Deformações devidas a carregamentos verticais

A engenharia geotécnica tem grande interesse na determinação das deformações

devidas a carregamentos verticais na superfície dos terrenos ou em cotas próximas a ela – os

recalques1.

Essas deformações podem ser de dois tipos: rápidas, que ocorrem durante ou logo

após a construção e são características de solos arenosos e de solos argilosos não-saturados e

lentas, que ocorrem lentamente após a aplicação das cargas, típicas de solos argilosos

saturados, pois é necessária a expulsão da água dos vazios dos solos.

O comportamento dos solos frente aos carregamentos depende, portanto, da sua

constituição (granulometria), e do estado em que o solo se encontra. Sendo utilizados ensaios

para a sua determinação tais como ensaio de compressão axial e ensaio de compressão

edométrica.

Ensaio de Compressão Axial

Este ensaio consiste na moldagem de um corpo de prova cilíndrico e no seu

carregamento pela ação de uma carga axial. Registra-se as tensões no plano horizontal (a carga

dividida pela área da seção) pela deformação axial (encurtamento do corpo de prova dividido

pela altura inicial do corpo de prova).

Após atingido um certo nível de tensão, se for feito um descarregamento, as

deformações sofridas não se recuperarão, afinal, o solo não é um material elástico. Observa-se

ainda que a relação entre a tensão e a deformação não é constante. Por falta de uma

alternativa melhor, admite-se que o solo é um material comportamento elástico-linear e

defini-se um módulo de elasticidade para um certo valor de tensão (geralmente a metade da

tensão que provoca a ruptura), Ε, e um coeficiente de Poisson, υ, de acordo com as

expressões abaixo.

ε1 = ∆h/h εr = ∆r/r Ε = σ/ε1 υ = - (εr/ε1)

1 Recalque – termo usado para designar o fenômeno que ocorre quando uma edificação sofre um

rebaixamento devido ao adensamento do solo sob sua fundação. Pode causar trincas e rachaduras em edificações. Recalque diferencial é quando uma parte da obra rebaixa mais que a outra, gerando esforços estruturais não previstos e podendo levar a obra à ruína.

Como ordem de grandeza, podemos utilizar os valores expressos na Tabela 1 para

argilas sedimentares saturadas, em solicitações rápidas, que não dão margem à drenagem.

Consistência Módulo de elasticidade (MPa)

Muito mole < 2,5 Mole 2,5 a 5 Consistência média 5 a 10 Rija 10 a 20 Muito rija 20 a 40 Dura >40

Para as areias, utilizam-s os módulos referentes à situação drenada, uma vez que a

permeabilidade deste tipo de solo é alta em relação ao tempo de aplicação de cargas. Os

ensaios de compressão devem ser feitos com confinamento dos corpos de prova. Os módulos

são função da composição granulométrica, do formato e da resistência dos grãos. Uma ordem

de grandeza de seus valores, para tensões de confinamento de 100 KPa, é indicada na Tabela

2.

Descrição da areia Módulo de elasticidade (MPa)

Compacidade Fofa Compacta Areias de grãos frágeis, angulares 15 35 Areias de grãos duros, arredondados 55 100 Areia basal de São Paulo, bem graduada,

pouco argilosa

10 27

Para pressões confinantes diferentes de 100 KPa, os módulos podem ser obtidos a

partir da seguinte expressão empírica, conhecida como equação de Janbu:

Εσ = Εa.Pa (σ/Pa)n

Onde Εa é o módulo correspondente à pressão atmosférica, Pa, adotada como igual a

100 KPa; Εσ é o módulo correspondente à tensão considerada, σ; e n é um expoente

geralmente adotado como 0,5.

Ensaio de compressão edométrica

Consiste na compressão de um solo contido dentro de um molde que impede qualquer

deformação lateral, conforme figura a seguir:

Como pode ser observado, a variação da deformação com as tensões não é linear.

Ainda assim, para determinados níveis de tensão, são empregados os seguintes parâmetros:

Coeficiente de compressibilidade: av = - de / dσv

Coeficiente de variação volumétrica: mv – dεv / dσv

Módulo de compressão edométrica: D = dσv / dεv

A deformação volumétrica é dεv, igual a –de/(1+eo). Os parâmetros relacionam-se

como indicado abaixo:

av = (1+eo)mv e D=1/mv

Cálculo dos recalques

Os recalques podem ser estimados pela teoria da elasticidade, ou por analogia

edométrica.

Cálculo de recalques pela teoria da elasticidade.

A teoria da elasticidade indica que os recalques na superfície de uma área carregada

podem ser expressos:

Onde: σo é a pressão uniformemente distribuída na superfície;

Ε e υ são os parâmetros do solo já definidos;

B é a largura (ou diâmetro) da área carregada;

I é um coeficiente que leva em conta a forma da superfície carregada e do

sistema de aplicação das pressões, que podem ser aplicadas ao terreno por meio de elementos

rígidos ou flexíveis.

Recalques de elementos rígidos e flexíveis.

Aplicação muito difícil pois o solo não é um material elástico, as camadas não são

homogêneas, a pressão aumenta com a profundidade...

Cálculo de recalques pela compressibilidade edométrica

Considera-se que os recalques da camada mais compressível de um perfil de solo

sejam considerados equivalentes aos de corpos de prova submetidos à compressão

edométrica.

A previsão de recalque é uma questão de proporcionalidade: se um carregamento ∆σv

provoca determinado recalque r no corpo de prova, este carregamento provocará na camada

deformável do terreno um recalque tantas vezes maior quanto maior sua espessura.

Na prática, o cálculo de recalque costuma ser expresso em função da variação do

índice de vazios.

H1 = H0 . (1+e1) e H2 =H0 (1 + e2) Ou H2 = H1 . ((1+e2)/(1+e1))

O recalque é a diferença entre H1 e H2, portanto:

O recalque específico, ou deformação:

Assim, o cálculo dos recalques pode ser feito através da fórmula:

Como H1 e e1 são conhecidos, o recalque fica função só do índice de vazios

correspondente à nova tensão aplicada, que é fornecida pelo ensaio de compressão

edométrica. Assim:

Adensamento das argilas saturadas

Os solos argilosos saturados requerem uma atenção maior, poius os recalques tendem

a ocorrer em intevalos de tempo muito longos e seus resultados podem levar a recalques

diferenciais, que geram esforços não previstos originalmente e que podem levar à ruína da

edificação.

Estes casos são denominaods de adensamento de solo e estudados através do ensaio

de adensamento, baseado nas definições de Terzaghi.

O resultado de ensaios de adensamento pode ser redesenhado com as abscissas

indicando o logaritmodas pressões aplicadas. Note que a partir de uma determinada tensão, o

índice de vazios varia linearmente com o logaritmo da pressão aplicada. Esse trecho retilíneo

recebe o nome de reta virgem.

Segundo Terzaghi, a inclinação desta reta é o índice de compressão e pode ser descrito

pela equação:

A tensão de pré-adensamento

A tensão de pré-adensamento pode ser entendida como uma “memória de carga”, ou

seja, indica que o solo que está sendo analisado já esteve sujeito a uma pressão maior que a

atual.

Reta virgem

De forma similar podemos ainda falar de solos normalmente adensados (sujeitos

apenas a tensão efetiva em campo); pré adensados ou sobreadensados (tensão de pré

adensamento > tensão efetiva em campo) e solos em adensamento (tensão de pré

adensamento < tensão efetiva em campo).

O pré-adensamento pode ser causado por diferentes fatores: pré-carregamento;

variação de U por rebaixamento do nível d’água; geração de sucção por ressecamenot ou

capilaridade; cimentação.

Para esse critério ainda podemos definir a razão de pré-adensamento – OCR como:

OCR = 1 solo normalmente adensado

OCR >1 solo pré-adensado

OCR = σvm/σv0 OCR <1 solo em adensamento

Cálculo de recalque em solos sobreadensados

Solos sobreadensados não apresentaram uma variação no índice de vazios que

permita estimar seu recalque adequadamente pelos métodos vistos até aqui. Estes solos são

estudados de acordo com o método Pacheco Silva

Teoria do Adensamento Unidimensional de Terzaghi

O processo de adensamento pode ser entendido como a variação de volume que se dá

no solo, graças a expulsão gradual da água de seus vazios. Terzaghi utilizou o modelo de

Analogia Hidromecânica para explicar tal processo.

ρ

O modelo compõe-se basicamente de um pistão com uma mola provido de uma saí-

da. Inicialmente (antes de t = 0), o sistema encontra-se em equilíbrio. No tempo inicial, há um

incremento de pressão externa instantânea (ΔP) que provoca um aumento idêntico de pressão

na água. Como não houve tempo para o escoamento da água (variação de volu- me), a mola

não sofre compressão e, portanto, não suporta carga.

Há, a partir daí, processo de variação de volume com o tempo, pela saída da água, e,

simultaneamente, ocorre à dissipação da pressão do líquido. Gradativamente, aumenta a

tensão na mola e diminui a pressão da água até atingir-se a condição final da figura (e). Uma

vez que a pressão externa está equilibrada pela pressão da mola, não há mais com- pressão e o

adensamento está completo.

Teoria do Adensamento de Terzaghi

Hipóteses:

1. Solo totalmente saturado

2. Compressão unidimensional]

3. Fluxo d’água unidimensional

4. Solo é homogêneo

5. Grãos e água são incompressíveis

6. O solo pode ser estudado como elementos infinitesimais, apesar de ser constituído

por vazios e partículas

7. Validade da Lei de Darcy

8. Alguns parâmetros do solo não se alteram com o adensamento (K, mv, Cv)

9. O índice de vazios varia linearmente com o aumento da tensão efetiva durante o

processo de adensamento

Ao admitir escoamento unidirecional de água, algumas imprecisões aparecem, quando

se tem o caso real de compressão tridimensional, entretanto, a hipótese condicionante de

toda a teoria é a que prescreve a relação linear entre o índice de vazios e a variação de

pressões. Admitir tal hipótese significa admitir que toda variação volumétrica se deve à

expulsão de água dos vazios, e que se afasta em muitos casos da realidade, pois ocorrem

juntamente com o adensamento, deformações elásticas e outras, sob tensões constantes,

porém crescentes com o tempo (CREEP). As demais hipóteses podem facilmente ser

reproduzidas em laboratório ou se aproximam bem da realidade.

A figura a mostra um perfil de solo muito comum. Uma camada de solo saturado

compressível intercalada entre outras camadas pouco compressíveis. O carregamento que foi

imposto é do tipo unidimensional, isto é, não há distorção lateral do solo. Esta forma de

solicitação ocorre quando a largura do carregamento é muito maior do que a espessura da

camada, por exemplo, em aterros de aeroportos, alguns aterros rodoviários, tanques de

combustível, aterros industriais, etc. Na mesma figura (item b) mostra um elemento de solo da

camada na qual o incremento de carga aplicada foi ∆p .

Analisando a pressão neutra (u) dentro da camada, observa-se que ela será zero (ou

igual a um valor hidrostático inicial constante, dependente do lençol freático na areia) no

contato superior. A areia possui uma permeabilidade muito alta em relação à argila e forne-ce

uma condição de drenagem livre, portanto.

Considerando válida a Lei de Darcy, que a água é expulsa dos vazios do solo com uma

velocidade que é função do gradiente hidráulico e do coeficiente de permeabilidade e como a

carga hidráulica pode ser substituída pela poro-pressão u dividida pelo peso específico da água

temos:

E como a velocidade também varia com com a profundidade (z):

Por outro lado, a variação de velocidade ao longo de (z) depende da variação de

volume que ocorre nos elementos de solo. Portanto, a variação de volume depende do tempo,

dado pela expressão:

Adotando-se Vtotal = 1 (volume unitário), tem-se:

Definindo-se coeficiente de compressibilidade

Definindo-se coeficiente de variação volumétrica

Uma vez que a variação de volume unitária (ΔV/V) é função da variação da tensão

efetiva, e a variação da tensão efetiva é proporcional à dissipação da poro-pressão, temos:

O coeficiente (mv) definido nas expressões anteriores é determinado

experimentalmente e denomina-se coeficiente de variação volumétrica ou coeficiente de

deformação volumétrica. Quanto maior esse coeficiente, maior será a variação de volume

unitário do solo para certo incremento de tensão efetiva. O coeficiente de variação

volumétrica é o in- verso do módulo de elasticidade (mv = 1/E).

Como o fluxo no elemento de solo é unidimensional (por definição do carregamento), toda a

variação de volume se dará na dimensão de z. Haverá uma variação da velocidade originada

pelo aumento de vazão, isto é, há uma diferença entre o volume que sai e o que entra no

elemento de solo, devido à própria variação de volume do elemento (solo saturado). Com isso

poderemos escrever:

Igualando-se as expressões (1) e (2), obtemos:

Esta última expressão é conhecida como EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO ADENSAMENTO. Sendo

esta uma equação diferencial de derivadas parciais de 2.ª ordem que rege o fenômeno do

adensamento unidimensional.

Desta equação define-se o coeficiente de consolidação ou coeficiente de adensamento, pela

seguinte expressão:

Quanto maior o valor do Cv, tanto mais rápido se processa o adensamento do solo. Assim

como mv e k, o Cv é uma propriedade dos solos.

A equação fundamental do adensamento pode ser assim expressa:

Para a resolução da equação fundamental, deve-se atentar para as condições de contorno

inerentes à camada de solo compressível e ao carregamento. Evidentemente, cada condição

de contorno particular afetará a solução.

SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DO ADENSAMENTO

A solução que será apresentada refere-se às seguintes condições de contorno:

1. a camada compressível está entre duas camadas de elevada permeabilidade, isto é, ela será

drenada por ambas as faces. Definindo-se distância de drenagem (Hd) como a máxima

distância que uma partícula de água terá que percorrer, até sair da camada compressível,

teríamos nesse caso (figura a), Hd = H/2. No caso da figura b, Hd = H, pois uma partícula de

água situada imediatamente sobre a rocha teria que percorrer toda a espessura da camada de

argila até atingir uma face drenante;

2. a camada de argila receberá uma sobrecarga que se propagará linearmente, ao longo da

profundidade (como um carregamento ocasionado por um aterro extenso, por exemplo);

3. imediatamente após a aplicação do carregamento, a sobrepressão hidrostática inicial, em

qualquer ponto da argila, será igual ao acréscimo de tensões , tal como se viu na analogia

mecânica do adensamento.

Aplicando essas condições a equação fundamental, obtém-se o valor da sobrepressão

hidrostática, que resta dissipar em uma camada, em processo de adensamento.

Nesta expressão, é um fator adimensional, chamado de

fator tempo. Ele correlaciona os tempos de recalque às características do solo, através do Cv, e

às condições de drenagem do solo, através do Hd.

GRAU ou PORCENTAGEM DE ADENSAMENTO

O andamento do processo de adensamento pode ser acompanhado por meio da seguinte

relação, denominada porcentagem de adensamento:

Nessa expressão , representa a variação de volume após um tempo t;

representa a variação total de volume, depois de completado o adensamento e é a

porcentagem de adensamento de um elemento de solo, situado a uma profundidade z, num

tempo t.

A porcentagem de adensamento pode ser assim expressa:

em que são as pressões neutras, após um tempo t e após ; ui é a

sobrepressão hidrostática logo após a aplicação do acréscimo da carga é a

sobrepressão num tempo t e é a pressão neutra existente na água. Se for igual a zero,

Para obter a porcentagem de adensamento Uz de um elemento situado a uma cota z,

decorrido um intervalo de tempo t, basta substituir na expressão de Uz o valor obtido:

Atribuindo valores a e Tv a pode-se construir um gráfico que ilustra bastante o processo

de adensamento.

Como é possível verificar, a porcentagem média de adensamento de toda a camada é apenas

função do fator tempo. Pode-se, portanto, a partir das condições de contorno de cada

situação, estabelecer U=f(Tv).

A curva da figura acima indica como os recalques se desenvolvem ao longo do tempo. Todos os

recalques por adensamento seguem a mesma evolução. Se o solo for mais deformável, os

recalques serão maiores, mas a curva está indicando a porcentagem de recalque. Se o solo for

mais impermeável, ou a distância de drenagem for maior, os recalques serão mais lentos, mas

a curva está referida ao fator tempo, que se liga ao tempo real pelo coeficiente de

adensamento e pela condição de drenagem de cada situação prática.

Vale ressaltar que a equação teórica U= f(Tv) é expressa com bastante aproximação, pelas

seguintes relações empíricas:

Estas relações nos fornecem valores para o fator tempo (T), em função da porcentagem de

recalque para adensamento pela Teoria de Terzaghi, conforme pode ser visto na tabela abaixo.

DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ADENSAMENTO

TENSÃO DE PRÉ-ADENSAMENTO

Método de Casagrande

A figura mostra o procedimento gráfico para obtenção da tensão efetiva de pré- adensamento,

pelo método de Casagrande, que segue os seguintes passos:

i. determinar o ponto da curva de menor curvatura;

ii. traçar retas horizontal e tangente a este ponto, de forma a obter a bissetriz ao ângulo

formado por estas retas;

iii. interseção entre bissetriz e prolongamento da reta virgem define a posição de σa′.

Método de Pacheco Silva

i. Prolonga-se a reta virgem até o encontro com a horizontal traçada do índice de vazios

inicial;

ii. Do ponto de intersecção baixa-se uma vertical até a curva;

iii. Deste último ponto traça-se uma horizontal até o prolongamento da reta virgem.

1.4.2DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ADENSAMENTO

Quando, em caso de estágio de carregamento, registram-se as deformações do corpo de

prova, ao longo do tempo, busca-se determinar, por meio de analogia com as curvas teóricas

U=f(Tv) o coeficiente de adensamento. Esse coeficiente, admitido constante para cada

incremento de tensão, determina a velocidade de adensamento.

Método de Casagrande

Utilizando um gráfico semilogarítmico, Casagrande admitiu encontrar a ordenada

correspondente a 100% do adensamento, pela intersecção entre a assíntota e a tangente da

curva deformação x log t como se mostra na figura, a seguir.

Passos:

i. Início do adensamento primário: como o trecho inicial é parabólico para um tempo t

da fase inicial soma-se à ordenada uma distância correspondente ao recalque

entre t e 4.t;

ii. Final do adensamento primário: intersecção de uma tangente ao trecho intermediário

com a assíntota do trecho final da curva (adensamento secundário);

iii. No ponto médio entre o início e o final do adensamento primário U=50%;

iv. Calcula-se Cv:

APLICAÇÃO DA TEORIA DO ADENSAMENTO – DETERMINAÇÃO DE RECALQUES

Para o cálculo do recalque total ΔH que uma camada de solo compreensível de espessura H

passou por uma variação do índice de vazios Δe consideremos o esquema da figura abaixo

Admitindo que a compressão seja unidirecional e que os sólidos sejam incompressíveis, tem-

se:

como a compressão só se dá na direção vertical, a área A da amostra de solo permanece

constante desde o início até o final do processo de recalque, temos então:

ainda, considerando o índice de vazios do solo:

e como, já dito, a compressão só se dá na direção vertical, a área A da amostra de solo

permanece constante:

As deduções efetuadas encontram grande aplicação na prática, pois possibilitam estimar os

recalques a que determinada estrutura estará sujeita, quando esta aplica um acréscimo de

tensões efetivas, numa camada de solo compressível.

Conhecidos os seguintes parâmetros de compressibilidade, pode-se calcular os recalques

totais e os recalques parciais da camada em questão:

� σa′ tensão de pré-adensamento;

� Cc índice de compressão;

� Cv coeficiente de adensamento.

Para uma camada de espessura H, uma variação do índice de vazios, Δe provocará um recalque

total ΔH, que é dado por:

No caso das argilas normalmente adensadas, se o acréscimo sobre a tensão de pré-

adensamento for Δσ′, os valores σ1’ e σ2’ ficam:

σ1’ = σa’ σ2’ = σa’ + Δσ′

Tomando a variação linear do acréscimo de tensões ao longo da camada compressível,

costuma-se calcular o acréscimo na cota média e admiti-lo como representativo de toda a

camada. Conhecido o acréscimo Δσ′, pode-se calcular o recalque total da camada.

Havendo necessidade de calcular o recalque parcial, após determinado tempo t,

deve-se avaliar o fator tempo Tv correspondente.

Com o valor de Tv, determinar a porcentagem média de recalque U:

Onde ρ é o recalque parcial, após um tempo t e Δ H é o recalque total da camada.

Na avaliação da distância de drenagem da camada, pode-se considerar como camada drenante

a que apresentar coeficiente de permeabilidade acima de dez vezes o coeficiente da camada

compressível.

Por último, deve-se frisar que, no cálculo do recalque total, o valor de H a ser utilizado é a

espessura total da camada, quaisquer que sejam as faces drenantes, e na avaliação dos

recalques parciais, emprega-se a distância de drenagem Hd que pode ser igual a H (uma face

drenante), ou a H/2 (duas faces drenantes).