Représentation détat des systèmes FORMALISME DETAT COMMANDABILITE-OBSERVABILITE COMMANDE PAR RETOUR DETAT OBSERVATEUR

Représentation d’état des systèmes

• FORMALISME D’ETAT• COMMANDABILITE-OBSERVABILITE• COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT• OBSERVATEUR

FORMALISME D’ETAT

• 1 NOTION D'ÉTAT

• 2 EQUATION D'ÉTAT - EQUATION D'OBSERVATION

• 3 FONCTION DE TRANSFERT

• 4 INTÉGRATION DE L'ÉQUATION D'ÉTAT

• 5 PLURALITÉ DES REPRÉSENTATIONS D'ÉTAT

• 6 LES FORMES CANONIQUES

• 7 OBTENTION DE LA REPRÉSENTATION D’ÉTAT

• 8 STABILITÉ BIBO - STABILITÉ ASYMPTOTIQUE

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME

Avion axe longitudinal

Entrées de commande ( position manette des gaz )

m ( position gouverne

de profondeur)

Sorties mesurées q la vitesse de tangage (gyromètre ) Z l’altitude ( capteur de pression ) Vqfv ,, (palette d’incidence)

Entrées de perturbation wx, wz vitesses du vent

conditions initiales TZqV 00000


• La représentation d'état repose sur la notion d'énergie.

• Le processus est décrit par ses variables d'états. Ces variables d'état donnent une description interne complète de l'évolution du système.

• L'évolution d'un processus à partir d’un instant t0 donné dépend :- de son état initial, - des sollicitations extérieures (commandes et

perturbations ).


• Système mécanique élémentaire

masse m

raideur k

coefficient de frottement f

y

force F

• Vecteur d’état : X= [y, vy]T

• Vecteur de commande : U= F• Vecteur de sortie, la position : Y = y(t)


• Mise en équation

- Equation d’état

- Equation d’observation

masse m

raideur k

coefficient de frottement f

y

force F

• Système mécanique élémentaire


0 5 10 15 20 -1

-0.8 -0.6

-0.4 -0.2

0

0.2 0.4

0.6 0.8

1 Position y

y(t0) = -1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vy

y

Trajectoire d'état

t0

• Réponse indicielle du système mécanique élémentaire

La réponse y(t) La trajectoire d’état


m

1

m

k

m

f

+ y(t)F(t)yv

.yv

• Représentation sous forme de schéma fonctionnel du système mécanique élémentaire

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME• La fonction de transfert propose une

représentation externe du système, soit

• La représentation d’état propose une description interne puisqu’elle permet d’appréhender les variables internes au système : y(t) et vy(t)

pF

pY

m

1

m

k

m

f

+ y(t) F(t) yv

.yv

• Equation d’état

EQUATION D’ETAT ET D’OBSERVATION

nTn RxxxX ..21

Le vecteur d’état :

BUAXX

L’équation d’état :

L’équation d’observation : DUCXY

mTm RuuU ...1Le vecteur de commande :

Le vecteur de sorties : sTs RyyY ...1

• Equation d’observation

EQUATION D’ETAT ET D’OBSERVATION

• Représentation schématique des équations d’état et d’observation

X C + +

Y XX'

A

B U

D

FONCTION DE TRANSFERT

Le système est décrit par :

DUCXY

BUAXX

La matrice de transfert :

AIp

DAIpBAIpadjC

.det

..det...

pU

pY

C + + X Y

XX'

A

B U

D

Les pôles sont les valeurs propres de la matrice d’état A

FONCTION DE TRANSFERT• Système mécanique élémentaire

masse m

raideur k

coefficient defrottement f

y

force F

Fm

v

y

m

f

m

kv

y

yy

1010

yv

yY

10

01

L’équation d’état :

L’équation d’observation (tout l’état est mesuré) :

La matrice de transfert :

mk

pmf

p

pmk

pmf

ppH

²

²

1

INTEGRATION DE L’EQUATION D’ETAT

• Intégrer l’équation d’état c’est être capable de déterminer à tout instant l’expression des variables d’état :

– Les conditions initiales sont connues,– les entrées de commande et de perturbation

appliquées au système sont connues.

txtx n...1

XCY

UBXAX

.

..

dUBtXtXt

t

tAttA ).(..exp)(.exp)(0

00

).(

dUBCtXCtYt

t

tAttA ).(..exp.)(.exp.)(0

00

).(

Régime libre Régime forcé

INTEGRATION DE L’EQUATION D’ETAT

• Calcul de eAt

– Formulation de Sylvester– Transformée de Laplace inverse : 1.exp AIpL At

Fm

v

y

m

f

m

kv

y

yy

1010

• Application au système mécanique élémentaire

f= 0

tm

kt

m

k

m

k

tm

k

k

mt

m

k

eApIL At

cossin

sincos11

PLURALITE DES REPRESENTATIONS D’ETAT

• De l’intérêt de disposer de plusieurs modèles d’un même système

yay

z

v

xaéro

za

wind

u

w

xavion


• D’une manière générale, la représentation d’état obtenue lorsqu’on modélise le système au moyen des équations de la physique n’est pas nécessairement celle qui se prête le mieux :– à l’interprétation des propriétés du système étudié,– à la résolution de l’équation d’état,– à l’élaboration d’une loi de commande.

Des changements de base judicieux peuvent permettre de faciliter la résolution des problèmes mentionnés supra.


• Changement de base

DUCXY

BUAXX

P matrice de passage non singulière.ZPX .

UDZCY

UBZAZ

ii

ii

Le système dans la base originelle Le système dans la nouvelle base

DD

CPC

BPB

APPA

i

i

i

i

1

1

formules de changement de base :

LES FORMES CANONIQUES

• Forme diagonale : elle met en évidence : – les propriétés dynamiques (stabilité, rapidité,

amortissement),– les propriétés de commandabilité et

d’observabilité,– facilite l’intégration de l’équation d’état,– la contribution des modes aux états.


• Forme diagonale

DUCXY

BUAXX

UDZCY

UBZAZ

dd

dd

c..cc ..

0..0

0...0..

..00

0..0

dnd2d12

1

12

1

C.PC

b

b

b

BPB

a

a

a

A d

dn

d

d

d

dn

d

d

d

ZPX . P matrice constituée des vecteurs propres

Tous calculs faits …

Remarque : sans perte de généralité, on pourrait décrire de la même manièreUn système multi-entrées, multi-sorties.


dnb

2da

1da

dna

2db

1db

dnc

2dc

1dc

)(tu

)(1 tz

)(tzn

)(2 tz

)(tzn

)(2 tz

)(1 tz

+

+

+

+

c..cc ..

0..0

0...0..

..00

0..0

dnd2d12

1

12

1

C.PC

b

b

b

BPB

a

a

a

A d

dn

d

d

d

dn

d

d

d

• Forme diagonale

y(t)


dubezezubzaz

dubezezubzaz

dubezezubzaz

t

dnta

nta

idnndnn

t

dita

ita

idiidii

t

dtata

dd

dndn

didi

dd

0

0

0

0

0

11011111

...

...

11

• Forme diagonale : interprétation

1) Intégration des équations d’état :

2) Commandabilité : bdi = 0 zi n’est pas commandé

3) Observabilité : ndnidid zczczcy .....11 cdi = 0 zi n’est pas observé

4) Contribution des modes aux états : définie par les vecteurs propres


Fm

v

y

m

kv

y

yy

10

0

10

• Forme diagonale : exemple

yv

yY 01

ni

ni

nmi 5.0

1

1)(1 tz

)(2 tz

)(2 tz

)(1 tz

nmi 5.0

)(tf

LES FORMES CANONIQUES• La forme compagne horizontale :

– facilite la mise en oeuvre d’une commande– obtention « naturelle » d’une représentaion d’état depuis une fonction de transfert

1

0

...

0

0

......

10...00

010......

...0100

0...010

110

h

n

h B

aaa

A

P a a aAn

nn( ) . ... .

11

1 0

DUCXY

BUAXX

Attention à ne pas chercher de sens physique à cette représentation, elle n’en n’a pas !


01

11

011

1

.....

......

)(

)(

apapap

bpbpbpb

pU

pYn

nn

mm

mm

• La forme compagne horizontale :

– facilite la mise en oeuvre d’une commande– obtention « naturelle » d’une représentaion d’état depuis une fonction de transfert

0...0

1

0

...

0

0

......

10...00

010......

...0100

0...010

10

110

mhh

n

h bbbCB

aaa

A

STABILITE

• Au travers d’un exemple

XY

UXX

01

1

1

10

01

Soit le système :

0

1

1

11

1

p

1

1

p

+)(py)(pu

)(1 px

)(2 px

Le schéma fonctionnel :

La fonction de transfert a perdu un mode : 1

1

)(

)(

ppU

pY

Système stable du point de vue de la fonction de transfert, instable du point de vue de la représentation d’état.

Commandabilité - Observabilité

Commandabilité

• Exemple : contrôle d’attitude par magnétocoupleur

z

y x

repère orbital local zs

xs

ys

z

x

y

Repère de consigne et repère satellite

tangage y

roulis x

lacet z

B

iy ix

xy

zx

zy

z

x

y

x

Bi

Bi

Bi

B

B

i

i

M 0

0

Aux pôles, les magnétocoupleurs créent des couples sur les 3 axes et le satellite est commandable.

Commandabilité

z y

x

repère orbital local zs

xs

ys

z

x

y

Repère de consigne et repère satellite

tangage y

roulis x

lacet z

B

iy ix

xy

zx

zyx

y

x

Bi

Bi

BiB

i

i

M

0

0

0

A l’équateur, Bx // ix , et le satellite n’est plus commandable.

• Exemple : contrôle d’attitude par magnétocoupleur

Commandabilité

• Définition : Un processus de vecteur d'état X est complètement commandable sur l'intervalle de temps [t0, tf] s'il existe sur cet intervalle une commande U(t) permettant d'amener ce vecteur d'un état initial X(t0) quelconque à un état final X(tf) choisi quelconque . Les critères suivants permettent de conclure quant à l’observabilité d’un système.

Commandabilité• Utilisation d’une représentation d’état diagonalisée

1 d b

1 d a

1 d c

0 2 d b 2 d c

2 d a

dn c dn b

dn a

+

) ( t y

) ( t u

) ( 1 t z ) ( 1 t z

) ( 2 t z

) ( t z n

) ( 2 t z

) ( t z n +

+

+

UDZCY

UBZAZ

dd

dd

c..cc ..

0..0

0...0..

..00

0..0

dnd2d12

1

12

1

C.PC

b

b

b

BPB

a

a

a

A d

dn

d

d

d

dn

d

d

d

Dans la base diagonale, le système s’écrit :

Et peut être représenté comme suit :

Le système est commandable si Bd n’a pas de lignes nulles.

Commandabilité

• Critère de commandabilité ou critère de Kalman

nBA...ABBrang 1n

Le système décrit par la représentation d’état :

DUCXY

BUAXX

est commandable ssi :

Observabilité

• Exemple : Estimation de la dérive d’une centrale inertielle

temps

erreur de position

t

dérive

Sans recalage

02

02

0)(22

xt

dtvt

tx

tdvttv

d

y

y

m

est l’accélération mesurée par la centrale inertielle, elle comporte une erreurSystématique d. Après intégrations, cette erreur se propage et est à l’origine d’une dérive.

Sans autre information, on est incapable d’estimer la dérive, le système est alorsinobservable.

Observabilité

• Exemple : Estimation de la dérive d’une centrale inertielle

Avec recalage

On a accès à la dérive d par une mesure supplémentaire, laquelle peut être obtenue par Un GPS.

La dérive peut être estimée et le système est dit observable.

temps

erreur de position

t

dérive

recalage

Observabilité

• Un système est dit complètement observable sur l'intervalle de temps [t0, tf] si l'observation de la commande U(t) et de la sortie Y(t) permet de déterminer l'état initial X(t0). Les critères suivants permettent de conclure quant à l’observabilité d’un système.

Observabilité• Utilisation d’une représentation d’état diagonalisée

UDZCY

UBZAZ

dd

dd

c..cc ..

0..0

0...0..

..00

0..0

dnd2d12

1

12

1

C.PC

b

b

b

BPB

a

a

a

A d

dn

d

d

d

dn

d

d

d

Dans la base diagonale, le système s’écrit :

Et peut être représenté comme suit :

Le système est observable si Cd n’a pas de colonnes nulles.

1 d b

1 d a

1 d c

2 d b 2 d c

2 d a

dn c dn b

dn a

+

) ( t y

) ( t u

) ( 1 t z ) ( 1 t z

) ( 2 t z

) ( t z n

) ( 2 t z

) ( t z n

=0

+

+

+

Observabilité

• Critère d’observabilité ou critère de Kalman

Le système décrit par la représentation d’état :

DUCXY

BUAXX

est observable ssi : n

CA

...

CA

C

rang

1n

Commandabilité - Observabilité

COS

OCS

Dans le cas général, le système décrit par la représentation d’état :

Comporte : Sous-système commandable et observable Sous-système commandable et non observable Sous-système non commandable et observable Sous-système non commandable et non observable OCS

OCS

DUCXY

BUAXX

coS

ocS

ocS

ocSu

y

Et la fonction de transfert ne fait apparaître que les modes commandables et observables

Commande par retour d’état• Exemple introductif :

états mesurés vitesses positions

Entrées de perturbation wx, wz perturbations atmosphériques

Consigne : Point visé

Kp

Kv

+

+

-

Entrées de commande manette des gaz gouverne de profondeur

Lors d’une phase d’atterrissage, le pilote vise un point d’impact. A tout instantil lui faut évaluer :sa position (x, y, z) par rapport au point d’impact (0,0,0),sa vitesse relative (vx, vy, vz) par rapport à celle désirée au point d’impact (Vxd,0,0)

Le pilote élabore une stratégie de commande fonction de ces variables, c‘est une stratégie de commande par retour d’état.

Synthèse de la commande par retour d’état

.

BeXBKAX

KXeBAXX

BUAXX

C +

X

Y X

A

B

U

système

Structure :

K

Hypothèses : • Tous les états sont mesurés Y=X• Le système est commandable

+

-

Mise en équation :

BKAAc La matrice d’état corrigée

Stratégie de commande

• On cherche à régler la dynamique du système i.e. stabilité, amortissement, rapidité.

• On rappelle que ces performances sont conditionnées par les pôles du système

• Les pôles sont les valeurs propres de la matrice d’état, ici : Ac =A – BK

A, B donnés, on règle K de sorte que les valeurs propres de Ac soit les pôles qui satisfont aux objectifs de la commande.

-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag Axis

Carte des poles, axe latéral d’un Boeing 747 d’après Mathtools.

Pôles Amortissement Freq. (rad/s) n -0,00728 1 7.28e-003 -0,563e 1 5.63e-001 -0,03.29 + 0,947i 3.48e-002 9.47e-001 -0,0329e – 0,947i 3.48e-002 9.47e-001 oscillation de dérapage

mode de spiral mode roulis pur

Stratégie de commandeExemple : réglage de l’oscillation de dérapage d’un B747

-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag Axis

Carte des pôles du 747 corrigé

0,4 + 0,4.i

0,4 - 0,4.i

Stratégie de commandeExemple : réglage de l’oscillation de dérapage d’un B747

nmin

min

Calcul de la matrice de commande K

nn kkkkK 121 ..

.

BeXBKAX

KXeBAXX

BUAXX

Le système corrigé

Dimension de K : (m x n)

Dimension de B : (n x m)

Dimension de A : (n x n)

On se place dans le cas d’un système à 1 entrée et K à la structure suivante :

• Méthode 1 : réglage du polynôme caractéristique de Ac=A-BK


On déduit les pôles du système corrigé d’après les performances dynamiques à atteindre. On peut alors écrire le polynôme caractéristiquedu système corrigé :

012

21

1 ......

nn

nn

nAcorrigéP

Ce polynôme caractéristique est le polynôme caractéristique de A-BK :

nnAcorrigé kkkkBAIKBAIP 121 .....

On est donc amené à résoudre un système de n équations à n inconnues satisfaisant aux n solutions nn kkkk 121 .. Tnn 1210 ..

Calcul de la matrice de commande K• Exemple : soit le système décrit par la représentation d’état suivante.

Déterminer un retour d’état tel que l’amplitude relative du premier dépassement soit inférieur à 5%, que le temps de réponse à 5% soit minimal est inférieur à 3s.

Pôles désirés :

ippt

D

nrn

/1,13

7,0%5 *11

%5

%1

Polynôme caractéristique à atteindre : 222 pppPAc

À identifier au polynôme caractéristique corrigé :

24415 211222 kkkkpkkppP BKA

1k

2 , 1 21 kkTous calculs faits :

• Méthode 2 : calcul de K dans la base compagne horizontale


012

21

1 ......)( aaaaP nn

nn

nA

110 ......

10...00

010......

...0100

0...010

n

h

aaa

A

110 ......

10...00

010......

...0100

0...010

n

hcorrigéA

012

21

1 ......

nn

nn

nAcorrigéP

La matrice d’état du système non corrigé La matrice d’état du système corrigé

Le polynôme caractéristique du système non corrigé Le polynôme caractéristique du système corrigé

111100

110

110 ......

10...00

010......

...0100

0...010

......

1

0

...

...

0

......

10...00

010......

...0100

0...010

.

hnnhh

hnhh

n

hhhhcorrigé

kakaka

kkk

aaa

KBAA

1,...,0 niak iihi Après identification :

Réglage du gain statique

• On insère un préfiltre H :

C +

X

Y X

A

B

U

système

K

+

-H

La fonction de transfert : pBHeBKApICpY 1

En régime permanent, le gain statique : BHBKAC 1

CXY

KXHeU

BUAXX

.

e

Les coefficients de la matrice H permettent de régler le gain statique désiré.

OBSERVATEUR DETERMINISTE

Observateurs déterministes

• Position du problème– La commande par retour d’état U=e-KX

nécessite qu’on ait accès à tous les états. Or

pour des raisons économiques ou pratiques les états ne sont pas tous mesurables

Reconstruire / Estimer les états que l’on ne mesure pas


• Position du problème– Certains systèmes sont décrits par des paramètres

inconnus qu’il est pourtant nécessaire de connaître. Or ces paramètres ne sont pas mesurables, par exemple le terme de dérive d’un accéléromètre ou d’un gyromètre.

Estimer le paramètre que l’on ne peut pas mesurer.

Système

commande

+ -

sorties mesurées

U

e

observateur

^

X

Y


• Idée : exploiter le maximum d’informations disponibles pour estimer l’état inconnu i.e.– Les mesures disponibles– Un modèle du système sous forme de

représentation d’état– En outre le système doit être observable (Kalman)

Etat reconstruit

^

X

Observateurs identité• On dispose d’une seule mesure Y pour reconstruire

tous les états X et le système est observable

Système

A , B , C

u y

xétatconstruit

Observateur

S , G , L

• L’observateur est linéaire vis-à-vis des commandes, des mesures et des états estimés :

YLUGXSX ...^^

Système

• L’observateur peut être vu comme un filtre linéaire :

pLYSpIpGUSpIpX 11^

Observateurs identité

Système

A , B , C

u y

xétatconstruit

Observateur

S , G , L

tXtXt^

Les matrices S, G et L doivent assurer la convergence de l’état estimé vers l ’état réel soit :

On définit l’erreur d’estimation :

t

tXtX^

qui doit converger vers 0 lorsque t

Observateurs identité• Expression de l’erreur :

Modèle de prédiction Correcteur (recale l’erreur de prédiction)

0 tLCAe

• Equations d’état de l’observateur :

)(^^^

YYLBUXAX

Mesure Y

C +

^

X

^

Y

^X

A

B

L

U

Etats reconstruits Simulateur

Système ( état X )

+

-

Perturbations W

Quel sens attribuez-vous à (0) ?

L est en fait formé de n gains

TnlllL 110 ..

Choix du gain L de l’observateur

• L’erreur e doit converger rapidement vers 0. Les valeurs propres de A-LC doivent avoir une partie réelle négative (condition de stabilité) et leur module plus grand que celui des valeurs propres de A afin que la durée du régime transitoire de l'erreur soit plus courte que celle du régime transitoire du système.

• les incertitudes sur le modèle conduisent, si elles sont importantes à choisir un grand gain L pour renforcer l'influence des mesures y par rapport à la simulation.

• Le bruit entachant la mesure des grandeurs de sortie est amplifié par les gains L et si L est trop grand dégrade l’estimation.

Choix du gain L de l’observateur

• On fixe la dynamique de l’état l’erreur i.e. en combien de temps et comment les erreurs convergent vers 0,

• Cette dynamique est définie par les pôles de l’observateur qui sont les valeurs propres de A-LC,

• On écrit le polynôme caractéristique désiré à partir des valeurs propres de A-LC,

• On l’identifie à PA-LC() et on en déduit L

011

1 .....

nn

nLCAP

011

1110 ........

nn

nn ClllAILCAI

Calcul de la matrice L• Exemple : soit le système décrit par la représentation

d’état suivante. Déterminer un retour d’état tel que les erreur d’estimation de l’observateur convergent en un temps de réponse minimal inférieur ou égal à 0,3 s.

Pôles désirés :

ippt nrn

10/10,103

7,0minimal temps *11

%5

Polynôme caractéristique à atteindre : 100142 pppP LCA

À identifier au polynôme caractéristique corrigé :

2132

12

0

0

1

0

l

l

p

ppP LCA

Application : estimation d’attitude sur SPOT4

C=1+

+

XA=0

B=1qm

Vitesse de tangagemesurée

On a besoin de connaître l’attitude du satellite à 8Hz, or les capteurs d’attitudedélivrent une mesure à 1Hz …

On dispose d’un gyromètre qui délivre une mesure de vitesse à 8Hz, on intègre La vitesse angulaire mesurée qm pour produire une estimation de l’angle de tangage soit :

dtq.^

La même mise sous forme d’un modèle de prédiction :

Or, le gyromètre délivre une mesure erronée : bqqm

Le modèle de prédiction propage cette erreur … et le satellite est mal commandé !

tb.^

C=1

+ +

X

A=0

B=1

qm

Vitesse de tangage mesurée

L

-

+

Application : estimation d’attitude sur SPOT4

T

bX

^^^

^

1

^^

. lbqm

^

2

^

. lb

Recalage par senseur d’attitude à 1Hz

Le nouveau vecteur d’état :

Les équations de l’observateur de la forme : )(^^^

YYLBUXAX

Commande par retour d’état estimé

B

A

B

A

C

C

K

L

+

-

+

+

+

+

+

-

système

observateur

e Y

Y ˆ

X ˆ

X

X ˆ

U

• Comme on ne dispose pas d’une mesure des états, on génère la commande par retour d’état au moyen desétats estimés par l’observateur.

Mise en équation du système complet :

eBX

CLA

KBKBAX .0.0

..

Théorème de séparation des états:

LCApIBKApIpP

On peut dimensionner séparementLa commande et l’observateur.

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Représentation détat des systèmes FORMALISME DETAT COMMANDABILITE-OBSERVABILITE COMMANDE PAR RETOUR DETAT OBSERVATEUR