CAPITULO 1

C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s 1. Pedro deba 60 bolvares y recibi 320. Expresar su estado econmico. S o l u c i n :

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado econmico de Pedro es de + 260 bolvares.

2. Un hombre que tena 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado econmico. S o l u c i n :

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado econmico del hombre es de - 345 sucres.

3. Tena $200. Cobre $56 y pagu deudas por $189. Cunto tengo? S o l u c i n :

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene + $67.

4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si despus recibo 2 280. Cul es mi estado econmico? S o l u c i n :

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: su estado econmico es de + 437 soles.

5. Tena $20. Pagu $15 que deba, despus cobr $40 y luego hice gastos por $75. Cunto tengo? S o l u c i n :

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene - $30.

6. Enrique hace una compra por $67; despus recibe $72; luego hace otra compra por $16 y despus recibe $2. Expresar su estado econmico. S o l u c i n :

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: El estado econmico de Enrique es de - $9.

7. Despus de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. Cunto tengo? S o l u c i n :

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene - 70 colones. 8. Pedro tena tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. Cunto tiene? S o l u c i n :

Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas y el de las negativas son iguales, el total es cero.

Respuesta: Pedro tiene 0 pesos.

CAPITULO 2

C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s 1. A las 9 a.m. el termmetro marca + 12 y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15. Expresar la temperatura a las 8 p.m. S o l u c i n : Como la temperatura ha bajado 15, se debe restar 15 de +12 : +12 - 15 = - 3. Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3.

2. A las 6 a.m. el termmetro marca -3. A las 10 a.m. la temperatura es 8 ms alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6. Expresar la temperatura a las 9 p.m. S o l u c i n : De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8 a partir de -3, y - 3 + 8 = +5 De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6 a partir de +5; y + 5 - 6 = -1 Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1.

3. A la 1 p.m. el termmetro marca +15 y a las 10 p.m. marca -3. Cuntos grados ha bajado la temperatura? S o l u c i n : Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |-3 - 15| = |-18| = 18 Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18.

4. A las 3 a.m. el termmetro marca -8 y al medioda +5. Cuntos grados ha subido la temperatura? S o l u c i n : Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13 Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13.

5. A las 8 a.m. el termmetro marca -4; a las 9 a.m. ha subido 7; a las 4 p.m. ha subido 2 ms y a las 11 p.m. ha bajado 11. Expresar la temperatura a las 11 p.m. S o l u c i n : De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7 a partir de -4, y - 4 + 7 = +3. De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2 a partir de +3; y +3 + 2 = +5. De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11 a partir de +5; y +5 - 11 = -6. Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6.

6. A las 6 a.m. el termmetro marca -8. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razn de 4 por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m. S o l u c i n : 7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora} -8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura inicial ms el incremento} 8 - 6 = 2 y 4 * 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas} -8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura inicial ms el incremento} 11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas} -8 + 20 = 12 Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4, a las 8 a.m. de 0 y a las 11 a.m. de 12.

7. A las 8 a.m. el termmetro marca -1. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razn de 2 por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razn de 3 por hora. Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m.

S o l u c i n : Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8

a.m. como la inicial, es decir de -1 10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4

{de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4}

-1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura inicial ms el incremento} 11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6

{de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6}

-1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura inicial ms el incremento} Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m.

como la inicial, es decir de -7 12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3

{de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3} -7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura inicial ms el incremento} 14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9

{de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9}

-7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura inicial ms el incremento} Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5, a las 11 a.m. de -7, a las 12m. de -4 y a las 2 p.m. de +2.

8. El da 10 de diciembre un barco se halla a 56 al oeste del primer meridiano. Del da 10 al 18 recorre 7 hacia el este. Expresar su longitud este da. S o l u c i n : 56 - 7 = 49 {se efecta la diferencia por ir en sentido opuesto}. Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49 al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49.

9. El da primero de febrero la situacin de un barco es: 71 de longitud oeste y 15 de latitud sur. Del da primero al 26 ha recorrido 5 hacia el este y su latitud es entonces de 5 ms al sur. Expresar su situacin el da 26. S o l u c i n : Longitud: -71 + 5 = -66 Latitud: -15 + (-5) = -20 Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66 al oeste y 20 al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66 y su latitud de -20.

10. El da 5 de mayo la situacin de un viajero es 18 de longitud este y 65 de latitud norte. Del da 5 al 31 ha recorrido 3 hacia el este y se ha acercado 4 al Ecuador. Expresar su situacin el da 31. S o l u c i n : Longitud: +18 + 3 = +21

Latitud: +65 + (-4) = +61 {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur} Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21 al este y 61 al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21 y su latitud de +61.

11. Una ciudad fundada el ao 75 A.C. fue destruida 135 aos despus. Expresar la fecha de su destruccin. Solucin: Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60. Respuesta: La ciudad fue destruida en el ao 60 D.C. en el ao +60.

CAPITULO 3

C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s (Sentido positivo: de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba). 1. Expresar que un mvil se halla a 32 m. a la derecha del punto A; a 16 m. a la izquierda de A. S o l u c i n : Respuesta: El mvil se halla a +32 m. de A. El mvil se halla a -16 m. de A.

2. Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y tiene enterrados 4 m. S o l u c i n : Si la parte del poste que sobresale se expresa con sentido positivo y la parte enterrada con sentido negativo, se tiene Respuesta: La situacin del poste en el terreno es de +10 m. y de -4 m.

3. Despus de caminar 50 m. a la derecha del punto A recorro 85 m. en sentido contrario. A qu distancia me hallo ahora de A? S o l u c i n : Despus de la primera caminata Ud. se encuentra a +50 m. del punto A. Ahora, se desplaza hacia la izquierda 85 m., y +50 - 85 = - 35. Respuesta: Ud. se halla a - 35 m. del punto A.

4. Si corro a la izquierda del punto B a razn de 6 m. por segundo, a que distancia de B me hallar al cabo de 11 segundos?

S o l u c i n : 11 * 6 = 66; y como el sentido negativo es a la izquierda del punto, se tiene Respuesta: al cabo de 11 segundos, usted se hallar 66 m. a la izquierda del punto B; o a -66m. con respecto al punto B.

5. Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que corre hacia la izquierda de A va a 8 m. por seg. y el que corre hacia la derecha va 9 m. por seg. Expresar sus distancias del punto A al cabo de 6 seg. S o l u c i n : 8 * 6 = 48: distancia que ha recorrido el primer corredor, hacia la izquierda de A 9 * 6 = 54: distancia que ha recorrido el segundo corredor, hacia la derecha de A Respuesta: al cabo de 6 segundos el corredor que lo hace hacia la izquierda se encuentra a - 48 m. de A, y el que corre hacia la derecha de encuentra a + 54 m. de A.

6. Partiendo de la lnea de salida hacia la derecha un corredor da dos vueltas a una pista de 400 m. de longitud. Si yo parto del mismo punto y doy tres v ueltas a la pista en sentido contrario, qu distancia hemos recorido? S o l u c i n : 400 * 2 = 800: distancia recorrida por el corredor, hacia la derecha 400 * 3 = 1 200: distancia recorrida por usted, hacia la izquierda Respuesta: el corredor ha recorrido una distancia de + 800 m., usted ha recorrido una distancia de -1 200 m. 7. Un poste de 40 pies de longitud tena 15 pies sobre el suelo. Das despus se introdujeron 3 pies ms. Expresar la parte sobresaliente y la parte enterrada. S o l u c i n : El poste tena 15 pies sobre el suelo, y 40 - 15 = 25; esto es, tena 25 pies enterrados. Como luego se enterraron otros 3 pies y, 25 + 3 = 28, la parte enterrada es finalmente de 28 pies. La longitud total del poste es de 40 pies y, 40 - 28 = 12, la parte que sobresale es de 12 pies. Se expresa con signo positivo la parte sobresaliente y con signo negativo la parte enterrada. De tal modo que: Respuesta: La parte sobresaliente es de +12 pies y la parte enterrada es de -28 pies.

8. Un mvil recorre 55 m. a la derecha del punto A y luego en la misma direccin retrocede 52 m. A qu distancia se halla de A? S o l u c i n : +55 + (- 52) = + 3 una vez alcanzada una distancia de + 55 m., el mvil retrocede

52 m. (se mueve en sentido opuesto, pero en la misma direccin).

Respuesta: el mvil se halla a una distancia de + 3 m. del punto A.

9. Un mvil recorre 32 m. a la izquierda del punto A y luego retrocede en la misma direccin 15 m. A qu distancia se halla de A? S o l u c i n : - 32 + 15 = - 17 Respuesta: el mvil se halla a una distancia de - 17 m. del punto A.

10. Un mvil recorre 35 m. a la derecha de B y luego retrocede en la misma direccin 47 m. A qu distancia se halla de B? S o l u c i n : + 35 + (-47) = - 12 Respuesta: el mvil se halla a una distancia de - 12 m. del punto B.

11. Un mvil recorre 39 m. a la izquierda de M y luego retrocede en la misma direccin 56 m. A qu distancia se halla de M? S o l u c i n : - 39 + 56 = + 17 Respuesta: el mvil se halla a una distancia de + 17 m. del punto M.

12. A partir del punto B una persona recorre 90 m. a la derecha y retrocede, en la misma direccin, primero 58 m. y luego 36 m. A qu distancia se halla de B? S o l u c i n : + 90 - (58 + 36) = + 90 - 94 = - 4 Respuesta: la persona se halla a una distancia de - 4 m. del punto B.

13. Un mvil recorre 72 m. a la derecha de A y entonces empieza a retroceder en la misma direccin, a razn de 30 m. por seg. Expresar su distancia del punto A al cabo del primer, segundo, tercer y cuarto segundo. S o l u c i n : + 72 + 1 * (-30) = + 72 - 30 = + 42: primer seg. + 72 + 2 * (-30) = + 72 - 60 = + 12: segundo seg. + 72 + 3 * (-30) = + 72 - 90 = - 18: tercer seg. + 72 + 4 * (-30) = + 72 - 120 = - 48: cuarto seg. Respuesta: el mvil se halla a una distancia del punto A de, + 42 m. el primer seg., de + 12 m. el srgundo seg., de - 18 m. el tercer seg. y de - 48 m. el cuarto seg.

14. Un auto recorre 120 Km. a la izquierda del punto M y luego retrocede a razn de 60 Km. por hora. A qu distancia se halla del punto M al cabo de la 1a, 2a, 3a, y 4a hora? S o l u c i n : Antes de comenzar a retroceder el carro se encuentra a - 120 Km. del punto M. En la primera hora avanza +60 Km. hacia el punto M y, -120 + 60 = -60. En la segunda hora avanza otros +60 Km. hacia el punto M y, - 60 + 60 = 0. En la tercera hora vuelve a avanzar otros +60 Km. hacia M y, 0 + 60 = +60.

Por ltimo avanza otros + 60 Km. hacia M y, +60 + 60 = +120. Respuesta: El auto se encuentra en la 1a hora a -60 Km. del punto M; en la 2a hora a 0 Km. de M (esto es, se halla justo en el punto M); en la 3a hora se halla a +60 Km. de M ; y, en la 4a hora a +120 Km. de M.

CAPITULO 4

N o m e n c l a t u r a a l g e b r a i c a Sugerencia: lea cuidadosamente, en el lgebra de Baldor, las pginas 13 a 15. 1. Dgase qu clase de trminos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: S o l u c i n :

2. Dgase el grado absoluto de los trminos seguientes: S o l u c i n :

3. Dgase el grado de los trminos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: S o l u c i n :

4. De los trminos siguientes escoger cuatro que sean homogneos y tre hetereogneos S o l u c i n :

5. Escribir tres trminos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales S o l u c i n :

6. Escribir un trmino de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undcimo grado, dcimo quinto grado, vigsimo grado S o l u c i n :

7. Escribir un trmino de dos factores literales que sea de cuarto grado con relacin a la x; otro de cuatro factores literales que sea de sptimo grado con relacin a la y; otro de cinco factores literales que sea de dcimo grado con relacin a la b S o l u c i n :

CAPITULO 5

Clasificacin de las expresiones algebraicas Sugerencia: lea juiciosamente, en el lgebra de Baldor, las pginas 16 y 17 1. Dgase el grado absoluto de los siguientes polinomios:

2. Dgase el grado de los siguientes polinomios con relacin a cada una de sus letras

CAPITULO 6

Clases de polinomios Sugerencia: lea cuidadosamente, en el lgebra de Baldor, las pginas 15, 16, 17 y 18. 1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dgase qu clase son los polinomios siguientes:

2. Escribir unn polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de dcimo quinto grado absoluto. Definicin: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su trmino de mayor grado absoluto".

3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la m.

4. De los siguientes polinomios:

escoger dos que sean homogneos y dos hetereogneos. S o l u c i n : Definicin 1: "Un polinomio es homogneo cuando todos sus trminos son del mismo grado absoluto". Definicin 2: "Un polinomio es heterogneo cuando sus trminos no son del mismo grado absoluto". Definicin 3: "El grado absoluto de un trmino es la suma de los exponentes de sus factores literales". Los polinomios homogneos seran: a) y e) {en (a) todos los trminos son de tercer grado absoluto, y en (e) todos los trminos son de quinto grado absoluto}. Los polinomios heterogneos seran: c) y d).

5. De los siguientes polinomios:

dgase cules son completos y respecto de cules letras. S o l u c i n : El polinomio (a) es completo respecto a la a. El polinomio (c) es completo respecto a la y. El polinomio (e) es completo respecto a la b y a la y. 6. Escribir tres polinomios homogneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos. S o l u c i n :

7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente:

S o l u c i n :

8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente:

S o l u c i n :

CAPITULO 7

Reduccin de dos o ms trminos semejantes del mismo signo

Sugerencia: lee cuidadosamente, en el lgebra de Baldor, la pgina Nro 19. Definicin: Dos o ms trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y estn afectadas por el mismo exponente.

P r o c e d i m i e n t o

Para reducir trminos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los trminos y se antepone, al coeficiente total, el mismo signo que comparten, y a continuacin se escribe la parte literal.

Reducir: 1. x + 2x. S o l u c i n : El signo comn a todos los trminos es el +. Los coeficientes de los trminos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los trminos es x. Y 1 + 2 = 3; x + 2x = 3x. 2. 8a + 9a S o l u c i n :

El signo comn a todos los trminos es el +. Los coeficientes de los trminos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los trminos es a. Y 8 + 9 = 17; 8a + 9a = 17a. 3. 11b + 9b S o l u c i n : El signo comn a todos los trminos es el +. Los coeficientes de los trminos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los trminos es b. Y 11 + 9 = 20; 11b + 9a = 20b. 4. -b - 5b. Solucin: El signo comn a todos los trminos es el -. Los coeficientes de los trminos son 1 y 5. La parte literal igual en todos los trminos es b. Y 1 + 5 = 6; -b - 5b = -6b. 5. -8m - m Solucin: El signo comn a todos los trminos es el -. Los coeficientes de los trminos son 8 y 1. La parte literal igual en todos los trminos es m. Y 8 + 1 = 9; -8m - m = -9m. 6. -9m - 7m Solucin: El signo comn a todos los trminos es el -. Los coeficientes de los trminos son 9 y 7. La parte literal igual en todos los trminos es m. Y 9 + 7 = 16; -9m - 7m = -16m.

CAPITULO 8

Reduccin de dos trminos semejantes de distinto signo

P r o c e d i m i e n t o Para reducir dos trminos semejantes de distinto signo, se halla la diferencia entre los coeficientes de los trminos, colocando antes de esta diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuacin se escribe la parte literal.

Nota: dos trminos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan. Reducir:

CAPITULO 9

Reduccin de ms de dos trminos semejantes de signos distintos

Procedimiento

Para reducir un polinomio con ms de dos trminos semejantes y con signos distintos, se procede as: 1) Se reducen a un solo trmino todos los positivos. 2) Se reducen a un solo trmino todos los negativos. 3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los trminos hallados en los dos pasos anteriores. 4) El signo que preceder la diferencia hallada en el paso anterior ser el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los trminos hallados en los pasos (1) y (2). 5) Por ltimo, se escribe la parte literal.

R e d u c i r :

CAPITULO 10

Reduccin de trminos semejantes Reduccin de un polinomio que contenga trminos semejantes de diversas clases

P r o c e d i m i e n t o Para reducir un polinomio con diversos trminos semejantes de diversas clases, se procede de la siguiente manera: 1. Se agrupan los trminos semejantes de cada clase en un mismo parntesis 2. Se reducen los trminos semejantes 3. Se da la respuesta, ordenando el polinomio resultante Nota: recordemos que los trminos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes

Reducir los polinomios siguientes: