Pismeni dio ispita iz predmetaREALNA ANALIZA( Apsolventski rok )

15.03.2010.

1. Neka je (X, d) metricki prostor. Dokazati da vrijedi:

a. Presjek proizvoljne familije kompletnih podskupova od X je kom-pletan skup.

b. Unija konacno mnogo kompletnih podskupova od X je kompletanskup. Da li je unija proizvoljne familije kompletnih podskupovaod X kompletan skup? Objasniti.

2. Neka je (X, ‖ · ‖) normiran linearan vektorski prostor. X je Banachovprostor akko je svaki apsolutno konvergentan red konvergentan u X, tj.

akko konvergencija reda∑

i∈N

‖xi‖ implicira konvergenciju reda∑

i∈N

xi.

3. Neka je c = (c1, c2, ..., cn, ...) ∈ l∞ proizvoljan i fiksiran. Dokazati da jesa

Ax = (c1ξ1, c2ξ2, ..., cnξn, ...) (x = (ξi)i∈N ∈ l2)

dobro definiran neprekidan ogranicen operator A : l2 → l2.

4. Neka je preslikavanje 〈·, ·〉 : R2 → R definirano sa

〈x, y〉 =1

2(2x1y1+2x2y2+x1y2+x2y1) (x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R

2).

a. Dokazati da je 〈·, ·〉 skalarni proizvod i odrediti normu koju ondefinira.

b. Dokazati da je S = {a, b} potpun ortonormiran sistem u (R2, 〈·, ·〉),

gdje je a = (√

3

3,√

3

3), b = (1,−1).