RECTAS Y ÁNGULOS

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

La MEDIATRIZ de un segmento AB, es la recta perpendicular a dicho

segmento que corta al segmento en el punto medio.

Cada punto P de la mediatriz M, equidista (está a la misma distancia) de

los extremos del segmento

M

A B

P

VER CONSTRUCCIÓN DE MEDIATRIZ

DE UN SEGMENTO

ÁNGULOSUn ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que

tienen el mismo origen. Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común determinan

siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama

ángulo convexo, mientras que el ángulo B es cóncavo.

Algunos ángulos especiales:

Ángulo recto, que es el ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares.

Ángulo llano,  cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección,

aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano.

Ángulo completo, que es el ángulo que abarca todo el plano.

Los ángulos convexos siempre son menores que el ángulo llano. Los ángulos cóncavos

por el contrario, son siempre mayores que el ángulo llano.

Se llaman ángulos agudos a los que son menores que un ángulo recto.

Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo llano)

que son mayores que un ángulo recto.

Dos ángulos se llaman complementarios si suman 90º, un ángulo recto.

Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180º, un ángulo llano.

IGUALDAD DE ÁNGULOS

Igualdad de ángulos: Dos ángulos son iguales cuando al efectuar un

movimiento, que hace coincidir los vértices, los lados coinciden.

Una definición métrica: La igualdad de segmentos permite saber si dos ángulos

son iguales sin necesidad de medirlo (transportador), ni de efectuar un

movimiento.

Con igual radio, trazamos dos arcos con centros en los vértices O y O’. Trazamos

las cuerdas AB y A’B’.

Si los ángulos a y b son iguales también los son las cuerdas AB y A’B’.

Recíprocamente, si las cuerdas AB y A’B’ son iguales también lo son a y b.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La BISECTRIZ de un ángulo Â, es la semirrecta que divide al ángulo

en dos partes iguales.

Cada punto P de la bisectriz B, equidista (está a la misma distancia) de

los lados del ángulo.

VER CONSTRUCCIÓN DE BISECTRIZ

DE UN ÁNGULO

Â

BP

RELACIONES ANGULARES

Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS cuando su suma es un

ángulo recto (90º)

Ver ÁNGULO COMPLEMENTARIO

Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS cuando su suma es un

ángulo llano (180º)

Ver ÁNGULO SUPLEMETARIO

Dos ángulos son CONSECUTIVOS cuando tienen el mismo vértice

y un lado común

Ver ÁNGULO CONSECUTIVO

Dos ángulos son ADYACENTES cuando son consecutivos y

suplementarios

Ver ÁNGULO ADYACENTE

RELACIONES ANGULARES

Dos ángulos son OPUESTOS por el vértice cuando los lados de uno son

semirrectas opuestas a los del otro.

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales

Dos ángulos cuyos lados son paralelos, o son iguales, o son

suplementarios.

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS, ALTERNOS EXTERNOS Y

OPUESTOS POR UN VÉRTICE

Los ángulos COB’ y BO’A’

(amarillo) se llaman

ALTERNOS INTERNOS:

SON IGUALESSON IGUALES

Los ángulos COB’ y BOA

(amarillo y rojo) se llaman

OPUESTOS POR EL

VÉRTICE: SON IGUALESSON IGUALES

Los ángulos COB’ y BO’C’

(amarillo y verde) se llaman

ALTERNOS EXTERNOS:

SON SUPLEMENTARIOSSON SUPLEMENTARIOS

MEDIDA DE ÁNGULOS: GRADO

Medida de ángulos: el sistema sexagesimal.

Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que

resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto

mide 90º.

El transportador de ángulos.

El transportador de ángulos es una herramienta de

dibujo que nos permite medir y también construir

ángulos.

Consiste en un semicírculo graduado con el que

podemos medir ángulos convexos (hasta 180º)

Divisores del grado.

Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el

sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es el

método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que consiste en

dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60 segundos (60'').

FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA DE UN ÁNGULO

Un ángulo puede venir indicado en forma compleja (sistema sexagesimal) por

ejemplo  = 30º 30’ 30 s. (30grado, 30 minutos y 30 segundos) o en forma

incompleja (sistema decimal) por ejemplo  = 30’55º

Ejemplo: Para pasar un ángulo  = 25º 32’ 12’’ a forma incompleja.

Como 1º = 60’, y 1’ =60’’. Será: 1º = 60’ = 60 x 60 ‘’ = 3600’’. Podemos pasar todo a

segundos y dividir entre 3600 segundos que tiene cada grado.

25 3600 32 60 12 9193226'536º

3600 3600Â

Ejemplo: Para pasar un ángulo  = 16’23 º a forma compleja.

Como 0,23º = 0,23 x 60 = 13,8 ’

0,8‘ = 0.8 x 60 = 48’’.

 = 16º + 0,23º = 16º 13,8’ = 16º ( 13’ + 0,8’) = 16º 13’ 48’’

OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA SUMA

Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.

La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el sistema sexagesimal.

2h  48'  35"

+  2h  45'  30"  

4h  93'  65"

Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se

puede escribir así:

4h  94'  5"

De la misma forma, 94' equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:

5h  34'  5"5h  34'  5"

Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.

OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA RESTA

Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.

Debemos hacer la siguiente operación:

3h   0'   0"

-  2h  48'  35"  

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los

segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para

conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es

decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".

2h  59'  60"

-  2h  48'  35"  

0h  11' 25"

OPERACIONES CON ÁNGULOS:

EL PRODUCTO POR UN NÚMERO NATURAL

Multiplicación de un ángulo por un número natural.

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese

número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno

de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una

unidad de orden inmediatamente superior.

18º  26'  35"

             x  3   

54º  78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

54º  79'  45"

Pero 79' = 1º 19', luego 55º 19' 45"

OPERACIONES CON ÁNGULOS:

LA DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL

División de un ángulo por un número natural.

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número.

Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo

sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la

división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que

teníamos. Dividimos los segundos.

SUMA DE ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO

La suma de los ángulos de un triángulo es 180º

º180ˆˆˆ CBA

Ver fichero de suma de ángulos de un triángulo

SUMA DE ÁNGULOS DE UN CUADRILÁTERO

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 180º.

Si trazamos una diagonal

Obtenemos dos triángulos cuya suma de ángulos es 180º, y teniendo en cuenta que la suma de

los ángulos del cuadrilátero coincide con la suma de los triángulos su suma será 360º

Ver fichero de suma de ángulos de un triángulo

SUMA DE ÁNGULOS DE POLÍGONO DE n LADOS

180º n La suma de los ángulos de un polígono de n lados es .

Dado que de cada polígono regular de n lados podemos dibujar n-2 triángulos

distintos, y comó la suma de los ángulos de cada tiángulo es 18º, la suma de los

ángulos del polígono de n lados será 180º x (n-2). Así por ejemplo:

La suma de los lados de un pentágonos es: 180º x 3 = 540º

La suma de los lados de un hexágono es: 180º x 4 = 720º

La suma de los lados de un heptágono es: 180º x 5 = 900º

En el caso de los polígonos regulares de n lados, como todos los ángulos son iguales, si

conocemos la suma se sus ángulos, podemos conocer lo que mide cada uno de u no de

sus ángulos dividiendo por n. Es decir que cada ángulo de un polígono regular de n

lados medirá: 180º n

n

Por ejemplo: Cada ángulo de un hexágono regular medirá ( 720º : 6 ) = 120º

ÁNGULOS CENTRALES

Llamaremos ángulo central a cualquier ángulo cuyo vértice esté en el

centro de una circunferencia.

Existe una relación muy estrecha

entre un ángulo central y el arco de

circunferencia que abarca. De hecho,

en lo sucesivo, nos referiremos a la

amplitud de un arco en lugar de a su

longitud y definiremos la amplitud

del arco como la medida del ángulo

central que lo comprende. Es decir:

BA BOA

ÁNGULOS INSCRITOS

Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo

cuyo vértice esté en la misma circunferencia y sus lados sean cuerdas de

esa circunferencia.

El valor de un ángulo inscrito en una

circunferencia es la mitad del valor del

ángulo central que abarca el mismo arco

de circunferencia.

2

BABOA

Teniendo en cuenta esta relación, obtenemos que todo ángulo inscrito que abarque

media circunferencia medirá 90º

SIMETRÍAS DE LAS FIGURAS PLANAS

Una figura plana es SIMÉTRICA respecto de una recta si a cada lado de las recta

existen dos figuras iguales pero invertidas.

Por ejemplo el siguiente dibujo de un corazón es simétrico

Ya que respecto de la línea trazada de rojo se obtiene dos figuras invertidas iguales

A la línea o recta de simetría, se le denomina eje de simetría. Además a cada punto P,

de la figura le corresponde un punto simétrico P’

PP’

Ver fichero de simetría axial

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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