27
I DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DE MATERIAIS TEORIA DA ELASTICIDADE ESTADO PLANO DE TENSÃO DOIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIO 1 EXERCÍCIO 2 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS CONSIDERANDO A SEGUINTE CONVENÇÃO: ISABEL ALVIM TELES 96 MPa 160 MPa 64 MPa x x y y yx yx xy xy + x y 80 MPa F 50° G 100 MPa 60 MPa

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS - paginas.isep.ipp.pt · dois exercÍcios resolvidos exercÍcio 1 exercÍcio 2 resoluÇÃo de exercÍcios considerando a seguinte convenÇÃo: isabel alvim

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I

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE

ESTADO PLANO DE TENSÃO

DOIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

EXERCÍCIO 1 EXERCÍCIO 2

RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS CONSIDERANDO A SEGUINTE CONVENÇÃO:

ISABEL ALVIM TELES

96 MPa

160 MPa

64 MPa

xx

y

y

yx

yx

xy

xy

+ x

y

80 MPa

F

50°

G

100 MPa

60 MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 1/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

EXERCÍCIO 1

ENUNCIADO

Considere o estado plano de tensão indicado na figura.

a) Determine as tensões principais e as respectivas

orientações;

b) Caracterize o estado de tensão correspondente à

máxima tensão tangencial;

c) Determine o estado de tensão para as facetas

indicadas a tracejado.

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1

Alínea a) TENSOR DAS TENSÕES

σX = 160 MPa

σY = 96 MPa

τXY = τYX = 64 MPa

• FÓRMULAS

4 )σ (σ 21

2

σ σ σ σ 2

xy2

yxyx

1máx τ+−++

==

4 )σ (σ 21

2

σ σ σ σ 2

xy2

yxyx

2mín τ+−−+

==

90º σ σ

2 arctg

21

αyx

xyp ±

−=τ

2 sen 2 cos 2

σ σ

2

σ σ σ xy

yxyx α+α−

++

=α τ

=×+−−+==

=×+−++==

MPa 56,446 64 4 96) (160 21

2

96 160 σ σ

MPa 199,554 64 4 96) (160 21

2

96 160 σ σ

222mín

221máx

96 MPa

160 MPa

64 MPa

principal eixo ep −

96 64

64 160 T

σ

σ

T

yyx

xyx

=⇒

τ

20°

y

epep

α +90º

x

α

p1 = 31,72°

2

2 =56,446 MPa1

1 =199,554 MPa

p2 = -58,28°

x

y

y

96 MPa

160 MPa

64 MPa

x

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 2/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

90 31,717 2 arctg 21

96 160

64 2 arctg

21

p oo ±==

−×=α

58,283 90

31,717 x eixo do perto mais σ σ σ

p1 p2

p1 1yx

−=−α=α

=α⇒⇒>

oo

o

Ou:

( ) ( ) σ MPa 199,554 2x31,717sen 64 2x31,717 cos 2

96160

296160

σ 131,717p⇒=+−++==α o

( )[ ] ( )[ ] σ MPa 56,446 58,2832xsen 64 58,2832xcos 2

96160

296160

σ 2283,85p⇒=−+−−++=−=α o

• CÁLCULO MATRICIAL

Tensões principais ⇒ det |T – σp.I| = 0

0 96 64

64 160 det

p

p

⇒=σ−

σ− ( )( ) 0 64 96 160 2

pp =−σ−σ−

=

=⇒

=σ⇒=+σ−σ

MPa 56,446 σ

MPa 199,554 σ

56.446

199,554 0 11264 256

2

1

p

p

p2

p

Direcção principal correspondente a σ1 [ ] 0 n σ - T 1 1 =×⇒ I

=+

=

×

1 n n

equação só uma escolher 0

0

n

n

199,5549664

64199,554160

21y

21x

1y

1x

=+

=

×

1 n n

equação só uma escolher 0

0

n

n

103,55464

6439,554

21y

21x

y1

x1

=

=⇒

=+

=+−

0,526 n

0,851 n

1 n n

0 n 64 n 554,39

1y

1x

21y

21x

1y1x

0,526) ; 0,851 ( n ou 0,526) ; (0,851 n 1 1 −−==

31,72 0,8510,526

arctg p1o=

=α ααααp1 - ângulo que o eixo principal 1 faz com o eixo X

(rotação positiva na direcção de x+ para y

+)

Direcção principal correspondente a σ2 [ ] 0 n σ - T 2 2 =×⇒ I (resolução idêntica à anterior para σ1)

1 =199,554 MPa

1 =199,554 MPa

p1 = 31,72°

x

y

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 3/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Resolução alternativa 1:

0,851) ; (0,526 n

ou

0,851) ; 0,526( n

0,526) ; 0,851( n

ou

0,526) ; (0,851 n

e n n

2

2

1

1

2 1

−=

−=

−−=

=

o58,28

0,5260,851

arctg p2 −=

−=α ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo X

(rotação negativa na direcção de x+ para y

-)

Resolução alternativa 2: [ ] 0 n

n

nn 0 n n n n

2y

2x

1y1x2 1 2 1 =

×⇒=×⇒⊥

−=

=

=

−=⇒

=+

=×+×

0,851 n

0,526 n

ou 0,851 n

0,526 n

1 n n

0 n 0,526 n 851,0

2y

2x

2y

2x

22y

22x

2y2x

o58,28

0,5260,851

arctg p2 −=

−=α

ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo do X (rotação negativa na direcção de x

+ para y

-)

Alínea b)

• FÓRMULAS

MPa 554,71 2

56,446 199,554

2

σ σ

2

σ σ 21mínmáx

máx =−=−=−

= τ

ou

2222yxmáx 64 4 96) (160

21 4 )σ (σ

21 ×+−=+−= xyτ τ = 71,554 MPa

ooooo76,72 ou 13,28 45 31,717 45 ccpc =α−=α⇒±=±α=α

[ ] [ ]

=−×−−×−−=

−=α

α MPa 71,55 )28,13( 2 cos 64 )28,13( 2 sen 2

96 160

,2813

c

c

τ

o

MPa 128 2

96 160

2

σ σ σ Quando

yxmáx =+=

+=⇒τ

2

σ - σ mínmáx

máx = τ ou 2xy

2yx máx 4 )σ - (σ

2

1 τ τ +=

cxycyx

pc 2 cos 2 sen 2

σ σ 45º

cα+α

−−=⇒±α=α α ττ

2

σ σ σ Quando

yxmáx

+=⇒τ

máx

máx

máx

x

α

y

2

2 =56,446 MPa

p2 = -58,28°

x

y

=128 MPa

=71,55 MPa=128 MPa

=71,55 MPa

x

y

c = -13,28°

=128 MPa

=128 MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 4/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

• CÁLCULO MATRICIAL

0,851) ; (0,526 n ou 0,851) ; 0,526( n 58,22 α

0,526) ; 0,851( n ou 0,526) ; (0,851 n 31,72 α

2 2 p2

1 1 p1

−=−=⇒−=

−−==⇒=o

o

Considerando ooo

13,28 45 31,72 c −=−=α

0,230) (0,973; ))13,28( sen );13,28( (cos )α sen ; α (cos n ccmáx−=−−==⊥

ooτ

máxn τ⊥ - vector normal à faceta onde ocorre a máxτ

Outra forma de encontrar máxn τ⊥ : O vector soma (ou o vector subtracção) de 1 n e n 2 tem a

direcção de máx

nτ⊥ , mas como não tem comprimento unitário,

necessita de ser normalizado.

1,377) (0,325; 0,851) ; 0,526( 0,526) ; (0,851 n n v 2 1 máx=−+=+=⊥τ

Normalizando: 0,973) 0,230;( ou 0,973) (0,230; )1,377 (0,325;

1,377 0,325

1 n22máx

−−=+

=⊥τ

Ou 0,325) (1,377; 0,851) ; 0,526( 0,526) ; (0,851 n n v 2 1 máx−=−−=−=⊥τ

Normalizando: 0,230) 0,973;( ou 0,230) (0,973; ),3250 (1,377;

0,325)( 1,377

1 n22máx

−−=−−+

=⊥τ

[ ]{ } máx//T

máx máx n x n x T τττ ⊥=

[ ]{ } máxT

máx

máx

n x n x T σ

: Quando

ττ

τ

⊥⊥=

máxn τ⊥ - vector unitário normal à faceta onde ocorre a máxτ

máx//n τ - vector unitário paralelo à faceta onde ocorre a máxτ

x

yn = (0,230; 0,973)

n = (-0,230; -0,973)

n = (0,973; -0,230)

n = (-0,973; 0,230)

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 5/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Considerando a faceta representada na figura ao lado:

0,973) ; (0,230 nmáx

=⊥τ

0,230) 0,973; ( nmáx// −=τ

=

0,973

0,230 x

0,230

0,973 x

96 64

64 160

T

máx τ

[ ] MPa 71,53 0,973

0,230 x 192,40 960,140

0,973

0,230 x

192,40

960,140

T

máx =

=

Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser igual ao do vector máx//n τ .

[ ] MPa 127,91 0,973

0,230 x 192,40960,140

0,973

0,230 x

0,230

0,973 x

96 64

64 160 σ

T

=

=

=

n = (0,973; -0,230)

c = -13,28°x

n = (0,230; 0,973)

y

=71,53 MPa=127,9 MPa

=71,53 MPa

x

y

-13,28°

=127,9 MPa

-13,28°

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 6/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Alínea c)

• FÓRMULAS

2θ sen 2θ cos 2

σ σ

2

σ σ σ xy

yxyxθ τ+

−+

+=

2θ cos 2θ sen 2

σ σ xy

yxθ ττ +

−−=

MPa 193,65 40 sen 64 40 cos 2

96 160 2

96 160 σ20θ

=+−++==oo

o

MPa 28,46 40 cos 64 40 sen 2

96 160 20θ

=+−−==oo

MPa 62,35 )140( sen 64 )140( cos 2

96 - 160 2

96 160 σ70θ

=−+−++=−=oo

o

• CÁLCULO MATRICIAL

( )( ) 20 cos ;20 sen n

20 sen ; 20 cos n

//oo

oo

−=

=⊥

[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R

[ ] MPa 193,65 20 sen

20 cos x 974,92240,172

20 sen

20 cos x

20 sen

20 cos x

9664

64160 σ

T

=

=

=

o

o

o

o

o

o

[ ][ ] //T

//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv

[ ] MPa 28,46 20 cos

20 sen x 974,92240,172

20 cos

20 sen x

20 sen

20 cos x

9664

64160

T

=

−=

=

o

o

o

o

o

o

τ

Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser igual ao do vector //n .

x

y

+

++

=28,46 MPa

=193,65 MPa

= 20°

=62,35 MPa

= -70°

x

y=62,35 MPa

=193,65 MPa

=28,46 MPa

x

=20°

n = (cos 20º; sen 20º)

n = (-sen 20º; cos 20º)y

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 7/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Outra faceta:

( ) ( )( ) ( )0,342 0,940; 70 cos ;70 sen n

0,940 0,342; 70 sen ; 70 cos n

// =−−=

−=−−=⊥oo

oo

[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R

[ ] MPa 62,35 70 sen

70 cos x 321,685,417

70 sen

70 cos x

70 sen

70 cos x

9664

64160 σ

T

=

−−−=

=

o

o

o

o

o

o

[ ][ ] //T

//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv

[ ] MPa 28,46 70 cos

70 sen x 321,685,417

70 cos

70 sen x

70 sen

70 cos x

9664

64160

T

−=

−−−−=

−−

=

o

o

o

o

o

o

τ

Como o sinal é negativo, o sentido da tensão ττττ vai ser contrário ao do vector //n .

=-70°

n = (cos -70º; sen -70º)

n = (-sen -70º; cos -70º)x

y

=28,46 MPa

=193,65 MPa

= 20°

=62,35 MPa

= -70°

x

y=62,35 MPa

=193,65 MPa

=28,46 MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 8/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CÍRCULO DE MOHR DAS TENSÕES

Facetas horizontais: MPa 64

MPa 96 σ H Facetas

=

=⇒

τ

Facetas verticais: MPa 64

MPa 160 σ V Facetas

=

=⇒

τ

MPa 128 2

96 160 σ C Mohr de círculo do centro - C méd =+==⇒

MPa 71,554 128)(160 64 R Mohr de círculo de raio - R22 =−+=⇒

96 MPa

160 MPa

64 MPa

H

V

H

V

64H

64V

C96160

12

máx

máx

2 p1

(faceta horizontal)

(faceta vertical)

2 c

2 p2

R

R

2 c'

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 9/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

MPa 199,554 71,554 128 R σ σ σ méd1máx =+=+==

MPa 56,446 71,554 128 R σ σ σ méd2mín =−=−==

αp1 – ângulo que a faceta onde ocorre σ1 faz com a faceta V (faceta vertical)

ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ1 faz com a normal à faceta V (eixo x)

αp2 – ângulo que a faceta onde ocorre σ2 faz com a faceta V (faceta vertical)

ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ2 faz com a normal à faceta V (eixo x)

31,72 α

2 arctg 2α 2 3264

C 160

64 2α tg

p1

p1p1

o=

=⇒==−=

α

αααα

58,28

31,72 90 90 2 180 2

p2

p1p2p1p2

o

oooo

=

−=−=⇒−=

MPa 71,554 R máx ==τ de Sentido máxτ⇒

Nas facetas onde ocorre τmáx MPa 128 C σ ==⇒

αc – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta V (faceta vertical) ou

ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta V (eixo x)

αc’ – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta H (faceta horizontal) ou

ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta H (eixo y)

ooooo13,28 31,7245 p1 45 c p12 90 c2 ==α−=α⇒α−=α −

o13,28 c' c2 c'2 =α⇒α=α

p1 = 31,72°

2

2 =56,446 MPa1

1 =199,554 MPa

p2 = -58,28°

x

y

=128 MPa

=71,55 MPa=128 MPa

=71,55 MPa

x

y

c = -13,28°

=128 MPa

=128 MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 10/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PIF - pólo de irradiação das facetas

o31,72 0,618 arctg 0,618

64160 199,554

64

160σ tg p1

1p1 ==α⇒=−=−=α

o58,28 1,618 arctg 1,618

6456,446 160

64

σ 160 tg p2

2p2 ==α⇒=−=−=α

o13,28 0,236 arctg 0,236

64 71,554128 160

64C 160

tg cmáx

c ==α⇒=+−=+

−=ατ

o13,28 c'cc' =α⇒α=α

64H

64V

C96160

12

máx

máx

(faceta horizontal)

(faceta vertical)

PIF

p1p2

c

c'

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 11/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PIN - pólo de irradiação das normais às facetas

o31,72 0,618 arctg 0,618

96 199,55464

96σ

46 tg p1

1p1 ==α⇒=−=−=α

o58,28 1,618 arctg 1,618

56,446 9664

σ 96

64 tg p2

2p2 ==α⇒=−=−=α

o13,28 0,236 arctg 0,236

64 71,55496128

64

96 C tg c'

máxc' ==α⇒=+

−=+−=α

τ

o13,28 cc'c =α⇒α=α

64H

64V

C96160

12

máx

máx

(faceta horizontal)

(faceta vertical)PINp1

p2

c'

c

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 1 12/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

64H

64V

C96160

(faceta horizontal)

(faceta vertical)

PIF

20º

20º

A

BB=28,5

A=28,5

A=193,7

B=62,4

20°

20°

AB

BA

A

28,5 MPa

193,7 MPa

62,4 MPa

62,4 MPa

193,7 MPa

28,5 MPa

B

BA

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 13/12

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

EXERCÍCIO 2

ENUNCIADO

Considere o estado plano de tensão indicado na figura.

a) Determine as tensões principais e as respectivas

orientações;

b) Caracterize o estado de tensão correspondente

à máxima tensão tangencial;

c) Determine a tensão normal e a tensão

tangencial a actuar na faceta FG;

d) Determine o estado de tensão para as facetas

indicadas a tracejado.

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 Alínea a) TENSOR DAS TENSÕES

σX = 80 MPa

σY = -100 MPa

τXY = τYX = -60 MPa

• FÓRMULAS

4 )σ (σ 21

2

σ σ σ σ 2

xy2

yxyx

1máx τ+−++

==

4 )σ (σ 21

2

σ σ σ σ 2

xy2

yxyx

2mín τ+−−+

==

90 σ σ

2 arctg

21

αyx

xyp

−=τ

2 sen 2 cos 2

σ σ

2

σ σ σ xy

yxyx α+α−

++

=α τ

−=−×++−−==

=−×+++−==

MPa 118,167 60)( 4 100)(80 21

210080

σ σ

MPa 98,167 60)( 4 100)(80 21

210080

σ σ

222mín

221máx

80 MPa

F

50°

G

24°

100 MPa

60 MPa

principal eixo - ep

10060

6080 T

σ

σ T

yyx

xyx

−−

−=⇒

τ

y

epep

α +90º

x

α

y

100 MPa

80 MPa

60 MPa

x

y

2

2 = -118,167 MPa

1

1 =98,167 MPa

x

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 14/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

90 16,845 32 arctg

21

100)(80

60)(2 arctg

21 α p

oo ±−=

−=

−−−×=

73,155 90 α α

16,845 α x eixo do perto mais σ σ σ

p1 p2

p1

1yx

=+=

−=⇒⇒>

oo

o

Ou:

σ MPa 98,167 )845,162( sen 60 )845,162( cos 2

10080

210080

σ 1),84516 ( p⇒=×−−×−++−=−=α

ooo

σ MPa 118,167 )155,73(2 sen 60 )155,73(2 cos 2

10080

210080

σ 2)155,73 ( p⇒−=×−×++−==α

ooo

• CÁLCULO MATRICIAL

Tensões principais ⇒ det |T – σp.I| = 0

0 100 60

6080 det

p

p

⇒=σ−−−

−σ− ( )( ) 0 60)( 100 80 2

pp =−−σ−−σ−

−=

=⇒

−=σ

=σ⇒=σ+σ

MPa 118,167 σ

MPa 98,167 σ

118,167

98,167 0 11600 - 20

2

1

p

p

p2

p

Direcção principal correspondente a σ1 [ ] 0 n x σ T 1 1 =−⇒ I

=+

=

×

−−−

−−

1 n n

equação só uma escolher 0

0

n

n

98,16710060

6098,16780

21Y

21x

1y

1x

=+

=

×

−−

−−

1 n n

equação só uma escolher 0

0

n

n

198,16760

6018,167

21y

21x

y1

x1

−=

=⇒

=+

=−−

0,2898 n

0,9571 n

1 n n

0 n 60 n 167,18

1y

1x

21y

21x

1y1x

0,2898) ; 0,9571 ( n ou 0,2898) ; (0,9571 n 1 1 −=−=

16,85 0,9571

0,2898 arctg αp1

o−=

−= ααααp1 - ângulo que o eixo principal 1 faz com o eixo X

(rotação negativa na direcção de x+ para y

-)

y

1 =98,167 MPa

x

1 =98,167 MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 15/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Direcção principal correspondente a σ2 [ ] 0 n σ T 2 2 =×−⇒ I (resolução idêntica à anterior para σ1)

=+

=

×

+−−

−+

1 n n

equação só uma escolher 0

0

n

n

118,16710060

60118,16780

22Y

22x

2y

2x

=+

=

×

1 n n

equação só uma escolher 0

0

n

n

18,16760

60198,167

22y

22x

y2

x2

=

=⇒

=+

=−

0,9571 n

0,2898 n

1 n n

0 n 60 n 167,198

1y

1x

22y

22x

2y2x

0,9571) ; 0,2898 ( n ou 0,9571) ; (0,2898 n 2 2 −−==

73,15 0,2898

0,9571 arctg αp2

o=

= ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo X

(rotação positiva na direcção de x+ para y

+)

Resolução alternativa 1:

0,9571) ; 0,2898( n

ou

0,9571) ; (0,2898 n

0,2898) ; 0,9571( n

ou

0,2898) ; (0,9571 n

e n n

2

2

1

1

2 1

−−=

=

−=

−=

o73,15 0,2878

0,9571 arctg αp2 =

=

ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo do X (rotação positiva na direcção de x

+ para y

+)

Resolução alternativa 2: [ ] 0 n

n nn 0 n n n n

2y

2x1y1x2 1 2 1 =

×⇒=×⇒⊥

−=

−=

=

=⇒

=+

=×−×

0,9571 n

0,2898 n ou

0,9571 n

0,2898 n

1 n n

0 n 0,2878 n 9571,0

2y

2x

2y

2x

22y

22x

2y2x

o73,15 0,2898

0,9571 arctg αp2 =

=

ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo do X (rotação positiva na direcção de x

+ para y

+)

y2 = -118,167 MPa

x

2 = -118,167 MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 16/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Alínea b)

• FÓRMULAS

MPa 167,1082

118,167 98,167

2

σ σ

2

σ σ 21mínmáx

máx =+=−=−

= τ

ou

MPa 108,167 60)( 4 100) (80 21 4 )σ (σ

21 2222

yxmáx =−×++=+−= xyτ τ

oo

ooo

61,845 α ou 28,155 α

45 16,845 45 α α

cc

pc

−==

±−=±=

=×−×+−=

=

MPa 108,167- 28,155) (2 cos 60 28,155) (2 sen 210080

28,155 α

c

τ

o

MPa 10 - 2

100 - 80

2

σ σ σ Quando

yxmáx ==

+=⇒τ

• CÁLCULO MATRICIAL

Direcções principais:

=

−=o

o

73,155 α

16,845 α

p2

p1

===

=+−=

⊥ ) 0,4719 0,8817; ( ) 28,155 sen ;28,155 cos ( ) α sen ; α cos ( n

28,155 45 16,845 α

cc

c

máx

oo

ooo

τ

−=−−==

−=−−=

⊥ 0,8817) (0,4719; ) 61,845 sen ;61,845 cos ( ) α sen ; α cos ( n

61,845 45 16,845 α

cc

c

máx

oo

ooo

τ

máxn τ⊥ - vector normal à faceta onde ocorre a máxτ

2

σ σ mínmáx

máx

−= τ ou 2

xy2

yx máx 4 )σ (σ 21 τ τ +−=

cxycyx

αpc α2 cos α2 sen 2

σ σ 45 α α

cττ +

−−=⇒±= o

2

σ σ σ Quando

yxmáx

+=⇒τ

máx

máx

máx

x

α

y

= -10 MPa

x

= -10 MPa

τ= -108,17MPa

y

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 17/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Outra forma de encontrar máxn τ⊥ : O vector soma (ou o vector subtracção) de 1 n e n 2 tem a

direcção de máx

nτ⊥ , mas como não tem comprimento unitário,

necessita de ser normalizado.

−−==⇒=

−=−=⇒−=

0,9571) ; 0,2898 ( n ou 0,9571) ; (0,2898 n 73,155 α

0,2898) ; 0,9571 ( n ou 0,2898) ; (0,9571 n 16,845 α

2 2 p2

1 1 p1

o

o

0,6673) (1,2469; 0,9571) ; (0,2898 0,2898) ; (0,9571 n n v 2 1 máx=+−=+=⊥τ

Normalizando: 0,472) 0,882;( ou 0,472) (0,882; )0,6673 (1,2469;

0,6673 1,2469

1 n22máx

−−=+

=⊥τ

ou

1,2469) (0,6673; 0,9571) ; (0,2898 0,2898) ; (0,9571 n n v 2 1 máx−=−−=−=⊥τ

Normalizando: 0,882) 0,472;( ou 0,882) (0,472; )1,2469 (0,6673;

1,2469)( 0,6673

1 n22máx

−−=−−+

=⊥τ

[ ]{ }máx//

T máx máx n n T τττ ××= ⊥

[ ]{ }máx

T máx

máx

n n T σ

: Quando

ττ

τ

⊥⊥ ××=

máxn τ⊥ - vector unitário normal à faceta onde ocorre a máxτ

ou

máx//n τ - vector unitário paralelo à faceta onde ocorre a máxτ

) 0,8817 0,4719; ( nmáx

−=⊥τ ����

) 0,4719 0,8817; ( nmáx// −−=τ

−×

−×

−−

−=

0,4719

0,8817

0,8817

0,4719

10060

6080

T

máx τ

[ ] MPa 108,2 0,4719

0,8817 x 856,59654,09

0,4719

0,8817 x

856,59

654,90

T

máx −=

−=

Como o sinal é negativo, a tensão ττττ vai ter sentido contrário ao do vector máx//n τ , ou seja ����.

x

n = (0,4719; -0,8817)τ

n = (-0,8817; -0,4719)τ

y

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 18/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

[ ] MPa 10,0 0,8817

0,4719 x 856,59654,90

0,8817

0,4719 x

0,8817

0,4719 x

10060

6080 σ

T

−=

−=

−−

−=

Alínea c)

• FÓRMULAS

2θ sen 2θ cos2

σ - σ

2

σ σ σ xy

yxyxθ τ++

+=

2θ cos 2θ sen 2

σ - σ - xy

yxθ ττ +=

MPa 53,460 80 sen 60 80 cos 2100 80

2100 - 80 σ

40 θ−=−++==

ooo

MPa 99,052 80 cos 60 80 sen 2100 80

40 θ−=−+−==

oooτ

Como o sinal é negativo, a tensão ττττ vai ter sentido

contrário ao do vector //n , ou seja: �

= -10 MPa

x

= -10 MPa

τ= -108,2MPa

y

τ= -108,2MPa

x

y

+

++

x

n=40°

-50°x

n =40°

-50°

n

y y

x=40°

= -53,46 MPa

=99,05 MPa

y

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 19/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

• CÁLCULO MATRICIAL

( ) 0,6428) 0,7660; ( 40 sen ;40 cos n ==⊥oo ����

( ) 0.7660) 0,6428;( 40 cos ;40 sen n// −=−= oo

[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R

[ ] MPa 53,46 40 sen

40 cos x 241,110716,22

40 sen

40 cos x

40 sen

40 cos x

10060

6080 σ

T

−=

−=

−−

−=

o

o

o

o

o

o

[ ][ ] //T

//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv

[ ] MPa 99,05 40 cos

40 sen x 241,110716,22

40 cos

40 sen x

40 sen

40 cos x

10060

6080

T

−=

−−=

−−

−=

o

o

o

o

o

o

τ

Como o sinal é negativo, a tensão ττττ vai ter

sentido contrário ao do vector //n , ou seja: ����

Alínea d)

• FÓRMULAS

2θ sen 2θ cos2

σ σ

2

σ σ σ xy

yxyxθ τ+

−+

+=

2θ cos 2θ sen 2

σ σ xy

yxθ ττ +

−−=

MPa 94,810 )48( sen 60 )48( cos 2100 80

2100 80 σ

24θ=−−−++−=−=

ooo

MPa 26,735 )48( cos 60 )48( sen 2100 80

24θ=−−−+−=−=

oooτ

MPa 114,810 132 sen 60 132 cos 2100 80

2100 80 σ

66θ−=−++−==

ooo

x

n =40°

-50°

n

y

x=40°

= -53,46 MPa

=99,05 MPa

y

x

y

+

++

y

x

=66°

=-24°

= 94,81 MPa

= -114,81 MPa

τ= 24,735 MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 20/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

• CÁLCULO MATRICIAL

( ) 0,4067) 0,9135; ( 24 sen ; 24 cos n −=−−=⊥oo ����

( ) 0,9135) 0,4067; ( 24 cos ;24 sen n// =−−−= oo ����

[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R

[ ] MPa 94,81 0,4067

0,9135 14,13997,488

24 sen

24 cos

24 sen

24 cos

10060

6080 σ

T

=

−×−=

−×

−×

−−

−=

o

o

o

o

[ ][ ] //T

//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv

[ ] MPa 26,735 0,9135

0,4067 14,13997,488

24 cos

24 sen

24 sen

24 cos

10060

6080

T

=

×−=

−−×

−×

−−

−=

o

o

o

o

τ

Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser igual ao do vector //n , ou seja: �

Outra faceta:

( ) 0,9135) 0,4067; ( 66 sen ; 66 cos n ==⊥oo ����

( ) 0,4067) 0,9135; ( 66 cos ;66 sen n// −=−= oo

[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R

[ ] MPa 114,81 66 sen

66 cos 115,75922,274

66 sen

66 cos

66 sen

66 cos

10060

6080 σ

T

−=

×−−=

×

×

−−

−=

o

o

o

o

o

o

[ ][ ] //T

//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv

[ ] MPa 26,735 66 cos

66 sen 115,75922,274

66 cos

66 sen

66 sen

66 cos

10060

6080

T

−=

−×−−=

−×

×

−−

−=

o

o

o

o

o

o

τ

Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser contrário ao do vector //n , ou seja: ����

x= -24°

n

n

y

y

x

= 66°

n

n

x

=66°

=-24°

= 94,81 MPa

= -114,81 MPa

τ= 26,735 MPa

y

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 21/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CÍRCULO DE MOHR DAS TENSÕES

Facetas horizontais: MPa 60

MPa 100 σ H Facetas

=−=

⇒τ

Facetas verticais: MPa 60

MPa 80 σ V Facetas

==

⇒τ

C – centro do círculo de Mohr MPa 10 2100 80 σ C méd −=−==⇒

R – raio do círculo de Mohr MPa 108,167 10)(80 60 R 22 =++=⇒

100 MPa

80 MPa

60 MPa

H

V

H

V

60

τ

σ-100

H(faceta horizontal)

80

60 V (faceta vertical)

C

τmáx

Rτmáx

σ1σ2

2αp1

2αp2

R

2αc

2αc'

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 22/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

MPa 98,167 108,167 10 R σ σ σ méd1máx =+−=+==

MPa 118,167 108,167 10 R σ σ σ méd2mín −=−−=−==

αp1 – ângulo que a faceta onde ocorre σ1 faz com a faceta V (faceta vertical)

ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ1 faz com a normal à faceta V (eixo x)

αp2 – ângulo que a faceta onde ocorre σ2 faz com a faceta V (faceta vertical)

ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ2 faz com a normal à faceta V (eixo x)

16,845 α

3

2 arctg 2α

3

2

90

60

1080

60

C 80

60 2α tg

p1

p1p1

o=

=⇒==+=+

=

α

αααα

73,155

16,845 90 90 2 180 2

p2

p1p2p1p2

o

oooo

=

−=−=⇒−=

MPa 108,167 R máx ==τ de Sentido máxτ⇒

Nas facetas onde ocorre τmáx MPa 10 C σ −==⇒

αc – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta V (faceta vertical) ou

ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta V (eixo x)

αc’ – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta H (faceta horizontal) ou

ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta H (eixo y)

ooooo 28,155 16,84545 p1α 45 cα p1α2 90 cα2 ==−=⇒= −−

o28,155 c' c2 c'2 =α⇒α=α

y

2

2 = -118,167 MPa

1

1 =98,167 MPa

x

= -10 MPa

x

= -10 MPa

τ= -108,2MPa

y

τ= -108,2MPa

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 23/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PIF - pólo de irradiação das facetas

o16,845 0,3028 arctg α 0,3028 60

80 98,167

60

80σ α tg p1

1p1 ==⇒=−=−=

o73,155 3,3028 arctg 3,3028 60

118,167 80

60

σ 80 tg p2

2p2 ==α⇒=+=

+=α

o28,155 0,5352 arctg 0,5352 60 108,167

10 80

60

C 80 tg c

máxc ==α⇒=+

+=++

=ατ

o28,155 c'cc' =α⇒α=α

60

τ

σ-100

H(faceta horizontal)

80

60 V (faceta vertical)

C

τmáx

Rτmáx

σ1σ2

R

PIFαc'

αcαp1

αp2

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 24/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PIN - pólo de irradiação das normais às facetas

o16,845 0,3028 arctg 0,3028 10098,167

60

100σ

60 tg p1

1p1 ==α⇒=+=+=α

o58,28 1,618 arctg α 1,618 98,167 9664

σ 9664 α tg p2

2p2 ==⇒=

−=

−=

o28,155 0,5352 arctg α 0,5351 10 100

60 108,167

C 100

60 α tg c'

máxc ==⇒=

−−=

−−

o28,155 α α α c'cc' =⇒=

PINαp1

αp2

αc

αc'

60

τ

σ-100

H(faceta horizontal)

80

60 V (faceta vertical)

C

τmáx

Rτmáx

σ1σ2

R

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 25/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

F

50°

G

50°

= -53,46 MPa

=99,05 MPa50°

τ

σ

H(faceta horizontal)

V (faceta vertical)

τmáx

Rτmáx

σ1σ2

R

PIF

FG

50º

B

τB

=-53,46

=99,05

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES

Exercício 2 26/26

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

A

B

B

A

24°

24°

A

B

B

A

= 94,81 MPa

= -114,81 MPa

τ= 26,7MPa

τ= 26,7MPa

τ

σ

H(faceta horizontal)

V (faceta vertical)

τmáx

Rτmáx

σ1σ2

R

PIF

B

24º

24º

A

A

τA

B

τB

=-114,81=94,81

=26,7

=26,7