relações de maxwell

5/16/2018 relações de maxwell - slidepdf.com

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2 1 0 R e v i s t a B r a s i l e i r a d e E n s i n o d e F s i c a , v o l . 2 2 , n o . 2 , J u n h o , 2 0

R e l a c ~ o e s T e r m o d i n ^ a m i c a s d e M a x w e l l

V i a F o r m a s D i f e r e n c i a i s

J o s e M a r i a F i l a r d o B a s s a l o e Z n i a d e A q u i n o V a l e n t e

D e p a r t a m e n t o d e F s i c a d a U F P A - 6 6 0 7 5 - 9 0 0 , G u a m a , B e l e m , P a r a

M a u r o S e r g i o D o r s a C a t t a n i

I n s t i t u t o d e F s i c a d a U S P - 0 5 3 8 9 - 9 7 0 , S ~ a o P a u l o , S P

R e c e b i d o e m 2 0 d e f e v e r e i r o , 2 0 0 0

N e s t e a r t i g o , v a m o s o b t e r a s r e l a c ~ o e s t e r m o d i n ^ a m i c a s d e M a x w e l l u s a n d o o f o r m a l i s m o d a s f o r m a s

d i f e r e n c i a i s .

I n t h i s a r t i c l e , w e o b t a i n e d t h e M a x w e l l ' s t h e r m o d y n a m i c s r e l a t i o n s b y u s i n g t h e d i e r e n t i a l f o r m s .

I I n t r o d u c ~ a o

E m 1 8 7 0 , o f s i c o e m a t e m a t i c o e s c o c ^ e s J a m e s C l e r k

M a x w e l l ( 1 8 3 1 - 1 8 7 9 ) p u b l i c o u o l i v r o i n t i t u l a d o T h e o r y

o f H e a t , n o q u a l d e d u z i u r e l a c ~ o e s e n t r e a s v a r i a v e i s t e r -

m o d i n ^ a m i c a s ( n a n o t a c ~ a o a t u a l ) p r e s s ~ a o ( P ) , v o l u m e

( V ) , e n t r o p i a ( S ) , t e m p e r a t u r a ( T ) , n u m e r o d e m o l e s

( N ) , p o t e n c i a l e l e t r o q u m i c o ( ) , e s u a s d e r i v a d a s p a r -

c i a i s .

E s s a s r e l a c ~ o e s , c o n h e c i d a s d e s d e e n t ~ a o c o m o a s

r e l a c ~ o e s d e M a x w e l l , f o r a m d e d u z i d a s p o r M a x w e l l

u s a n d o a r g u m e n t o s g e o m e t r i c o s b a s e a d o n o d i a g r a m a

d e e i x o s o r t o g o n a i s p r e s s ~ a o ; v o l u m e ( P ; V ) , d i a -

g r a m a e s s e q u e h a v i a s i d o i d e a l i z a d o p e l o f s i c o f r a n c ^e s

B e n o i t P i e r r e E m i l e C l a p e y r o n ( 1 7 9 9 - 1 8 6 4 ) , e m 1 8 3 4 ,

p a r a r e p r e s e n t a r a s t r a n s f o r m a c ~ o e s t e r m o d i n ^ a m i c a s s o -

f r i d a s p e l o s g a s e s .

A a p l i c a c ~ a o d a G e o m e t r i a a T e r m o d i n ^ a m i c a r e -

a l i z a d a p o r M a x w e l l f o i l o g o e s t e n d i d a p e l o f s i c o

n o r t e - a m e r i c a n o J o s i a h W i l l i a r d G i b b s ( 1 8 3 9 - 1 9 0 3 ) , e m

1 8 7 3 , a o r e p r e s e n t a r a s p r o p r i e d a d e s t e r m o d i n ^ a m i c a s

d a s s u b s t ^ a n c i a s p o r i n t e r m e d i o d e s u p e r f c i e s e n t r o p i a -

v o l u m e - t e m p e r a t u r a e o s r e s p e c t i v o s d i a g r a m a s t i p o

\ c l a p e y r i a n o s " : e n t r o p i a t e m p e r a t u r a ( S ; T ) , e n t r o -

p i a ; v o l u m e ( S ; V ) , e v o l u m e ; t e m p e r a t u r a ( V ; T ) .

O e s t u d o a n a l t i c o d a s s u p e r f c i e s f e i t o p e l o m a -

t e m a t i c o f r a n c ^ e s A d r i e n M a r i e L e g e n d r e ( 1 7 5 2 - 1 8 3 3 ) ,

e m 1 7 8 7 , p o r i n t e r m e d i o d e u m a t r a n s f o r m a c ~ a o m a -

t e m a t i c a , c o n h e c i d a a p a r t i r d a c o m o t r a n s f o r m a d a d e

L e g e n d r e , b e m c o m o o e s t u d o d a s d e r i v a d a s p a r c i a i s ,

p e r m i t i u a d e m o n s t r a c ~ a o d a s r e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o -

n h e c i d a s h o j e ( v i d e , p o r e x e m p l o , o l i v r o d o C a l l e n c i -

t a d o n a s R e f e r ^ e n c i a s ) .

O t e o r e m a d e m o n s t r a d o , e m 1 9 0 9 , p e l o m a t e m a t i c o

a l e m ~ a o C o n s t a n t i n C a r a t h e o d o r y ( 1 8 7 3 - 1 9 5 0 ) s o b r e

f o r m a s d i f e r e n c i a i s , a c r e s c i d o d a p e s q u i s a s i s t e m a t

s o b r e t a i s f o r m a s r e a l i z a d a p e l o m a t e m a t i c o f r a n c ^ e s

E

C a r t a n ( 1 8 6 9 - 1 9 5 1 ) , n a d e c a d a d e 1 9 2 0 , p e r m i t i r a m

t u d o s p o s t e r i o r e s s o b r e e s s e s e n t e s m a t e m a t i c o s , q

l e v a r a m a f o r m u l a c ~ a o a x i o m a t i c a d a T e r m o d i n ^ a m i

i n c l u s i v e a s r e l a c ~ o e s d e M a x w e l l . V e j a - s e , p o r e x e

p l o , o t e x t o d e B a m b e r g e S t e r n b e r g , m e n c i o n a d o n

R e f e r ^ e n c i a s .

N e s t e a r t i g o , d e m o n s t r a r e m o s a l g u m a s d a s r e l a c ~ o

d e M a x w e l l l i s t a d a s n o l i v r o d o C a l l e n u s a n d o a s f o r m

d i f e r e n c i a i s , c u j o s p r i n c i p a i s r e s u l t a d o s s ~ a o a p r e s e n

d o s n o A p ^ e n d i c e .

I I R e l a c ~ o e s T e r m o d i n ^ a m i c a s d

M a x w e l l

T e n d o e m v i s t a q u e o o b j e t i v o d e s t e a r t i g o e a p e n

d e m o n s t r a r a s r e l a c ~ o e s d e M a x w e l l p o r i n t e r m e d i o d

f o r m a s d i f e r e n c i a i s , u s a r e m o s a s e x p r e s s ~ o e s d i f e r e n c i

( t r a n s f o r m a d a d e L e g e n d r e ) e n t r e a s f u n c ~ o e s o u p o t e

c i a i s t e r m o d i n ^ a m i c o s e n e r g i a i n t e r n a U e n t a l p i a

e n e r g i a l i v r e ( f u n c ~ a o d e H e l m h o l t z ) F e n t a l p i a l i v

( f u n c ~ a o d e G i b b s ) G ] c o n v e n i e n t e s p a r a a o b t e n c ~ a o

q u a l q u e r u m a d a q u e l a s r e l a c ~ o e s , s e m q u a l q u e r d e m o

t r a c ~ a o p r e v i a d a t r a n s f o r m a d a c o r r e s p o n d e n t e .

S e g u n d o a T e o r i a d a s E q u a c ~ o e s D i f e r e n c i a i s , d a

u m a d e t e r m i n a d a f u n c ~ a o ( f ) e x p r e s s a e m t e r m o s

( n + 1 ) v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , e x i s t e m n ( n + 1 ) = 2 p a

s e p a r a d o s d e d e r i v a d a s s e g u n d a s p a r c i a i s d e s s a m e s m

f u n c ~ a o . P o r t a n t o , p a r a c a d a p o t e n c i a l t e r m o d i n ^ a m

u s a d o n e s t e t e x t o , t e r e m o s n ( n + 1 ) = 2 r e l a c ~ o e s d e M a

w e l l .

A s s i m , c o n s i d e r a n d o - s e c a d a p o t e n c i a l t e r m

d i n ^ a m i c o c o m o f u n c ~ a o d e t r ^ e s v a r i a v e i s t e r m o d i n ^ a m i c



J o s e M a r i a F i l a r d o B a s s a l o e t a l . 2 1 1

i n d e p e n d e n t e s ( v i d e R e f . 3 ) , e n t ~ a o , p a r a c a d a p a r d e s -

s a s v a r i a v e i s h a v e r a , d e a c o r d o c o m o q u e a r m a m o s

a c i m a , t r ^ e s r e l a c ~ o e s d e M a x w e l l . D e m o n s t r a r e m o s s e m -

p r e u m a d e s s a s r e l a c ~ o e s , d e i x a n d o - s e a d e m o n s t r a c ~ a o

d a s d e m a i s p a r a o l e i t o r i n t e r e s s a d o .

I I . 2 F u n c ~ a o E n e r g i a I n t e r n a U ( S V N )

N e s t e c a s o , a t r a n s f o r m a d a d e L e g e n d r e c o r r e s p o n -

d e n t e s e r a d a d a p o r ( v i d e R e f . 3 ) :

d U = T d S ; P d V + d N ( 2 1 1 )

I I . 1 . 1 R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o r r e s p o n d e n t e s a o

p a r ( S V )

P a r a e s s e p a r d e v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , t e r e m o s

( n e s s e c a s o N = c o n s t a n t e ) :

c

d T ( S V ) = (

@ T

@ S

)

V N

d S + (

@ T

@ V

)

S N

d V ( 2 1 1 1 )

d P ( S V ) = (

@ P

@ S

)

V N

d S + (

@ P

@ V

)

S N

d V ( 2 1 1 2 )

d ( S V ) = (

@

@ S

)

V N

d S + (

@

@ V

)

S N

d V : ( 2 1 1 3 )

C a l c u l a n d o - s e a d i f e r e n c i a c ~ a o e x t e r i o r d a e x p r e s s ~ a o ( 2 . 1 . 1 ) p o r i n t e r m e d i o d a e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 b ) e u s a n d o - s e

o L e m a d e P o i n c a r e e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 c ) ] , r e s u l t a r a ( l e m b r a r q u e o s p o t e n c i a i s e a s v a r i a v e i s t e r m o d i n ^ a m i c a s s ~ a o

0 - f o r m a s e q u e d N = 0 ) :

d d U = d T ̂ d S + T ̂ d d S ; d P ̂ d V ; P ̂ d d V = 0 ! d T ̂ d S = d P ̂ d V : ( 2 1 1 4 )

U s a n d o - s e a s e x p r e s s ~ o e s ( 2 . 1 . 1 . 1 , 2 ) n a e x p r e s s ~ a o ( 2 . 1 . 1 . 4 ) e c o n s i d e r a n d o - s e a s e x p r e s s ~ o e s ( A . 1 . 2 d , e ) , v i r a :

(

@ T

@ S

)

V N

d S + (

@ T

@ V

)

S N

d V ̂ d S = (

@ P

@ S

)

V N

d S + (

@ P

@ V

)

S N

d V ̂ d V !

(

@ T

@ V

)

S N

d V ̂ d S = ; (

@ P

@ S

)

V N

d V ̂ d S ! (

@ T

@ V

)

S N

= ; (

@ P

@ S

)

V N

( 2 1 1 5 )

I I . 2 F u n c ~ a o E n e r g i a I n t e r n a U ( S V )

N e s t e c a s o , a t r a n s f o r m a d a d e L e g e n d r e c o r r e s p o n d e n t e s e r a d a d a p o r ( v i d e C a l l e n ) :

d U = T d S ; P d V ; N d : ( 2 2 1 )

I I . 2 . 1 R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o r r e s p o n d e n t e s a o p a r ( S V )

P a r a e s s e p a r d e v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , t e r e m o s ( n e s s e c a s o = c o n s t a n t e ) :

d T ( S V ) = (

@ T

@ S

)

V

d S + (

@ T

@ V

)

S

d V ( 2 2 1 1 )

d P ( S V ) = (

@ P

@ S

)

V

d S + (

@ P

@ V

)

S

d V ( 2 2 1 2 )

d N ( S V ) = (

@ N

@ S

)

V

d S + (

@ N

@ V

)

S

d V : ( 2 2 1 3 )

C a l c u l a n d o - s e a d i f e r e n c i a c ~ a o e x t e r i o r d a e x p r e s s ~ a o ( 2 . 2 . 1 ) p o r i n t e r m e d i o d a e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 b ) e u s a n d o - s e o

L e m a d e P o i n c a r e e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 c ) ] , r e s u l t a r a ( l e m b r a r q u e d = 0 ) :

d d U = d T ̂ d S + T ̂ d d S ; d P ̂ d V ; P ̂ d d V = 0 ! d T ̂ d S = d P ̂ d V : ( 2 2 1 4 )

U s a n d o - s e a s e x p r e s s ~ o e s ( 2 . 2 . 1 . 1 . 2 ) n a e x p r e s s ~ a o ( 2 . 2 . 1 . 4 ) e c o n s i d e r a n d o - s e a s e x p r e s s ~ o e s ( A . 1 . 2 d , e ) , v i r a :

(

@ T

@ S

)

V

d S + (

@ T

@ V

)

S

d V ̂ d S = (

@ P

@ S

)

V

d S + (

@ P

@ V

)

S

d V ̂ d V !




(

@ T

@ V

)

S

d V ̂ d S = ; (

@ P

@ S

)

V

d V ̂ d S ! (

@ T

@ V

)

S

= ; (

@ P

@ S

)

V

( 2 2 1

I I . 3 F u n c ~ a o E n e r g i a I n t e r n a U ( T V )

N e s t e c a s o , a t r a n s f o r m a d a d e L e g e n d r e c o r r e s p o n d e n t e s e r a d a d a p o r ( v i d e R e f . 3 ) :

d U = ; S d T ; P d V ; N d : ( 2 3

I I . 3 . 1 R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o r r e s p o n d e n t e s a o p a r ( T )

P a r a e s s e p a r d e v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , t e r e m o s ( n e s s e c a s o V = c o n s t a n t e ) :

d S ( T ) = (

@ S

@ T

)

V

d T + (

@ S

@

)

T V

d ( 2 3 1

d P ( T ) = (

@ P

@ T

)

V

d T + (

@ P

@

)

T V

d ( 2 3 1

d N ( T ) = (

@ N

@ T

)

V

d T + (

@ N

@

)

T V

d : ( 2 3 1


L e m a d e P o i n c a r e e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 c ) ] , r e s u l t a r a ( l e m b r a r q u e d V = 0 ) :

d d U = ; d S ̂ d T ; S ̂ d d T ; d N ̂ d ; N ̂ d d = 0 ! d S ̂ d T = ; d N ̂ d : ( 2 3 1


(

@ S

@ T

)

V

d T + (

@ S

@

)

T V

d ̂ d T = ; (

@ N

@ T

)

V

d T + (

@ N

@

)

T V

d ̂ d !

(

@ S

@

)

T V

d ̂ d T = (

@ N

@ T

)

V

d ̂ d T ! (

@ S

@

)

T V

= (

@ N

@ T

)

V

( 2 3 1

I I . 4 F u n c ~ a o E n e r g i a I n t e r n a U ( S P )


d U = T d S + V d P ; N d : ( 2 4

I I . 4 . 1 R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o r r e s p o n d e n t e s a o p a r ( S P )

P a r a e s s e p a r d e v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , t e r e m o s ( n e s s e c a s o = c o n s t a n t e ) :

d T ( S P ) = (

@ T

@ S

)

P

d S + (

@ T

@ P

)

S

d P ( 2 4 1

d V ( S P ) = (

@ V

@ S

)

P

d S + (

@ V

@ P

)

S

d P ( 2 4 1

d N ( S P ) = (

@ N

@ S

)

P

d S + (

@ N

@ P

)

S

d P : ( 2 4 1


L e m a d e P o i n c a r e e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 c ) ] , r e s u l t a r a ( l e m b r a r q u e d = 0 ) :

d d U = d T ̂ d S + T ̂ d d S + d V ̂ d P + V ̂ d d P = 0 ! d T ̂ d S = ; d V ̂ d P : ( 2 4 1


(

@ T

@ S

)

P

d S + (

@ T

@ P

)

S

d P ̂ d S = ; (

@ V

@ S

)

P

d S + (

@ V

@ P

)

S

d P ̂ d P !




(

@ T

@ P

)

S

d P ̂ d S = (

@ V

@ S

)

P

d P ̂ d S ! (

@ T

@ P

)

S

= (

@ V

@ S

)

P

( 2 4 1 5 )

I I . 5 F u n c ~ a o E n e r g i a L i v r e ( H e l m h o l t z ) F ( T V N )


d F = ; S d T ; P d V + d N : ( 2 5 1 )

I I . 5 . 1 R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o r r e s p o n d e n t e s a o p a r ( T V )

P a r a e s s e p a r d e v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , t e r e m o s ( n e s s e c a s o N = c o n s t a n t e ) :

d S ( T V ) = (

@ S

@ T

)

V N

d T + (

@ S

@ V

)

T N

d V ( 2 5 1 1 )

d P ( T V ) = (

@ P

@ T

)

V N

d T + (

@ P

@ V

)

T N

d V ( 2 5 1 2 )

d ( T V ) = (

@

@ T

)

V N

d T + (

@

@ V

)

T N

d V : ( 2 5 1 3 )


L e m a d e P o i n c a r e e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 c ) ] , r e s u l t a r a ( l e m b r a r q u e d N = 0 ) :

d d F = ; d S ̂ d T ; S ̂ d d T ; d P ̂ d V ; P ̂ d d V = 0 ! d S ̂ d T = ; d P ̂ d V : ( 2 5 1 4 )


(

@ S

@ T

)

V N

d T + (

@ S

@ V

)

T N

d V ̂ d T = ; (

@ P

@ T

)

V N

d T + (

@ P

@ V

)

T N

d V ̂ d V !

(

@ S

@ V

)

T N

d V ̂ d T = (

@ P

@ T

)

V N

d V ̂ d T ! (

@ S

@ V

)

T N

= (

@ P

@ T

)

V N

( 2 5 1 5 )

I I . 6 F u n c ~ a o E n t a l p i a H ( S P N )


d H = T d S + V d P + d N : ( 2 6 1 )

I I . 6 . 1 R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o r r e s p o n d e n t e s a o p a r ( S N )

P a r a e s s e p a r d e v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , t e r e m o s ( n e s s e c a s o P = c o n s t a n t e ) :

d T ( S N ) = (

@ T

@ S

)

N P

d S + (

@ T

@ N

)

S P

d N ( 2 6 1 1 )

d V ( S N ) = (

@ V

@ S

)

N P

d S + (

@ V

@ N

)

S P

d N ( 2 6 1 2 )

d ( S N ) = (

@

@ S

)

N P

d S + (

@

@ N

)

S P

d N : ( 2 6 1 3 )


L e m a d e P o i n c a r e e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 c ) ] , r e s u l t a r a ( l e m b r a r q u e d P = 0 ) :

d d H = d T ̂ d S + T ̂ d d S + d ̂ d N + ̂ d d N = 0 ! d T ̂ d S = ; d ̂ d N : ( 2 6 1 4 )


(

@ T

@ S

)

N P

d S + (

@ T

@ N

)

S P

d N ̂ d S = ; (

@

@ S

)

N P

d S + (

@

@ N

)

S P

d N ̂ d N !




(

@ T

@ N

)

S P

d N ̂ d S = (

@

@ S

)

N P

d N ̂ d S ! (

@ T

@ N

)

S P

= (

@

@ S

)

N P

( 2 6 1

I I . 7 F u n c ~ a o E n t a l p i a L i v r e ( F u n c ~ a o d e G i b b s ) G ( T P N )


d G = ; S d T + V d P + d N : ( 2 7

I I . 7 . 1 R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l c o r r e s p o n d e n t e s a o p a r ( T P )

P a r a e s s e p a r d e v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , t e r e m o s ( n e s s e c a s o N = c o n s t a n t e ) :

d S ( T P ) = (

@ S

@ T

)

P N

d T + (

@ S

@ P

)

T N

d P ( 2 7 1

d V ( T P ) = (

@ V

@ T

)

P N

d T + (

@ V

@ P

)

T N

d P ( 2 7 1

d ( T P ) = (

@

@ T

)

P N

d T + (

@

@ P

)

T N

d P : ( 2 7 1


L e m a d e P o i n c a r e e x p r e s s ~ a o ( A . 2 . 1 c ) ] , r e s u l t a r a ( l e m b r a r q u e d N = 0 ) :

d d G = ; d S ̂ d T ; S ̂ d d T + d V ̂ d P + V ̂ d d P = 0 ! d S ̂ d T = d V ̂ d P : ( 2 7 1


(

@ S

@ T

)

P N

d T + (

@ S

@ P

)

T N

d P ̂ d T = (

@ V

@ T

)

P N

d T + (

@ V

@ P

)

T N

d P ̂ d P !

(

@ S

@ P

)

T N

d P ̂ d T = ; (

@ V

@ T

)

P N

d P ̂ d T ! (

@ S

@ P

)

T N

= ; (

@ V

@ T

)

P N

( 2 7 1

d

I I I C o n c l u s ~ o e s

N a c o n c l u s ~ a o d e s t e a r t i g o , e i n t e r e s s a n t e d e s t a c a r q u e ,

e m 1 9 2 9 , o f s i c o a l e m ~ a o M a x B o r n ( 1 8 8 2 - 1 9 7 0 , P N F ,

1 9 5 4 ) a p r e s e n t o u u m d i a g r a m a m n e m ^ o n i c o p a r a o b -

t e r a l g u m a s r e l a c ~ o e s d e M a x w e l l . E s s e d i a g r a m a c o n -

s i s t e d e u m q u a d r a d o c o m e c h a s a p o n t a n d o p a r a

c i m a a o l o n g o d a s d u a s d i a g o n a i s . O s l a d o s s ~ a o d e -

n o m i n a d o s c o m o s q u a t r o p o t e n c i a i s t e r m o d i n ^ a m i c o s

( F G H U ) , n e s s a o r d e m , p a r t i n d o d e F c o l o c a d o

n a p a r t e d e c i m a d o q u a d r a d o e s e g u i n d o a d i r e c ~ a o d o s

p o n t e i r o s d o r e l o g i o . O s d o i s v e r t i c e s a e s q u e r d a s ~ a o

d e n o m i n a d o s V e S , d e c i m a p a r a b a i x o , e o s d o i s d a

d i r e i t a , T e P , t a m b e m d e c i m a p a r a b a i x o . P a r a u s a r

e s s e d i a g r a m a , c o n s u l t a r a R e f . 3 .

A p ^ e n d i c e

N e s t e A p ^ e n d i c e , v a m o s a p r e s e n t a r o s p r i n c i p a i s r e -

s u l t a d o s d a t e o r i a d a s f o r m a s d i f e r e n c i a i s ( v i d e , p o r

e x e m p l o a R e f . 7 ) . A m d e f a c i l i t a r a m a n i p u l a c ~ a o

d a n o t a c ~ a o i n d i c i a l , u s a r e m o s a n o t a c ~ a o d e E i n s t e i n :

i = n

X

i = 1

a

i

e

i

= a

i

e

i

D e n i c ~ a o A . 1 : D e n e - s e f o r m a d i f e r e n c i a l ! d e g r a u

( p - f o r m a ) a e x p r e s s ~ a o :

! =

1

p

a

i

1

i

2

: : : i

p

d x

i

1

̂ d x

i

2

̂ : : : ̂ d x

i

p

, ( A . 1 . 1 )

o n d e o s c o e c i e n t e s a

i

1

i

2

: : : i

p

s ~ a o f u n c ~ o e s d e c l a

C

1

( i n n i t a m e n t e d i f e r e n c i a v e i s ) d a s v a r i a v

( x

1

x

2

: : : x

n

) e c o m p l e t a m e n t e a n t i s s i m e t r i c o s n

n d i c e s , e o p r o d u t o e x t e r i o r ̂ s a t i s f a z a s p r o p r i e d a d

( a 2 R ) :

1 . d x ̂ ( d y + d z ) = d x ̂ d y + d x ̂ d z ( A . 1 . 2 a

2 . ( d x + d y ) ̂ d z = d x ̂ d z + d y ̂ d z ( A . 1 . 2 b

3 . a ( d x ̂ d y ) = ( a d x ) ̂ d y = d x ̂ ( a d y ) ( A . 1 . 2

4 . d x ̂ d x = 0 ( A . 1 . 2 d )

5 . d x ̂ d y = ; d y ̂ d x . ( A . 1 . 2 e )

D e n i c ~ a o A . 2 : S e j a m ( p - f o r m a ) , ( q - f o r m a ) e ( a

2 R ( c o r p o ) . D e n e - s e d i f e r e n c i a c ~ a o e x t e r i o r d c o m

u m a o p e r a c ~ a o q u e t r a n s f o r m a u m a d a d a r - f o r m a n u m

( r + 1 ) - f o r m a , c o m a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s :

1 . d ( a + b ) = a d + b d ( A . 2 . 1 a )

2 . d ( ̂ ) = ( d ) ̂ + ( ; 1 )

p

̂ d ( A . 2 . 1




3 . L e m a d e P o i n c a r e : d d = d

2

0 . ( A . 2 . 1 c )

R e f e r ^ e n c i a s

1 . B A M B E R G , P . a n d S T E R N B E R G , S . A C o u r s e i n

M a t h e m a t i c s f o r S t u d e n t s o f P h y s i c s 1 , 2 . C a m b r i d g e

U n i v e r s i t y P r e s s ( 1 9 9 2 ) .

2 . B A S S A L O , J . M . F . e C A T T A N I , M . S . D . , R e v .

B r a s . E n s . d e F i s . 2 1 ( 3 ) , 3 6 6 ( 1 9 9 9 ) . O b s e r v e - s e

q u e , n e s t a R e f e r ^ e n c i a , h a u m t r a t a m e n t o d a s L e i s d a

T e r m o d i n ^ a m i c a n o c o n t e x t o d o f o r m a l i s m o d a s f o r m a s

d i f e r e n c i a i s .

3 . C A L L E N , H . B . T h e r m o d y n a m i c s , J o h n W i l e y a n d

S o n s , I n c . ( 1 9 6 0 ) .

4 . C A R A T H

E O D O R Y , C . M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n 6 7

3 5 5 ( 1 9 0 9 ) .

5 . C A R T A N , E . F o r m e s D i e r e n t i e l l e s . ( H e r m a n n , P a -

r i s , 1 9 6 9 ) .

6 . C L A P E Y R O N , B . P . E . J o u r n a l d e l ' E c o l e P o l y t e -

c h n i q u e 1 4 , 1 9 0 ( 1 8 3 4 ) .

7 . F L A N D E R S , H . D i e r e n t i a l F o r m s w i t h A p p l i c a t i -

o n s t o t h e P h y s i c a l S c i e n c e s . A c a d e m i c P r e s s ( 1 9 6 3 ) .

8 . G I B B S , J . W . G r a p h i c a l M e t h o d s i n t h e T h e r m o d y -

n a m i c s o f F l u i d s ( 1 8 7 3 ) .

9 . L E G E N D R E , A . M . M e m o i r e s d e l ' A c a d e m i e d e s

S c i e n c e s , p . 3 4 8 ( 1 7 8 7 ) .

1 0 . M A X W E L L , J . C . T h e o r y o f H e a t ( L o n d o n , 1 8 7 0 ) .

1 1 . V A L E N T E , Z . A . R e l a c ~ o e s d e M a x w e l l d a T e r -

m o d i n ^ a m i c a a t r a v e s d e F o r m a s D i f e r e n c i a i s . T e s e d e

M e s t r a d o , D F U F P A ( 1 9 9 9 ) .

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