Regresi Kubik

REGRESI NON-LINIER POLYNOMIAL

BERDERAJAT TIGA (KUBIK)

Untuk memenuhi tugas matakuliah Analisis Regresi

yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi

Oleh:

Kelas GG

Aldila Sakinah Putri 408312408014

Annisa Masruroh 408312408021

Winda Permatasari 409312417675

Rezha Kharisma Putri 409312417680

Inge Ratih Puspitasari 409312417682

Nine Winda Yunita 409312419793

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

OKTOBER 2011

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan

hubungan suatu variabel terhadap variabel yang lain. Variabel yang pertama

disebut dengan variabel bebas atau variabel X karena seringkali digambarkan

dalam grafik sebagai absis. Variabel yang kedua adalah variabel terikat atau

variabel Y, dalam grafik digambarkan sebagai ordinat. Kedua variabel ini

biasanya merupakan variabel acak (random).

Regresi yang dipelajari di sini dibatasi pada regresi linear, baik itu

sederhana maupun berganda. Untuk regresi sederhana, regresi yang melibatkan

satu peubah tak bebas (Y) dan satu peubah bebas (X), kelinearan regresi ̂

diyakinkan melalui pengujian hipotesis. Jika hipotesis linear diterima, kita

yakin hingga tingkat keyakinan tertentu, bahwa regresi itu bentuknya linear tidak

diragukan. Namun, apabila ternyata hipotesis linear ditolak, maka regresi linear

tidak cocok untuk digunakan dalam mengambil kesimpulan dan karenanya perlu

meningkat pada pencarian regresi non-linear atau lengkung.

Analisa regresi merupakan salah satu uji statistika yang memiliki dua jenis

pilihan model yaitu linear dan non linear dalam parameternya. Model linear

memiliki dua sifat yaitu regresi sederhana dan regresi berganda dengan kurva

yang dihasilkan membentuk garis lurus. Untuk model non linear polynomial

berderajat dua yang disebut kuadratik, berderajat tiga yang disebut kubik,

berderajat empat disebul kuartil, dan seterusnya. Kurva yang dihasilkan

polynomial tersebut membentuk garis lengkung. Disini kami akan menganalisis

tentang model regresi non linear dalam parameternya bersifat kubik. Regresi non

linier yang bersifat kubik biasa dinyatakan dalam bentuk Yi = β0X0i + β1Xi + β2Xi2

+ β3Xi3 + ε. Dalam makalah ini kami mengambil contoh tentang banyaknya

kertas yang digunakan foto copy ” AREMA” selama bulan Juni-September 2011.

1.2. Rumusan Masalah

1. Bagaimana persamaan umum regresi non linear berderajat tiga?

2. Bagaimana aplikasi regresi non linear berderajat tiga?

3. Bagaimana menganalisa model regresi yang telah diperoleh?

1.3. Tujuan

1. Untuk mengetahui persamaan umum regresi non linear berderajat tiga.

2. Untuk mengetahui aplikasi regresi non linear berderajat tiga.

3. Untuk mengetahui menganalisa model regresi yang telah diperoleh.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Kajian teori

Model regresi non linier polinomial berderajat tiga atau model regresi

kubik mempunyai persamaan umum yang berbentuk :

Y = 0X0i + 1Xi + 2Xi2 + 3Xi

3 + ε

Dimana:

Yi = nilai pengamatan ke-i

Xi = nilai peubah X yang ke-i

0 = titik potong / parameter intersep

1 - 3 = Parameter pengaruh peubah X1, X2, X3 terhadap peubah Y pada

derajat atau ordo ke 1, 2, 3.

ε = galat ke-i yang diasumsikan berdistribusi bebas normal dengan

nilai rata- rata 0 dan ragam (σ2)

X0i = 1

i = 1, 2, 3, ..., n

Mengubah persamaan non linier bentuk kubik menjadi linier dengan

menggunakan rumus di bawah ini:

Y = X b

[ ]

=

[

]

[

]

Didapatkan Yi*= b0 + b1Xi + b2Xi2 + b3Xi

3. Bentuknya tetap berupa

polinomial kubik.

Asumsi yang diperlukan dalam model regresi polinomial berderajat tiga

adalah:

1. Bahwa ε merupakan peubah acak dengan nilai tengah dan variansi σ2 .

2. Bahwa ε i dan ε j , i tidak sama dengan j ( i ≠ j ), tidak berkorelasi satu

sama lain atau dapat ditulis Cov (ε i, ε j) = 0.

1) Pendugaan koefisien regresi polinomial berderajat tiga

Jika suatu data yang diberikan hanya dapat disajikan melalui kurva

regresi non linear, maka kita harus menentukan bentuk kurvanya dan

menduga parameternya. Dalam pendugaan koefisien regresi terlebih

dahulu diperlukan model sampel untuk mendekati data yang diperoleh dari

sampel. Model sampel yang digunakan untuk regresi polinomial berderajat

tiga adalah sebagai berikut:

Y1 = b0X0i + b1Xi + b2Xi2 + b3Xi

3 + Є

dimana:

i = 1, 2, 3, ..., n

X0i = 1 , untuk i = 1, 2, 3, ...,n

Model sampel di atas terlihat bahwa koefisien b0 mengandung nilai

X0i. dimana nilainya sama dengan 1. Pemberian peubah tiruan X0i

bertujuan agar b0 dapat dihitung bersamaan dengan koefisien yang lainnya.

Untuk menduga koefisien b0, b1, b2, b3 dapat menggunakan metode

kuadrat terkecil yang dibantu dengan matriks.

Y = X b

XT = X

T X b

(XT.X)

-1 X

T Y = (X

T.X)

-1 (X

T.X) b = I b

b = (XT.X)

-1 X

T Y

[

] =

[

]

[

]

Persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan secara serentak

dengan menggunakan metode eliminasi, juga dengan metode Cramer.

Sebaiknya pada permulaan sebelum mengidentifikasikan model regresi

apa yag diperkirakan sesuai, maka perlu dilihat arah kecenderungan data

untuk memperoleh gambaran awal kira-kira model regresi apa yang cocok,

apakah model regresi linier atau regresi non linier.

Apabila data merupakan model regresi non linier, maka sebelum

melakukan analisis perlu terlebih dahulu ditransformasikan agar

persamaan non linier menjadi regresi linier. Analisis regresi polinomial

apabila data mempunyai jarak atau interval yang sama, maka untuk

memudahkan analisis regresi dapat dilakukan transformasi dari peubah asli

menjadi peubah kode yaitu sebagai berikut :

Xi = { Ti – ( Tmin + Tmaks / 2} / { Tmaks – Tmin ) / 2 }

Dimana:

Xi = peubah bebas kode

Ti = peubah bebas asli

Untuk mengetahui model regresi yang terbaik menggunakan

analisis ragam regresi polinomial berderajat tiga. Pengujian untuk

menentukan model regresi yang sesuai dilakukan mulai derajat yang

paling rendah sampai dengan tiga, tetapi pengujian dapat dihentikan

apabila diketahui bahwa tidak ada gunanya derajat yang lebih tinggi diuji.

Berikut ini analisis ragam polinomial derajat tiga :

SK Db JK KT

Regresi Kubik

(pada X, X2, X

3)

3 JKR3 KTR3 / 3

Regresi kuadratik

(pada X, X2)

2 JKR2 KTR2

Sokongan oleh

X3/(X, X

2)

1

( n-4 )

JKK2 = JKR3 – JKR2

JKS2 = JKT – JKR3

KTK2 = JKK2

KTS2 = JKS2 / (n-4)

Dimana:

JKRS = ∑ bs { ∑ XiS Yi – ( ∑ Xi

S ∑ Yi ) / n }

JKt = ∑ Yi2 – ( ∑ Yi )

2 / n

Fhitung = KTR / KTsisa dan Fhitung= KTS KTsisa

Untuk dapat menguji ketepatan model regresi, maka jumlah

kuadrat galat perlu dipecah menjadi jumlah kuadrat galat murni dan

jumlah kuadrat simpangan dari model (Gasperz 1900). Sehingga

kuadratnya dapat ditulis sebagai berikut:

JKG = JKGM + JKSDM

JKGM = ∑{ ∑ Yi2 – ( ∑ Yi )

2 / ni}

JKSDG = JKG JKGM

Dimana :

Xi = ulangan pada peubah bebas ke-i

Yi = pengamatan peubah tidak bebas ke-i

ni = banyaknya ulangan pada peubah bebas ke-i

Untuk menjelaskan keragaman pada regresi yang sesuai adalah

dengan koefisien determinasi yaitu sebagai berikut:

R2 = JKregresi / JKtotal

Apabila persamaan regresi yang sesuai telah didapat maka dapat

digunakan untuk peramalan pada peubah tidak bebas dan penentuan

kondisi optimal pada peubah bebas. Namun dalam peramalan hanya

berlaku pada daerah percobaan yang bersangkutan agar terhindar

ekstrapolasi yang berlebihan. Tetapi sebelum melakukan penentuan

kondisi optimal dan peramalan, maka perlu terlebih dahulu untuk

melakukan pengujian keandalan model persamaan regresi yang telah

dibangun. Dalam menentukan kondisi optimal pada peubah bebas agar

diketahui kondisi yang maksimal dari peubah tidak bebas maka harus

dipenuhi persyaratan sebagai berikut:

1. Syarat perlu:

δ ε / δx1 = 0 ; δ ε / δx2 = 0

2. Syarat cukup:

Determinai minor utama dari matriks Hessian (H) bersifat negatif,

dimana matriks H yaitu:

H :

2) Menganalisa Model Regresi yang Telah Diperoleh

Jika telah diperoleh model regresi yang linear maka kita dapat melakukan

analisa sebagai berikut:

1. Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai

berikut

: model regresi tidak berarti

: model regresi berarti

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai dari Anova, dan dari tabel

dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika

.

2. Uji Koefisien regresi

Untuk menguji koefisien regresi menggunakan uji T, dengan hipotesis sebagai

berikut

, artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel terikat.

, artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai dari Anova, dan dari tabel

dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika

.

3. Uji asumsi analisis regresi

a) Normal residual

Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan

uji Anderson Darling dan mencari nilai P_value, dan dengan hipotesis

sebagai berikut:

: Residual berdistribusi normal.

: Residual tidak berdistribusi normal.

Untuk menentukan menolak atau menerima , dilakukan perbandingan

P_value dengan suatu nilai (taraf kepercayaan) dengan ketentuan

sebagai berikut:

, jika data diperoleh dari penelitian di lapangan.

, jika data diperoleh dari penelitian di laboratorium.

, jika data diperoleh dari penelitian terhadap manusia atau

binatang.

, dalam bidang kedokteran.

Terima jika P_value ,

Tolak jika P_value .

b) Kebebasan residual

Untuk menguji kebebasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk

residual. Homogenitas residual bersifat homogen atau tidak saling bebas

jika ada korelasi antar sisa.

c) Homogenitas

Untuk mengetahui apakah sisa antara variable terikat dengan variable

bebas mempunyai keragaman yang homogen, atau tidak menunjukkan

kecenderungan tertentu. Jika standar sisa 95% berada diantara (-2,2) secara

merata maka sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga mempunyai

keragaman yang tetap.

Jika asumsi kehomogenan ini terpenuhi maka secara otomatis asumsi

normalitas akan dipenuhi, jika sumsi ini tidak dipenuhi maka dilakukan

cara untuk mengatasi salah satunya dengan cara melakukan transformasi

terhadap data tersebut.

2.2 Aplikasi

Foto Copy “AREMA” menerima foto copy setiap harinya. Tetapi dalam

makalah ini, banyaknya foto copy akan kami akumulasikan dalam setiap

minggu dari bulan Juni – September 2011. Anggap 1 bulan = 4 minggu.

Berikut data yang berhasil diperoleh :

X : Minggu ke-n

Y : Banyaknya Foto copy/rim

Minggu ke-

(X)

Banyaknya Foto

copy/rim (Y)

Minggu ke-

(X)

Banyaknya Foto

copy/rim (Y)

1 43 9 62

2 49 10 61

3 52 11 56

4 58 12 55

5 62 13 62

6 58 14 63

7 59 15 66

8 62 16 72

Regresi linear

Persamaan regresi linear dari data yaitu Y = 49,3 + 1,12 X dengan grafik sebagai

berikut:

Keterangan grafik:

Dari minitab diperoleh grafik yang menunjukkan taksiran garis regresi yang linier

dengan koefisien determinasi ( ) sebesar 60.2% dan sisanya sebesar 39.8%. Ini

menunjukkan bahwa keragaman variabel mempengaruhi sebesar 60.2%,

sedangkan 39.8% dipengaruhi oleh variabel lain yang tidak masuk dalam model.

Regression The regression equation is

y = 49,3 + 1,12 x

Predictor Coef StDev T P

Constant 49,250 2,346 20,99 0,000

x 1,1176 0,2427 4,61 0,000

S = 4,474 R-Sq = 60,2% R-Sq(adj) = 57,4%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 424,71 424,71 21,21 0,000

Residual Error 14 280,29 20,02

Total 15 705,00

Dari gambar di atas kita mengetahui bahwa R-Sq=60,2%, sedangkan apabila data

tersebut merupakan model liniear seharusnya R-Sq mendekati 95%. Jadi dari uji

linear ini kita mengetahui bahwa data yang kita peroleh tidak cocok menggunakan

model liniear. Sehingga kita mencoba menguji data yang kita peroleh

menggunakan uji kuadratik seperti di bawah ini.

Regresi non-linear berderajat dua (kuadratik)

Persamaan regresi linear dari data yaitu Y = 46,6429 + 1,98669X - 5,11E-02X2

dengan grafik sebagai berikut:

Keterangan grafik:

Dari minitab diperoleh grafik yang menunjukkan taksiran garis regresi yang linier

dengan koefisien determinasi ( ) sebesar 62.4% dan sisanya sebesar 37.6%. Ini

menunjukkan bahwa keragaman variabel mempengaruhi sebesar 62.4%,


Polynomial Regression Y = 46,6429 + 1,98669X - 5,11E-02X**2

R-Sq = 62,4 %


SOURCE DF SS MS F P

Regression 2 439,633 219,817 10,7685 1,74E-03

Error 13 265,367 20,413

Total 15 705,000

SOURCE DF Seq SS F P

Linear 1 424,706 21,2130 4,08E-04

Quadratic 1 14,927 0,731264 0,407958

Dari gambar di atas kita mengetahui bahwa R-Sq=62,4%, sedangkan apabila data

tersebut merupakan model non-liniear berderajat dua seharusnya R-Sq mendekati

95%. Jadi dari uji non-linear berderajat dua ini kita mengetahui bahwa data yang

kita peroleh tidak cocok menggunakan model non-liniear berderajat dua. Sehingga

kita mencoba menguji data yang kita peroleh menggunakan uji kubik seperti di

bawah ini.

Regresi non-linear berderajat tiga (kubik)

Dari minitab diketahui persamaan regresi non linear yang berbentuk kubik, yaitu

Y = 32,8159 + 10,4864X - 1,26401X2 + 4,76E-02X

3, dengan grafik sebagai

berikut:

Keterangan grafik:

Dari minitab diperoleh grafik yang menunjukkan taksiran garis regresi yang non

linier dengan koefisien determinasi ( ) sebesar 91.5% dan sisanya sebesar 8.5%.

Ini menunjukkan bahwa keragaman variabel mempengaruhi sebesar 91.5%,


Polynomial Regression Y = 32,8159 + 10,4864X - 1,26401X**2 + 4,76E-02X**3

R-Sq = 91,5 %


SOURCE DF SS MS F P

Regression 3 644,825 214,942 42,8634 1,09E-06

Error 12 60,175 5,015

Total 15 705,000


Linear 1 424,706 21,2130 4,08E-04

Quadratic 1 14,927 0,731264 0,407958

Cubic 1 205,192 40,9192 3,42E-05

Dari gambar di atas kita mengetahui bahwa R-Sq=91,5% merupakan model non-

liniear berderajat tiga yang R-Sq mendekati 95% dibandingkan model linear dan

model non-linear berderajat dua. Selain itu garis regresi mengikuti polt data. Jadi

dari uji non-linear berderajat tiga ini kita mengetahui bahwa data yang kita

peroleh cocok menggunakan model non-liniear berderajat tiga.

Model regresi yang telah diperoleh dapat kita analisis sebagai berikut:

1) Menguji model regresi

Model regresi Y = 49,3 + 1,12 X dan Y = 32,8159 + 10,4864X -

1,26401X2 + 4,76E-02X

3 signifikan, karena:

Data di atas dari data lapangan maka α = 0,05

Dari minitab diperoleh ANOVA sebagai berikut:

Polynomial Regression Y = 32,8159 + 10,4864X - 1,26401X**2 + 4,76E-02X**3

R-Sq = 91,5 %


SOURCE DF SS MS F P

Regression 3 644,825 214,942 42,8634 1,09E-06

Error 12 60,175 5,015

Total 15 705,000


Linear 1 424,706 21,2130 4,08E-04

Quadratic 1 14,927 0,731264 0,407958

Cubic 1 205,192 40,9192 3,42E-05

Dari ANOVA di atas diperoleh Fhitung Linear = 21,21, Fhitung Kuadratik =

0,73, Fhitung Kubik = 40,91. Untuk menguji model regresi digunakan uji F,

dengan hipotesis sebagai berikut:

H0 : Model regresi tidak berarti

H1 : Model regresi berarti

Dari tabel didapat Ftabel=1,0000

Karena Fhitung < Ftabel pada regresi kuadratik maka menerima H0, jadi

model regresi tidak berarti dan tidak signifikan. Sedangkan Fhitung > Ftabel

pada regresi linear dan kubik maka menolak H0, jadi model regresi berarti

sehingga dapat disimpulkan bahwa model regresi signifikan.

2) Menguji koefisien regresi

Karena maka menggunakan uji T untuk menguji koefisian

regresi, dengan hipotesis sebagai berikut:

Terima jika dan tolak jika .

artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel

terikat.

artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu minitab, diperoleh

Regression The regression equation is

y = 49,3 + 1,12 x

Predictor Coef StDev T P

Constant 49,250 2,346 20,99 0,000

x 1,1176 0,2427 4,61 0,000

S = 4,474 R-Sq = 60,2% R-Sq(adj) = 57,4%


Source DF SS MS F P

Regression 1 424,71 424,71 21,21 0,000

Residual Error 14 280,29 20,02

Total 15 705,00

Hasil uji koefisien kemiringan garis regresi menunjukkan adanya pengaruh

menit ( ) terhadap pengunjung ( ) dengan nilai , jadi

. Tanpa mencari dapat diketahui dari ( )

( ). Karena maka menolak dengan kata lain hipotesis

artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat

diterima. Jadi variabel bebas ( ) sangat mempengaruhi variabel tak bebas ( ).

3) Uji asumsi analisis regresi

a) Uji Normalitas

Residual berdistribusi normal, karena:

Dari minitab diperoleh nilai P-value beserta grafiknya sebagai berikut:

Karena p-value = 0.284> 0,05 sehingga terima H0, jadi residual

berdistribusi normal.

b) Uji Homogenitas

Data tersebut bersifat Homogen, karena:

Untuk menguji homogenitas kita gunakan alat bantu minitab sebagai

berikut:

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa standart sisa 95% berada di

antara (-4, 3). Data sebagian besar menyebar, tidak membentuk

lonceng dan merupakan data acak. Jadi data tersebut bersifat

Homogen.

c) Uji Kebebasan

Ada autokorelasi atau data tidak saling bebas, karena:

Untuk menguji kebebasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi

untuk residual dengan menggunakan alat bantu minitab. Selain itu

juga bisa menggunakan individual chart.

Dari I Chart dapat dilihat bahwa tidak ada data yang melebihi garis merah

maka tidak ada data pencilan yang harus dihapus.

Dari Autocorelation dapat dilihat bahwa ada data yang melebihi garis

merah maka dapat disimpulkan bahwa data tidak saling bebas.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Regresi dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu regresi linier dan non

linier. Regresi linier merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan

linier dan grafiknya mendekati garis lurus, sedangkan regresi non linier

merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan non linier dan

kurvanya lengkung.

Jika data yang diperoleh membentuk regresi yang non linier maka

harus dilinierkan dulu dengan menggunakan transformasi yang sesuai. Untuk

regresi non linier model kubik Y = 0X0i + 1Xi + 2Xi2 + 3Xi

3 + ε.

Pendugaan model tentunya harus memperhatikan teori dari ilmu yang

melandasinya atau melatarbelakanginya, apakah pola hubungan tersebut linier

maupun non linier. Model regresi polinomial merupakan peningkatan orde

yang lebih tinggi dari bentuk linier dan pada umumnya orde tertinggi yang

biasa digunakan sampai orde tiga atau bentuk regresi kubik. Konsep

pendugaan parameter persamaan garisnya sama dengan regresi linier

sederhana yakni menggunakan metode kuadrat terkecil.

Dari aplikasi diatas disimpulkan bahwa hasil datanya merupakan model

dari regresi non-linear berderajat tiga (kubik) dengan persamaan Y = 32,8159

+ 10,4864X - 1,26401X2 + 4,76E-02X

3. Persamaan regresi linearnya adalah Y

= 49,3 + 1,12 X dan persamaan regresi non-linear berderajat dua (kuadratik)

adalah Y = 46,6429 + 1,98669X - 5,11E-02X2. Dari analisis didapat bahwa

model signifikan, berdistribusi normal, homogen, tidak saling bebas dan

menolak H0 karena P value > 0.05.

Lampiran

Data banyaknya foto copy yang diakumulasikan dalam setiap minggu dari bulan

Juni – September 2011 pada Foto Copy “AREMA” yang menerima foto copy

setiap harinya.

Bulan Minggu ke- Banyaknya Foto copy/rim

Juni

I 43

II 49

III 52

IV 58

Juli

I 62

II 58

III 59

IV 62

Agustus

I 62

II 61

III 56

IV 55

September

I 62

II 63

III 66

IV 72

Tertanda,

Documents

Regresi Kubik