Embed Size (px)
Citation preview
1
Rešenja zadataka sa prijemnog ispita održanog 28. i 29.06.2017. godine
Zadatak 1
2
2 51 1 2 1 1 1 2 10 91
5 5 5 5 5 5 5
xx x x x
x x x x x x x x x x x x x x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2 3 1 2 3 5 2 3 5 2 32
5 5 5 5 5 5 5
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2 41 3 2 1 3 1 3 2 8 73
4 4 4 4 4 4 4
xx x x x
x x x x x x x x x x x x x x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2 42 1 2 2 1 2 2 8 64
4 4 4 4 4 4 4
xx x x x
x x x x x x x x x x x x x x
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
Zadatak 2
1) 5 3
7 413 3
81
xx
5 31 1
5 3 5 37 4 4 7 4 3 42 2
13 3 ; 3 3 3 ; 3 3 ;
81
5 3 33 4 2 ; 6 8 5 3 13 3
2 2 13
xx x
x x x
x x x x x x
Rešenje pripada intervalu 4
1;3
2) 5 5
4 113 3
27
xx
5 51 1
5 5 5 54 1 3 4 1 4 3 12 2
13 3 ; 3 3 3 ; 3 3 ;
27
5 5 13 9 94 2 ;
2 2 2 2 13
xx x
x x x
x x x x
Rešenje pripada intervalu 5
, 03
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) 3 5
5 315 5
25
xx
3 51 1
3 5 3 55 3 2 5 3 3 32 2
15 5 ; 5 5 5 ; 5 5 ;
25
3 5 9 11 113 3 ;
2 2 2 2 9
xx x
x x x
x x x x
Rešenje pripada intervalu 1
; 32
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) 8 7
3 215 5
5
xx
8 71 1
8 7 8 73 2 1 3 2 3 2 12 2
15 5 ; 5 5 5 ; 5 5 ;
5
8 7 7 53 1 ; 1
2 2 2 2
xx x
x x x
x x x x
Rešenje pripada intervalu 5
3 ,6
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
Zadatak 3
Zbir kvadrata realnih rešenja jednačine iznosi:
1) 4 210 11 0x x 2t x 2 10 11 0t t
1 2
2 2
11 ; 1
11 ; 1 0
t t
x x otpada jer je
Ima dva realna rešenja: 1 211 ; 11x x
Zbir kvadrata realnih rešenja je: 2 2
1 2 11 11 22x x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) 4 29 10 0x x 2t x 2 9 10 0t t
1 2
2 2
10 ; 1
10 0 ; 1
t t
x otpada jer je x
Ima dva realna rešenja: 1 21; 1x x
Zbir kvadrata realnih rešenja je: 2 2
1 2 1 1 2x x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) 4 24 21 0x x 2t x 2 4 21 0t t
1 2
2 2
7 ; 3
7 ; 3 0
t t
x x otpada jer je
Ima dva realna rešenja. 1 27 ; 7x x
Zbir kvadrata realnih rešenja je: 2 2
1 2 7 7 14x x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) 4 27 8 0x x 2t x 2 7 8 0t t
1 2
2 2
8 ; 1
8 ; 1 0
t t
x x otpada jer je
Ima dva realna rešenja. 1 28 ; 8x x
Zbir kvadrata realnih rešenja je: 2 2
1 2 8 8 16x x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
Zadatak 4
Proizvod rešenja jednačine je:
1) 2
2 2log 7 log 8 0x x
2
2 2 2
2
1 1
2 2
log 7 log 8 0 ; log
7 8 0
8 ; 1
log 8 ; log 1
x x smena t x
t t
t t
x x
8 1
1 22 2x x Proizvod rešenja jednačine je: 8 1 7
1 2 2 2 2x x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) 2
2 2log 6log 7 0x x
2
2 2 2
2
1 1
2 2
log 6log 7 0 ; log
6 7 0
7 ; 1
log 7 ; log 1
x x smena t x
t t
t t
x x
7 1
1 22 2x x Proizvod rešenja jednačine je: 7 1 6
1 2 2 2 2x x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) 2
2 2log 5log 6 0x x
2
2 2 2
2
1 1
2 2
log 5log 6 0 ; log
5 6 0
6 ; 1
log 6 ; log 1
x x smena t x
t t
t t
x x
6 1
1 22 2x x Proizvod rešenja jednačine je: 6 1 5
1 2 2 2 2x x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) 2
2 2log 4log 21 0x x
2
2 2 2
2
1 1
2 2
log 4log 21 0 ; log
4 21 0
7 ; 3
log 7 ; log 3
x x smena t x
t t
t t
x x
7 3
1 22 2x x Proizvod rešenja jednačine je: 7 3 4
1 2 2 2 2x x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
Zadatak 5
1) Dati su treći 3 3a i deveti član
9 0a aritmetičkog niza.
Zbir prvih devet članova niza 9S je:
3
9
3
0
a
a
;
1
1
2 3
8 0
a d
a d
;
1
8 2 3
8
d d
a d
1
14 ;
2a d
1 9
9
9 9 4 0 3618
2 2 2
a aS
9 18S
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 5 3 1 1 3 54, , 3, , 2, , 1, , 0, , 1, , 2, ,
2 2 2 2 2 2 2
, , , , , , , , , , , ,...a a a a a a a a a a a a
Niz za 1) i 2)
2) Dati su peti član 5 2a i jedanaesti član
11 1a aritmetičkog niza.
Zbir prvih jedanaest članova niza 11S je:
5
11
2
1
a
a
;
1
1
4 2
10 1
a d
a d
; 1 4 2
4 2 10 1
a d
d d
; 1 4 2
6 3
a d
d
1
14 ;
2a d
1 11
11
11 11 4 1 33
2 2 2
a aS
11
33
2S
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Dati su peti član 5 2a i jedanaesti član
11 1a aritmetičkog niza.
Zbir prvih jedanaest članova niza 11S je:
5
11
2
1
a
a
;
1
1
4 2
10 1
a d
a d
; 1 2 4
2 4 10 1
a d
d d
; 1 2 4
6 3
a d
d
1
14 ;
2a d
1 11
11
11 11 4 ( 1) 33
2 2 2
a aS
11
33
2S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7 5 3 1 1 3 54, , 3, , 2, , 1, , 0, , 1, , 2, ,
2 2 2 2 2 2 2
, , , , , , , , , , , , ,...a a a a a a a a a a a a a
Niz za 3) i 4)
------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Dati su treći član 3 3a i trinaesti član
13 2a aritmetičkog niza.
Zbir prvih trinaest članova niza 13S je:
3
13
3
2
a
a
;
1
1
2 3
12 2
a d
a d
; 1 3 2
3 2 12 2
a d
d d
;
1 3 2
1
2
a d
d
1
14 ;
2a d
1 13
13
13 13 4 ( 2) 2613
2 2 2
a aS
13 13S
6
Zadatak 6
1) Površina P jednakokrakog trougla kome je krak 7b a ugao na osnovici 67 30 iznosi:
180 2 180 135 45 ; sinbh b
249
sin sin 45 49 22
2 2 2 2 4
bbh bb bbP
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Površina P jednakokrakog trougla kome je krak 9b a ugao na osnovici 67 30 iznosi:
180 2 180 135 45 ; sinbh b
281
sin sin 45 81 22
2 2 2 2 4
bbh bb bbP
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Površina P jednakokrakog trougla kome je krak 6b a ugao na osnovici 67 30 iznosi:
180 2 180 135 45 ; sinbh b
236
sin sin 45 2 9 22 2 2 2
bbh bb bbP
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Površina P jednakokrakog trougla kome je krak 8b a ugao na osnovici 67 30 iznosi:
180 2 180 135 45 ; sinbh b
264
sin sin 45 2 16 22 2 2 2
bbh bb bbP
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7
Zadatak 7
1) Zapremina pravilne šestostrane piramide, kojoj je osnovna ivica 10a i ugao koji bočna
strana zaklapa sa ravni osnove 60 , iznosi:
Neka je H visina piramide. 23 3
; ; 62 43
2
H a atg H tg B
a
2 31 1 3 3 3 10 10 10 36 3 750 3
3 3 4 2 4 4
a a aV BH tg tg
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Zapremina pravilne šestostrane piramide, kojoj je osnovna ivica 8a i ugao koji bočna strana
zaklapa sa ravni osnove 60 , iznosi:
2 3 31 1 3 3 3 8 36 3 384 3
3 3 4 2 4 4
a a aV BH tg tg
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Zapremina pravilne četvorostrane piramide, kojoj je osnovna ivica 8a i ugao koji
bočna ivica zaklapa sa ravni osnove 60 , iznosi:
Neka je H visina piramide. 22; ;
2 2
2
H d atg H tg tg B a
d
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Zapremina pravilne četvorostrane piramide, kojoj je osnovna ivica 10a i ugao koji
bočna ivica zaklapa sa ravni osnove 60 , iznosi:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 321 1 2 2 8 2 3 256 6
3 3 2 6 6 3
a aV BH a tg tg
3 321 1 2 2 10 2 3 500 6
3 3 2 6 6 3
a aV BH a tg tg
8
Zadatak 8
1) Zbir rešenja jednačine 1
sin 24 2
x
koja su iz intervala 0, 2x je:
1 1
1 2
1 2
1 1sin 2x ; smena t 2x sin t ;
4 2 4 2
5t 2k ; t 2k
6 6
52x 2k ; 2x 2k
4 6 4 6
5 132x 2k ; 2x 2k
12 12
1 2
1 2
1 2
5 13x k ; x k
24 24
x 0,2
5 13k 0 x 0 ; x 0
24 24
5 13k 1 x 1 ; x 1
24 24
Odgovor: 1 1 2 2
5 5 13 13 7x x x x
24 24 24 24 2
2) Zbir rešenja jednačine 2
sin 26 2
x
koja su iz intervala 0, 2x je:
1 1
1 2
1 2
1 2
2 2sin 2x ; smena t 2x sin t ;
6 2 6 2
3t 2k ; t 2k
4 4
32x 2k ; 2x 2k
6 4 6 4
32x 2k ; 2x 2k
4 6 6 4
5 112x 2k ; 2x 2k
12 12
1 2
1 2
1 2
5 11x k ; x k
24 24
x 0,2
5 11k 0 x 0 ; x 0
24 24
5 11k 1 x 1 ; x 1
24 24
Odgovor: 1 1 2 2
5 5 11 11 32 10x x x x 2
24 24 24 24 24 3
9
3) Zbir rešenja jednačine 1
sin 23 2
x
koja su iz intervala 0, 2x je:
1 1
1 2
1 2
1 1sin 2x ; smena t 2x sin t ;
3 2 3 2
5t 2k ; t 2k
6 6
52x 2k ; 2x 2k
3 6 3 6
72x 2k ; 2x 2k
2 6
1 2
1 2
1 2
7x k ; x k
4 12
x 0,2
7k 0 x 0 ; x 0
4 12
7k 1 x 1 ; x 1
4 12
Odgovor: 1 1 2 2
7 7 11x x x x
4 4 12 12 3
4) Zbir rešenja jednačine 2
sin 26 2
x
koja su iz intervala 0, 2x je:
1 1
1 2
1 2
1 2
2 2sin 2x ; smena t 2x sin t ;
6 2 6 2
3t 2k ; t 2k
4 4
32x 2k ; 2x 2k
6 4 6 4
32x 2k ; 2x 2k
4 6 4 6
72x 2k ; 2x 2k
12 12
1 2
1 2
1 2
7x k ; x k
24 24
x 0,2
7k 0 x 0 ; x 0
24 24
7k 1 x 1 ; x 1
24 24
Odgovor: 1 1 2 2
7 7 16 8x x x x 2
24 24 24 24 24 3
10
Zadatak 9
1) Jednačina 3
1 2 01
xx
Smenom 1t x svodi se na jednačinu:
2
1 2
32 0 ;
2 3 0
1 ; 3
tt
t t
t t
Vraćanjm smene dobija se:
1 2
1 2
1
1 1 ; 1 3
1 1 ; 1 0.
2
x x
x Drugo rešenje otpada jer je simbol korena x
x
Odgovor: Ima jedno rešenje iz intervala 4 , 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Jednačina 6
2 1 1 02 1
xx
Smenom 2 1t x svodi se na jednačinu:
2
1 2
61 0 ;
6 0
3 ; 2
tt
t t
t t
Vraćanjm smene dobija se:
1 2
1 2
1
2 1 3 ; 2 1 2
2 1 9 ; 2 1 0.
4
x x
x Drugo rešenje otpada jer je simbol korena x
x
Odgovor: Ima jedno rešenje iz intervala 3 , 5
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
11
3) Jednačina 3
4 2 04
xx
Smenom 4t x svodi se na jednačinu:
2
1 2
32 0 ;
2 3 0
3 ; 1
tt
t t
t t
Vraćanjm smene dobija se:
1 2
1 2
1
4 3 ; 4 1
4 9 ; 4 0.
5
x x
x Drugo rešenje otpada jer je simbol korena x
x
Odgovor: Ima jedno rešenje iz intervala 2 , 6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4)
Jednačina 2
3 5 1 03 5
xx
Smenom 3 5t x svodi se na jednačinu:
2
1 2
21 0 ;
2 0
2 ; 1
tt
t t
t t
Vraćanjm smene dobija se:
1 2
1 2
1
3 5 2 ; 3 5 1
3 5 4 ; 3 5 0.
3
x x
x Drugo rešenje otpada jer je simbol korena x
x
Odgovor: Ima jedno rešenje iz intervala 2 , 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12
Zadatak 10
1) Date su tačke 1, 2A i 3, 6B . Jednačina prave koja predstavlja simetralu duži AB je:
1, 2A 3, 6B 1 3 2 6
, ; 1 ,42 2
S S
2 1
2 1
6 2 1 11 ;
3 ( 1) 1
4 1 1 ; 1 4 ; 5
AB s
AB
y yk k
x x k
s y x y x y x
Odgovor : 5 0x y
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Date su tačka 2,1A i 6, 9B . Jednačina prave koja predstavlja simetralu duži AB je:
2,1A 6, 9B 2 6 1 9
, ; 2, 52 2
S S
2 1
2 1
9 1 11 1 ;
6 ( 2)
5 1 2 ; 7
AB s
AB
y yk k
x x k
s y x y x
Odgovor : 7 0x y
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Date su tačka 4, 6A i 10, 8B . Jednačina prave koja predstavlja simetralu duži AB je:
4, 6A 10, 8B 4 10 6 8
, ; 3,12 2
S S
2 1
2 1
8 ( 6) 11 1 ;
10 4 1
1 1 3 ; 4
AB s
y yk k
x x
s y x y x
Odgovor : 4 0x y
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Date su tačka 1, 1A i 9, 7B . Jednačina prave koja predstavlja simetralu duži AB je:
1, 1A i 9, 7B 1 9 1 7
, ; 5,32 2
S S
2 1
2 1
7 ( 1) 8 1 11 ;
9 1 8 1
3 1 5 ; 8
AB s
AB
y yk k
x x k
s y x y x
Odgovor : 8 0x y
