Relació entre dues variables qualitatives amb dues o més categories

Bioestadística FMCS Reus URV Curs 2012-13 1

Relació entre dues variables qualitatives amb dues o més categories.

Prova de Chi quadrat (2)


Distribució de freqüències: una variable qualitativa amb dues categories

(binaria) es descriu completament amb el percentatge o la freqüència de una de las categories i el número total de individus.

Relació entre dues variables qualitatives amb dues categories


Sexe: home/dona 30% o 57 homes i n = 190. 70% o 133 dones.

Obesitat: si/no 16% o 180 obesos i n = 1125. 84% o 945 no obesos.

Ingesta energètica insuficient: si/no 12% o 521 ingesta insuficient i n = 4342. 88% o 3821 ingesta no insuficient.

Descripció de la informació de variables qualitatives amb dues categories

Sexe: home/dona 30% o 57 homes i n = 190.

Obesitat: si/no 16% o 180 obesos i n = 1125.

Ingesta energètica insuficient: si/no 12% o 521 ingesta insuficient i n = 4342.


Distribució de freqüències: una variable qualitativa amb k (més de dues)

categories es descriu completament amb el percentatge o la freqüència de k-1 de les categories i el nombre total d’individus.

Relació entre dues variables qualitatives amb més de dues categories.


12’6% o 32 Alt

Descripció de la informació de variables qualitatives amb més de dues categories

Nivell socioeconòmic: Baix/Mig baix/ Mig alt/Alt 11’9% o 30 Baix o n =253 35’2% o 89 Mig baix 40’3% o 102 Mig alt


S’utilitza en estudis comparatius i en aquest cas la distribució teòrica de les categories de la variable d’interès (dependent) és desconeguda. No obstant, suposem que las mostres que desitgem comparar procedeixen de poblacions no diferents (Ho) i per tant aquesta distribució teòrica es pot estimar a partir de la suma de les mostres.

Chi quadrat (2) per la comparació de vàries distribucions observades.


Els càlculs es basen en la següent taula tipus:

La taula té f files i c columnesofc = freqüències observades; efc = freqüències esperades

Independent Total

c=1 c=2 c=3

Dependentf=3 o31/e31 o32/e32 o33/e33 n 3.

f=2 o21/e21 o22/e22 o23/e23 n 2.

f=1 o11/e11 o12/e12 o13/e13 n 1.

Total n.1 n.2 n.3 n


Condicions d’aplicació: efc 5Graus de llibertat: (c - 1)(f - 1) c = columnes; f =

files

nn n

e.cf.

fc

Freqüència esperada (efc):


Es calcula l’estadístic de contrast 2, mitjançant la fórmula:

∑∑-c

1c

f

1f

2

efc

)efco( fcχ2


Ho: Les distribucions de les categories de la variable dependent NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de la variable independent.

H1: Les distribucions de les categories de la variable dependent SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de la variable independent.

Formulació de les hipòtesis HHoo i H i H11


Exemple 1: Comparació de tres distribucions observades

En un període de 18 anys d’estudi, dels 2594 homes de l’estudi de Framingham (Massachusetts) en van morir 465. D’aquestos, 81 no havien fumat mai, 51 havien deixat de fumar (exfumadors) i 333 eren fumadors.

Ens preguntem si existeix una associació entre l’hàbit de fumar i el risc de morir, és a dir, si a la POBLACIÓ les distribucions de mortalitat (morts/no morts) SÓN DIFERENTS entre les tres categories de fumadors.


Hipòtesis nul·la: les distribucions de la mortalitat NO SÓN DIFERENTS entre les tres categories de fumadors.

Hipòtesis alternativa: les distribucions de la mortalitat SÓN DIFERENTS entre les tres categories de fumadors.

Hipòtesis HHipòtesis Hoo i H i H11


197'0=1693333=p;157'0=325

51=p;141'0=57681=p FEXNF

Freqüències observades a la mostra

Tabac Mortalitat No

Fumadors Ex

fumadors

Fumadors TOTAL

Morts 81 51 333 465 Vius 495 274 1360 2129 Total 576 325 1693 2594


Tabac

Resposta No fumadors

Ex fumadors

Fumadors

TOTAL

Morts 81/103’3 51/58’3 333/303’5 465 Vius 495/472’7 274/266’7 1360/1389’5 2129 Total 576 325 1693 2594

443'102

c

1c

f

1f

2 )χ

∑∑-(

fc

fcfceeo

Freqüències observades/esperades a la mostra

(3-1)(2-1) = 2 gll = (c -1)(f – 1) =


Percentatge esperat de morts i vius en no fumadors, ex fumadors i fumadors

Tabac Mortalitat no

fumadors ex

fumadors

fumadors TOTAL

morts 103’3 (17’9%)

58’3 (17’9%)

303’5 (17’9%)

465

vius 472’7 (82’1%)

266’7 (82’1%)

1389’5 (82’1%)

2129

Total 576 325 1693 2594


Percentatge esperat de no fumadors, ex fumadors i fumadors en morts y vius:

Tabac Mortalitat no

fumadors ex

fumadors

fumadors TOTAL

morts 103’3 (22’2%)

58’3 (12’5%)

303’5 (65’3%)

465

vius 472’7 (22’2%)

266’7 (12’5%)

1389’5 (65’3%)

2129

Total 576 325 1693 2594


Probabilitats g de ll 0’10 0’05 0’01 0’001 1 2’706 3’841 6’635 10’827 2 4’605 5’991 9’210 13’815 3 6’251 7’815 11’345 16’266 4 …

NS SIG SIG SIG p>0’10 p<0’10 p<0’05 p<0’01 p<0’001

El nostre resultat 2 = 10’443 correspon a un grau de significació p<0’01 (exactament 0’005), per tant refusem Ho i concloem que la distribució de la mortalitat és diferent entre les tres categories de fumadors.

Grau de significació de la prova Chi quadrat (2)


Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades

Nombre d’individus necessaris per identificar com a significativa una comparació de dues proporcions observades



BA

BBAAβα2

ppp1pp1pzp1p2z

----

2

n

n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferencia que es vol

detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB


Valors Zα i Zβ


Quants individus necessitarem incloure en una mostra per comparar amb una prova d’hipòtesi bilateral, una confiança del 95% i una potència del 80% [ = 0’20], dues proporcions que esperem que siguin una proporció del 40% i l’altre del 50%?

Exemple 1:

5'04'0

5'015'04'014'0842'045'0145'0*296'12

----

2

n

45'387 = n

BA

BBAAβα2

ppp1pp1pzp1p2z

----

2

n


Exemple 2

Quants individus necessitarem incloure en una mostra per comparar amb una prova d’hipòtesi bilateral, una confiança del 95% i una potència del 80% [ = 0’20], dues proporcions que esperem que siguin una proporció del 5% i l’altre del 20%?

BA

BBAAβα2

ppp1pp1pzp1p2z

----

2

n

2'005'0

2'012'005'0105'0842'0125'01125'0*296'12

2

n

14'75 n


Risc I Risc II Uni/Bi pA pB N0'05 0'2 Bi 5 20 750'05 0'2 Bi 10 20 1990'05 0'2 Bi 45 60 1730'05 0'01 Uni 5 20 1490'05 0'01 Uni 10 20 3970'05 0'01 Uni 45 60 345

Risc I = risc ; Risc II = risc ; Uni= unilateral; Bi = Bilateral; pA i pB = proporcions esperades als grups A i B



Prova d’hipòtesi de comparació de dues reparticions observades utilitzant la prova de 2

Exercici


Utilitzant les dades de l’exemple “Efecte de hàbit de fumar de la mare sobre el retard mental dels fills” decidiu si hi ha diferències significatives (A LA POBLACIÓ) en la freqüència de retard mental entre els nascuts de part eutòcic i els nascuts de part distòcic.


Els càlculs es basen en la següent taula tipus:Independent Total

c=1 c=2 c=3

Dependentl=3 o31/e31 o32/e32 o33/e33 n 3.

l=2 o21/e21 o22/e22 o23/e23 n 2.

l=1 o11/e11 o12/e12 o13/e13 n 1.

Total n.1 n.2 n.3 n

La taula té l línies i c columnesolc = freqüències observades; elc = freqüències esperades


Variable ? Total

Variable ?

Total 40

La taula te 2 línies i 2 columnesfreqüència observada


Tipus de part Total

Eutòcicobs

Distòcicobs

Retard mental Si 20

No 20

Total 22 18 40



Tipus de part Total

Eutòcicobs

Distòcicobs

Retard mental Si 8 12 20

No 14 6 20

Total 22 18 40



Condicions d’aplicació: elc 5Graus de llibertat: (c - 1)(l - 1) c = columnes; l =

línies

Freqüència esperada (elc):

nn.c*.nlelc


Graus de llibertat: (2-1)(2-1)= 1Condicions d’aplicació: elc 5

11=40

22 *20=e11

Freqüència esperada (elc):


Tipus de part Total

Eutòcicobs/esp

Distòcicobs/esp

Retard mental Si 8/11 12/9 20

No 14/11 6/9 20

Total 22 18 40

La taula te 2 línies i 2 columnesfreqüència observada/freqüència esperada


Es calcula l’estadístic de contrast 2, mitjançant la fórmula:

∑ ∑-c

c

l

l elc)elco( lc

1 1

2

2


Es calcula l’estadístic de contrast 2

( ) ( ) ( ) ( ) 636'3=9+11+9+11= 961114912118χ2222

2 ----

Graus de llibertad: (2-1)*(2-1) = 1


Càlcul de la p Àrea en l’extrem superior

gl 0’10 0’05 0’01 0’001 1 2’71 3’84 6’63 10’83 2 4’61 5’99 9’21 13’82 3 6’25 7’81 11’34 16’27

NS SIG SIG SIG p>0’10 p<0’10 p<0’05 p<0’01 p<0’001

El nostre resultat 2 = 3’636 correspon a un grau de significació p>0.05 (exactament 0’056), per tant no refusem la Ho i concloem que la freqüència de retard mental no és diferent entre els nascuts de parts eutòcics i distòcics


Càlcul del nombre d’individus necessaris (mida de la mostra) per la comparació de dues proporcions observades

Exercici


Quants individus necessitarem incloure en una mostra per estimar (per identificar com a significativa) amb una prova d’hipòtesi bilateral, una confiança del 95% (risc = 0’05) i una potencia del 80% ( = 0’20), a) dues proporcions que esperem que siguin una

del 15% i l’altre del 35%?b) dues proporcions que esperem que siguin del

40% i 45% respectivament?c) dues proporcions que esperem que siguin 55% i

80% respectivament?


Mantenint constants (com en l’enunciat) la resta de criteris:

Calcula el nombre d’individus necessaris però en el cas d’una prova d’hipòtesi unilateral.

Calcula el nombre d’individus necessaris però per una prova amb una potencia del 90% ( = 0’10)



BA

BBAAβα2

ppp1pp1pzp1p2z

----

2

n

n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferencia que es vol

detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB


Valors Zα i Zβ


Quants individus necessitarem incloure en una mostra per comparar amb una prova d’hipòtesi bilateral, una confiança del 95% i una potencia del 80% [ = 0’20], dues proporcions que esperem que siguin una proporció del 15% i l’altre del 35%?

35'015'0

235'0135'015'0115'0842'025'0125'0*296'1

----

2 n

41'72 = n


Risc I Risc II Uni/Bi pA pB N0'05 0'2 Bi 15 35 720'05 0'2 Bi 40 45 15320'05 0'2 Bi 55 80 540'05 0'2 Uni 15 35 570'05 0'2 Uni 40 45 12060'05 0'2 Uni 55 80 42

Risc I = risc ; Risc II = risc ; Uni= unilateral; Bi = Bilateral

Mida de la mostra (N) per comparar dos grups amb dues proporcions observades pA i pB


Risc I Risc II Uni/Bi pA pB N0'05 0'2 Bi 15 35 720'05 0'2 Bi 40 45 15320'05 0'2 Bi 55 80 540'05 0'1 Bi 15 35 960'05 0'1 Bi 40 45 20530'05 0'1 Bi 55 80 72

Risc I = risc ; Risc II = risc ; Uni= unilateral; Bi = Bilateral

Mida de la mostra (N) per comparar dos grups amb dues proporcions observades pA i pB

Documents

Relació entre dues variables qualitatives amb dues o més categories