Rect Plano

RECTA Y PLANO

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TEMA : LA RECTA Y EL PLANO

EN EL ESPACIO

RECTA Y PLANO

2

* Ecuación vectorial de la recta.

R

Ecuación vectorial de la recta R

p = po + t u

con t = un parámetro escalar

p - po = t u

O = origen de coordenadas

po = vector de posición de un punto conocido de la recta = ( xo , yo , zo )

u = un vector conocido paralelo a la recta = ( a , b , c )

p = el vector de posición de cualquier punto sobre la recta = ( x , y , z )

Al cambiar el parámetro t el vector u puede desplazarse sobre la recta R hacia un lado u otro del

punto conocido po con lo que obtenemos el vector de posición p de cualquier punto sobre la recta.

Si sustituimos las componentes de los vectores po , u y p en la ecuación vectorial tendríamos:

( x , y , z ) = ( xo , yo , zo ) + t ( a , b , c )

si igualamos componente a componente en la ecuación llegamos a lo que se conoce como las ecuaciones

paramétricas de la recta R

x = xo + a t

L : y = yo + b t

z = zo + c t

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Si despejamos el parámetro t de cada una de estas ecuaciones paramétricas, llegamos a lo que se conoce

como las ecuaciones en forma simétrica de la recta R

L : x - xo = y - yo = z - zo = t

a b c

* Ejercicio: Determine la ecuación de la recta con:

a) P0( 3 , - 2 , 4 ) u = ( - 2 , 4 , 3 )

b) P0 ( 3 , - 4 , - 1 ) P1( - 5 , 4 , 7 )

c) P0( 3 , 2 , - 1 ) y es perpendicular a las rectas L1 y L2

L1 : p = ( 5 , 2 , - 5 ) + t ( - 3 , 1 , 2 ) L2 : 2x – 2 = y + 2 = 2 – 2z

6 - 2

* Distancia de un punto a una recta

Se trata de encontrar la mínima distancia entre un punto y una recta, por lo que debe ser medida en

forma perpendicular a la recta.

Del triángulo formado por Po , P1 y Q

sen = d = │( q - po ) x u │

│( q - po )│ │( q - po ) ││ u │

d = │ ( q - po ) x u │

│u│

= ángulo entre los vectores ( q - po ) y u

En el mismo triángulo, podemos aplicar el

Teorema de Pitágoras, de donde:

│ ( q - po ) │2 = ( PoP1 )

2 + d

2

con PoP1 = ( q - po ) • u

│ u │

d = │ ( q - po ) │2 - ( q - po ) • u

2

│ u │

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* Ejercicio: Determine la distancia del punto Q( 4 , 5 , - 3 ) a la recta L

L1 : x + 2 = y - 1 = z - 4

3 2

*Ejercicio: Determine las coordenadas del punto B que pertenece a la recta L, y se encuentra a 5 unidades

del origen.

L : Contiene al punto A( 2 , - 3 , 6 ) y es paralela al vector u = i + k

* Ángulo entre dos rectas.

“ Es el ángulo que forman sus vectores paralelos ”

= ang cos u1 • u2

│u1││u2│

* Perpendicularidad, paralelismo y coincidencia entre rectas.

L1 ┴ L2 u1 • u2 = 0

L1 ║ L2 u1 x u2 = 0 ó u1 = u2 con ≠ 0

L1 = L2 u1 x u2 = 0 y Po Є L1 y L2

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*Ejercicio: Determine el ángulo entre las rectas L1 y L2:

a) L1 : x + 3 = 4 – y ; z = 1 L2 : x = 3 ; y – 3 = z + 2

2 4 4

b) L1 : x – 2 = 2y + 4 = 8 – z L2 : Eje Y

3 8 4

* Ejercicio: Determine si las siguientes rectas son perpendiculares, paralelas ó coincidentes:

L1 : p = ( 3 + 2t , - 1 – 3t , 4 + 2t ) L2 : 14 – 2x = 3y + 21 = 8 - z

4 9 2

* Distancia entre dos rectas

Se trata de encontrar la mínima distancia entre dos rectas, por lo que debe ser medida en dirección

perpendicular a las dos rectas.

La distancia es la componente escalar del vector

diferencia ( po2 - po1 ) sobre la dirección en la que

se mide la recta, que sigue al vector perpendicular

a ambas rectas u1 x u2

d = Comp Esc (u1 x u2) ( po2 - po1 )

d = ( po2 - po1 ) • ( u1 x u2 )

│ u1 x u2 │

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* Ejercicio: Determine la distancia entre las rectas L1 y L2:

x = 3 + 2t

a) L1 : x – 3 = y = z – 3 L2 : y = 5t

2 4 z = 1 – 6t

b) L1 : x + 1 = y – 3 = 2z + 6 L2 : 2 – x = y = 6 – z

3 4 4 3 3 9

x = 3 – 4t

c) L1 : y = 1 + 2t L2 : x + 2 = 1 – y = 2z

z = 6 – 5t 2 5

* Intersección entre dos rectas

Se trata de determinar el punto que pertenece tanto a L1 como a L2

x = xo1 + a1 t1 x = xo2 + a2 t2

L1 : y = yo1 + b1 t1 L2 : y = yo2 + b2 t2

z = zo1 + c1 t1 z = zo2 + c2 t2

En el punto de intersección, las ecuaciones serían iguales, y llegaríamos a:

xo1 + a1 t1 = xo2 + a2 t2

yo1 + b1 t1 = yo2 + b2 t2

zo1 + c1 t1 = zo2 + c2 t2

que es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ( t1 y t2 ), el cual se resuelve para dos de

ellas, y se verifica en la tercera.

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Esto nos lleva a que el sistema tenga solución única, con los parámetros t1 y t2 que determinan el

punto de intersección al sustituirlos en su ecuación correspondiente.

O bien, a que el sistema no tenga solución, lo que indica que las rectas no se cortan, aunque si se pueden

cruzar en el espacio.

Rectas que se cortan Rectas que se cruzan en el espacio

* Ejercicio: Determine la intersección entre las rectas L1 y L2:

a) L1 : x + 1 = y – 3 = z + 3 L2 : 2 – x = y = 6 – z

3 4 2 3 3 9

b) L1 : - 3 - x = y – 1 = z - 1 L2 : 2x + 4 = y + 1 = 3 – z

- 2 2 2 4

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* Ecuación vectorial de un plano.

u1 = ( a1 , b1 , c1 ) u2 = ( a2 , b2 , c2 )


Ecuación vectorial del plano

p = po + r u1 + s u2

con r y s como parámetros escalares.

po = vector de posición de un punto conocido del plano = ( xo , yo , zo )

u1 = un primer vector conocido paralelo al plano = ( a1 , b1 , c1 )

u2 = un segundo vector conocido paralelo al plano = ( a2 , b2 , c2 )

los vectores u1 y u2 no son paralelos entre ellos

p = el vector de posición de cualquier punto sobre el plano = ( x , y , z )

Al cambiar los parámetros r y s los vectores u1 y u2 se pueden desplazar sobre el plano hacia

cualquier dirección desde el punto conocido Po con lo que obtenemos el vector de posición p de

cualquier punto sobre el plano.

Si sustituimos las componentes de los vectores po , u1 , u2 y p en la ecuación vectorial tendríamos:

( x , y , z ) = ( xo , yo , zo ) + r ( a1 , b1 , c1 ) + s ( a2 , b2 , c2 )

igualando componente a componente en la ecuación, llegamos a lo que se conoce como las ecuaciones

paramétricas del plano

x = xo + a1 r + a2 s

: y = yo + b1 r + b2 s

z = zo + c1 r + c2 s

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* Ecuación Normal y Ecuación Cartesiana de un plano.

p - po = un vector sobre el plano


Por condición de perpendicularidad de vectores, se

cumple que:

( p - po ) • N = 0

Ecuación Normal del Plano


N = un vector perpendicular al plano = ( A , B , C ) llamado vector Normal

p = el vector de posición de cualquier punto sobre el plano = ( x , y , z )

si sustituimos sus componentes tenemos que ( x – xo , y – yo , z – zo ) • ( A , B , C ) = 0

y desarrollando tenemos que A x – Axo + B y – B yo + C z – C zo = 0

pero si llamamos D = - ( Axo + B yo + C zo ) tenemos la siguiente ecuación:

A x + B y + C z + D = 0 Ecuación Cartesiana del Plano

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* Ejercicio: Determine la ecuación del plano definido por:

a) P0( 3 , 0 , - 4 ) u1 = ( 3 , 2 , - 1 ) u2 = ( 4 , - 2 , 5 )

b) L1 : x + 3 = y – 4 = z + 1 L2 : x + 3 = 2y - 8 = z + 1

2 6 - 3 8 - 2

c) L1 : x - 1 = - y = 3z - 6 L2 : 4 – 2x = 1 - y = 2z - 8

2 9 - 4 6

d) contiene a los puntos A( 3 , 0 , 1 ) , B( - 4 , 5 , 3 ) y C( 3 , - 6 , 2 )

e) el plano es paralelo a las rectas L1 y L2, y equidista de ellas

L1 : p = ( 3 , 4 , - 7 ) + t ( 1 , - 1 , 1 ) L2 : x – 1 = - 2 - y = 2 – 2z

3 - 1 2

f) contiene al punto A( 3 , 5 , - 2 ) y tiene vector normal N = ( 4 , 5 , - 2 )

g) L1 : x + 1 = y – 3 = 2z + 6 L2 : 2 - x = y = 6 - z

3 4 4 3 3 9

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* Distancia de un punto a un plano.

Se trata de encontrar la mínima distancia entre el punto Q y el plano , por lo que debe ser medida en

dirección perpendicular al plano.

d = Comp Esc N ( q - po )

d = ( q - po ) • N

│N│

d = A q1 + B q2 + C q3 + D

│N│



N = el vector Normal al plano

q = el vector de posición de cualquier punto fuera del plano = ( q1 , q2 , q3 )

* Ejercicio: Determine la distancia del punto Q al plano :

a) Q( 3 , - 2 , 7 ) : P0( 1 , 3 , – 4 ) N = ( 3 , 4 , - 3 )

b) Q( - 4 , 7 , 3 ) : 4x – 5y + 6z + 9 = 0

c) Q( 0 , 0 , 0 ) : 3x – 7y + 2z - 8 = 0

d) Q( 0 , 0 , 0 ) : 4x – 6y + 3z = 0

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* Ángulo entre dos planos.

“ Es el ángulo que forman sus vectores Normales”

= ang cos N1 • N2 │N1││N2│

* Ejercicio: Determine el ángulo entre los planos 1 y 2:

a) 1 : 4x – 5y + 6z – 9 = 0 2 : - 4x + 4y – 7z + 10 = 0

b) 1 : 2x + y + 3z – 4 = 0 2 : Plano YZ

* Perpendicularidad, paralelismo y coincidencia entre planos.

1 ┴ 2 N1 • N2 = 0

1 ║ 2 N1 x N2 = 0 ó N1 = N2 con ≠ 0

1 = 2 N1 x N2 = 0 y Po Є 1 y 2 N1 = N2

y D1 = D2

* Ejercicio: Determine la ecuación cartesiana del plano:

a) que es perpendicular a los planos 1 y 2 y contiene al punto A( 3 , 4 , - 1 )

1 : 3x – y + 2z – 4 = 0 2 : 2x - 2y + 3z - 5 = 0

b) paralelo al plano 1 : 3x – y + 4z – 7 = 0 y contiene al origen

c) paralelo al plano 1 : 2x – 2y + z = 0 y esta a dos unidades de él

d) paralelo al plano XZ y contiene al punto Q( 2 , - 1 , 3 )

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* Distancia entre planos.

Se trata de encontrar la mínima distancia entre los planos.

Pero para que haya una distancia, deben ser paralelos los planos, por lo que la distancia entre ellos se

convierte en un caso particular de encontrar la distancia de un punto de uno al otro plano.

Si los planos no son paralelos, invariablemente se van a intersecar, por lo que la distancia será cero.

* Ejercicio: Determine la distancia entre los planos 1 y 2:

a) 1 : 3x + 7y - 2z + 4 = 0 2 : - 9x - 21y + 6z - 12 = 0

b) 1 : 2x + 3y - z + 3 = 0 2 : 2x + 3y - z + 10 = 0

c) 1 : 2x + 3y - z + 3 = 0 2 : 2x + 3y - z - 9 = 0

* Intersección entre dos planos.

Se pueden presentar tres posibles casos:

Caso 1: Los planos no son paralelos

1 ║ 2 1 ∩ 2 = R con R : p = po + t ( N1 x N2 )

Caso 2: Los planos son paralelos, pero están alejados ( no son el mismo )

1 ║ 2 ; 1 ≠ 2 1 ∩ 2 = Ø

Caso 3: Los planos son paralelos, y son coincidentes

1 ║ 2 ; 1 = 2 1 ∩ 2 = 1 = 2

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* Ejercicio: Determine la intersección entre los planos 1 y 2:

a) 1 : contiene al punto A( 2 , 4 , 6 ) y tiene vector normal N = ( 4 , 2 , - 1 )

2 : contiene al punto A( 2 , 4 , 6 ) y tiene vector normal N = ( 4 , 1 , - 2 )

b) 1 : 4x + 5y - z + 3 = 0 2 : 3x - 2y + z - 9 = 0

c) 1 : 2x - y + 3z - 4 = 0 2 : Plano YZ

d) 1 : 3x + 2y - z + 1 = 0 2 : Plano XY

e) 1 : 3x + 6y - 5z + 1 = 0 2 : Plano XZ

f) 1 : x = 4 2 : y = 5

* Ángulo entre una recta y un plano.

“ Es el ángulo que forman la recta y su

proyección ortogonal sobre el plano ”

= ángulo entre la recta R y el plano

u = vector paralelo a la recta R

= ángulo entre los vectores u y N

cos = u • N = sen

│ u ││ N│

= ang sen u • N │u│ │N│

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* Ejercicio: Determine el ángulo entre la recta L y el plano :

a) L : x + 4 = y – 9 ; z = 3 : 2x + 5y – 6z + 9 = 0 3 2

b) L : p = ( 3 , 4 , 1 ) + t ( 2 , - 1 , 3 ) : plano XZ

* Paralelismo y perpendicularidad entre un plano y una recta.

L ║ u • N = 0

L ┴ u x N = 0 ó u = N con ≠ 0

* Intersección entre una recta y un plano.

Caso 1: La recta y el plano no son paralelos

L ║ L ∩ = P donde P es un punto.

Para determinarlo, sustituimos x , y , z de las ecuaciones paramétricas de la recta, en la ecuación

cartesiana del plano, y resolvemos la ecuación lineal de una variable t

Este valor se sustituye en las ecuaciones paramétricas de la recta para conocer el punto de intersección.

Ecuaciones paramétricas de la recta L Ecuación Cartesiana del Plano

x = xo + a t A x + B y + C z + D = 0

L : y = yo + b t

z = zo + c t

Ecuación lineal de una variable ( t )

A ( xo + a t ) + B ( yo + b t ) + C ( zo + c t ) + D = 0

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Caso 2: La recta y el plano son paralelos, pero están alejados

L ║ ; L Є L ∩ = Ø

Caso 3: La recta y el plano son paralelos, y la recta coincide con el plano

L ║ ; L Є L ∩ = L

* Ejercicio: Determine la intersección entre la recta L y el plano :

a) L : x + 3 = y – 4 = z : contiene a P0( 4 , 7 , 2 ) y tiene N = ( 3 , 0 , - 2 ) 2 3

x = 4 – 10t

a) L : y = t – 4 : 3x – 2y + 3z = 0

z = 3t + 1

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