dua dekade terakhir, transformasi wavelet diaplikasikan pada berbagai

ilmu pengetahuan dan teknik. Transformasi Wavelet memiliki kemampuan untuk

menganalisa suatu data dalam domain waktu dan domain frekuensi secara simultan.

Analisa data pada transformasi Wavelet dilakukan dengan membagi (dekomposisi)

suatu sinyal ke dalam komponen-komponen frekuensi yang berbeda-beda dan

selanjutnya masing-masing komponen frekuensi tersebut dapat dianalisa sesuai dengan

skala resolusinya. Hal ini seperti proses filtering, dimana sinyal dalam domain waktu

dilewatkan ke dalam filter highpassdan lowpass dan memisahkan komponen frekuensi

tinggi dan frekuensi rendah. Wavelet merupakan sebuah fungsi variable real t, diberi

notasi  tψ  dalam ruang fungsi L^2(R). fungsi ini dihasilkan oleh parameter dilatasi dan

translasi, yang dinyatakan dalam persamaan (2) :

(2)

dimana :

a = parameter dilatasi

b = parameter translasi

R = mengkondisikan nilai a dan b dalam nilai integer

2^j = parameter dilatasi ( paramater frekuensi atau skala)

k = parameter waktu atau lokasi ruang

Z = mengkondisikan nilai j dan k dalam nilai integer

 

9

Fungsi wavelet pada persamaan (3) dikenalkan pertama kali oleh Grossman dan

Morlet, sedangkan persamaan (4) oleh Daubechies. Pada fungsi Grossman-Morlet, dan,

sedangkan pada fungsi Daubechies, parameter dilatasi diberikan oleh 2j dan parameter

translasi oleh k. Kedua fungsi ψ dapat dipandang sebagai mother vavelet, dan harus

memenuhi kondisi seperti persamaan (3) :

(3)

yang menjamin terpenuhinya sifat ortogonalitas vector. Pada dasarnya, transfomasi

wavelet dapat dibedakan menjadi dua tipe berdasarkan nilai parameter translasi dan

dilatasinya, yaitu transformasi wavelet kontinu (continue wavelet transform), dan

diskrit (discrete wavelet transform). Transformasi wavelet kontinu ditentukan oleh

nilai parameter dilatasi (a) dan translasi (b) yang bervariasi secara kontinu, dimana a,b

elemen bilangan R, dan a tidak sama dengan 0.

Castagna et. al. (2003) mengenalkan analisis spektral sesaat (ISA) berbasis

transformasi wavelet (Matching Pursuit Decomposition) dengan metode dekomposisi

spektral lainnya termasuk Fast Fourier Transform (FFT), Discrete Fourier Transform

(DFT), dan Maximum Entropi Method (MEM). Mereka membuktikan bahwa ISA dapat

mencapai lokalisasi waktu dan frekuensi yang memuaskan dan juga dapat menghidari

masalah windowing.

Beberapa perbedaan antara Transformasi Fourier dan Transformasi Wavelet

adalah sebagai berikut (gambar 11 dan tabel 1) :

Gambar 11. (a) Transformasi Fourier (b) Transformasi Wavelet

10

Tabel 1. Perbedaan antara Transformasi Fourier dan Transformasi Wavelet

Sinyal refleksi menunjukkan adanya bidang batas antar dua medium. Pada medium

yang tebal direpresentasikan oleh frekuensi sinyal seismik yang rendah, sementara

medium yang tipis direpresentasikan oleh frekuensi sinyal tinggi. Pemilihan sinyal-

sinyal refleksi pada frekuensi yang tepat dan penggabungan kembali sinyal terpilih akan

menghasilkan sinyal seismik yang bebas noise (baik noise karena akuisisi maupun

pengolahan data yang tidak tepat) dan tetap mengandung informasi refleksi.

Mekanisme dekomposisi sinyal pada frekuensi-frekuensi refleksi dan

penggabungan kembali (superposisi) sinyal terdekomposisi disebut sebagai analisis

multi-resolusi. Untuk mendapatkan hasil dekomposisi yang bagus dan tidak menggeser

fase, dibutuhkan piranti yang tepat. CWT digunakan sebagai solusi atas keterbatasan

STFT dalam menentukan lebar window. Proses analisis time-frekuensi dilakukan

dengan cara mengkonvolusi sinyal dengan wavelet, resolusi frekuensi diperoleh dengan

mendilatasi wavelet menggunakan skala tertentu dan resolusi waktu diperoleh dengan

mentranslasi wavelet dengan faktor translasi tertentu. Penentuan inilah menjadikan

11

metode Continous Wavelet Transform (CWT) (gambar 12) dapat dipakai sebagai filter

untuk mendekomposisi sinyal-sinyal pada frekuensi yang dikehendaki tanpa menggeser

fase dan memiliki resolusi yang bagus (Nurcahya dan Brotopuspito, 2004).

Gambar 12. CWT dari Lunar Landscape

Padmono, dkk (2004) membuat atribut seismik berbasis dekomposisi sinyal dalam

domain waktu-frekuensi menggunakan transformasi wavelet kontinyu untuk

mendeteksi keberadaan anomali hidrokarbon. Analisis multi-resolusi data seismik 3D

menggunakan transformasi wavelet kontinyu dengan metode dekomposisi

(penguraian) data seismik pada pita-pita frekuensi tertentu dan superposisi

(penggabungan kembali) data seismik terdekomposisi dilakukan oleh Sudarmaji, dkk

(2004). Data seismik terdekomposisi ini kemudian digunakan untuk menganalisis

atribut sesaat seismik 3D untuk deteksi karakter litologi dan struktur. Supeno dan Jaya

(2004) melakukan reduksi noise koheren yang terdapat pada data seismik dengan

menggunakan transformasi wavelet dalam representasi multiresolusi guna

mendapatkan event reflektor yang lebih jelas.

Untuk melakukan transformasi wavelet diperlukan dua buah filter (gambar 13),

yaitu high pass filter dan low pass filter. Satu sistem tersebut dinamakan filter bank

structure. Filter digital yang digunakan adalah jenis FIR filter . 

12

Gambar 13. (a) Gambar sinyal tanpa filter. (b) gambar sinyal setelah dekomposisi

Dalam suatu balok diagram, proses dekomposisi spektral dapat digambarkan

seperti gambar 14 berikut : 

Gambar 14. Struktur filter bank dan blok diagram dekomposisi

Wavelet merupakan persamaan matematis yang memisahkan sinyal ke dalam

frekuensi yang berbeda kemudian selanjutnya menganalisis masing–masing komponen

dengan suatu resolusi yang disesuaikan dengan skala. Analisis pada wavelet pada

dasarnya adalah pergeseran dan penskalaan suatu bentuk energi terbatas, yang

dinamakan mother wavelet ( (t)) terhadap sinyal yang diinginkan.ψ

Secara sederhana, transformasi wavelet yang diwujudkan dalam dekomposisi sinyal

masukan dua bentuk gelombang yang berbeda yang sesuai dengan filter masing–masing

gelombang. Low pass filter menghasilkan bentuk gelombang yang disebut dengan

aproksimasi dan high pass filtermenghasilkan gelombang acak yang disebut detail.

13

Pembentukan gelombang tersebut menggunakan pendekatan analisis resolusi jamak

terhadap frekuensi yang berbeda. Resolusi adalah pemisahan dari setiap sinyal yang

berubah–ubah, menjadi bobot (skala) cuplikan yang digeser. Jadi analisis resolusi jamak

berhubungan dengan penskalaan wavelet.

Gelombang hasil dari filtrasi high pass filter akan diperlebar oleh salah satu fungsi

translasi dengan fungsi penskalaan tertentu yang disebut dengan mother wavelet.

Setelah melalui tahapan dekomposisi akan dilakukan sintesis (pembentukan kembali)

pada koefesien–koefesien wavelet tersebut. Pada prosesnya sebelum difilter, koefesien–

koefesien wavelet dicuplik maju atau dilakukan perpanjangan komponen sinyal dengan

menyisipkan bit–bit nol antara cuplikan terlebih dahulu.

Pada pemodelan noise (gambar 15) sesungguhnya diasumsikan sinyal yang hendak

dianalisis adalah:

(4)

Dengan sinyal X merupakan sinyal yang masih terdapat noise , S merupakan sinyal EKG,

dan G merupakan noise yang ditambahkan serta nmerupakan titik cuplikan.

Gambar 15. Blok diagram sintesis

Sebagai contoh salah satu transformasi wavelet yang merepresentasikan sinyal

dalam domain waktu dan frekuensi adalah Discrete Wavelet Transform (DWT).

Berdasarkan fungsi mother wavelet, bahwa fungsi wavelet penganalisa untuk

transformasi wavelet ditunjukkan oleh persamaan (5) berikut :

(5)

aj,k , ini merupakan discrete wavelet transform dari fungsi f(t) yang dibentuk oleh inner

product antara fungsi wavelet induk dengan f(t) :

14

(6)

sehingga f(t) disebut sebagai inverse discrete wavelet transform dapat dinyatakan

dengan persamaan 7 :

(7)

Pada DWT, suatu resolusi sinyal dapat diubah dengan menggunakan teknik filtering

(analisa filter bank). Jadi, proses transformasi pada wavelet ini pertama kali dapat

diwakili dengan proses melewatkan sinyal asli ke dalam low pass filter (LPF) dan high

pass filter (HPF). Setelah itu, nilai skala dari wavelet dapat dirubah dengan

menggunakan operasi upsampling dan down sampling. Karena bersifat multiresolusi,

maka model Wavelet dapat dengan mudah digeneralisasi ke ukuran dimensi lain

dimana n > 0. Pada umumnya, suatu sinyal seperti suara ditransformasikan dengan

Transformasi Wavelet Diskrit satu dimensi (1D-DWT), sedangkan untuk pengolahan

citra dua dimensi, menuntut model wavelet juga diturunkan dalam bentuk dua dimensi

(2D-DWT), sehingga dapat diimplementasikan untuk memproses citra digital.

Transformasi Wavelet Diskrit Maju (Forward DWT)

 Pada bagian ini dilakukan proses dekomposisi , yakni menguraikan sinyal asli ke

dalam komponen-komponen aslinya. Proses dekomposisi pada 1 dimensi digambarkan

sebagai berikut (gambar 16) :

Gambar 16. Transformasi wavelet dengan dekomposisi sebanyak n kali

Pemfilteran urutan sinyal input didapat dengan mengkonvolusikan urutan tersebut

dengan sekelompok bilangan lain yang disebut koefisien – koefisien filter,

tapis, weights, atau respon impuls. Untuk urutan masukan x(n) dan koefisien – koefisien

filter h(n), urutan keluaran dari filter y(n) diberikan oleh persamaan (8) :

(8)

15

Dan keluaran dari HPF dan LPF setelah dilakukan down-sampling dengan faktor 2

berturut-turut (persamaan 9) :

(9)

Pada proses down sampling maka akan terjadi penurunan sampling rate karena

beberapa komponen (sampel) sinyal dihilangkan. Jumlah sampel pada keluaran down

sampling adalah sebagian dari jumlah sampel masukannya.

Transformasi Wavelet Diskrit Balik (Invers DWT)

Trasnformasi ini merupakan kebalikan dari transformasi wavelet maju. Pada tahap

ini dilakukan proses rekonstruksi yakni proses mengembalikan kembali komponen-

kompone frekuensi menjadi sinyal semula melalui proses upsampling dan pemfilteran

dengan koefisien-koefisien filter balik. Proses rekonstruksi pada satu dimensi

digambarkan pada gambar 17 :

Gambar 17. Inverse transformasi wavelet dengan rekonstruksi sebanyak n kali

Dengan cara yang sama dengan proses dekomposisi dan menggunakan koefisien

yang sama, proses rekonstruksi dilakukan dengan melakukan konvolusi yang kemudian

diikuti oleh proses up sampling dengan faktor 2. Proses upsampling dilakukan untuk

mengembalikan dan menggabungkan sinyal seperti semula. Proses ini dilakukan

dengan menyisipkan sebuah kolom berharga nol diantara setiap kolom dan melakukan

konvolusi pada setiap baris dengan sebuah filter satu dimensi. Filter yang digunakan

pada transformasi ini adalah filter LPF dan HPF yang mempunyai hubungan khusus

terhadap filter-filter pada sisi dekomposisi. Koefisien-koefisien filter tersebut akan

membentuk suatu kumpulan filter (filter bank), sehingga harus memiliki hubungan

rekonstruksi sempurna (perfect reconstruction), yang berarti bahwa sinyal hasil

16

transformasi wavelet balik harus sama dengan sinyal asli sebelum transformasi

dilakukan . Untuk memenuhi persyaratan ini, maka koefisien pada filter

dekomposisi h(n) dan filter konstruksig(n) diberikan oleh persamaan (10) :

(10)

Proses rekonstruksi dengan level (skala) banyak didapat dengan melakukan iterasi dari

struktur dasar sehingga didapat lowpass residue yang bersesuaian untuk masing-

masing tingkat.

Transform Wavelet Packet

Wavelet packet tarnsform adalah jenis wavelet transform dengan pembagian

subband yang lebih menyeluruh. Dalam artian jika pada wavelet transform hanya

dilakukan iterasi pada cabang low pass, sedangkan pada wavelet packet transform

iterasi juga dilakukan pada cabang high pass sehingga menghasilkan subband yang

lebih banyak dengan resolusi yang tinggi. Adapun cara iterasi yang digunakan sama

dengan dekomposisi pada wavelet transform yakni filtering n down sampling. Dapat

diilustrasikan pada gambar 18 jika dilakukan iterasi pada kedua cabang (low pass dan

high pass) :

Gambar 18. Transformasi wavelet dengan dekomposisi sinyal sebanyak n kali

Pada komposisinya akan dilakukan cara sebaliknya seperti terlihat pada ilustrasi

gambar 19 berikut ini :

17

Gambar 19. Transformasi wavelet dengan komposisi sinyal sebanyak n kali

Wavelet Daubechies

Wavelet Daubechies (gambar 20) merupakan salah satu filter wavelet yang dapat

digunakan dalam analisis wavelet. Daubechies memiliki orde yang menggambarkan

jumlah koefisien filternya. Sifat polinomial yang dimiliki oleh wavelet akan berpengaruh

dalam penentuan jumlah koefisien filter wavelet. Semakin besar jumlah filter yang

dimiliki oleh suatu wavelet filter daubechies, maka semakin baik filter tersebut dalam

melakukan pemilihan frekuensi. Untuk Daubechies orde N (db–N), maka Daubechies

tersebut memiliki ukuran koefisien filter 2N.

Gambar 20. Family wavelet Daubechies

De–noising

Denoising adalah cara menghilangkan atau mereduksi sinyal noise sekecil mungkin

untuk mendapatkan visualisasi sinyal asli. Konsep yang digunakan dalam men–

18

denoise sinyal adalah menghilangkan atau men–threshold terhadap komponen

dari wavelet yang berfrekuensi tinggi atau yang disebut dengan koefesien detail.

Sehingga sinyal keluaran yang ditampilkan setelah melewati filter bank adalah sinyal

aproksimasi atau gabungan dari aproksimasi dan detail yang telah

mengalami thresholding.

FIR (Finite Inpulse Response) merupakan kumpulan respon impuls yang memiliki

jumlah atau jangka waktu yang terbatas. FIR filter secara umum bersifat non – rekursif,

yaitu tidak dipengaruhi oleh keluaran sistem sebelumnya, sedang keluaran dari sistem

tersebut hanya bergantung pada masukan sekarang dan masukan sebelumnya (gambar

21).

Gambar 21. Output pada FIR filter pada orde N dijumlahkan

sesuai dengan nilai pada register

FIR Filter menyatakan bahwa akibat dari transien pada keluaran filter akan hilang

begitu saja. Berikut gambar aliran sinyal FIR yang digambarkan secara nonrekursif.

Filter tersebut hanya terdiri dari banyak tap atau gerbang pada tingkatan delay. Unit

respon impuls sebanding dengan banyaknya gerbang. Berikut persamaan FIR filter

(persamaan 11) :

(11)