Cap.4. Circuite n regim tranzitoriu4.1 Circuite RC de ordinul
ntiProblema rezolvat 1 n circuitul cu schema din Fig.1 ntreruptorul
se afl n pozi ia deschis de mult timp, astfel c circuitul este n
regim sta ionar. La momentul t=0 se nchide ntreruptorul. S se
determine: a). Varia ia n timp a tensiunii uC i a curentului i pe
intervalul t0 i s se reprezinte graficele acestor func ii. b)
Energia debitat de sursa de tensiune continu n intervalul (0 5],
fiind constanta de timp a circuitului.
Fig.1
Fig.2
Rezolvare. a). Circuitul fiind de ord.1, tensiunea uC este dat
de rela ia
u C ( t ) = u C ( ) + [u C ( 0 + ) u C ( )]e t / , t 0+ ,n
care:
(1)
- uC(0+) reprezint valoarea ini ial a tensiunii pe condensator,
imediat dup nchiderea ntrerup toarului; - uC() reprezint tensiunea
pe condensator dup stabilirea noului regim sta ionar; - = RThC este
constanta de timp a circuitului, pe intervalul t > 0. Urmeaz s
calculm cele trei mrimi. 1o. Conform teoremei condi iilor ini iale
uC(0+)= uC(0), unde uC(0) reprezint tensiunea pe condensator la
momentul care precede nchiderea comutatorului. n acest moment
circuitul este n regim sta ionar i prin urmare condensatorul este
echivalent cu o ntrerupere Fig.2. Aplicnd formula divizorului de
tensiune, ob inem
u C ( 0 ) =
2o. Dup stingerea regimului tranzitoriu, circuitul ajunge din
nou n regim sta ionar, condensatorul fiind din nou echivalent cu o
ntrerupere Fig.3a.
3+2+1 12 = 6 V . 6 +3+2+1
Fig.3a
Fig.3b
Dup ce redesenm circuitul ca n Fig.3b, cu ajutorul formulei
divizorului de tensiune, ob inem
uC ( ) =
3o. Considerm circuitul la un moment arbitrar t > 0.
Constanta de timp a circuitului este = RThC, unde RTh este rezisten
a echivalent a circuitului pasivizat, vzut de la bornele
condensatorului Fig.4a.
3 12 = 4 V . 6+3
1
Fig.4a
Fig.4b
Redesennd circuitul ca n Fig.4b, se observ c
RTh = 6 3 =Constanta de timp este atuncio
6.3 = 2 k . 6 +3
= 2.103.5.10-6 = 10-2 s. 4 . nlocuind rezultatele ob inute n
rel.(1), rezult
u C ( t ) = 4 + 2e 100 t [ V ], t 0 .Graficul acestei func ii
este reprezentat n Fig.5.
Fig.5
5o. Pentru calculul curentului i(t), t > 0, ne folosim de
teoremele lui Kirchhoff i de faptul c cunoatem uC(t), t > 0.
Fig.6
Fig.7
Dup ce redesenm circuitul (Fig.6) i aplicm TK2 pe ochiul din
stnga, ob inem 12 u C ( t ) 6 i( t ) = 0 , de unde
i( t ) =
12 u C ( t ) 12 4 2e 100t 4 1 100t [mA], t >0+. = = e 6 6 3
3
Graficul i(t) este reprezentat n Fig.7 b). Puterea momentan
furnizat de sursa de tensiune continu este
4 1 p( t ) = U S i( t ) = 12 e 100 t = 4 4 e 100 t , t > 0 .
3 3
(
)
Energia debitat de surs n intervalul (0, 5.10-2 ] este
atunci
2
5.10 2
W =4
(4 e
100 t
)dt = 0.76
[W.s].
0
Problema rezolvat 2 Circuitul din Fig.8 se afl n regim sta ionar
pn la momentul t=0 cnd se nchide ntreruptorul K. S se determine
uC(t) i i(t) pentru t 0 i s se reprezinte grafic aceste func
ii.
Fig.8
Fig.9
Rezolvare. Paii sunt aceiai ca n problema precedent. Pornim de
la rela ia
u C ( t ) = u C ( ) + [u C ( 0 + ) u C ( )]e t / , t 0+i calculm
mrimile care intervin aici. 1o. uC(0+) = uC(0-), iar uC(0-) rezult
din analiza circuitului la momentul care precede comuta ia, cnd
circuitul are schema din Fig.9 (regimul fiind sta ionar,
condensatorul este echivalent cu o ntrerupere). Din figur rezult
direct u C (0 ) = 0 . o 2 . Schema corespunztoare regimului sta
ionar n care ajunge circuitul dup nchiderea comutatorului K este
reprezentat n Fig.10.
Fig.10
Folosind formula divizorului de tensiune, ob inem
u C ( ) =o
4 + (3 6 ) 12 + 4 + (3 6 )
24 =
6 24 = 8 V . 18
3 . Circuitul pasivizat are schema din Fig.11a, redesenat n
Fig.11b.
a).
b).
Fig.11
Rezisten a Thevenin a circuitului rezistiv, fa de bornele
condensatorului, are valoarea
RTh = 12 [4 + (3 6 )] = 12 6 = 4 k .
3
Constanta de timp a circuitului este atunci = RTh C = 4.10
3.2.10 6 = 8.10 3 s = 8 ms . 4o. nlocuind valorile ob inute n solu
ia general, rezult
u C (t ) = 8 8e 125t , [V ] t 0 .Graficul acestei func ii este
reprezentat n Fig.12
Fig.12
Fig.13
5o. Pentru calculul curentului i(t), t >0, inem cont c la un
condensator curentul i tensiunea la borne sunt legate prin rela
ia
i=C
du C . dt
nlocuind aici expresia determinat pentru uC(t), ob inem La
momentul t=0+, din aceast rela ie rezult i(0+) = 2.10-3 A, iar din
Fig.2 rezult i(0-) = 0. Graficul func iei i(t) este reprezentat n
Fig.13.
i (t ) = 2.10 6 ( 8 )( 125 ).e 125t = 2.10 3 e 125t [A], t 0 + .
.
Probleme propuse1. Circuitul din Fig.14 se afl n regim sta
ionar. La momentul t=0 se deschide ntreruptorul . S se determine
uC(t) i i(t) pentru t>0. Reprezenta i graficele acestor func ii,
inclusiv pe subintervalul t0 3. Aceiai ntrebare pentru uC(t) i u(t)
din circuitul cu schema din Fig.16, dup deschiderea ntreruptorului.
Rspuns: u(t)=24/5+1/5exp(-5t/8), t>0
Fig.16
4. Sursa din Fig.17a genereaz un impuls dreptunghiular de
curent, cu parametrii din Fig.17b. Presupunnd ini ial condensatorul
nencrcat, s se determine u(t) i i(t), t>0 i s se reprezinte
graficele acestor func ii. Indica ie: Impulsul de curent dat poate
fi implementat
4
printr-o surs de curent de valoare constant Is=6 A i un
comutator plasat corespunztor i ac ionat succesiv la momentele t=0,
respectiv t=4,5 s.
Fig.17a
Fig.17b
Rspuns: i(t)=6-3exp(-t/8), 0 0 (deci cnd comutatorul este
deschis) Fig.23. Se observ c circuitul are un singur ochi, parcurs
de curentul iL. Cu ajutorul legii lui Ohm rezult atunci u (t ) = 2
i L (t ) = 6e 4 t [V ], t 0 + . (semnul este datorat sensurilor de
referin opuse pentru tensiune i curent la bornele rezistorului
considerat). n particular, de aici ob inem u(0+) = 6 V. Pe de alt
parte, folosind formula divizorului de tensiune, din Fig.2 rezult 2
u (0 ) = 6=2V . 4+2
Fig.22
Fig.23
Fig.24
Graficul acestei func ii este reprezentat n Fig.24.
Problema rezolvat 2 Circuitul din Fig.25 se afl n regim sta
ionar. La momentul t = 0 se nchide comutatorul K. S se calculeze
iL(t) i u(t) pentru t 0 i s se reprezinte grafic aceste func
ii.
6
Fig.25
Fig.26
Rezolvare. Pentru calculul lui iL(t) vom folosi rela ia i L (t )
= i L () + [i L (0 + ) i L ()]e unde: - iL(0+) este valoarea ini
ial a curentului, dup comutare, - iL() este valoarea c tre care
tinde curentul (valoarea de regim sta ionar), - = L/RTh reprezint
constanta de timp a circuitului. 1o. Conform teoremei condi iilor
ini iale i L (0 + ) = i L (0 ) . La momentul t = 0, care precede
comutarea, circuitul se afla n regim sta ionar, bobina fiind
echivalent cu un scurtcircuit ntre bornele sale (Fig.26).
Scurtcircuitul reprezentat de bobin unteaz rezistorul care este n
paralel cu bobina (curentul trece prin scurtcircuit, evitnd
rezisten a de 10 ). Circuitul are o singur cale de curent,
reprezentat cu linie ntrerupt , parcurs de acelai curent iL(0) care
rezult imediat: 12 i L (0 ) = = 0,6 A . 10 + 10 o 2 . La momentul t
= circuitul este din nou n regim sta ionar Fig.27. t
, t 0+ ,
(2)
Fig.27
Fig.28
Circuitul are o singur cale de curent, parcurs de curentul iL(),
de valoare 12 i L ( ) = = 1,2 A . 10 3o. Rezisten a echivalent fa
de bornele bobinei a circuitului rezisteiv pasivizat se calculeaz n
baza schemei din Fig.28. Se observ c ntre bornele a i b exist dou c
i, astfel c RTh = 10 10 = 5 . Constanta de timp a circuitului este
atunci L 10 2 = = = 2.10 3 s . RTh 5 40. nlocuind n rel.(2) ob inem
i L (t ) = 1,2 0,6 e 500 t [ A], t 0 . Graficul corespunz tor este
reprezentat n Fig.29.
7
5o. Pentru calcului tensiunii u(t) observ m c aceasta este egal
cu tensiunea de la bornele bobinei, de unde di (t ) u (t ) = u L (t
) = L L = 3e 500 t [V ], t 0 + . dt n particular, de aici rezult u
(0 + ) = 3 V . Graficul este reprezentat n Fig.30. Pentru momentul
care precede nchiderea ntrerup torului, din Fig.2 ob inem u (0 ) =
0 . Aadar tensiunea u(t) are un salt la momentul t = 0.
Fig.29
Fig.30
Probleme propuse 1. Circuitul din Fig.31 se afl n regim sta
ionar. La momentul t=0 se deschide ntreruptorul. S se determine
i(t) i u(t) pentru intervalul t>0. Reprezenta i graficele
acestor func ii, inclusiv pentru subintervalul t0 2. Aceiai
ntrebare pentru iL i i din Fig.32, dup nchiderea ntreruptorul la
momentul t=0. Rspuns: i(t)=12/5exp(-18t/5), t>0
Fig.31
Fig.32
3. Aceiai ntrebare pentru i(t) i u(t) din Fig.33, ntreruptorul
deschizndu-se la t=0. Rspuns: i(t)=3-5/3exp(-2t), t>0
Fig.33
Fig.34
4. O bobin de inductivitate L i rezisten r este alimentat de la
o surs de tensiune continu U0, prin intermediul unui ntreruptor
modelat printr-un ntreruptor ideal n paralel cu o rezisten R foarte
mare (Fig.34). Circuitul se afl n regim sta ionar pn la momentul
t=0 cnd se deschide ntreruptorul. S se determine varia ia n timp a
tensiunii u12(t) de la bornele ntreruptorului i s se reprezinte
grafic aceast varia ie. S se comenteze valoarea u12(0+) a acestei
tensiuni innd cont c R>>r. Rspuns:
u12(t)=(RU0/(R+r))(1+(R/r)exp(-t(R+r)/L)),
u12(0+)=(R/r)U0>>U0.
8
5. Sursa de tensiune us din Fig.8a genereaz un impuls
dreptunghiular de tensiune, cu parametrii din Fig.8b. tiind c
bobina are condi ii ini iale nule, s se determine i(t), u(t) pentru
t>0 i s se reprezinte graficele acestor func ii. Indica ie: se
modeleaz impulsul de tensiune dat printr-o surs de tensiune de
valoare constant Us=12 V i un ntreruptor convenabil plasat i ac
ionat succesiv la momentele t=0, respectiv t=1 s. Rspuns:
i(t)=2(1-exp(-3t/2)), 0
