Relatii metrice n triunghiul dreptunghicTeorema nlimii Teorema catetei Teorema lui Pitagora
De ce trebuie s nvm aceste teoreme?Aceasta teoreme ne ajut s calculam lungimile unor segmente. OBSERVAIE: Aceste teoreme se pot aplica doar n triunghiul dreptunghic.
S NE REAMINTIM CTE CEVA
1. Se d triunghiul ABC, dreptunghic n A. a) Cum se numete latura AC? b) Cum se numete latura BC? c) Cum se numete latura AB?
RSPUNS:AC - catet BC - ipotenuz AB - catet
Problem
1. Se d triunghiul ABC, dreptunghic n A. - ducei nlimea corespunztoare laturii AC - ducei nlimea corespunztoare laturii AB - ducei nlimea AD corespunztoare laturii BC
Aa trebuia s procedai:B
D
A
C
2. Cine este proiecia catetei AB pe ipotenuza BC?
RSPUNS:
BD.
2. Cine este proiectia catetei AC pe ipotenuza BC?
RASPUNS:
DC.
Enun: TEOREMA NLIMIIntr-un triunghi dreptunghic ptratul lungimii nlimii duse din vrful unghiului drept este egal cu produsul lungimii proieciilor catetelor pe ipotenuz.
AD = BD DC2
A
Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC)n
m B
D
C
Consideram un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC) Presupunnd cunoscute lungimile proieciilor catetelor pe ipotenuz: BD=m, CD=n, ne intrebm cum putem afla lungimea nlimii AD.
A
m B D
n C
Demonstrm c triunghiurile ABC, DBA, i DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB i CDA sunt congruente deoarece sunt drepte i unghiurile BAD i ACD sunt congruente deoarece au acelai complement i anume unghiul CAD)
Pe noi ne intereseaz asemanarea dintre triunghiurile ABD i CAD pentru c acestea au pe AD catet. ABD~ CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporionalitatea laturilor obinem:
AD = BD DC2
Enun: TEOREMA CATETEIntr-un triunghi dreptunghic o catet este medie geometric ntre ipotenuz i proiecia acestei catete pe ipotenuz.
AB = BC BD2
AC = BC CD2
A
Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC)C
B
D
Consideram un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC) Presupunnd cunoscute lungimile proieciilor catetelor pe ipotenuz: BD=m, CD=n, ne intrebm cum putem afla lungimea catetei AB.
A
m B D
n C
Demonstrm c triunghiurile ABC, DBA, i DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB i CDA sunt congruente deoarece sunt drepte i unghiurile BAD i ACD sunt congruente deoarece au acelai complement i anume unghiul CAD)
Pe noi ne intereseaz asemanarea dintre triunghiurile ABD i CAD pentru c acestea au pe AD catet. ABD~ CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporionalitatea laturilor obinem:
AB = BD BC2
Enun: TEOREMA LUI PITAGORAntr-un triunghi dreptunghic ptratul ipotenuzei este egal cu suma ptratelor catetelor.
BC = AB + AC2 2
2
A
Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC)C
B
D
Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC) Presupunnd cunoscute lungimile catetelor i lungimea ipotenuzei: AB=a, AC=b, BC=c,demonstrm teorema.
A
Scriem aria triunghiului ABC n dou moduri:AB AC AD BC = 2 2
B
D
C
BC = AB + AC2 2
2
S rezolvm probleme!
Problema 1.Aflai lungimea nlimii corespunztoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic tiind c proieciile catetelor pe ipotenuz au dimensiunile de 4cm si 6cm.
Problema 2.Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu baza BC. Aflai lungimea nlimii AD, tiind c BC este 6 dm.
Problema 3.ABCD este un dreptunghi iar E este intersecia dreptei AB cu perpendiculara n C pe AC. Calculai AE, tiind c AB=3cm i AD=2cm.
