1

REGRESI SPLINE BIRESPON UNTUK MEMODELKAN KADAR GULA DARAH

PENDERITA DIABETES MELITUS

1Dhina Oktaviana P, 2I Nyoman Budiantara

1Mahasiswa Jurusan Statistika ITS Surabaya, 2Dosen Jurusan Statistika ITS Surabaya

ABSTRAK

Dalam persoalan sehari-hari sering dijumpai model regresi yang memiliki respon lebih dari

satu dan pola kurva regresi (hubungannya) tidak diketahui. Misalnya pada kasus penderita Diabetes Melitus (DM). DM adalah penyakit kronis yang telah menjadi penyebab kematian terbesar keempat di dunia (Tandra, 2009). Jenis DM yang paling banyak ditemukan di Indonesia adalah DM tipe 2 (Subekti, 2009), dimana pankreas masih bisa memproduksi insulin, tetapi kualitasnya buruk sehingga tidak dapat berfungsi dengan baik. Buruknya kualitas insulin, salah satunya diakibatkan oleh banyaknya kadar lemak (kolesterol dan trigliserida). Diagnosis DM dapat diketahui melalui pemeriksaan kadar gula darah (puasa dan 2 jam pasca puasa). Berdasarkan hal tersebut, maka pendekatan Spline Birespon dapat digunakan untuk memodelkan kadar gula darah (y) dan kadar lemak (t) penderita DM tipe 2. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan menerapkannya pada data kadar gula darah penderita DM tipe 2 yang melakukan cek kesehatan di Laboratorium “X” Surabaya. Dari hasil pembahasan dan analisis dapat ditentukan bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan model terbaik yang menjelaskan hubungan antara kadar gula darah dengan kadar lemak penderita DM tipe 2. Berdasarkan nilai GCV minimum, 0,000000002, model Spline birespon terbaik adalah model spline linier dengan 1 titik knot. Dimana pola perubahan kadar gula darah puasa terjadi pada kadar kolesterol 188 mg/dl dan kadar trigliserida 361 mg/dl, sedangkan pola perubahan kadar gula darah 2 jam pasca puasa terjadi pada kadar kolesterol 125 mg/dl dan kadar trigliserida 350 mg/dl.

Kata kunci : Regresi, Spline Birespon, Diabetes Melitus

1. PENDAHULUAN

Analisis regresi merupakan salah satu analisis dalam statistika yang digunakan untuk menyelidiki pola hubungan fungsional antara variabel respon dan variabel prediktor (mencari bentuk estimasi kurva regresi) (Budiantara, 2009). Pada umumnya terdapat dua pendekatan dalam mengestimasi kurva regresi, yaitu pendekatan parametrik dan nonparametrik (Budiantara, 2005). Dalam pendekatan parametrik terdapat asumsi yang sangat kuat dan kaku yaitu bentuk kurva regresi diketahui. Berbeda dengan pendekatan parametrik, dalam regresi nonparametrik bentuk kurva regresi tidak diketahui. Pendekatan regresi nonparametrik yang cukup populer adalah Spline.

Diantara model-model regresi nonparametrik, Spline merupakan model regresi yang mempunyai interpretasi statistik dan visual sangat khusus dan sangat baik. Disamping itu, kelebihan Spline adalah cenderung mencari sendiri estimasi data kemanapun pola data tersebut bergerak. Pada umumnya Spline adalah suatu estimator yang diperoleh dengan meminimumkan Penalized Least Square (PLS). Namun penyelesaian optimasi ini secara matematika relatif sulit (Budiantara, 2007(a)). Untuk mengatasi hal ini maka digunakan optimasi Least Square (LS). Dengan pendekatan ini diharapkan diperoleh perhitungan matematik dan interpretasi statistik yang relatif mudah dan sederhana (Budiantara, 2007(a)).

Penelitian dengan menggunakan Spline telah banyak dilakukan, namun penelitian yang menyangkut estimator model Spline dalam regresi nonparametrik birespon belum banyak dikembangkan. Dalam persoalan sehari-hari sering dijumpai model regresi yang memiliki respon lebih dari satu dan pola kurva regresinya tidak diketahui. Penelitian dengan menggunakan birespon pernah dilakukan oleh Wang, Guo dan Brown (2000), Ariyanto (2006) dan Semiati (2010). Wang, Guo dan Brown (2000) dan Ariyanto (2006) menggunakan smoothing Spline untuk memodelkan data hormon kortisol dan ACTH. Sedangkan Semiati (2010) dengan menggunakan Deret Fourier mengaplikasikannya pada data kadar gula darah penderita Diabetes Melitus (DM).

DM adalah penyakit kronis yang paling sering ditemukan pada abad 21 dan telah menjadi penyebab kematian terbesar keempat di dunia. Tanda awal yang dapat diketahui bahwa seseorang menderita DM yaitu dilihat langsung dari efek peningkatan kadar gula darah. Klasifikasi atau jenis diabetes ada bermacam-macam, tetapi di Indonesia yang paling banyak ditemukan adalah DM tipe 2 (Subekti, 2009). Pada DM tipe 2, pankreas masih bisa memproduksi insulin, tetapi kualitasnya buruk sehingga tidak dapat berfungsi dengan baik. Kualitas insulin yang buruk ini salah satunya diakibatkan oleh kadar lemak.

2

Semakin banyak jaringan lemak, jaringan otot dan tubuh akan semakin resisten terhadap kerja insulin (Tandra, 2009). Berdasarkan uraian tersebut, peneliti ingin mengkaji bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan menerapkannya pada data kadar gula darah penderita DM tipe 2.

2. LANDASAN TEORI

Dalam bab ini diuraikan beberapa tinjauan pustaka sebagai pendukung dalam penelitian ini. 2.1 Regresi Parametrik

Regresi parametrik merupakan pendekatan model regresi yang digunakan apabila bentuk kurva regresi (pola hubungan variabel respon dan variabel prediktor) diketahui. Macam-macam model regresi parametrik antara lain adalah regresi parametrik linear, kuadrat, kubik, polinomial derajat k dan lain-lain (Budiantara, 2009). Model yang telah digunakan secara luas adalah model regresi polinomial. Secara umum model regresi polinomial derajat ke-k (Gujarati, 1992) diberikan sebagai berikut.

yi = β0 + β1xi + β2xi2 + … + βkxi

k + εi, dimana yi adalah variabel respon, xi, xi

2,…, xik adalah variabel prediktor, β1, β2, …, βk merupakan

parameter yang tidak diketahui dan εi adalah error random yang independen berdistribusi N(0,σ2). 2.2 Regresi Nonparametrik Spline

Regresi nonparametrik merupakan metode pendekatan regresi yang sesuai untuk pola data yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya atau tidak terdapat informasi masa lalu yang lengkap tentang bentuk pola data (Eubank,1988). Menurut Eubank (1999) bentuk model regresi nonparametrik adalah sebagai berikut. yi = f(ti) + εi; i = 1, 2, …, n, (1) dengan yj adalah variabel respon sedangkan fungsi f merupakan kurva regresi yang tidak diketahui bentuknya, dan ti variabel prediktor, serta εi diasumsikan berdistribusi N(0,σ2). Pendekatan regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi, karena data diharapkan mencari sendiri bentuk estimasi kurva regresinya tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas peneliti (Eubank, 1988).

Spline merupakan fungsi potongan polinomial yang memiliki sifat tersegmen dan kontinu (spline polynomial truncated). Bentuk umum model Spline disajikan pada persamaan 2.2. , (2) dimana αi, i = 0, 1, …, p dan βj, j = 1, …, K merupakan parameter. Persamaan 2.2 merupakan Spline derajat p dengan K titik knot k1, k2, ..., kK. Titik knot merupakan titik perpaduan bersama dimana terdapat perubahan pola perilaku pada interval yang berbeda (Budiantara, 2007(b)).

Regresi Spline adalah regresi dimana kurva regresinya berupa fungsi Spline. Secara umum model regresi nonparametrik Spline dapat ditulis sebagai berikut. ; i = 1, 2, …, n (3) dimana p adalah derajat polinomial dan K adalah banyaknya titik knot pada fungsi truncated, serta εi merupakan error random independen dengan mean nol dan varians σ2.

2.3 Pemilihan Titik Knot Optimal dan Model Terbaik

Model Spline yang terbaik adalah model dengan titik knot yang optimal, dimana model ini merupakan model yang paling sesuai dengan data. Menurut Wahba (1990) dan Wang (1998), salah satu metode yang paling banyak dipakai dan disukai karena kelebihan yang dimilikinya adalah Generalized Cross Validation (GCV). Dibandingkan metode lain, misal Cross Validation (CV), metode GCV mempunyai sifat optimal asimtotik (Wahba, 1990). Titik knot yang optimal diperoleh dari nilai GCV yang paling minimum. Model terbaik dipilih berdasarkan nilai GCV yang paling minimum.

Metode GCV secara umum didefinisikan sebagai berikut.

(4)

dengan: ; ;

adalah titik-titik knot dan N adalah jumlah observasi

3

2.5 Diabetes Melitus

Diabetes Melitus (DM) atau yang biasa disebut kencing manis merupakan suatu keadaan yang ditandai oleh kadar gula darah yang melebihi nilai normal karena tubuh tidak lagi memiliki insulin atau insulin tidak dapat bekerja dengan baik (Tandra, 2009). DM adalah penyakit kronis yang paling sering ditemukan pada abad 21 dan telah menjadi penyebab kematian terbesar keempat di dunia. Setiap tahun ada 3,2 juta kematian yang disebabkan langsung oleh diabetes. Itu berarti ada 1 orang per 10 detik atau 6 orang per menit yang meninggal akibat penyakit yang berkaitan dengan diabetes (Tandra, 2009). Orang Asia, termasuk Indonesia adalah ras yang mudah terkena diabetes. Pada tahun 1995 Indonesia menempati urutan ketujuh sebagai negara dengan penderita diabetes terbanyak di dunia (4,5 juta orang). Sekarang angka ini meningkat sampai 8,4 juta dan diperkirakan pada 2025 akan menjadi 12,4 juta orang, atau urutan kelima terbanyak di dunia (Tandra, 2009).

Tanda awal yang dapat diketahui bahwa seseorang menderita DM yaitu dilihat langsung dari efek peningkatan kadar gula darah. Diagnosa DM dapat ditegakkan jika hasil pemeriksaan gula darah puasa mencapai level 126 mg/dl atau bahkan lebih, dan pemeriksaan gula darah dua jam setelah puasa (minimal delapan jam) mencapai level 180 mg/dl (Khomsah, 2008). Klasifikasi atau jenis diabetes ada bermacam-macam, tetapi di Indonesia yang paling banyak ditemukan adalah DM tipe 2 (Subekti, 2009). Jenis diabetes yang lain ialah diabetes tipe 1, diabetes kehamilan dan diabetes tipe lain. Pada DM tipe 2, pankreas masih bisa memproduksi insulin, tetapi kualitasnya buruk sehingga tidak dapat berfungsi dengan baik sebagai kunci untuk memasukkan gula ke dalam sel. Akibatnya, gula dalam darah meningkat. Buruknya kualitas insulin, salah satunya diakibatkan oleh banyaknya kadar lemak. Pada umumnya lemak dalam tubuh manusia terdiri dari kolesterol total, kolesterol LDL, kolesterol HDL dan trigliserida.

3. METODOLOGI

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diambil dari data kadar gula darah dan kadar lemak penderita DM tipe 2 yang melakukan cek kesehatan di Laboratorium “X” Surabaya pada bulan April 2011. Berdasarkan data tersebut, diketahui bahwa terdapat 91 orang yang melakukan tes kadar gula darah sekaligus lemak yang terdiagnosis menderita DM tipe 2. Variabel respon (y) yang digunakan adalah kadar gula darah puasa (y1) dan kadar gula darah dua jam pasca puasa (2jpp) (y2). Sedangkan variabel prediktor (t) yang digunakan adalah kadar kolesterol total (t1) dan kadar trigliserida (t2).

Langkah-langkah yang dilakukan meliputi dua tahapan. Berikut penjelasan langkah-langkah analisis dalam penelitian ini.

1. Tahap pertama, digunakan untuk menjawab tujuan pertama. Berikut langkah-langkah yang dilakukan pada tahap ini. a. Membangun model regresi nonparametrik birespon b. Mendekati kurva regresi f(t) dan g(t) pada poin (a) dengan fungsi Spline truncated s(t) c. Membuat model regresi nonparametrik birespon dalam bentuk matriks

d. Menentukan matrik bobot W (varian kovarian dan )

e. Menentukan estimator untuk parameter dengan menggunakan optimasi WLS.

f. Menyajikan estimasi

2. Tahap kedua, digunakan untuk menjawab tujuan kedua. Pada tahap ini digunakan software Minitab dan Matlab dengan langkah-langkah sebagai berikut. a. Membuat plot antar variabel b. Memodelkan data (tij, ) dan (tij, ) menggunakan Spline truncated birespon untuk berbagai

nilai p dan K c. Menentukan matrik bobot W d. Menghitung estimator parameter dengan menggunakan optimasi WLS

e. Memilih titik knot optimal berdasarkan GCV minimum f. Menentukan model Spline terbaik dengan menghitung nilai GCV minimum g. Membuat estimasi model regresi Spline birespon terbaik

4

4. ANALISIS DATA DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan disajikan hasil analisis dari tujuan penelitian, yaitu mengenai bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan aplikasinya pada data kadar gula darah penderita Diabetes Melitus (DM) tipe 2. 4.1 Estimasi Model Spline Dalam Regresi Nonparametrik Birespon

Misalkan y adalah variabel respon dan t adalah variabel prediktor, maka hubungan variabel y dan t dalam regresi birespon dapat dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut.

y1j = f1(t1j) + g1(t2j)+ ε1j y2j = f2(t1j) + g2(t2j)+ ε2j

Bentuk kurva regresi f1(t1j), g1(t2j), f2(t1j) dan g2(t2j) diasumsikan tidak diketahui. Error random ε1j dan ε2j saling berkorelasi. Dimana error random ε1j, j = 1, 2, …, n saling independen dengan mean nol dan variansi σ1

2, dan error random ε2j, j = 1, 2, …, n juga saling independen dengan mean nol dan variansi σ22.

Berdasarkan persamaan 2., bentuk umum fungsi Spline truncated s(t) derajat p dengan K titik knot k1, k2, ..., kK dan dua prediktor diberikan sebagai berikut.

(5)

Secara umum model regresi nonparametrik Spline dengan derajat p dan K titik knot dapat ditulis sebagai berikut.

; i = 1, 2, …, n (6)

Untuk memudahkan, fungsi Spline truncated s(t) yang digunakan diasumsikan berderajat 2 dengan 2 titik knot (kuadratik 2 knot), maka persamaan 5 menjadi sebagai berikut.

; untuk respon 1

; untuk respon 2

Jika dalam model birespon kurva regresi f(t) didekati dengan fungsi Spline truncated kuadratik 2 knot, maka berdasarkan persamaan 6 modelnya menjadi sebagai berikut.

Berikut model regresi nonparametrik Spline birespon jika disajikan dalam bentuk matriks.

Dengan menguraikan fungsi s dan memisahkan antara parameter dengan variabel maka persamaan tersebut dalam bentuk matrik dapat ditulis sebagai berikut. (7)

5

dimana: – – – – – – – – – – – – – – – – – –

dengan:

Sedangkan matrik O adalah matrik nx8 yang semua elemennya bernilai nol (0). Apabila ditentukan matrik W (varian kovarian dan ) adalah sebagai berikut

– – – – – – – – – – – – – – – – ’

maka untuk memperoleh estimator pada persamaan 7, dilakukan optimasi WLS yaitu dengan

menyelesaikan persamaan sebagai berikut.

(8)

Untuk menyelesaikan optimasi pada persamaan 8, maka dilakukan derivatif parsial. Dengan memisalkan

fungsi , maka

(9)

Prosesnya selanjutnya adalah menurunkan persamaan 9 terhadap dan dihasilkan

6

(10)

Setelah diturunkan terhadap , hasil (10) disamakan dengan nol.

(11)

Berdasarkan persamaan (11), didapatkan estimator sebagai berikut.

Sehingga bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon menjadi sebagai berikut.

Jika matrik , maka diperoleh . Matrik H( ) merupakan fungsi dari

titik knot, sedangkan adalah titik-titik knot.

4.2 Model Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe 2

Untuk menjawab tujuan kedua, yaitu memodelkan kadar gula darah penderita DM tipe 2 maka terlebih dahulu dilakukan analisis deskriptif setelah itu dilakukan pemodelan dengan menggunakan Spline birespon. 4.2.1 Analisis Deskriptif

Sebelum memodelkan kadar gula darah penderita DM tipe 2 dengan Spline birespon, maka perlu dilihat deskripsi statistik untuk menggambarkan karakteristik data kadar gula darah dan lemak penderita DM tipe 2, sedangkan untuk melihat pola hubungan antar variabel dapat dilihat dari scatterplot.

Tabel 1. Statistik Deskriptif Kadar Gula Darah dan Lemak Penderita DM Tipe 2

Variabel Rata-Rata Deviasi Standar Minimum Maksimum

Gula Darah Puasa 286,87 76,33 181 479

Gula Darah 2JPP 196,74 63,33 126 404

Kolesterol 213,37 42,30 115 336

Trigliserida 188,3 134,9 63 806

Berdasarkan Tabel 1 dapat diketahui bahwa penderita DM tipe 2 yang melakukan cek kesehatan di

Laboratorium “X” Surabaya pada bulan April 2011 rata-rata memiliki gula darah puasa dan 2 jpp masing-masing adalah sebesar 196,74 mg/dl dan 286,87 mg/dl. Sedangkan kadar kolesterol rata-ratanya adalah sebesar 213,37 mg/dl dan kadar trigliserida rata-ratanya adalah sebesar 188,3 mg/dl.

350300250200150100

400

350

300

250

200

150

100

Kolesterol

Gu

la D

ara

h P

ua

sa

Gambar 1. Scatterplot of Gula Darah Puasa vs

Kolesterol

350300250200150100

500

450

400

350

300

250

200

Kolesterol

Gu

la D

ara

h 2

JPP

Gambar 2. Scatterplot of Gula Darah 2JPP vs

Kolesterol

7

Pola hubungan antara variabel gula darah puasa dan gula darah 2jpp dengan kolesterol masing-masing disajikan pada Gambar 1 dan Gambar 2. Berdasarkan kedua gambar tersebut dapat diketahui bahwa tidak terlihat pola hubungan antara variabel yang mengikuti pola tertentu.

9008007006005004003002001000

400

350

300

250

200

150

100

Trigliserida

Gu

la D

ara

h P

ua

sa

Gambar 3. Scatterplot of Gula Darah Puasa vs

Trigliserida

9008007006005004003002001000

500

450

400

350

300

250

200

Trigliserida

Gu

la D

ara

h 2

JPP

Gambar 4. Scatterplot of Gula Darah 2JPP vs

TrigliseridaPada Gambar 3 dan Gambar 4 memperlihatkan pola hubungan antara variabel gula darah puasa dan

gula darah 2jpp dengan trigliserida. Pola hubungan antara variabel tersebut tidak mengikuti pola tertentu. Berdasarkan Gambar 1, Gambar 2, Gambar 3 dan Gambar 4 pola data akan dimodelkan dengan menggunakan regresi nonparametrik birespon dengan pendekatan Spline truncated.

Dari variabel-variabel tersebut dibuat model spline linier sampai spline kuadratik dengan 2 titik knot. Dari estimasi model yang diperoleh, dihitung nilai-nilai GCV-nya. Model Spline terbaik adalah Spline dengan GCV terkecil. Pemilihan titik knot pada model dilakukan dengan menggunakan program komputer, dimana titik knot optimal berkaitan dengan nilai GCV terkecil.

4.2.2 Model Spline Linier Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe 2 Dengan Satu Titik

Knot

Pemilihan model birespon Spline linier terbaik diperoleh berdasarkan nilai GCV yang minimum. Beberapa titik knot dan nilai GCV model spline linier dari data kadar gula darah penderita DM tipe 2 dengan satu titik knot disajikan pada Tabel 4.2.

Tabel 2. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Linier Satu Titik Knot

Titik Knot Respon 1 Titik Knot Respon 2 Nilai GCV

190 137 170 139 0,000022108

190 160 146 134 0,000321746

188 361 125 350 0,000000002*

211 80 214 87 0,000016378

199 182 209 212 0,000000940

k1 adalah titik knot pada t1 (kadar kolesterol) untuk respon 1 (kadar gula darah puasa), k2 adalah titik

knot pada t2 (kadar trigliserida) untuk respon 1 (kadar gula darah puasa), λ1 adalah titik knot pada t1 (kadar kolesterol) untuk respon 2 (kadar gula darah 2 jam pasca puasa), sedangkan λ2 adalah titik knot pada t2 (kadar trigliserida) untuk respon 2 (kadar gula darah 2 jam pasca puasa). Berdasarkan Tabel 2 dapat diketahui bahwa model birespon Spline linier terbaik dengan satu titik knot adalah model dengan titik knot pada t1 = 188 dan t2 = 361 untuk respon 1 dan pada t1 =125 dan t2 = 350 untuk respon 2. Model ini mempunyai nilai GCV paling minimum diantara model birespon Spline linier satu knot yang lain, yaitu 0,000000002. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline linier dengan satu titik knot.

8

4.2.3 Model Spline Kuadratik Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe 2 Dengan Satu Titik

Knot

Seperti pada model Spline linier, pemilihan model Spline kuadratik terbaik diperoleh berdasarkan nilai GCV yang paling minimum. Tabel 3 menyajikan beberapa titik knot dan nilai GCV dari Spline kuadratik satu knot data kadar gula darah penderita DM tipe 2.

Tabel 3. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Kuadratik Satu Titik Knot

Titik Knot Respon 1 Titik Knot Respon 2 Nilai GCV

143 110 188 77 0,000234292

204 134 203 148 0,000001024*

247 224 255 197 0,000126514

281 765 324 568 0,004152838

187 135 188 127 0,000022965

Berdasarkan Tabel 3 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kuadratik satu knot terbaik adalah

model dengan nilai GCV sebesar 0,000001024. Model ini memiliki titik knot pada t1 = 204 dan t2 = 134 untuk respon 1 dan pada t1 = 203 dan t2 = 148 untuk respon 2. Berikut disajikan bentuk persamaan estimasi model terbaik pada regresi Spline kuadratik dengan satu titik knot.

4.2.4 Model Spline Kombinasi (Linier dan Kuadratik) Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM

Tipe 2 Dengan Satu Titik Knot

Model Spline kombinasi merupakan model yang terbentuk dari kombinasi model linier (derajat 1) dan model kuadratik (derajat 2). Terdapat beberapa kombinasi antara model linier dan kuadratik dalam memodelkan kadar gula darah penderita DM tipe 2. Beberapa titik knot dan nilai GCV model Spline kombinasi data kadar gula darah penderita DM tipe 2 dengan satu titik knot disajikan pada Tabel 4.

Tabel 4. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Kombinasi Satu Titik Knot

Kombinasi Derajat

Titik Knot Respon 1 Titik Knot Respon 2 Nilai GCV

2 1 1 1 281 182 250 87 0,000094856

1 2 1 2 199 119 125 86 0,000431073

1 2 2 1 235 110 282 110 0,000026815*

2 1 2 1 197 137 190 212 0,009953104

2 2 1 1 211 182 214 212 0,001023172

Berdasarkan Tabel 4 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kombinasi terbaik dengan satu

titik knot adalah model dengan titik knot pada t1 = 235 dan t2 = 110 untuk respon 1 dan pada t1 = 282 dan t2 = 110 untuk respon 2. Model ini mempunyai nilai GCV paling minimum diantara model birespon Spline kombinasi satu knot yang lain, yaitu 0,000026815. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline kombinasi dengan satu titik knot.

4.2.5 Model Spline Linier Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe 2 Dengan Dua Titik

Knot

Setelah dilakukan pemodelan dengan menggunakan satu titik knot, maka berikut disajikan pemodelan Spline linier dengan menggunakan dua titik knot. Beberapa titik knot dan nilai GCV model

9

Spline data kadar gula darah penderita DM tipe 2 dengan dua titik knot disajikan pada Tabel 5. k1 adalah titik knot 1 pada t1 untuk respon 1, k2 adalah titik knot 1 pada t2 untuk respon 1, k1

* adalah titik knot 2 pada t1 untuk respon 1, k2

* adalah titik knot 2 pada t2 untuk respon 1, λ1 adalah titik knot 1 pada t1 untuk respon 2, λ2 adalah titik knot 1 pada t2 untuk respon 2, λ1

* adalah titik knot 2 pada t1 untuk respon 2, sedangkan λ2

* adalah titik knot 2 pada t2 untuk respon 2. Tabel 5. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Linier Dua Titik Knot

Titik Knot Respon 1 Titik Knot Respon 2 Nilai GCV

150 191 128 247 182 224 134 568 0,022564968

245 284 223 261 262 320 134 212 0,024490212

125 227 106 261 205 224 134 568 0,000001252

245 324 179 247 233 261 73 133 0,000131634

184 217 106 130 183 224 104 189 0,000000429*

Model birespon Spline linier terbaik dengan dua titik knot adalah model dengan nilai GCV sebesar

0,000000429. Model ini memiliki titik knot pada 184, 217, 106 dan 130 untuk respon 1 dan 183, 224, 104 dan 189 untuk respon 2. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline linier dengan dua titik knot.

4.2.6 Model Spline Kuadratik Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe 2 Dengan Dua Titik

Knot

Beberapa titik knot dan nilai GCV model Spline data kadar gula darah penderita DM tipe 2 dengan dua titik knot disajikan pada Tabel 6.

Tabel 6. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Kuadratik Dua Titik Knot

Titik Knot Respon 1 Titik Knot Respon 2 Nilai GCV

184 227 88 216 205 324 130 765 0,024027153

213 252 170 350 210 261 87 765 0,002313423*

213 247 96 129 207 233 104 261 3,327352379

284 324 104 247 262 299 133 226 0,682790329

184 217 135 216 183 324 104 135 1,370163325

Berdasarkan Tabel 6 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kuadratik terbaik dengan dua titik

knot adalah model dengan titik knot terletak pada 213, 252, 170 dan 350 untuk respon 1 dan terletak pada 210, 261, 87 dan 765 untuk respon 2. Model ini mempunyai nilai GCV paling minimum diantara model birespon Spline kuadratik dua knot yang lain, yaitu 0,002313423. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline kuadratik dengan dua titik knot.

10

4.2.7 Model Spline Kombinasi (Linier dan Kuadratik) Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM

Tipe 2 Dengan Dua Titik Knot

Model birespon Spline kombinasi dua knot terbaik adalah model dengan nilai GCV sebesar 0,000000068. Nilai tersebut merupakan nilai paling minimum diantara nilai GCV yang lain. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 7 yang menyajikan beberapa titik knot dan nilai GCV model Spline kombinasi dua knot data kadar gula darah penderita DM tipe 2.

Tabel 7. Titik Knot dan nilai GCV untuk Spline Kombinasi Dua Titik Knot

Kombinasi Derajat

Titik Knot Respon 1 Titik Knot Respon 2 Nilai GCV

2 1 1 2 150 284 88 179 150 261 104 212 0,000082051

1 2 2 2 213 284 130 765 150 320 80 212 0,001637709

2 1 2 2 213 247 130 179 207 320 87 130 0,000000068*

2 2 1 2 245 247 129 170 207 320 87 212 0,000381901

2 2 2 1 227 247 130 765 150 205 104 130 0,000245574

Berdasarkan Tabel 7 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kombinasi terbaik dengan dua

titik knot adalah model dengan titik knot terletak pada 213, 247, 130 dan 179 untuk respon 1 dan terletak pada 207, 320, 87 dan 130 untuk respon 2. Berikut disajikan bentuk persamaan dari model terbaik pada regresi Spline kombinasi dengan dua titik knot.

4.2.8 Model Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe 2 Spline Optimal

Setelah mendapatkan model Spline dalam regresi nonparametrik birespon menggunakan bentuk linier, kuadratik dan kombinasi dengan titik knot yang berbeda-beda, maka tahap selanjutnya adalah memilih model Spline birespon terbaik berdasarkan nilai GCV paling minimum. Berikut ditampilkan nilai GCV pada semua model terbaik.

Tabel 8. Nilai GCV Pada Masing Masing Model Spline Birespon

Model Spline Linier 1 titik knot*

Kuadratik 1 titik knot

Kombinasi 1 titik knot

Linier 2 titik knot

Kuadratik 2 titik knot

Kombinasi 2 titik knot

Nilai GCV 0,000000002 0,000001024 0,000026815 0,000000429 0,002313423 0,000000068

Berdasarkan Tabel 8 dapat diketahui bahwa nilai GCV paling minimum adalah sebesar 0,000000002. Sehingga model terbaik yang menjelaskan kadar gula darah penderita DM tipe 2 adalah model Spline linier dengan satu titik knot dengan bentuk model sebagai berikut.

Nilai MSE yang dihasilkan dari model optimal tersebut adalah sebesar 5,9x10-9. Untuk memudahkan

intepretasi model regresi nonparametrik birespon kadar gula darah penderita DM tipe 2, maka dibuat model parsial dari model optimal yang telah terbentuk. 1. Dengan asumsi kadar trigliserida tetap

Ketika kadar kolesterol kurang dari 188 mg/dl dan lebih dari 115 mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 mengikuti model -3,48701t1. Sedangkan jika kadar kolesterol 188 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, maka kadar gula darah puasa mengikuti model 444,61624 -5,85199t1. Berikut model parsial untuk respon 1 (kadar gula darah puasa) dengan mengasumsikan kadar trigliserida tetap.

11

188;85199,561624,444188;48701,3

ˆ11

111 tt

tty

Intepretasi yang dapat diperoleh berdasarkan model tersebut adalah pada kadar kolesterol kurang dari 188 mg/dl dan lebih dari 115 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang sebesar 3,48701. Pada kadar kolesterol 188 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang sebesar 5,85199 mg/dl.

Untuk respon 2 (kadar gula darah 2 jam pp), ketika kadar kolesterol kurang dari 125 mg/dl dan lebih dari 115 mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 mengikuti model – 0,07187t1. Sedangkan jika kadar kolesterol 125 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp mengikuti model – 456,67375 + 3,58152t1. Berikut model parsial yang dihasilkan.

125;3,58152 + 456,67375– 125;07187,0

ˆ11

112 tt

tty

Intepretasi yang dapat diperoleh adalah pada kadar kolesterol kurang dari 125 mg/dl dan lebih dari 115

mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang sebesar 0,07187. Pada kadar kolesterol 125 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung meningkat pula sebesar 3,58152 mg/dl. 2. Dengan asumsi kadar kolesterol tetap

Ketika kadar trigliserida kurang dari 361 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 mengikuti model 1,83572t2. Sedangkan jika kadar trigliserida 361 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, maka kadar gula darah puasa mengikuti model 23.053,6296 – 62,02475t2. Berikut model parsial untuk respon 1 (kadar gula darah puasa) dengan mengasumsikan kadar kolesterol tetap.

361;62,02475– 623.053,629361;1,83572

ˆ22

221 tt

tty

Pada kadar trigliserida kurang dari 361 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida

meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 akan cenderung meningkat pula sebesar 1,83572. Pada kadar trigliserida 361 mg/dl atau lebih, jika kadar trigliserida meningkat sebesar satu mg/dl, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang sebesar 62,02475 mg/dl.

Untuk respon 2 (kadar gula darah 2 jam pp), ketika kadar trigliserida kurang dari 350 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 mengikuti model 1,38989t2. Sedangkan jika kadar trigliserida 350 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp mengikuti model -28.939,1725 – 84,07324t2. Berikut model parsial yang dihasilkan.

350;84,07324– 528.939,172-350;1,38989

ˆ22

222 tt

tty

Pada kadar trigliserida kurang dari 350 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida

meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung meningkat pula sebesar 1,38989. Pada kadar trigliserida 350 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang sebesar 84,07324 mg/dl.

5. KESIMPULAN

Berikut kesimpulan dan saran berdasarkan hasil analisis dan pembahasan dalam penelitian ini. 5.1 Kesimpulan

Jika diberikan model regresi nonparametrik Spline birespon sebagai berikut

12

,

maka dari hasil pembahasan dan analisis yang telah dilakukan didapatkan kesimpulan sebagai berikut. 1. Bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon adalah , dengan

matrik .

2. Model Spline birespon terbaik yang menjelaskan kadar gula darah penderita DM tipe 2 adalah model spline linier dengan 1 titik knot Nilai GCV yang dihasilkan adalah sebesar 0,000000002. Berikut estimasi modelnya.

Berikut intepretasi model Spline birespon terbaik kadar gula darah penderita DM tipe 2. 1. Dengan asumsi kadar trigliserida tetap Baik pada kadar kolesterol kurang dari 188 mg/dl dan lebih dari 115 mg/dl maupun 188 mg/dl atau

lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang.

Pada kadar kolesterol kurang dari 125 mg/dl dan lebih dari 115 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang, namun pada kadar kolesterol 125 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung meningkat pula.

2. Dengan asumsi kadar kolesterol tetap

Pada kadar trigliserida kurang dari 361 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 akan cenderung meningkat pula, namun pada kadar trigliserida 361 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang.

Pada kadar trigliserida kurang dari 350 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung meningkat pula, namun pada kadar trigliserida 350 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah 2 jam pp penderita DM tipe 2 akan cenderung berkurang.

5.2 Saran

Pada penelitian ini diketahui hubungan antara kadar gula darah dan kadar lemak, serta masih banyak permasalahan yang belum dikaji secara mendalam dan detail. Oleh karena itu, berikut beberapa saran yang dapat direkomendasikan pada masyarakat, pemerintah dan penelitian selanjutnya. 1. Berdasarkan hasil analisis diketahui bahwa DM tipe 2 berhubungan dengan kadar kolesterol dan

trigliserida. Disarankan kepada masyarakat untuk menjaga kesehatan agar terhindar dari DM tipe 2, selain itu, bila sudah terkena diabetes, upaya tersebut bisa mengontrol gula darah dan mencegah timbulnya komplikasi.

2. Indonesia adalah ras yang mudah terkena diabetes dan saat ini telah menjadi urutan kelima negara dengan penderita DM terbanyak. Oleh karena itu disarankan kepada pemerintah dan instansi terkait untuk melakukan upaya guna mencegah penderita yang lebih banyak.

3. Karena faktor penyebab DM tipe 2 sangat banyak maka untuk penelitian selanjutnya disarankan melakukan pengembangan metode untuk variabel prediktor yang lebih dari dua dan menggunakan Spline dengan derajat tidak hanya satu dan dua.

DAFTAR PUSTAKA

Adams, L.B. 2005. Hyperlipidemia. Diakses di http://www.umn. edu/let/pubs/adol_book.shtm. Tanggal akses: 5 Maret 2011.

Ariyanto, F. 2006. Smoothing Spline Bivariat Dalam Regresi Nonparametrik dan Aplikasinya. Laporan Tesis S2 Jurusan Statistika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.

13

Budiantara, I. N. 2005. Regresi Spline Linear. Makalah Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Diponegoro (UNDIP), Semarang.

. 2007(a). Model Keluarga Spline Polinomial Truncated Dalam Regresi Semiparametrik. Jurnal Matematika, Ilmu Pengetahuan Alam dan Pengajarannya (MIPA), Vol. 36, No.1, pp. 1-16. Malang: Universitas Negeri Malang.

. 2007(b). Inferensi Statistik Untuk Model Spline. Jurnal Ilmiah Matematika dan Statistika (Matstat), Vol. 7, No.1, pp. 1-14. Jakarta: Universitas Bina Nusantara.

. 2009. Spline Dalam Regresi Nonparametrik Dan Semiparametrik: Sebuah Pemodelan Statistika Masa Kini dan Masa Mendatang. Pidato Pengukuhan Untuk Jabatan Guru Besar Dalam Bidang Ilmu Matematika Statistika dan Probabilitas, Pada Jurusan Statistika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya: ITS Press.

Eubank, R. L. 1988. Spline Smoothing and Nonparametric Regression. New York: Marcel Dekker. . 1999. Nonparametric Regression and Spline Smoothing Second Edition. New York:

Marcel Dekker. Gujarati, D. 1992. Essentials of Econometrics. New York: McGRAW-Hill.Inc. Khomsah. 2008. Penyakit Diabetes Mellitus (DM). Diakses di http://www.infopenyakit.com/2008/03/

penyakit-diabetes-mellitus-dm.html. Tanggal akses: 5 Maret 2011. Semiati, R. 2010. Regresi Nonparametrik Deret Fourier Birespon. Laporan Tesis S2 Jurusan Statistika,

Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. Subekti, I. 2009. Apa Itu Diabetes: Patofisiologi, Gejala dan Tanda. Materi Penyuluhan Pasien Pada

Penatalaksanaan Diabetes Melitus Terpadu Edisi Kedua. Jakarta: Balai Penerbit FKUI. Tandra, H. 2009. Segala Sesuatu Yang Harus Anda Ketahui Tentang Diabetes. Jakarta: PT Gramedia

Pustaka Utama. Wahba, G. 1990. Spline Models For Observational Data. Pennsylvania: SIAM. Wang, Y. 1998. Spline Smoothing Models With Correlated Errors. Journal of the American Statistical

Association. Vol. 93, pp. 341-348. Wang Y., Guo W. dan Brown, M.B. 2000. Smoothing Spline For Bivariate Data With Application To

Association Between Hormones. Statistica Sinica. Vol. 10, pp. 377-397.