regulaciono kolo

IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM

KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM - ZATVORENO REGULACIONO KOLO -

U uvodnom delu smo definisali osnovne konfiguracije koje se koriste u cilju upravljanja procesima i koje se meusobno razlikuju po nainu povezivanja ulaza i izlaza iz procesnog sistema. Sigurno najee koriena konfiguracija sistema upravljanja je ona koja je ematski prikazana na slici 4.1. i koja se naziva konfiguracija upravljanja sa negativnom povratnom spregom. Kod ove konfiguracije se upravljako dejstvo na proces zasniva na odstupanju izmerene veliine izlaza kojim treba upravljati od njegove zadate vrednosti. Re negativna u nazivu ove konfiguracije oznaava da se povratno dejstvo (povratna sprega) izlaza na ulaz uvodi sa negativnim znakom, kako je prikazano na slici 4.1.

Slika 4.1. ematski prikaz upravljake konfiguracije sa negativnom povratnom spregom Upravljanje pomou ove konfiguracije se vrlo esto naziva regulacija, a sama konfiguracija upravljanja se naziva zatvoreno regulaciono kolo. Izlaznu promenljivu kojom treba upravljati u tom sluaju zovemo regulisana promenljiva, dok upravljake, odnosno manipulativne ulazne promenljive nazivamo regulacionim promenljivim. Prema cilju koji treba da ostvari zatvoreno regulaciono kolo, razlikujemo dva osnovna tipa regulacije: - programsku regulaciju, koja treba da ostvari da regulisani izlaz prati zadatu promenu eljene vrednosti, odnosno postavne take; - stabilizacionu regulaciju, koja za cilj ima otklanjanje dejstva spoljanjih poremeaja koji sistem izvode iz eljenog stacionarnog stanja.


4.1. OSNOVNI ELEMENTI I BLOK DIJAGRAM ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA Da bi se ostvarilo upravljanje nekim procesom pomou zatvorenog regulacionog kola, neophodno je najpre odabrati izlaze koje treba regulisati da bi se ostvario eljeni rad procesa. Sledei korak je izbor najpogodnijih manipulativnih, odnosno regulacionih promenljivih koje se mogu jednostavno po elji menjati i pomou kojih se efikasno moe delovati na proces. Osnovni element regulacionog kola naravno predstavlja sam proces sa svojim ulaznim i izlaznim promenljivim i statikim i dinamikim karakteristikama. Kada su odabrane regulisane i regulacione promenljive, neophodno je ostvariti merenje izlaza koje treba regulisati. Zbog toga je drugi neophodan element zatvorenog regulacionog kola merni elementtransmiter koji vri prevoenje datog regulisanog izlaza u pogodan signal kojim se informacija o njegovoj veliini moe dalje prenositi i obraivati. Kada je izlazna veliina koju treba regulisati pomou mernog elementa izmerena i pretvorena u signal odreene vrste, njena vrednost se poredi sa eljenjom vrednou, koja je najee dobijena prethodnom projektovanjem i optimizacijom procesa na osnovu tehnoekonomske analize. Razlika eljene i izmerene vrednosti izlaza se naziva greka, a deo sistema u kome se vri ovo poreenje naziva se detektor greke. Signal greke se, u posebno projektovanom elementu regulacionog kola, koji se naziva regulator, obrauje, po nekom odabranom matematikom zakonu, dajui na izlazu informaciju sadranu u upravljakom signalu, o tome kako treba promeniti odabranu regulacionu promenljivu da bi se izlaz doveo, odnosno vratio na eljenu vrednost. Detektor greke i regulator zajedno ine regulacioni mehanizam. Da bi se na osnovu informacije sadrane u izlaznom signalu iz regulatora izvrilo povratno dejstvo na proces, neophodan je i poslednji element zatvorenog regulacionog kola koji se naziva izvrni element i pomou koga se, na osnovu izlaznog signala iz regulatora menja odabrana regulaciona promenljiva tako da se greka smanji, odnosno eliminie. Kao to smo naveli u treem delu, pri regulaciji postrojenja procesne industrije, kao regulacione promenljive se u ogromnoj veini sluajeva koriste neki od ulaznih ili izlaznih protoka iz sistema. Kao izvrni elementi kojima se ovi protoci podeavaju na eljeni nain, najee se koriste regulacioni ventili ili ree, regulacione crpke. U okviru ove knjige emo se uglavnom baviti samo regulacijom najjednostavnijih sistema sa jednom regulisanom i jednom regulacionom promenljivom (SISO sistemi). Grubi blok dijagram zatvorenog regulacionog kola koji prikazuje osnovne elemente i njihove meusobne veze, prikazan je na slici 4.1-1.

Slika 4.1-1. Opti blok dijagram zatvorenog regulacionog kola Na ovoj slici su koriene sledee oznake za promenljive u sistemu: x - postavna taka, odnosno eljena vrednost regulisanog izlaza y - regulisani izlaz ym - izmerena vrednost regulisanog izlaza =x-ym - greka p - upravljaki signal m - manipulativna, odnosno regulaciona promenljiva l - spoljanji poremeaj - promenljiva optereenja.


Proces, merni element i izvrni element ne zavise od vrste konfiguracije upravljanja, tako da sve ono to je o ovim elementima reeno u treem delu knjige vai i u sluaju kada ovi elementi vre svoju funkciju u zatvorenom regulacionom kolu. Meutim, tip ureaja koji se koristi kao regulator direktno zavisi od odabrane konfiguracije upravljanja, tako da emo u ovom delu knjige veliku panju pokloniti prikazu osnovnih tipova regulatora koji se koriste u zatvorenom regulacionom kolu, a zatim i izboru i projektovanju regulatora za ovu konfiguraciju upravljanja. 4.2. REGULATOR U ZATVORENOM REGULACIONOM KOLU Kao to smo naveli u poglavlju 4.1., regulator je onaj element regulacionog kola koji se nalazi izmeu mernog instrumenta kao izvora informacija o procesu i izvrnog elemetna kojim se vri povratno dejstvo na proces. Ulaz u regulator predstavlja signal greke, odnosno razlika izmeu zadate i izmerene vrednosti izlaza:

(t) = x(t) - y m (t)

(4.2-1)

Izlaz iz regulatora p(t) predstavlja upravljaki signal na osnovu koga izvrni element menja odabranu manipulativnu promenljivu, ime se vri povratno dejstvo na proces. Najvaniji deo sinteze zatvorenog regulacionog kola sastoji se u pravilnom izboru matematike zavisnosti izlaza i ulaza:

p(t) = F ( (t))

(4.2-2)

Fizika realizacija konstruktivnih karakteristika regulatora se izvodi tako da dobijeni ureaj zadovoljava tu odabranu matematiku zavisnost, odnosno da ima tano definisane dinamike karakteristike. Pri tome, regulator moe biti realizovan kao mehaniki, pneumatski, hidrauliki, analogni ili digitalni elektronski ureaj, ili se kao regulator moe koristiti digitalni raunar koji je programiran na eljeni nain. U procesnoj industriji se najee koriste pneumatski i elektrini regulatori. O fizikoj realizaciji pneumatskih i elektronskih regulatora e biti rei neto kasnije, a sada emo se zadrati na dinamikim karakteristikama regulatora. 4.2.1 Osnovni tipovi regularora u zatvorenom regulacionom kolu U sistemima upravljanja sa negativnom povratnom spregom se koriste etiri osnovna tipa konvencionalnih regulatora: proporcionalni, proporcionalno-integralni, proporcionalno-diferencijalni i proporcionalno-integralno-diferencijalni. 4.2.1.1. Proporcionalni (P) regulator Proporcionalni regulator vri samo pojaavanje ulaznog signala (signala greke), dajui izlazni signal (upravljaki signal) koji je proporcionalan ulaznom:

p(t) = K c (t)

(4.2-3)

Konstanta proporcionalnosti Kc se naziva pojaanje regulatora. Oigledno je da su statike i dinamike karakteristike proporcionalnog regulatora identine. Proporcionalni regulator jednostavno slui da pojaa signal greke, ostvarujui tako dovoljno veliki upravljaki signal kojim se moe proizvesti dejstvo na proces. Umesto pojaanja regulatora, za definisanje P regulatora se esto koristi opseg proporcionalnosti koji predstavlja greku (izraenu procentom opsega izmerene izlazne promenljive) koja izaziva puni hod ventila, od potpuno otvorenog do potpuno zatvorenog. 4.2.1.2. Proporcionalno-integralni (PI) regulator Kod proporcionalno-integralnog regulatora, pored pojaavanja signala greke vri i njegovo integrisanje u toku vremena. Njegova dinamika karakteristika se uobiajeno prikazuje u sledeem obliku:


p (t ) = K c (t ) +

Kc (t )dt i

(4.2-4)

Kao to se vidi, PI regulator je definisan sa dva parametra: pojaanjem Kc i konstantom i koja ima dimenzije vremena i naziva se integralno vreme. Prvi lan na desnoj strani jednaine (4.2-4) se esto naziva proporcionalno dejstvo, a drugi, integralno dejstvo. Fiziko znaenje integralnog vremena PI regulatora e biti jasnije ako razmotrimo odziv PI regulatora na stepenastu promenu signala greke, prikazanu na slici 4.2-1. Pri stepenastoj promeni greke na ulazu u PI regulator, kao rezultat proporcionalne akcije dobie se takoe stepenasta funkcija Kc, prikazana punom tankom linijom oznaenom sa P na slici 4.2-1. Istovremeno, integralna akcija e kao rezultat dati linearnu funkciju, prikazanu tankom punom linijom oznaenom sa I. Ukupno dejstvo regulatora e biti zbir ova dva dejstva i prikazano je debljom punom linijom oznaenom sa PI. Integralno vreme i PI regulatora je ono vreme posle koga su vrednosti proporcionalnog i integralnog dejstva izjednaene, tako da je ukupan izlaz iz regulatora jednak dvostrukoj vrednosti proporcionalnog dejstva.

Slika 4.2-1. Odziv PI regulatora na stepenastu promenu greke

Osnovna karakteristika PI regulatora je da zbog svog integralnog dela daje na izlazu znaajan upravljaki signal ak i za vrlo male apsolutne vrednosti greke, ukoliko se te greke dugo zadravaju. Na taj nain PI regulator otklanja sistematske greke, odnosno greke stacionarnog stanja. S druge strane, upravo zbog svoje karakteristike da daje znaajan upravljaki signal (to rezultuje znaajnim odstupanjem poloaja izvrnog elementa od onog koji odgovara projektovanom stacionarnom stanju) i pri malim vrednostima greke, PI regulator esto moe da smanji brzinu odziva zatvorenog regulacionog kola. 4.2.1.3. Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator Ovaj tip regulatora, pored pojaavanja, vri i diferenciranje signala greke. Dinamika karakteristika PD regulatora se obino prikazuje u sledeem obliku:

p (t ) = K c (t ) + K c d

d(t ) dt

(4.2-5)

PD regulator takoe ima dva parametra: pojaanje Kc i diferencijalno vreme d. Dejstvo PD regulatora se najjednostavnije moe ilustrovati na osnovu njegovog odziva na linearnu promenu ulazne funkcije greke (t) sa koeficijentom Slika 4.2-2. Odziv PD regulatora na pravca 1, koji je prikazan na Slici 4.2-2. Pri ovakvoj promeni jedininu linearnu promenu greke ulaznog signala greke, proporcionalno dejsvo daje takoe linearan odziv sa nagibom Kc (tanka puna linija oznaena sa P, na slici 4.2-2.), dok diferencijalno dejstvo rezultuje stepenastim izlazom ija je amplituda Kcd (tanka puna linija oznaena sa D). Ukupan odziv PD regulatora predstavlja zbir obih efekata i prikazan je debljom punom linijom PD. Od trenutka t=0 pa nadalje, izlaz koji daje diferencijalna akcija je konstantan, dok se odziv proporcionalnog dela regulatora poveava sa vremenom. Za t=d, odzivi proporcionalnog i diferencijalnog dejstva PD regulatora na linearnu promenu ulazne greke postaju identini. Zbog diferencijalnog dela u dinamikoj karakteristici, PD regulator na neki nain vri predvianje buduih vrednosti greke (na osnovu linearne interpolacije po tangenti), to svakako predstavlja prednost. Meutim, ova osobina PD regulatora postaje nedostatak u sluajevima kada se javljaju brze promene signala greke ili ako u sistemu postoje znaajni umovi, jer ih diferencijalna akcija jako pojaava. Treba se podsetiti da nije mogua fizika realizacija elementa koji bi imao dinamiku karakteristiku definisanu jednainom (4.2-5). Ova jednaina daje idealnu dinamiku karakteristiku proporcionalno-


diferencijalnog regulatora, dok stvarni regulatori imaju dinamike karakteristike koje tee ovoj idealnoj. O dinamikim karakteristikama realnih regulatora e biti rei u poglavlju 4.5.2.. Takoe treba naglasiti da je korienje proporcionalno-diferencijalnog regulatora vrlo retko, jer on za razliku od PI regulatora ne otklanja statiku, odnosno greku stacionarnog stanja. Mnogo je ee korienje regulatora koji ima sva tri dejstva. 4.2.1.4. Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator Ovo je najsloeniji tip regulatora koji se koristi u sistemima automatske regulacije. On vri pojaavanje, integraljenje i diferenciranje greke, odnosno ima sve tri akcije: proporcionalnu, integralnu i diferencijalnu. Dinamika karakteristika PID regulatora se najee prikazuje jednainom:

p (t ) = K c (t ) +

Kc d(t ) (t )dt + K c d i dt

(4.2-6)

Ovaj regulator ima osobine i PI i PD regulatora i u principu omoguava najbolju regulaciju. Znaenje pojaanja Kc, integralnog vremena i i diferencijalnog vremena d je isto kao kod P, PI i PD regulatora. Naravno, ne samo to je konstrukcija PID regulatora najsloenija, ve njegovo korienje zahteva od operatera najvie znanja i vetine, jer za dobar rad regulacionog kola treba pravilno odabrati tri parametra: pojaanje regulatora Kc, integralno vreme i i diferencijalno vreme d. Oigledno je da se pri velikim vrednostima integralnog vremena (i64) PID regulator svodi na PD regulator, dok se za vrlo male vrednosti diferencijalnog vremena (d60) svodi na PI regulator. Pored ova etiri tipa regulatora koji se koriste u sistemima automatske regulacije procesa, ponekad se koristi i dvopoloani (engleski ON-OFF) regulator kod koga izlaz moe da ima smo dve vrednosti, od kojih jedna odgovara potpuno otvorenom a druga potpuno zatvorenom regulacionom ventilu. Ovaj regulator je vrlo jednostavan i ne koristi se esto za regulaciju u postrojenjima hemijske industrije. Dvopoloajni regulator se moe posmatrati kao proporcionalni regulator vrlo velikog pojaanja, odnosno opsega proporcionalnosti koji je priblino jednak nuli. Sva etiri osnovna tipa regulatora (P, PI, PD i PID) su linearni elementi, dok je dvopoloajni regulator nelinearan. 4.2.2. Prenosne funkcije regulatora u zatvorenom regulacionom kolu Primenom Laplasove transformacije na jednaine (4.2-3) do (4.2-6) kojima su definisane dinamike karakteristike regulatora, i nalaenjem odnosa Laplasovih transformacija izlaznog signala iz regulatora i ulaznog signala greke, dobijaju se sledee prenosne funkcije: - za proporcionalni regulator:

G c,P (s) =

P(s) = Kc (s) P(s) 1 = K c 1+ (s) i s P(s) = K c (1 + d s) (s)

(4.2-7)

- za proporcionalno-integralni regulator:

G c,PI (s) =

(4.2-8)

- za proporcionalno-diferencijalni regulator:

G c,PD (s) =

(4.2-9)

- Za proporcionalno-integralno-diferencijalni regulator:


G c,PID (s) =

P(s) 1 = Kc 1+ + d s (s) i s

(4.2-10)

Za PID regulator se esto koristi neto drugaiji oblik prenosne funkcije:

1 (1 + d s) G c,PID (s) = K c 1 + i s

(4.2-11)

koja PID regulator prikazuje kao rednu vezu PI i PD regulatora. Zbog toga se za ovaj regulator koristi i naziv kaskadni regulator. Prenosna funkcija prikazana jednainom (4.2-11) se moe razviti u oblik:

d d + s G c,PID (s) = K c (1 + d / i ) 1 + i (1 + d / i )s 1 + d / i

(4.2-12)

koji je identian sa prenosnom funkcijom prikazanom jednainom (4.2-11), osim to su parametri Kc, i i d drugaije definisani. 4.2.3. Frekventne karakteristike regulatora u zatvorenom regulacionom kolu Kao i prenosne funkcije, frekventne karakteristike predstavlaju vrlo pogodan oblik prikazivanja dinamikih karakteristika pojedinih elemenata, omoguujui jednostavno dobijanje i analizu dinamikih karakteristika ukupnog sistema. U cilju dobijanja frekventnih karakteristika ukupnog regulacionog sistema, neophodno nam je poznavanje frekventnih karakteristika regulatora povratne sprege. Najjednostavniji nain dobijanja frekventnih karakteristika je zamena s sa j u odgovarajuim prenosnim funkcijama. U nastavku emo prikazati frekventne karakteristike pojedinih regulatora. 4.2.3.1. Frekventne karakteristike P regulatora Zamenom s sa j u prenosnoj funkciji definisanoj jednainom (4.2-7) dobija se frekventna prenosna funkcija P regulatora:

G c,P (j ) = K cRealni i imaginarni deo ove frekventne prenosne funkcije su:

(4.2-13)

Re(Gc,P (j )) = Kc , Im(Gc,P (j )) = 0a odgovarajua amplitudna i fazna karakteristika:

ARc,P ( ) = K c , c,P ( ) = 0

(4.2-15)

Nikvistov dijagram P regulatora je prikazan na slici 4.2-5., a Bodeovi dijagrami na slici 4.2-6. Moe se lako zakljuiti da je P regulator zapravo proporcionalni element, tako da su ovi rezultati identini sa onima prikazanim na slici 2.8-4. u poglavlju 2.8.4.1.

Slika 4.2-5. regulatora

Nikvistov

dijagram

P


Slika 4.2-6. Bodeovi dijagrami P regulatora

4.2.3.2. Frekventne karakteristike PI regulatora Zamenom s sa j u prenosnoj funkciji PI regulatora, definisanoj jednainom (4.2-8), dobija se sledea kompleksna funkcija fekvence:

1 1 j (4.2-16) = Kc 1 G c,PI ( ) = K c 1 + i j i iji su realni i imaginarni deo:

Re(Gc,PI (j )) = Kc Im(Gc,PI (j )) = - Kc i (4.2-17) Slika 4.2-7. regulatora Nikvistov dijagram PI

i moduo (amplitudna karakteristika) i argument (fazna karakteristika):

ARc,PI ( ) = K c 1 +

1 ( i )2

1 c,PI ( ) = - arctan i

(4.2-18)

Slika 4.2-8. Bodeovi dijagrami PI regulatora


Grafiki prikaz frekventnih karakteristika PI regulatora u Nikvistovom i Bodeovim dijagramima dat je na slikama 4.2-7. i 4.2-8. Moe se uoiti da integralno dejstvo kod PI regulatora dolazi do izraaja pri niskim frekvencijama (za spore promene greke), dok se pri visokim frekvencijama on praktino ponaa kao proporcionalni. 4.2.3.3. Frekventne karakteristike PD regulatora Frekventna karakteristika PD regulatora se dobija u obliku sledee kompleksne funkcije frekvencije:

G c,PD (j ) = K c (1 + d j)Re(Gc , PD ( j) ) = K c

(4.2-19)

Iz ovog izraza se direktno mogu odrediti realni i imaginarni deo frekventne prenosne funkcije:

Im(Gc , PD ( j) ) = K c d

(4.2-20) Slika 4.2-9. regulatora Nikvistov dijagram PD

na osnovu kojih se dobijaju sledei izrazi za amplitudnu i faznu karakteristiku PD regulatora:2 AR c,PD ( ) = K c 1 + ( d ) , c,PD = arctan ( d )

(4.2-21)

Nikvistov dijagram PD regulatora je prikazan na slici 4.2-9, a Bodeovi dijagrami na slici 4.2-10.

Slika 4.2-10. Bodeovi dijagrami proporcionalno-diferencijalnog regulatora Kao to se moe videti sa Bodeovih i Nikvistovog dijagrama, diferencijalno dejstvo postaje znaajno pri visokom vrednostima frekvencije, dok se pri niskim frekvencijama (pri sporim promenama funkcije greke) PD regulator ponaa kao proporcionalni. Takoe treba primetiti da PD regulator daje pozitivnu faznu karakteristiku, to bi znailo da kod ovog sistema izlaz prednjai ispred ulaza. Ovo su, naravno, frekventne karakteristike idealnog PD regulatora, koji ima istu prenosnu funkciju (pa time i frekventne karakteristike) kao idealni diferencijalni element koji smo definisali u poglavljima 2.3.6.1. i 2.8.4.6. 4.2.3.4. Frekventne karakteristike PID regulatora PID regulator je najsloeniji od svih konvencionalnih regulatora povratne sprege, pa shodno tome, ima i najsloeniju prenosnu funkciju i frekventnu karakteristiku, koja se dobija u sledeem obliku:

1 + d j (4.2-22) G c,PID (j ) = K c 1 + i j


Realni i imaginarni deo ove kompleksne funkcije su:

Re (Gc,PID (j )) = Kc 1 (4.2-23) Im (Gc,PID (j )) = Kc d i a odgovarajua ampitudna i fazna karakteristika:

1 ARc,PID ( ) = K c 1 + d i 1 c,PID ( ) = arctan d i

2

(4.2-24)

Slika 4.2-11. Nikvistov dijagram PID regulatora

Grafiki prikaz ovih frekventnih karakteristika je dat na slici 4.2-11. u obliku Nikvistovog i na slici 4.2-12. u obliku Bodeovih dijagrama. Bodeovi dijagrami na ovoj slici odgovaraju sluaju kada je integralno vreme vee od diferencijalnog, to je uobiajeno (konkretne vrednosti koje odgovaraju ovom dijagramu su i=2 i d=0.5). Sa slike 4.2-12. se moe videti da se PID regulator ponaa kao PI u oblasti niske frekvencije, dok se u oblasti visoke frekvencije ponaa kao PD regulator.

Slika 4.2-12. Bodeovi dijagrami PID regulatora 4.3. DINAMIKA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA U prethodnim poglavljima smo definisali osnovne elemente i strukturu zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom. Kao to smo naveli, zatvoreno regulaciono kolo treba da obezbedi: 1. odravanje izlaza na konstantnoj vrednosti definisanoj postavnom takom, pri poremeaju nekog od ulaza koji se ne moe po elji menjati, odnosno pri promeni promenljive optereenja (sluaj stabilizacione regulacije); 2. vremensku promenu izlaza na eljeni nain, definisan promenom postavne take (sluaj programske regulacije). I u jednom i u drugom sluaju, nije mogue postii cilj regulacije trenutno, ve je potrebno odreeno vreme da se otkloni dejstvo poremeaja, odnosno da izlaz dostigne eljenu promenu. Projektovanje regulacionog kola se sastoji u pravilnom izboru svih elemenata regulacionog kola, a naroito u izboru tipa i parametara regulatora, tako da zatvoreno regulaciono kolo zadovolji dva osnovna zahteva:


stabilnost i brz odziv. Problemima stabilnosti zatvorenog regulacionog kola e se baviti sledee poglavlje, dok emo u ovom pokuati da sagledamo osnovne injenice vezane za dinamiku i odziv sistema zatvorenog kola. 4.3.1. Blok dijagram i prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola Ako posmatramo jednostavan proces sa dve ulazne promenljive: jednom manipulativnom m i jednom promenljivom optereenja l i sa jednim regulisanim izlazom, najjednostavnije zatvoreno regulaciono kolo se moe prikazati blok dijagramom datim na slici 4.3-1.

Slika 4.3-1. Blok dijagram zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom U ovom blok dijagramu su koriene sledee oznake signala: X - Laplasova transformacija promene postavne take L - Laplasova transformacija promene optereenja (poremeaja) Y - Laplasova transformacija promene izlazne (regulisane) promenljive - Laplasova transformacija funkcije greke M - Laplasova transformacija promene manipulativne promenljive P - Laplasova transformacija promene upravljakog signala Ym- Laplasova transformacija promene izmerene veliine izaza i prenosnih funkcija: Gp - prenosna funkcija procesa u odnosu na regulacionu promenljivu (Y/M) Gpl - prenosna funkcija procesa u odnosu na promenljivu optereenja (Y/L) Gm - prenosna funkcija mernog elementa Gc - prenosna funkcija regulatora Gv - prenosna funkcija izvrnog elementa Treba primetiti da su za potpuno definisanje dinamikih karakteristika procesa potrebne dve prenosne funkcije, u odnosu na manipulativnu promenljivu M i u odnosu na promenljivu optereenja L. Uobiajeno je definisanje dva tipa prenosnih funkcija koje se odnose na zatvoreno regulaciono kolo. Prvi tip, koji se naziva prenosna funkcija otvorenog kola i najee se oznaava sa G(s), predstavlja proizvod prenosnih funkcija svih elemenata koji se nalaze u zatvorenoj konturi regulacionog kola:

G(s) = G c (s) G v (s) G p (s) G m (s)

(4.3-1)

Ova prenosna funkcija, koja odgovara sistemu zatvorenog kola koji bi na bilo kom mestu bio "otvoren", se vrlo mnogo koristi pri analizi zatvorenog regulacionog kola.


Drugi tip prenosne funkcije koji se moe definisati kod zatvorenog regulacionog kola je prava prenosna funkcija zatvorenog kola, koju emo oznaavati sa W(s). Zapravo, za sistem prikazan blok dijagramom na slici 4.3-1. mogu se definisati dve prenosne funkcije zatvorenog kola: jedna u odnosu na promenu postavne take (Y/X) i druga u odnosu na promenu optereenja (Y/L). Svoenjam blok dijagrama prikazanog na slici 4.3-1., on se moe transformisati u jednostavan oblik prikazan na slici 4.3-2. Izrazi za prenosne funkcije zatvorenog kola se dobijaju jednostavno, korienjem pravila o svoenju blok dijagrama negativne povratne sprege koje smo izveli u poglavlju 2.4.3. Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na postavnu taku je:

lika 4.3-2. Ekvivalentni blok dijagram zatvorenog regulacionog kola

W X (s) =

Y(s) G (s) G v (s) G p (s) G c (s) G v (s) G p (s) = c = 1 + G(s) X(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) Y(s) G (s) G pl (s) = pl = L(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 + G(s)

(4.3-2)

a prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu optereenja:

W L (s) =

(4.3-3)

Treba primetiti da su imenioci obe prenosne funkcije zatvorenog kola identini. Ukoliko prenosne funkcije svih elemenata u zatvorenom kolu imaju oblik odnosa dva polinoma po s, imenilac prenosne funkcije zatvorenog kola se svodi na polinom po s. Ovaj polinom predstavlja karakteristini polinom, dok jednaina:

1 + G(s) = 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) = 0predstavlja karakteristinu jednainu zatvorenog regulacionog kola.

(4.3-4)

4.3.2. Vremenski odzivi zatvorenog regulacionog kola U cilju to bojeg sagledavanja uticaja tipa i parametara regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola, potraiemo odzive nekih jednostavnih sistema zatvorenog regulacionog kola, prikazanog blok dijagramom na slici 4.3-1., na stepenastu promenu postavne take ili promenljive optereenja. 4.3.2.1. Uticaj proporcionalnog regulatora na odziv zatvorenog kola Najpre emo na nekoliko jednostavnih primera ispitati uticaj P regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola, traei odzive zatvorenog kola sa P regulatorom na stepenastu promenu postavne take ili optereenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jedininu stepenastu promenu postavne take. Posmatraemo jednostavno regulaciono kolo u kome je proces prvog reda vezan sa proporcionalnim regulatorom, dok se dinamike karakteristike mernog i izvrnog elementa mogu zanemariti:

G p (s) =

Kp , G c (s) = K c , G v (s) = 1, G m (s) = 1 p s +1

(4.3-5)

i u kome se postavna taka menja u obliku Hevisajdove funkcije, dok se promenljiva optereenja ne menja:

1 X(s) = , L(s) = 0 s


Prenosna funkcija zatvorenog kola u odnosu na postavnu taku je u ovom sluaju:

Kc K p Y(s) G c (s) G v (s) G p (s) p s +1 Kc K p = = = (4.3-6) W X (s) = X(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 + K c K p p s + 1 + K c K p p s +1Oigledno je da i prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola odgovara sistemu prvog reda. Deljenjem brojioca i imenioca ove prenosne funkcije sa (1+KcKp), dobija se standardni oblik prenosne funkcije prvog reda:

Kc K p 1+ K c K p = Ke W X (s) = p s + 1 e s + 1 1+ K c K p

(4.3-7)

Na osnovu jednaine (4.3-7) moe se zakljuiti da proces prvog reda u zatvorenom regulacionom kolu sa P regulatorom zadrava dinamike karakteristike sistema prvog reda, ali sa nekim novim, ekvivalentnim vrednostima pojaanja i vremenske konstante:

Ke =

p Kc K p , e = 1+ K c K p 1+ K c K p

(4.3-8)

Oigledno je da je ekvivalentna vrednost vremenske konstante zatvorenog kola manja od vremenske konstante samog procesa:

e < pto znai da zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom ubrzava odziv sistema. Odziv ovog zatvorenog regulacionog kola na jedininu stepenastu promenu postavne take ima poznati oblik koji vai za sistem prvog reda:

(4.3-9)

y(t) = K e (1 - e-t / e )

(4.3-10)

Na slici 4.3-3. su prikazani odzivi zatvorenog regulacionog sa procesom prvog reda i P regulatorom za tri vrednosti pojaanja regulatora (za Kp=2 i p=5 min). Na osnovu ove slike se mogu izvesti dva osnovna zakljuka: 1. Odziv zatvorenog regulacionog kola je bri od odziva samog procesa i brzina odziva se poveava sa poveanjem pojanja regulatora Kc. 2. Kada sistem doe u novo stacionarno stanje (kada t64) izlaz nije jednak vrednosti postavne take. Odstupanje izlaza u stacionarnom stanju od postavne take je karakteristino za regulaciju sa P regulatorom i naziva se greka stacionarnog stanja (GSS) (engleski offset). Definie se na sledei nain:

Slika 4.3-3. Odziv regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jedininu stepenastu promenu postavne take

GSS = lim | y(t) - x(t) |t

(4.3-11)

i za sluaj koji posmatramo iznosi:

GSS = 1 - K e =

1 1+ K c K p

(4.3-12)

Oigledno je da se pri poveanju pojaanja regulatora greka stacionarnog stanja smanjuje, kao i vremenska konstanta zat-vorenog kola, tako da bi granini sluaj bio:

K c _ GSS 0 ( K e 1), e 0


to znai da bi pri beskonano velikom pojaanju regulatora izlaz idealno pratio promenu postavne take. NAPOMENA: Vrednost greke stacionarnog stanja se najjednostavnije moe dobiti direktno iz Laplasovog domena primenom teoreme o krajnjoj vrednosti. U tom sluaju nije neophodno nalaenje inverzne Laplasove transformacije. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jedininu stepenastu promenu optereenja. Posmatraemo regulacioni problem za sistem koji je definisan u prethodnom primeru. Uzeemo najjednostavniji sluaj kod koga je:

G pl (s) = G p (s) =

Kp p s + 1

(4.3-13)

Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu optereenja je:

Kp Y(s) p s + 1 G pl (s) Kp = (4.3-14) = = W L (s) = L(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 + K c K p p s + 1 + K c K p p s + 1Ovo je opet prenosna funkcija prvog reda koja se moe prikazati u standardnom obliku:

Kp 1+ K c K p = Ke W L (s) = p s + 1 e s + 1 1+ K c K p

(4.3-15)

Treba primetiti da je vremenska konstanta zatvorenog kola identina kao u prethodnom primeru, dok je pojaanje zatvorenog kola manje od pojaanja samog procesa:

e =

p Kp ,Ke = 1+ K c K p 1+ K c K p

(4.3-16)

Odziv na jedininu stepenastu promenu optereenja se dobija u obliku:

y(t) = K e (1 - e-t / e )

(4.3-17)

i grafiki je prikazan na slici 4.3-4., za tri vrednosti pojaanja regulatora i parametre procesa Kp=2, p=5 min. Greka stacionarnog stanja u ovom sluaju iznosi:

GSS = K e =

Kp 1 + Kc K p

(4.3-18)

Slika 4.3-4. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na stepenastu promenu optereenja

I u sluaju stepenaste promene optereenja, greka stacionarnog stanja se smanjuje sa poveanjem pojaanja regulatora, dok se brzina odziva poveava (vremenska konstanta e se smanjuje sa poveanjem Kc). Za Kc64 regulacija bi bila idealna, to znai da se izlazna promenljiva y ne bi uopte promenila uprkos stepenastoj promeni optereenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom na jedininu stepenastu promenu postavne take. U ovom sluaju posmatramo zatvoreno regulaciono kolo iji su elementi definisani sledeim prenosnim funkcijama:


G p (s) =

Kp , G c (s) = K c , G v (s) = G m (s) = 1 s + 2 p s + 1 2 p

(4.3-19)

dok su ulazi u regulaciono kolo:

1 Kc K p X(s) = , L(s) = 0 2 2 s G c (s) G v (s) G p (s) p s + 2 p p s + 1 Kc K p = 2 2 = WX= Kc K p 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 + p s + 2 p p s + 1+ K c K p 2 2 + 2 p p s + 1 p s

(4.3-20)

Oigledno je da ovo zatvoreno regulaciono kolo takoe predstavlja sistem drugog reda, koji se, deljenjem brojioca i imenioca poslednjeg izraza u jednaini (4.3-20) sa (1+KcKp) moe prikazati standardnim oblikom prenosnom funkcije:

Kc K p 1+ K c K p = 2 2 Ke W X (s) = 2 2 p p + 2 e e s + 1 p 2 s + 1 e s s + 1+ K c K p 1+ K c K p

(4.3-21)

Ekvivalentni dinamiki parametri zatvorenog kola Ke, e i e su sledee funkcije parametara procesa i pojaanja regulatora:

Ke =

p p Kc K p , e = , e = 1+ K c K p 1+ K c K p 1+ K c K p

(4.3-22)

Treba primetiti da su vrednosti vremenske konstante i faktora priguenja zatvorenog kola manje od vrednosti odgovarajuih parametara samog procesa i da se njihove vrednosti smanjuju sa poveanjem pojaanja regulatora Kc. U graninom sluaju e biti:

K c : K e 1, e 0, e 0

(4.3-23)

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom, na jedininu stepenastu promenu postavne take, e naravno zavisiti od vrednosti koeficijenta priguenja e, kako smo prikazali u poglavlju 2.7.2. koje se odnosilo na odziv sistema drugog reda: (a) Za e>1 (Kc1). Na osnovu sva tri izraza za odziv, moe se zakljuiti da e se i u ovom sluaju javiti greka stacionarnog stanja koja iznosi:

GSS = 1 - K e =

1 1+ K c K p

(4.3-27)

Na slici 4.3-5. je prikazan odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom na stepenstou promenu postavne take, za pet razliitih vrednosti pojaanja regulatora. Konkretni parametri procesa za koje je dobijena slika 4.3-5. su: Kp=1, p=2 min, p=2.

Slika 4.3-5. Steprenasti odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom

ZAKLJUAK: Na osnovu prethodnih primera odziva jednostavnih regulacionih kola sa P regulatorom, mogu se izvesti sledei zakljuci: 1. prisustvo P regulatora ne menja red sistema; 2. zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom ima bri odziv od sistema bez regulacije; brzina odziva se poveava sa poveanjem pojaanja regulatora; 3. pri korienju P regulatora javlja se greka stacionarnog stanja, koja se smanjuje sa poveanjem pojaanja regulatora; 4. kod regulacije sistema drugog reda pomou P regulatora, koeficijent priguenja i period oscilovanja se smanjuju. Ove vrednosti opadaju sa poveanjem pojaanja regulatora. 4.3.2.2. Uticaj idealnog PI regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola Da bi doli do zakljuaka o ulozi PI regulatora u zatvorenom regulacionom kolu, izveemo izraze za odziv najjednostavnijeg regulacionog kola sa procesom prvog reda na stepenastu promenu postavne take i optereenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jedininu stepenastu promenu postavne take. Kao i u veini prethodnih primera, pretpostaviemo da se dinamike karakteristike mernog i izvrnog elementa mogu zanemariti, tako da su prenosne funkcije kojima su definisani elementi regulacionog kola koje posmatramo:

1 Kp , G m (s) = G v (s) = 1 , G p (s) = G c (s) = K c 1 + i s p s + 1

(4.3-36)

Posmatraemo najpre ponaanje ovog sistema kada se postavna taka menja u obliku jedinine stepenaste funkcije, dok promenljiva optereenja ostaje nepromenjena:

1 X(s) = , L(s) = 0 sPrenosna funkcija ovako definisanog zatvorenog regulacionog kola e biti:

1 Kp K c 1+ Y(s) G c (s) G v (s) G p (s) i s p s + 1 = = (4.3-37) W X (s) = X(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 Kp 1+ K c 1+ i s p s + 1 Desna strana jednaine (4.3-37) se moe transformisati u oblik:


W X (s) =

K c K p (1 + i s) K c K p + K c K p i s = 2 ( p s + 1) i s + K c K p ( i s + 1) p i s + i (1 + K c K p ) + K c K p

(4.3-38)

koji odgovara prenosnoj funkciji sistema drugog reda, koja se deljenjem brojioca i imenioca sa KcKp moe svesti na standardni oblik:

W X (s) =

1 + i s 1 + i s = 2 2 1 e s + 2 e e s + 1 p i 2 s +1 s + i 1 + Kc K p Kc K p

(4.3-39)

Efektivna vremenska konstanta i efektivni koeficijent priguenja koji odgovaraju zatvorenom regulacionom kolu koje posmatramo su definisani na sledei nain:

e =

1 i 1 + K c K p p i , e = 2 p K c K p Kc K p

(4.3-40)

Analizom izraza definisanih jednainom (4.3-40), moe se zakljuiti da se efektivna vremenska konstanta poveava sa poveanjem vrednosti integralnog vremena i smanjuje sa poveanjem pojaanja PI regulatora, dok se efektivni koeficijent priguenja poveava sa poveanjem i integralnog vremena i pojaanja PI regulatora. Nalaenje inverzne Laplasove transformacije izraza za izlaz u Laplasovom domenu:

Y(s) = X(s) W X (s) =

1 + i s s ( s + 2 e e s + 1)2 e 2

(4.3-41)

se moe izvriti na analogan nain kao u prethodnom primeru. I u ovom sluaju bi se dobili razliiti oblici inverzne Laplasove transformacije, zavisno od toga da li je e>0, =0 ili 1). Rezultati prikazani na slici 4.3-9. pokazuju da se sa poveanjem integralnog vremena PI regulatora smanjuje brzina odziva sistema, poveava period oscilovanja i smanjuje oscilatornost sistema, uz manje prekoraanje odziva. Obe slike pokazuju da se pomou PI regulatora eliminie greka stacionarnog stanja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jedininu stepenastu promenu optereenja. Sistem koji posmatramo je identian onom iz prethodnog primera, samo u ovom sluaju analiziramo odziv na stepenastu promenu optereenja. Usvojiemo da je:

G pl (s) = G p (s) =

Kp p s + 1

(4.3-45)

Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu optereenja je:

Kp Y(s) G pl (s) p s + 1 = = W L (s) = L(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 Kp 1+ K c 1+ i s p s + 1

(4.3-46)

Kada se izraz na desnoj strani jednaine (4.3-46), koji predstavlja prenosnu funkciju sistema drugog reda, prikae u standardnom obliku, dobija se:

i s i s Kc = 2 2 Kc W L (s)(s) = 1 e s + 2 e e s + 1 p i 2 s +1 s + i 1 + Kc K p Kc K p

(4.3-47)

Efektivna vremenska konstanta e i efektivni koeficijent priguenja e u ovom izrazu su identini sa onim definisanim u prethodnom primeru (jednaina 4.3-40). Odziv ovog zatvorenog regulacionog kola na jedininu stepenastu promenu optereenja se dobija nalaenjem inverezne Laplasove transformacije desne strane jednaine (4.3-47):


Y ( s ) = WL ( s ) L( s ) =

2 e s 2

i / K c + 2e e s + 1

(4.3-48)

Oblik inverzne Laplasove transformacije i u ovom sluaju zavisi od vrednosti efektivnog koeficijenta priguenja e. Oblik koji se dobija za sluaj e1 koeficijent priguenja se poveava sa poveanjem Kc, dok za KcKp 1+ K c K p 1+ K c K p

(4.3-58)

Ovo znai da dodavanje diferencijalne akcije usporava odziv. Sa slika 4.3-12. i 4.3-13. se vidi da odziv zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom na stepenastu promenu postavne take ne poinje od nule, ve od neke konane vrednosti, to je direktna posledica diferencijalnog dejstva regulatora. Odseak na ordinati zavisi od pojaanja regulatora i diferencijalnog vremena i raste i sa poveanjem Kc i


sa poveanjem d. Odziv koji zatim sledi se ubrzva sa poveanjem pojaanja regulatora i usporava sa poveanjem diferencijalnog vremena.

Slika 4.3-12. Uticaj pojaanja regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jedininu stepenastu promenu postavne take

Slika 4.3-13. Uticaj diferencijalnog vremena na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jedininu stepenastu promenu postavne take

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jedininu stepenastu promenu optereenja. Analogno kao u prethodnim primerima, moe se izvesti prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola ji su elementi:

G c (s) = K c (1 + d s), G pl (s) = G p (s) =u odnosu na promenljivu optereenja:

Kp , G v (s) = G m (s) = 1 p s + 1

(4.3-59)

y(t) = K e (1 - e-t / e ) Y(s) = W L (s) = L(s) 1 +

Kp (4.3-55) 1+ K c K p = Ke (4.3-60) = p + K c K p d Kp e s + 1 s +1 K c (1 + d s) 1+ K c K p p s + 1 Kp p s + 1

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom je prikazan na slikama 4.3-14. (za Kp=1, p=5 min, d=0.2 min i tri vrednosti pojaanja regualatora) i 4.3-15. (za Kp=1, p=5 min, Kc=5 i tri vrednosti diferencijalnog vremena). Kriva za d=0 na slici 4.3-14. odgovara sistemu sa P regulatorom.

Slika 4.3-14. Uticaj pojaanja regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jedininu stepenastu promenu optereenja

Slika 4.3-15. Uticaj diferencijalnog vremena na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jedininu stepenastu promenu optereenja


Na osnovu ovih rezultata mogu se izvesti isti zakljuci kao u prethodnom primeru: u zatvorenom regulacionom kolu sa PD regulatorom se javlja greka stacionarnog stanja koja je identina kao kod sistema sa P regulatorom, dok je efektivna vremenska konstanta vea nego kod sistema sa P regulatorom i poveava se sa poveanjem diferencijalnog vremena. ZAKLJUAK: Na osnovu analize odziva jednostavnog zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jedininu stepenastu promenu postavne take i optereenja, mogu se izvesti sledei opti zakljuci o uticaju idealnog PD regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola: 1. PD regulator ne menja red sistema; 2. u zatvorenom regulacionom kolu sa PD regulatorom se javlja greka stacionarnog stanja koja je identina kao kod sistema sa P regulatorom (za istu vrednost pojaanja regulatora); 3. odziv zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom na jednininu stepenastu promenu postavne take ne poinje od nule ve od konane pozitivne vrednosti (Ke2/e) koja se poveava sa poveanjem Kc i d; 4. efektivna vremenska konstanta zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom je vea od odgovarajue efektivne vremenske konstante sa P regulatorom, zbog ega je odziv sistema sa PD regulatorom sporiji od odziva odgovarajueg sistema sa P regulatorom (za isto pojaanje regulatora). Najvei znaaj uvoenja diferencijalne akcije je u poveavanju stabilnosti zatvorenog regulacionog kola, to e biti ilustrovano u sledeem poglavlju. Na taj nain, iako direktno usporava odziv, dodavanje diferencijalne akcije indirektno dovodi do brih odziva zatvorenog kola, jer omoguuje korienje veih pojaanja regulatora, to rezultuje brim odzivom. 4.3.2.4. Uticaj idealnog PID regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola Analiza uticaja PID regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola je dosta sloena jer se javljaju tri promenljiva parametra regulatora (Kc, i i d) koji se mogu podeavati i na taj nain uticati na odziv zatvorenog kola. Zakljuci koji su izvedeni u prethodnim primerima o uticaju proporcionalne, integralne i diferencijalne akcije na odziv zatvorenog regulacionog kola, u principu vae i u ovom sluaju. Dinamiku zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom emo prikazati samo na najjednostavnijem primeru odziva sistema sa procesom prvog reda na jedininu stepenastu promenu optereenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom i procesom prvog reda, na jedininu stepenastu promenu optereenja. U ovom sluaju su elementi regulacionog kola definisani sledeim prenosnim funkcijama:

1 + d s G c (s) = K c 1 + i s

Kp , G v (s) = G m (s) = 1 (4.3-62) , G pl (s) = G p (s) = p s + 1

Prenosna funkcija ovog zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu optereenja e biti:

i K p s / s Y(s) c Kp s + 1 = 2 2 i K c = W L (s) = p i L(s) 1 1+ K e s + 2 e e s + 1 p 1 + i d s 2 + i + d sK c K p s + 1 1 K c + K K i s K cK p s + 1 c p

(4.3-64) (4.3-63)

Efektivna vremenska konstanta i efektivni koeficijent priguenja ovog sistema su sledee sloene funkcije parametara procesa i regulatora:

e =

1+ K c K p 1 1 1+ Kc K p p i + i d , e = i = Kc K p K c K p 2 e 2 K c K p

i p + d Kc K p

(4.3-65)

Odziv na jedininu stepenastu promenu optereenja se dobija inverznom Laplasovom transformacijom


izraza:

Y(s)=

1 i / K c s 2 2 s e s + 2 e e s + 1 / Kc = 2 2 i e s + 2 e e s + 1

(4.3-66)

U sluaju kada je e0.867 realni koreni postaju konjugovano kompleksni, i ovaj par korena je dominantan. Izmedju pola -1 i -4 nalazi se taka spajanja s=-1.36, koja odgovara vrednosti Kc=4.615, za koju 2 kompleksna korena postaju realni. Pri tome konjugovano-kompleksni koreni blii realnoj osi ostaju dominantni. Kompleksne grane seku imaginarnu osu jednom, i ovom preseku odgovaraju sledee vrednosti krajnjeg pojaanja i kritine frekvencije: Slika P-4.4.4-1. Dijagram poloaja korena karakteristine jednaine zatvorenog regulacionog kola sa procesom treeg reda i PI regulatorom za i=3.03 min

K u = 11.3, 0 = 0.897 rad/ min

Na osnovu ovih rezultata se moe zakljuiti da je zatvoreno regulaciono kolo: - stabilno za Kc11.3. Ako se ova vrednost krajnjeg pojaanja uporedi sa sluajem pod (a), moe se uoiti da se stabilnost sistema sa PI regulatorom smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena. PRIMER 4.4-5. Dijagram poloaja korena karakteristine jednaine zatvorenog regulacionog kola sa procesom treceg reda i PID regulatorom

Skicirati dijagram poloaja korena karakteristine jednaine zatvorenog regulacionog kola definisanog u prethodnim primerima, za sluaj PID regulacije.

Slika P-4.4.4-2. Dijagram poloaja korena karakteristine jednaine zatvorenog regulacionog kola sa procesom treeg reda i PI regulatorom za i=0.8 min


Vrednosti integralnog i diferencijalnog vremena su: (a) i=3.03 min, d=0.4 min; (b) i=0.8 min, d=0.4 min; (c) i=0.8 min, d=0.2 min. REENJE: Najpre emo izvesti zavisnosti koje vae za sva tri sluaja ((a), (b) i (c)): Prenosna funkcija PID regulatora je:

1 + d s = K c d G c (s) = K c 1 + i s a prenosna funkcija otvorenog kola:2 s +

2 s +

1d

s+ s

1i d

1

G(s) = K c 8

d

d i d s (s + 1 )3

s+

1(P-4.4.5-1)

Ovaj sistem je etvrtog reda, pa e dijagram imati etiri grane koje polaze iz polova: p1=0, p2=p3=p4=-1. Sistem ima 2 nule, koe se dobijaju kao reenja jednaine:

2 s +

1 d

s+

1 i d1

= 0 : z1,2 =

1 d

12 d

-

4 i d(P-4.4.5-2)

2

- Karakteristina jednaina zatvorenog kola je:

1 + K c d 8

2 s +

d i d = 0 4 + 3 3 + 3 + K c d 2 + 1 + K c s + K c = 0 (P-4.4.5-3) s s s 8 8 8 i s (s + 1 )3

s+

1

SLUAJ (a): i=3.03 min, d=0.4 min - Nule: z1=-2.11, z2=-0.39 - Centar gravitacije asimptota: =-0.25


Priblini dijagram poloaja svih korena karakteristine jednaine je dat na slici P-4.4.5-1. Dijagram ima etiri grane, od kojih dve lee na realnoj osi, a dve su konjugovano kompleksne za svaku vrednost pojaanja regulatora. Za manje vrednosti pojaanja realni koren koji pripada intervalu (-0.39,0) e biti dominantan, dok za velika pojaanja kompleksni koreni postaju dominantni. Ceo dijagram smeten sa leve strane imaginarne ose (nema preseka grana sa Im osom). Kao posledicica toga, ZRK je stabilno za svako pojaanje ovog PID regulatora. Treba primetiti da je vrednost integralnog vremena u ovom primeru identina sa onom u primeru 4.4-4(a), za koji smo dobili da je sistem stabilan samo za Kc0.84 i dominantni koreni postaju konjugovanokompleksni. Grane koje odgovaraju dominantnim korenima seku Im osu 2 puta i ovim presecima odgovaraju sledee vrednosti:

Slika P-4.4.5-1. Dijagram poloaja korena karakteristine jednaine regulacionog kola sa procesom treeg reda i PID regulatorom (i=3.03, d=0.4)

K u1 = 26.93, 01 = 1.206 K u 2 = 95.07, 01 = 2.05

Dijagram prikazan na slici P-4.4.5-2 pokazuje da je ZRK sa ovim vrednostima integralnog i diferencijalnog vremena: - stabilan za Kc95.07 - na granici stabilnosti za Kc=26.93 i Kc=95.07 - nestabilan za Kc0(26.93,95.07). Poreenje ovih rezultata sa rezultatima dobijenim pod (a) pokazuje da smanjenje integralnog vremena PID regulatora utie na smanjenje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola.

Ovo zatvoreno regulaciono kolo je primer sistema sa uslovnom stabilnou, kod kojih se pri poveanju pojaanja regulatora vie puta menja stabilnost sistema. Ovakvo ponaanje moe da se javi kod sistema koji pored polova, imaju i nule otvorenog kola. SLUAJ (c) - i=0.8 min, d=0.2 min



Nule otvorenog kola su za ovaj sluaj: z1=z2=-2. Priblini dijagram poloaja korena prikazan je na slici P-4.4.5-3. Za mala pojaanja regulatora ZRK opet ima jedan par realnih i jedan par kompleksnih korena, pri emu su realni koreni dominantni. Taka s=-0.63, kojoj odgovara Kc=0.365, je taka razdvajanja, posle koje dominantni koreni postaju takodje konjugovano-kompleksni. Dominantne grane seku Im osu jednom, i tom preseku odgovara: K u = 14.61, 0 = 0.97 Na osnovu slike i ovih rezultata moemo zakljuiti da je zatvoreno regulaciono kolo: - stabilno za Kc14.61. Poreenjem ovih rezultata sa onim dobijenim u ovom primeru pod (b) moe se lako zakljuiti da se stabilnost zatvorenog kola sa PID regulatorom poveava sa poveanjem diferencijalnog vremena d.


DISKUSIJA: Na osnovu rezultata dobijenih u primerima 4.4-3. do 4.4-5. koji se svi odnose na zatvoreno regulaciono kolo za regulaciju sistema treeg reda koji je stabilan u otvorenom kolu, napravljen je pregled koji je dat u Tabeli P-4.4. Tabela P-4.4. Pregled uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost yatvorenog regulacionog kola Tip regulatora Oblast stabilnosti i i d Ku 0 P 64 1.73 Kc

Documents

regulaciono kolo