REŠAVANJE ŠTURM-LIUVILOVIH PROBLEMA KORIŠĆENJEM …

Univerzitet u Beogradu

Matematički fakultet

Lucija Pajić

REŠAVANJE ŠTURM-LIUVILOVIH PROBLEMA

KORIŠĆENJEM METODA KONAČNIH RAZLIKA

I KONAČNIH ELEMENATA U MATLAB-U

Master rad

Beograd, 2010.

Rešavanje Šturm-Liouvilovih problema korišćenjem metoda konačnih razlika i konačnih elemenata u Matlab-u

2

SADRŽAJ

SADRŽAJ ................................................................................. 2

SADRŽAJ SLIKA ........................................................................ 4

PREDGOVOR ............................................................................ 5

1 UVOD ................................................................................. 6

1.1 Granični problem za diferencijalne jednačine drugog reda . 8

1.2 Granični zadaci sa parametrom ...................................... 9

1.3 Diferencijalne jednačine drugog reda u Šturm-Liuvilovoj

formi ......................................................................... 11

1.4 Šturm-Liuvilov granični problem ................................... 13

2 OSOBINE ŠTURM-LIUVILOVOG OPERATORA ......................... 15

2.1 Svojstva rešenja Šturm-Liuvilovog problema .................. 18

3 PRIMERI JEDNAČINA ŠTURM-LIUVILOVOG TIPA ................... 21

3.1 Beselove jednačine ...................................................... 21

3.2 Ležandrove jednačine .................................................. 23

3.3 Čebiševljeve jednačine ................................................. 24

4 POSTAVKA ZADATKA .......................................................... 26

4.1 Granični test zadatak (1) .............................................. 27

4.2 Granični test zadatak (2) .............................................. 27

5 NUMERIČKA APROKSIMACIJA ZADATKA .............................. 29

5.1 Aproksimacija zadatka metodom konačnih razlika .......... 29

5.2 Aproksimacija zadatka metodom konačnih elemenata...... 33

5.3 Poreñenje dve metode .................................................. 38

6 MATLAB REZULTATI ........................................................... 40


3

6.1 Rezultati metode konačnih razlika ................................ 42

6.2 Rezultati metode konačnih elemenata ............................ 47

6.3 Poreñenje rezultata ..................................................... 51

ZAKLJUČAK ........................................................................... 53

DODATAK A – DEFINICIJE OSNOVNIH POJMOVA ....................... 54

LITERATURA .......................................................................... 57


4

SADRŽAJ SLIKA

Slika 1. Beselove funkcije prve vrste reda 4,3,2,1,0=ν ................. 22

Slika 2. Beselove funkcije druge vrste reda 4,3,2,1,0=ν ............... 23

Slika 3. Ležandrovi polinomi prve vrste za 4,3,2,1,0=n ................ 24

Slika 4. Čebiševljevi polinomi prve vrste za 4,3,2,1,0=n .............. 25

Slika 5. Sopstvene funkcije graničnog zadatka (1) ...................... 27

Slika 6. Sopstvene funkcije graničnog zadatka (2) ...................... 28

Slika 7 Konačne razlike - diskretizacija domena ......................... 30

Slika 8. a) “Krov” funkcija, b) Bazisne funkcije )(xiφ i )(1 xi+φ u opsegu

od ix do 1+ix ........................................................................... 35

Slika 9. Deo-po-deo linearne bazne funkcije i rezultujuća deo-po-deo linearna aproksimacija ...................................................... 35

Slika 10. Zadatak (1) Metoda konačnih razlika – h=0.2. .............. 43

Slika 11. Zadatak (1) metoda konačnih razlika. Aproksimativno rešenje a) sopstvene funkcije 2, i b) sopstvene funkcije 3 ............ 43

Slika 12. Zadatak (1) metoda konačnih razlika – h=0.1. .............. 44

Slika 13. Zadatak (1) metoda konačnih razlika – h=0.05. ............. 45

Slika 14. Zadatak (2) metoda konačnih razlika – h=0.2. .............. 46

Slika 15. Zadatak (2) metoda konačnih razlika – h=0.05. ............. 47

Slika 16. Zadatak (1) metoda konačnih elemenata – h=0.2. .......... 48

Slika 17. Zadatak (1) metoda konačnih elemenata – h=0.05. ........ 49

Slika 18. Zadatak (2) metoda konačnih elemenata – h=0.2. .......... 50

Slika 19. Zadatak (2) metoda konačnih elemenata – h=0.05. ........ 51

Slika 20. Granični zadatak (2) – h=0.2. Uporeñivanje tačnog rešenja sa rezultatima dobijenim korišćenjem metoda. ........................... 52


5

PREDGOVOR

U ovom radu opisano je rešavanje (specijalnog slučaja diferencijalnih jednačina drugog reda) takozvanih Šturm-Liuvilovih jednačina sa zadatim graničnim uslovima, korišćenjem dve metode numeričke matematike.

Rad je podeljen na sedam poglavlja i jedan dodatak.

U prvom poglavlju predstavljeni su uvodni pojmovi, koji se u kasnijim poglavljima koriste za opširnije predstavljanje problema, i dat je kratak pregled radova u kojima se mogu naći metode za rešavanje Šturm-Liouvillovih problema.

U drugom poglavlju data je teorijska postavka Šturm-Liouvillovog graničnog problema i pokazane su osobine rešenje problema.

Treće poglavlje sadrži pregled najčešće korišćenih tipova Šturm-Liouvillovih problema u praksi.

Četvrto poglavlje daje postavku dva granična test zadatka odabranih iz tog razloga što je za njih jednostavno naći analitičko rešenje, koje nam je potrebno da bismo mogli da testiramo rezultate dobijene primenom metoda.

Peto poglavlje daje numeričku aproksimaciju problema. Predstavljene su dve numeričke metode – metoda konačnih razlika i metoda konačnih elemenata, i njima je prikazana aproksimacija test zadataka.

U šestom poglavlju rezultati dobijeni u poglavlju pet su iskorišćeni za jednostavnu implementaciju ovih metoda u numeričkom softverskom alatu, Matlab-u. Dalje, prikazani su rezultati koji se dobijaju primenom pomenute dve numeričke metode u Matlab-u na granične test zadatke. Ovi numerički rezultati su uporeñeni sa analitičkim rezultatima.

Zaključak rada, zajedno sa preporukama za dalje istraživanje problema dat je u sedmom poglavlju.

Dodatak A daje kratak pregled osnovnih pojmova korišćenih u radu.

Zahvaljujem se mentoru Prof. Dr. Bošku Jovanoviću na podršci i sugestijama datim tokom izrade rada.

Matemački fakultet

Beograd, 2010. Lucija Pajić


6

1 UVOD

U matematici, mehanici, fizici, i u inžinjerskim problemima, klasična Šturm-Liuvilova jednačina [22], nazvana u čast Švajcarskog matematičara Jacques Charles François Sturm (1803 – 1855) i Francuskog matematičara Joseph Liouville (1809 – 1882), predstavlja diferencijalnu jednačinu drugog reda oblika

yxryxqdx

dyxp

dx

d)()()( λ=+

− ( 1.1)

gde su )(,)(),(,)( xrxqxpxp ′ neprekidne funkcije, na intervalu ),( bax∈ i važi

da su 0)(,0)( >> xrxp za [ ]bax ,∈ .

Dodatno, funkcija y mora zadovoljiti homogene granične uslove na

krajevima zadatog intervala. Veličina λ nije zadata u jednačini ( 1.1). Tako, Šturm-Liuvilov problem predstavlja zapravo nalaženje vrednosti parametra λ za koje u datoj jednačini ( 1.1) postoje ne-trivijalna rešenja, koja zadovoljavaju date granične uslove. Šturm-Liuvilove jednačine se pojavljuju u problemima primenjene matematike. Na primer, one predstavljaju vibraciona stanja različitih sistema, kao što su vibracije žice, ili energetske sopstvene funkcije kvantno-mehaničkih oscilatora. U prvom slučaju rešenja jednačina, takozvane sopstvene vrednosti, odgovaraju rezonantnim frekvencijama vibracije, odnosno u drugom slučaju energetskim nivoima. Štaviše, upravo ideja da se diskretni energetski nivoi uočeni u atomskim sistemima mogu predstaviti kao sopstvene vrednosti diferencijalnog operatora, dovela je do toga da Schrödinger predloži svoju talasnu jednačinu [20]. Šturm-Liuvilovi problemi se pojavljuju direktno kao problemi sopstvenih vrednosti u jednoj dimenziji prostora. Veoma često, oni se dobijaju iz graničnih i mešovitih problema za linearne parcijalne jednačine drugog reda (kao što su Laplasova jednačina, jednačina provoñenja toplote i talasna jednačina), kad se jednačine razdvajaju u nekim koordinatnim sistemima, kao na primer u cilindričnim, ili sfernim koordinatama. S obzirom na njihovu veoma široku primenu, Šturm-Liuviove jednačine i njihovi pripadajući granični problemi su obrañeni od strane mnogih autora. Nakon uvoñenja prvih termina vezanih za ovaj problem, i kasnijim (1910)


7

proučavanjem njihovih singularnih problema, uz razvoj kvantne mehanike, i izvoñenje dokaza opšte spektralne teoreme za neograničene samoadjungovane operatore u Hilbertovim prostorima, otvorili su se široki okviri za razvoj ovog problema. Mnoge numeričke metode su razvijene tokom godina za aproksimaciju sopstvenih vrednosti (regularnog) Šturm-Liuvilovog problema. Meñu njima, takozvane matrične metode predstavljaju jednu od najpopularnijih familija. One su zasnovane na primeni metoda konačnih razlika i konačnih elemenata za redukovanje Šturm-Liuvilovog problema u matrični problem sopstvenih vrednosti. Pored ovih metoda, često se koristi takozvana CPM familija (Constant reference potential Perturbation Method) [9], koja se primenjuje za rešavanje onih problema kod kojih se pripadajuće Šturm-Liuvilove jednačine mogu prevesti u Šredingerovu formu. Samim tim, prednost ovih metoda je što je kod njih energetska zavisnost greške ograničena, što ne važi za ostale numeričke metode. Kao posledica ove energetske nezavisnosti greške, veličina koraka je neuobičajeno velika, i izračunavanja su brza. Za razliku od prethodnih metoda, CP metode se reñe primenjuju i kod neregularnih problema. Samim tim što postoji interesovanje za numeričko rešavanje Šturm-Liuvilovih problema, razvijeno je i nekoliko kompjuterskih kodova u tu svrhu: (1) U prvu grupu se mogu uvrstiti dobro ustanovljeni Fortran kodovi. Jedan od njih je SLEDGE [16] (skraćenica od Sturm-Liouville Estimates Determined by Global Errors) koji računa sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije za takozvane regularne i široku klasu singularnih problema, kao i funkcije spektralne gustine za singularne probleme koji imaju neprekidan spektar. Zatim, često pominjan u literaturi je SLEIGN [3] (skraćenica dolazi od Sturm-Liouville eigenvalue) softverski paket opšte namene, dizajniran da izračunava sopstvene vrednosti: (a) Šturm-Liuvilovih problema sa regularnim, razdvojenim, samo-adjungovanim graničnim uslovima, i (b) singularnih Šturm-Liuvilovih problema. Nova, poboljšana verzija ovog koda za probleme sa singularnim graničnim uslovima je SLEIGN2 [4]. Svi ovi Šturm-Liuvilovi solveri, zajedno sa SL02F kodom [17] su deo takozvanog SLTSTPAK paketa [19]. (2) Sledeći je SLCPM12 kod [9], pisan takoñe u Fortranu, koji prvo konvertuje originalnu Šturm-Liuvilovu jednačinu u jednačinu Šredingerove forme, a zatim ovu poslednju rešava metodom CPM. Zbog osobine ove metode, u SLCPM12 su izračunavanja sopstvenih vrednosti i pripadajućih


8

funkcija neuobičajeno brza. Ovaj kod se koristi za rešavanje regularnih Šturm-Liuvilovih problema. (3) MATSLISE je grafički MATLAB paket, za interaktivno numeričko rešavanje regularnih Šturm-Liuvilovih problema, koji omogućava brza i tačna izračunavanja sopstvenih vrednosti i vizualizaciju pripadajućih sopstvenih funkcija. U okviru ovog rada biće pokazano kako specijalni slučaj Šturm-Liuvilovog problema može da se reši korišćenjem dve numeričke metode u Matlabu. Svrha ovog poglavlja je da prvo približi pojam Šturm-Liuvilovih jednačina kao specijalnih vrsta običnih diferencijalnih jednačina drugog reda, a zatim da uvede definiciju njima pripadajućih graničnih problema.

1.1 Granični problem za diferencijalne jednačine drugog reda

Opšti (implicitni) oblik diferencijalne jednačine višeg reda je:

0),...,,,( )( =′ nyyyxF ( 1.2)

gde je x nezavisna promenljiva, a )(,...,,, nyyyy ′′′ zavise od x .

Eksplicitni (normalni) oblik diferencijalne jednačine višeg reda je

( ))1()( ,...,,, −′= nn yyyxfy ( 1.3)

Jednačina oblika:

)()()()( 1)1(

1)( xbyxayxayxay nn

nn =+′+⋅⋅⋅++ −− ( 1.4)

gde su ( )xbxa i ,)( neprekidne funkcije, se naziva linearna diferencijalna

jednačina n-tog reda. Specijalno za slučaj 2=n dobijamo opšti oblik diferencijalne jednačine drugog reda:

0),,,( =′′′ yyyxF ( 1.5)

Eksplicitni (normalni) oblik diferencijalne jednačine drugor reda je:

),,( yyxfy ′=′′ ( 1.6)

dok je linearna diferencijalna jednačina drugog reda data sa:

)()()( 21 xbyxayxay =+′+′′ ( 1.7)

U daljem tekstu ćemo se najviše posvetiti ovom poslednjem obliku jednačine. Ove jednačine se transformacijama koje će biti prikazane u


9

potpoglavlju 1.3 mogu svesti na jednačine sa takozvanom Šturm-Liuvilovom formom. Kako opšte rešenje linearne diferencijalne jednačine n-tog reda sadrži n proizvoljnih konstanti, za njihovo odreñivanje je neophodno n nezavisnih uslova. Primer takvih uslova su granični uslovi, kod kojih vrednost rešenja ili odgovarajućeg broja njegovih izvoda zadovoljavaju odreñene uslove u različitim tačkama, obično krajevima intervala. Odatle je problem nalaženja rešenja koje zadovoljava ove granične uslove dobio naziv granični problem. (za razliku od početnog, Košijevog problema, gde se uslovi zadaju u početnoj tački intervala). Opšti oblik graničnih uslova je

0)()(

0)()(

22

11

=β+′α

=β+′α

byby

ayay ( 1.8)

Ako je ,2,1,0,0 =≠β=α iii granični uslovi su prvi, ili Dirihleovi uslovi

,0)()( == byay ( 1.9)

a granični problem ( 1.7), ( 1.9) nazivamo prvi ili Dirihleov granični problem. Ako je ,2,1,0,0 ==β≠α iii granični uslovi su drugi, ili Nojmanovi

0)()( =′=′ byay , ( 1.10)

a granični problem ( 1.7), ( 1.10) se naziva drugi ili Nojmanov granični problem.

Ako je ,2,1,0,0 =≠β≠α iii granični uslovi su treći (mešoviti) ili Robinovi

granični uslovi:

0)()(

,0)()(

2

1

=σ−′

=σ−′

byby

ayay ( 1.11)

Granični problem ( 1.7), ( 1.11) se naziva treći (mešoviti), ili Robinov granični problem.

1.2 Granični zadaci sa parametrom

Kao što je već rečeno na početku ovog poglavlja, Šturm-Liuvilov problem se sastoji u nalaženju vrednosti parametra λ za koje za datu jednačinu (1.1) postoje ne-trivijalna rešenja, koja zadovoljavaju date granične uslove. Zbog toga ćemo se u ovom potpoglavlju osvrnuti na granične probleme sa parametrom, koji ćemo obeležavati sa λ .


10

U zadacima ovog tipa, rešenje problema zavisi od vrednosti parametra, koji učestvuje u diferencijalnoj jednačini. Tako na primer, razmotrimo sledeći (mešoviti) granični slučaj (sličan primer u [21]):

0)1(,0)0(

,10,0

=′=

−λ≤≤=λ+′′

yy

parametarxyy ( 1.12)

Očigledno je da ovaj granični problem ima trivijalno rešenje. Meñutim, nas zanimaju one vrednosti parametra λ za koje jednačina ( 1.12) ima netrivijalna rešenja, koja zadovoljavaju granične uslove. Nañimo takve vrednosti λ - sopstvene vrednosti, i odgovarajuća rešenja - sopstvene funkcije. Da bismo našli netrivijalna rešenja, prvo treba odrediti generalno rešenje diferencijalne jednačine, a onda proveriti za koje vrednosti parametra λ dati granični uslovi su zadovoljeni. Kako je karakteristična jednačina date diferencijalne jednačine ( 1.12) 02 =λ+m , postojaće tri različita rešenja u zavisnosti od toga da li su koreni jednačine realni i različiti, realni i jednaki, ili kompleksno konjugovani. Tako, razlikujemo slučajeve:

0<λ Neka je 2K−=λ za neki realni broj K, različit od nule. Onda su koreni karakteristične jednačine KmKm ±==− 2,1

22 ,0 . Generalno rešenje je

oblika )sinh()cosh()(,)( 21 KxBKxAxyodnosnoececxy KxKx +=+= − .

Koeficijente BiA nalazimo tako da zadovoljavaju granične uslove

0)1cosh()1sinh()1(

,0)0sinh()0cosh()0(

=⋅⋅+⋅⋅=′

==⋅+⋅=

KKBKKAy

AKBKAy

Kako je 0=A , a 0≠K , iz drugog uslova sledi da je i 0=B . To znači da je jedino rešenje trivijalno rešenje 0)( ≡xy , pa ne postoje negativne sopstvene

vrednosti. 0=λ

U ovom slučaju, karakteristični polinom je 02 =m , sa dvostrukim korenom 02,1 =m . Opšte rešenje je xccxececxy xx

210

20

1)( +=+= ⋅⋅ , a izvod 2)( cxy =′ .

Iz 0)1(,0)0( 2'

1 ==== cycy , sledi da je opet jedino rešenje jednačine

jednako nuli. Znači, 0=λ nije sopstvena vrednost. 0>λ

Pretpostavimo da je 0,2 ≠=λ KK . Karakteristični polinom 022 =+ Km

ima kompleksno-konjugovana rešenja Kim ±=2,1 . Opšte rešenje je onda

( ) ,)sin()cos()sin()cos( 210

20

1 KxcKxcKxecKxecxy xx +=+= ⋅⋅


11

dok je izvod

( ) ( ) )cos(sin 21 KxKcKxKcxy +−=′

Da bi bili zadovoljeni granični uslovi, treba da je

( ) ( ) ( ) .0cos1,00 21 ==′== KKcycy

Kako je 0≠K , da bi bilo i 02 ≠c , neophodno je da bude ( ) 0cos =K . Ovo je

ispunjeno za sledeći skup vrednosti: ( )

...,2

12,...,

2

3,

2

π+ππ=

nK

odnosno,

ako opšti član rešenja predstavimo u obliku ( )

2

12 π+=

nK n

, onda su

sopstvene vrednosti graničnog problema ( 1.12) u ovom slučaju:

( )...,2,1,0,

2

122

2 =

π+==λ n

nK nn ( 1.13)

Odgovarajuće sopstvene funkcije su:

( )

π+=

2

12sin)(

xnCxy nn ( 1.14)

O prirodi rešenja (sopstvenih funkcija) graničnih problema sa parametrom, i u opštem slučaju Šturm-Liuvilovih problema, biće diskusije u drugom poglavlju.

1.3 Diferencijalne jednačine drugog reda u Šturm-Liuvilovoj

formi

U ovom poglavlju želimo da napravimo vezu izmeñu diferencijalnih jednačina drugog reda i Šturm-Liuvilovih jednačina. Naime, važi sledeće: Teorema 1. Svaka diferencijalna jednačina drugog reda može se transformisati u diferencijalnu jednačinu „Šturm-Liuvilovog“ oblika:

)()()( xFyxqdx

dyxp

dx

d=+

( 1.15)

Dokaz: Ne umanjujući opštost, možemo dokazati da se svaka diferencijalna jednačina drugog reda može transformisati u oblik

0)]()([)( =λ++

yxrxq

dx

duxp

dx

d


12

Zaista, pretpostavimo da je zadata klasična homogena digerencijalna jednačina drugog reda, oblika

0)(,0))()(()()( 2012 ≠=λ++′+′′ xayxrxayxayxa ,

cilj je da predstavimo prva dva činioca jednačine u vidu totalnog diferencijala nekog izraza. Na taj način, dobićemo diferencijalnu jednačinu napisanu u „Šturm-Liuvilovoj“ formi. Da bismo to postigli, pomnožićemo

jednačinu sa integracionim faktorom ∫

=dx

xa

xa

exI )(

)(

2

1

)( . Dobijamo:

0)()()()()()()()( 012 =λ++′+′′ yxIxryxIxayxIxayxIxa

Kako je ∫

=dx

xa

xa

exI )(

)(

2

1

)( , radi jednostavnosti, ovaj integracioni faktor možemo

zapisati u obliku uexI =)( , a kako je dx

duee

dx

d uu = , imamo da je

)()(

)(

)(

)()(

2

1)(

)(

2

1 2

1

xIxa

xae

xa

xaxI

dxxa

xa

⋅=⋅=′∫

.

Koristeći ovu jednakost za )(xI′ , diferencijalna jednačina se svodi na

0)()()()()()(

)()()()( 0

2

122 =λ++′+′′ yxIxryxIxayxI

xa

xaxayxIxa ,

odnosno, kombinovanjem prva dva člana

( ) 0)()()()()()( 02 =λ++′′ yxIxryxIxayxIxa .

Stavljajući )()( xIxp = i deleći jednačinu sa )(2 xa dobija se

( ) 0)(

)()(

)(

)()()(

22

0 =λ

++′′xa

xrxp

xa

xaxpyxp .

Konačno, ako je ,)(

)()()(,

)(

)()()(

22

0

xa

xrxpxr

xa

xaxpxq == dobija se Šturm-Liuvilova

jednačina .0)]()([)( =λ++

yxrxq

dx

duxp

dx

d

Primer 1. Neka je data diferencijalna jednačina oblika

02 =λ++′+′′ yexyyyx x .

Postupak svoñenja diferencijalne jednačine na Šturm-Liuvilovu formu

izgleda ovako: Integracioni faktor je 22

)( xexIdxx == ∫ , pa množeći jednačinu

sa 2x dobijamo


13

02 2323 =λ++′+′′ yexyxyxyx x ,

odatle ( ) 02 232 =λ++′+′′⋅ yexyxyxyxx x , pa kombinujući prva dva člana,

sledi ( ) 022 =λ++′′ yxeyxyx x .

To znači da je xxexrxxqxxp === )(,)(,)( 22 .

Pošto smo jednačinu delili sa xxa =)(2 , tačka 0=x mora biti isključena iz

domena problema. Takoñe, kako mora biti 0)(,0)( >> xrxp , onda treba

zahtevati još i da bude 0>x .

1.4 Šturm-Liuvilov granični problem

U prethodnim potpoglavljima smo prvo predstavili diferencijalnu jednačinu drugog reda, zajedno sa graničnim uslovima. Zatim smo videli kako izgleda rešavanje graničnih zadataka, kad u diferencijalnoj jednačini figuriše parametar. U prethodnom poglavlju smo pokazali da svaka diferencijalna jednačina drugog reda može da se transformiše u jednačinu Šturm-Liuvilovog oblika (posebno je razmatran slučaj jednačina sa parametrom). Sad možemo predstaviti Šturm-Liuvilov granični problem.

Uvodimo definicije sledećih funkcionalnih prostora: [ ]baC , - prostor neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu [ ]ba,

Norma je zadata sa [ ] [ ])(max

,,xff

baxbaC ∈= .

( )baC , - prostor neprekidnih funkcija na otvorenom intervalu ( )ba,

[ ]baCn , i ( )baCn , - prostori funkcija neprekidnih, zajedno sa svim izvodima

reda n≤ na intervalu [ ]ba, , odnosno na ( )ba,

Neka su date funkcije [ ] [ ]baCqxpbaCp ,,0)(,,1 ∈≠∈ . Definišimo Šturm-

Liuvilov operator [ ] [ ]baCbaCL ,,: 2 → sa

)()()(

)()( xyxqdx

xdyxp

dx

dyL −

=

( 1.16)

Šturm-Liuvilova granični problem se može onda definisati na sledeći način:


14

Odrediti netrivijalno rešenje ( ) [ ]baCbaCy ,, 12 ∩∈ obične diferencijalne

jednačine

( ) ( ) lxxyxryL <<=λ+ 0,0)( ( 1.17)

gde je λ kompleksan parametar, a funkcija [ ]lCr ,0∈ , i koje na krajevima

intervala zadovoljava granične uslove:

0,0

0)()(

0)()(

22

21

22

21

21

21

>β+β>α+α

=′β+β

=′α+α

byby

ayay

( 1.18)

Definicija 1. Vrednost parametra λ za koju granični zadatak ( 1.17), ( 1.18) ima netrivijalno rešenje naziva se sopstvena vrednost, a pripadajuće netrivijalno rešenje sopstvena funkcija. Definicija 2. Šturm-Liuvilov granični problem je:

- regularan problem, ako važi da je 0,0 >> rp , na intervalu [ ]ba, .

- singularan problem, ako je: (i) ,0>p na ( )ba, , i )(0)( bpap == , 0≥r na [ ]ba, , ili

(ii) ako makar jedna od funkcija ( ) ( )xrilixqxp ,,)( teži beskonačnosti u bilo

kojoj graničnoj tački, ili (iii) jedna od graničnih tačaka teži beskonačnosti. - periodičan problem, ako je 0),()( >= pbpap i 0>r na [ ]ba, , rqp ,, su

neprekidne funkcije na [ ]ba, i važe uslovi: ( ) ( )byaybyay ′=′= ),()( .

U daljem tekstu biće razmatran regularan Šturm-Liuvilov granični problem ( 1.17), ( 1.18). Pre nego što preñemo na diskusiju o osobinama sopstvenih vrednosti i njima odgovarajućih sopstvenih funkcija, tj. rešenja Šturm-Liuvilovih graničnih problema, videćemo koje osobine ima Šturm-Liuvilov operator ( 1.16).


15

2 OSOBINE ŠTURM-LIUVILOVOG OPERATORA

Jedna od veoma korisnih činjenica u matematici je ta da simetrična matrica ima realne sopstvene vrednosti, i da skup odgovarajućih sopstvenih vektora čini ortonormiranu bazu. Ova osobina simetričnih matrica ima veoma široku generalizaciju kod spektralnih osobina samoadjungovanih operatora u Hilbertovom prostoru, od kojih su Šturm-Liuvilovi diferencijalni operatori fundamentalni primeri.

Posmatramo Šturm-Liuvilov operator [ ] [ ]baCbaCL ,,: 2 →

)()()(

)()( xyxqdx

xdyxp

dx

dyL −

= ( 2.1)

gde su funkcije [ ] [ ]baCqxpbaCp ,,0)(,,1 ∈≠∈ , i njemu pridruženi Šturm-

Liuvilov granični zadatak iz potpoglavlja 1.4:

0)()()(

0)()()(

0)()()(

212

211

=′β+β=

=′α+α=

=λ+

bybyyB

ayayyB

xyxrxLy

( 2.2)

koji zapravo predstavlja problem pronalaženja sopstvenih vrednosti λ . Uvodimo oznake: ( )baL ,2 - Lebegov prostor kvadratno integrabilnih funkcija, sa skalarnim

proizvodom:

( ) ∫=b

a

dxxvxuvu )()(, i

normom:

( ) ( )2

1

221

,)(,

2

== ∫

b

a

baLdxxuuuu .

Takoñe, ako je ( ) 0, =vu , onda za funkcije u i v kažemo da su ortogonalne

na skupu ( )ba, .

Sa ovako definisanim skalarnim proizvodom, linearan operator dat na prostoru ovih funkcija Lu , je adjungovan operator ako važi sledeća

jednakost: ( ) ( )vLuvLu ∗= ,, , za sve funkcije u i v .

Neka ( ) [ ]{ }0)()(,,| 12 ==∧∩∈= buaubaCbaCuuD , i R∈βα, .


16

Osobina 1. Šturm-Liuvilov operator L je linearan operator na skupu D . Dokaz: Neka Dvu ∈, . Imamo

( ) ( )

)()(

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

))()()(())()((

)()(

vLuL

xvxqxvdx

dxp

dx

dxuxqxu

dx

dxp

dx

d

xvxqxuxqxvdx

dxp

dx

dxu

dx

dxp

dx

d

xvxqxuxqxvdx

dxpxu

dx

dxp

dx

d

xvxuxqdx

xvxudxp

dx

dvuL

β+α=

=

⋅−

β+

⋅−

α=

=⋅β−⋅α−

⋅β+

⋅α=

=β⋅−α⋅−

β⋅+α⋅=

=β+α−

β+α=β+α

■ Osobina 2. Šturm-Liuvilov operator L definisan sa ( 2.1) na skupu D je samoadjungovan operator.

Dokaz: Operator L je samoadjungovan na nekoj klasi funkcija ako je ∗= LL

. Ukratko, treda dokazati da važi ( ) ( )LvuvLu ,, = za Dvu ∈, .

Parcijalnom integracijom dolazimo do takozvane Grinove formule:

[ ] ( )∫ =′−′=−b

a

ba

ba vuPuvvuxpdxvuLuvL )|,(|)()()( ( 2.3)

Ako u i v zadovoljavaju granične uslove za ax = , onda važi

=

α

α

′

′

0

0

)()(

)()(

2

1

auau

avav.

Kako je 022

21 ≠α+α imamo

0)()()()( =⋅′−⋅′ auavavau .

Na isti način, ako u i v zadovoljavaju granične uslove za bx = , onda važi

0)()()()( =⋅′−⋅′ bubvbvbu .

Odatle se dobija da je 0)|,( =bavuP , čime je tvrñenje dokazano.

■ Osobina 3. Šturm-Liuvilov operator L definisan sa ( 2.1) je pozitivno definisan na .D

Dokaz: Operator L će biti pozitivno definisan, ako je ( ) ,0, ≥uLu za sve

funkcije .Du ∈ Za potrebe ovog dokaza ćemo posmatrati interval [ ].1,0∈x


17

Takoñe, prvo se izvodi dokaz za slučaj prvog i drugog graničnog uslova, a pokazuje se da i treći granični uslov daje isti krajnji rezultat [10]. Za funkciju )(xu važi sledeći zapis

212

0

2 )()()1()(

′+

′−= ∫∫

x

x

dttuxdttuxxu .

Koristeći nejednakost Cauchy-Schwarza dobijamo:

( ) [ ] [ ]

[ ]∫

∫∫∫∫

′−=

=′+′−≤

1

0

2

12

1

0

2

0

2

.)()1(

)()(1)(

dttuxx

dttudtxdttudtxxuxx

xx

Sledi:

[ ] [ ]

[ ] [ ] .)(4

1)()1(max)(max

1

0

21

0

2

1,0

2

1,0tdtudttuxxxu

xx ∫∫ ′=′−≤∈∈

( 2.4)

Odatle se dobija:

[ ]

[ ]

[ ]{ } .)()(4

1

)(4

1)(max)(

1

0

22

1

0

1

0

22

1,0

2

dxxpuxu

dxxuxudxxux

∫

∫ ∫

+′≤

≤′≤≤∈

( 2.5)

U ( 2.4) i ( 2.5) nejednakosti važe i u slučaju da )(xu′ ima konačan broj

prekida prve vrste na intervalu [ ] ,1,0 a )(xu je neprekidna na tom

intervalu.

U prostoru [ ]1,0C skalarni proizvod je dat sa ( ) ∫=1

0

,, uvdxvu a norme sa:

( )[ ]

.)(maxi,,1,0

21xuuuuu

xC

∈==

Koristeći prethodnu nejednakost ( 2.4) i upravo dokazano svojstvo 2 da je L

samoadjungovan operator, sledi:

( ).,4

122uLuuu

C≤≤ ( 2.6)

Kako se pokazuje da se i za slučaj trećeg graničnog problema dobija nejednakost istog tipa kao i ( 2.6), sledi da je operator L pozitivno definisan.

■


18

Kako smo upravo pokazali da je operator L linearan, samoadjungovan, i pozitivno definisan, sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije zadatka ( 2.2) imaju odreñena svojstva, sa kojima ćemo se upoznati u narednom potpoglavlju.

2.1 Svojstva rešenja Šturm-Liuvilovog problema

Svojstvo 1. Neka su λ i µ sopstvene vrednosti, a u i v odgovarajuće

sopstvene funkcije regularnog Šturm-Liuvilovog problema ( 2.2). Tada važi

( )∫ =⋅⋅µ−λb

a

dxxrxvxu 0)()()( ( 2.7)

odnosno, u i v su ortogonalne sopstvene funkcije na [ ]ba, u odnosu na

težinsku funkciju r . Dokaz: Iz Grinove formule se dobija

( ) [ ]

( ) 0|)(

)()()()()(

=′−′=

=−=⋅⋅µ−λ ∫ ∫ba

b

a

b

a

uvvuxp

dxuvLvuLdxxrxvxu

■ Svojstvo 2. Sopstvene vrednosti regularnog Šturm-liuvilovog zadatka su realne.

Dokaz: Ako je 0)( =λ+ ruuL , onda je 0)( =λ+ ruuL , sledi

0)( =λ+ uruL ,

a za granične uslove važi )(0)( 21 yByB == .

To znači da je λ sopstvena vrednost, a u odgovarajuća sopstvena funkcija zadatka ( 2.2), pa je

( )∫ =⋅⋅λ−λb

a

rdxuu 0

odnosno ( )∫ =λ−λb

a

rdxu 02 .

Kako je 0>r , i 02≠u (pošto je u sopstvena funkcija), onda mora biti

.λ=λ ( 2.8)

■


19

Svojstvo 3. Svakoj sopstvenoj vrednosti regularnog Šturm-Liuvilovog problema odgovara sa tačnošću do proizvoda sa konstantom jedna sopstvena funkcija. Dokaz: Pretpostavimo da su u i v sopstvene funkcije koje odgovaraju istoj sopstvenoj vrednosti λ . Slično dokazu osobine 2 o samoadjungovanosti operatora L na skupu D, dobijamo

=

α

α

′

′

0

0

)()(

)()(

2

1

auau

avav

gde u i v zadovoljavaju jednačinu 0)()()( =λ+ xyxrxLy .

Kako je 022

21 ≠α+α determinanta koeficijenata matrice mora biti nula, pa bi

zbog toga u i v morale biti linearno zavisne funkcije, tj. )()( xcuxv = .

■ Svojstvo 4. Sve sopstvene vrednosti su pozitivne. Dokaz: Ovo svojstvo direktno sledi iz pozitivne definisanosti operatora L ,

ovde će biti dat dokaz za slučaj kad je 1)( ≡xr , i za Dirihleove granične

uslove .0,0,1,1 2211 =β=α=β=α Znači, problem ( 2.2) svodimo na:

0)()(

0)(

==

=λ+

byay

yyL.

Neka je )(xuu = sopstvena funkcija koja odgovara sopstvenoj vrednosti λ .

Treba da dokažemo da je λ pozitivno. Kako je

( ) ( )uuuuL ,),( λ−= , uzimajući da je ( ) 1)(, 2 == ∫b

a

dxxuuu dobijamo sledeći izraz:

( ) ∫ ∫

+=−=λb

a

b

a

dxdx

duxpdxxuxquuL

22 )()()(),( .

Ako bismo pretpostavili da je 0=dxdu , onda bi constxu ≡)( , pa bismo primenom graničnih uslova dobili da je 0)( ≡xu , što isključujemo. Znači

0≠dxdu za [ ]bax ,∈ . Konačno

∫ ∫ >

+=λb

a

b

adx

duxpdxxuxq 0)()()(

22 ( 2.9)

■ Poslednja dva svojstva su navedena bez dokaza.


20

Svojstvo 5. Samoadjungovani regularni Šturm-Liuvilov granični problem ima prebrojivo mnogo sopstvenih vrednosti ...,,...,, 21 nλλλ , i jedina tačka

nagomilavanja ovog niza je: +∞=λ∞→

nnlim .

Svojstvo 6. Sopstvene funkcije ...,2,1),( =nxyn regularnog Šturm-

Liuvilovog graničnog zadatka ( 2.2) obrazuju potpun sistem funkcija u [ ]baL ,2 , tj. svaka funkcija [ ]baLf ,2∈ se može razložiti u red po funkcijama

...,2,1),( =nxyn

∑∞

=

=1

,)()(n

nn xycxf ( 2.10)

koji konvergira u srednjem ka funkciji )(xf na [ ]ba, , tj.

0)()()()(2

12

11

→

−=− ∫ ∑∑

==

b

a

N

n

nn

N

n

nn dxxycxfxycxf ( 2.11)

Napomena. Beskonačne sume oblika

∑∞

=

=1

)()(n

nn xycxf

predstavljaju generalisane Furijeove redove, koji konvergiraju ka

2

)()( −+ + xfxf, ako su koeficijenti nc pogodno izabrani (tj ako su oblika

n

n

n yfy

c ,1

2= ).


21

3 PRIMERI JEDNAČINA ŠTURM-LIUVILOVOG TIPA

U ovom poglavlju biće navedene neke od najpoznatijih jednačina Šturm-Liuvilovog tipa, koje su našle primenu u oblasti fizike i primenjene matematike. Katalog sa više od 50 primera jednačina ovog oblika može se naći u [8].

3.1 Beselove jednačine

Ova jednačina se dobija kod rešavanja Laplasovih i Helmholcovih jednačina, pri razdvajanju promenljivih u cilindričnim polarnim koordinatama. Kada u jednačini ( 1.16), ( 1.17) stavimo da je:

[ ) ,)(,)(,)(,,0 2 xxrxxqxxpx =ν−==∞∈ i 2n=λ ,

Šturm-Liuvilova jednačina postaje Beselova jednačina oblika

022

=

+

ν−+

yxn

xdx

dyx

dx

d ( 3.1)

Množeči ovu jednačinu sa x , dobijamo Beselovu diferencijalnu jednačinu reda ν :

( ) 02222 =ν−+′+′′ yxnyxyx ,

gde je parametar 0≥ν realan broj (u opštem slučaju ν može biti kompleksan parametar sa 0Re ≥ν . Standardna forma ove jednačine je

( ) 0222 =ν−+′+′′ yxyxyx

Regularno-singularna tačka je 0 , a iregularno-singularna je .∞ Kako je

ovo diferencijalna jednačina drugog reda, opšte rešenje se sastoji od kombinacije dva linearno nezavisna rešenja )()()( 21 xJCxJCxy ν−ν += , gde je

( )( ) ( )∑

∞

=

ν+

ν ≥

+Γ+ν+Γ

−=

0

2

0,211

1)(

k

kk

xx

kkxJ ( 3.2)

Beselova funkcija prve vrste reda ν , a

( )( ) ( )∑

∞

=

ν−

ν− >

+Γ+ν−Γ

−=

0

2

0,211

1)(

k

kk

xx

kkxJ ( 3.3)

Beselova funkcija druge vrste reda ν− .


22

Iako ν i ν− čine istu diferencijalnu jednačinu, definišu se različite Beselove funkcije, da bi bile glatke funkcije od ν . Meñutim, kako )(xJ ν− divergira za

0=x , odgovarajući koeficijent 2C mora u tom slučaju biti nula, da bi se

obezbedio rezultat koji ima fizički smisao. Beselove funckije, kao rešenja Beselove diferencijalne jednačine čine potpun skup ortogonalnih funkcija na intervalu ∞<< x0 , u odnosu na težinsku funkciju xxr =)( .

Za deo-po-deo neprekidnu funkciju )(xf problema ρ≤≤= xxfyL 0),()( , je

dxx

Jx

xxJxxf

cx

Jcxf

npn

npn

np

n p

npnnp 2

0

0

0 1

)()(

,)(

∫

∫∑∑

ρ

ρ

∞

=

∞

=

ρ

λ

ρλ

=

ρλ= ( 3.4)

Beselove funkcije su meñusobno povezane rekurentnim formulama. Ako za parametar ν uzmemo da je nenegativan ceo broj ...,2,1,0=n , opšte

rešenje standardne forme Beselove jednačine često se zapisuje u obliku )()()( 21 xYcxJcxy nn += , pa se rekurentne formule za Beselove funkcije prve i

druge vrste zapisuju kao

)()(2

,)()(2

)( 1111 xYxYx

nYxJxJ

x

nxJ nnnnnn −+−+ −=−= .

Slika 1 i Slika 2 daju prikaz Beselovih funckija prvog i drugog reda za 4,3,2,1,0=ν .

Slika 1. Beselove funkcije prve vrste reda 4,3,2,1,0=ν


23

Slika 2. Beselove funkcije druge vrste reda 4,3,2,1,0=ν

Ostale Šturm-Liuvilove forme Beselove jednačine se mogu naći u [8]

3.2 Ležandrove jednačine

Kada u jednačini ( 1.16), ( 1.17) stavimo da je:

[ ] 1)(,0)(,1)(,1,1 2 ==−=−∈ xrxqxxpx i ( )1+=λ nn ,

Šturm-Liuvilova jednačina postaje Ležandrova diferencijalna jednačina

( ) ( ) 011 2 =++

− ynndx

dyx

dx

d ( 3.5)

Regularno-singularne tačke su: .i,1,1 ∞−

Ova jednačina se javlja pri rešavanju Laplasove jednačine (i ostalih parcijalnih diferencijalnih jednačina tog tipa) u sfernim koordinatama. Rešenja ove jednačine za ...,2,1,0=n su Ležandrovi polinomi )(xPn , a kako

je ovo diferencijalna jednačina drugog reda, opšte rešenje se sastoji od kombinacije dva linearno nezavisna rešenja, pa se koriste i Ležandrovi polinomi druge vrste. Tako, opšte rešenje je oblika )()()( xQBxPAxy nnnn += .

Pošto )(xQn divergira za 1±=x , odgovarajući koeficijent nB mora u tom

slučaju biti nula, da bi se obezbedio rezultat koji ima fizički smisao. Ležandrovi polinomi se mogu predstaviti preko takozvane Rodrigove formule:

( ) ...,2,1,0,1!2

1)( 2 =−= nx

dx

d

nxP

n

n

n

nn ( 3.6)


24

u meñusobno su rekurentnim vezama,

( ) ( ) )()(12)(1 11 xnPxxPnxPn nnn −+ −+=+

i obrazuju potpun ortogonalan sistem na intervalu 11 ≤≤− x , gde važi:

=+

≠=∫

− nmn

nm

dxxPxP nm

12

2

0)()(

1

1

.

Koristeći ovo svojstvo ortogonalnosti, deo-po-deo neprekidna funkcija )(xf

problema 10),()( ≤≤= xxfyL , se može predstaviti preko Ležandrovih

polinoma kao:

( )∫∑−

∞

=

+−+

=

+=1

10

)()(2

12

.2

)()(

)(

)( dxxPxfn

Cprekidatza

xfxf

neprekidnaxfxf

xPC nn

n

nn

Slika 3. Ležandrovi polinomi prve vrste za 4,3,2,1,0=n

3.3 Čebiševljeve jednačine

Čebiševljeve diferencijalne jednačine su definisane sa

( ) Rnynyxyx ∈=+′−′′− ,01 22 ( 3.7)

Regularno-singularne tačke su: .i,1,1 ∞−

Rešenja ove jednačine se nazivaju Čebiševljeve funkcije stepena n . Ako je n nenegativni ceo broj, Čebiševlje funkcije se predstavljaju Čebiševljevim polinomima )(xTn , koji se mogu izraziti preko Rodrigove formule:


25

( ) ( )( )

( ) 2

12

2

1132121

1)(

−−

⋅⋅⋅−−−

−=

n

n

n

nn xdx

d

nn

xxT ( 3.8)

Čebiševljevi polinomi formiraju kompletan ortogonalan skup na intervalu

11 ≤≤− x , u odnosu na težinsku funkciju 21

1

x−. Može se pokazati da

==π

==π

≠

=−

∫− ...,3,2,12

0

0

)()(1

11

12

nm

nm

nm

dxxTxTx

nm

Rekurentne formule su oblika

)()(2)( 11 xTxxTxT nnn −+ −= .

Deo-po-deo neprekidna funkcija ),(xf na 11 ≤≤− x , može se predstaviti

preko Čebiševljevih polinoma kao

( )

=−π

=−π

=

+=

∫

∫∑

−

−∞

=

+−1

12

1

12

0..,2,1)()(

1

12

0)()(1

11

.2

)()(

.)(

)(

ndxxTxfx

ndxxTxfx

Cprekidat

xfxf

neprekxfxf

xPC

n

n

n

n

nn

Slika 4. Čebiševljevi polinomi prve vrste za 4,3,2,1,0=n


26

4 POSTAVKA ZADATKA

Šturm-Liuvilovi granični problemi koji će biti razmatrani u ovom radu su njegovi specijalni slučajevi, koji se dobijaju kada se za funkcije

)(),(),( xrxqxp , naprave sledeće pretpostavke:

1)(,0)(,1)( ≡≡≡ xrxqxp ( 4.1)

Interval na kome posmatramo zadatak je 10 ≤≤ x , a posmatraćemo dva tipa graničnih uslova: (1) 0,1 1221 =β=α=β=α , pa granični zadatak postaje

0)()(

10,0

10 ==

<<=λ+′′

yy

xyy ( 4.2)

što je zapravo Dirihleov granični problem date Šturm-Liuvilove diferencijalne jednačine na intervalu [ ]1,0 .

(2) 0,1 1221 =β=α=β=α , pa je granični zadatak dat sa

0)1()0(

10,0

=′=

<<=λ+′′

yy

xyy ( 4.3)

što je mešoviti granični problem date Šturm-Liuvilove diferencijalne jednačine na intervalu [ ]1,0 .

Ove pretpostavke su napravljene da bi se granični zadatak pojednostavio, jer nam je cilj da zadatak za koji možemo da izračunamo rešenja analitički, kasnije uporedimo sa njegovim numeričkim aproksimacijama rešenja. Šturm-Liuvilova jednačina se može za kasniji rad posmatrati i u opštem slučaju ( 1.17), ( 1.18), na bilo kom intervalu bxa ≤≤ . Rešenje zadataka tražimo na sličan način kao što je urañeno u zadatku potpoglavlja 1.2. Uzimajući u obzir zaključke iz tog zadatka, kao i koristeći svojstva rešenja Šturm-Liuvilovih problema datih u potpoglavlju 3.1, vrednosti 0<λ i 0=λ nećemo posmatrati, jer to neće biti sopstvene vrednosti ovih zadataka. Dakle, rešenja zadataka ( 4.2) i ( 4.3) tražimo u slučaju da je 0>λ .

Pretpostavimo da je 0,2 ≠=λ KK . Karakteristični polinom 022 =+ Km

ima kompleksno-konjugovana rešenja Kim ±=2,1 . Opšte rešenje je onda

( ) )sin()cos()sin()cos( 210

20

1 KxcKxcKxecKxecxy xx +=+= ⋅⋅ .


27

4.1 Granični test zadatak (1)

Kako je 0)1()0( == yy sledi da je, 0)sin(,0 21 == Kcc . Kako je 0≠K i mora

biti 02 ≠c da bismo imali netrivijalna rešenja, sledi da je 0)sin( =K ,

odnosno ππππ= nK ,...,3,2,,0 , pa je opšti član rešenja oblika π= nKn .

Sopstvene vrednosti graničnog problema ( 4.2) u ovom slučaju su onda:

( ) ...,3,2,12 =π=λ nnn ( 4.4)


( ) ...,3,2,1,sin)( =π= nxnxyn ( 4.5)

Na slici 5 je dat prikaz prve tri sopstvene funkcije za ovaj granični zadatak.

Slika 5. Sopstvene funkcije graničnog zadatka (1)

4.2 Granični test zadatak (2)

Rešenje ovog problema je već izračunato u potpoglavlju 1.3. Sopstvene vrednosti ovog zadatka su:


28

( )

...,3,2,1,2

122

2 =

π−==λ n

nK nn ( 4.6)


( )

...,3,2,1,2

12sin)( =

π−= n

xnCxy nn ( 4.7)

Na slici 6 je dat prikaz prve tri sopstvene funkcije za ovaj granični zadatak.

Slika 6. Sopstvene funkcije graničnog zadatka (2)

Iz ova dva primera takoñe možemo primetiti da sopstvena funkcija )(xyk

koja odgovara sopstvenoj vrednosti kλ ima tačno 1−k nula na intervalu

( )1,0 . Znači, sopstvene funkcije osciluju češće što su sopstvene vrednosti

veće. Inače, ova dva granična zadatka će biti polazna tačka rešavanja Šturm-Liuvilovih problema korišćenjem metoda konačnih razlika i konačnih elemenata u Matlab-u. U naredna dva poglavlja, prvo ćemo napraviti aproksimacije datih graničnih zadataka pomoću ove dve numeričke metode, a zatim ih implementirati u Matlab-u. Rešenja koja se dobiju pomoću ove dve numeričke metode će biti uporeñena sa analitičkim rešenjima, izračunatim u ovom poglavlju.


29

5 NUMERIČKA APROKSIMACIJA ZADATKA

Numeričke metode koje će biti obrañene u naredna dva poglavlja predstavljaju veoma važne i često korišćene metode za inžinjersku analizu i dizajn. To su takozvane matrične metode, što znači da se uz pomoć njih Šturm-Liuvilov problem ( 1.17), ( 1.18) redukuje u matrični problem sopstvenih vrednosti. Prve meñu njima, metode konačnih razlika, služe za numeričko rešavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina. Jednostavne su za korišćenje u problemima definisanim na regularnim geometrijama, kao što su interval u 1D, pravougaoni domen u dve dimenzije, i kocka u tri prostorne dimenzije. Licencirani softver specijalizovan za rešavanje problema isključivo metodom konačnih razlika se ne koristi, već se ova metoda najčešće poziva Fortran rutinama koje se mogu implementirati u okviru većih softverskih platformi. Više informacija o ovoj metodi i njenoj primeni na konkretne probleme, može se naći u [14], ili [10]. Metoda konačnih elemenata se koristi za traženje aproksimativnog rešenja parcijalnih i integralnih jednačina i veoma je efikasna kod problema u kojima je granica domena složena. Literatura iz oblasti metoda konačnih elemenata je brojna, a neke od najčešće citiranih knjiga su [25] i [5] naročito u oblasti inžinjerstva, a sa matematičkog aspekta korisna je [23]. Softverski paketi za analizu konačnim elementima imaju široku primenu u gotovo svim oblastima inžinjerstva; najpoznatiji su paketi Nastran, Abaqus, Ansys a koriste se za analizu čvrstih tela i njihovih struktura, za praćenje provoñenja toplote i za proučavanje ponašanja tečnih tela.

5.1 Aproksimacija zadatka metodom konačnih razlika

Metoda konačnih razlika se sastoji iz sledećih koraka: 1) Pretpostavimo da je problem dat na nekom domenu [ ]Lx ,0∈ .

Diskretizaciju problema započinjemo tako što podelimo domen na skup od konačno mnogo, recimo n+1 tačaka (čvorova) nn xxxx ,,...,, 110 − , takvih da je

njxxx jjj ,...,1,0,1 =−=∆ +


30

U slučaju da je 1+n tačaka podjednako rasporeñeno, važi: ., jhxx j ∀=∆=∆

Mrežu onda možemo definisati sa:

====ω

nhniihxx iih

1,,...,0,| .

Slika 7 Konačne razlike - diskretizacija domena

2) Aproksimiramo izvode date diferencijalne jednačine pogodno izabranim količnicima konačnih razlika. Tako, prvi izvod funkcije u čvoru jx možemo

aproksimirati na jedan on sledećih načina:

( ) ( )

( )

( )razlikacentralna

2

)(

unazadrazlika)(

unapredrazlika)(

,

,

,

h

hxyhxyy

h

hxyxyy

h

xyhxyyxy

jj

ix

jj

ix

jj

ixjx

−−+≈

−−≈

−+≈=

&

( 5.1)

dok drugi izvod funkcije definišemo kao:

2

)()(2)()(

h

hxyxyhxyxy

jjj

jxx

−+−+≈ ( 5.2)

U ovom koraku možemo oceniti grešku aproksimacija izvoda funkcije. Naime, pod pretpostavkom da je funkcija )(xy dovoljno glatka, korišćenjem

Tejlorovog razvoja funkcije y u okolini čvora (tačke) ix , za aproksimaciju

prvog izvoda razlikom unapred važi:

( )

10,)(2

)()(!2

)()(1

)(

)()(1

)()(

2

1,

≤θ≤θ+′′−=

=

−θ+′′+′+−′=

=−−′=−′ +

hxyh

xyhxyh

xyhxyh

xy

xyxyh

xyyxy

i

iiiii

iiiixi

Sličnim postupkom dobijamo i ocene greški ostalih aproksimacija, odnosno važi sledeće:


31

.)()(

)()()()(2

,

2,,,

hOyxy

hOyhOyhOyxy

ixxi

ixixixi

+=′′

+=+=+=′&

( 5.3)

Kada se mreža zgušnjava, odnosno kad 0→h , aproksimacije teže vrednostima izvoda funkcije )(xy u čvorovima. Pri tome, kod aproksimacija

izvoda centralnim količnicima konačnih razlika xy & i xxy konvergencija je

brža, jer je glavni član greške )( 2hO .

3) U ovom koraku vršimo diskretizaciju problema tako što zamenjujemo funkciju )(xy i njene izvode iz graničnog problema ( 1.17), ( 1.18)

odgovarajućim količnicima konačnih razlika u čvorovima mreže nω . To

znači da će se zadatak svesti na rešavanje sistema diferencijalnih jednačina, uz korišćenje uslova na granici. U nastavku, primena metode konačnih razlika biće prikazana na prvom i drugom graničnom zadatku iz poglavlja 4. Granični zadatak (1) - prateći prethodno objašnjene korake metode, ( 4.2) se zamenjuje sledećim sistemom linearnih jednačina:

0

1,...,2,1,

0

,

==

−=λ=−

n

ihixx

yy

niyy ( 5.4)

Diferencijaska šema u operatorskom obliku glasi:

yy hλ=Λ , ( 5.5)

gde je ( )0,,...,,,0 121 −= nyyyy . Definišimo sa { }RyyyyH in ∈== − |)0,,...,,0( 11

0

,

pa je operator 00

: HH →Λ definisan sa:

==

−=−=Λ

nii

niyy

ixx

i,0,0

1,...,2,1,, ( 5.6)

Može se dokazati da je ovaj operator samokonjugovan i pozitivno definisan. [10] U razvijenom obliku, ova diferencijska šema ( 5.5) se zapisuje kao:

0

1,...,2,1,2

0

211

==

−=λ=+−

− +−

n

ihiii

yy

niyh

yyy

( 5.7)


32

i uz eliminaciju 0y i ny zadatak 1 ( 4.2) se svodi na problem sopstvenih

vrednosti (trodijagonalne ) matrice

−

−

−

−−

−

=

21...000

1............

0...210

0...121

0...012

12h

A

reda 1−n . Shodno tome dobijeni sistem jednačina yAy hλ= može imati

najviše n-1 linearno nezavisan sopstveni vektor. Granični zadatak (2) - ( 4.3) Matrica sistema A će imati nešto drugačiji oblik, zbog prisustva izvoda u drugom graničnom uslovu, tj. imamo da je diferencijska šema oblika:

0,0

1,...,2,1,

,0

,

==

−=λ=−

nx

ihixx

yy

niyy

&

( 5.8)

Diferencijaska šema u operatorskom obliku glasi:

( )nnh yyyyyyy ,,...,,,0, 121 −=λ=Λ .

Definišimo sa { }RyyyyyH inn ∈== − |),,...,,0( 110 , pa imamo da je operator

00: HH →Λ definisan sa:

=

−=−

=

=Λ

niyh

niy

i

y

nx

ixxi

,2

1,...,2,1,

0,0

,

,

&

( 5.9)

Može se dokazati da je ovaj operator samokonjugovan i pozitivno definisan. [10] Prvi izvod funkcije, koji se pojavljuje u graničnom uslovu je u ovom slučaju aproksimiran formulom za centralnu razliku,

02

11 =− −+

h

yy nn

da bismo dobili šemu veće tačnosti, tj. )( 2hO . Kako je 1+ny fiktivna vrednost,

da bismo mogli da je izračunamo, koristimo dodatno i uslov


33

( ) nhnnn yyyyh

λ=+−− +− 1122

1

Tako, zadatak se takoñe svodi na rešavanje sopstvenih vrednosti trodijagonalne matrice A oblika:

−

−

−

−−

−

=

22...000

1............

0...210

0...121

0...012

12h

A

Dobijena matrica A je reda n, pa sistem yAy hλ= može imati najviše n

linearno nezavisnih sopstvenih vektora.

5.2 Aproksimacija zadatka metodom konačnih elemenata

Umesto da vrši aproksimaciju parcijalne, ili diferencijalne jednačine direktno, kao što je slučaj kod metode konačnih razlika, metoda konačnih elemenata koristi varijaciono-diferencijski princip, koji uključuje računanje integrala diferencijalne jednačine na domenu problema. Ova metoda je specijalni slučaj Ritz-ove, odnosno Galerkinove metode, s tom razlikom što se kod ove dve metode odreñivanje približnog rešenja graničnog problema svodi na rešavanje sistema linearnih jednačina, čija je matrica „popunjena“ (tj., njeni elementi su različiti od nule), dok se metodom konačnih elemenata dobija sistem, čija je matrica „retka“ (na primer, trodijagonalna). Iz tog razloga, za rešavanje sistema, koji se dobijaju pri korišćenju metode konačnih elemenata potrebno je izršiti znatno manje aritmetičkih operacija. Kako i metoda konačnih razlika ima slično svojstvo, metoda konačnih elemenata se ponekad interpretira i kao varijanta ove metode. U opštem slučaju metodom konačnih elemenata domen problema se deli na konačan broj poddomena, koji se nazivaju konačni elementi, a rešenje parcijalne diferencijalne jednačine se aproksimira jednostavnim probnim (uglavnom polinomskim) funkcijama na svakom elementu. Izmeñu elemenata domena ne smeju postojati praznine, kao ni preklapanja. Sa druge strane, polinomske funkcije se biraju tako da budu identički jednaki nuli u najvećem delu oblasti, a na preostalom delu domena su opisane deo po deo polinomima. Takoñe, aproksimativno rešenje, koje je predstavljeno u vidu linearne kombinacije ovih polinoma, treba da ima odgovarajući stepen glatkosti na celom domenu. Nakon što su ovi uslovi ispunjeni, varijacioni integral se računa kao suma doprinosa od svakog elementa. Rezultat je algebarski sistem aproksimativnog rešenja, koji ima konačnu dimenziju.


34

Kako za najveći broj probnih funkcija važi da su oblasti u kojima su one različite od nule disjunktne, sledi da će matrice sistema linearnih jednačina biti retke. Znači, metoda konačnih elemenata diskretizuje parcijalnu diferencijalnu jednačinu, tako što se pravi aproksimativno rešenje poznato na celom domenu kao deo po deo polinomska funkcija, a ne samo na skupu tačaka. Granični zadatak (1) - Metoda će biti ilustrovana na zadatku (1) - ( 4.2) iz poglavlja 4, tj. na graničnom problemu zadatom na jednodimenzionalnom domenu, odnosno na intervalu [0,1]. Na njemu je zadat skup čvorova

===−=ω ∑=

+

n

i

iiiiin hnihxxx0

1 1,,...,1,0,|

a konačni elementi su predstavljeni podintervalima [ ] .,...,0,, 1 nixx ii =+

Napomena: U opštem slučaju, konačni elementi ne moraju biti jednaki meñusobno, ali radi jednostavnosti, za potrebe ovog problemaa, pogodnije je odabrati ravnomernu mrežu elemenata. Aproksimacija zadatka se traži u prostoru deo po deo linearnih funkcija, i oblika je

∑=

φ=≈n

i

ii xcxyxy0

)()(ˆ)( ( 5.10)

Prostor probnih („krovnih“) funkcija je predstavljen neprekidnim funkcijama, koje su na dva susedna elementa linearne, a na ostalim identički jednake nuli

[ ]

[ ]

[ ]

∉

∈−

−

∈−

+

=φ

+−

+

−−

11

1

11

,,0

,,1

,,1

)(

ii

ii

i

i

ii

i

i

i

xxx

xxxh

xx

xxxh

xx

x ( 5.11)

Na slici 8 a) može se videti izgled funkcije )(xiφ u opsegu od 1−ix do 1+ix , dok

su na slici 8 b) prikazane dve bazisne funkcije )(xiφ i )(1 xi+φ na intervalu

[ ]1, +ii xx .

Napomena: Osim funkcija oblika ( 5.11) u [7] je pokazano da se za problem (1), na intervalu [ ]π,0 mogu koristiti i trigonometrijske krovne funkcije.


35

Slika 8. a) “Krov” funkcija, b) Bazisne funkcije )(xiφ i )(1 xi+φ u opsegu od

ix do 1+ix

Kao što se može videti na slici 8 a), )(xiφ nije jednaka nuli jedino na ona dva

elementa koja sadrže čvor ix . Ova funkcija prvo linearno raste a zatim i

opada na ova dva elementa, a maksimalnu vrednost jednaku jedinici dostiže baš u tački ixx = , što znači da je oblika

≠

==δ=φ

ij

ij

ijjixx

xxx

,0

,1:)(

Odatle, iii cyxy =≡)(ˆ , odnosno koeficijenti u reprezentaciji ( 5.10)

predstavljaju približne vrednosti rešenja graničnog problema u unutrašnjim čvorovima mreže nω (pogledaj sliku 9), pa se približno rešenje ( 5.10) može

tražiti u obliku

∑=

φ=n

ii xyxy01

)()(ˆ

Slika 9. Deo-po-deo linearne bazne funkcije i rezultujuća deo-po-deo linearna aproksimacija


36

Treba primetiti da kako su sve )(xiφ deo po deo linearno neprekidne, i

njihova suma )(ˆ xy će biti deo po deo linearno neprekidna funkcija. Takoñe,

restrikcija rešenja )(ˆ xy na element [ ]ii xx ,1− je linearna funkcija

)()()(ˆ 11 xyxyxy iiii φ+φ= −− .

Napomena: U slučaju homogenih graničnih uslova reprezentacija aproksimativnog rešenja ( 5.10) je ekvivalentna sa

)()(ˆ1

1

xyxy i

n

i

iφ=∑−

=

uzimajući u obzir uslov 00 == nyy .

Diferencijalna jednačina graničnog zadatka (1) ( 4.2) je data u takozvanoj jakoj formi. Prebacujemo je u takozvanu slabu formu množenjem sa test funkcijom v (neprekidno diferencijabilna funkcija, koja je jednaka nuli na krajevima intervala), a zatim integraljenjem jednačine po intervalu (0,1), pa tako dobijamo

∫ ∫ λ=′′1

0

1

0)()()()( dxxvxydxxvxy ( 5.12)

Podsetimo da za zadatak (1) rešenje tražimo u aproksimativnoj formi ( 5.10) a takoñe možemo pretpostaviti da se i test funkcija može zapisati u obliku

∑=

φ=n

i

ii xvxv0

)()( , tj. da je test funkcija linearna kombinacija probnih funkcija,

i da zadovoljava granične uslove zadatka. Ubacivanjem ovih reprezentacija funkcija u prethodnu slabu formu jednačine dobijamo sistem

dxyvdxyv ji

n

i

i

n

j

jji

n

i

i

n

j

i ∫∑∑∫∑∑ φλφ=φ′φ′====

1

000

1

000

Kako je ova jednačina zadovoljena za svako jφ ona važi i u sledećem slučaju

njdxydxy ji

n

i

iji

n

i

i ,...,0,1

00

1

00

=φλφ=φ′φ′ ∫∑∫∑==

( 5.13)

što se u matričnom obliku zapisuje kao

ByAy Λ= ( 5.14)

i predstavlja generalisani problem sopstvenih vrednosti. Ovde su ,ijAA = i

ijBB = simetrične, kvadratne matrice, dimenzija n-1, sa članovima


37

1,0,, ,

1

01,1

2,

1 1

>−=φ′φ′=φ′=∑ ∫ ∫=

−−

+

+− −

jiaadxa ji

j

x

x

x

x

iiiiiii

ji

ji

i

i

( 5.15)

∑ ∫ ∫=

− >−=φφ=φ=+

+− −

1

0,1,

2 1,0,,1 1

j

ji

x

x

x

x

iijiiii jibdxbdxb

ji

ji

i

i

Polazeći od jednačina ( 5.11), za zadatak (1) se direktno mogu izračunati elementi matrica BiA , odnosno dobija se

=

−

−−

−−

−

=

41....

1......

.141.

..141

...14

6

21.....

........

...121.

....121

.....12

1 hB

hA

Obe matrice su reda n-1. Može se primetiti da je forma matrice A gotovo identična odgovarajućoj matrici koja se dobija pri primeni metode konačnih razlika. To je, uzimajući u obzir odabir mreže i bazisnih funkcija, i bilo očekivano. Granični zadatak (2) - Prirodni granični uslov, odnosno granični uslov na desnom kraju intervala, je uključen u integraciji jednačina oblika ( 5.10). Stoga, nikakvo dodatno nametanje uslova nije neophodno. Takoñe se dobija sistem oblika ( 5.14), s tim što su u ovom slučaju dimenzije matrica .n

Za metodu konačnih elemenata se može dokazati [10] da u čvorovima mreže zadovoljava takozvanu superkonvergenciju

)()(max 2

1hOyxy ii

ni=−

≤≤ ( 5.16)

Za razliku od rešenja koje se dobija korišćenjem metode konačnih razlika i koje je definisano samo u čvorovima mreže hω , približno rešenje )(ˆ xy

dobijeno metodom konačnih elemenata definisano je na čitavom intervalu [ ]1,0 . Iz tog razloga, za ovo rešenje se pored ‘‘diskretne’’ ocene brzine

konvergencije, može izvesti i ‘‘kontinuirana’’ ocena. Naime, za proizvoljnu linearnu kombinaciju bazisnih funkcija

)()(1

1

xwxw j

n

j

jφ= ∑−

=

imamo da važi


38

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ ∫ −+′−′≤−+′−′1

0

1

0

2222 ˆˆ dxwywydxyyyy

Koristeći zatim nejednakost ( 2.5) iz poglavlja 2 dobijamo

[ ]

( )∫ =′−′≤−∈

1

0

22

1,0,)(ˆ)(max constcdxwycxyxy

x ( 5.17)

Ako biramo funkciju )(xw takvu da se u čvorovima nix ω∈ poklapa sa )(xy

∑−

=

φ=1

1

)()()(n

j

jj xxyxw

onda dobijamo

( ) ( ) dxh

xyxyxydxwydxwy

n

i

x

x

n

i

x

x

iii

i

i

i

2

1 1

121

0

2

1 1

)()()(∑ ∫ ∑ ∫∫

= =

−

− −

−−′=′−′=′−′

Ako je funkcija )(xy dva puta diferencijabilna, sledi

( ) [ ]∑ ∫∫=

−

===′−′n

i

x

x

i

i

hOhnhOdxhOdxwy1

2221

0

2

1

.)()()(

Koristeći poslednju i nejednakost ( 5.17) dobijamo ‘‘kontinuiranu’’ ocenu

[ ]

)()()(ˆmax1,0

hOxyxyx

=−∈

. ( 5.18)

5.3 Poreñenje dve metode

Obe metode se ponašaju slično pri rešavanju zadataka (1) i (2), i imaju isti stepen tačnosti u čvorovima ravnomerne mreže. U metodi konačnih elemenata, promena promenljive polja u fizičkom domenu je integralni deo procedure. To znači, na osnovu izabranih interpolacionih funkcija, promena promenljive polja kroz konačni element je data kao integralni deo formulacije problema. U metodi konačnih razlika, to nije slučaj: promenljive polja se računaju samo u odreñenim tačkama. Odatle, izvodi (do odreñenog nivoa) mogu da se izračunaju u metodi konačnih elemenata, dok metoda konačnih razlika daje podatke samo u promenljivoj samoj po sebi. U strukturalnim problemima, na primer, obe metode daju rešenja o pomeraju, ali rešenja metodom konačnih elemenata mogu da se koriste da se direktno izračunaju komponenete sile (prvi izvodi).


39

Da bi se dobili podaci o sili u metodi konačnih razlika, zahteva dodatna razmatranja, koja nisu deo matematičkog modela. Postoje i neke sličnosti izmeñu metoda. Tačke integracije u metodi konačnih razlika su analogne čvorovima u metodi konačnih elemenata. Promenljiva je eksplicitno izračunata u takvim tačkama. Takoñe, kako se smanjuje korak integracije (veličina koraka) u metodi konačnih razlika, tako se očekuje da rešenje konvergira tačnom rešenju. Ovo je slično očekivanoj konvergenciji u metodi konačnih elemenata, kad se mreža elemenata profini. U oba slučaja, profinjenje predstavlja redukciju matematičkog modela od konačnog do infinitezimalnog. Takoñe, u oba slučaja diferencijalne jednačine se redukuju u algebarske jednačine. Možda najbolji način za opisivanje razlika ove dve metode je u činjenici da metode konačnih razlika modeluju diferencijalne jednačine problema i koriste numeričku integraciju za dobijalnje rešenja u diskretnim tačkama. Metoda konačnih elemenata modelira ceo domen problema i koristi poznate fizičke principe da razvije algebarske jednačine koje opisuju problem. Tako, metoda konačnih razlika modelira diferencijalne jednačine, dok metoda konačnih elemenata modelira bliže fizički problem. Postoje slučajevi kada je veoma korisno koristiti kombinaciju ova dva modela u dobijanju rešenja inžinjerskih problema, naročito gde su bitni dinamički efekti.


40

6 MATLAB REZULTATI

Za rad sa numeričkim metodama često se koristi Matlab programski jezik, jer se ove metode veoma brzo mogu u njemu implementirati, ali i iz razloga što Matlab program sadrži veliku biblioteku prethodno definisanih funkcija, matrica, vektora, i mnogih alata za rad sa problemima linearne algebre. Takoñe, svi grafički alati koji su potrebni za vizualizaciju dobijenih podataka su dostupni u ovom programu. Tako, zaključci koji su izvedeni u okviru poglavlja 5 biće iskorišćeni prvo za implementaciju metoda konačnih razlika i konačnih elemenata u Matlabu, a nakon toga, biće prikazani grafici aproksimativnih rešenja i uporeñeni sa graficima koji se dobijaju analitičkim rešavanjem problema. Pomenute numeričke metode su, za potrebe ovog rada, definisane u okviru Matlab funkcija pisanih u takozvanim M datotekama (tekstualnim fajlovi, koji sadrže komande koje zadaje korisnik, a program ih zatim interpretira). Tako, definisane su dve funckije: jedna koja rešava probleme (1) i (2) korišćenjem metode konačnih razlika, i druga koja ova dva problema rešava korišćenjem metode konačnih elemenata. Sintaksa funkcija u Matlabu data je sa:

function [out1, out2, ...] = user_func(in1, in2, ...)

što znači da u zavisnosti od ulaznih podataka koje zadaje korisnik (in1, in2,...), dobijamo tražene izlazne podatke (out1, out2,..). Polazeći od ove sintakse, za rešavanje problema korišćenjem metode konačnih razlika, napisana je jednostavna funkcija:

function [x,y,eigvals] = fdm_sl(x0,xn,a,b,N)

gde je fdm_sl naziv funkcije, a ulazni podaci predstavljaju parametre vezane za granične uslove opšteg oblika ( 1.18), tj. - x0 i xn su krajevi intervala

- a je vektor vrsta, dimenzije 2, koja sadrži koeficijente 21 ,αα

graničnog uslova (1.18) - b je vektor vrsta dimenzije 2, koja sadrži koeficijente 21 ,ββ

- N-1 prestavlja broj čvorova u unutrašnjosti intervala Tako, pogodnim odabirom parametara, funkcija se može koristi za rešavanje: problema (1), gde pozivamo funkciju


41

fdm_sl(0,1,[1 0],[1 0],N)

a zatim i problema (2), uz poziv funkcije

fdm_sl(0,1,[1 0],[0 1],N)

Za oba zadatka ćemo ispitati tri različite vrednosti od N. Kad se unesu ulazni podaci, ova Matlab funckija prvo ispituje njihovu korektnost, odnosno kom graničnom problemu ovi podaci odgovaraju. Zatim se prelazi na formiranje matrice A, koja se neznatno menja u zavisnosti od toga koji zadatak rešavamo. Kao što je već rečeno, ova funkcija se takoñe može iskoristiti i za rešavanje problema sa drugačijim graničnim uslovima, pa će shodno tome i pripadajuća matrica A, biti nešto drugačijeg oblika od već izračunatih. U poglavlju 5 je pokazano da se rešavanje graničnih zadataka (1) i (2) korišćenjem metode konačnih razlika, zapravo svodi na rešavanje problema sopstvenih vrednosti, oblika

YAY λ=

gde je λ sopstvena vrednost matrice A, a Y je odgovarajući sopstveni vektor. Shodno tome, nakon formiranja matrice A, iskorišćena je Matlab komanda

[Y,D]=eig(A)

koja daje vektor Y, čije su kolone sopstveni vektori, i dijagonalnu matricu D čije su vrednosti sopstvene vrednosti matrice A. Nakon što se dobiju sopstveni vektori, radi se njihova grafička reprezentacija i uporeñivanje sa tačnim rešenjima zadatka. Sličan je princip primenjen i pri rešavanju graničnih problema (1) i (2) korišćenjem metode konačnih elemenata. Funkcija se poziva za zadatak (1) sa

fem_sl(0,1,[1 0],[0 1],N)

za zadatak (2) sa

fem_sl(0,1,[1 0],[0 1],N)

U poglavlju 5 je pokazano da se pri rešavanju graničnih zadataka (1) i (2) korišćenjem metode konačnih elemenata, dolazi do generalisanog problema sopstvenih vrednosti oblika

BYAY Λ=

U ovom slučaju, veoma je korisna Matlab komanda

[V,D]=eig(A,B)


42

koja daje dijagonalnu matricu D uopštenih sopstvenih vrednosti i vektor Y, čije su kolone odgovarajući sopstveni vektori. Matlab je veoma pogodan pri implementaciji ovakvih problema, jer se matrice mogu formirati u svega nekoliko redova, a rešavanje problema sopstvenih vrednosti matrica, na koje se naši polazni zadaci svode, se može automatski izračunati, uz pomoć već ugrañene Matlab funkcije eig. Takoñe, pri pisanju korisničkih funkcija, nije striktno odreñen broj izlaznih podataka koje možemo zahtevati, pa tako, ako nas zanima izgled same matrice A u funkciji fdm_sl, potrebno je samo ubaciti zahtev u samoj definiciji funkcije, tj. pišemo

function [x,y,eigvals] = fdm_sl(x0,xn,a,b,N)

U naredna dva potpoglavlja će biti prikazani rezultati korišćenja metode konačnih razlika, a zatim i metode konačnih elemenata za rešavanje zadataka iz poglavlja 4, a zatim će dobijeni rezultati biti meñusobno uporeñeni.

6.1 Rezultati metode konačnih razlika

Oba zadatka ćemo razmatrati na nekoliko mreža, počevši od mreže u kojoj je rastojanje izmeñu dva susedna čvora h=0.2, zatim h=0.1, i na kraju h=0.05. Granični zadatak (1) h=0.2 Na slici 10 je prikazano rešenje zadatka (1) dobijeno korišćenjem metode, na veoma retkoj mreži, gde je broj unutrašnjih čvorova četiri, a ukupan broj čvorova je šest.


43

Slika 10. Zadatak (1) Metoda konačnih razlika – h=0.2.

Aproksimativno i tačno rešenje sopstvene funkcije

Na ovako retkoj mreži može se videti da metoda konačnih razlika solidno aproksimira rešenje jedino u delovima gde je ono približno linearne prirode, dok u ostalim delovima aproksimacija, koja je predstavljena tangentama u tačkama na polovini svakog intervala (odnosno izmeñu susednih čvorova), zavisi od promene krive rešenja. Takoñe, urañene su i aproksimacije za naredne dve sopstvene funkcije, što se može videti na slici 11. Kako ova rešenja imaju veće oscilacije, sa smanjenjem perioda oscilacije, aproksimacija je sve manje precizna. Tako, sa slike 11 se može videti da aproksimacija metodom konačnih razlika za slučaj sopstvene funkcije 3 (k=3) ne daje precizan rezultat.

a) b)

Slika 11. Zadatak (1) metoda konačnih razlika. Aproksimativno rešenje a) sopstvene funkcije 2, i b) sopstvene funkcije 3


44

h=0.1 Ukupan broj čvorova u ovom slučaju je jedanaest. Na osnovu ( 5.3) možemo očekivati da će se sa smanjenjem rastojanja izmeñu čvorova mreže, tačnost aproksimacije povećati. Zaista, slika 12 nam to i potvrñuje. Dobijene aproksimacije su daleko bolje od onih dobijenih korišćenjem prethodne mreže. Pošto aproksimacija u slučaju sopstvene funkcije 3 u pojedinim delovima i dalje nije dovoljno dobra, uradićemo još jednu diskretizaciju intervala, sa dvostruko manjim rastojanjima.

a)

b) c)

Slika 12. Zadatak (1) metoda konačnih razlika – h=0.1. Uporeñivanje tačnih rešenja sa odgovarajućim sopstvenim funkcijama: a) S. funkcija

1, b) S. funkcija 2, c) S. funckija 3


45

h=0.05 Ukupan broj čvorova u ovom slučaju je dvadeset i jedan. Konačne razlike sa ovako odabranom mrežom daju bolju aproksimaciju rešenja nego prethodne dve. Za slučaj sopstvene funkcije 1 dva rešenja se gotovo poklapaju; slično se može zaključiti i za funkciju 2, na većem delu mreže. Daljim usitnjavanjem mreže, mogu se postići ovakve aproksimacije i za sopstvene funkcije većih frekvencija. Grafici prve tri sopstvene funkcije graničnog zadatka (1), uporedo sa tačnim rešenjima problema, su date na slici 13.

a)

b) c)




46

Granični zadatak (2) Nadalje ćemo posmatrati samo mreže, kod kojih su rastojanja izmeñu čvorova h=0.2 i h=0.05. Prvu koristimo, jer nas zanima ponašanje metode na retkoj mreži, a drugu, jer je dovoljno gusta. h=0.2 Zaključci izvedeni u prethodnom zadatku, mogu se iskoristiti i u ovom slučaju. Dakle, za retku mrežu, problem pri aproksimaciji nastupa tamo gde se funkcija menja, Slika 14. Najbolja aproksimacija se postiže za sopstvenu funkciju 1, a svaka sledeća funkcija je aproksimirana sa manjom preciznošću.

a)

b) c)




47

h=0.05 Na slici 15Slika 15 je prikazano da su u ovom slučaju aproksimacije rešenja dobijene sa prilično zadovoljavajućom tačnošću.

a)

b) c)



6.2 Rezultati metode konačnih elemenata

Granični zadatak (1) h=0.2 Broj elemenata ove mreže je pet, od kojih su tri unutrašnja. Sa slike 16 se može zaključiti da su za ovu mrežu aproksimacije rešenja graničnog problema (1) slične onim dobijenim korišćenjem metode konačnih razlika. Kao i kod prethodne metode, i ovde je aproksimacija manje tačna tamo gde


48

se funkcija menja. U ovoj metodi je to zato što na svakom elementu funkciju aproksimiramo deo po deo lineranim funkcijama. Bolji rezultati se stoga dobijaju pri korišćenju gušće mreže.

a)

a) b)

Slika 16. Zadatak (1) metoda konačnih elemenata – h=0.2. Uporeñivanje tačnih rešenja sa odgovarajućim sopstvenim funkcijama: a) S. funkcija



49

h=0.05 Rezultati dobijeni u ovom slučaju su gotovo identični onim vezanim za metodu konačnih razlika. I ovde važi da se daljim usitnjavanjem mreže postižu bolje aproksimacije sopstvenih funkcija većih frekvencija.

a)

b) c)

Slika 17. Zadatak (1) metoda konačnih elemenata – h=0.05. Uporeñivanje tačnih rešenja sa odgovarajućim sopstvenim funkcijama:

a) S. funkcija 1, b) S. funkcija 2, c) S. funckija 3

Granični zadatak (2) h=0.2 Ovde su rezultati nešto drugačiji od onih koji se dobijaju korišćenjem metode konačnih razlika. Naime, primećuje se da su aproksimacije nešto bolje u okolini granica, dok na preostalom delu domena, one imaju nezatno manje vrednosti od onih dobijenih metodom konačnih elemenata. Ovde se


50

jasno vidi razlika u načinu traženja aproksimacije ovih dvaju metoda – prva to vrši po svakom čvoru, dok metoda konačnih elemenata rešenja aproksimira po elementu intervala.

a)

b) c)

Slika 18. Zadatak (2) metoda konačnih elemenata – h=0.2. Uporeñivanje tačnih rešenja sa odgovarajućim sopstvenim funkcijama: a) S. funkcija



51

h=0.05 Na mreži od dvadeset elemenata dobijaju se znatno bolje aproksimacije rešenja. Meñutim, primećuje se da u nekim slučajevima, rešenja koja daje metoda konačnih razlika su približnija tačnom, od onih koja daje metoda konačnih elemenata, slika 19.

a)

b) c)

Slika 19. Zadatak (2) metoda konačnih elemenata – h=0.05. Uporeñivanje tačnih rešenja sa odgovarajućim sopstvenim funkcijama:

a) S. funkcija 1, b) S. funkcija 2, c) S. funckija 3

6.3 Poreñenje rezultata

U prethodna dva potpoglavlja smo videli kako metode konačnih razlika i konačnih elemenata aproksimiraju dva granična Šturm-Liuvilova test zadatka. Prvo je pokazano da obe metode uspešno rešavaju zadatke pri upotrebi nešto finije mreže čvorova, odnosno elemenata. Naime, dovoljno je


52

koristi mrežu od 21 čvora kod konačnih razlika, odnosno 20 elemenata kod konačnih elemenata, da bi se postigle dovoljno dobre procene. Ovo naročito važi za aproksimacije sopstvenih funkcija niže frekvencije, dok je za bolju aproksimaciju funkcija viših frekvencija (odnosno, manjih perioda frekvencije) poželjno koristiti nešto finije mreže. Ovo je generalno problem obeju metoda, pri rešavanju problema oblika ( 1.17)( 1.18). Jedan od načina da se taj problem prevaziñe je dat u [6]. Pri rešavanju graničnog problema (1) primećeno je da se metode ponašaju na sličan način, kao i da rešenja ne odstupaju jedno od drugog. Meñutim, to nije slučaj i kod graničnog problema (2), gde je razlika u načinu aproksimacije rešenja više izražena. Na slici 20 se za sopstvenu funkciju 2 graničnog problema (2), za h=0.2 vidi da metoda konačnih elemenata nešto bolje aproksimira same krajeve intervala, dok na većem delu preostalog intervala bolju aproksimaciju daje metoda konačnih razlika. Eventualno poboljšanje rešenja u metodi konačnih elemenata treba tražiti u povoljnijem odabiru bazisnih funkcija, kao što su recimo funkcije sastavljene deo po deo od polinoma višeg stepena. Treba napomenuti da je i kod metoda konačnih razlika moguće koristi šeme povišene tašnosti, ako korišćena metoda ne daje dovoljno precizne rezultate. Meñutim, ovakve izmene u okviru ove dve metode doprinose nešto složenijim algoritmima, odnosno povećanju broja čvorova (konačne razlike), što nije uvek najbolje rešenje, jer se čak i za jednostavne probleme, kao što su test problemi (1) i (2), računski broj operacija znatno povećava. Zato, pri izmenama metoda uvek treba uzeti u obzir odnos računarskog „gubitka“ prema preporučenoj tačnosti.

Slika 20. Granični zadatak (2) – h=0.2. Uporeñivanje tačnog rešenja sa rezultatima dobijenim korišćenjem metoda.


53

ZAKLJUČAK

U ovom radu predstavljen je Šturm-Liuvilov granični problem, i dve numeričke metode koje mogu doprineti njegovom rešavanju. Prvi deo rada objašnjava važnost rešavanja ovog problema sa stanovišta primenjene matematike i fizike. Zbog velike primene u ovim granama nauke, pomenute su metode numeričke matematike, koje se koriste za njegovo rešavanje, kao i softverski paketi sa istom namenom. Da bi bilo jasnije kakva rešenja treba da budu, pokazana su svojstva koja rešenja ovog problema poseduju. Pokazano je da popularne metode numeričke matematike – metoda konačnih razlika i metoda konačnih elemenata mogu uspešno rešiti jednostavne Šturm-Liuvilove probleme za koje je poznato analitičko rešenje. Pri rešavanju graničnog test problema (1) ove dve metode dovode do gotovo identičnih rezultata, dok je pri rešavanju graničnog test zadatka (2) razlika u načinu na koji ove dve metode vrše aproksimacije rešenja više izražena. Na veoma retkoj mreži nešto bolju aproksimaciju daje metoda konačnih razlika, dok na gušćoj mreži obe metode uspešno rešavaju problem. Eventualno poboljšanje aproksimacije u metodi konačnih elemenata treba tražiti u povoljnijem odabiru bazisnih funkcija, kao što su recimo funkcije sastavljene deo po deo od polinoma višeg stepena. Treba napomenuti da je i kod metoda konačnih razlika moguće koristi šeme povišene tašnosti, ako korišćena metoda ne daje dovoljno precizne rezultate. Svaka od metoda može da bude kandidat za rešavanje opšteg Šturm-Liuvilovog graničnog problema. Metoda konačnih razlika je jednostavnija za primenu, jer zahteva manje računanja, daje dovoljno dobre rezultate i lakša je za implementaciju od metode konačnih elemenata. Sa druge strane, korišćenjem metode konačnih elemenata je pokazano da pri promeni graničnih uslova nije bilo potrebno izvršiti nikakva dodatna izračunavanja, jer se granični uslovi mogu prirodno uvrstiti u slabu formu jednačine. (ova osobina važi i pri primeni metode u 2D i 3D problemima). Takoñe, metoda konačnih elemenata je fleksibilnija od metode konačnih razlika, jer može koristiti i neravnomernu mrežu, ili polinome drugačijeg oblika od polaznog, uz naravno nešto složeniji algoritam. Dalji rad se odnosi upravo na rešavanju opšteg Šturm-Liuvilovog problema ( 1.17), ( 1.18), primenom pomenutih metoda.


54

DODATAK A – DEFINICIJE OSNOVNIH POJMOVA

A 1. Metrički prostori

Definicija 1. ),( dX je metrički prostor ako funkcija ),0[: +∞→× XXd

zadovoljava sledeće uslove:

yxakko0)y,x(d ==

)x,y(d)y,x(d =

),(),(),( zydyxdzxd +≤ nejednakost trougla.

Definicija 2. Ovako definisanu funkciju d nazivamo metrikom na X.

Metrički prostor ),( dX je kompletan ako u njemu konvergira svaki Košijev

niz. Definicija 3. Neka je ),( dX metrički prostor. Za XK ⊆ kažemo da je

kompaktan ako svaki niz K ima konvergentan podniz u K . Kada je XK = kažemo da je ),( dX kompaktan metrički prostor.

Više o metričkim prostorima se može naći u [2].

A 2. Normirani i Banahovi prostori

Definicija 1. Neka je X vektorski prostor nad R ili C . Funkcija ),0[X: +∞→⋅ sa osobinama:

0xakko0x ==

xx ⋅λ=λ

yxyx +≤+

naziva se norma, a ),( ⋅X normirani prostor.

Definicija 2. Ukoliko je normirani prostor X kompletan u odnosu na metriku koju indukuje njegova norma, onda se naziva Banahov prostor. Definicija 3. Neka su X i Y vektorski prostori nad istim poljem. Preslikavanje YXA →: sa osobinama:


55

AyAxyxA +=+ )( i

skalarXyxAxxA −λ∈λ=λ ,,,)( naziva se linerani operator (linearno preslikavanje). Definicija 4. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem, i neka je

YXA →: linearni operator. Ase naziva ograničen operator ako

.,)( XxxMAxconstM ∈∀⋅≤+∞<=∃

Definicija 5. Norma operatora A se definiše na sledeći način: { }.,:inf XxxMAxMA ∈∀⋅≤=

Definicija 6. Neka su X i Y normirani prostori i YXA →: . A je neprekidan operator u tački 0x ako za svako 0xx n → važi )()( 0xAxA n → .

Više o normiranim prostorima se može naći u [2].

A 3. Hilbertovi prostori

Definicija 1. Neka je X vektorski prostor nad poljem K ( RK = ili CK = ). Neka je KXX →×Φ : preslikavanje za koje zahtevamo da ima sledeće osobine:

),(),(),( zyzxzyx Φβ+Φα=β+αΦ - linearnost po prvoj promenljivoj

),(),(),( zxyxzyx Φβ+Φα=β+αΦ - antilinearnost po drugoj promenljivoj

Ovako definisano preslikavanje se naziva seskvilinearna forma. Ako je ovo preslikavanje linearno i po drugoj promenljivoj, nazivamo ga bilinearna forma.

Definicija 2. Ako je ),(),( fggf Φ=Φ , seskvilinearna forma se naziva

hermitska forma. Definicija 3. Hermitska forma Φ za koju važi da je 0),( >Φ ff za svako

Xff ∈≠ ,0 , naziva se skalarni proizvod. Prostor X u koji je uveden skalarni

proizvod naziva se unitarni prostor. Definicija 4. Hilbertov prostor je svaki Banahov prostor čija je norma indukovana nekom seskvilinearnom formom sa osobinom 0),( >Φ ff za

svako 0≠f .


56

Definicija 5. Adjungovan operator operatora A iz prostora ograničenih

operatora na Hilbertovom prostoru H je operator ∗A za koga važi:

.,, gAfgAf ∗= Pri tome važi: ∗= AA . Ako je ∗= AA onda se A naziva

samoadjungovan operator. Definicija 6. Operator A iz prostora ograničenih operatora na Hilbertovom

prostoru H naziva se pozitivnim i označava sa 0≥A , ukoliko mu je

kvadratna forma nenegativna, tj. ukoliko je .,0, HffAf ∈∀≥ Naziv strogo

pozitivan označava operatore za koje važi .0\,0, HffAf ∈∀>

Više o Hilbertovim prostorima se može naći u [2].


57

LITERATURA

[1] Aceto L., Ghelardoni P., 2009, Magherini C., BVMs for Sturm-Liouville eigenvalue estimates with general boundary conditions, JNAIAM, vol.4, no.1-2

[2] Arsenović M., Dostanić M., Jocić D., 1998, Teorija mere, funkcionalna analiza, teorija operatora, Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu

[3] Bailey, P. B., Gordon, 1978, M. K. and Shampine, L. F., Automatic solution of the Sturm-Liouville problem, ACM Trans. Math. Softw. vol. 4, pp. 193-207

[4] Bailey P. B., Garbow B. S., Kaper H. G., and Zettl A. , 1991, Eigenvalue and eigenfunction computations for Sturm-Liouville problems, ACM Trans. Math. Softw. vol. 17, pp. 491-499

[5] Bathe K. J., 1996, Finite element procedures, Prentice Hall

[6] Berghe L.V., Meyer H.D., 1991, Accurate computation of higher Sturm-Liouville eigenvalues, Numer. Math. vol. 59, pp. 243-254

[7] Berghe V. G., De Meyer H. , 1994, A finite-element estimate with trigonometric hat functions for Sturm-Liouville eigenvalues, Journal of Comp and Applied Mathematics, 53, pp. 389-396

[8] Everitt W.N., 2004, A catalogue of Sturm-Liouville differential equations, n.p.

[9] Ixaru, L. Gr., Mezer, H. De, Vanden Berghe, G., SLCPM12 – A program for solving regular Sturm-Liouville problems, 1999, Computer Physics Communications vol. 118, pp. 259-277

[10] Jovanović, B., 1984, Numerička analiza, Prirodno matematički fakultet Univerziteta u Beogradu


58

[11] Jovanović, B., Radunović, D., 1993, Numerička analiza, Matematički fakultet, Beograd

[12] Kiusalaas J., 2005, Numerical methods in engineering with MATLAB, Cambridge University Press

[13] Ledoux, V., Van Daele, M., Vanden Berghe, G. , 2005, Matslise: A Matlab package for the Numerical Solution of Sturm-Liouville and Shrödinger equations, ACM Trans. on Math. Softw., vol. 31, pp. 532-554

[14] Morton K.W., Mayers D.F., 2005, Numerical solution of partial Ddfferential equations, An introduction. Cambridge University Press

[15] Prikazchikov V.G.; Loseva M.V., 2004, High Accuracy Finite Element Method for Sturm-Liouville problem, Cyb. Syst. Analysis, vol. 40, pp. 1-6

[16] Pruess, S. and Fulton, C, 1993, Mathematical software for Sturm-Liouville problems, ACM Trans. Math. Softw. vol. 19, pp. 360-376

[17] Pryce, J. D. and Marletta, M. , 1992, Automatic solution of Sturm-Liouville problems using the Pruess method, J. Comput. Appl. Math, vol. 39, pp. 57-78

[18] Pryce J. D., 1994, Numerical Solution of Sturm-Liouville Problems, Numerical Mathematics and Scientific Computation, Oxford University Press

[19] Pryce J. D. , 1999, A test package for Sturm-Liouville solvers, ACM Trans. Math. Softw. vol. 25, pp. 21-57

[20] Schrödinger E., 1926, An Undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, Physical Review, vol. 28, no. 6, pp. 1049-1070

[21] Šćepanović, R., Knežević-Miljanović, J., Protić, Lj., 1999, Diferencijalne jednačine, Matematički fakultet, Beograd


59

[22] Sturm C., Liouville, J., 1837, Extrait d’un Mémoire sur le développment des fonctions en séries dont les différents termes sont assujettis à satisfare à une méme équation différentielle linéaire, contenant un paramètre variabe, J. Math. Pures Appl. vol. 2, pp. 220-223

[23] Süli E., 2007, Finite element methods for partial differential equations, n.p.

[24] Zettl A, 2005, Sturm-Liouville Theory, Mathematical surveys and monographs, vol. 121

[25] Zienkiewicz O.C., 2000, The finite element method, Butterworth-Heinemann

Documents

REŠAVANJE ŠTURM-LIUVILOVIH PROBLEMA KORIŠĆENJEM …