Renato Frade Dissertação

1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática

Renato Frade

COMPOSIÇÃO E/OU DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS PLANAS NO ENSINO MÉDIO:

Van Hiele, uma opção

Belo Horizonte 2012

3

Renato Frade



Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientadora: Drª Eliane Scheid Gazire

Belo Horizonte 2012

4

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Frade, Renato F799c Composição e/ou decomposição de figuras planas no ensino médio : Van

Hiele, uma opção / Renato Frade. Belo Horizonte, 2012. 242f.: il.

Orientador: Eliane Scheid Gazire Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

1. Geometria - Estudo e ensino. 2. Geometria plana. 3. Van Hiele, H. L. I. Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Matemática. III. Título.

CDU: 513:373

5

Renato Frade



Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

_______________________________________________ Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire – Orientadora (PUC Minas)

Doutorado em Educação – (UNICAMP)

____________________________________________________ Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda – (PUC Minas)

Doutorado em Tratamento da Informação Espacial – (PUC Minas)

_____________________________________________________ Prof. Dr. Luiz Roberto Dante – (Rio Claro – SP)

Doutorado em Psicologia da Educação – (PUC-SP)

Belo Horizonte, 03 de fevereiro de 2012.

7

Aos meus filhos Vinícius e Victor, razão de minha

perseverança.

À minha esposa, pelo incentivo e por saber tão bem

compreender os meus momentos de ausência em função

deste trabalho.

9

AGRADECIMENTOS

A todas as pessoas que, de diferentes maneiras, contribuíram para que eu vencesse

mais esta etapa em minha vida, meus agradecimentos sinceros.

À Professora Dra. Eliane Scheid Gazire que, com muita competência, orientou este

trabalho de pesquisa, sugerindo, de forma segura e precisa, esclarecedoras leituras e que com

sua paciência e tolerância, sabiamente, respeitou minhas limitações, minha aprendizagem e

meu tempo de produção escrita. Espero ter correspondido à confiança em mim depositada.

Mais uma vez, obrigado pelo carinho e atenção!

Aos professores do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, pelo

aprendizado que me foi proporcionado, por meio da convivência, da leitura, do estudo e da

reflexão.

Aos professores doutores Dimas Felipe Miranda, da PUC Minas, e Luiz Roberto

Dante, da UNESP Rio Claro SP, pelas contribuições preciosas ao fazerem parte da banca

examinadora.

Aos meus colegas de Mestrado, pela amizade que construímos durante nossa

convivência nesses três anos de curso, com ajudas mútuas e recíprocas, em especial a

Lourival Alves Freitas Filho, pelas sugestões apontadas, pelos diálogos e reflexões

estabelecidos, e, sobretudo, pela disponibilidade incondicional. Hoje, percebo que você

deixou de ser colega e tornou-se um grande amigo.

Ao meu amigo Roberto Antônio Marques, primeira pessoa a me incentivar a cursar o

Mestrado e pelo qual tenho profundo respeito e admiração. Sou grato por sua atenção e

colaboração nos momentos em que mais precisei.

À minha amiga, Lydia, que não bastasse “dar conta” dos seus compromissos pessoais

e profissionais, muito se doou à leitura e à correção de boa parte desta pesquisa. Não se

restringiu às correções gramaticais do texto, mas se dispôs a um diálogo permanente,

incentivando-me e encorajando-me nas ocasiões de incerteza e fragilidade.

À minha mãe, exemplo de luta, por ter me ensinado a viver com dignidade e me

incentivado nos estudos; ao meu pai, lembrado como homem de caráter e lealdade; aos meus

familiares, com destaque aos sobrinhos, por tornarem a minha vida mais alegre; pela

compreensão das minhas frequentes ausências.

À Ana Luísa Lima, pelo competente trabalho de revisão na estruturação e na redação

do texto final desta dissertação.

11

Ao Donizete, pelo competente trabalho na confecção de Planilhas Eletrônicas,

Gráficos e Tabelas que permitiram analisar os dados coletados de forma segura e

enriquecedora.

Meu especial agradecimento e gratidão, a todas as pessoas que colaboraram como

sujeitos da pesquisa e que se renderam à troca das experiências vividas.

Aos meus amores, Cláudia, Victor e Vinícius, pela paciência com que suportaram meu

mau humor; pelas horas roubadas da companhia de vocês, pelas expectativas depositadas à

conclusão deste trabalho, traduzidas nas expressões: “ainda falta muito?”, “quando vai

defender?”.

Sou grato a cada amigo e a cada colega, que me disse a palavra certa na hora

adequada, incentivando-me e em mim confiando, para que eu sentisse mais segurança e

atingisse, com determinação, a meta desejada.

A Deus, em especial.

13

“A Matemática não é acerca de conteúdos, é acerca do

raciocínio que descobre, reúne e dá sentido a esses conteúdos;

a matemática é (em parte) um modo de pensar.”

Goldenberg

15

RESUMO

Este trabalho tem como meta a verificação de habilidades de composição e/ou decomposição

de figuras planas na Resolução de Problemas Geométricos utilizadas por alunos da 3ª série do

Ensino Médio. O estudo foi realizado em uma escola particular do município de Contagem -

MG. Para isso, foram selecionadas e aplicadas atividades que revelaram, no grupo analisado,

dificuldades de assimilação de conceitos e de procedimentos metodológicos na resolução de

algumas questões, fazendo-se necessário, então, um estudo sistemático que buscasse

compreender os motivos pelos quais os alunos apresentavam essas dificuldades. Dessa forma,

foi proposto, por meio desta pesquisa, responder a seguinte questão: Como desenvolver o

tópico composição e/ou decomposição de figuras planas na resolução de problemas

geométricos, tendo com foco área e perímetro, no processo de ensino e aprendizagem, no

Ensino Médio? Para verificar essa indagação, realizou-se um estudo comparativo das coleções

de livros didáticos dos Ensinos Fundamental e Médio e de questões dos exames do ENEM, da

OBMEP e Vestibulares. Após a comparação, concluiu-se que alguns livros didáticos

apresentavam o assunto sem realizar uma sistematização adequada quanto aos conceitos e

procedimentos metodológicos e que as questões dos exames exigiam um domínio de

conhecimentos e habilidades mais complexas do que as oferecidas nos materiais pesquisados.

Além disso, ao final dessa pesquisa, foi elaborada uma proposta de intervenção pedagógica

baseada no modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico, uma vez

que permite uma organização do trabalho, de modo a propiciar uma aprendizagem

significativa das habilidades geométricas, possibilitando ao aluno a competência necessária à

resolução de problemas.

Palavras-chave: Composição. Decomposição. Figuras planas. Van Hiele.

17

ABSTRACT This study has as its aim the verification of skills of compositional and / or decomposition of

plane figures in Geometry Problem Solving used by students in the 3rd grade of high school.

The study was conducted in a private school in the city of Contagem - MG. To this end, we

selected and implemented activities that revealed, in the analyzed group, difficulties in the

assimilation of concepts and methodological procedures in resolving some questions. It was

made necessary then, a systematic study that sought to understand the reasons why students

had these difficulties. Thus, it was proposed by this research to find an answer to the

following question: How to develop the topic composition and decomposition of plane figures

to solve geometric problems with a focus on area and perimeter in the process of teaching

and acquiring in High Schools? In order to verify this query, a comparative study of the

collections of textbooks of Elementary and High School, questions of the ENEM, OBMEP

and the Vestibular (entrance exams) was conducted. After this comparison, it was concluded

that some textbooks presented the subject without making an adequate systematization about

the concepts and methodological procedures and that the questions of the exams required a

higher and more complex knowledge and skills than those in the materials studied.

Moreover, at the end of this research, a proposal for intervention based on the pedagogical

model of Van Hiele development of geometrical thinking was drawn up, since it allows an

organization of work in order to provide a meaningful learning of geometric skills, enabling

students to the necessary expertise to solving problems.

Keywords: Composition. Decomposition. Plane figures. Van Hiele.

19

LISTA DE ABREVIATURAS

ENEM Exame Nacional do Ensino Médio

LDB Lei de Diretrizes e Bases

MEC Ministério da Educação

OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PNLD Programa Nacional do Livro Didático

PNLEM Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

SAEB Sistema de Avaliação da Educação Básica

SAGA Sistema Agostiniano de Avaliação

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1: Resultados da questão 1 de diagnóstico .................................................................. 97 Gráfico 2: Resultados da questão 2 de diagnóstico .................................................................. 99 Gráfico 3: Resultados da questão 3 de diagnóstico ................................................................ 102 Gráfico 4: Resultados da questão 4 de diagnóstico ................................................................ 105 Gráfico 5: Resultados da questão 5 de diagnóstico ................................................................ 107 Gráfico 6: Resultados da questão 6 de diagnóstico ................................................................ 109 Gráfico 7: Resultados da questão 7 de diagnóstico ................................................................ 112 Gráfico 8: Resultados da questão 8 de diagnóstico ................................................................ 114 Gráfico 9: Resultados da questão 9 de diagnóstico ................................................................ 117 Gráfico 10: Resultados da questão 10 de diagnóstico ............................................................ 119 Gráfico 11: Resultados da questão 11 de diagnóstico ............................................................ 122 Gráfico 12: Resultados da questão 12 de diagnóstico ............................................................ 126 Gráfico 13: Resultados da questão 13 de diagnóstico ............................................................ 128 Gráfico 14: Resultados da questão 14 de diagnóstico ............................................................ 130 Gráfico 15: Resultados da questão 15 de diagnóstico ............................................................ 132 Gráfico 16: Resultados da questão 16 de diagnóstico ............................................................ 134 Gráfico 17: Resultados da questão 17 de diagnóstico ............................................................ 136 Gráfico 18: Resultados da questão 18 de diagnóstico ............................................................ 138 Gráfico 19: Resultados da questão 19 de diagnóstico ............................................................ 140 Gráfico 20: Resultados da questão 20 de diagnóstico ............................................................ 143 Gráfico 21: Resultados da questão 21 de diagnóstico ............................................................ 146 Gráfico 22: Resultado da questão 22 de diagnóstico .............................................................. 148 Gráfico 23: Resultados da questão 23 de diagnóstico ............................................................ 151 Gráfico 24: Resultados da questão 24 de diagnóstico ............................................................ 155 Gráfico 25: Resultados da questão 25 de diagnóstico ............................................................ 158 Gráfico 26: Resultados da questão 26 de diagnóstico ............................................................ 160 Gráfico 27: Resultados da questão 27 de diagnóstico ............................................................ 163 Gráfico 28: Resultados da questão 28 de diagnóstico ............................................................ 166 Gráfico 29: Resultados da questão 29 de diagnóstico ............................................................ 168 Gráfico 30: Resultados da questão 30 de diagnóstico ............................................................ 170 Gráfico 31: Acertos por questão no intervalo de 1 a 10 ......................................................... 171 Gráfico 32: Acertos por questão no intervalo de 11 a 20 ....................................................... 171 Gráfico 33: Acertos por questão no intervalo de 21 a 30 ....................................................... 171

22

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: A Teoria do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico dos Van Hiele ............ 46

Figura 2: Classificação de formas bidimensionais ................................................................... 53 Figura 3: Percentual dos campos da Matemática ..................................................................... 65 Figura 4: Ladrilhamento de regiões poligonais “Tudo é Matemática 8º ano” ......................... 71

Figura 5: Ladrilhamento por combinação de regiões poligonais “Tudo é Matemática 8º ano” .................................................................................................................................................. 71

Figura 6: Percentual dos campos da Matemática ..................................................................... 76 Figura 7: Distribuição dos campos da matemática escolar por volume ................................... 79

Figura 8: Distribuição dos campos da matemática escolar por volume .................................. 83

23

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Objetos e produtos de pensamento em cada nível ................................................... 46 Quadro2: Categorias de formas bidimensionais ....................................................................... 52 Quadro 3: Prioridades da Geometria ........................................................................................ 67 Quadro 4: Questão 1 Sobre área e perímetro na obra “Tudo é Matemática 6º ano” ................ 68 Quadro 5: Questão 2 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 6º ano” ................................................................................................................. 69 Quadro 6: Questão 3 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 6º ano” .................................................................................................................. 69 Quadro 7: Questão 4 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 7º ano” .................................................................................................................. 70 Quadro 8: Questão 5 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 8º ano” .................................................................................................................. 70 Quadro 9: Questão 6 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 8º ano” .................................................................................................................. 72 Quadro 10: Questão 7 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 8º ano” ............................................................................................................... 73 Quadro 11: Questão 8 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 8º ano” ............................................................................................................... 74 Quadro 12: Questão 9 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 8º ano” ................................................................................................................ 74 Quadro 13: Questão 10 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 9º ano” .................................................................................................... 75 Quadro 14: Questão 1 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “A conquista da Matemática 6º ano” ............................................................................................. 77 Quadro 15: Questão 2 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “A conquista da Matemática 6º ano” ............................................................................................. 77 Quadro 16: Questão 3 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “A conquista da Matemática 9º ano” ............................................................................................ 78 Quadro 17: Questão 4 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “A conquista da Matemática 9º ano” ............................................................................................ 78 Quadro 18: Questão 1 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: Contextos e Aplicações – vol 1.......................................................................... 80 Quadro 19: Questão 2 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: contextos e aplicações – vol 3” .......................................................................... 81 Quadro 20: Questão 3 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: contextos e aplicações – vol 3” .......................................................................... 82 Quadro 21: Questão 1 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: ciência e aplicações – vol 3” .............................................................................. 84

Quadro 22: Questão 2 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: ciência e aplicações – vol 2” .............................................................................. 84 Quadro 23: Questão 3 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: ciência e aplicações – vol 2” .............................................................................. 85 Quadro 24: Questão 1 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 86 Quadro 25: Questão 2 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 87 Quadro 26: Questão 3 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 88 Quadro 27: Questão 4 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 89 Quadro 28: Questão 5 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 90 Quadro 29: Questão 6 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 91 Quadro 30: Questão 7 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 92 Quadro 31: Questão 8 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 93 Quadro 32: Questão 9 Sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas .................................................................................................................................. 94 Quadro 33: Questão 1 aplicada no diagnóstico ........................................................................ 96 Quadro 34: Questão 2 aplicada no diagnóstico ........................................................................ 98 Quadro 35: Questão 3 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 100 Quadro 36: Questão 4 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 103 Quadro 37: Questão 5 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 106 Quadro 38: Questão 6 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 108 Quadro 39: Questão 7 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 110 Quadro 40: Questão 8 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 112 Quadro 41: Questão 9 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 115 Quadro 42: Questão 10 aplicada no diagnóstico .................................................................... 118 Quadro 43: Questão 11 aplicada no diagnóstico .................................................................... 120 Quadro 44: Questão 12 aplicada no diagnóstico .................................................................... 123 Quadro 45: Questão 13 aplicada no diagnóstico .................................................................... 126 Quadro 46: Questão 14 aplicada no diagnóstico .................................................................... 129 Quadro 47: Questão 15 aplicada no diagnóstico .................................................................... 131 Quadro 48: Questão 8 aplicada no diagnóstico ...................................................................... 133

Quadro 49: Questão 17 aplicada no diagnóstico .................................................................... 135 Quadro 50: Questão 17 aplicada no diagnóstico .................................................................... 137 Quadro 51: Questão 19 aplicada no diagnóstico .................................................................... 139 Quadro 52: Questão 20 aplicada no diagnóstico .................................................................... 141 Quadro 53: Questão 21 aplicada no diagnóstico .................................................................... 144 Quadro 54: Questão 22 aplicada no diagnóstico .................................................................... 147 Quadro 55: Questão 23 aplicada no diagnóstico .................................................................... 149 Quadro 56: Questão 24 aplicada no diagnóstico .................................................................... 152 Quadro 57: Questão 25 aplicada no diagnóstico .................................................................... 156 Quadro 58: Questão 26 aplicada no diagnóstico .................................................................... 158 Quadro 59: Questão 27 aplicada no diagnóstico .................................................................... 161 Quadro 60: Questão 28 aplicada no diagnóstico .................................................................... 164 Quadro 61: Questão 29 aplicada no diagnóstico .................................................................... 167 Quadro 62: Questão 30 aplicada no diagnóstico .................................................................... 169

17

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 37 2 O MODELO VAN HIELE E POSSÍVEIS CONTRIBUIÇÕES NO E NSINO DE COMPO SIÇÃO E/OU DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS PLANAS ............................. 42 2.1 Características dos níveis da teoria dos Van Hiele .......................................................... 46 2.1.1 PROPRIEDADES DO MODELO ............................................................................................. 47 2.1.2 FASES DO APRENDIZADO ................................................................................................. 48 2.1.3 IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO .......................................................................................... 49 2.1.3.1 Ensino no nível 0 ......................................................................................................... 49 2.1.3.2 Ensino no nível 1 ......................................................................................................... 50 2.1.3.3 Ensino no nível 2 ......................................................................................................... 50 2.1.4 Formas e propriedades para pensadores no nível 0 ...................................................... 51 2.1.4.1 Compondo e/ou Decompondo Figuras...................................................................... 51 2.1.4.2 Tecelagens ................................................................................................................... 51 2.1.5 Formas e propriedades para pensadores no nível 1 ...................................................... 52 2.1.5.1 Círculos ........................................................................................................................ 54 2.1.6 Formas e propriedades para pensadores no nível 2 ...................................................... 54 2.1.6.1 A relação pitagórica ................................................................................................... 55 3 PERCURSO DA PESQUISA ............................................................................................. 56 3.1 Situação-problema ............................................................................................................. 56 3.2 Contexto: a instituição, sujeitos da pesquisa, seleção das atividades, aplicação das atividades .................................................................................................................................. 57 3.3 O Caminho trilhado ........................................................................................................... 58 3.3.1 Observação participante ................................................................................................. 59 3.3.2 Protocolo de registros dos alunos ................................................................................. 59 3.3.3 Análise dos Protocolos ................................................................................................... 60 3.3.4 Livro Didático e Avaliações Sistêmcias........................................................................ 61 4 A PESQUISA NOS LIVROS DIDÁTICOS E NAS AVALIAÇÕES SISTÊMICAS .... 62 4.1 Verificação de algumas coleções de livros didáticos - Ensinos Fundamental e Médio .................................................................................................................................................. 62 4.1.1 Verificação do tópico Composição e Decomposição nos Livros – Ensino Fundamental .................................................................................................................................................. 65 4.1.1.1 Coleção: Tudo é Matemática ..................................................................................... 65 4.1.1.1.1 Algumas atividades desenvolvidas na obra em que a composição e/ou decomposição de figuras planas se faz presente............................................................................................... 68 4.1.1.2 Coleção: A Conquista da Matemática ...................................................................... 75 4.1.1.2.1 Algumas atividades desenvolvidas na obra em que a composição e/ou decomposição de figuras planas se faz presente............................................................................................... 77 4.1.2 Verificação do tópico Composição e Decomposição nos Livros – Ensino Médio ........ 79 4.1.2.1 Coleção: Matemática – Contexto & Aplicações ....................................................... 79 4.1.2.1.1 Algumas atividades desenvolvidas na obra em que a composição e/ou decomposição de figuras planas se faz presente............................................................................................... 80 4.1.2.2 Coleção: Matemática Ciência e Aplicações .............................................................. 83 4.1.2.2.1 Algumas atividades desenvolvidas na obra em que a composição e/ou decomposição de figuras planas se faz presente............................................................................................... 83

4.2 Análise do aspecto geométrico composição e/ou decomposição de figuras planas de algumas questões das avaliações sistêmicas ......................................................................... 85 5 REFLETINDO SOBRE AS QUESTÕES APLICADAS NO DIAGNÓSTICO ............ 95 5.1 QUESTÃO 01 ....................................................................................................................... 96 5.1.1 RESOLUÇÃO ...................................................................................................................... 96 5.1.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................................... 97 5.2 QUESTÃO 02 ....................................................................................................................... 98 5.2.1 RESOLUÇÃO ...................................................................................................................... 98 5.2.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................................... 99 5.3 Questão 03 ....................................................................................................................... 100 5.3.1 RESOLUÇÃO .................................................................................................................... 100 5.3.1.1 Primeira solução ....................................................................................................... 101 5.3.1.2 Segunda solução ........................................................................................................ 101 5.3.2 Análise dos resultados .................................................................................................. 102 5.4 Questão 04 ....................................................................................................................... 103 5.4.1 Resolução ...................................................................................................................... 103 5.4.1.1 Primeira solução ....................................................................................................... 103 5.4.1.2 Segunda solução ........................................................................................................ 104 5.4.2 Análise dos resultados .................................................................................................. 104 5.5 Questão 05 ....................................................................................................................... 106 5.5.1 Resolução ...................................................................................................................... 106 5.5.2 Análise dos resultados .................................................................................................. 107 5.6 Questão 06 ....................................................................................................................... 108 5.6.1 Resolução ...................................................................................................................... 108 5.6.2 Análise dos resultados .................................................................................................. 109 5.7 Questão 07 ....................................................................................................................... 110 5.7.1 Resolução ...................................................................................................................... 110 5.7.2 Análise dos resultados .................................................................................................. 111 5.8 Questão 08 ....................................................................................................................... 112 5.8.1 Resolução ...................................................................................................................... 112 5.8.2 Análise dos resultados .................................................................................................. 113 5.9 Questão 09 ....................................................................................................................... 115 5.9.1 Resolução ...................................................................................................................... 115 5.9.1.1 Primeira solução ....................................................................................................... 115 5.9.1.2 Segunda solução ........................................................................................................ 116 5.9.2 Análise dos resultados .................................................................................................. 117 5.10 Questão 10 ..................................................................................................................... 118 5.10.1 Resolução .................................................................................................................... 118 5.10.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 119 5.11 Questão 11 ..................................................................................................................... 120 5.11.1 Resolução .................................................................................................................... 121 5.11.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 122 5.12 Questão 12 ..................................................................................................................... 123 5.12.1 Resolução .................................................................................................................... 124 5.12.1.1 Primeira solução ..................................................................................................... 124 5.12.1.2 Segunda solução ...................................................................................................... 125 5.12.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 125 5.13 Questão 13 ..................................................................................................................... 126 5.13.1 Resolução .................................................................................................................... 127

5.13.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 127 5.14 Questão 14 ..................................................................................................................... 129 5.14.1 Resolução .................................................................................................................... 129 5.14.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 130 5.15 Questão 15 ..................................................................................................................... 131 5.15.1 Resolução .................................................................................................................... 132 5.15.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 132 5.16 Questão 16 ..................................................................................................................... 133 5.16.1 Resolução .................................................................................................................... 133 5.16.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 134 5.17 Questão 17 ..................................................................................................................... 135 5.17.1 Resolução .................................................................................................................... 135 5.17.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 136 5.18 Questão 18 ..................................................................................................................... 137 5.18.1 Resolução .................................................................................................................... 138 5.18.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 138 5.19 Questão 19 ..................................................................................................................... 139 5.19.1 Resolução .................................................................................................................... 139 5.19.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 140 5.20 Questão 20 ..................................................................................................................... 141 5.20.1 Resolução .................................................................................................................... 141 5.20.1.1 Primeira solução ..................................................................................................... 142 5.20.1.2 Segunda solução ...................................................................................................... 142 5.20.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 143 5.21 Questão 21 ..................................................................................................................... 144 5.21.1 Resolução .................................................................................................................... 145 5.21.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 145 5.22 Questão 22 ..................................................................................................................... 147 5.22.1 Resolução .................................................................................................................... 147 5.22.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 148 5.23 Questão 23 ..................................................................................................................... 149 5.23.1 Resolução .................................................................................................................... 149 5.23.1.1 Primeira solução ..................................................................................................... 149 5.23.1.2 Segunda solução ...................................................................................................... 150 5.23.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 151 5.24 Questão 24 ..................................................................................................................... 152 5.24.1 Resolução .................................................................................................................... 152 5.24.1.1 Cálculo 1 .................................................................................................................. 152 5.24.1.2 Cálculo 2 .................................................................................................................. 153 5.24.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 155 5.25 Questão 25 ..................................................................................................................... 156 5.25.1 Resolução .................................................................................................................... 156 5.25.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 157 5.26 Questão 26 ..................................................................................................................... 158 5.26.1 Resolução .................................................................................................................... 159 5.26.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 160 5.27 Questão 27 ..................................................................................................................... 161 5.27.1 Resolução .................................................................................................................... 161 5.27.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 162 5.28 Questão 28 ..................................................................................................................... 164

5.28.1 Resolução .................................................................................................................... 164 5.28.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 166 5.29 Questão 29 ..................................................................................................................... 167 5.29.1 Resolução .................................................................................................................... 167 5.29.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 168 5.30 Questão 30 ..................................................................................................................... 169 5.30.1 Resolução .................................................................................................................... 169 5.30.2 Análise dos resultados ................................................................................................ 170 5.31 Análise global ................................................................................................................ 170 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................... 173 REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 175 APÊNDICE A CADERNO DE ATIVIDADES ................................................................. 180 APÊNDICE B - DIAGNÓSTICO ....................................................................................... 215

37

1 INTRODUÇÃO

O ensino de Geometria no Brasil, assim como em outras partes do mundo, é marcado

por apresentar dificuldades. Anteriormente ao Movimento da Matemática Moderna, o ensino

era caracterizado pelo modelo da repetição mecânica de exercícios, treino e memorização de

teoremas. Com esse movimento, a Geometria passou por um período de abandono, chegando,

muitas vezes, a ser excluída dos processos de ensino da Educação Básica. Posteriormente, já

em nossos dias, em função das críticas relativas a esse estado de abandono, percebe-se uma

crescente valorização da Geometria, sobretudo após a promulgação da Nova Lei de Diretrizes

e Bases da Educação (LDB) 9394/96. A partir da publicação da nova LDB e dos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN), não apenas as discussões sobre o Ensino de Geometria são

retomadas, mas também se abrem novas perspectivas para o trabalho nesse campo de

conhecimento, fazendo com que tais discussões ganhem espaço nas pesquisas acadêmicas.

(PAVANELLO; ANDRADE, 2002; CARREIRA; PINTO, 2007; PIRES, 2005).

Sou formado em Matemática no curso de licenciatura plena e obtive a minha formação

em uma instituição particular de Ensino Superior de Minas Gerais no período de 1990 a 1993.

Iniciei a carreira do Magistério em 1994, quando, então, me deparei com uma série de

dificuldades, a partir do distanciamento da realidade acadêmica em que me formei,

provenientes da própria adaptação à nova realidade profissional, pois começava a lecionar,

com poucos recursos didáticos e infra-estrutura oferecidos pela escola, além do contexto

sociocultural e econômico de parte dos alunos.

As dificuldades em relação à Matemática, especificamente apresentadas pelos alunos

da 3ª série do Ensino Médio nas duas redes – pública e privada – na compreensão de

conteúdos da Geometria plana, em particular área e perímetro de figuras, principalmente

quando se trata de composição e/ou decomposição de figuras planas, tornou-se evidente.

Os motivos, portanto, que me fizeram direcionar atenção para o estudo da composição

e/ou decomposição de figuras planas na resolução de problemas geométricos tendo como foco

área e perímetro no processo de ensino e aprendizagem no ensino médio, devem-se às

experiências e inquietações vivenciadas ao longo desses dezoito anos de exercício de

Magistério, lecionando para alunos dos ensinos Fundamental, Médio e Superior.

A experiência em sala de aula, a formação científica adquirida, as dificuldades dos

alunos e as manifestações negativas em relação não só à Matemática, mas à Educação como

um todo me levaram a refletir que havia defasagens no processo de ensino-aprendizagem, e,

38

logo, o interesse pela Educação Matemática1, dimensão da Matemática que se preocupa em

investigar os processos sociais de circulação, recepção, apropriação e transformação. Percebi

que o rompimento com a lógica tradicional, transmissiva, permite que o aluno, o professor e a

escola construam uma Educação formativa em uma perspectiva renovada, mantendo o rigor

matemático sem o rompimento da qualidade.

A partir dessa constatação, ingressei, em 2005, em uma nova especialização -

“Metodologia do Ensino Fundamental e Médio” (Ênfase em Matemática) em uma nova

instituição de Ensino Superior em parceria com o colégio no qual trabalho há onze anos.

Curso que, juntamente com o SAGA2 (Sistema Agostiniano de Avaliação), deu-me a

oportunidade de analisar não só o conteúdo matemático, mas a formação de professores.

Nessa época já estava trabalhando no Colégio Santo Agostinho – Contagem, como Professor

das 2ª e 3ª séries do Ensino Médio, desde 2001 até a presente data, atuando também como

Coordenador da Área de Matemática.

À medida que me envolvia no projeto SAGA, percebia o quanto a formação

continuada de professores é importante para melhorar a qualidade do ensino. Assim, procurei

informar-me por meio de revistas como Bolema, Presença Pedagógica, Zetetiké, SBEM e

livros sobre temas como Formação de professores, Currículo, Etnomatemática, Modelagem,

Investigações Matemáticas, Prática Educativa, Avaliação e outros. A experiência com esse

projeto trouxe, ainda, a preocupação com a análise das resoluções de atividades que os alunos

faziam, em especial às relacionadas à composição e/ou decomposição de figuras planas. Ao

analisar as escalas de proficiência3, fiquei preocupado e ao mesmo tempo entusiasmado a

buscar elementos para analisar a prática à luz de resultados obtidos na avaliação do SAGA.

Estudos mostram, conforme alguns autores como, por exemplo, Luiz Roberto Dante

(2003), Rômulo Campos Lins e Joaquim Gimenez (2006), Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), 1 “A Educação Matemática (EM) hoje, no mundo, é uma área de conhecimento reconhecida pela comunidade internacional, possuindo seu próprio objeto de estudo. Ou seja, a EM tem uma problemática específica e suas próprias questões investigativas. Além disso, é a natureza desse objeto de estudo que define qual a melhor abordagem metodológica a ser seguida ou construída pelo investigador”. (FIORENTINI; LORENZATO, 2009, p.1-2). 2 O Sistema Agostiniano de Avaliação (SAGA) é um projeto, iniciado em julho de 2004, que possui como objetivo central a construção de uma avaliação sistêmica que possibilita, por meio de uma escala de proficiência, analisar resultados de aprendizagem dos alunos e, posteriormente, fornecer elementos para a criação, reformulação e o monitoramento das práticas educativas realizadas nos Colégios Santo Agostinho de Belo Horizonte, Nova Lima e de Contagem visando à melhoria da qualidade da Educação e do ensino nessas unidades. 3 Proficiência: O que caracteriza um nível de proficiência é um conjunto de habilidades. Isto significa que, às vezes, um conjunto de estudantes está alocado em um nível de proficiência, pois mostra ter desenvolvido habilidades desse nível. Esse mesmo grupo de estudantes pode também ter desenvolvido algumas habilidades alocadas no nível seguinte, mas não o conjunto de habilidades desse nível. (SAEB, 2011).

39

Dario Fiorentini e Sérgio Lorenzato (2009), dentre outros, que é mediante um processo

reflexivo e investigativo, mediado por aportes teóricos, que o professor forma-se e constitui-

se profissionalmente, ainda que esse seja um processo sempre inacabado. Assim, investigar a

própria prática é um desafio tanto para o professor da escola quanto para o professor formador

de professores, pois envolve o desenvolvimento de um novo modelo teórico-metodológico de

investigação. Isso vem confirmar o que menciona Tardif (2000). Segundo o autor, os saberes

profissionais dos professores são temporais, ou seja, são adquiridos através do tempo. Para

ele, “uma boa parte do que os professores sabem sobre o ensino, sobre os papéis do professor

e sobre como ensinar provém de sua própria história de vida e, sobretudo, de sua história de

vida escolar” (TARDIF, 2000, p.13).

Além do já exposto, não posso deixar de falar da influência dos PCNs (Parâmetros

Curriculares Nacionais) na minha prática, já que tais parâmetros podem ser entendidos de

diversas formas e até mesmo ignorados, sendo essa uma discussão pertinente no âmbito da

formação do educador.

Então, a partir da minha prática como professor dos Ensinos Fundamental, Médio e

Superior, como Coordenador de Área e como Analista de Série, percebo e vivencio que os

alunos apresentam dificuldades de aprendizagem de Geometria Plana, em especial quando são

questionados em relação a:

a) composição e/ou decomposição de figuras planas e identificação de que qualquer

região poligonal pode ser composta e/ou decomposta a partir de figuras triangulares;

b) identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como

número de lados, número de ângulos, eixos de simetria etc;

c) exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez

triangular, paralelismo e perpendicularidade de lados;

d) identificação de quadriláteros, observando as posições relativas entre seus lados

(paralelos, concorrentes, perpendiculares);

e) reconhecimento de ângulos nas figuras geométricas planas.

Vale ressaltar que, usualmente, a Geometria Plana é trabalhada nas últimas séries do

Ensino Fundamental, sendo retomada na 2ª série do Ensino Médio, com destaque para os

cálculos de perímetro e área. No entanto, o aluno, ao ingressar na 3ª série do Ensino Médio, se

vê diante dos tópicos que apresentam um estudo posicional das figuras geométricas planas,

bem como o tratamento mais métrico a essas figuras, tais como: proporcionalidade, Teorema

de Tales, semelhança de figuras, projeção ortogonal, relações métricas e razões

40

trigonométricas no triângulo retângulo, relações métricas num triângulo qualquer, na

circunferência e nos polígonos regulares.

Outro aspecto que merece destaque é o fato de que anteriormente à 3ª Série do Ensino

Médio, na estruturação das atividades desenvolvidas nos livros e em sala, busca-se sempre

uma ordenação crescente de dificuldade. Porém, diferentemente, na 3ª Série do Ensino Médio,

o aluno se vê diante do desafio de ser capaz de conciliar conhecimentos e habilidades para

enfrentar as questões de avaliação em grande escala quando, então, esta ordenação não se faz

presente. Portanto, incomodado com essa abordagem, propus-me a realizar esta pesquisa, com

o intuito de (re) significar o ensino e a aprendizagem do tópico composição e decomposição

de figuras planas na resolução de problemas geométricos com foco em área e perímetro ao

término da 3ª série do Ensino Médio, uma vez que parte-se do pressuposto de que o aluno já

deveria ter visto todo o conteúdo em questão e está apto a ser avaliado.

Diante do exposto, posso afirmar que a questão principal que deu início à pesquisa

teve como origem inquietudes pessoais pautadas na trajetória profissional mencionadas

anteriormente e o diálogo com a orientadora que acompanhou boa parte da minha carreira

profissional.

Para tanto, este estudo tem seus pretextos de investigação fundamentados na teoria do

modelo de Van Hiele, baseado nos trabalhos de Dina Van Hiele-Geldof e Pierre Van Hiele,

em que os cinco níveis de compreensão: visualização, análise, dedução informal, dedução e

rigor, descrevem características do processo de pensamento.

Esta pesquisa se deu numa perspectiva descritiva de situações-problema, por meio da

análise quantitativa e qualitativa dos dados coletados. Para a realização desse processo de

investigação empírica, foi aplicado um diagnóstico nos dias 19 e 21 de outubro de 2010 para

98 alunos concluintes do Ensino Médio de uma escola particular da cidade de Contagem, MG.

A presente pesquisa está organizada em seis capítulos, cabendo à “Introdução”, o

primeiro deles. No segundo capítulo, apresenta-se o referencial teórico, marcado pelo modelo

Van Hiele que estabelece cinco níveis hierárquicos, no sentido de que o aluno só atinge

determinado nível de raciocínio após dominar os níveis anteriores. O terceiro capítulo refere-

se ao percurso da pesquisa. Já os quarto e quinto capítulos, descrevem a pesquisa

propriamente dita, onde procura-se analisar os dados à luz da teoria estudada. O sexto

capítulo, denominado “Considerações Finais”, sintetiza as principais conclusões deste estudo.

A partir do substrato teórico da pesquisa, construímos um material didático (Caderno de

Atividades) como forma de recurso de orientação metodológica para professores e estudantes

41

interessados nesta pesquisa. Esse produto final encerra o trabalho, estando presente nos

apêndices dessa dissertação.

A principal contribuição que se pretende com esse estudo para o cenário educacional é

a de possibilitar o professor refletir acerca da importância da organização e da articulação de

atividades de aprendizagem no Ensino Médio, voltadas para o estudo de composição e/ou

decomposição de figuras planas.

42

2 O MODELO VAN HIELE E POSSÍVEIS CONTRIBUIÇÕES NO ENSINO DE

COMPOSIÇÃO E/OU DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS PLANAS

Motivado pela curiosidade e pelo desejo de sistematizar as inquietações relacionadas à

composição e/ou decomposição de figuras planas na resolução de problemas geométricos,

tendo como foco área e perímetro no processo de ensino e aprendizagem, pautou-se a

pesquisa no modelo dos Van Hiele em turmas concluintes da 3ª série do Ensino Médio, uma

vez que parte-se do pressuposto que esse aluno já tenha vivenciado todo o conteúdo em

questão e está apto a ser avaliado.

Historicamente, na década de 50, os educadores holandeses, Dina Van Hiele-Geldof e

seu marido, Pierre Van Hiele, estudaram uma nova didática para ensinar aos seus alunos dos

Ensinos Fundamental e Médio, os conceitos da Geometria Euclidiana. O casal buscava

entender porque os alunos, de um modo geral, tinham tantas dificuldades em aprender

Geometria. O trabalho do casal se iniciou em 1959 e, imediatamente, atraiu muito a atenção

da União Soviética, mas por quase duas décadas ficou praticamente desconhecido nos Estados

Unidos e na maioria dos países ocidentais (HOFFER, 1983; HOFFER E HOFFER, 1992).

Mas, atualmente, a teoria dos Van Hiele se tornou o fator mais influente no currículo de

Geometria norte-americano e de diversos outros países.

Segundo o modelo Van Hiele, quando uma criança reconhece um quadrado mas não o

define ou quando não compreende que um quadrado é um retângulo, são exemplos de

comportamentos que refletem o nível de maturidade geométrica de um aluno. O modelo pode

ser usado tanto para orientar a formação, assim como para avaliar as habilidades do aluno,

com o intuito de ajudá-lo a atingir um nível mais complexo de pensamento geométrico.

Assim, o aluno move-se sequencialmente a partir do nível inicial (visualização), até o nível

mais elevado (rigor). E este último é alcançado por poucos alunos, pois diz respeito aos

aspectos abstratos formais da dedução. De acordo com Van Hiele, cada nível é caracterizado

por relações entre os objetos de estudo e linguagem próprios. Consequentemente, não pode

haver compreensão quando o curso é dado num nível mais elevado do que o atingido pelo

aluno.

Tal modelo manifestou-se a partir dos trabalhos de doutoramento de Dina Van Hiele-

Geldof (1984) e Pierre Van Hiele (1984), finalizados simultaneamente na Universidade de

Utrecht. Dina faleceu pouco depois de terminar sua tese, portanto, foi Pierre quem esclareceu,

aperfeiçoou e promoveu a teoria. Salvo na União Soviética, cujo currículo de Geometria foi

reformulado na década de 60 para adaptar-se ao modelo Van Hiele, o trabalho demorou a

43

merecer atenção internacional. Só na década de 70, um norte-americano, Izaak Wirszup

(1976), começou a escrever e a falar sobre o modelo. Por volta da mesma época, Hans

Freudenthal (1973), professor dos Van Hiele em Utrecht, chamou a atenção para os trabalhos

de ambos, no monumental livro de sua autoria, “Mathematics as an Educational Task4” .

Durante a década de 80, cresceu o interesse norte-americano pelas contribuições dos Van

Hiele, o que se acentuou particularmente através das traduções para o inglês, em 1984, de

alguns dos trabalhos principais do casal (GEDDES; FUYS; TISCHLER, 1984, p.83).

O modelo consiste em cinco níveis ascendentes de compreensão, descrevendo

características do processo de pensamento. O progresso de um nível para o seguinte se dá

acerca da vivência de atividades adequadas, não dependendo da idade ou maturação do aluno

(LOPES; NASSER, 1997). Isso significa, por exemplo, que um aluno de 12 anos pode estar

em um nível mais elevado do que um aluno de 15. Um detalhamento dos cinco níveis é

apresentado abaixo:

a) nível 05 (Nível Básico) - Visualização: De acordo com Crowley (1994), este é o

estágio onde os alunos reconhecem as figuras geométricas por sua forma como um todo,

por sua aparência física, não por suas partes ou propriedades, pois ainda não são capazes

de tamanha percepção. Os conceitos são vistos como entidades totais, e não como

entidades que têm componentes ou atributos.

b) nível 1 - Análise: Segundo Crowley (1994), este é o nível onde se inicia a análise

dos conceitos geométricos. A figura é analisada e seus componentes e propriedades são

descobertos. O aluno reconhece que as figuras são divididas em partes. Ainda não há

uma explicação nas relações existentes entre as propriedades. Os alunos não são capazes

de distinguir relações entre as figuras e de definir conceitos, mas, se concentrando sobre

uma classe de formas, os alunos são capazes de pensar sobre o que torna um retângulo

um retângulo (quatro lados, lados opostos paralelos, lados opostos de mesmo

comprimento, quatro ângulos retos, diagonais congruentes etc).

Nesse nível, os alunos começam a apreciar que uma coleção de formas é composta

devido às suas propriedades. As ideias sobre uma forma individual agora podem ser

generalizadas a todas as formas que se encaixam naquela classe. Os estudantes, operando no

4 Matemática como tarefa educacional. (Trad. do autor). 5 Na literatura encontram-se diferentes maneiras de enumerar os níveis do modelo. Os Van Hiele referiam-se a níveis que se iniciavam com o nível básico, ou o nível 0, e terminavam com o nível 4.

44

Nível 1, podem ser capazes de listar todas as propriedades de quadrados, retângulos e

paralelogramos, mas não percebem que esses são subclasses de outra classe, que todos os

quadrados são retângulos e todos os retângulos são paralelogramos.

a) nível 2 - Dedução Informal: Ainda segundo Crowley (1994), neste nível os alunos

conseguem relacionar propriedades, tanto dentro das figuras, quanto entre elas. Eles têm a

capacidade de deduzir propriedades de uma figura e reconhecer sua classificação dentro

dos tipos de figuras geométricas. Compreende-se a inclusão de novas classificações e as

definições passam a ter significado. Alunos deste nível conseguem produzir relações entre

as propriedades das figuras, surgindo, assim, deduções simples como, por exemplo,

percebem que uma figura pode ter mais do que um nome (inclusão de classes) – um

quadrado também é um retângulo (e um paralelogramo!). Os significados das deduções

não são compreendidos como um todo. As observações vão além das próprias

propriedades e começam a enfocar os argumentos lógicos sobre elas. Os alunos no Nível 2

são capazes de acompanhar e apreciar um argumento dedutivo informal sobre as formas e

suas propriedades. As “provas” podem ser mais intuitivas do que rigorosamente

dedutivas, como ocorre no nível seguinte. Entretanto, há uma apreciação de que um

argumento lógico é necessário em ambas.

b) nível 3 - Dedução: De acordo com Crowley (1994), neste nível o indivíduo é capaz

de construir demonstrações, e não apenas memorizá-las, conseguindo desenvolvê-las em

mais de uma maneira; compreende a interação das condições necessárias e suficientes;

distingue uma afirmação e sua recíproca. De acordo com Lopes e Nasser (1997), como

características desta fase, tem-se o domínio do processo dedutivo e das demonstrações,

bem como o reconhecimento de condições necessárias e suficientes para resolução de

atividades desse nível específico. Pode-se citar, como exemplo de aplicações nesta etapa,

a demonstração de propriedades dos triângulos e quadriláteros usando a congruência de

triângulos. O estudante neste nível é capaz de trabalhar com sentenças abstratas sobre as

propriedades geométricas e estabelecer conclusões baseadas mais na lógica do que na

intuição. Um estudante operando no nível 3 pode observar que as diagonais de um

retângulo bissectam uma a outra, como um de um nível de pensamento inferior também

poderia. Entretanto, no nível 3, há uma apreciação da necessidade de provar isso a partir

de uma série de argumentos dedutivos. O pensador do nível 1, ao contrário, acompanha o

argumento, mas falha em apreciar sua necessidade.

45

É importante ressaltar que o tipo de raciocínio que caracteriza um pensador no nível 3

é o mesmo necessário em um curso típico de Geometria do Ensino Médio, onde os alunos

constroem uma lista de axiomas e definições para criar teoremas.

Em um sentido muito global, os alunos de Geometria no Ensino Médio trabalham na

criação de um sistema dedutivo geométrico completo. Geralmente, esse é o sistema euclidiano

que descreve melhor o mundo em que se está acostumado a viver. Porém, eles podem também

explorar outros sistemas geométricos, tais como a Geometria onde todas as retas são

desenhadas sobre a superfície de uma esfera ou, então, a “geometria do motorista de táxi”

onde os carros só podem seguir uma grade retangular de “ruas”. Esses são o produto de seu

pensamento.

a) nível 4 - Rigor: Segundo Crowley (1994), neste modelo o aluno consegue trabalhar

com a Geometria no plano abstrato, pode estudar Geometrias não euclidianas e

comparar diferentes sistemas, sendo o aluno é capaz de construir noções de várias

questões dentro dos sistemas axiomáticos. Este nível recebe pouca atenção dos

pesquisadores, por isso é menos desenvolvido. Até mesmo Van Hiele se dedicava

mais aos quatro primeiros níveis. Segundo Lopes e Nasser (1997), o estabelecimento

de teoremas em diversos sistemas e comparação dos mesmos são as principais

características deste nível. Citam, como exemplo, o estabelecimento e a demonstração

de teoremas em uma Geometria finita. No nível mais elevado da hierarquia da Teoria

dos Van Hiele, os objetos de atenção são os próprios sistemas axiomáticos e não

apenas as deduções dentro de um sistema, como nos níveis anteriores. Por exemplo: a

Geometria esférica é baseada em linhas traçadas sobre uma esfera em vez de um plano

ou espaço ordinário. Essa Geometria tem seu conjunto próprio de axiomas e teoremas.

Este é geralmente o nível de um especialista em Matemática no Ensino Superior que

esteja estudando Geometria como um ramo da Ciência Matemática. Esse nível não

será, portanto, objeto de estudo desse trabalho acadêmico.

46

2.1 Características dos níveis da teoria dos Van Hiele

Observa-se que os produtos de pensamento em cada nível são os objetos de

pensamento do nível seguinte6, conforme é indicado no quadro 1, abaixo.

Quadro 1: Objetos e produtos de pensamento em cada nível

Fonte: Elaborado pelo autor da pesquisa

Essa relação objeto-produto entre os níveis da teoria dos Van Hiele também pode ser

ilustrada na figura 1, a seguir. Como se pode notar, os objetos (ideias) devem ser criados em

um nível, de modo que as relações entre esses objetos possam se tornar o foco do nível

seguinte.

Figura 1: A Teoria do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico dos Van Hiele

Fonte: VAN DE WALLE (2009, p.443).

6 Pode-se distinguir minimamente objetos de pensamento de produtos de pensamento como processos de habilidades e competências, sendo os objetos de pensamento as habilidades que os alunos possuem e os produtos de pensamento as competências a serem alcançadas naquele nível. Portanto, quando o sujeito atinge o produto de pensamento, ele automaticamente já perpassa o nível de conhecimento, tornando-se aquela habilidade competência essencial do próximo nível e assim sucessivamente.

Níveis Objetos de Pensamento Produtos de Pensamento

0 São as formas e "o que elas parecem".

São classes ou agrupamentos de formas que são " parecidas".

1 São as classes de formas, mais do que as formas individuais.

São as propriedades das formas.

2 São as propriedades das formas. São relações entre as propriedades de objetos

geométricos.

3 São relações entre as propriedades dos objetos geométricos.

São sistemas axiomáticos dedutivos para a Geometria.

4 São sistemas dedutivos axiomáticos para a Geometria.

São comparações e confrontos entre os diferentes sistemas axiomáticos da Geometria.

47

2.1.1 Propriedades do modelo

Segundo Crowley (1994), além de fornecer uma compreensão daquilo que há de

específico em cada nível de pensamento geométrico, conforme já explicitado, os Van Hiele

identificaram algumas generalidades que caracterizam o modelo. Essas propriedades são

particularmente significativas para educadores, pois estes podem orientar a tomada de

decisões quanto ao ensino a ser realizado em sala de aula. Para tanto, são consideradas essas

características a seguir:

a) sequencial: O aluno deve, necessariamente, passar por todos os níveis, uma vez que

não é possível atingir um nível posterior sem dominar os anteriores;

b) avanço: A progressão ou não de um nível para outro depende mais dos métodos de

ensino e do conteúdo do que da idade ou maturação biológica. Nenhum método de

ensino permite ao aluno pular um nível. Alguns aceleram o progresso, mas há alguns

que retardam;

c) intrínseco e extrínseco: Os objetivos implícitos num nível tornam-se explícitos no

nível seguinte;

d) linguística: “Cada nível tem seus próprios símbolos linguísticos e seus próprios

sistemas de relações que ligam esses símbolos” (VAN HIELE, 1984, p.246). Assim,

uma relação que é “correta” em um nível, pode se modificar em outro. Por exemplo:

uma figura pode ter mais de um nome (inclusão de classes) – um quadrado também é

um retângulo (e um paralelogramo!). Um aluno do nível 1 não concebe que esse tipo

de acomodação possa ocorrer. Porém, esse tipo de noção e a linguagem que o

acompanha são fundamentais no nível 2;

e) combinação inadequada: O professor e o aluno precisam estar raciocinando em

um mesmo nível, caso contrário, o aprendizado não ocorre. Ou seja, professor,

material didático, conteúdo e vocabulário devem estar compatíveis com o nível do

aluno.

48

Isso significa, portanto, que o avanço no conhecimento deve ser progressivo, levando

em consideração o objeto e o produto do pensamento de cada nível, sendo que essa evolução

promove alterações inclusive na linguagem utilizada para seu ensino com o passar dos níveis.

Porém, para que esse progresso aconteça, torna-se necessário que professor e aluno sigam em

um diálogo próprio daquele nível em que o educando se encontra para que o aprendizado

ocorra efetivamente.

2.1.2 Fases do Aprendizado

Van Hiele propõe que “a transição de um nível para o seguinte não é um processo

natural, ela acontece sob a influência de um programa de ensino-aprendizagem” (VAN

HIELE, 1986, p.50), que inclui uma sequência didática de cinco fases de aprendizado dentro

de cada um dos níveis, cujo objetivo é favorecer o deslocamento do aluno para um nível

imediatamente superior ao que ele se encontra. São elas:

b) fase 1 – Interrogação/informação: As indagações do professor são um fator

crucial na orientação do raciocínio do aluno, sendo importantes instrumentos de

avaliação. Os alunos devem ser desafiados a entender o porquê de sua explicação –

haveria um outro modelo de mostrar isso? Para tanto, o aluno explora, discute com os

colegas e com o professor o material a ser estudado. Aqui se introduz o vocabulário

específico do nível, no qual são feitas observações e várias perguntas. É uma fase

preparatória para estudos posteriores;

c) fase 2 – Orientação dirigida: O professor fornece material sobre o objeto de

estudo em função do nível de raciocínio do aluno. Por exemplo: o professor poderia

pedir aos alunos que usassem um geoplano para construir um losango de diagonais

iguais, para construir outro maior e para construir outro menor;

d) fase 3 – Explicação: O professor conduz, orienta as discussões da turma, para que

os alunos se apropriem da linguagem pertinente. Prosseguindo com o exemplo do

losango, os alunos poderiam discutir entre si e com o professor sobre quais figuras e

propriedades emergiam das atividades precedentes;

49

e) fase 4 – Orientação livre: O professor fornece ao aluno material com várias

possibilidades de uso e dá instruções que permitam diversas formas de atuação do

aluno sobre o objeto de estudo;

f) fase 5 – Integração: Reflexão dos alunos sobre as suas próprias ações nas etapas

anteriores. No final desta quinta fase, os alunos alcançam, então, um novo nível de

pensamento. O novo domínio de raciocínio substitui o antigo e os alunos estão prontos

para repetir as fases de aprendizado no nível seguinte.

2.1.3 Implicações para o ensino- níveis 0, 1 e 2

Um dos objetivos fundamentais do currículo do Ensino Fundamental é o de

desenvolver o nível de pensamento geométrico dos estudantes. Porém, para sustentar essa

pesquisa ora proposta, deve-se levar em consideração que o pensamento geométrico dos

alunos deve estar adequadamente preparado para o currículo da Geometria dedutiva no

Ensino Médio, tendo, então, se desenvolvido até o nível 2 ao final do 9º ano. Sendo assim,

Van Hiele sugere uma organização do trabalho com o ensino de Geometria da seguinte forma:

2.1.3.1 Ensino no nível 0

As atividades educacionais nesse nível devem:

a) envolver muitos agrupamentos e classificações. Observar como as formas são

parecidas e diferentes é o foco primário desse nível. Na medida em que propriedades

tais como simetria e quantidade de lados e “cantos” forem introduzidas, os alunos

devem ser desafiados a usar esses aspectos para classificar formas;

b) Incluir uma variedade suficiente de exemplos das formas, de modo que os aspectos

irrelevantes não se tornem importantes. Os alunos precisam de oportunidades para

desenhar, construir, fazer, compor e decompor formas.

Em geral, portanto, os alunos devem ser desafiados a verificar se as observações feitas

sobre uma forma particular se aplicam a outras formas de um tipo diferente, questionando, por

exemplo: “Vejamos se isso é verdade para outros retângulos”. Agindo dessa forma, o

professor estará contribuindo para que o aluno avance do nível 0 para o nível 1.

50



a) enfocar mais as propriedades das figuras do que a simples identificação das

mesmas;

b) aplicar ideias a uma classe inteira de figuras (por exemplo, todos os retângulos ,

todos os prismas...) em vez de aos modelos individuais;

c) analisar as classes de figuras para determinar novas propriedades; por exemplo:

“Encontre maneiras de agrupar triângulos em grupos”.

Para auxiliar os alunos a irem do nível 1 ao nível 2, os alunos precisam ser desafiados

com questões do tipo “Por quê?”, além daquelas que envolvam algum raciocínio, como, por

exemplo: “Se os lados de uma forma de quatro lados são todos congruentes, você sempre terá

um quadrado?” e “Você consegue encontrar um contra-exemplo?”



a) encorajar a elaboração e testagem de hipóteses ou conjecturas: “Você acha que isso

funciona o tempo todo?”, “Isso é verdadeiro para todos os triângulos ou apenas para os

equiláteros?”;

b) examinar as propriedades das formas para determinar as condições necessárias e

suficientes para diferentes formas ou conceitos: “Que propriedades das diagonais você

considera para garantir a obtenção de um quadrado?”;

c) usar a linguagem da dedução informal: todos, alguns, nenhum, se... então, etc.;

d) encorajar os alunos a tentar estabelecer provas informais.

A seleção de tarefas e os níveis de pensamento, segundo Van Hiele (1984), sugerem

que o professor ao lecionar à Educação Infantil ao 3º ano do Ensino Fundamental, comece

com o nível 0; do 4º ao 6º anos, deve explorar os níveis 0 e 1; do 7º ao 9º, deve procurar

atividades de níveis 1 e 2.

O conteúdo de Geometria do Ensino Médio depende, em grande parte, de

conhecimentos prévios de Geometria plana do Ensino Fundamental II. Um ensino efetivo

51

desses conceitos básicos auxilia no embasamento dos estudos mais adiante, que nem sempre

acontecem. Como o foco deste trabalho está voltado para o Ensino Médio, no qual o nível 4

do modelo Van Heile não é a prioridade, é natural que se concentre a atenção nos níveis

anteriores.

2.1.4 Formas e propriedades para pensadores no nível 0

Quanto mais as crianças vivenciarem atividades no nível inicial, melhor será a

possibilidade de avanço para os próximos níveis, pois, segundo Van Hiele (1984), elas

precisam de experiências com uma rica variedade de formas bidimensionais. Triângulos

podem ser mais do que apenas equiláteros. As formas podem ter lados curvos, lados retos e

combinações desses tipos. Ao longo do trabalho realizado em sala de aula, os nomes das

formas e de suas propriedades podem ser introduzidos casualmente. As crianças nesse nível

também vão atribuir às formas algumas ideias que não são parte da forma, tais como “aponta

para cima”. Portanto, como sugestão do autor, o professor pode criar seus próprios materiais.

Além disso, em qualquer atividade de agrupamento, os alunos devem decidir como agrupar e

não o professor. Isso permite que os educandos façam a atividade usando ideias que eles

mesmos reconheçam e compreendam. Listando os tipos de atributos que usaram em seus

agrupamentos, o educador poderá ser capaz de descobrir que propriedades eles já conhecem e

usam e como pensam sobre formas.

2.1.4.1 Compondo e/ou Decompondo Figuras

O modelo Van Hiele enfatiza a necessidade das crianças explorarem livremente como

as formas se encaixam criando formas maiores (composição) e como as formas maiores

podem ser dividas em formas menores (decomposição). Entre as formas bidimensionais para

essas atividades, os blocos geométricos e os vários quebra-cabeças inspirados no Tangram são

os mais conhecidos.

2.1.4.2 Tecelagens

Ainda segundo o modelo dos Van Hiele, uma tecelagem é um ladrilhamento do plano

usando uma ou mais formas em um padrão repetitivo sem nenhum furo ou lacuna. Construir

tecelagens é um modo artístico para estudantes no Nível 0 do 1º ao 9º anos explorarem

52

padrões de composição. Atividades de tecelagem com uma ou duas formas podem variar

consideravelmente em dificuldade. Tecelagens de uma forma única são feitas mais facilmente

com algumas formas do que com outras. Assim, por exemplo, quadrados ou triângulos

equiláteros tecem muito facilmente, embora ofereçam apenas um desafio geométrico mínimo.

Quando as formas podem ser reunidas em mais de um padrão, tanto o nível de

resolução de problemas quanto a criatividade aumentam. Literalmente, centenas de formas

podem ser usadas como ladrilhos para compor tecelagens.


Quando os alunos mudam para o nível 1 do pensamento geométrico, a atenção se volta

mais para as propriedades apresentadas pelas tradicionais classificações de formas. Durante

esse período, faz sentido que os alunos aprendam os nomes adequados tanto para as formas

quanto para suas propriedades. O quadro 2, abaixo, lista algumas categorias importantes de

formas bidimensionais.

Quadro 2: Categorias de formas bidimensionais

CATEGORIAS DE FORMAS BIDIMENSIONAIS

FORMA DESCRIÇÃO

Curvas fechadas simples

Côncavo, Uma definição intuitiva para côncavo pode ser "ter um dente nela".

Convexo

Se uma curva fechada simples não for côncava, é convexa.

Uma definição mais precisa de côncava pode ser interessante de explorar

com alunos em níveis mais avançados.

Simétrico Assimétrico

As formas podem ter uma ou mais linhas de simetria e podem ou não ter simetria rotacional. Esses conceitos vão demandar uma investigação mais detalhada.

Polígonos Curvas fechadas simples com todos os lados retos. Côncavo, convexo

Simétrico, assimétrico Regular

Todos os lados e todos os ângulos são congruentes.

Triângulos Polígonos com exatamente três lados. Classificados pelos lados (e ângulos)

Equilátero Todos os lados (ângulos) são congruentes.

Isósceles Pelo menos dois lados (ângulos) são congruentes.

Escaleno Nenhum par de lados (ângulo) é congruente.

Classificados pelo ângulo reto

Continua

Conclusão

53

Retângulo Possui um ângulo reto.

Agudo Todos os ângulos são menores do que um ângulo reto.

Obtuso Um ângulo é maior do que um ângulo reto.

Quadriláteros convexos Polígonos convexos com exatamente quatro lados.

"Pipa" Dois pares opostos de lados adjacentes congruentes.

Trapézio Pelo menos um par de lados paralelos.

Trapézio isósceles Um par de lados opostos é congruente.

Paralelogramo Dois pares de lados paralelos.

Retângulo Paralelogramo com um ângulo reto.

Losango Paralelogramo com todos os lados congruentes.

Quadrado Paralelogramo com um ângulo reto e todos os lados congruentes. Fonte: VAN DE WALLE (2009, p.452).

Exemplos dessas formas podem ser encontrados na Figura 2. Percebe-se que as

definições de formas incluem relações entre as formas de um subgrupo e os grupos maiores

que a contém.

Figura 2: Classificação de formas bidimensionais

Fonte: VAN DE WALLE (2009, p.453).

54

Observa-se que na classificação de quadriláteros e paralelogramos, os subconjuntos

não são todos disjuntos (pensamento exclusivo). Por exemplo: um quadrado é um retângulo e

um losango. Todos os paralelogramos são trapézios, mas nem todos os trapézios são

paralelogramos7. As crianças no nível 1 continuam a ter dificuldade em perceber ou

estabelecer esse tipo de subrelação (que caracteriza uma classificação do tipo inclusiva e não-

exclusiva), mas podem corretamente listar todas as propriedades de um quadrado, um losango

e um retângulo e, ainda, identificar um quadrado como um “não losango” ou um “não

retângulo”, caracterizando o pensamento exclusivo (VAN WALLE, 2009). Burger (1985)

aponta que os alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental mais avançados conseguem

compreender e usar corretamente tais esquemas de classificação em outros contextos. Por

exemplo: os alunos de uma turma podem pertencer a mais de um clube. Um quadrado é um

exemplo de um quadrilátero que pertence a dois “clubes diferentes”.

2.1.5.1 Círculos

Dentre as muitas relações que podem ser observadas entre as medidas de diferentes

partes do círculo, destaca-se a razão entre as medidas de sua circunferência e de seu diâmetro.

É importante, portanto, que os alunos desenvolvam uma compreensão de π como razão entre

a medida da circunferência e a medida do diâmetro em qualquer círculo. A quantidade π não

é um número estranho que aparece em fórmulas matemáticas, mas sim uma razão universal e

que ocorre naturalmente.


Nesse nível, o enfoque muda de simplesmente examinar as propriedades de formas

para explorações que incluam raciocínio lógico, uma vez que os alunos desenvolvem uma

compreensão das várias propriedades geométricas e aplicam essas propriedades a importantes

categorias de formas, sendo essencial encorajá-los a conjecturar e a explorar argumentos

dedutivos informais. (VAN WALLE, 2009).

A tarefa é, portanto, decidir se as sentenças são verdadeiras ou falsas e apresentar um

argumento que fundamente a decisão. Quatro ou cinco sentenças “Verdadeiro ou Falso” são

7 “Algumas definições de trapézio especificam apenas um par de lados paralelos. Neste tipo de classificação, então, os paralelogramos não poderiam ser considerados trapézios. O Projeto da Universidade de Chicago “School Mathematics” (UCSMP) usa a definição “pelo menos um par”, significando que os paralelogramos e retângulos são trapézios”. (VAN WALLE, 2009, p.453).

55

suficientes para uma boa lição. Assim, uma vez que o formato das sentenças tenha sido

compreendido, o professor pode desafiar os alunos criando suas próprias listas de sentenças.

Porém, cada lista deve ter, pelo menos, uma sentença verdadeira e uma sentença falsa.

2.1.6.1 A relação pitagórica

A relação pitagórica merece atenção especial. Em termos geométricos, essa relação

afirma que se um quadrado for construído em cada lado de um triângulo retângulo, a soma das

áreas dos dois quadrados menores é igual à área do quadrado ao longo do comprimento maior,

a hipotenusa.

Resumindo, os Van Hiele descreveram um modelo de aprendizagem fundamentado

em uma visão que valoriza a aprendizagem da Geometria como um processo gradual, global e

construtivo. Gradual, porque considera que a intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica

são obtidos gradualmente. Global, porque figuras e propriedades não são abstrações isoladas,

elas inter-relacionam-se e pressupõem diversos níveis que levam a outros significados.

Construtivo, porque acredita-se que não existe transmissão de conhecimentos, mas que o

aluno deverá construir ele próprio os seus conceitos (SERRAZINA, 1996).

56

3 PERCURSO DA PESQUISA

Como já dito, propõe-se, com este trabalho, refletir a utilização da composição e/ou

decomposição de figuras planas, tendo como foco área e perímetro, na descoberta e

construção de diferentes estratégias a serem desenvolvidas pelos alunos do Ensino Médio, de

modo a possibilitar resultados positivos para o ensino de Geometria.

Sendo assim, o produto final almejado foi a elaboração de um caderno de atividades

(CA), que pode ser aplicado em escolas que ofereçam o Ensino Médio e em cursos de

formação e capacitação de professores. Tais atividades foram fundamentadas tendo como

base o modelo dos Van Hiele e têm o propósito de articular conceitos, propriedades e

operações, historicamente construídos, acerca desse campo geométrico.

3.1 Situação-problema

Acumulando uma experiência de 18 anos no exercício do Magistério, esse pesquisador

teve a oportunidade de atuar como professor de Matemática por 11 anos na terceira série do

Ensino Médio de uma escola da rede particular de ensino, localizada em Contagem - Minas

Gerais.

Assim, atuando na 3ª série do Ensino Médio da escola anteriormente mencionada, ele

vivenciou, há anos, questionamentos a respeito da dificuldade de assimilação de conceitos e

procedimentos metodológicos na resolução de atividades envolvendo composição e/ou


Hoje, compreende-se algumas limitações dos alunos da série mencionada associadas

às dificuldades, ao resolverem problemas geométricos. Por alguns anos, o campo de

investigação do pesquisador era restrito aos livros didáticos do Ensino Básico, percebendo

que, quando alguns desses livros chegavam a apresentar atividades sobre o assunto em

questão ou faziam alusão a alguma interpretação geométrica explorada nesse campo,

apresentava-os de forma sucinta, com flashes ou desafios, relatados, geralmente, no final do

capítulo. A experiência com avaliações em grande escala possibilitou uma maior investigação

acerca desse tópico. Portanto, percebe-se que o nível de cobrança de tais questões nos

concursos, vestibulares, olimpíadas e outros são maiores que os exigidos nos livros didáticos.

Outro fator relevante é o distanciamento do assunto, uma vez que normalmente trabalha-se a

57

Geometria no Ensino Fundamental e faz uma retomada apenas no final da 2ª série do Ensino

Médio (quando explorada) e na 3ª série é apresentada de forma revisional.

Incomodado com essa abordagem, destituida de significado, no ensino desse tópico

matemático, no Ensino Médio, propõe-se, então, por meio desta pesquisa, responder a

seguinte questão: Como desenvolver o tópico composição e/ou decomposição de figuras

planas na resolução de problemas geométricos tendo como foco área e perímetro no

processo de ensino e aprendizagem?

Acredita-se que por meio de um trabalho pautado nos conhecimentos anteriormente

adquiridos pelos alunos, nas experiências cotidianas, fundamentado na teoria dos Van Hiele,

poderá implicar em uma nova reconfiguração do ensino de Geometria, não permitindoao

aluno serem sujeitos passíveis e sim promovendo o aprendizado deste assunto de forma

consistente e eficaz .

3.2 Contexto: a instituição, sujeitos da pesquisa, seleção das atividades, aplicação das

atividades

A instituição particular de ensino na qual foi aplicado o diagnóstico está localizada no

município de Contagem, Minas Gerais, desde 1977 e conta, atualmente, com cerca de 1900

alunos, distribuidos nos segmentos: Educação Infantil, Ensinos Fundamental e Médio e EJA

(Educação de Jovens e Adultos). O Ensino Médio é ofertado no turno da manhã, sendo 3

turmas de cada série.

Os sujeitos da pesquisa, como já dito, são da 3ª série do Ensino Médio, com faixa

etária regular entre 17 e 18 anos. São alunos com situação econômica relativamente alta, que

apresentam desempenho satisfatório de aprovação nos diversos vestibuares e já conheciam o

pesquisador, enquanto professor da disciplina.

As atividades “diagnósticas” que compõem esta pesquisa foram selecionadas de

concursos de vestibulares anterior ao ano de 2010, bem como de avaliações em grande escala,

pelo pesquisador e orientadora. Integraram-se a essas atividades um conjunto de 30 questões,

igualmente distribuidas às três turmas da 3ª série. As questões abordam o cálculo de

perímetro e área, tendo por finalidade (re)significar conceitos, propriedades e operações no

campo da composição e/ou decomposição de figuras planas.

A aplicação do diagnóstico ocorreu em meados do mês de outubro de 2010. A

investigação se deu em um contexto natural de sala de aula e desenvolveu-se com 98 alunos,

sendo 34 da 3ª série A; 32 da 3ª série B e 32 da 3ª série C. Inicialmente, os alunos foram

58

orientados a executar a atividade de forma autônoma, individualmente, uma vez que o

objetivo do trabalho seria alcançado com esta estratégia. Desta forma, os alunos resolveram as

questões sem qualquer intervenção do professor, disponibilizando, para a realização da tarefa,

lápis, borracha, régua, papel e caneta.

Durante a realização da tarefa, os alunos foram observados informalmente. A partir

dessa observação, informações foram recolhidas sobre as atitudes dos alunos, o modo como

eles articulam os conhecimentos matemáticos formais e informais e os registros realizados

pelos alunos na resolução de cada situação proposta.

3.3 O caminho trilhado

Procurou-se, nessa pesquisa, descrever e interpretar situações ou problemas por meio

de análise quantitativa e qualitativa dos dados coletados.

Segundo Lüdke e André (1986), o desenvolvimento de qualquer pesquisa qualitativa,

exige do investigador o cumprimento de três etapas importantes:

Exploração: envolve a seleção e a definição do problema, bem como o local onde serão feitos os estudos, os sujeitos da pesquisa, os procedimentos, as hipóteses e o referencial teórico; Decisão: busca a utilização sistemática das estratégias selecionadas para compreender o referencial teórico estudado, incluindo-se, neste caso, entrevistas, gravações, questionários, análise documental, assim como a interação verbal, entre pesquisador e pesquisado, tentando, através desses dados, responder às questões relevantes; Descoberta: consiste na explicitação da realidade, ou seja, tenta encontrar os princípios subjacentes ao fenômeno estudado, buscando situar as várias descobertas em um contexto mais amplo. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.15-17). (grifos nossos).

Considerando a Educação Matemática como uma prática social, o trabalho de campo

torna-se uma opção importante, pois fornece elementos que nos permite compreendê-la, para

então, transformá-la. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986). As informações extraídas desse “campo de

investigação”, levam a desenvolver conhecimentos a partir da prática e impedem de inventar

explicações ou suposições irreais acerca do fenômeno estudado. São, portanto, produzidas

mediante um processo interativo de diálogo e questionamento da realidade.

Pode-se, portanto, dizer que esse trabalho trata-se de uma pesquisa de campo, já que,

para Bogdan e Biklen (1994), a modalidade de pesquisa naturalista ou de campo, acontece

quando os dados do estudo são coletados diretamente “em campo”, contrastando com aqueles

realizados em locais controlados pelos investigadores. Nesta modalidade de investigação, o

59

pesquisador frequenta os locais em que, naturalmente, verificam-se os fenômenos nos quais

está interessado a investigar.

Na construção deste trabalho de pesquisa, priorizou-se quatro elementos citados por

Ludke e André (1986) nas etapas de elaboração de uma investigação, a seguir:

3.3.1 Observação participante

Lüdke e André (1986) afirmam que a observação ocupa um lugar privilegiado nas

pesquisas educacionais. Para as autoras, se a observação for associada a outros métodos de

coleta de dados, “ela possibilitará um contato pessoal e estreito do pesquisador com o

fenômeno pesquisado.” (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.26). Elas enfatizam, ainda, que a coleta

de dados deve acontecer quando as pessoas investigadas estão realizando, naturalmente,

atividades de interesse do pesquisador, como, por exemplo, estudando na sala de aula.

Na observação participante, o investigador “introduz-se no mundo das pessoas que

pretende estudar, tenta conhecê-las, dar-se a conhecer e ganhar a sua confiança, elaborando

um registro escrito e sistemático de tudo aquilo que ouve e observa.” (BOGDAN; BIKLEN,

1994, p.16).

3.3.2 Protocolo de registros dos alunos

O propósito de uma análise documental, no caso específico desta pesquisa, o registro

dos alunos, é fazer inferências sobre os valores, os sentimentos, as intenções e a ideologia das

fontes ou dos autores dos documentos. Esse tipo de análise é apropriado, dentre outras

situações, “quando o interesse do pesquisador é estudar o problema a partir da própria

expressão dos indivíduos, ou seja, quando a linguagem dos sujeitos é crucial para a

investigação.” (HOLSTI apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.39). Nesse sentido, são válidas

todas as formas de produção do sujeito, em forma escrita, tais como: textos argumentativos,

atividades de aprendizagem, dissertações etc.

Sobre as vantagens do uso de documentos na pesquisa educacional, Lüdke e André

(1986) destacam, ainda, que:

60

Os documentos constituem uma fonte poderosa de onde podem ser retiradas evidências que fundamentem afirmações e declarações do pesquisador. Representam ainda uma fonte “natural” de informação. Não são apenas uma fonte de informação contextualizada, mas surgem num determinado contexto e fornecem informações sobre esse mesmo contexto. [...] resumem as vantagens do uso de documentos dizendo que uma fonte tão repleta de informações sobre a natureza do contexto nunca deve ser ignorada, quaisquer que sejam os outros métodos de investigação escolhidos. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.39).

Assim, durante a aplicação do diagnóstico, decidiu-se pela utilização do protocolo de

resolução das atividades. Neste documento, há um espaço para que o aluno manifeste o seu

pensamento de uma forma mais livre (por meio de linguagem matemática formal, desenhos,

texto argumentativo ou explicativo), pois, para o pesquisador, o registro é fundamental para o

objetivo do trabalho.O diagnóstico foi concebido, então, para captar o pensamento do aluno

na resolução dos problemas geométricos.

3.3.3 Análise dos Protocolos

Com o intuito de encontrar respostas para a questão proposta e, ainda, verificar se os

objetivos da pesquisa foram alcançados, todo o material coletado ao longo deste estudo

(observação participante, entrevistas informais e registro dos alunos8) foi organizado em um

único documento, o qual auxiliou na construção do que denominou-se de caderno de

atividades (CA), produto final dessa dissertação.

Os dados coletados nesta pesquisa, então, foram analisados com o objetivo de

averiguar situações de uso da reconfiguração (decomposição e composição) de figuras planas

no processo de ensino e aprendizagem tendo como foco perímetro e área.

Para Lüdke e André (1986), analisar os dados qualitativos significa “trabalhar” todo o

material obtido durante a pesquisa e destacam que, nesta etapa:

É preciso que o pesquisador ultrapasse a mera descrição, buscando realmente acrescentar algo à discussão já existente sobre o assunto focalizado. Para isso ele terá que fazer um esforço de abstração, ultrapassando os dados, tentando estabelecer conexões e relações que possibilitem a proposição de novas explicações e interpretações. É preciso dar o “salto”, como se diz vulgarmente, acrescentar algo ao já conhecido. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.48-49).

8 O pesquisador refere-se a registro as questões respondidas pelos alunos, sujeitos desta pesquisa, o qual foi chamado de protocolo ou diagnóstico, sendo, posteriormente, submetido à análise, o que auxiliou em grande parte a construção do Caderno de Atividades (CA), produto desta dissertação.

61

Os protocolos foram submetidos à análise, como dito, ancorada no modelo Van Hiele

com a intenção de identificar procedimentos realizados pelos alunos na resolução dos

problemas propostos. A análise realizada buscou, ainda, identificar os tipos de erros mais

frequentes produzidos pelos alunos para que fossem realizadas estratégias de intervenção

pedagógicas adequadas, que culminaram com a elaboração e construção de um produto que

pudesse subsidiar professores na sua atuação em sala de aula.

3.3.4 Livro Didático e Avaliações Sistêmcias

Buscou-se averiguar, ainda, como forma de complementação desta pesquisa, nos

livros didáticos, como o tópico composição e/ou decomposição de figuras planas era abordado

e se essas abordagens estavam ou não em consonância com a teoria dos Van Hiele acerca dos

seguintes questionamentos:

a) Qual nível de conhecimento geométrico os sujeitos da pesquisa possuem no

término do Ensino Médio?

b) Qual foi o percurso desse aluno do ponto de vista da sua aprendizagem em

Geometria?

c) Que experiências esses alunos vivenciaram na sua vida escolar?

d) Quais atividades vêm desenvolvendo nesta etapa de escolarização?

Para tanto, fêz-se necessário um estudo sobre composição e/ou decomposição de

figuras planas nos livros de Ensinos Fundamental e Médio.

A opção de analisar livros do Ensino Fundamental em um trabalho para o Ensino

Médio tem sua justificativa exatamente nesta busca pela compreensão das vivências que estes

alunos tiveram com a Geometria ainda no período escolar anterior ao pesquisado. Esse será o

tema do capítulo a seguir.

62

4 A PESQUISA NOS LIVROS DIDÁTICOS E NAS AVALIAÇÕES SISTÊMICAS

Como poderá se notar neste capítulo, o conteúdo composição e/ou decomposição de

figuras planas aparece de forma recorrente nas avaliações sistêmicas. Por outro lado, nos

livros didáticos pesquisados, nota-se uma abordagem de forma sucinta do tema. Nesse

sentido, buscou-se, aqui, fazer uma análise de alguns desses livros e também de algumas

questões avaliativas, levando em consideração os níveis de desenvolvimento do pensamento

geométrico considerando, também, mais a frente, os dados obtidos nos protocolos

diagnósticos já realizados.

4.1 Verificação de algumas coleções de livros didáticos - Ensinos Fundamental e Médio

Neste capítulo, serão analisados tópicos de composição e decomposição de figuras

planas abordados em coleções matemáticas dos Ensinos Fundamental (6º ao 9º anos) e Médio

(1ª a 3ª séries) de autores distintos. Essa análise se aproxima das considerações de Lima,

Carvalho e Wagner (2001), quando afirma que:

As qualidades didáticas de um livro são as características nele contidas que ajudam o leitor a entender mais facilmente as noções ali apresentadas aprendendo como utilizá-las e, principalmente, motivando-o a prosseguir na leitura, atraído pelo estilo do autor, pela elegância e simplicidade dos seus argumentos e pelos desafios que propõe. (LIMA; CARVALHO; WAGNER, 2001, p.4).

O livro didático contribui para o processo de ensino-aprendizagem como um

interlocutor que dialoga com o professor e com o aluno, além de ser um dos importantes

componentes do cotidiano escolar em todos os níveis de ensino, portanto acredita-se que ao

ser analisada a abordagem feita pelos autores no aspecto geométrico composição e/ou

decomposição de figuras planas, possa haver contraposição frente à teoria dos Van Hielle,

com o intuito de contribuir para a compreensão de uma parte do complexo sistema escolar.

As funções mais importantes do livro didático na relação com o aluno, tomando como

base Gérard e Roegiers (1998), são:

a) favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes;

b) propiciar o desenvolvimento de competências cognitivas, que contribuam para

aumentar a autonomia;

63

c) consolidar, ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos;

d) auxiliar na autoavaliação da aprendizagem;

e) contribuir para a formação social e cultural e

f) desenvolver a capacidade de convivência e de exercício da cidadania.

Já no que diz respeito ao professor, o livro didático desempenha, entre outras, as

importantes funções de:

a) auxiliar no planejamento e na gestão das aulas, seja pela explanação de conteúdos

curriculares, seja pelas atividades, exercícios e trabalhos propostos;

b) favorecer a aquisição dos conhecimentos, assumindo o papel de texto de referência;

c) favorecer a formação didático-pedagógica;

d) auxiliar na avaliação da aprendizagem do aluno. (GERARD; ROEGIERS, 1998).

É de suma importância, ainda de acordo com os autores, observar, no entanto, que as

possíveis funções que um livro didático pode exercer não se tornam realidade, caso não se

leve em conta o contexto em que ele é utilizado. Em outras palavras, as funções acima

referidas são histórica e socialmente situadas e, assim, sujeitas a limitações e contradições.

Por isso, tanto na escolha quanto no uso do livro, o professor tem o papel indispensável de

observar a adequação desse instrumento didático à sua prática pedagógica, ao seu aluno e ao

projeto político-pedagógico de sua escola.

A escolha dos livros didáticos que serão objetos de análise nessa dissertação teve

subsídio em consulta aos catálogos: Programa Nacional do Livro Didático (PNLD)9 e

Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM)10.

Os autores dos livros escolhidos para análise têm coleções indicadas nesses catálogos,

fato relevante diante da diversidade de livros e autores para o ensino de Matemática. Outro

9 O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) tem como principal objetivo subsidiar o trabalho pedagógico dos professores por meio da distribuição de coleções de livros didáticos aos alunos da Educação Básica. Após a avaliação das obras, o Ministério da Educação (MEC) publica o Guia de Livros Didáticos com resenhas das coleções consideradas aprovadas. O guia é encaminhado às escolas, que escolhem, entre os títulos disponíveis, aqueles que melhor atendem ao seu projeto político pedagógico. BRASIL. MEC. Programa Nacional do Livro Didático. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=668&id=12391&option=com_content&view=article. Acesso: 13 dez. 2010. 10 Implantado em 2004, pela Resolução nº 38 do FNDE, o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM) previa a universalização de livros didáticos para os alunos do Ensino Médio público de todo o país. A partir de 2011, a nomenclatura passou a ser PNLD tanto para livros didáticos do Ensino Fundamental quanto para os do Ensino Médio.

64

aspecto importante é que os livros desses catálogos são distribuídos para todas as escolas

públicas atingindo um público considerável de professores, disseminando, portanto, o

referencial metodológico desses autores.

Ao longo dos últimos anos, e, notadamente após as avaliações realizadas pelo MEC11,

o livro didático vem passando por mudanças, quer no conteúdo selecionado quer na

abordagem que vem sendo dada a esses conteúdos. Convém ressaltar que o PNLD sofreu

várias modificações, mas a escolha do livro pelo professor, no contexto de sua escola, sempre

foi mantida, porque é ele quem vive a experiência da sala de aula, com sua riqueza e seus

desafios.

Percebe-se com isso, que, ao longo das últimas décadas, alguns livros didáticos de

Matemática, segundo Varizo (1999):

[...] foram sendo escritos sem muita preocupação com as questões pedagógicas ou matemáticas. Um autor tomava o livro anterior e, ao reproduzi-lo, acrescentava alguma informação nova, ou retirava outra informação. Um autor repetia o mesmo procedimento sobre o texto anterior. Outros autores optavam por modificar apenas a ordem de apresentação do conteúdo. O pior é que esse fato, às vezes, acontecia com o mesmo autor. (VARIZO, 1999, p.135).

Assim, com essas mudanças, muitos livros, embora tenham ficado mais atraentes no

sentido gráfico, foram perdendo a qualidade e o rigor matemático necessários.

O livro didático, diante do exposto, tem sido um apoio importante para o trabalho do

professor e uma fonte permanente para a aprendizagem do aluno. Por isso, sua escolha

reveste-se de muita responsabilidade, que deve ser compartilhada com os docentes e

dirigentes de cada escola.

Reconhece-se, então, a importância dos Livros Didáticos de Matemática – e

consequentemente dos trabalhos que abordam esse tema – com a consciência de que se

constituem um dentre os diversos influenciadores do processo de Educação Matemática

escolar, percebendo-se a necessidade de que as análises dos tópicos mencionados nas coleções

– pela sua importância – sejam foco de uma reflexão metodológica. Assim, o objetivo ao

serem analisados os tópicos composição e/ou decomposição de figuras planas no processo de

ensino e aprendizagem é propor uma reflexão metodológica acerca da teoria dos Van Hiele.

Foram escolhidas duas coleções do Ensino Fundamental do ano de 2010 e outras duas

do Ensino Médio, do ano de 2011 para verificação, pois são de autores conceituados, de

11 As avaliações as quais o pesquisador se refere tratam-se das últimas avaliações de livro didático realizadas pelo MEC, quer sejam: 2010 para livros didáticos para o Ensino Fundamental e 2011 para o Ensino Médio.

65

grande referência no Estado de Minas Gerais e por apresentarem propostas metodológicas

diferentes uma da outra.

4.1.1 Verificação do tópico Composição e Decomposição nos Livros – Ensino Fundamental

4.1.1.1 Coleção: Tudo é Matemática

Autor: Luiz Roberto Dante Editora: Ática

A coleção é composta por quatro volumes (do 6º ao 9º anos). Cada volume está

dividido em capítulos, com foco em um dos campos da Matemática (Números e Operações,

Geometria, Tratamento da Informação, Álgebra e Grandezas e Medidas). A Geometria, um

destes, está presente em toda a obra, sendo que o tópico composição e/ou decomposição de

figuras planas está inserido de forma gradual em todos os volumes, conforme figura abaixo.

Fonte: Guia de Livros Didáticos – PNLD 2011

As figuras planas são estudadas com base em planificações de figuras tridimensionais.

Buscando-se, sempre, levar o aluno a observar a Geometria em imagens ou desenhos

presentes no texto, para, em seguida, incentivar a construção da composição e/ou

decomposição das mesmas. Atividades envolvendo cálculo mental e por estimativas, o uso de

materiais concretos, da calculadora e de recursos tecnológicos também são valorizados na

Figura 3: Percentual dos campos da Matemática

66

obra. No entanto, há poucas propostas de atividades de manuseio e montagem de modelos

geométricos.

Ao longo da obra, a abordagem intuitiva da Geometria dá lugar à construção do

raciocínio dedutivo. Observa-se, ainda, que a Geometria é constantemente retomada,

indicando que o autor demonstra o cuidado em trabalhar com o desenvolvimento do conceito

a partir de situações simples de contagem por meio da malha quadriculada, partindo,

posteriormente, para uma indução a partir de recortes, transformando figuras e comparando

suas áreas e perímetros.

Já nas séries finais, o autor aborda a abstração em conformidade com a teoria dos Van

Hiele, o que mostra que o conceito geométrico estudado e desenvolvido a partir de situações

problematizadoras faz com que o aluno construa significativamente o conceito. A forma

simples desenvolvida nos primeiros volumes vai sendo acrescida de possibilidades nos

seguintes, fazendo com que as potencialidades de abstração sejam alcançadas posteriormente.

Percebe-se, portanto, que a Geometria é trabalhada de modo espiral ao longo dos quatro anos,

retomando, ampliando e aprofundando gradativamente os conceitos e procedimentos já

estudados, por meio de revisões cumulativas.

A metodologia de ensino-aprendizagem em relação à Geometria faz uma retomada dos

conceitos trabalhados na coleção e busca levar o aluno a refletir sobre os conhecimentos já

construídos anteriormente. A interação entre os alunos é incentivada por meio da indicação de

trabalhos em duplas e projetos em equipes.

Quanto à linguagem, esta é clara e adequada, sendo a passagem da língua materna para

a linguagem matemática feita de maneira gradual, ao longo dos volumes.

A coleção prioriza, assim, o ensino espiral, no qual um mesmo conceito é retomado

várias vezes nas revisões cumulativas, aprofundado e sistematizado, quer em um mesmo

volume, quer nos volumes seguintes.

O quadro abaixo mostra as prioridades do tema Geometria em cada volume.

67

Quadro 3: Prioridades da Geometria

Fonte: Elaborado pelo autor da pesquisa

VOLUME GEOMETRIA (ESPAÇO E FORMA)

6º Ano

• As regiões planas, sua composição e decomposição são trabalhadas, relacionando-as com sinais de trânsito, geografia, arte e mosaicos. As atividades são feitas por meio de dobraduras, recortes e pintura, estimulando a criatividade do aluno. O trabalho com contornos de figuras planas leva o aluno a conhecer os mais importantes: quadrado, retângulo, triângulo e circunferência.

• São exploradas, intuitivamente, a simetria de uma figura em relação a um eixo, a simetria em alguns contornos, o simétrico de uma figura e a composição de simetrias.

• Inicia-se, neste ano, o estudo com construções geométricas, utilizando-se o papel quadriculado.

7º Ano

• As figuras planas e sua composição são exploradas relacionando-as com Arte (mosaicos e problemas das quatro cores), o que estimula a criatividade do aluno.

• O trabalho com simetria é novamente relembrado, introduzindo-se a simetria central e a simetria espacial (simetria em relação a um plano).

• São feitas revisão, ampliação e aprofundamento das noções geométricas de ângulo e polígono, já trabalhadas no 6º ano.

8º Ano

• Explora o método dedutivo apresentando as primeiras e mais simples demonstrações de propriedades geométricas dos ângulos, triângulos, quadriláteros e circunferências. Com base em experiências concretas, os alunos são levados a compreender a importância e a necessidade de se provar ou demonstrar logicamente uma determinada propriedade para legitimar as hipóteses levantadas.

9º Ano

• Trabalha a ideia de proporcionalidade aplicada à Geometria e desenvolve o conceito de semelhança.

• A homotetia, transformação que preserva ângulos e proporcionalidade entre as medidas dos lados de um polígono, é explorada.

• De posse do conceito de semelhança de triângulos, são estudadas as relações métricas em um triângulo retângulo, chegando à demonstração da relação de Pitágoras. Com isso, muitas situações-problemas são resolvidas.

• Introdução à Trigonometria, focalizando as ideias de tangente, de seno e de cosseno.

68

4.1.1.1.1 Algumas atividades desenvolvidas na obra em que a composição e/ou

decomposição de figuras planas se faz presente

Quadro 4: Questão 1 sobre área e perímetro na obra “Tudo é Matemática 6º ano”

Questão 0112: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas através de estimativa.

Observe as situações abaixo, troque ideias com os colegas para obter as respostas. Vocês

podem fazer uma estimativa.

a)

A área deste terreno é de quantos metros quadrados?

b)

Quantos metros de extensão tem o contorno desta pista de atletismo?

Atenção! Sugerimos abrir discussão com a classe para levantar hipóteses de resolução pelos

alunos. Não há necessidade de que eles cheguem à resposta correta. Esta atividade visa apenas

motivar a sala para o novo aprendizado que se fará ao longo do ano.

Fonte: DANTE, 2008, p.272.

12 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise

69

Quadro 5: Questão 2 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática 6º ano”

Questão 0213: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas com foco em perímetro.

Determine o comprimento da curva que separa a parte pintada da parte em branco.

Resposta: π2 cm ou aproximadamente 6,28 cm.



Questão 0314: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas com foco em área.

Ache a área de cada região tendo como unidade o centímetro quadrado (cm2).

Resposta: A área

das figuras acima

são 4,5 cm2, 4 cm2, 5,5 cm2, 7 cm2 e 4,25 cm2 respectivamente.


13 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise 14 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise.

70


Questão 0415: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas.

A região plana abaixo está dividida em seis regiões: A, B, C, D, E e F.

Escreva uma composição:

a) para obter uma região quadrada.

b) de duas regiões para obter uma região cujo contorno é um trapézio.

c) de três regiões para obter uma região cujo contorno é um trapézio.

Respostas:

a) A, B e C b) C e D ou E e F c) C, D e E


Quadro 8: Questão 5 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Tudo é Matemática

8º ano”

Questão 0516: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas através de estimativa.

Faça uma estimativa e relacione a área da região quadrada EFGH com a área da região

quadrada ABCD. Conte os quadrinhos e confira sua estimativa.

Resposta: A área de EFGH é a metade da área de ABCD (8 é a metade de 16)


15 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise. 16 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise.

71

Pôde-se observar que no volume do 8º Ano, o autor aborda a composição de figuras

planas por meio do recurso de preenchimento de uma superfície plana, conforme descrito

abaixo.

Nesse caso, em um ladrilhamento, as figuras geométricas planas, cujos contornos são

polígonos, devem se encaixar sem que haja espaço entre elas e sem que haja superposição.

Dessa maneira, elas podem ocupar toda a superfície de uma região plana considerada,

preenchendo-a.

Somente três regiões poligonais regulares são passíveis de ladrilhamento, quer sejam:

quadrado, triângulos equiláteros e hexágonos regulares, como é colocado abaixo (FIGURA

4):

Figura 4: Ladrilhamento de regiões poligonais “Tudo é Matemática 8º ano”


Porém, há outros tipos de ladrilhamentos formados pela combinação de duas ou mais

regiões poligonais regulares. Veja esse exemplo constituído por regiões quadradas e

octogonais regulares (FIGURA 5):

Figura 5: Ladrilhamento por combinação de regiões poligonais “Tudo é Matemática 8º ano”


72


Questão 0617: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas no cálculo de perímetro e

área.

A professora Neide distribuiu as seguintes tarefas para os alunos: Márcia e Luiz

deveriam calcular o perímetro da sala, Pedro e Renata teriam de determinar a área de uma

região quadrada.

Cada um usou os conhecimentos que tinha, e todos se saíram muito bem. Veja:


17 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise.

73


Questão 0718: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas no cálculo de área.



74


Questão 0819: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas no cálculo de perímetro

e área.

Resposta: Perímetro: (10 + 3π) cm ou aproximadamente 19,42 cm; área: 12 cm2.

(É possível transformar a região dada em uma região retangular de área equivalente.)




Determine a área da região pintada de azul, considerando que cada quadradinho representa

uma unidade de área.

Resposta: 72 unidades ( 100 – ( 12 + 8 + 8 ) = 100 – 28 = 72)


19 Níveis de Van Hiele presentes na resolução: visualização e análise.


75



Determine a área da figura plana abaixo por dois caminhos diferentes.


4.1.1.2 Coleção: A Conquista da Matemática

Autores: Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora: FTD

Esta coleção organiza-se em 4 volumes (6º ao 9º Ano), sendo cada um dividido em

capítulos, com foco em um dos campos da Matemática. Privilegia-se a Geometria plana e seu

estudo é iniciado com as noções de ponto, reta, plano, ângulos e polígonos. Há atenção à

notação simbólica. Recorre-se, com frequência, a demonstrações, que, geralmente, são bem

conduzidas. No entanto, há situações em que a prova apresentada é incompleta, o que ocorre,

em particular, no Teorema de Tales, pois não é mencionado o caso geral em que os segmentos

não são comensuráveis. Ao longo dos volumes, os conceitos são retomados e ampliados.


76

Figura 6: Percentual dos campos da Matemática


No que se refere à composição e/ou decomposição de figuras planas, privilegia-se

nesta obra a apresentação formal dos conteúdos, sendo dada ênfase à habilidade de cálculo.

São raras as atividades envolvendo cálculo mental e estimativas, pelo que se pôde observar.

Os textos em língua materna são claros e acessíveis. Porém, nota-se a ênfase no uso da

linguagem matemática formal. As ilustrações, de diversos tipos, são pertinentes e favorecem a

compreensão dos conteúdos, como no cálculo da área de figuras planas.

77



Quadro 14: Questão 1 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “A Conquista da Matemática 6º ano”


Considerando como unidade de medida o , a área destacada da figura corresponde a

quantos quadrinhos?

A) 10

B) 12 C) 17 D) 22 Resolução Pelo fato da figura estar sobre a malha quadriculada espera-se que os alunos optem por

contarem quadradinho por quadradinho, uma vez que a referência dada representa a área

de um quadradinho. Logo, conta-se quantos quadradinhos a figura tem e obtém a resposta.

Portanto, alternativa C.

Fonte: GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI JR, 2007, p.27 2.



Um marceneiro deve fazer uma cruz como a da figura. Quantos metros quadrados d madeira

serão necessários para realizar o trabalho?

Resolução

Decompondo a figura em paralelogramos obtemos como resposta 7 m2.

Fonte: GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVVANNI JR, 2007, p.2 84.

22 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise. 23 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise.

78


Questão 0324: Decomposição e/ou Composição de Figuras Planas no cálculo de perímetro.

Observando a figura a seguir, na qual ABCD é um quadrado, determine a distância percorrida

por uma pessoa que sai do vértice A e percorre os contornos das semicircunferências,

retornando ao ponto A. (Observação: Considerar ).14,3=π

A) 36 unidades de comprimento. B) 37 unidades de comprimento. C) 37,68 unidades de comprimento. D) 38,68 unidades de comprimento. E) 39,68 unidades de comprimento. Resolução

Devemos perceber que o que se pede é o perímetro de duas semi-circunferências. A seguir,

reconhecermos que o lado do quadrado é 6, uma vez que a diagonal do quadrado é 26 .

Logo, o raio r das circunferências é 3, metade do lado do quadrado. Esta questão exige

primeiramente, visualização além do reconhecimento da fórmula do comprimento de uma

circunferência, rC ⋅⋅= π2 .

Sendo assim, calcula-se 314,32 ⋅⋅=C 84,18=⇒ C . Como são duas semicircunferências, a

distância percorrida é .68,3784,182 =⋅ Portanto, alternativa C.

Fonte: GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVVANNI JR, 2007, p.3 40.



A área da figura, em centímetros quadrados, é:

A) 11 B) 11,04 C) 11,14 D) 11,24 E) 12,14 Resolução

Ao decompor a figura em dois quadrados e um quarto do círculo, obtém-se como resposta

alternativa C.

Fonte: GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVVANNI JR, 2007, p.3 41. 24 Níveis de Van Hiele presentes na resolução: visualização, análise e dedução informal e dedução formal. 25 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização e análise.

79

4.1.2 Verificação do tópico Composição e Decomposição nos Livros – Ensino Médio

Para a avaliação das obras no PNLD 2012, os tópicos da Matemática do Ensino Médio

foram divididos em seis campos: números e operações; funções; equações algébricas;

Geometria analítica; Geometria; estatística e probabilidades. É importante lembrar que essa

classificação adotada para análise, não é a única possível. No campo da Geometria,

especificamente, os tópicos são: Geometria plana (incluindo trigonometria); Geometria

espacial de posição; poliedros; e as grandezas geométricas.

O Ensino Médio cumpre o papel de ampliação, aprofundamento e organização dos

conhecimentos matemáticos adquiridos no Ensino Fundamental, fase esta em que

predominam, na abordagem da Matemática, os procedimentos indutivos, informais não

rigorosos.

Porém, durante a realização desta pesquisa observou-se pouca exploração da

capacidade de visualização, necessária em estudos posteriores e em muitas profissões, como

as ligadas à mecânica, arquitetura, artes, entre outras.

Em uma análise preliminar das 7 coleções aprovadas no PNLD 2012, verificou-se que

nem todas abordam o tema composição e/ou decomposição de figuras planas de forma

abrangente. Dessa forma, optou-se em destacar aquelas que trazem uma abordagem efetiva

para a compreensão do tema e, em consequência, para a formação geométrica do sujeito.

4.1.2.1 Coleção: Matemática – Contexto & Aplicações

Autor: Luiz Roberto Dante Editora: Ática

Figura 7: Distribuição dos campos da matemática escolar por volume


80



Aproximadamente 10% do livro da 1ª série são dedicados a uma revisão de Geometria

plana, que é feita, em geral, de maneira cuidadosa. Neste volume, é realizada uma retomada

da Geometria plana do Ensino Fundamental, enfocando conceitos, procedimentos e aplicações

fundamentais desse assunto. O autor percorre os conceitos geométricos que sedimentam a

Matemática, tais como: Teorema de Tales, estudo dos polígonos regulares, casos de

congruência de triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras, o

círculo e a circunferência, áreas de superfícies etc, como, por exemplo, a questão 1, do quadro

18.

Quadro 18: Questão 1 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática:

Contextos e Aplicações – vol 1 ” Questão 0126: Decomposição de Figuras Planas no cálculo de área.

Calcule a área do terreno plano usando as medidas dadas.

Resolução:

O terreno foi decomposto em três regiões: uma retangular, uma triangular e outra em

forma de trapézio. A soma das três nos dará a área do terreno.

272612 mAretângulo =⋅=

2152

65mAtriângulo =⋅=

2222

4)38(mAtrapézio =⋅+=

Área total = 72 m2 + 15 m2 + 22 m2 = 109 m2



81

Especialmente no final do volume 3, o autor inclui uma seção de revisão geral do

Ensino Médio, que busca dar suporte ao aluno como vestibulando. Os principais tópicos

matemáticos estudados ao longo de três anos são retomados por meio de pequenos resumos

teóricos, seguidos de 500 questões extraídas dos principais vestibulares do país. Dentre estas,

são contempladas questões que também abordam a composição e/ou decomposição de figuras

planas, focando área e perímetro, exemplificadas nas questões 2 e 3, abaixo:

Quadro 19: Questão 2 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: Contextos e Aplicações – vol 3”

Questão 0227 (UFRJ): Decomposição de Figuras Planas no cálculo de perímetro.

Os 18 retângulos que compõem o quadrado a seguir são todos congruentes.

Sabendo que a medida da área do quadrado é 12 cm2, determine o perímetro de cada retângulo.



82


Contextos e Aplicações – vol 3”

Questão 0328 (UFRES-RS): Decomposição de Figuras Planas no cálculo de área.

Na figura abaixo, os círculos menores são tangentes entre si e aos círculos concêntricos de raio r e R. A área da região sombreada é:

A) ).3(2 22 RrRr +−⋅π

B) ).3(2 22 RrRr +−−⋅π

C) ).32(2 22 RrRr +−−⋅π

D) ).3( 22 RrRr +−⋅π

E) ).32( 22 RrRr +−−⋅π Resolução Para resolver a questão é necessário que o aluno perceba a área sombreada como sendo a diferença entre o Círculo maior e a somatória do círculo intermediário com os 12 menores:

−⋅⋅+⋅−⋅=2

22

212

rRrRA πππ ⇒

+−⋅⋅+⋅−⋅=4

212

2222 rRrR

rRA πππ

]363[ 2222 rRrRrRA πππππ +−+−= ⇒ RrRrA πππ 624 22 +−−=

( )RrRrA 322 22 +−−= π . Portanto, alternativa C.


É importante ressaltar que pelo fato de os dados da questão apresentada acima não

serem numéricos, dificulta a resolução da questão. Como sugestão de atividades de

intervenção pedagógica é interessante discutir questões que facilitem a passagem de dados

aritméticos para algébricos.

28 Níveis de Van Hiele presentes na resolução: visualização, análise, dedução informal e dedução formal.

83

4.1.2.2 Coleção: Matemática Ciência e Aplicações

Autores: David Degenszajn, Gelson Iezzi, Nilze de Almeida, Osvaldo Dolce e Roberto Périgo Editora: Saraiva

Figura 8: Distribuição dos campos da matemática escolar por volume


Nessa obra, a Geometria é trabalhada nos três volumes. No volume 2, os autores

revisam e aprofundam o estudo de área e perímetro das figuras planas tanto acerca de ideias

intuitivas na visualização de desenhos quanto em um tratamento lógico-dedutivo. A

composição e/ou decomposição de figuras planas é vivenciada no volume 2 com questões

nem sempre contextualizadas, conforme questões a seguir:



84

Quadro 21: Questão 1 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas na obra “Matemática: Ciência e Aplicações – vol 2”

Questão 0129: Francineide usou uma folha de papel quadriculado para desenhar a bandeira do Brasil. Ela iniciou o seu desenho construindo o losango central para, então, pintar a sua parte externa, como é mostrado na figura abaixo.

Se as dimensões da folha são 10 cm x 16 cm, determine: a) a medida do lado do losango; b) a área da região pintada de verde.

Fonte: IEZZI et al, 2010, p.228.


Ciência e Aplicações – vol 2” Questão 0230: Considere que Francineide, a garota citada na atividade 1, continuou aqui o desenho da bandeira do Brasil. Agora ela desenhou o círculo da bandeira, tangente a dois segmentos verticais do quadriculado, cujo centro C é o centro do retângulo, conforme mostrado na figura.

Determine a área da superfície da bandeira pintada de amarelo por Francineide, lembrando que as dimensões da folha são 10 cm x 16 cm.

Fonte: IEZZI et al, 2010, p.233.

29 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização, análise e dedução informal. 30 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização, análise e dedução informal.

85


Ciência e Aplicações – vol 2 ” Questão 0331: Em cada caso, calcule a área da superfície colorida:

Fonte: IEZZI et al, 2010, p.238

4.2 Análise do aspecto geométrico composição e/ou decomposição de figuras planas de

algumas questões das avaliações sistêmicas

A Avaliação sistêmica é um modo de avaliação, em grande escala, com o objetivo de

auxiliar políticas no âmbito da Educação. Segundo Dalben (s.d.):

Constitui-se em um mecanismo capaz de fornecer informações, sobre processos e resultados dos sistemas de ensino, às instâncias encarregadas de formular e tomar decisões políticas na área da Educação. É uma estratégia que pode influenciar as qualidades das experiências educativas e a eficiência dos sistemas, evitando o investimento público de maneira intuitiva, desarticulada ou insuficiente para atender às necessidades educacionais. (DALBEN, s.d., p.1).

31 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização, análise, dedução informal e dedução formal.

86

Quadro 24: Questão 1 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas

Questão 01: (OBMEP)32 No retângulo a seguir, A, B e C são pontos médios de seus lados e O é o ponto de encontro de suas diagonais. A área da região sombreada é:

A) 4

1 da área do retângulo.

B) 3


C) 2


D) 5


E) 3


Fonte: BRASIL. OBMEP, 2006

Resolução do pesquisador

Alternativa C

O aluno reconhece que a figura pode ser dividida em quatro partes, percebendo que a

região sombreada possui área igual a da região branca, logo, a área sombreada é metade da

área do retângulo.

32 Níveis de Van Hiele presentes na resolução: visualização e análise.

87


Questão 02: (OBMEP)33 A área do hexágono regular ABCDEF é 45 cm2. Qual é a área do triângulo sombreado?

A) 2,0 cm2

B) 2,5 cm2

C) 3,0 cm2

D) 3,5 cm2

E) 4,0 cm2

FONTE: BRASIL. OBMEP, 2007

Resolução do pesquisador

Alternativa B

A figura pode ser decomposta em 18 triângulos de mesma área, sendo 12 equiláteros e 6

isósceles.

Como a área do hexágono ABCDEF é igual a 45 cm2, basta dividirmos 45 por 18 que

encontraremos 2,5 cm2 para cada triângulo.

33 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização, análise, dedução informal e dedução formal.

88

Quadro 26: Questão 3 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas Questão 03: (OBMEP)34: Na figura, o lado de cada quadradinho mede 1 cm. Qual é a área da região cinza?

A) 10 cm2 B) 12,5 cm2 C) 14,5 cm2 D) 16 cm2 E) 18 cm2

Resolução Alternativa B Uma solução é observar que é possível sobrepor a região branca do quadrado à região cinza, bastando para isso girá-la 180º ao redor do centro do quadrado. Logo elas têm a mesma área, que é igual á metade da área do quadrado, ou seja, .5,12225 2cm=÷ Outra solução é calcular a área da região cinza por partes, como na figura ao lado. Para isso, usamos repetidamente o fato de que a diagonal de um retângulo divide esse retângulo em dois triângulos de mesma área. Na figura, decompomos a região cinza em triângulos e retângulos, indicando em cada um sua área. Logo a área da região cinza é

.5,125,0125,25,0311 2cm=+++++++


34 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização, análise e dedução informal.

89

Quadro 27: Questão 4 sobre decomposição e/ou composição de figuras planas em avaliações sistêmicas Questão 04 (OBMEP)35: Na figura, os lados do quadrado foram divididos em oito partes iguais. Qual é a razão entre a área cinza e a área desse quadrado?

A) 2

1

B) 5

3

C) 8

5

D) 4

3

E) 1 Resolução Alternativa A Na figura vemos que a região cinza tem área igual à soma de oito vezes a área de cada um dos triângulos em cinza escuro. Denotando pó l a medida do lado de cada quadradinho, segue

cada um dos triângulos em cinza escuro tem área .242

1 2lll =××

Logo a área da região cinza é .32216 22 ll =× Como a área do quadrado é 264l , segue que a área da região cinza é metade da área do quadrado, ou seja, a razão entre a área da região cinza e a

área do quadrado é 2

1.


35 Níveis de Van Hiele presentes na questão: visualização, análise, dedução informal e dedução.

90


Questão 05 (OBMEP)36: Um triângulo equilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. A área do hexágono é 6 m2. Qual é a área do triângulo?

A) 2 m2. B) 3 m2. C) 4 m2. D) 5 m2. E) 6 m2.

Resolução Alternativa C Sejam a e bos lados do triângulo e do hexágono, respectivamente. Na figura ao lado vemos o triângulo decomposto em quatro triângulos eqüiláteros congruentes, formados pelos segmentos que ligam os pontos médios de seus de seus lados; o lado de cada um desses triângulos

menores é .2

a Vemos também o hexágono decomposto em seis triângulos eqüiláteros

congruentes, cada um de lado b . Como o perímetro do hexágono e do triângulo são os

mesmos, temos .63 ba = Logo 2

ab = e todos os triângulos menores na figura são congruentes.

Por outro lado, como a área do hexágono é 6 m2, cada triângulo menor tem área 1. Logo a área do triângulo é 4 m2.



91


Questão 06 (OBMEP)37: Na malha retangular ao lado, o perímetro da figura A é 156 cm e o da figura B é 144 cm. Qual é o perímetro da figura C?

A) 125 cm B) 144 cm C) 160 cm D) 172 cm E) 175 cm

Resolução Alternativa B Sejam hb, e d , respectivamente, os comprimentos da base, altura e diagonal dos retângulos da malha. O perímetro da figura A é igual a d12 , donde concluímos que

.1312

156 ==d O perímetro da figura

B é igual a dh 88 + , donde concluímos que dh 88144 += e

.58

8144 =−= dh O teorema de

Pitágoras diz que 222 hbd += e segue que .12144513 22 ==−=b Finalmente o perímetro da figura C é igual a dhb 446 ++ , ou seja, 14413454126 =×+×+× cm.



92


Questão 07 (OBMEP)38: A figura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em cm2, da região cinza?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

Resolução Alternativa D Considere a decomposição do retângulo indicada na figura, e seja aa área do retângulo. As áreas

1B e 2B são iguais, pois correspondem a áreas de triângulos com mesma medida de base e altura; o mesmo ocorre com 3B e 4B .

O triângulo retângulo formado por 1B , 2B e 3B

tem como catetos um lado do retângulo e metade

do outro lado; sua área é então 4

a e temos

4321

aBBB =++ ; o mesmo ocorre com 432 BBB ++ . Logo 432321 BBBBBB ++=++ , o

que implica em 41 BB = . Logo 4321 BBBB === e segue que 4

3 1111

aBBBB ==++ , donde

.121

aB = Por simetria, todas essas conclusões se aplicam a 321 ,, CCC e 4C . Logo

.143

42

3128 2cm

aaaA ===×−=



93


Questão 08 (ENEM)39: Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber

trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por

onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas

no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um

triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo,

conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, á área a ser calçada corresponde

A) à mesma área do triângulo AMC.

B) à mesma área do triângulo BNC.

C) à mesma área formada pelo triângulo ABC.

D) ao dobro da área do triângulo MNC.

E) ao triplo da área do triângulo MNC.

Resolução: Do enunciado, temos a figura, em que S representa a medida da área dos triângulos

congruentes MNC, BPM, NMP e PAN:

BAMN2

1=

ACPM2

1=

BCPN2

1=

Nessas condições, a área de medida 3S a ser calçada corresponde ao triplo da área de medida

S do triângulo MNC. Resposta: E

Fonte: BRASIL. INEP, 2010


94


Questão 09 (ENEM)40: O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça,

constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado.

Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1.

Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas,

como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.

Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3,

que representa uma “casinha”, é igual a

A) 4 cm2.

B) 8 cm2.

C) 12 cm2.

D) 14 cm2.

E) 16 cm2.

Resolução:

Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram as áreas serão iguais,

portanto para descobrir a área da casa basta saber a área do hexágono.

Se um lado do hexágono é igual a 2 cm o seu lado oposto terá o mesmo valor, assim

percebemos pela figura que a soma das áreas dos dois triângulos maiores é igual a 4 cm2, pois

juntos formam um quadrado de lado 2 cm.

Comparando com o Tangram original (figura 1) esses dois triângulos maiores

correspondem à metade da área total de um Tangram.

Concluimos que a área da casa como de qualquer figura construída com o Tangram

obedecendo às regras estabelecidas pelo enunciado será igual a 8 cm2.

Fonte: BRASIL. INEP, 2008


95

5 REFLETINDO SOBRE AS QUESTÕES APLICADAS NO DIAGNÓSTICO

Posteriormente ao trabalho de verificação dos livros didáticos e de algumas questões

de avaliações sistêmicas, foram verificadas as 30 (trinta) questões aplicadas aos alunos de

Ensino Médio, sujeitos desta pesquisa, e que passaram a compor o material de análise

proposto neste trabalho.

Os descritores41 contemplados nos itens referem-se a:

a) Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas (quando o

item tem como foco o cálculo de perímetro);

b) Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas (quando o item

tem como foco o cálculo de área).

Para apresentar os resultados obtidos nas atividades diagnósticas, foram analisadas as

alternativas de cada questão utilizada (gabarito e distratores42). Abaixo seguem as análises de

cada questão; porém, vale a pena ressaltar que esses resultados devem ser analisados sob um

olhar positivo acerca dos erros encontrados já que a partir deles obtém-se condições para a

melhoria das práticas escolares e, consequentemente, do ensino-aprendizado dos sujeitos.

41 O descritor é o detalhamento de uma habilidade cognitiva (em termos de grau de complexidade), que está sempre associada a um conteúdo que o estudante deve dominar na etapa de ensino em análise. Por meio do descritor, pode-se avaliar uma determinada habilidade. (BRASIL. MEC. O que é descritor. Disponível em: www.mslmoreirasalles.seed.pr.gov.br/.../4_provabrasil_e_saeb.ppt . Acesso: 15 dez. 2011). 42 Quando um item é formulado, tem-se a opção correta (descritor); as demais são denominadas distratores. Os distratores dão informações para a análise dos níveis de proficiência, na medida em que procuram focalizar erros comuns na etapa de escolarização. (BRASIL. MEC. O que é descritor. Disponível em: www.mslmoreirasalles.seed.pr.gov.br/.../4_provabrasil_e_saeb.ppt . Acesso: 15 dez. 2011).

96

5.1 Questão 01

Quadro 33: Questão 1 aplicada no diagnóstico

Na figura, vê-se uma semicircunferência de diâmetro AC, no qual foram construídas

as semicircunferências de diâmetro AB e BC, cujas medidas são 6cm e 4cm, respectivamente.

O perímetro da região sombreada, em cm, é

A) π5 .

B) π10 .

C) π19 .

D) π20 .

Fonte: Elaborada pelo pesquisador

5.1.1 Resolução

Para resolver essa questão, os alunos precisam ser capazes de visualizar e analisar as

informações do texto com a figura, devendo perceber a decomposição da figura,

reconhecendo que o que se pede é a somatória do perímetro de cada uma das três

semicircunferências e não a área, apesar de a figura o induzir a pensar dessa forma.

Uma vez memorizado que o comprimento C de uma circunferência é dado pela

fórmula

C = 2⋅ π ⋅ r , o perímetro (P) da região sombreada é dado por

P = π ⋅ 5 + π ⋅ 3 + π ⋅ 2 ⇒ P = 10π

97

5.1.2 análise dos resultados

Observa-se que uma parcela significativa, 65% dos alunos marcaram a alternativa

correta, B. Entretanto, 17% dos alunos confundiram perímetro com área:

π=π=⋅π+⋅π+⋅π19

2

38

2

2

2

3

2

5 222

, o que mostra a defasagem conceitual de perímetro. Os

6% que optaram pela alternativa A calcularam o comprimento do arco AC: π=⋅π5

2

52 ,

evidenciando também falha conceitual de perímetro. Finalmente, os 12% que marcaram a

opção D calcularam os perímetros dos círculos, e não os perímetros dos semi-círculos:

π=π+π+π=⋅π+⋅π+⋅π 204610223252 . Estes, por falta de atenção, erraram na aplicação

da fórmula de comprimento da circunferência, como é mostrado no gráfico 1, a seguir:

Gráfico 1: Resultados da questão 1 de diagnóstico

Fonte: Dados da pesquisa

Nota-se que os 35% dos alunos que erraram o item apresentaram dificuldade de

visualização da figura. Para tanto, os resultados indicam a necessidade de se trabalhar

atividades análogas que enfatizem a decomposição de figuras planas focadas no

reconhecimento de círculo/circunferência.

É importante, diante do exposto, que os alunos saibam aplicar corretamente as

definições de circunferência e círculo e que eles percebam a noção de perímetro como uma

medida de contorno de uma figura plana. Nessa questão, evidenciam-se os níveis de

visualização e análise do modelo de Van Hiele.

98

5.2 Questão 02


Na figura, o retângulo ABCD tem dimensões 15m e 6m e os arcos CE e AF têm

centros nos vértices B e D, respectivamente.

A área da região sombreada, em m², considerando 3=π , é igual a

A) 81.

B) 63.

C) 36.

D) 18.


5.2.1 Resolução

Nessa questão, espera-se que os alunos sejam capazes de visualizar e analisar as

informações do texto com a figura. Eles devem, portanto, perceber a decomposição e

composição da figura, reconhecendo que o que se pede é a área do retângulo menos a metade

da área do círculo (composição de duas partes).

Uma vez que a área do retângulo é o produto da base pela altura e que a do círculo é

2.r⋅π , a resolução da questão é imediata.

99

5.2.2 Análise dos resultados

Novamente, uma parcela significativa, 67%, marcou a alternativa correta C. A

alternativa A foi escolhida por 9% dos alunos, que calcularam a diferença da área do

retângulo pela do comprimento de um arco de raio 6 e ângulo central 90°, demonstrando falta

de domínio de conteúdo. A alternativa B foi escolhida por 18% dos alunos, indicando que eles

calcularam a área do retângulo e subtraíram da área de um setor circular: π− 364

190 = π−990

= 3990 ⋅− = 90 – 27 = 63. Finalmente, os que optaram pela alternativa D calcularam a área do

retângulo e subtraíram duas vezes o comprimento do círculo: 18729062290 =−=⋅⋅⋅− π , o

que é indicado pelo gráfico 2, abaixo:



Os resultados obtidos podem ser indicadores da necessidade de se trabalhar atividades

análogas que enfatizem a decomposição e a composição de figuras planas. Aconselha-se,

então, nesse caso, retomar as definições de círculo, circunferência, quadriláteros,

paralelogramos e retângulos, aplicando o modelo de Van Hiele quanto à visualização e a

análise das figuras apresentadas.

100

5.3 Questão 03


Na figura, a distância entre o ponto O, centro da circunferência, e o lado BC do

triângulo equilátero ABC é 8 cm.

Calcule, em cm2, a área sombreada.


5.3.1 Resolução

A área da região sombreada é igual a diferença entre a área do círculo e a área do

triângulo equilátero. Além da decomposição da figura, alguns fatores justificam o baixo

índice de acertos (GRÁFICO 3), uma vez que o raio do círculo e o lado do triângulo não

foram dados de forma explícita, fazendo com que o grau de dificuldade da questão fosse

maior.

Um dos objetivos da questão é o de relacionar área de figuras planas, sendo exigida

maior habilidade cognitiva para resolução da questão: a extrapolação.

É necessário, para resolver essa questão acertadamente, que os alunos tenham alguns

conhecimentos prévios, entre eles:

a) AP é uma das medianas do triângulo ABC. (Mediana de um triângulo é um

segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto);

b) as três medianas de um triângulo cruzam-se num ponto, que é o baricentro do

triângulo e este divide cada mediana em duas partes, sendo uma o dobro da outra;

c) teorema de Pitágoras;

d) área do Triângulo Equilátero;

e) área do Círculo.

101

Portanto, nessa questão, o aluno que apresenta tais conhecimentos percebe que AO=

OB= 16 (raio do círculo) , dobro do segmento OP= 8, dado no enunciado.

Para essa questão, são, então, apresentadas duas soluções.

5.3.1.1 Primeira solução

Padrão de resposta esperado:

Considerem-se as seguintes construções na figura inicial:

Para se chegar à resposta, é necessário que o aluno visualize a área desejada, como a

diferença entre as áreas do círculo e do triângulo equilátero.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, tem-se 38168 222 =⇒=+ xx

3192123162

24316 =⋅=⋅=ABCA

( ) 22 33464319216 cmASOMBREADA −⋅=−⋅= ππ

5.3.1.2 Segunda solução

Mediante o conhecimento de altura de um triângulo equilátero

2

3l e ciente que

AO é o dobro de OP= 8 cm, conclui-se que 242

3 =l ⇔ =l 316 cm.

Logo, a área da região sombreada é: A = 4

322 l

R −π ⇒ A = 256π – 192 3 cm2 ⇒ A =

64(4π – 3 3 ) cm2.

102


As questões abertas ou de resposta construída são conhecidas também como

dissertativas, discursivas, descritivas ou de resposta livre, em função do seu objetivo. Sua

característica básica é a liberdade de organização da resposta pelo respondente. Nesse caso,

trata-se de uma questão tipo resposta restrita, em que há limites precisos para a resposta e

permite evidenciar, notadamente, a capacidade do aluno de demonstrar conhecimento.

Percebe-se, através do gráfico 3, que a maioria dos alunos (74%) ainda não adquiriu as

competências de associação de conhecimentos prévios acima mencionados.



Sugere-se como atividade de intervenção pedagógica, questões envolvendo a

decomposição de figuras planas, enfatizando pontos notáveis de um triângulo (medianas e

baricentro, bissetrizes e incentro, alturas e ortocentro, mediatrizes e circuncentro), bem como

o Teorema de Pitágoras. Para isso, deve-se utilizar o modelo de Van Hiele, que trabalha a

visualização, a análise, a dedução informal e a dedução.

103

5.4 Questão 04


Uma região R a ser cultivada está representada na malha quadriculada seguinte.

Se a malha é quadriculada com quadrados de lados iguais a 1 km, então, a área, em

km2, da região a ser cultivada, é:

A) 29.

B) 31.

C) 34.

D) 40.

FONTE: UNESP, 2000

5.4.1 Resolução

Essa é uma questão que verifica a capacidade de os alunos decomporem a figura em

polígonos triangulares e quadrangulares. Sendo assim, os pré requisitos são básicos (área do

triângulo, área do retângulo, área do quadrado, área do trapézio etc). Para essa questão são

apresentadas duas soluções.


Mediante esses conhecimentos, uma possível solução é iniciar a resolução

decompondo a figura em um trapézio e em um triângulo.

Considerando RA , como a área da região a ser cultivada, tem-se:

104

TriânguloTrapézioR ÁreaÁreaA +=

2

27

2

3)610( ⋅+⋅+=RA

724 +=RA

231 kmAR =

Utilizando essa estratégia de decomposição, têm-se outras maneiras de se chegar à

resposta.


Pelo fato de a figura estar sobre a malha quadriculada, esperava-se um alto índice de

acerto, pois muitos alunos, ao se depararem com esse tipo de questão, optam por contarem

quadradinho por quadradinho, uma vez que a referência dada (1x1) representa a sua área.

Logo, conta-se quantos quadradinhos a figura tem e, por aproximações, obtém-se a resposta.


No gráfico da questão 4, abaixo, são apresentados os resultados que demonstram o

percentual de acertos dos alunos e, sobretudo, os distratores, o que revela, assim,

capacidades específicas dos alunos na reflexão sobre a questão.

105



Com base nos dados dos alunos que acertaram, é possível estabelecer um conjunto de

saberes que podem ser atribuídos às capacidades específicas dos educandos como, por

exemplo, a presença da malha quadriculada que possibilita a decomposição da figura em

polígonos triangulares e quadrangulares. Diante dessa habilidade, o aluno pode solucionar a

questão, conforme citado na primeira solução, ou ainda, utilizando-se da habilidade de mera

contagem dos quadradinhos, como informa a segunda solução.

No entanto, para os alunos que optaram pelos distratores das alternativas A, C e D,

percebe-se que eles possivelmente os marcaram por não apresentarem habilidades iniciais de

leitura da questão, como, por exemplo, localizar informações explícitas em um enunciado ou,

ainda, desconhecerem o conceito de área ou, até mesmo, a falta de atenção.

Diante do que foi exposto, nota-se que o índice de acertos (82%) é bem relevante,

conforme dados estatísticos, demonstrando um domínio razoável para a baixa complexidade

da questão, o que provavelmente foi uma das causas do maior número de acertos.

Como proposta de intervenção pedagógica, sugere-se que seja realizado um trabalho

que explore a decomposição de figuras planas, por meio do qual os alunos façam

aproximações de áreas ocupadas por cada uma das figuras utilizando a malha quadriculada.

Portanto, nessa atividade, é necessária uma intervenção que trabalhe a visualização, a

análise e a dedução informal, conforme o modelo de Van Hiele.

106

5.5 Questão 05


Na figura, o setor circular de centro A e raio 5 cm está inscrito no triângulo ABC

retângulo em B:

Considerando-se que a medida do ângulo BAC é 60º e que a medida do segmento PC

é de 5 cm, CALCULE , em centímetros, o perímetro da região sombreada


5.5.1 Resolução

O item se propõe a avaliar a competência de determinar o perímetro da região

sombreada, utilizando-se da decomposição do triângulo, tendo como habilidades cognitivas,

compreensão, interpretação e extrapolação, para resolução da questão.

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, tem-se:

222BCABAC +=

102 = 52 + 2

BC

BC = 35 cm

A medida do arco BP é obtida por meio da fórmula do comprimento da

circunferência, dividida por 6, logo, o arco BP é 3

5π.

Sendo assim, o perímetro da região sombreada, em cm, é:

P = 5 3 +5+3

5π ⇒ P =

++3

135π

107


Observa-se, no gráfico abaixo, que 32% dos alunos acertaram parcialmente a questão,

pois cometeram alguns erros que merecem citação:

a) Calcularam o perímetro do triângulo e subtraíram do comprimento do arco:

−+⋅3

335π

.

b) Calcularam a somatória: __

BC+ __

CP + área do setor circular =

++⋅6

5135

π.

c) Calcularam o perímetro do triângulo e subtraíram a área do setor circular:

−+⋅6

5335

π.




que explore a decomposição de figuras planas, que retomem a definição de setor circular,

articulada com o Teorema de Pitágoras. Assim, o modelo de Van Hiele pode ser aplicado em

relação à visualização, à analise e à dedução informal e dedução.

108

5.6 Questão 06


Na figura está representado o retângulo ABCD cuja diagonal AC foi dividida em três

partes iguais pelos pontos P e Q.

Considerando-se que 12___

=BC e 9=CD é CORRETO afirmar que a área do

triângulo CDQ é

A) 18.

B) 18,75.

C) 22,50.

D) 45.


5.6.1 Resolução


Trata-se de um item de nível elevado, pois o aluno precisa ter uma abstração capaz de

visualizar uma reta, passando por D, paralela ao segmento AC.

Entende-se, assim, que todo segmento perpendicular às duas retas é a altura. Inferir

essa definição não é fácil. Além disso, o aluno deve ter o domínio de que a área de um

109

triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta

paralela à base. Finalmente, quando duas figuras possuem mesma área, dizemos que elas são

equivalentes. A questão apresenta como habilidades cognitivas primordiais a compreensão,

interpretação e extrapolação.

A decomposição da figura se faz presente, uma vez que, primeiramente, decompõe-

se o retângulo em duas partes iguais, através da diagonal AC e, posteriormente, uma nova

decomposição em três partes iguais, pois os triângulos ADP, PDQ e QDC possuem mesma

base e mesma altura, logo, são congruentes e possuem área igual a 18, portanto alternativa

correta é a A.


É alarmante observar que mais de 70% dos alunos escolheram as opções B, C ou D,

como é indicado no gráfico 6, a seguir, o que pode demonstrar que esses alunos não possuem

a habilidade abstrata de visualização.



Os alunos que marcaram a alternativa incorreta B, consideraram a altura do triângulo

ACD como a metade da diagonal do retângulo: 75,182

55,7 =⋅. Verificou-se, ainda, que 32%

110

consideraram a base do triângulo como 5 e a altura 9. Portanto, 5,222

95 =⋅, marcando a

alternativa C. Finalmente, 18% que optaram pela alternativa D, consideraram a base do

triângulo como 5 e a altura 9, e esqueceram de dividir por 2. Logo 4559 =⋅ .

Tendo em vista os resultados, sugere-se que, em sala de aula, trabalhe-se mais

frequentemente com questões abstratas, de modo a estimular a elaboração da habilidade

requerida pelo item: decomposição de figuras planas, que permitam o reconhecimento da

altura de um triângulo, bem como o conceito de equivalência de triângulos. As atividades

selecionadas para a intervenção devem seguir o modelo de Van Hiele para que proporcionem

a visualização, a análise, a dedução informal e a dedução.

5.7 Questão 07


Na figura, a circunferência de diâmetro AB e Centro O tem raio igual a r, r > 0. O arco OB é

uma semi circunferência. O valor da área da figura sombreada é:

A) 8

3 π r2.

B) π8

1r2.

C) π4

1r2.

D) π2

1r2.

Fonte: UFAC, 2005

5.7.1 Resolução

111

Para resolver a questão, é necessário que o aluno visualize a área desejada, como a

diferença das áreas dos semicírculos maior e menor. Assim:

22

MenorCírculodoÁreaMaiorCírculodoÁreaSombreadaÁrea −=

Considerem-se sA , a área sombreada.

22

22 rRAs

⋅−⋅= ππ

22

2

2

2

⋅−⋅=

r

rAs

ππ

2

1

42

22

⋅⋅−⋅= rrAs

ππ

8

4 22 rrAS

⋅−⋅⋅= ππ

2

8

3rAS ⋅= π


A alternativa correta A foi marcada por 41% dos alunos (GRÁFICO 7). Porém, torna-

se importante ressaltar que, pelo fato de os dados não serem numéricos, a resolução da

questão acabou dificultada.

112



Como sugestão de atividades de intervenção pedagógica, é interessante discutir

questões que facilitem a passagem de dados aritméticos para algébricos. Na elaboração dessas

atividades, para tanto, fazem-se necessárias a visualização, a análise, a dedução informal e a

dedução, conforme modelo de Van Hiele.

5.8 Questão 08


Observe a figura:

Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC,

CD, DE, EF, FG, GH e HA congruentes. O valor da área sombreada, em função de r, é

A) ).2(2 −πr

B) ).1(2 2 −πr

C) .2 2r

D) ).1(2 −πr

Fonte: UFMG, 1997

5.8.1 Resolução

113

Dado que os arcos são todos congruentes, então, podemos calcular os ângulos centrais:

A circunferência completa mede 360º, ou seja, 360º equivale a 8 arcos, logo, 1 arco equivale a

360º/8, que dá 45º.

Portanto, 45º é a medida de cada um dos ângulos de cada triângulo retângulo. Isso

indica que cada triângulo retângulo é isósceles (têm catetos iguais). Então, para cada

triângulo:

)( círculodoraiorhipotenusa= acateto=

222 aar +=

22 2ar =

2

ra =

2

2

2⋅= r

a

2

2ra =

Percebe-se que na composição de dois triângulos obtém-se um quadrado.

A área sombreada, por sua vez, é obtida pela diferença entre a área do círculo e quatro

vezes a área do quadrado, logo:

QuadradodoÁreaCírculodoÁreaSombreadaÁrea ⋅−= 4

Seja sA a área sombreada.

2

2

2

24

⋅−⋅= r

rAs π

4

24

22 ⋅⋅−⋅= r

rAs π

22 2rrAs −⋅=π ( )22 −= πrAs


114

Constatou-se, no decorrer da pesquisa, que 47% marcaram a opção correta A,

demonstrando habilidades de reconhecimento de arcos congruentes e cálculos de área de

figuras planas, como é indicado no gráfico 8, abaixo:



É interessante que o professor trabalhe com atividades similares em que tanto a

composição quanto a decomposição de figuras planas se façam presentes, permitindo aos

alunos poderem retomar propriedades de círculo, circunferência, quadrado, Teorema de

Pitágoras e relações entre arcos e ângulos centrais. Todas as atividades devem seguir o

modelo de Van Hiele quanto à visualização, à analise, à dedução informal e à dedução.

115

5.9 Questão 09


Na figura I , está representado um retângulo, cuja base mede 25 cm e cuja altura mede

9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões α , β e γ .

Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser reagrupadas,

formando um quadrado, como mostrado na Figura II .

Então, é CORRETO afirmar que a área da região α , em cm2, mede

A) 24 .

B) 28.

C) 30.

D) 32.

Fonte: UFMG, 2007

5.9.1 Resolução

Para essa questão, apresentam-se duas soluções:


Sejam x e y, respectivamente, a altura e base da região α , que é um triângulo.

Como a base do retângulo dado na Figura I mede 25 cm, segue-se que a base da região

γ mede 25 – y. Assim, como a Figura II representa um quadrado e a altura do retângulo I

mede 9 cm, temos a relação:

9 + x = 25 – y ⇔ x + y = 16.

Como as regiões são reagrupadas sem que haja qualquer superposição delas, as áreas

das figuras I e II são iguais. Logo, tem-se a igualdade:

116

(9 +x)2 = 9 . 25 ⇒ 9 + x = ± 3 . 5 ⇒ x = – 9± 15.

Como as grandezas do triângulo são positivas, o valor negativo é descartado.

Logo, x = 6 .

Dado que x + y = 16 , obtemos que y = 10.

Assim, a área do triângulo α é

.302

10.6

2

. 2cmyx

A ===α

Portanto, a alternativa correta é a C.


Para a resolução desta questão, é necessário que o aluno tenha capacidade de lidar com

os seguintes conteúdos: razão e proporção, semelhança de triângulos e propriedades de

quadriláteros.

Como as dimensões do retângulo I são 25 cm e 9 cm, sua área é igual a 25. 9 = 225

cm². Esse valor equivale ao da figura II, uma vez que as regiões são reagrupadas sem que haja

qualquer superposição. Logo, o quadrado (Figura II) possui lado igual a 15 cm. Dessa forma,

o triângulo α tem altura 6, conforme se observa na figura abaixo:

A partir da semelhança de triângulos, determina-se o valor de x:

103

2

159

6

15=⇒=⇒= x

xx

Logo, a área do triângulo α é 302

610 =⋅cm². A alternativa correta é a letra C.

117


A alternativa correta C foi escolhida por apenas 35% dos alunos, indicando que a

maioria dos estudantes obteve um rendimento insatisfatório no item. Acredita-se que uma

razão para isso poderia ser a dificuldade de os estudantes em sobrepor figuras planas ou

interpretar corretamente a questão proposta. (GRÁFICO 9).



Para ajudar os alunos a superar as dificuldades encontradas, atividades similares que

instiguem a decomposição e a composição de figuras planas podem ser trabalhadas,

priorizando os conceitos de equivalência, comparação e sobreposição de figuras, bem como

área de figuras planas. Vale ressaltar que todas as atividades devem seguir os níveis de Van

Hiele quanto à visualização, à analise, à dedução informal e à dedução.

118

5.10 Questão 10


De uma placa de 16 cm2, foi recortada uma peça, conforme indicado na figura.

A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:

A) 4.

B) 5.

C) 6.

D) 7.

Fonte: PUC MG

5.10.1 Resolução

Essa é uma questão análoga à questão 04. Ela tem o ojetivo de verificar a capacidade

dos alunos de decompor a figura em polígonos triangulares e/ou quadrangulares. Sendo

assim, os pré requisitos exigidos são básicos (área do triângulo, área do retângulo, área do

quadrado, área do trapézio). Mediante esses conhecimentos, uma possível solução é iniciar a

resolução decompondo a figura em um trapézio e em um triângulo.

119

TriângulodoÁreaTrapéziodoÁreacortadaÁrea +=Re

( )22

RehbhbB

cortadaÁrera⋅+⋅+=

( )2

22

2

213Re

⋅+⋅+=cortadaÁrea

24Re +=cortadaÁrea 26Re cmcortadaÁrea =

Utilizando dessa estratégia de decomposição, têm-se, ainda, outras maneiras de se

chegar à resposta.


O gráfico abaixo informa que 76% dos alunos acertaram o item, demonstrando

habilidade em resolver problemas envolvendo o cálculo de área de figuras planas sobre a

malha quadriculada.



120


que explore a decomposição de figuras planas, por meio do qual os alunos façam

aproximações de áreas ocupadas por cada uma das figuras utilizando a malha quadriculada.

Portanto, nessa atividade, é necessária uma intervenção que trabalhe a visualização, a

análise e a dedução informal, conforme o modelo de Van Hiele.

5.11 Questão 11


Nessa figura, o triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2:

Então, a área da região hachurada é:

A) .3

334 −π

B) .3

332 −π

C) .3

343 −π

D) .3

323 −π

Fonte: UFMG, 2003

121

5.11.1 Resolução

Considere as seguintes construções na figura inicial:

A área da região hachurada é igual a um terço da diferença entre a área do círculo e a

área do triângulo ABC. Como a única medida fornecida é o valor do raio r, deve-se escrever o

lado CB do triângulo, de medida igual a l , e sua altura AH, de medida igual a h , necessários

para o cálculo de sua área, em função do raio da circunferência. A altura do triângulo é igual à

soma de seu apótema, a= OH, com o raio, r = AO, da circunferência. Assim, deve-se

escrever o apótema em função do raio.

O triângulo ABC é equilátero e está inscrito na circunferência. O segmento OH= a = 1,

pois representa 3

1 da altura. Como o segmento AO = r = 2 , tem-se que h= 3.

Utilizando-se do Teorema de Pitágoras, chega-se a:

222 HBOHOB +=

222 12 HB+=

214 HB=−

3=HB , logo, o lado do triângulo é l = 32

( )TriângulodoÁreaCírculodoÁreahachuradaÁrea −⋅=3

1

−⋅⋅=

4

3

3

1 22 l

rhachuradaÁrea π

( )

−⋅=

4

3324

3

12

πhachuradaÁrea

122

−⋅=

4

3124

3

1 πhachuradaÁrea

( )3343

1 −⋅= πhachuradaÁrea

3

334 −= πhachuradaÁrea


O índice de acerto desse item foi de 69%, como pode ser visto no gráfico abaixo, e

indica a compreensão do enunciado, bem como a visualização da região a ser calculada a área.

Pode-se, então, pensar que as respostas incorretas deveram-se à incapacidade de interpretar o

enunciado ou à dificuldade de aquisição de conceitos ou até de mesmo de efetuar cálculos.



Sugere-se como intervenções pedagógicas, atividades que envolvam a decomposição

de figuras planas enfatizando a área do triângulo equilátero, do círculo, setor circular e que

retomem o Teorema de Pitágoras, bem como os as particularidades do ponto notável do

triângulo, o baricentro.

123

Nessa questão são evidenciados como níveis do modelo Van Hiele presentes na

resolução: visualização, análise, dedução informal e dedução.

5.12 Questão 12


Observe a figura:

Um quadrado de área A está circunscrito a uma circunferência de centro O. Se

inscrevermos outro quadrado à mesma circunferência, sua área será igual a:

A) 2

A

B) 3

A

C) 2

3A

D) 3

3A

Fonte: CEFET, 2000

124

5.12.1 Resolução

Para tal questão, são apresentadas duas soluções:


Considerando-se as seguintes construções na figura inicial, observa-se que o lado do

quadrado circunscrito à circunferência é igual a 2R, logo, sua área é de 4R2.

Sendo assim, o raio da circunferência também é R. Analisando o quadrado inscrito à

circunferência, conclui-se que a metade de sua diagonal também é R.

Aplicando-se o teorema de Pitágoras tem-se:

2R = y2 + y2

2R = 2y2

y = 2

R

Seja A, á área do quadrado menor:

2)2( yA =

125

24yA =

2

24

⋅= RA

24

2RA ⋅=

22 RA ⋅=

Sabendo-se que a área do quadrado circunscrito é de 4π 2R = A, conclui-se que a área

do quadrado menor é 2

A.


Considerando as seguintes construções na figura inicial, e L o lado do quadrado inscrito à

circunferência, chega-se à conclusão de que sua diagonal é d = 2L .

. Observa-se, ainda, que a diagonal do quadrado inscrito à circunferência também é o

diâmetro da circunferência que, por sua vez, é o lado do quadrado circunscrito à

circunferência, logo:

ALL =⋅ 22 ⇒ AL =⋅ 22 ⇒2

2 AL = .


Observa-se no gráfico a seguir que 53% dos alunos optaram pela alternativa correta,

demonstrando terem desenvolvido as habilidades avaliadas: visualização, cálculo de área de

círculo e do quadrado. No entanto, é preocupante o fato de que 47% não apresentaram as

habilidades citadas.

126



Sugere-se a execução de atividades que envolvam inscrição e circunscrição de figuras

planas (quadrado, circunferência e círculo), em que a composição e/ou a decomposição de

figuras planas se façam presentes. É importante revisar, também, o Teorema de Pitágoras,

bem como a semelhança e a congruência de triângulos.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes nessa resolução são: visualização, análise,

dedução informal e dedução.

5.13 Questão 13


Na figura, o retângulo ABCD está inscrito na semicircunferência de centro na origem

O. Sabendo-se que as coordenadas do ponto A, são (– 4, 3) e que π = 3,14 , a área hachurada

é igual a:

A) 12,75. B) 15,25. C) 18,50. D) 20,25.

Fonte: CEFET, 2000

127

5.13.1 Resolução

Considerando as seguintes construções na figura inicial, pode-se afirmar que o item

explora a capacidade de articulação da Geometria Plana com a Geometria Analítica.

Então:

tângulodoÁreaosemicírculdoÁreahachuradaÁrea Re−=

alturabaseR

hachuradaÁrea ⋅−⋅=2

2π

382

52

⋅−⋅= πhachuradaÁrea

242

2514,3 −⋅=hachuradaÁrea

2425,39 −=hachuradaÁrea

25,15=hachuradaÁrea


Observa-se que 66% dos alunos foram capazes de reconhecer “o triângulo retângulo”

inscrito na figura, o que facilitou a resolução. Percebe-se, assim, que, mesmo tratando-se de

um problema relativamente simples que articula a Geometria Plana com a Geometria

Analítica, tem-se um percentual bastante expressivo de respostas incorretas (34%),

considerando-se que esses alunos estão terminando o Ensino Médio.

128



A sugestão que emerge da análise dos resultados é que, durante o trabalho com a

decomposição de figuras planas, o professor pode propor outras atividades que explorem a

capacidade de articulação da Geometria Plana com a Geometria Analítica e que retomem a

localização de pontos no plano cartesiano, o Teorema de Pitágoras, o cálculo de área de

figuras planas, em especial a do círculo e a do retângulo.

Os níveis de Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise, dedução

informal e dedução.

129

5.14 Questão 14


Na figura a seguir, tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a

área do quadrado interno, subtraindo da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos.

Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x, na qual o valor mínimo de A é

A) 16 2cm

B) 24 2cm

C) 28 2cm

D) 32 2cm

Fonte: PUC CAMPINAS, 1995

5.14.1 Resolução

Para resolver esta questão, o aluno precisa ter conhecimentos sobre função do 2º grau,

além de área de figuras. Conforme sugestão do enunciado, a área A pode ser determinada pela

diferença das áreas do quadrado maior e dos quatro triângulos, da seguinte forma:

242 alturabase

lA⋅⋅−=

( )2

8482 xx

A−⋅⋅−=

( )xxA −⋅⋅−= 8264

130

221664 xxA +−=

64162 2 +−= xxA

O valor mínimo de A é dado pelo vy do vértice. Logo:

064162 2 =+− xx

⇒ cab ⋅⋅−=∆ 42

⇒ 512256 −=∆ ⇒

256−=∆

ayv 4

∆−= 8

256=⇒ vy ⇒ 32=vy


Esse item merece atenção especial, uma vez que apenas 15% dos alunos foram

capazes de resolvê-lo. Outro dado relevante é que o distrator da letra A foi a escolha da

maioria dos alunos. Estes, pelo observado, ao considerarem a função y = 2x2 –16x +64 como

uma equação: 2x2 – 16x + 64 = 0 , na qual dividiram ambos os membros por 2, esqueceram

que estariam dividindo a área por 2. Consequentemente, a área mínima foi reduzida à metade.



( ) 642416 2 ⋅⋅−−=∆

131

É importante ressaltar que, boa parte dos estudantes pensa, em geral, que um problema

sobre áreas significa sempre calcular a área de alguma figura. Na verdade, não é só isso, já

que a ferramenta “área” pode ser usada na solução de diversos problemas de Geometria plana

de aparência complicada, como neste item43.

Sugere-se, portanto, como atividades de intervenção pedagógica, questões que

envolvam composição e/ou decomposição de figuras planas, em um nível mais elevado,

articulando conceitos de área e de função polinomial do 2º grau, focando no mínimo e/ou

máximo de uma função.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes nessa resolução são: visualização, análise,


5.15 Questão 15


Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme é

mostrado na figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados

em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é:

A) 98.

B) 102.

C) 108.

D) 112.

Fonte: PUC SP, 1995

43 Esses aspectos foram evidenciados pelo pesquisador, a partir das falas dos alunos entrevistados informalmente por ele.

132

5.15.1 Resolução

Indicando por Sas respectivas áreas, tem-se:

AEFABCDEFGHIJKL SSS ⋅−= 4

2

444122 ⋅⋅−=EFGHIJKLS

32144 −=EFGHIJKLS

2112cmSEFGHIJKL =


Observa-se que 59% dos alunos foram capazes de reconhecer o reagrupamento da

figura, bem como fazer os cálculos de forma correta, obtendo como resposta a alternativa D.

Percebe-se, porém, que, mesmo tratando-se de um problema aparentemente simples, tem-se

um percentual bastante expressivo de respostas incorretas (41%), como é colocado no gráfico

15, abaixo:



133

Propõe-se uma intervenção com atividades análogas que envolvam composição e/ou

decomposição, envolvendo área de figuras planas.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise,


5.16 Questão 16


Cada quadradinho do quadriculado tem 4cm de lado. O perímetro da figura

hachurada, em cm é: (considere 2 = 1,4).

A) 40.

B) 52.

C) 82.

D) 92.

Fonte: PUC MG, 2002

5.16.1 Resolução

Verificando as seguintes construções na figura inicial e indicando por Po perímetro

da figura hachurada, tem-se que:

134

24546 ⋅+⋅=P

22024 +=P

4,12024 ⋅+=P

2824 +=P

cmP 52=


O gráfico abaixo informa que 75% de alunos acertaram o item, demonstrando

habilidade em resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas sobre a

malha quadriculada.



135

Em vista dos resultados, sugerem-se atividades que abordem o comprimento de uma

figura poligonal fechada fazendo uso de aproximações de números irracionais. É importante,

porém, o reconhecimento da diagonal de cada quadradinho, utilizando a malha

quadriculada.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são a visualização e a

análise.

5.17 Questão 17


A área da figura hachurada, onde r = 2 m, vale, em metros quadrados:

A) 4π

B) 6π

C) 8π

D) 10π

FONTE: Elaborada pelo pesquisador

5.17.1 Resolução

Considerando-se as seguintes construções na figura inicial e indicando por CA a área

do semicírculo maior da figura colorida, tem-se:

136

2

2RAC

⋅= π

2

42⋅= πCA

28 mAC π=


Observa-se que 81% dos alunos avaliados acertaram o item, escolhendo a alternativa

C, como é indicado no gráfico 17:



.

137

Apesar de ser um item de fácil visualização, interpretação e resolução, nota-se que um

número significativo de alunos ainda não desenvolveu conceitos básicos, uma vez que o item

envolve apenas figuras circulares.

Portanto, como sugestão de atividades, aconselha-se desenvolver questões que

enfatizem a composição de figuras planas focadas no reconhecimento de círculo ou

circunferência.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são: visualização e análise.

5.18 Questão 18


Um cavalo encontra-se preso em um cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado,

com lados medindo 50 m. Ele está amarrado a uma corda de 40 m, fixada num dos cantos do

quadrado.

Considerando π = 3,14 a área, em m2, da região do cercado que o cavalo não

conseguirá alcançar, por estar amarrado, é:

A) 1444

B) 1424

C) 1156

D) 1244

FONTE: UNESP, 1999.

138

5.18.1 Resolução

Indicando por CA a área desejada, tem-se que:

4

CírculodoÁreaQuadradodoÁreaAC −=

4

4050

22 ⋅−= π

CA

π4002500−=CA

14,34002500 ⋅−=CA

12562500−=CA

21244mAC =


O gráfico a seguir informa que 66% de alunos acertaram o item, demonstrando

habilidade em resolver problema envolvendo área de círculo e de quadrado. O índice

relativamente “bom”, de acertos pode estar relacionado ao fato de que, na figura, estão

explícitos todos os dados necessários para a resolução da questão proposta (GRÁFICO 18).



139

Julga-se importante, nesse caso específico, que, em sala de aula, o professor proponha

atividades com figuras diversas e contextos significativos para o aluno.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são: a visualização, a análise, a

dedução informal e a dedução.

5.19 Questão 19


Considere que os ângulos de todos os cantos da figura abaixo são retos e que todos os

arcos são arcos de circunferências de raio 2, com centros sobre os pontos em destaque.

Nesse caso, a área da região sombreada é igual a:

A) 4.

B) 4π .

C) 16.

D) 16π .

FONTE: Elaborada pelo pesquisador

5.19.1 Resolução

Considerando as seguintes construções na figura inicial e indicando por SA a área

sombreada, tem-se duas opções de reagrupamento da região sombreada mencionada no texto,

quer sejam:

140

a)

b) 2lAS = 24=SA

16=SA


Os resultados mostram que 63% dos alunos responderam corretamente a questão,

apesar de que o que se percebe é que mesmo se tratando de um problema simples, tem-se um

percentual bastante expressivo de respostas incorretas, considerando que esses alunos estão

terminando o Ensino Médio.



141

Como sugestão de intervenções pedagógicas, aconselha-se a elaboração de atividades

que retomem a área do setor circular bem como a do quadrado.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise e

dedução informal.

5.20 Questão 20


Observe a figura:

Nessa figura, os triângulos ABC e DEF são equiláteros. AB = 6 cm , CF= 1 cm e D é

ponto médio de AC. A área hachurada é , em cm2, igual a:

A) 4

3.7

B) 4

3.6

C) 4

3.5

D) 4

3.4


5.20.1 Resolução

Para essa questão são apresentadas duas soluções:

G

F

E

D C

B

A

142


Considerando as seguintes construções na figura inicial, tem-se que:

DMCDEFhachurada AAA ∆∆ −=

4

3

4

3 22 ⋅−⋅= lLAhachurada

4

33

4

34 22 ⋅−⋅=hachuradaA

4

39316 −=hachuradaA

2

4

37cmAhachurada =


Utilizando-se o Teorema de Pitágoras, tem-se:

222

2

11

+= h

143

4

11 2 += h

4

32 =h

2

3=h

( )2

alturabBA menormaior

TRAPÉZIO

⋅+=

( )2

2

334 ⋅+

=TRAPÉZIO

A

2

1

2

37 ⋅=TRAPÉZIO

A

2

4

37cmA

TRAPÉZIO=


Examinando o gráfico desse item, verifica-se que 72% dos alunos avaliados foram

capazes de reconhecer a semelhança entre triângulos, posteriormente calculando a área e,

finalmente, indicando adequadamente a alternativa A.



144

Esse item possibilita diferentes estratégias de resolução, o que justifica o alto índice de

acertos. Com base nos erros evidenciados, percebe-se que as dificuldades dos alunos estão

relacionadas à capacidade de interpretar o enunciado ou à dificuldade de efetuar cálculos

simples. Propõe-se, portanto, atividades que tenham como pré-requisitos área do triângulo

equilátero, semelhança de triângulos, área do trapézio e o Teorema de Pitágoras.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise, dedução


5.21 Questão 21


A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos

vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do

pentágono hachurado é igual a:

A) 33 .

B) 2

33.

C) 3 .

D) 2

3.

Fonte: FUVEST, 2009

145

5.21.1 Resolução

Considerando-se as seguintes construções na figura inicial, percebe-se que o hexágono

regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, como mostra a figura abaixo:

equiláterotriângulodoÁreaAPENTÁGONO

⋅= 2

4

32

2 ⋅⋅= lA

PENTÁGONO

4

312

2 ⋅⋅=PENTÁGONO

A

2

3=PENTÁGONO

A


Constata-se que 44% dos alunos avaliados escolheram a alternativa D como a correta,

demonstrando conhecimento sobre o item.

146



São bastante significativos os percentuais de respostas das alternativas A (25%) e C

(22%). Observa-se, então, que os alunos que optaram pela alternativa A, após encontrarem o

valor correto, simplesmente o multiplicaram por 6: 6.2

3. Quanto aos que optaram pela

alternativa C, cometeram erro de mesma natureza, já que, ao invés de multiplicar por 6,

multiplicaram por 2: 2.2

3. Por sua vez os que marcaram a alternativa B demonstraram

dificuldade em efetuar cálculos simples, bem como a dificuldade de visualização.


que explore a composição de figuras planas, retomando a fórmula resolutiva da área de

triângulo equilátero.



147

5.22 Questão 22


Observe a figura:

Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ. O

perímetro do quadrilátero PQRS é

A) .311

B) .322

C) .211

D) .222

Fonte: UFMG, 1997

5.22.1 Resolução

Considerando-se as seguintes construções na figura inicial e indicando por Po

perímetro do quadrilátero PQRS, tem-se:

148

( ) ( ) 21122112 xxxxP −++−+=

2211222112 xxxxP −++−+=

222=P


Observa-se que 41% dos alunos marcaram a alternativa correta (D), indicando terem,

como pré requisitos, o Teorema de Pitágoras e a diagonal de um quadrado.

As escolhas das opções incorretas, identificadas nos testes podem ser explicadas por

diferentes motivos: dificuldade de visualização, erros de multiplicação de polinômios, não

reconhecimento do Teorema de Pitágoras, dentre outros. (GRÁFICO 22).

Gráfico 22: Resultado da questão 22 de diagnóstico



que explore a decomposição de figuras planas, com o intuito de calcular o comprimento de

uma figura poligonal fechada utilizando, como pré-requisitos, o Teorema de Pitágoras e

reconhecimento da diagonal de um quadrado.

Os Níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são: a visualização, a análise, a

dedução informal e a dedução.

149

5.23 Questão 23


Observe a figura:

Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do

retângulo EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma circunferência. O segmento AC e o

raio dessa circunferência medem, respectivamente, 12 cm e 7 cm.

Assim sendo, é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD, em cm2, é

A) .134

B) .136

C) .138

D) .1312 Fonte: UFMG, 2005

5.23.1 Resolução

Para essa questão são apresentadas duas soluções:


Como os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios dos lados do retângulo

EFGH, então as diagonais do quadrilátero ABCD (losango) se interceptam no centro da

150

circunferência, indicado por O. No retângulo AEBO, o comprimento da diagonal OE é igual

ao raio da circunferência (7 cm). Logo, como as medidas das diagonais do retângulo são

iguais, a medida do segmento AB é 7 cm. Por outro lado, a medida do segmento AC é 12 cm.

Assim, o segmento AO mede 6 cm:

Para encontrar a área do triângulo ABO, basta, então, calcular sua altura OB. Para isto,

aplica-se o Teorema de Pitágoras no triângulo ABO:

.1367 222222 =⇒−=⇒−= OBOBOAABOB

Assim, como a área do quadrilátero ABCD é quatro vezes a área do triângulo ABO,

entende-se que a área desse quadrilátero é

.13122

1364

24 =

⋅=

⋅⋅= OBOAA


Utilizando-se o Teorema de Pitágoras, tem-se que:

222 67 x+=

23649 x=−

132 =x

13=x

151

2

MenorDiagonalMaiorDiagonalAABCD

⋅=

2

13212⋅=ABCDA

21312 cmAABCD =


Dentre os alunos avaliados, 53% marcaram a resposta correta D, mostrando bom

entendimento sobre quadriláteros. Os alunos que erraram a questão demonstraram

desconhecer a diagonal do losango, bem como o Teorema de Pitágoras, além da dificuldade

de visualização da figura.



Sugere-se, nesse caso, atividades em que a decomposição de figuras planas seja

abordada com o intuito de calcular a área do losango, tendo como pré-requisito o Teorema de

Pitágoras.



152

5.24 Questão 24


Nesta figura, os dois círculos são tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo

ABCD:

Sabendo-se que:

• o raio do círculo menor e o do círculo maior medem, respectivamente, 2 cm e 4 cm; e

• o lado AB do retângulo mede 9 cm .

1. CALCULE o comprimento do lado AD do retângulo.

2. CALCULE a área da região sombreada na figura.

Fonte: UFMG, 2006

5.24.1 Resolução

Essa questão, por apresentar dois questionamentos, fica sua resolução assim dividida:

5.24.1.1 Cálculo 1

CALCULE o comprimento do lado AD do retângulo.

Considerando-se esta figura, e sabendo que os círculos são tangentes entre si e entre os

lados do retângulo, tem-se que SCQOPOAD ++= 12 .

153

Assim, aplicando-se o Teorema de Pitágoras:

2

122 36 QO+=

21936 QO=−

271 =QO

cmQO 331 =

Portanto, 2334 ++=AD ⇒ 336 +=AD ⇒ ( )cmAD 323 +⋅=

5.24.1.2 Cálculo 2

CALCULE a área da região sombreada na figura.

A solução desse item consiste em calcular a área do polígono PBSOO 21 subtraída de

dois setores circulares.

O polígono PBSOO 21 se divide em duas partes, uma no trapézio RSOO 21 e a outra no

retângulo PBRO2 . Então:

A área do trapézio RSOO 21 é dada por

( )2

alturamenorBasemaiorBaseAT

⋅+=

=TA( )

2112 QOSORO ⋅+

154

( )2

3325 ⋅+=TA

2

2

321cmAT =

A área do retângulo PBRO2 é dada por:

alturabaseAR ⋅=

2POPBAR ⋅=

45⋅=RA

220cmAR =

Então, obtem-se que a área do polígono PBSOO 21 é:

2202

321cmAAA RTP +=+=

Como o triângulo QOO 21 é um triângulo retângulo e QO2 é a metade de 21OO , tem-

se que os ângulos QOO 12ˆ e QOO 21

ˆ medem 30º e 60º, respectivamente.

Somente de posse desses dados, é que o aluno pode calcular as áreas dos dois setores

circulares. O setor determinado pelo ponto S e o ponto de tangência entre os círculos possui

um ângulo central de 120º. Portanto, sua área é:

⋅⋅=⋅⋅= 22

1 3

4

360

2120cmASETOR ππ

Já o setor determinado por P e o ponto de tangência entre os círculos possuem um

ângulo central de 150º. Portanto, sua área é

22

2 3

20

360

4150cmASETOR ππ ⋅=⋅⋅= .

155

Então, a área sombreada é

21 SETORSETORPSOMBREADA AAAA −−=

28202

321cmASOMBREADA π−+= .


Percebe-se por meio do gráfico abaixo que nenhum aluno conseguiu resolver a

questão, sendo que 19% concluíram-na parcialmente correta, o que pode ser um indicador de

que a maioria dos alunos (81%) ainda não adquiriu as competências de associação de

conhecimentos prévios como, Teorema de Pitágoras, área de figuras planas, principalmente a

de setor, dentre outros. O que mais chama atenção, diz respeito ao não domínio da

trigonometria básica (seno, cosseno, tangente de um ângulo), considerando-se que esses

alunos estão terminando o Ensino Médio. Vale ressaltar que os 37% dos alunos entregaram a

questão em branco, não conseguindo fazer registro, provavelmente devido a não compreensão

da questão.



Sugerem-se como atividade de intervenção pedagógica, questões envolvendo a

decomposição e/ou composição de figuras planas, enfatizando o Teorema de Pitágoras, as

áreas dos quadriláteros e de setor e a trigonometria básica.

3

20

3

420

2

321 ππ −−+=SOMBREADAA

156



5.25 Questão 25


Observe as figuras:

Duas regiões, uma com a forma de um quadrado e a outra com a forma de um

hexágono regular, têm os lados construídos utilizando-se dois pedaços de arame de

comprimentos iguais.

A razão entre a área da região hexagonal e a área da região quadrada,

respectivamente, é :

A) 3

23

B) 2

33

C) 3

D) 3

3

Fonte: UFRN, 2003

5.25.1 Resolução

Considere o lado do hexágono sendo ⋅l Logo, o seu perímetro é l6 .

157

Como o perímetro de ambos os polígonos são iguais, conclui-se que o lado do

quadrado vale 2

3

4

6 lL

lL =⇒=

Decompondo-se o hexágono em 6 triângulos equiláteros, calcula-se a razão entre a

área da região hexagonal e a área da região quadrada da seguinte forma:

quadradaregiãodaÁrea

hexagonalregiãodaÁreaRazão=

2

2

4

36

L

l

Razão⋅

=

⇒

2

2

2

32

33

=

l

l

Razão

⇒

4

92

33

2

2

l

l

Razão=

⇒

2

2

9

4

2

33

l

lRazão ⋅=

⇒

3

3

2=Razão


Constata-se que 57% marcaram a opção correta A, demonstrando conhecimento de

área das regiões hexagonal e quadrada. No entanto, é bastante significativo o índice de 31%

dos alunos que optaram pela alternativa B, merecendo aqui uma análise.

Verifica-se, assim, que os alunos que optaram por B cometeram o erro de considerar

que a medida do lado, tanto do quadrado, quanto do hexágono seriam iguais, ou seja:

⋅⋅=⋅⋅=⋅

= 32

31

4

364

36

2

2

2

2

l

l

l

l

Razão

Vale observar o que acontece em relação às alternativas C e D, cujos percentuais de

acerto foram os mesmos: 6%. Observa-se, ainda, que, os que optaram por essas alternativas,

muitas das vezes as marcaram sem nenhum argumento plausível. (GRÁFICO 25).

158



Como sugestão de intervenção pedagógica, aconselha-se a elaboração de atividades

que relacionam polígonos de mesmo perímetro, relacionando suas áreas.

Observa-se que os níveis do método de Van Hiele presentes na resolução são a

visualização, a análise, a dedução informal e a dedução.

5.26 Questão 26


O trapézio isósceles da figura tem um ângulo agudo de 60° e área 3

332. A área do

círculo inscrito nesse trapézio é:

A) π B) 2π C) 3π D) 4π

Fonte: CEFET MG, 2007

159

5.26.1 Resolução

Considerando-se as seguintes construções na figura inicial, observa-se que, para se

obter a área do círculo, é necessário determinar o raio do mesmo:

Sendo assim, utiliza-se a trigonometria básica para obter:

33

3

3

3

3

330 Rx

Rx

x

R

adjacentecateto

opostocatetotg =⇒⋅⋅=⇒=⇒=°

3

3

3

330

Ry

R

y

R

ytg =⇒=⇒=°

Dado que a área do trapézio é de 3

332, e mediante a figura inicial (metade da figura,

uma vez que a figura é simétrica), tem-se:

6

332

2

)( ⋅=⋅+ alturamenorBaseMaiorBase

6

332

2

23

33

=⋅

⋅+⋅ RR

R

⇒ 364623

333=⋅⋅

+R

RR ⇒

⇒ 364123

34 =⋅ RR

⇒ 2=R

160

Sabendo-se que a área do círculo é dada pela fórmula: 2RA ⋅= π , conclui-se que

π⋅= 4A .


Torna-se preocupante o fato de que apenas 15% dos alunos avaliados acertaram o

item, marcando a alternativa D. O percentual de 44% de respostas na opção C merece um

destaque, uma vez que representa uma quantidade significativa de alunos que marcaram uma

das opções erradas, conforme pode ser verificado no gráfico 26, abaixo. Ao analisar a

resolução dos alunos, constatou-se que a maioria destes cometeu erros algébricos,

encontrando para o raio o valor3 , e, posteriormente, ao substituir na fórmula da área do

círculo, encontrou ( )23⋅=πA .3 π⋅=⇒ A



Outro fator relevante para o baixo índice de acerto foi o não domínio da trigonometria

básica (seno, cosseno, tangente de um ângulo).

Sugere-se como atividade de intervenção pedagógica, portanto, a elaborações de

questões envolvendo a decomposição de figuras planas, enfatizando o Teorema de

Pitágoras, as áreas dos quadriláteros e do círculo, além da trigonometria básica.



161

5.27 Questão 27


Observe esta figura:

Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 1; o triângulo BPQ é equilátero; e os

pontos P e Q pertencem, respectivamente, aos lados AD e CD.

Assim sendo, a área do triângulo BCQ é:

A) 2

13 −.

B) 2

32 +.

C) 2

32 −

D) 2

33−.

Fonte: UFMG, 2004

5.27.1 Resolução

Para a resolução desta questão, é necessário que o aluno tenha conhecimentos sobre os

seguintes conteúdos: relações métricas no triângulo retângulo e área de triângulos e

quadriláteros.

Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado 1 e BPQ é um triângulo eqüilátero,

cujo lado é equivalente à hipotenusa do triângulo retângulo BCQ, de altura 1 e base x:

162

A partir do Teorema de Pitágoras, conclui-se que 21 xBQ += . Esse valor é

equivalente a PB e PQ.

A partir do triângulo retângulo DPQ, tem-se que:

( )2222 1)1()1( xxx +=−+− ⇒ 0142 =+− xx

As raízes da equação acima são 32 ±

Para essa situação, tem-se como condição de existência x < 1. No entanto, a solução da

equação é dada por x = 32 − , consequentemente, a área do triângulo BCQ é igual a

2

32 −. Portanto, a alternativa correta é a letra C.


É preocupante o fato de apenas 31% dos alunos avaliados acertarem o item, marcando

a alternativa C. O percentual de 53% de respostas na opção B merece destaque, uma vez que

representa uma quantidade significativa de alunos, marcando uma das opções erradas.

163



Ao ser analisada a resolução dos alunos, constata-se que provavelmente estes erraram,

não algebricamente, mas por falta de atenção, ao considerarem a base QC do triângulo BCQ,

32 + , o que é incoerente, pois o valor de x não pode ser maior que 1.

Sugere-se, portanto, como atividade de intervenção pedagógica, a elaboração de

questões envolvendo a decomposição de figuras planas, enfatizando o Teorema de Pitágoras

e a área de polígonos associada à condição de existência de um dado problema.

Observa-se que os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são:

visualização, análise, dedução informal e dedução.

164

5.28 Questão 28


Observe a figura:

Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores,

C1, C2, C3 e C4, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito.

Os centros de C1, C2, C3 e C4 estão em diâmetros de C perpendiculares a lados do

quadrado.

A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é

A) 223(8 +π ).

B) 223( +π ).

C) 223( −π ).

D) 223(2 −π ).

Fonte: UFMG, 1997

5.28.1 Resolução

Considerando as seguintes construções na figura inicial e, posteriormente, aplicando o

Teorema de Pitágoras, tem-se:

165

222 2=+ xx

42 2 =x

2=x

222 =+r

2

22 −=r

24 rA ⋅⋅= π 2

2

224

−⋅⋅= πA

+−⋅⋅=4

22444 πA

( )246 −⋅= πA

ππ 246 −=A

( )2232 −= πA

166


Observa-se que 69% dos alunos não foram capazes de compreender o enunciado e,

consequentemente, tiveram dificuldades de estabelecer estratégias para a resolução da

questão, provavelmente devido ao nível elevado de dificuldade da questão.



Como forma de intervenção pedagógica, sugere-se a elaboração de atividades que

envolvam figuras inscritíveis e circunscritíveis em diferentes níveis de dificuldade, com o

intuito de promover melhores resultados.

Observa-se que os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são:

visualização, análise, dedução informal e dedução.

167

5.29 Questão 29



as semicircunferências de diâmetro AB e BC, cujas medidas são 6 cm e 4 cm,

respectivamente.

O perímetro da região destacada, em cm, é:

A) π5 .

B) π10 .

C) π19 .

D) π20 .


5.29.1 Resolução

Da mesma forma como ocorreu na questão 1, para resolver essa questão, os alunos

precisam ser capazes de visualizar e analisar as informações do texto com a figura, devendo

perceber a decomposição da figura, reconhecendo que o que se pede é a somatória do

perímetro de cada uma das três semicircunferências e não a área, apesar de a figura o induzir a

pensar dessa forma.

Com o intuito de verificar se os resultados seriam alterados de alguma forma, o

pesquisador procurou colocar a mesma questão, porém, sem colorir a região cujo perímetro se

pede. Chegou-se à conclusão de que essa alteração não provocou alterações substanciais no

resultado final, como se poderá observar na análise dos resultados.

168


fórmula C = 2⋅ π ⋅ r , o perímetro (P) da região sombreada é dado por:

P = π ⋅ 5 + π ⋅ 3 + π ⋅ 2 ⇒ P = 10π


Os resultados obtidos na aplicação desta questão, como já dito, foram próximos aos da

questão 1. Esperava-se, porém, que o fato de a região sombreada não ser identificada, o índice

de acerto fosse muito maior, o que não ocorreu, já que o índice de acerto desta questão foi de

69% comparado ao 65% da primeira questão (GRÁFICO 29).



É importante, diante do exposto, que os alunos saibam aplicar corretamente as

definições de circunferência e círculo e que eles percebam a noção de perímetro como uma

medida de contorno de uma figura plana. Nessa questão, evidencia-se os níveis de

visualização e análise do modelo de Van Hiele.

169

5.30 Questão 30


A circunferência circunscrita ao hexágono regular possui raio de 4 cm.

A partir dessa informação, é CORRETO afirmar que o caminho em negrito mede em

cm:

A) 204 +π

B) 208 +π

C) 28π

D) π24

Fonte: CEFET MG, 2000

5.30.1 Resolução

Observa-se que o caminho em negrito da figura representa o seu perímetro.

Para a resolução da mesma, é necessário que o aluno visualize as cordas CD e AF

sendo essas os diâmetros das semicircunferências, e tenha conhecimento da fórmula

resolutiva do comprimento de uma circunferência e da propriedade de polígonos inscritíveis.

Para tanto, o caminho em negrito é calculado da seguinte maneira:

RPerímetro ⋅⋅+⋅= π245

2220 ⋅⋅+= πPerímetro

204 += πPerímetro

170


O gráfico abaixo informa que 66% dos alunos acertaram o item, demonstrando

habilidade em resolver problema que envolva o cálculo de perímetro de figuras planas

inscritíveis. O aspecto facilitador da aprendizagem desses alunos pode estar relacionado à

linguagem utilizada no enunciado, uma vez que “caminho” representa perímetro.



Como sugestão de intervenções pedagógicas, incentiva-se a elaboração de atividades

que envolvam perímetros de figuras inscritíveis com utilização de uma linguagem que facilite

o entendimento do enunciado.

Os níveis do modelo de Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise e

dedução informal.

5.31 Análise global

Outra análise desenvolvida, agora de forma global, foi a que verifica quais questões

obtiveram índices de acerto alto, intermediário e baixo, o que pode ser observado nos gráficos

abaixo:

171

Gráfico 31: Acertos por questão no intervalo de 1 a 10






172

Um dos aspectos que chama a atenção é o alto índice de acerto nas questões 4, 10 e 16,

superior a 74%. Verifica-se que estas questões são apresentadas por intermédio de malha

quadriculada, o que provavelmente facilitou a sua compreensão. Questões análogas a estas

são muito trabalhadas nos livros analisados. Outro fator relevante é que este tipo de questão

está em um nível elementar, conforme modelo dos Van Hiele.

A questão 17 também apresenta um alto índice de acerto, 81%, e apesar de não estar

sobre a malha quadriculada, o que pode ser explicado pelo fato de que essa aborda conceitos

de área de figuras de mesma espécie (círculo).

As situações-problema 12, 15, 23 e 25 foram classificadas como questões medianas,

quanto à aprendizagem (entre 50% e 60%). A proposta de seus enunciados consistia em

explorar o reconhecimento de algumas propriedades de figuras planas, como diagonal de um

quadrado inserido em um círculo, raio, cálculo de área a partir da diferença entre áreas de

figuras e razão entre área de duas figuras planas. Observa-se que esses conceitos são

trabalhados no Ensino Fundamental e apenas são revisados na 3ª série do Ensino Médio.

Nota-se, ainda, que estas mesmas questões se encontram entre os níveis 2 (Dedução Informal)

e 3 (Dedução), conforme modelo dos Van Hiele.

Em se tratando de questões que apresentaram índice de resultados mais baixo, destaca-

se as questões 6, 14 e 26. Esse grupo exige do aluno, não apenas relações prontamente

recordadas, mas, também, que ele seja capaz de inferir conceitos de altura de um triângulo

qualquer, trigonometria associada à propriedades de figuras planas, mínimo de função do

segundo grau, além da exigência de outros conhecimentos. Para tanto, há necessidade de

envolver o alunado do Ensino Médio na investigação de situações-problema que explorem

diferentes campos da Matemática, como Números e Operações, Geometria Analítica,

Funções, Geometria, Equações Algébricas e Estatística e Probabilidades. Outro aspecto

observado é que estas mesmas questões estão em conformidade com os níveis mais elevados

do modelo dos Van Hiele.

173

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A pesquisa realizada tenta contribuir para o enfoque dado ao professor em relação ao

estudo da composição e/ou decomposição de figuras planas na resolução de problemas

geométricos tendo com foco área e perímetro nos diferentes segmentos de Ensino visando,

sobretudo, promover a aprendizagem dos alunos no uso efetivo da Geometria.

Para tanto, estabeleceu-se como base para a pesquisa a elaboração e aplicação de

atividades diagnósticas para um grupo de 98 alunos da 3ª série do Ensino Médio sobre o tema.

Diante do diagnóstico, surgiu, então, a indagação: Como desenvolver o tópico

composição e/ou decomposição de figuras planas na resolução de problemas geométricos

com foco em área e perímetro no processo de ensino e aprendizagem, no Ensino Médio?

Para que se obtivesse respostas ao questionamento, foi realizado um estudo em livros

didáticos dos Ensinos Fundamental e Médio, bem como uma análise de questões dos exames

do ENEM, da OBMEP e de Vestibulares, a fim de verificar como o trabalho com a

composição e/ou decomposição de figuras planas era desenvolvido no Ensino Básico e de que

forma era avaliada a aprendizagem do tema nos exames citados.

Constatou-se que, apesar de se fazer necessária a composição e/ou decomposição de

figuras planas na aquisição da habilidade do cálculo de área e/ou perímetro, na estruturação

das atividades desenvolvidas nos livros, isso nem sempre foi observado em todas as obras

verificadas, sendo vista em alguns momentos, apenas uma ordenação crescente de

dificuldades.

Nesse sentido, percebe-se pouco investimento por parte dos autores em propor um

trabalho que busque o desenvolvimento do pensamento geométrico, ao simplesmente

sequenciar as atividades que buscam aferir conhecimentos já prontos, ou mesmo, repetir o

convencional dueto matéria-exercício de fixação (foco no conteúdo), privando o aluno do

contato com a Geometria em uma perspectiva mais intuitiva e desafiadora.

Após essa constatação e diante da pesquisa teórica realizada, sugere-se trabalhar

atividades que envolvam composição e/ou decomposição de figuras planas, tendo como foco

área e perímetro pautadas no modelo Van Hiele, devido ao fato de esse ser fundamentado em

uma visão que valoriza a aprendizagem da Geometria ao longo de todos os anos do Ensino

Básico, que se move sequencialmente a partir do nível inicial (visualização), até o nível mais

elevado (rigor).

174

Vale ressaltar, ainda, que são os desafios propostos pelo professor que vão orientar o

trabalho do discente, tornando-o capaz de realizar quaisquer atividades que envolvam as

habilidades adquiridas. Essas considerações mostram que o professor interessado no

desenvolvimento cognitivo de seus alunos não deve apenas restringir-se ao conhecimento do

conteúdo a ser desenvolvido em sala de aula. É necessário buscar estratégias de ensino que

favoreçam o interesse e a motivação dos alunos. Portanto, é importante que o professor

busque alternativas que possam favorecer os níveis de aprendizagem, sendo uma opção o

modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico.

Este trabalho apresenta um Caderno de Atividades (Apêndice A) como proposta de

intervenção pedagógica, com o objetivo de auxiliar o docente no exercício de seu ofício, a

desenvolver habilidades geométricas baseando-se no modelo Van Hiele estudado.

Para finalizar, faz-se mister afirmar que essa pesquisa não se encerra aqui, já que

nenhum saber torna-se pronto e acabado. Muito pelo contrário: a partir de esclarecimentos

cada vez maiores, torna-se importante e porque não dizer necessária a ampliação desses

conhecimentos discutidos nessa pesquisa, uma vez abrem portas para novas verdades,

possibilidades e hipóteses não relacionadas nesse trabalho, o que pode sugerir, mais à frente,

novas alterações por meio de novas significações e conclusões.

.

175

REFERÊNCIAS

BOGDAN, Robert; BIKLEN, S.K. Investigação qualitativa em educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Portugal: Editora Porto, 1994.

BRASIL. Congresso Nacional (1996). Lei Federal nº 9.394. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional; Brasília; 20 de dezembro de 1996.

BURGER, William F. Geometry. Georgia: Arithmetic Teacher, 1985.

CARREIRA, D.; PINTO, J.M.R. Custo aluno-qualidade inicial: rumo à educação pública de qualidade no Brasil. São Paulo: Global, 2007.

CASTRUCCI, Benedicto, GIOVANNI, J. R, GIOVANNI JUNIOR, J. R. A conquista da Matemática. Ed. Renovada, 6º ano. São Paulo: Editora FTD, 2007a.

CASTRUCCI, Benedicto, GIOVANNI, J. R, GIOVANNI JUNIOR, J. R. A conquista da Matemática. Ed. Renovada, 7º ano. São Paulo: Editora FTD, 2007b.

CASTRUCCI, Benedicto, GIOVANNI, J. R, GIOVANNI JUNIOR, J. R. A conquista da Matemática. Ed. Renovada, 8º ano. São Paulo: Editora FTD, 2007c.

CASTRUCCI, Benedicto, GIOVANNI, J. R, GIOVANNI JUNIOR, J. R. A conquista da Matemática. Ed. Renovada, 9º ano São Paulo: Editora FTD, 2007d.

CENTRO FEDERAL TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS (2000). Disponível em: http://www.copeve.cefetmg.br/site/sobre/aux/ensino_superior/provas_anteriores.html. Acesso em: 5 ago. 2009.

CENTRO FEDERAL TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS (2007). Disponível em: http://www.copeve.cefetmg.br/site/sobre/aux/ensino_superior/provas_anteriores.html. Acesso em: 15 ago. 2009.

CROWLEY, M. L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In: LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (Org.) Aprendendo e ensinando Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. p.1-20.

DALBEN, Ângela Imaculada Loureiro de Freitas. Avaliação sistêmica: Dicionário . Disponível em: http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema _crv/index.asp?id_ projeto = 2 7 & ID OBJETO=35626&tipo=ob&cp=000000&cb=&n1=&n2=Biblioteca%20Virtual&n3=Dicion%E1rio%20da%20Educa%E7%E3o&n4=&b=s. Acesso em: 8 dez. 2010.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12 ed., São Paulo: Editora Ática, 2003.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos e Aplicações- Ensino Médio. 5 ed., v.1,São Paulo: Editora Ática, 2011a.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos e Aplicações- Ensino Médio. 5 ed., v.2, São Paulo: Editora Ática, 2011b.

176

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos e Aplicações- Ensino Médio. 5 ed., v.3, São Paulo: Editora Ática, 2011c.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 6º ano; 3 ed., São Paulo: Editora Ática, 2009.




FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 3ª edição. 2009. ( Coleção Formação de Professores).

FOLHA ON LINE. Prova resolvida UNESP. 2000. Disponível em: http://www1 .folha. uol .com.br/folha/fovest/unesp2000-12-resolucao.html?11. Acesso em: 12 jul. 2010.

FREUDENTHAL, Hans. Mathematics as in Educational Task- Dordrecht-Holland: Reidel Publishing Company, 1973.

FUNDAÇÃO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO. Guia Nacional de Livro Didático: Matemática. Brasília: Disponível em: http://www.fnde.gov.br/ index. php/pnld-guia -do-livro-didatico/2349-guia-pnld-2011.; Acesso em: 2 out. 2010.

FUNDAÇÃO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO. Guia Nacional de Livro Didático: Matemática. Brasília; Disponível em: http://www.fnde.gov.br/ índex .php/pnld-guia-do-livro-didatico/2349-guia-pnld-2012; Acesso em: 2 out. 2010.

FUNDAÇÃO UNIVESITÁRIA PARA O VESTIBULAR (2009). São Paulo; Disponível em: http://www.fuvest.br/vest2009/provas/p1f2009v.pdf. Acesso em 6 set. 2010.

GAZIRE, ELIANE SCHEID. Perspectivas da Resolução de Problemas em Educação Matemática. 1988. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual de São Paulo, Campus de Rio Claro.

GEDDES, D.; FUYS, D.; TISCHLER, R. (Orgs.) Selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre Van Hiele. New York, NY: Brooklyn College, 1984.

GÉRARD, F. M.; ROEGIERS, X. Conceber e avaliar manuais escolares. Porto: Editora Porto, 1998.

IEZZI, Gelson et al. Matemática: Ciência e aplicações-Ensino Médio. v.1, 5 ed., São Paulo: Editora Atual., 2010a.

IEZZI, Gelson et al. Matemática: Ciência e aplicações-Ensino Médio. v.2, 5 ed., São Paulo: Editora Atual., 2010b.

IEZZI, Gelson et al. Matemática: Ciência e aplicações-Ensino Médio. v.3, 5 ed., São Paulo: Editora Atual., 2010c.

177

INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ( 2008). Brasília; Disponível em: http://download.inep.gov.br/ educacao_basica/enem/ provas/ 2008 /2008 _amarela .pdf. Acesso em: 8 dez. 2011.

INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS (2010). Brasília; Disponível em: http://public.inep.gov.br/enem/ 2010/AMARELO_Domingo _GAB.pdf. Acesso em: 8 dez. 2011.

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cézar Pinto; WAGNER, Eduardo. Temas e Problemas.. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2001. (Coleção do Professor de Matemática)

LINS, R. C.; GIMENES, J.Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI . 7 ed. Campinas, SP: Papirus, 2006.

LUDKE, M. ; ANDRE, Marli Eliza Dalmazo Afonso de. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. O que é descritor. : Brasília; Disponível em: www .mslmoreirasalles .seed.pr.gov.br/.../4_provabrasil_e_saeb.pptAcesso: 15 dez. 2011.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (2006). Brasília; Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n3-2006.pdf. Acesso em: 6 dez. 2010.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (2011). Brasília; Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2011.pdf. Acesso em: 8 nov. 2011a.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (2011). Brasília; Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n3-2011.pdf. Acesso em: 8 nov. 2011b.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: Ensino Médio; 2002.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Programa Nacional do Livro Didático. Brasília; Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php? Itemid=668&id= 12391&option =com_ content&view=article . Acesso: 13 dez. 2010.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Programa Nacional do Livro Didático: Guia de Livros Didáticos 2011; Brasília, 2010.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Programa Nacional do Livro Didático: Guia de Livros Didáticos 2012; Brasília, 2011.

PAVANELLO, R.M.; ANDRADE, R.N.G. Formar professores para ensinar Geometria: um desafio para as licenciaturas em Matemática. Educação Matemática em Revista. Ano 9, n. 11, páginas 70-78, 2002.

PIRES, C. M. C. Reflexões sobre Cursos de Licenciatura em Matemática, tomando como referência as orientações propostas nas Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de

178

professores da Educação Básica. Educação Matemática em Revista, São Paulo, v.11, p. 44-56, abr. 2005

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

PONTÍFICIA CATÓLICA DE CAMPINAS. Vestibular 1995. Disponível em: http:// www .puc-campinas.edu.br/ graduacao/doc/vestibular/1995/Prova-Grupo1.pdf. São Paulo; Acesso em: 8 jul. 2010.

PONTÍFICIA CATÓLICA DE MINAS GERAIS. Vestibular 2002. Disponível em: http:// www.pucminas.br/vestibular/index_padrao.php?pagina=738. Minas Gerais; Acesso em: 8 dez. 2010.

PONTÍFICIA CATÓLICA DE SÃO PAULO. Vestibular 1995. Disponível em: http:// www.vestibular.pucsp.br/2007/objetiva/matematica.pdf. São Paulo; Acesso em: 12 ago. 2010.

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS. Sistema de Bibliotecas. Padrão PUC Minas de normalização: normas da ABNT para apresentação de trabalhos científicos, teses, dissertações e monografias. Belo Horizonte, 2001. Disponível em: http:// www.proex.pucminas.br/sociedadeinclusiva/IVseminario/normalizacao_monografias.pdf. Acesso em 16 Jun. 2011.

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL: Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998.

SERRAZINA, L.,MATOS, J. M. O geoplano na sala de aula. Lisboa: APM, 1996.

TARDIF, M. Saberes profissionais dos professores e conhecimentos universitários. Revista Brasileira de Educação. n. 13, p.12-21, jan/abr. 2000.

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. Vestibular 1999; Disponível em: http:// vestibular.unesp.br/pdf/1999M/003_CE_CiencNatMat.pdf. São Paulo; Acesso 8 de ago. 2010.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (2006). Minas Gerais; Disponível em: http:// web.cpv.ufmg.br/Arquivos/2006/ProvasUFMG/2ETAPA/Matem%e1tica%20-% 202 %aa%20Etapa%20-%202006.pdf. Acesso em: 12 jul. 2010.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (2007); Minas Gerais; Disponível em: http:// web .cpv.ufmg.br/Arquivos/2007/ProvasUFMG/1ETAPA/Matem%e1tica%20-%20Caderno%201%20-%201%aa%20Etapa%20-%202007.pdf. Acesso em: 8 jul. 2010.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS. Vestibular 2003. Disponível em: http://web.cpv.ufmg.br/Arquivos/2003/ProvasUFMG/1ETAPA/Matem%e1tica%20-%20 Caderno%201%20-%201%aa%20Etapa%20-%202003.pdf. Minas Gerais; Acesso em: 8 jul. 2010.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ACRE. Prova vestibular 2005. Disponível em: http:/ / www.ufac.br/portal/editais-concursos/vestibular/provas-de-vestibulares-anteriores? search term =provas+anteriore. Acre; Acesso em: 7 jul. 2010.

179

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Provas 2003. Disponível em: http://www.comperve.ufrn.br/conteudo/provas/provas2003.htm. Rio Grande do Norte; Acesso em: 6 nov. 2010.

UNIVESIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (1997). Minas Gerais; Disponível em: http://web .cpv.ufmg.br/Arquivos/1997/ProvasUFMG/1ETAPA/Matem%e1tica%20-%20Tarde%20-% 201%aa%20etapa%20-%201997.pdf. Acesso em: 8 jul. 2010.

UNIVESIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (2003). Minas Gerais; Disponível em: http: / / web.cpv.ufmg.br/Arquivos/2003/ProvasUFMG/1ETAPA/Matem%e1tica%20-%20 Caderno %201%20-%201%aa%20Etapa%20-%202003.pdf. Acesso em: 8 jul. 2010.

UNIVESIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS. (2004) Minas Gerais; Disponível em: http:/ / web.cpv.ufmg.br/Arquivos/2004/ProvasUFMG/1ETAPA/Matem%e1tica%20-% 20 Caderno%201%20-%201%aa%20Etapa%20-%202004.pdf. Acesso em: 11 ago. 2010.

UNIVESIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS. (2005) Minas Gerais; Disponível em: http://web.cpv.ufmg.br/Arquivos/2005/ProvasUFMG/1ETAPA/Matem%e1tica%20-% 20 Caderno%201%20-%201%aa%20Etapa%20-%202005.pdf. Acesso em: 8 jul. 2010.

VAN DE WALLE, J. A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Trad. Paulo H. Colonese. 6 ed., Porto Alegre: Artmed, 2009.

VAN HIELE, P. M. Struture and insight. Orlando: Academic Press, 1984.

VAN HIELE, P. M.; GELDOF, Dina. An investigation of the van Hiele Model of thinking im Geometry among adolescents. Research in Science Education (RISE), Program of the National Science Foundation. Washington, DC: NSF, 1984.

VARIZO, Záira da Cunha Melo. O Livro Didático. Ontem e Hoje. Cadernos de Pesquisa do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, v.1, n.1, p.125-140, 1995.

WIRSZUP, Izaak. Breakthroughs in the Psicology of learning and Teaching Geometry. Columbus: ERIC/SMEAC, 1976.

180

APÊNDICE A CADERNO DE ATIVIDADES

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática


VAN HIELE, UMA OPÇÃO

Renato Frade Eliane Scheid Gazire

181

INTRODUÇÃO

O presente trabalho, resultado decorrente de um processo de pesquisa no Mestrado de

Ensino de Ciências e Matemática da PUC-Minas, foi orientado e sugerido pela professora

Eliane Scheid Gazire e tem como objetivo apresentar ao educador uma possibilidade de

intervenção pedagógica no ensino da Matemática, mais especificamente na composição e/ou

decomposição de figuras planas na resolução de problemas geométricos.

Neste módulo são apresentadas sugestões de vinte questões envolvendo o tema, com a

sua resolução, orientações e comentários para o professor trabalhá-las em sala de aula. As

atividades foram preparadas dentro de uma linha metodológica voltada para a resolução de

problemas, definidas e testadas durante o processo da pesquisa. Após o contato com essas

questões, muitas outras podem ser preparadas pelo próprio usuário que tenha interesse

docente. Acompanha este módulo um CD com os problemas para serem aplicados na sala de

aula.

A intenção é que este material, como modelo didático-metodológico, contribua para o

desenvolvimento de habilidades e de conceitos geométricos, de raciocínio lógico e, em suma,

de compreensão do processo de composição e/ou decomposição de figuras planas.

Neste Caderno de Atividades, apresentaremos sugestões de questões para que os

professores de Matemática trabalhem com os alunos do Ensino Médio. Embora tenha sido

feita uma tentativa de colocá-las em ordem crescente de dificuldade, o professor, conhecendo

as potencialidades dos seus alunos, é que deverá decidir se apresentará esse ou aquele

problema ao seu educando ou, ainda, a ordem a ser disponibilizada.

Acreditamos que, após a leitura deste trabalho, professores e estudantes de Matemática

estarão mais bem preparados para desenvolver atividades que envolvam a composição e/ou


Os autores.

182

PREFÁCIO

Prezado (a) leitor (a):

Um dos principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o aluno a pensar

produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe situações-problema que o

envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. (DANTE, 2002, p.11).

Sugerimos, como proposta de trabalho pedagógico, atividades pautadas no modelo

Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico, uma vez que sugere uma

organização do trabalho de modo a propiciar uma aprendizagem significativa das habilidades

geométricas, possibilitando ao aluno da 3ª série do Ensino Médio a competência necessária à

resolução de problemas por meio da composição e/ou decomposição de figuras planas.

O modelo consiste em cinco níveis ascendentes de compreensão, descrevendo

características do processo de pensamento. O progresso de um nível para o seguinte se dá

acerca da vivência de atividades adequadas, não dependendo da idade ou maturação do aluno

(LOPES; NASSER, 1997).

O modelo Van Hiele é fundamentado numa visão que valoriza a aprendizagem da

Geometria ao longo de todos os anos de Ensino Básico, uma vez que se move

sequencialmente a partir do nível inicial (visualização), até o nível mais elevado (rigor), sendo

cada nível caracterizado por relações entre os objetos de estudo e linguagens próprias. Por

isso, durante o estudo, é necessário um acompanhamento sistemático por parte do educador,

no sentido de garantir ao educando atividades por meio das quais ele possa vivenciar cada

nível de raciocínio a partir do domínio dos níveis anteriores. Assim, deve-se estar atendo aos

cinco níveis de compreensão, a saber:

• Visualização: Apenas a forma de uma figura é percebida.

• Análise: A figura é analisada e seus componentes e propriedades são descobertos.

• Dedução informal: Percebe-se que uma figura pode ter mais do que um nome

(inclusão de classes). Exemplo: um quadrado também é um retângulo (e um

paralelogramo!).

• Dedução: Constrói-se demonstrações e não apenas as memoriza; enxerga a

possibilidade de desenvolver uma demonstração de mais de uma maneira;

183

compreende a interação das condições necessárias e suficientes; distingue uma

afirmação e sua recíproca.

• Rigor: A Geometria é vista no plano abstrato. Este nível recebe pouca atenção dos

pesquisadores, por isso é menos desenvolvido. Até mesmo Van Hiele,

fundamentador do modelo que leva seu nome, se dedicava mais aos quatro

primeiros níveis do que a este.

Vale ressaltar, ainda, que, são os desafios propostos pelo professor que vão orientar o

trabalho do discente, tornando-o capaz de realizar quaisquer atividades que envolvam as

habilidades adquiridas. Essas considerações mostram que o professor interessado na evolução

cognitiva de seus alunos não pode apenas restringir-se ao conhecimento do conteúdo a ser

desenvolvido em sala de aula. É necessário buscar estratégias de ensino que favoreçam o

interesse e a motivação dos alunos.

Por fim, este trabalho tem como objetivo auxiliar o docente no exercício de seu ofício,

a desenvolver habilidades geométricas baseando-se no modelo Van Hiele.

184

SUGESTÕES SUGESTÕES SUGESTÕES SUGESTÕES

DEDEDEDE

ATIVIDAATIVIDAATIVIDAATIVIDADES DES DES DES

185

ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1

Considerando como unidade de medida o , a área destacada da figura corresponde a

quantos quadrinhos?

A) 10

B) 12

C) 17

D) 22

Resolução

Alternativa C

Pelo fato da figura estar sobre a malha quadriculada espera-se que os alunos optem por

contarem quadradinho por quadradinho, uma vez que a referência dada representa a área

de um quadradinho. Logo, conta-se quantos quadradinhos a figura tem e obtém a resposta.

Portanto, alternativa C.

Nesse caso, sugere-se o emprego do modelo Van Hiele que explore a visualização e a

analise da figura.

186

ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE 2222

Na figura, o lado de cada quadradinho mede 1 cm. Qual é a área da região cinza?

A) 10 cm2

B) 12,5 cm2

C) 14,5 cm2

D) 16 cm2

Resolução

Alternativa B

Uma solução é observar que é possível sobrepor

a região branca do quadrado à região cinza, bastando

para isso girá-la 180º ao redor do centro do quadrado.

Logo elas têm a mesma área, que é igual á metade da

área do quadrado, ou seja, .5,12225 2cm=÷ Outra solução é calcular a área da região cinza por partes, como

na figura ao lado. Para isso, usamos repetidamente o fato de que

a diagonal de um retângulo divide esse retângulo em dois

triângulos de mesma área. Na figura, decompomos a região cinza

em triângulos e retângulos, indicando em cada um sua área. Logo a área da região cinza é

.5,125,0125,25,0311 2cm=+++++++

Nessa atividade sugere-se uma visualização cuidadosa das figuras inseridas na malha,

seguida de uma análise criteriosa e da aplicação da dedução.

187


Na malha retangular ao lado, o perímetro da figura A é 156 cm e o da figura B é 144

cm. Qual é o perímetro da figura C?

A) 125 cm B) 144 cm C) 160 cm D) 172 cm

Resolução

Alternativa B

Sejam hb, e d ,

respectivamente, os comprimentos

da base, altura e diagonal dos

retângulos da malha. O perímetro da

figura A é igual a d12 , donde

concluímos que .1312

156 ==d O

perímetro da figura B é igual a dh 88 + , donde concluímos que dh 88144 += e

.58

8144 =−= dh O teorema de Pitágoras diz que 222 hbd += e segue que

.12144513 22 ==−=b Finalmente o perímetro da figura C é igual a dhb 446 ++ , ou

seja, 14413454126 =×+×+× cm.

Já nessa atividade faz-se necessário o emprego do modelo de van Hiele presente na

resolução de problemas que trabalhe com a visualização, a análise e a dedução informal.

188



Se a malha é quadriculada com quadrados de lados iguais a 1 km, então, a área, em

km2, da região a ser cultivada, é:

A) 29

B) 31

C) 34

D) 40

Resolução

Alternativa B

Essa é uma questão que verifica a capacidade de os alunos decomporem a figura em

polígonos triangulares e quadrangulares. Sendo assim, os pré requisitos são básicos (área do

triângulo, área do retângulo, área do quadrado, área do trapézio etc). Para essa questão são

apresentadas duas soluções, a seguir.

Observe que para resolver essa atividade é possível uma intervenção que trabalhe a

visualização, a análise e a dedução informal, conforme o modelo Van Hiele.

189

Primeira solução

Mediante esses conhecimentos, uma possível solução é iniciar a resolução

decompondo a figura em um trapézio e em um triângulo.

Considerando RA , como a área da região a ser cultivada, tem-se:

TriânguloTrapézioR ÁreaÁreaA +=

2

27

2

3)610( ⋅+⋅+=RA

724 +=RA

231 kmAR =

Utilizando essa estratégia de decomposição, têm-se outras maneiras de se chegar à

resposta.

Segunda solução

Pelo fato de a figura estar sobre a malha quadriculada, esperava-se um alto índice de

acerto, pois muitos alunos, ao se depararem com esse tipo de questão, optam por contarem

quadradinho por quadradinho, uma vez que a referência dada (1x1) representa a sua área.

Logo, conta-se quantos quadradinhos a figura tem e, por aproximações, obtém-se a resposta.

190

ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE 5555 O tangram é um conhecido quebra-cabeça que consiste em um quadrado composto por

sete polígonos: cinco triângulos retângulos isósceles, um quadrado e um paralelogramo.

Com um tangram, em que AB = 10 cm, construímos este “martelo”:

A área do “martelo” mede:

A) 2100cm

B) 2250 cm

C) 2)12(100 cm−

D) 2)12(50 cm+

Resolução

Alternativa A

Ao construirmos qualquer figura com todas as peças do tangram as áreas serão iguais,

portanto para descobrir a área do “martelo” basta saber a área do quadrado ( )1001010 =⋅ . Portanto, alternativa A.

Na resolução do problema apresentado, deve-se seguir o modelo Van Hiele quanto à

visualização, à analise, à dedução informal e à dedução.

191


No retângulo a seguir, A, B e C são pontos médios de seus lados e O é o ponto de

encontro de suas diagonais. A área da região sombreada é:

A) 4


B) 3


C) 2


D) 5


Resolução

Alternativa C

O aluno reconhece que a figura pode ser dividida em quatro partes, percebendo que a

região sombreada possui área igual a da região branca, logo, a área sombreada é metade da

área do retângulo.

Para a solução do problema pode-se utilizar os níveis de visualização e análise. do

modelo Van Hiele.

192


Na figura está representado o retângulo ABCD cuja diagonal AC foi dividida em três

partes iguais pelos pontos P e Q:


=BC e 9=CD é CORRETO afirmar que a área do

triângulo CDQ é

A) 18.

B) 18,75.

C) 22,50.

D) 45.

Resolução

Alternativa A


193

Trata-se de um item de nível elevado, pois o aluno precisa ter uma abstração capaz de

visualizar uma reta, passando por D, paralela ao segmento AC.

Entende-se, assim, que todo segmento perpendicular às duas retas é a altura. Inferir

essa definição não é fácil. Além disso, o aluno deve ter o domínio de que a área de um

triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta

paralela à base. Finalmente, quando duas figuras possuem mesma área, dizemos que elas são

equivalentes. A questão apresenta como habilidades cognitivas primordiais a compreensão,

interpretação e extrapolação.

A decomposição da figura se faz presente, uma vez que, primeiramente, decompõe-

se o retângulo em duas partes iguais, através da diagonal AC e, posteriormente, uma nova

decomposição em três partes iguais, pois os triângulos ADP, PDQ e QDC possuem mesma

base e mesma altura, logo, são congruentes e possuem área igual a 18, portanto alternativa

correta é a A.

Portanto, nessa atividade, a visualização, a análise e a dedução informal é de suma

importância para a solução da questão apresentada.

194


Observando a figura a seguir, na qual ABCD é um quadrado, determine a distância

percorrida por uma pessoa que sai do vértice A e percorre os contornos das

semicircunferências, retornando ao ponto A. ( Observação: Considerar ).14,3=π

A) 36 unidades de comprimento.

B) 37 unidades de comprimento.

C) 37,68 unidades de comprimento.

D) 38,68 unidades de comprimento.

Resolução

Alternativa C

Devemos perceber que o que se pede é o perímetro de quatro semicircunferências. A

seguir, reconhecermos que o lado do quadrado é 6, uma vez que a diagonal do quadrado é

26 . Logo, o raio r das circunferências é 3, metade do lado do quadrado. Esta questão exige

primeiramente, visualização além do reconhecimento da fórmula do comprimento de uma

circunferência, rC ⋅⋅= π2 .

Sendo assim, calcula-se 314,32 ⋅⋅=C 84,18=⇒ C . Como são duas

semicircunferências, a distância percorrida é .68,3784,182 =⋅ Portanto, alternativa C.

Nesta atividade, percebem-se os níveis visualização, análise, dedução informal e

dedução do modelo Van Hiele.

195


A circunferência circunscrita ao hexágono regular possui raio de 4 cm.

A partir dessa informação, é CORRETO afirmar que o caminho em negrito mede em

cm:

A) 204 +π

B) 208 +π

C) 28π

D) π24

Resolução

Alternativa A

Observa-se que o caminho em negrito da figura representa o seu perímetro.

Para a resolução da mesma, é necessário que o aluno visualize as cordas CD e AF

sendo essas os diâmetros das semicircunferências, e tenha conhecimento da fórmula

resolutiva do comprimento de uma circunferência e da propriedade de polígonos inscritíveis.

Para tanto, o caminho em negrito é calculado da seguinte maneira:

RPerímetro ⋅⋅+⋅= π245

2220 ⋅⋅+= πPerímetro

204 += πPerímetro

Nesta atividade percebem-se os níveis visualização, análise e dedução informal e

dedução.

196



as semicircunferências de diâmetro AB e BC, cujas medidas são 6 cm e 4 cm,

respectivamente.

O perímetro da região destacada, em cm, é:

A) π5 .

B) π10 .

C) π19 .

D) π20 .

Resolução

Alternativa B

Para resolver essa questão, os alunos precisam ser capazes de visualizar e analisar as

informações do texto com a figura, devendo perceber a decomposição da figura,

reconhecendo que o que se pede é a somatória do perímetro de cada uma das três

semicircunferências e não a área, apesar de a figura o induzir a pensar dessa forma.


fórmula C = 2⋅ π ⋅ r , o perímetro (P) da região sombreada é dado por:

P = π ⋅ 5 + π ⋅ 3 + π ⋅ 2 ⇒ P = 10π

Nesta atividade percebem-se os níveis visualização, análise e dedução informal e

dedução.

197


Na figura, o retângulo ABCD tem dimensões 15m e 6m e os arcos CE e AF têm centros

nos vértices B e D, respectivamente.


A) 81

B) 63

C) 36

D) 18

Resolução

Alternativa C

Nessa questão, espera-se que os alunos sejam capazes de visualizar e analisar as

informações do texto com a figura. Eles devem, portanto, perceber a decomposição e

composição da figura, reconhecendo que o que se pede é a área do retângulo menos a metade

da área do círculo (composição de duas partes).

Uma vez que a área do retângulo é o produto da base pela altura e que a do círculo é

2.r⋅π , a resolução da questão é imediata: 90-54 = 36..

Aconselha-se retomar as definições de círculo, circunferência, quadriláteros,

paralelogramos e retângulos, aplicando o modelo Van Hiele quanto à visualização e à análise

das figuras apresentadas.

198


Considere que os ângulos de todos os cantos da figura abaixo são retos e que todos os

arcos são arcos de circunferências de raio 2, com centros sobre os pontos em destaque:

199

Nesse caso, a área da região sombreada é igual a:

A) 4.

B) 4π .

C) 16.

D) 16π .

Resolução

Alternativa C

Considerando as seguintes construções na figura inicial e indicando por SA a área

sombreada, tem-se duas opções de reagrupamento da região sombreada mencionada no texto,

quer sejam:

a) b)

2lAS = 24=SA

16=SA

Nesta atividade, estão presentes os níveis Van Hiele, visualização, análise e dedução

informal.


Observe a figura:

200

Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e

HA congruentes. O valor da área sombreada, em função de r, é

A) ).2(2 −πr

B) ).1(2 2 −πr

C) .2 2r

D) ).1(2 −πr

Resolução

Alternativa A

Dado que os arcos são todos congruentes, então, podemos calcular os ângulos centrais:

A circunferência completa mede 360º, ou seja, 360º equivale a 8 arcos, logo, 1 arco equivale a

360º/8, que dá 45º.

Portanto, 45º é a medida de cada um dos ângulos de cada triângulo retângulo. Isso

indica que cada triângulo retângulo é isósceles (tem catetos iguais). Então, para cada

triângulo:

)( círculodoraiorhipotenusa=

201

acateto=

222 aar +=

22 2ar =

2

ra =

2

2

2⋅= r

a

2

2ra =

Percebe-se que na composição de dois triângulos obtém-se um quadrado.

A área sombreada, por sua vez, é obtida pela diferença entre a área do círculo e quatro

vezes a área do quadrado, logo:

QuadradodoÁreaCírculodoÁreaSombreadaÁrea ⋅−= 4

Seja sA a área sombreada.

2

2

2

24

⋅−⋅= r

rAs π

4

24

22 ⋅⋅−⋅= r

rAs π

22 2rrAs −⋅=π ( )22 −= πrAs

Os níveis visualização, análise, dedução informal e dedução estão presentes nesta

atividade.

202


Nessa figura, o triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2:

Então, a área da região hachurada é:

A) .3

334 −π

B) .3

332 −π

C) .3

343 −π

D) .3

323 −π

Resolução

Alternativa A

Considere as seguintes construções na figura inicial:

203

A área da região hachurada é igual a um terço da diferença entre a área do círculo e a

área do triângulo ABC. Como a única medida fornecida é o valor do raio r, deve-se escrever o

lado CB do triângulo, de medida igual a l , e sua altura AH, de medida igual a h , necessários

para o cálculo de sua área, em função do raio da circunferência. A altura do triângulo é igual à

soma de seu apótema, a= OH, com o raio, r = AO, da circunferência. Assim, deve-se

escrever o apótema em função do raio.

O triângulo ABC é equilátero e está inscrito na circunferência. O segmento OH= a = 1,

pois representa 3

1 da altura. Como o segmento AO = r = 2 , tem-se que h= 3.

Utilizando-se do Teorema de Pitágoras, chega-se a:

222 HBOHOB +=

222 12 HB+=

214 HB=−

3=HB , logo, o lado do triângulo é l = 32

( )TriângulodoÁreaCírculodoÁreahachuradaÁrea −⋅=3

1

−⋅⋅=

4

3

3

1 22 l

rhachuradaÁrea π

( )

−⋅=

4

3324

3

12

πhachuradaÁrea

−⋅=

4

3124

3

1 πhachuradaÁrea

( )3343

1 −⋅= πhachuradaÁrea

3

334 −= πhachuradaÁrea

Os níveis de Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise e dedução


204


Observe a figura:

Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ. O

perímetro do quadrilátero PQRS é

A) .311

B) .322

C) .211

D) .222

Resolução

Alternativa D

Considerando-se as seguintes construções na figura inicial e indicando por Po

perímetro do quadrilátero PQRS, tem-se:

( ) ( ) 21122112 xxxxP −++−+=

2211222112 xxxxP −++−+=

222=P

Os níveis de Van Hiele presentes na resoluçã são: visualização, análise e dedução


205

ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1ATIVIDADE 16666 Na figura abaixo, os círculos menores são tangentes entre si e aos círculos

concêntricos de raio r e R.

A área da região sombreada é:

A) ).3(2 22 RrRr +−⋅π

B) ).3(2 22 RrRr +−−⋅π

C) ).32(2 22 RrRr +−−⋅π

D) ).3( 22 RrRr +−⋅π

E) ).32( 22 RrRr +−−⋅π

Resolução

Alternativa C

Para resolver a questão é necessário que o aluno perceba a área sombreada como sendo a diferença entre o Círculo maior e a somatória do círculo intermediário com os 12 menores:

−⋅⋅+⋅−⋅=2

22

212

rRrRA πππ ⇒

+−⋅⋅+⋅−⋅=4

212

2222 rRrR

rRA πππ

]363[ 2222 rRrRrRA πππππ +−+−= ⇒ RrRrA πππ 624 22 +−−=

( )RrRrA 322 22 +−−= π . Portanto, alternativa C.

É importante ressaltar que pelo fato de os dados da questão apresentada acima não

serem numéricos, dificulta a resolução da questão. Como sugestão de atividades de

intervenção pedagógica é interessante discutir questões que facilitem a passagem de dados

aritméticos para algébricos.

Os níveis Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise e dedução


206

AAAATIVIDADE 1TIVIDADE 1TIVIDADE 1TIVIDADE 17777

A figura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em cm2, da região cinza?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

Resolução Alternativa D

Considere a decomposição do

retângulo indicada na figura, e seja aa área

do retângulo. As áreas 1B e 2B são iguais,

pois correspondem a áreas de triângulos

com mesma medida de base e altura; o

mesmo ocorre com 3B e 4B .

O triângulo retângulo formado por

1B , 2B e 3B tem como catetos um lado do retângulo e metade do outro lado; sua área é então

4

a e temos

4321

aBBB =++ ; o mesmo ocorre com 432 BBB ++ . Logo

432321 BBBBBB ++=++ , o que implica em 41 BB = . Logo 4321 BBBB === e segue que

43 1111

aBBBB ==++ , donde .

121

aB = Por simetria, todas essas conclusões se aplicam a

321 ,, CCC e 4C . Logo .143

42

3128 2cm

aaaA ===×−=

Os níveis Van Hiele presentes na resolução são: visualização, análise e dedução


207


Observe a figura:

Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores,

C1, C2, C3 e C4, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito.

Os centros de C1, C2, C3 e C4 estão em diâmetros de C perpendiculares a lados do

quadrado.

A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é

A) 223(8 +π ).

B) 223( +π ).

C) 223( −π ).

D) 223(2 −π ).

Resolução

Alternativa D

Considerando as seguintes construções na figura inicial e, posteriormente, aplicando o

Teorema de Pitágoras, tem-se:

208

222 2=+ xx

42 2 =x

2=x

222 =+r

2

22 −=r

24 rA ⋅⋅= π 2

2

224

−⋅⋅= πA

+−⋅⋅=4

22444 πA

( )246 −⋅= πA

ππ 246 −=A

( )2232 −= πA

Como sugestão, desenvolver atividades que envolvam figuras inscritíveis e

circunscritíveis em diferentes níveis de dificuldade, conforme os níveis Van Hiele:

visualização, análise e dedução informal e dedução.

209



Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 1; o triângulo BPQ é equilátero; e os

pontos P e Q pertencem, respectivamente, aos lados AD e CD.

Assim sendo, a área do triângulo BCQ é:

A) 2

13 −.

B) 2

32 +.

C) 2

32 −

D) 2

33−.

Resolução

Alternativa C

Para a resolução desta questão, é necessário que o aluno tenha conhecimentos sobre os

seguintes conteúdos: relações métricas no triângulo retângulo e área de triângulos e

quadriláteros.

210

Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado 1 e BPQ é um triângulo eqüilátero,

cujo lado é equivalente à hipotenusa do triângulo retângulo BCQ, de altura 1 e base x:

A partir do Teorema de Pitágoras, conclui-se que 21 xBQ += . Esse valor é

equivalente a PB e PQ.

A partir do triângulo retângulo DPQ, tem-se que:

( )2222 1)1()1( xxx +=−+− ⇒ 0142 =+− xx

As raízes da equação acima são 32 ±

Para essa situação, tem-se como condição de existência x < 1. No entanto, a solução da

equação é dada por x = 32 − , consequentemente, a área do triângulo BCQ é igual a

2

32 −. Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Sugerimos, como atividade de intervenção pedagógica, questões envolvendo a

decomposição de figuras planas, enfatizando o Teorema de Pitágoras, a área de polígonos

associadas à condição de existência de um dado problema, em que os níveis Van Hiele

visualização, análise e dedução informal e dedução estejam presentes.

211


O trapézio isósceles da figura tem um ângulo agudo de 60° e área 3

332. A área do

círculo inscrito nesse trapézio é:

A) π

B) 2π

C) 3π

D) 4π

Resolução

Alternativa D

Considerando-se as seguintes construções na figura inicial, observa-se que, para se

obter a área do círculo, é necessário determinar o raio do mesmo:

212

Sendo assim, utiliza-se a trigonometria básica para obter:

33

3

3

3

3

330 Rx

Rx

x

R

adjacentecateto

opostocatetotg =⇒⋅⋅=⇒=⇒=°

3

3

3

330

Ry

R

y

R

ytg =⇒=⇒=°

Dado que a área do trapézio é de 3

332, e mediante a figura inicial (metade da figura,

uma vez que a figura é simétrica), tem-se:

6

332

2

)( ⋅=⋅+ alturamenorBaseMaiorBase

6

332

2

23

33

=⋅

⋅+⋅ RR

R

⇒ 364623

333=⋅⋅

+R

RR ⇒

⇒ 364123

34 =⋅ RR

⇒ 2=R

Sabendo-se que a área do círculo é dada pela fórmula: 2RA ⋅= π , conclui-se que

π⋅= 4A .

Sugerimos como atividade de intervenção pedagógica, questões envolvendo a

decomposição de figuras planas, enfatizando o Teorema de Pitágoras, as áreas dos

quadriláteros e do círculo e a trigonometria básica, focadas nos níveis Van Hiele:

visualização, análise e dedução informal e dedução.

213

Aluno(a): _____________________________________________ Turma: _____ Data: ____/___/2010 Professor: Renato Frade

215 APÊNDICE B – DIAGNÓSTICO


QUESTÃO 01

Procedimentos utilizados para a resolução da questão.

Na figura, vê-se uma semicircunferência de diâmetro AC, no qual foram construídas as semicircunferências de diâmetro AB e BC, cujas medidas são 6 cm e 4 cm, respectivamente.

O perímetro da região sombreada, em cm, é

A) π5 .

B) π10 .

C) π19 .

D) π20 .

QUESTÃO 02


Na figura, o retângulo ABCD tem dimensões 15m e 6m e os arcos CE e AF têm centros nos vértices B e D, respectivamente.


A) 81.

B) 63.

C) 36.

D) 18.

217

QUESTÃO 03


Na figura, a distância entre o

ponto O, centro da

circunferência, e o lado BC do

triângulo eqüilátero ABC é 8 cm.

Calcule, em cm2, a área sombreada.

QUESTÃO 04



Se a malha é quadriculada com quadrados de lados iguais a 1 km, então a área, em km2, da região a ser cultivada, é :

A) 29.

B) 31.

C) 34.

D) 40.

218


219


QUESTÃO 06


Na figura está representado o retângulo ABCD cuja diagonal AC foi dividida em três partes iguais pelos pontos P e Q.


=BC , é CORRETO afirmar que a área do triângulo CDQ é A) 18.

B) 18,75.

C) 22,50.

D) 45.

QUESTÃO 05


Na figura, o setor circular de centro A e raio 5 cm está inscrito no triângulo ABC retângulo em B.

Considerando-se que a medida do ângulo BAC é 60º e que a medida do segmento PC é de 5 cm, CALCULE , em centímetros, o perímetro da região sombreada.

221


QUESTÃO 08


Observe a figura

Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA congruentes. O valor da área sombreada, em função de r, é

A) ).2(2 −πr

B) ).1(2 2 −πr

C) .2 2r

D) ).1(2 −πr

QUESTÃO 07


Na figura, a circunferência de diâmetro AB e Centro O tem raio igual a r, r > 0. O arco OB é uma semi circunferência. O valor da área da figura sombreada é

A) 8

3 π r2.

B) π8

1r2.

C) π4

1r2.

D) π2

1r2.

223


QUESTÃO 10


De uma placa de 16 cm2 , foi

recortada uma peça conforme

indicado na figura. A medida da

área da peça recortada, em

centímetros quadrados, é

A) 4.

B) 5.

C) 6.

D) 7.

QUESTÃO 09

Procedimentos utilizados para a

resolução da questão. Na figura I, está representado um retângulo, cuja base mede 25 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões α , β e γ . Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II.

Então, é CORRETO afirmar que a área da região α , em cm2, mede

A) 24 .

B) 28.

C) 30.

D) 32.

225


QUESTÃO 12


Observe a figura :

Um quadrado de área A está circunscrito a uma circunferência de centro O. Se inscrevermos outro quadrado à mesma circunferência, sua área será igual a

A) 2

A

B) 3

A

C) 2

3A

D) 3

3A

QUESTÃO 11


Nessa figura, o triângulo eqüilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2:

Então, a área da região hachurada é

A) .3

334 −π

B) .3

332 −π

C) .3

343 −π

D) .3

323 −π

227


QUESTÃO 14


Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é

A) 16 2cm B) 24 2cm C) 28 2cm D) 32 2cm

QUESTÃO 13


Na figura, o retângulo ABCD está inscrito na semicircunferência de centro na origem O. Sabendo-se que as coordenadas do ponto A, são (– 4, 3) e que π = 3,14 , a área hachurada é igual a

A) 12,75.

B) 15,25.

C) 18,50.

D) 20,25.

229

QUESTÃO 15


Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é:

A) 98.

B) 102.

C) 108.

D) 112.

QUESTÃO 16


Cada quadradinho do quadriculado tem 4cm de lado. O perímetro da figura hachurada, em cm é: (considere

2 = 1,4).

A) 40.

B) 52.

C) 82.

D) 92.

230


231

QUESTÃO 17


A área da figura colorida, onde r = 2 m, vale em metros quadrados:

A) 4π

B) 6π

C) 8π

D) 10π

QUESTÃO 18


Um cavalo encontra-se preso em um cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50 m. Ele está amarrado a uma corda de 40 m, fixada num dos cantos do quadrado.

Considerando π = 3,14 a área, em m2, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, por estar amarrado, é:

A) 1444 B) 1424 C) 1156 D) 1244

232


233

QUESTÃO 20


Observe a figura

Nessa figura os triângulos ABC e

DEF são equiláteros. AB = 6 cm ,

CF= 1 cm e D é ponto médio de

AC. A área hachurada é , em

cm2, igual a:

A) 4

3.7

B) 4

3.6

C) 4

3.5

D) 4

3.4

QUESTÃO 19


Considere que os ângulos de todos

os cantos da figura abaixo são

retos e que todos os arcos são

arcos de circunferências de raio 2,

com centros sobre os pontos em

destaque.

A área da região sombreada é

igual a

A) 4.

B) 4π .

C) 16.

D) 16π .

G

F

E

D C

B

A

234


235


QUESTÃO 22


Observe a figura

Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e

AP = AS = CR = CQ.

O perímetro do quadrilátero PQRS é

A) .311

B) .322

C) .211

D) .222

QUESTÃO 21


A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a:

A) 33 .

B) 2

33.

C) 3 .

D) 2

3.

237


QUESTÃO 24


Nesta figura, os dois círculos são tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD:

Sabe-se que . o raio do círculo menor e o do círculo maior medem, respectivamente, 2 cm e 4 cm; e . o lado AB do retângulo mede 9 cm . 1. CALCULE o comprimento do lado AD do retângulo. 2. CALCULE a área da região sombreada na figura.

QUESTÃO 23


Observe a figura

Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do retângulo EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma circunferência. O segmento AC e o raio dessa circunferência medem, respectivamente, 12 cm e 7 cm. Assim sendo, é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD, em cm2, é

A) .134

B) .136

C) .138

D) .1312

239

QUESTÃO 25


Observe as figuras

Duas regiões, uma com a forma de um quadrado e a outra com a forma de um hexágono regular, têm os lados construídos utilizando-se dois pedaços de arame de comprimentos iguais. A razão entre a área da região hexagonal e a área da região quadrada , respectivamente, é :

A) 3

23

B) 2

33

C) 3

D) 3

3

QUESTÃO 26


O trapézio isósceles da figura tem um ângulo agudo de 60° e

área 3

332. A área do

círculo inscrito nesse trapézio é

A) π

B) 2π

C) 3π

D) 4π

240


241

QUESTÃO 27



Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 1; o triângulo BPQ é eqüilátero; e os pontos P e Q pertencem, respectivamente, aos lados AD e CD. Assim sendo, a área do triângulo BCQ é

A) 2

13 −.

B) 2

32 +.

C) 2

32−

D) 2

33−.

QUESTÃO 28


Observe a figura

Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores, C1, C2, C3 e C4, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito. Os centros de C1, C2, C3 e C4 estão em diâmetros de C perpendiculares a lados do quadrado. A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é

A) 223(8 +π ).

B) 223( +π ).

C) 223( −π ).

D) 223(2 −π ).

242


QUESTÃO 29


Na figura, vê-se uma semicircunferência de diâmetro AC, no qual foram construídas as semicircunferências de diâmetro AB e BC, cujas medidas são 6 cm e 4 cm, respectivamente.

O perímetro da região destacada, em cm, é

A) π5 .

B) π10 .

C) π19 .

D) π20 .

QUESTÃO 30

Procedimentos utilizados para a resolução da

questão. A circunferência circunscrita ao hexágono regular possui raio de 4 cm.

A partir dessa informação é CORRETO afirmar que o caminho em negrito mede em cm: A) 204 +π

B) 208 +π

C) 28π

D) π24

Documents

Renato Frade Dissertação