Pismeni dio ispita iz predmetaREALNA ANALIZA( Apsolventski rok )

21.12.2009.

1. Koristeci Banachov stav o fiksnoj tacki, naci uslov pod kojim sistemn × n ima jedinstveno rjesenje u R

n.

2. Svaki kompaktan metricki prostor je:

a. kompletan

b. separabilan

c. zatvoren i ogranicen

Dokazati!

3. Neka su x = (ξi)i∈N, y = (ηi)i∈N ∈ l2. Dokazati da je sa y = Ax, pricemu je

ηi =1

3i

∞∑

k=0

1

3kξk,

definiran neprekidan linearan operator A : l2 → l2, te odrediti normuoperatora A.

4. Dokazati da je L2([a, b]) Hilbertov prostor.