RÚDSZERKEZETEK SÍKBELI KIHAJLÁSAdrjankolaszlo.uw.hu/DoktoriStabil.pdf · –Dulácska, E.: Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975 [14] Kollár, L. A mérnöki stabilitáselmélet különleges

1

S T A B I L I T Á S E L M É L E T

A M É R N Ö K I GY A K O R L A T B A N

RÚDSZERKEZETEK SÍKBELI KIHAJLÁSA

kihajlás/ P x

elágazás P = Pkr 2

Pkr f

szomszédhelyzet, y = y(x)

a kihajlott alak

lo= νl = l alaphelyzet, a (helyettesítő) az egyenes alak kihajlási hossz,

y ν =1

y

: :elsődleges egyensúlyi út

2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út

stabilis labilis

Dr. habil Jankó László egyetemi magántanár

BUDAPEST

2009

1

1

2

TARTALOM

ELŐSZÓ, BEVEZETÉS 4

I R O D A L O M 6

1. RUDAK ÁLTALÁNOS STABILITÁSELMÉLETE (röviden) 8

1.1. Alapfeltevések, alapösszefüggések 8

1.2. A másodrendű (II. rendű) elmélet 9

1.3. Energiatételek 11

1.4. Az egyensúlyi állapotok típusai 13

1.5. A különböző egyensúlyi állapotok kritériumai 15

1.6. Az egyensúlyi utak és a kritikus pontok szemléltetése 17

2. AZ EGYENSÚLYI MÓDSZER 22

2.1. Elméleti összefoglaló 22

2.2. Gyakorlati alkalmazások: kétcsuklós rúd,

vegyes peremfeltételű, egymezős rudak,

középen rugóval is megtámasztott kétcsuklós rúd,

folytonosan rugalmasan ágyazott kétcsuklós rúd

kihajlása elágazással 24

3. AZ ENERGIAMÓDSZER 34

3.1. Elméleti összefoglaló 34

3.2. Gyakorlati alkalmazások 37

3.2.1. Szimmetrikus stabilis elágazás. A rugalmasan befogott konzol

egyensúlyi útjai 37

3.2.2. Szimmetrikus labilis elágazás. Eltolódás ellen rugalmasan megtá-

masztott rúd egyensúlyi útjai 41

3.2.3. Aszimmetrikus elágazás. Eltolódás ellen ferdén rugalmasan

megtámasztott rúd egyensúlyi útjai 45

3.2.4. Határpontos stabilitásvesztés.

A háromcsuklós tartó egyensúlyi útja

(geometriailag tökéletes) 49

3

4. ELÁGAZÁSI ÖSSZEGEZÉSI TÉTELEK

(Southwell, Dunkerley, Föppl−Papkovics) 52

5. TERVEZÉSI SEGÉDLETEK 53

ÁBRÁK

4

ELŐSZÓ, BEVEZETÉS

Miért is kell a tervező mérnöknek stabilitási kérdésekkel foglalkoznia?

A stabilitási kérdések a mérnöki statika legfontosabb kérdései közé tartoznak. Alapvető

követelmény, hogy a szerkezetek bármely terhelő erőre vagy hatásra egyensúlyban

maradjanak. A legtöbb szerkezeti katasztrófát a stabilitás megszűnése idézte elő (különösen

acélszerkezeteknél). Az okok általában összetettek: az elmélet nem kellő mélységig kidolgozott

volta, tervezői gondatlanság, illetve tájékozatlanság, építési hibák, pontatlanságok stb.

A gazdaságos építkezésre való törekvés, a munkaigényesség csökkentése mellett, az építési

anyaggal való takarékosságra is vezet. Ez az igény a tartók keresztmetszeti, vastagsági

méreteinek csökkentését kívánja. Mégpedig ugyanakkor, amikor a szerkezetek támaszközei,

fő méretei mindinkább növekszenek, a tér jobb kihasználása érdekében. Ezen folyamatok

eredményeképpen, a szerkezetek karcsúságának növekedése egyre jobban előtérbe állítja a

stabilitási kérdések fontosságát.

Az építőmérnöki tudományok talán legnehezebb ága, a mérnöki stabilitáselmélet az utóbbi

évtizedekben rengeteget fejlődött. Ezt a körülményt a gyakorlati mérnökképzésnek is

figyelembe kell venni. Ebben a tankönyvben –az anyag nagy terjedelme miatt− csak

áttekintést szerettünk volna adni azokról az eredményekről, melyeket a leggyakrabban

használhatnak a tervezőmérnöki gyakorlatban.

A számítógépes módszerek rohamos elterjedése hozzásegíti a mérnököket az erőjáték egyre

pontosabb numerikus vizsgálatához. A mérnöki szemlélet azonban a numerikus módszerek

korában is elengedhetetlen.

Könyvünkben törekedtünk arra, hogy szemléletessé tegyük az elvont elméleti problémákat is,

és hogy megmutassuk a stabilitástan eredményeinek gyakorlati felhasználását is. Ez utóbbi

cél érdekében az anyag viszonylag nagyszámú konkrét tervezési segédletet is tartalmaz

(ábrák).

5

Célunk volt, hogy segítséget nyújtsunk az egyetemi hallgatóknak ahhoz, hogy célszerű,

gazdaságos, műszakilag helyes, biztonságos és szép építőmérnöki szerkezeteket

alkothassanak. Túlságosan a számításokra koncentrálva nem lehet kifogástalan szerkezeteket

létrehozni, de az ellenkező véglet sem helyes: nem elegendő elsősorban csak a tapasztalatokra

és a szerkezeti ismeretekre támaszkodni. A két különböző szemlélet közötti megfelelő arány

megtalálása esetenként nem is olyan egyszerű dolog.

Ebben a tankönyvben egyelőre csak a rudak viszonylag egyszerű, a gyakorlatban

leginkább előforduló stabilitási kérdéseivel foglalkozunk.

Budapest, 2009. október Dr. habil Jankó László

6

STABILITÁSELMÉLETI IRODALOM

[1] Bölcskei, E. – Statikusok könyve.

–Dulácska, E.: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974

[2] Column Research Handbook of structural stability.

Committee of Japan: Corona Company, Tokyo, 1971

[3] Csellár, Ö. – Vékonyfalú acélszerkezetek.

–Halász, O. –Réti, V: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1965

[4] Dulácska, E.: A rugalmas vasbetonrúd kihajlása.

Építés – Építészettudomány,

1978/1–2, 45-65.o.

[5] Dulácska, E.: Statikai kisokos.

Bertelsmann Springer, Budapest, 2001, 2004

[6] Gáspár, Zs.: A katasztrófaelmélet alkalmazása a

szerkezetek stabilitásvizsgálatában.

Kollár L. szerk.: A mérnöki stabilitáselmélet

különleges problémái. 145–256.o.

Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991

[7] Jankó, L.: „VB 86/2002” Komplex vasbeton tervezési

programcsomag. Budapest, 1986, 2002

[8] Jankó, L. – Az eltolódási rugómerevség hatása a rúd

–Nagy, Z.: kritikus terhére.

Építés–Építészettudomány,

1989/1–2, 109–123.o.

[9] Jankó, L.: Rugalmasan ágyazott rudak kihajlása.

Építés–Építészettudomány,

1991/1–2, 33–56.o.

[10] Jankó, L.: Vasbeton hídszerkezetek.

Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1998

[11] Jankó, L.: Stabilitáselmélet a mérnöki gyakorlatban.

Rúdszerkezetek. Budapest, 2006

7

[12] Kollár, L.: Keretszerkezetek és oszloprendszerek

stabilitása. BVTV Műszaki Osztály, 1972

[13] Kollár, L.– Héjak horpadása.

–Dulácska, E.: Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975

[14] Kollár, L. A mérnöki stabilitáselmélet különleges

szerkesztésében: problémái.


[15] Kollár, L.– Stabilitási kérdések.

–Halász, O. – Palotás, L. szerkesztésében:

–Iványi, M.: Mérnöki kézikönyv, 2. kötet, 281.–323.o.

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984

[16] Korányi, I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban.

Kihajlás a síkban.


[17] Massányi, T. – Statikusok könyve.

–Dulácska,E.: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1989

[18] Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen.

Vieweg u. Sohn, Braunschweig–Wiesbaden,

1982

[19] Pflüger, A.: Stabilitätsprobleme der Elastostatik.

Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg–

–New York, 1975

[20] Thompson, J.M.T. – A general theory of elastic stability.

–Hunt, G.W.: J. Whiley, London–New York–Toronto,

1973

[21] Timoshenko, S.P. – Theory of elastic stability.

–Gere,J.M.: McGraw–Hill, New York–Toronto–London,

1961

[22] Wlassow, W.S.: Dünnwandige elastische Stäbe.

VEB Verlag, Berlin, 1964

8

1. RUDAK ÁLTALÁNOS STABILITÁSELMÉLETE (röviden)

1.1. Alapfeltevések, alapösszefüggések

Tekintsünk egy olyan síkbeli rudat, mely

•homogén (azonos fizikai tulajdonságok minden pontban),

•izotrop (minden irányban azonos fizikai tulajdonságok),

•lineárisan rugalmas anyagú (Hooke-törvény),

•állandó keresztmetszetű,

•geometriailag tökéletes (egyenes).

Feltételezzük, hogy a rudak anyaga korlátlanul lineárisan rugalmas, továbbá korlátlanul

szilárd és nyúlóképes: 1.1. ábra, Hooke-törvény. Ilyen anyag a valóságban nincs, de

feltételezhetjük, hogy a vizsgált jelenség olyan határok között játszódik le, hogy a létrejövő

alakváltozások során az ezekből az anyagtani feltételezésekből származó hiba

elhanyagolhatóan kicsi. Acélszerkezetek esetében az arányossági határ alatt az anyag jó

közelítéssel így viselkedik.

A vasbeton tulajdonságokkal (berepedés, képlékenység, kúszás) a [10]-ben foglalkoztunk.

A geometriai tökéletlenségek, más kifejezéssel kezdeti külpontosságok hatását is

figyelembe vesszük a későbbiekben.

Az alkalmazott geometriai közelítések csak a viszonylag kis alakváltozások tartományában

kielégítően pontosak. L. az 1.2. pontot.

Feltételezzük továbbá, hogy a rúdra ható külső erők konzervatívak, vagyis potenciálosak,

ami azt jelenti, hogy létezik egy olyan Π függvény, amelyre vonatkozóan

∂Π/∂Pi = −ui és ∂Π/∂ui = −Pi , (Ia,b)

ahol ui a Pi erő támadáspontjának Pi irányú eltolódása.

A potenciális energia állandó értékűségének tétele − l. 1.3. pont − csakis konzervatív erők

esetében érvényes. A nehézségi erő potenciálos, tehát konzervatív. A mérnöki

gyakorlatban ritkán fordul elő olyan erő, amelyik nem konzervatív. Nem konzervatív az

erő, ha működése közben megváltoztatja az irányát. Mi csak konzervatív erőkkel

foglalkozunk.

Az 1.2. ábrán feltüntettük az elemi rugalmasságtan legfontosabb alapösszefüggéseit. A

továbbiak során ezek ismeretét feltételezzük.

L. még a 2.1. pontbeli közelítéseket.

9

1.2. A másodrendű (II. rendű) elmélet

Statikai vizsgálatainkat az elsőrendű (I.), a másodrendű (II.), vagy a harmadrendű (III.)

elmélet szerint végezhetjük. A tartók statikája tárgy keretében elsőrendű (I. rendű)

elméletet alkalmazunk, melynek jellemzője, hogy az erőjáték meghatározása során a

szilárd testet merevnek tekintjük: a megmerevítés elve.

A deformálatlan, változatlan tartóalakra írunk fel minden összefüggést, nevezetesen az

egyensúlyi és az összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket, melyek ezen elméletnél

lineárisak, vagyis az y elmozdulásnak, illetve deriváltjainak csak az 1. hatványait

tartalmazzák. A linearitás miatt érvényes a szuperpozíció (egymásrahalmozás), azaz a

különböző hatásokból származó igénybevételek és alakváltozások

egymásrahalmozhatóságának az elve. Ennek megfelelően íly módon csak a nagyon kis

elmozdulások tartományában kaphatunk jó eredményeket.

Az elsőrendű elmélet keretében érvényes Kirchhoff tétele: „Az egyensúlyi problémáknak

csak egy megoldásuk van.”. Ez azt jelenti, hogy a testre ható egyensúlyi erőrendszernek

egyetlenegy, meghatározott egyensúlyi helyzet (tartóalak) felel meg. Stabilitási

jelenségeknél ez nem így van, stabilitási vizsgálatokat ezért elsőrendű elmélettel nem

végezhetünk.

A nagyobb alakváltozások tartományában, az előzőtől alapvetően eltérő módon, a

másodrendű (II. rendű) elmélet keretében az alakváltozásokkal módosított megváltozott

tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket.

Az alkalmazott

sinΘ ≈ Θ, cosΘ ≈ 1,

≈ ± y'' (IIa-c)

geometriai közelítések miatt a geometriai egyenletek lineárisak. Az R görbületi sugarat és az

y lehajlást/eltolódást és deriváltjait l. még az 1.2. ábrán. Ezek a közelítések csak a

viszonylag kis alakváltozások tartományában kielégítően pontosak. Az elmélet attól

másodrendű, hogy az egyensúlyi egyenletek tartalmazzák az alakváltozásokat is, így a

végeredményként kapott összefüggések nemlineárisak lesznek.

A teher – elmozdulás függvényt, azaz a P – y függvényt, egyensúlyi útnak (1.6. –

1.11. ábra) nevezzük. Másodrendű elmélettel jó közelítéssel le lehet írni a másodlagos vagy

posztkritikus egyensúlyi út kezdeti szakaszát.

A kezdeti posztkritikus szakasz kiindulópontja a Pkr,l ún. lineáris kritikus terhet ábrázoló

pont. Azért nevezzük lineárisnak(l) ezt a fajta kritikus terhet, mert a feladat egyensúlyi

módszerrel történő megoldása során az y kihajlási alaknak és a deriváltjainak csak az

1. hatványát vesszük figyelembe. Pl. a 2.2.1. pontban szereplő (1) differenciálegyenlet olyan

egyensúlyi egyenlet, mely magában foglalja az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet is. Az

(1) egyenlet a mondottak értelmében lineáris.

10

A differenciálegyenlet általános megoldása után (melyben ismeretlen állandók szerepelnek), a

sajátfüggvények általános alakjának ismeretében, a számunkra szükséges legkisebb kritikus

terhet, azaz a legkisebb sajátértéket a kerületi feltételek felírása révén kapott mátrix

szingularitásának feltétele szolgáltatja (a kihajlási determináns zérusértékűsége). L. később a 2.

pontban.

Ezt a terhet elágazási kritikus tehernek is nevezzük, mert az egyensúly ebben a pontban

elágazik: a kritikus pontban egyensúly lehetséges az eredeti (egyenes) alakon kívül egy

szomszédos, kihajlott (kigörbült) alakban is. A későbbiekben szemléltetni fogjuk a

lineáris/elágazási kritikus terhet számító eljárásokat.

Az 1.6. ábra 2 -vel jelzett másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi útjait

harmadrendű (III. rendű) elmélettel lehet előállítani. A teljes egyensúlyi utat pontosan

csak a szabatos harmadrendű elmélettel lehet leírni. Ez esetben semmilyen geometriai

közelítést nem alkalmazunk, így ezzel az elmélettel a tetszőlegesen nagy alakváltozások

tartományára érvényes eljárásokat lehet kidolgozni.

Ezeknél mind az összeférhetőségi (geometriai), mind az egyensúlyi egyenletek

nemlineárisak. Régebben ez súlyos matematikai nehézségekkel járt, ma a modern

numerikus módszerekkel dolgozó gépi számítási eljárások segítségével az ilyen jellegű

feladatok is megoldhatók.

Megjegyezzük, hogy a harmadrendű elméletet szokás nemlineáris elméletnek is nevezni,

illetve a korlátozottan nagy alakváltozások tartományában érvényes másodrendű

elméletet is hívják nemlineárisnak. Ezen elméletek az y kihajlási alak deriváltjai

hatványsoraiból bizonyos számú nemlineáris (2. fokú, 3. fokú, stb.) tagot vonnak be a

számításba. A közelítés annál pontosabb, minél több nemlineáris tagot veszünk

figyelembe.

Az ábrán bemutatott viszonylag egyszerű esetekben a megoldás analitikus módszerekkel,

zárt alakban megkapható.

11

1.3. Energiatételek

A tartó alakja megváltozásának másodrendű (II. rendű) hatását figyelembe véve érvényét

veszti az elsőrendű (I. rendű) elmélet keretében érvényes szuperpozíció (egymásra

halmozás) elve, mert az lineáris összefüggéseken alapszik.

A szuperpozíció elvével együtt érvényét veszti Betti tétele (

), Maxwell [ f12, 𝛈(fK) ] tétele, Kossalka tétele [𝛈(MK)], Castigliano tételei stb. A kihajlás megindulásakor

helytelenné válik a külső saját munkára felírt Clapeyron-féle képlet is:

Lk =

Pu,

mert ez feltételezte a P erő és az u eltolódás közti lineáris összefüggést (ezért van az 1/2

szorzó, mely az ún. idegen munkánál nincs). Érvényben marad azonban természetesen a

képlet lényege, mely szerint az Lk külső munka egyenlő az erővektornak és az erő

támadáspontja eltolódásvektorának a skaláris szorzatával. Tehát

u

Lk =∫ Pdu. (III)

0

Ugyanakkor az elsőrendű (I. rendű) elmélet szerinti statikában alkalmazott tételek közül

érvényben marad az energiatétel és a virtuális munka tétele.

1.3.1. Az energiatétel

Az energiatétel tulajdonképpen az energia megmaradása elvének alkalmazása statikai és

szilárdságtani problémákra, s lényegében azonos az elsőrendű (I. rendű) statikából ismert

Clapeyron-féle munkaegyenlettel, mely szerint a külső erők Lk saját munkája egyenlő a

belső erők Lb saját munkájával (Lk = Lb ).

A rendszer teljes potenciális energiája:

Π = Πb + Πk (IV) ahol

Πb = Lb és Πk = −Lk . Az energiatétel szerint

dΠb = dLk . (V)

Az energiatétel kimondja, hogy a rendszer (tartó) Πb belső potenciális energiájának

változása (d) egyenlő a külső erők Lk munkájának a változásával (d).

Ez lényegében a Clapeyron-féle munkatételnek más alakban való kifejezése.

12

1.3.2. A virtuális elmozdulások tétele

A latin virtuális szó jelentései: 1. látszólagos, elképzelt, nem valódi 2. lehetséges,

lehetőségként létező. A tétel a 2. értelmét használja.

Virtuális elmozdulások alatt a támaszfeltételekkel/kerületi feltételekkel (kényszerekkel) és

a folytonossági feltételekkel összeférő, de egyébként tetszőleges és végtelenül kicsiny

elmozdulásokat értünk. A virtuális elmozdulás útján létrehozott új tartóalaknak nem is kell

egyeznie a tartóra ható erőrendszerből származó alakkal, csak geometriailag

lehetséges (virtuális) legyen, vagyis elégítse ki a támaszfeltételeket, az ún. kerületi

feltételeket, mégpedig úgy, hogy a test folytonos összefüggése mindenütt megmaradjon.

A virtuális elmozdulások tétele ( Bernoulli 1717 és Lagrange 1788):

Az erők egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele az, hogy az erők virtuális

munkájának összege, tetszőleges virtuális elmozdulás esetében zérus legyen.

Megjegyezzük, hogy ezt a tételt szokás a virtuális munka tételének is nevezni. Virtuális

munka alatt mindig valóságos erő és virtuális eltolódás szorzatát értjük.

Tételezzük fel, hogy a P erőkkel terhelt tartó alakváltozása már lezajlott s így az

egyensúlyi alakja/helyzete adott: 1.3. ábra. A tartónak ezt az alakját alaphelyzetnek

nevezzük. A központosan nyomott rúdnak lehetséges egyensúlyi alakja az egyenes. Ezután

vigyük a tartóalakot virtuális elmozdulással egy végtelen közeli ún. szomszédhelyzetbe. A

szomszédhelyzet tulajdonképpen a kihajlott alak.

A variációszámítás alapfogalmait és elnevezéseit alkalmazva ezt a műveletet a

tartóalak variálásának nevezzük. Ezért alkalmazzuk a virtuális elmozdulások és

alakváltozások jelölésére a variáció δ jelét. A tartóalak variációi geometriai szemlélettel

egy görbe-sereget jelentenek, melyet a kihajlott alak egyensúlyát kifejező

differenciálegyenlet (l. később) ad meg.

Kritikus (indifferens=közömbös, 1.4. pont) az egyensúly annak az erőnek a hatására,

amelyik mellett az egyenes alakon kívül van kihajlott egyensúlyi alak is.

Megköveteljük, hogy a virtuális elmozdulások (u) olyan kicsinyek legyenek, hogy

négyzetük elhanyagolható legyen (1 mellett), s így helyettesíthetők legyenek hatványsoruk

első tagjával, az ún. első variációval (δu). A hatványsor második tagja az állandó szorzó

elhagyásával a második variáció (δ2u). A variációkkal 1 változó esetében úgy

dolgozhatunk, mint differenciálokkal (v.ö. 1.5. ábra).

13

1.3.3. A potenciális energia állandó értékűségének tétele

Ez a tétel az egyensúly szükséges és elégséges feltételének energetikai megfogalmazása.

A rendszer Π teljes potenciális energiája a belső(b) és a külső(k) potenciális energia

összege (l. (IV) ):

Π = Πb + Πk.

Ennek első variációja a tétel szerint zérus:

δΠ = δΠb + δΠk = 0. (VI)

Ez azt jelenti, hogy a virtuális elmozdulás közben a Π potenciális energia értéke

változatlan.

A potenciális energia állandó értékűségének tétele:

Egyensúlyban lévő erők hatására kialakult tartóalak variálása közben a teljes

potenciális energia értéke állandó (stacioner).

Ez úgy is megfogalmazható, hogy egyensúly esetén a Π függvénynek szélsőértéke van.

Ha ez a szélsőérték minimum, akkor az egyensúlyi helyzet stabilis, ha a szélsőérték

maximum, akkor az egyensúlyi helyzet labilis. L. az 1.4. pontot.

Stabilis egyensúlyi állapot esetén a potenciális energia minimumának tételéről

beszélünk.

1.4. Az egyensúlyi állapotok típusai

Amennyiben a test a rá ható erőrendszer hatására nyugalomban marad, akkor azt mondjuk,

hogy a test egyensúlyban van. Többféle egyensúlyi állapot lehetséges, ezeket a

nyugalomban lévő G súlyú golyó különböző állapotával/helyzetével lehet a legjobban

szemléltetni: 1.4. ábra.

Nézzük először azt az a) – c) esetet, amikor a golyót tartó felület görbülete minden

irányban azonos értelmű. A golyó egyensúlyi állapotának/helyzetének 3 fajtája van:

a) stabilis (biztos). Ekkor a golyó a felülről homorú (konkáv) felület legmélyebb pontján

helyezkedik el. Ha innen kimozdítjuk, akkor a G nehézségi erő hatására visszatér oda.

Ennek az az oka, hogy a legmélyebb pontban a legkisebb a golyó Π potenciális

energiája. Megjegyezzük, hogy a potenciális energiát potenciálnak is szoktuk nevezni.

A potenciál az a függvény, melynek parciális differenciálhányadosai a ható erő x,y és z

irányú összetevőit adják (v.ö. Ia,b).

14

b) kritikus (indifferens = közömbös). Ez esetben a golyó vízszintes síkon nyugszik. A G

nehézségi erő hatására eredeti helyzetének közelében a síkon bárhol nyugalomban marad,

mert a vizsgált kis környezetben állandó a golyó Π potenciális energiája.

c) labilis (bizonytalan, ingatag, dőlékeny). Ekkor a golyó a felülről domború (konvex) felület

legmagasabb pontján helyezkedik el. Ha innen kimozdítjuk, akkor nem tér vissza az eredeti

helyzetébe, hanem a G nehézségi erő hatására legurul. Ennek az az oka, hogy a

legmagasabb pontban a legnagyobb a golyó Π potenciális energiája.

A Π potenciális energiának az 1.4.a)–c) ábrán jelzett értéktípusai (minimum, állandó,

maximum) nem jelentik egyben a megfelelő egyensúlyi helyzet szükséges és elégséges

feltételét. További vizsgálatok szükségesek.

Az 1.4.d)−g) ábrán a golyót tartó felület görbülete irányonként eltérő értelmű. A

d) ábrán a golyó vízszintes alkotójú hengerfelületen nyugszik. Az egyensúlyi helyzet x

irányban kritikus (indifferens = közömbös), y irányban labilis. Ezért ez végeredményben

labilis egyensúlyi helyzet. Az e) ábrán látható golyó helyzete x irányban stabilis, az y

irányban labilis. Ez is labilis egyensúlyi helyzet, bár a potenciális energia nem maximum.

Az f) ábrán a potenciális energia maximum ugyan, de minthogy a maximum környékén

van egy kis állandó potenciális energiájú szakasz, az egyensúlyi helyzet ezen szakasz

belsejében kritikus (indifferens = közömbös). A szakasz szélétől kezdve az egyensúlyi

helyzet labilis.

Látható tehát, hogy a stabilis egyensúlyi helyzetnek a potenciális energia minimum volta

szükséges, de nem elégséges feltétele. Ugyanakkor a labilis egyensúlyi helyzetnek a

potenciális energia maximum volta sem nem szükséges feltétele (az e) ábrán nincs

maximum, az egyensúly mégis labilis), sem nem elégséges feltétele (az f) ábrán maximum

van, de az egyensúly mégsem labilis a szakasz belsejében).

A g) ábrán a golyó egyensúlyi helyzete kritikus (indifferens = közömbös), mert az x

irányban kritikus, annak ellenére, hogy az y irányban stabilis. Itt a kritikus egyensúlyi

helyzet létezéséhez tehát elegendő volt egy olyan irány (x), amely mentén az egyensúly

helyzet kritikus, mert a többi irány egyikében sincs labilis egyensúly.

Ezzel szemben a d) ábrán a golyó egyensúlyi helyzete labilis.

A kritikus (indifferens = közömbös) egyensúlyi állapotnak szükséges és elégséges feltétele

az, hogy létezzen legalább egy olyan irány, amelynek mentén a golyó az alaphelyzet

szomszédságában is nyugalomban marad, és egyensúlya egyetlen irányban sem labilis.

15

A fenti golyó analógia alapján megfogalmazhatjuk a mérnöki szerkezetek egyensúlyának

alapvető típusait:

a) Stabilisnak (biztosnak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű

zavarással (elmozdulással ) kimozdítva a szerkezet visszatér az eredeti állapotába,

mert az eredeti helyzetben a legkisebb a rendszer potenciális energiája. A

tervezőmérnökök számára nyilvánvalóan a stabilis egyensúlyi helyzet a

legfontosabb, mert csak stabilis egyensúlyi állapotban tudjuk a szerkezeteket

használni.

b) Kritikusnak (indifferensnek = közömbösnek) nevezzük az egyensúlyi helyzetet,

ha a kismértékű zavarás után az eredeti egyensúlyi helyzet szomszédságában ismét

nyugalmi helyzet áll elő, azaz –változatlan tehernagyság mellett is– létezik egy

második egyensúlyi helyzet is. Az egyensúlyi helyzet kis környezetében a

rendszer potenciális energiája állandó. A b) eset tulajdonképpen az a) és a c) eset

közti átmeneti állapotot jellemzi. Megjegyezzük, hogy a régebbi szakirodalom az

indifferens szót használta, a modern stabilitáselméletben a kritikus szót használják.

c) Labilisnak (bizonytalannak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha a kismértékű

zavarás hatására a szerkezet nem tér vissza az eredeti állapotába, mert az eredeti

helyzetben a legnagyobb a rendszer potenciális energiája.

1.5. A különböző egyensúlyi állapotok kritériumai

Az 1.3.3. pontban megadtuk, hogy általában mi az egyensúly szükséges és elégséges

feltétele (δΠ = 0 = (VI)). Kérdés, hogy ez az egyensúly milyen típusú: stabilis,

kritikus (indifferens) vagy labilis?

Jelölje az alaphelyzetet o index, a szomszédhelyzetet I index. Az alaphelyzetből a

szomszédhelyzetbe való átmenet során kialakuló potenciális energia−változás felírható

Taylor-sorba fejtéssel (egyváltozós potenciál):

ΠI − Πo = ΔΠo = δΠo + 1/2!δ2Πo +1/3!δ

3Πo +… (VII)

Abból indulunk ki, hogy az alaphelyzetben egyensúly van, tehát δΠo = 0. Ennek alapján a

növekmény így írható fel, ha az igen kicsiny 3. variációt (és a magasabb variációkat)

elhanyagoljuk:

ΔΠo ≈ 1/2δ2Πo. (VIII)

Azt kaptuk tehát, hogy az egyensúlyi állapot jellegét a Πo potenciális energia δ2Πo

2. variációja szabja meg.

16

Egyváltozós potenciálú erők esetén tehát a különböző típusú egyensúlyok szükséges és

elégséges feltételei:

Ha δ2Πo > 0 (Lk< Lb), akkor Πo minimum: stabilis az egyensúlyi

állapot/helyzet.

Ha δ2Πo = 0 (Lk = Lb), akkor Πo állandó: kritikus (indifferens) az

egyensúlyi állapot/helyzet.

Ha δ2Πo < 0 (Lk>Lb), akkor Πo maximum: labilis az egyensúlyi

állapot/helyzet.

Emlékeztetünk az 1.4.e) ábrára, amely szerint a golyó labilis egyensúlyi

állapotának/helyzetének kialakulásához elég, ha egyetlen olyan irány van, amely mentén az

egyensúlyi állapot/helyzet labilis.

Az 1.4.g) ábra szerint a golyó kritikus (indifferens) egyensúlyi állapotának/helyzetének

kialakulásához elég, ha egyetlen olyan irány van, melynek mentén az egyensúly

kritikus (indifferens), és egyensúlya egyetlen irányban sem labilis.

Tartóalakra áttérve megfogalmazhatjuk a kritikus (indifferens) állapot szükséges és elégséges

feltételét általában (többváltozós potenciál esetére):

Az egyensúlyi állapot kritikus (indifferens=közömbös), ha az egyensúlyban lévő erők

hatására létrejött alaphelyzetbeli tartóalaknak lehetséges legalább egy olyan

variációja/szomszédhelyzete, amelynek végrehajtása után az egyensúly, a rendszer

terhelő erőinek megváltoztatása nélkül megmarad, és nem lehetséges egyetlen olyan

variációja sem, amelynek végrehajtása után a tartó labilis állapotba jut.

Az alaphelyzet (o) egyensúlya a δΠo = 0 egyenlettel fogalmazható meg, míg a

szomszédhelyzet (I) egyensúlyát a δΠI = 0 egyenlet írja le. Felírható tehát, hogy a

szomszédhelyzet potenciális energiáját az alábbi Taylor-sor adja meg:

ΠI = Πo + δΠo + 1/2! δ2Πo +1/3! δ

3Πo +…= Πo +1/2!δ

2Πo +1/3!δ

3Πo

+… Továbbá

δΠI = δΠo + δ(1/2!δ2Πo) + δ(1/3!δ

3Πo ) +… = 0,

δ ΠI ≈ δ(1/2!δ2Πo) = 0,

és

δ(δ2Πo') = 0. (IX)

A (IX) egyenlet azt fejezi ki, hogy kritikus (indifferens=közömbös) az egyensúly, ha van a

potenciális energiának legalább egy olyan különleges ( ' ) 2. variációja, melynek minden

(első) variációja 0, tehát a δ2Πo' = 0 variáció egyúttal minimum is.

17

Könyvünkben főleg síkbeli stabilitási kérdésekkel foglalkozunk, ezért ekkor a

kritikus (indifferens=közömbös) egyensúlyi állapot feltételeként elegendő a

δ2Πo = 0 (X)

követelményt felállítani.

Stabilis egyensúlyi helyzet esetén a potenciális energia minden 2. variációja pozitív, tehát

δ2Πo > 0 .

Labilis az egyensúlyi helyzet, ha van a potenciális energiának legalább egy ( ' ) negatív

2. variációja, tehát

δ2Πo' < 0 .

Megállapítható tehát, hogy a kritikus (indifferens=közömbös) egyensúly kritériumát

kifejezhetjük a szomszédhelyzet egyensúlyára vagy a potenciális energia 2. variációjára

vonatkozó követelménnyel. Ennek megfelelően a stabilitási kérdések megoldására két fő

módszer alakult ki:

■ az egyensúlyi módszer (2. FEJEZET), és

■ az energiamódszer (3. FEJEZET).

Egyensúlyi módszerrel a szerkezetek Pkr,l elágazási kritikus terheit fogjuk meghatározni.

Energiamódszerrel ezeken kívül a teljes egyensúlyi utat is leírjuk.

1.6. Az egyensúlyi utak és a kritikus pontok szemléltetése

A stabilitási kérdések a mérnöki statika legfontosabb kérdései közé tartoznak. Alapvető

követelmény, hogy a szerkezetek bármely terhelő erőre vagy hatásra egyensúlyban

maradjanak. Nem elegendő azt megállapítani, hogy a szerkezet egyensúlyban van, hanem azt

is ki kell mutatni, hogy az egyensúly típusa milyen.

Egyváltozós (Θ) potenciálú rendszerekre készítettük az 1.5. ábrát, amely összefoglalja az

egyensúly típusának meghatározását a Π potenciális energia segítségével. Amint az

1.3.2. pontban már említettük, a variációkkal úgy dolgozhatunk, mint differenciálokkal, ezért

ezen az ábrán közönséges differenciálhányadosokkal dolgozunk. A differenciálhányadosokra

egyszerűbb jelölést használunk, pl. δΠ→dΠ/dΘ = ΠΘ. A δΠ→ΠΘ és a δ2Π→ΠΘΘ

mennyiséget az eddigiekben részletesen elemeztük.

A kritikus (indifferens=közömbös) állapot ΠΘΘ = 0 feltétele az ábrán 3 alesetre bomlik:

szimmetrikus elágazás, aszimmetrikus elágazás és elágazás nélküli ún. határpontos

stabilitásvesztés. Ezeket az 1.6.−1.11. ábrákon szemléltettük. Az, hogy

kritikus (indifferens=közömbös) állapotban melyik aleset jön létre, a magasabbrendű ΠΘΘΘ és

ΠΘΘΘΘ differenciálhányadosok felhasználásával dönthető el. A későbbiekben példákat

mutatunk be erre.

18

Az 1.6./I. és az 1.6./II. ábrán jellegzetes egyensúlyi utakat és kritikus pontokat

mutatunk be. A teher – elmozdulás függvényt, azaz a P – y függvényt, a modern

stabilitáselméletben egyensúlyi útnak nevezzük. Az előzőekben tárgyaltuk az elágazási

stabilitásvesztésnél létrejövő kritikus (indifferens=közömbös) pontokat.

Figyelem! Az 1.6. d) ábrán olyan kritikus pontot mutatunk be, amelyik nem elágazás

révén jön létre: ez az ún. határpont (Pkr,h). L. itt később.

A kritikus egyensúlyi helyzetben az egyensúly elágazik, és az egyensúlyi utat is két

csatlakozó görbe ábrázolja: az 1 jelű elsődleges, és a Pkr,l kritikus pontban hozzá

csatlakozó 2 jelű másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út. Az egyensúly elágazása azt

jelenti, hogy a kritikus pontban egyensúly lehetséges az eredeti egyenes alakon kívül egy

szomszédos, kihajlott (kigörbült) alakban is. Az egyenes alaphelyzetből (1.3. ábra) való

elágazás feltétele az, hogy az egyensúlyban lévő erők hatására létrejött alaphelyzetbeli

egyenes tartóalaknak legyen legalább egy olyan szomszédhelyzete, variációja (kismértékű

megváltoztatása: a meggörbült, kihajlott tartóalak), melynek végrehajtása után az egyensúly a

rendszer erőinek megváltoztatása nélkül megmarad és nem lehetséges egyetlen olyan

variációja sem, melynek végrehajtása után a tartó labilis állapotba jut.

Az 1.6./I. és az 1.6./II. ábrán szemléltetjük, hogy az egyensúlyi helyzet elágazása lehet

szimmetrikus és aszimmetrikus. A szimmetrikus elágazás stabilis vagy labilis. A

Pkr,l −lel jelölt kritikus pontokat szimmetrikus stabilis, szimmetrikus labilis és

aszimmetrikus elágazási pontoknak hívjuk.

Az 1.6./I.a) ábrán láthatjuk a szimmetrikus stabilis elágazást.

A szimmetrikus stabilis típusú elágazással bíró szerkezetek a legkedvezőbbek a mérnöki

alkalmazás szempontjából, hiszen kihajlás után a teherbírásuk növekszik. Ugyanakkor

gondolni kell arra, hogy ez olyan nagymértékű alakváltozások árán jöhet létre, amely a

teherbírás-növekmény kihasználását korlátozza. Pl. hídszerkezeteknél sem engedhetjük meg,

hogy a szerkezet nagy alakváltozásos posztkritikus állapotba kerüljön. Azt azonban a

biztonság szintjének helyes megítélése érdekében mindenképpen tudnunk kell, hogy milyen

a posztkritikus diagram jellege, tehát, hogy eső-e, vagy emelkedő. A vasbetonnak megfelelő

reális anyagtulajdonságokat (berepedés, képlékenység, kúszás) is figyelembevevő vizsgálatokra

a [11] −ben tértünk ki.

Vizsgáljuk meg kissé részletesebben az 1.6./I.a) ábrán vázolt, geometriailag tökéletesnek,

azaz yk kezdeti alakhibáktól, görbeségektől, külpontosságoktól mentesnek tekintett ( yk = 0)

kétcsuklós rúd 1 – 2 egyensúlyi útját. A P < Pkr,l tartományban a teher fokozatos

növelésével a stabilisen viselkedő rúd alakja egyenes marad. A P = Pkr,l tehernél az

alaphelyzetbeli egyenes tartóalak végtelenül kis elmozdulások révén az ábra szerinti kihajlott

alakba megy át: szimmetrikus stabilis elágazás. A kihajlott alakban az y(z)

kihajlásfüggvény y amplitudója tetszőlegesen kicsiny, határozatlan mennyiség. A

2 posztkritikus teherbírás emelkedő jellegű.

A P > Pkr,l tartományban egyenes alakkal csak labilis lehet az egyensúly (ezt a függőleges

tengelyen a vastag szaggatott vonal ábrázolja). A kihajlott (kigörbült) rúdalak stabilis egyensúlyi

alak: a 2 jelű másodlagos (posztkritikus) görbe. Az 1 – 2 egyensúlyi útról mondottak

19

kizárólag geometriailag tökéletes, azaz mindenféle kezdeti alakhibától, hullámosságtól vagy

külpontosságtól mentes ( yk = 0) ideális esetekre érvényesek.

A gyakorlatban azonban a szerkezeteknek yk geometriai tökéletlenségeik vannak, ami azt

eredményezi, hogy a tárgyalt ábra diagramjainak a jellege megváltozik. Elágazás nem jön

létre, a vékony vonallal jelzett görbék – melyek a geometriailag tökéletlen szerkezet egyensúlyi

útjai – a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjaihoz aszimptotikusan közelednek.

Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak stabilisek.

Az egyensúlyi utak Pm minimum pontjait az yk kezdeti külpontosságok (amplitudók)

függvényében ábrázolva kapnánk a tökéletlenség-érzékenységi diagramot. Jelen szimmetrikus

stabilis elágazásnál ez a diagram nem létezik, az ilyen szerkezetek kevéssé érzékenyek a

tökéletlenségekre.

Az 1.7. ábrán a szimmetrikus stabilis elágazásról mondottakat tovább szemléltetjük. A

jellegzetes elmozdulás itt a Θ támaszponti szögelfordulás (y = Θl ). Érdekességként

feltüntettük az egyensúlyi utat abban az esetben is, ha a független változó a P erőnek az f

eltolódása. Tulajdonképpen egy térgörbe két síkbeli vetületét ábrázoltuk.

Az 1.10.a) ábrán a szimmetrikus stabilis elágazást energetikailag szemléltetjük.

Emlékeztetünk az 1.5. pontra és az 1.5. ábrára, melyek szerint stabilis egyensúlyi helyzet

esetén ΠΘΘ > 0, labilis egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ < 0, és kritikus/indifferens egyensúlyi

helyzetnél ΠΘΘ = 0 ( l. a (X) összefüggésnél írtakat). Az ábrán feltüntettük az ún. stacionárius

pontokat is, tehát amelyeknél vízszintes az érintő: minimum pont (stabilis), maximum

pont (labilis), állandó érték (kritikus). A 3 különböző Π görbe a P teher 3 különböző

szintjéhez tartozik, nevezetesen: Ps < Pkr,l < Pl.

Térjünk át az 1.6./I.b) ábrára, melyen a szimmetrikus labilis elágazás jellegzetes eseteit

láthatjuk. Az 1.6./I.a) ábrával szemben itt a 2 másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi útág

pontjai labilis egyensúlyi helyzeteket ábrázolnak, azaz a görbe eső jellegű. Az 1 – 2

diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak egyik részén stabilis, a

másik részén labilis az egyensúly.

A geometriailag tökéletlen szerkezet Pm maximális egyensúlyozható terheit a megfelelő yk

tökéletlenségi amplitudó függvényében ábrázolva olyan jellegű Pm − yk tökéletlenség-

érzékenységi diagramot kapunk, amelyik világosan mutatja, hogy a szerkezet érzékeny

geometriai tökéletlenségekre, azaz viszonylag kis alakhibák jelentősen lecsökkenthetik a

stabilitási teherbírást. Az ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő óvatossággal kell

eljárni, megfelelő mértékű biztonsági tényezőt kell alkalmazni.

Az 1.8. ábrán a szimmetrikus labilis elágazásról mondottakat tovább szemléltetjük. A

jellegzetes elmozdulás itt is a Θ támaszponti szögelfordulás (y = Θl ). Érdekességként

feltüntettük az egyensúlyi utat abban az esetben is, ha a független változó a P erőnek az f

eltolódása. Tulajdonképpen egy térgörbe két síkbeli vetületét ábrázoltuk.

Az 1.10.b) ábrán a szimmetrikus labilis elágazást energetikailag szemléltetjük.

Emlékeztetünk az 1.5. pontra és az 1.5. ábrára, melyek szerint stabilis egyensúlyi helyzet

esetén ΠΘΘ > 0, labilis egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ < 0, és kritikus/indifferens egyensúlyi

helyzetnél ΠΘΘ = 0 ( l. a (X) összefüggésnél írtakat). Az ábrán feltüntettük az ún. stacionárius

pontokat is, tehát amelyeknél vízszintes az érintő: minimum pont (stabilis), maximum

20

pont (labilis), állandó érték (kritikus). A 3 különböző Π görbe a P teher 3 különböző

szintjéhez tartozik, nevezetesen: Ps < Pkr,l < Pl.

Az 1.6./II.c) ábrának az az érdekessége, hogy az elágazás aszimmetrikus jellegű.

A ferde rugóval megtámasztott rúd esetében, ha a rúd az ábrán vázolt irányban mozdul el,

akkor csökken a teherbírás, tehát ez az ág labilis. Ellenkező esetben pedig növekszik, vagyis

az az ág stabilis.

Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak egyik részén

stabilis, illetve labilis az egyensúly. A másik részen stabilis az egyensúly.

A Pm − yk tökéletlenség-érzékenységi diagram rohamosan eső jellege jól mutatja az ilyen

típusú szerkezetek igen nagy érzékenységét a kezdeti görbeségek, tökéletlenségek iránt. Az

ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő óvatossággal kell eljárni, megfelelő mértékű

biztonsági tényezőt kell alkalmazni.

Az 1.9.ábrán az aszimmetrikus elágazást tovább részletezzük. A jellegzetes elmozdulás itt is

a Θ támaszponti szögelfordulás (y = Θl ). Érdekességként feltüntettük az egyensúlyi utat

abban az esetben is, ha a független változó a P erőnek az f eltolódása. Tulajdonképpen egy

térgörbe két síkbeli vetületét ábrázoltuk.

Az 1.10.c) ábrán az aszimmetrikus elágazást energetikailag szemléltetjük. Emlékeztetünk

az 1.5. pontra és az 1.5. ábrára, melyek szerint stabilis egyensúlyi helyzet esetén ΠΘΘ > 0,

labilis egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ < 0, és kritikus/indifferens egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ = 0

( l. a (X) összefüggésnél írtakat). Az ábrán feltüntettük az ún. stacionárius pontokat is, tehát

amelyeknél vízszintes az érintő: minimum pont (stabilis), maximum pont

(labilis), állandó érték (kritikus). A 3 különböző Π görbe a P teher 3 különböző szintjéhez

tartozik, nevezetesen: Ps < Pkr,l < Pl.

Az 1.6./II.d) ábrán az előzőektől alapvetően eltérő, ún. határpontos stabilitásvesztést

mutatjuk be (stabilitásvesztés határponttal; átpattanás). A Pkr,h átpattanási (vagy felső) kritikus

tehernek megfelelő határpont (h) szintén stabilis és labilis ágakat választ szét, de ez nem

elágazási jelenség, nem sajátértékfeladat. A folyamat fizikai lényege az, hogy a szerkezet

belső ellenállása lassabban nő a külső igénybevételeknél. Ezt szokás az egyensúly

divergenciájának nevezni. Az ilyenfajta teherhordó viselkedést az jellemzi, hogy az

alakváltozások növekedésével elérve a Pkr,h átpattanási kritikus tehernek megfelelő

határpontot, a lapos szerkezet az A-ból az Á-vel jelölt alulról domború helyzetbe átpattan,

majd ettől kezdve egyre nagyobb terheket képes hordani, igen nagymértékű alakváltozások

kíséretében. Az is előfordulhat, hogy a már bizonyos mértékig

összenyomódott (deformálódott) ív a tetőpont elérése előtt a Pkr,l lineáris kritikus tehernél,

nem az eredeti alakjából (mint az a)−c) ábrákon), hanem a már deformálódott alakjából,

alaphelyzetéből elágazással megy át az alacsonyabb potenciálú E pontba. Megjegyezzük,

hogy ilyen lapos ívekkel pl. a hidászatban igen ritkán találkozunk. A [11]−ben a gyakorlatban

alkalmazott meredek ívek kihajlásával is foglalkozunk.

21

Az 1.11. ábrán összefoglalóan mutatjuk be a lineárisan rugalmas és végtelen

nyúlóképességű anyagra ( I jelű) és a vasbeton tulajdonságokat reálisan közelítő ideálisan

rugalmas-képlékeny, korlátozott nyúlóképességű anyagra ( III jelű) vonatkozó egyensúlyi

utakat.

Az 1 – 2 egyensúlyi út az 1.6.I.a) ábrának felel meg. A vékonyan húzott 2a posztkritikus

egyenes úgy adódik, hogy ha nem harmadrendű, hanem csak másodrendű elméletet

használunk.

Ez esetben a klasszikus Southwell-féle megoldás értelmében a szinusz alakú, yk amplitudójú

kezdeti görbeséggel bíró rúd közepének y eltolódása az alábbi módon írható fel:

y = ψyk. (XI)

Hasonlóképpen a kezdeti Mk = Pyk nyomaték

M = ψMk (XII)

nagyságúra növekszik meg a másodrendű hatások következtében.

A fenti kifejezésekben szereplő Southwell-féle nyomatéknövelő vagy külpontosságnövelő

tényező így számítható:

(XIII)

Ezen megoldás szerint jár el az acélszerkezeti és a faszerkezeti szabvány (a ψ-vel számolt

szélső szálfeszültségek ne haladják meg a méretezési feszültségeket).

Ha a II jelű anyagmodellel dolgozunk, amelyet a II. feszültségi állapotban lévő vasbeton

anyag modellezésére szokás használni, akkor a II jelű görbét kapjuk. Ennek szembetűnő

jellegzetessége az I jelűhöz képest az, hogy van maximum pontja, mely stabilis és labilis

görbeágakat választ el. A görbe alakja hasonló az 1.6./I.b)-1.6./II.d) ábrákon láthatókhoz. A

tönkremenetel stabilitási jellegű, mert az anyag szilárdsága csak a maximumpont utáni

labilis ágon merülne ki (de a rúd azt megelőzően a maximumpontnál tönkremegy).

A III jelű görbe az, amit a vasbetonnak megfelelő ideálisan rugalmas képlékeny, korlátozott

nyúlóképességű anyagmodellel kapunk. A tönkremenetel szilárdsági törés, mely a vázolt

esetben a húzott betonacélok megfolyásával (F) kezdődik. Az F,T pontokról és a vasbeton

tulajdonságok hatásáról l. a [11]−et.

Az 1.12. ábrán mutatjuk be a a vasbeton tulajdonságokat reálisan közelítő ideálisan

rugalmas-képlékeny, korlátozott nyúlóképességű anyagra ( III jelű) vonatkozó Δeo, Δet

külpontosságnövekmények, továbbá az eM mértékadó külpontosság szabványos képletét.

ψ=

22

2. AZ EGYENSÚLYI MÓDSZER

Egyensúlyi módszerrel a szerkezetek Pkr,l elágazási kritikus terheit fogjuk meghatározni.

2.1. Elméleti összefoglaló

Az 1.5. pontban megállapítottuk, hogy a kritikus (indifferens) egyensúly kritériumát




■ az egyensúlyi módszer, és

■ az energiamódszer (3. FEJEZET).

A nagyobb alakváltozások tartományában, a másodrendű (II. rendű) elmélet keretében az

alakváltozásokkal módosított megváltozott tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az

összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket.

Az alkalmazott


≈ ± y'' (IIa-c)

geometriai közelítések miatt a geometriai egyenletek lineárisak.

Az R görbületi sugarat és az y lehajlást/eltolódást és deriváltjait l. még az 1.2. ábrán. Ezek a

közelítések csak a viszonylag kis alakváltozások tartományában kielégítően pontosak. Az

elmélet attól másodrendű, hogy az egyensúlyi egyenletek tartalmazzák az alakváltozásokat is,

így a végeredményként kapott összefüggések nemlineárisak lesznek.

A teher – elmozdulás függvényt, azaz a P – y függvényt, egyensúlyi útnak (1.6. –

1.11. ábra) nevezzük. Másodrendű elmélettel jó közelítéssel le lehet írni a 2 másodlagos

(posztkritikus) egyensúlyi út kezdeti szakaszát.

A kezdeti posztkritikus szakasz kiindulópontja a Pkr,l ún. lineáris kritikus terhet ábrázoló

pont. Azért nevezzük lineárisnak(l) ezt a fajta kritikus terhet, mert a feladat egyensúlyi

módszerrel történő megoldása során az y kihajlási alaknak és a deriváltjainak csak az 1.

hatványát vesszük figyelembe.

Pl. a 2.2.1. pontban szereplő (1) differenciálegyenlet olyan egyensúlyi egyenlet, mely

magában foglalja az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet is. Az (1) egyenlet a mondottak

értelmében lineáris.

23

A differenciálegyenlet általános megoldása után (melyben ismeretlen állandók szerepelnek), a

sajátfüggvények általános alakjának ismeretében, a számunkra szükséges legkisebb kritikus

terhet, azaz a legkisebb sajátértéket a kerületi feltételek felírása révén kapott mátrix

szingularitásának feltétele szolgáltatja (a kihajlási determináns zérusértékűsége).

A feladat tehát a vizsgált nyomott rúd kihajlásakor létrejövő tartóalak egyensúlyát kifejező

differenciálegyenlet legkisebb sajátértékének a meghatározása. Ezt a folyamatot a

továbbiakban példákon keresztül mutatjuk be.

Az 1.1. pontban tárgyalt alapfeltevéseken felül még az alábbi közelítésekkel élünk:

■ a kritikus erő felléptéig, tehát az alaphelyzetben keletkező

megrövidülést elhanyagoljuk (εo ≈ 0);

■ elhanyagoljuk a kihajláskor fellépő nyíróerő okozta nyírási

alakváltozásokat (osztott szelvényű rudaknál ezt figyelembe kell

venni; l. az Acélszerkezetek c. tárgy keretében).

24

2.2. Gyakorlati alkalmazások

2.2.1. A kétcsuklós rúd kihajlása elágazással

Tekintsünk egy olyan síkbeli rudat, mely

•homogén (azonos fizikai tulajdonságok minden pontban),

•izotrop (minden irányban azonos fizikai tulajdonságok),

•lineárisan rugalmas anyagú (Hooke-törvény),

•állandó keresztmetszetű,

•geometriailag tökéletes (egyenes).

A másodrendű (II. rendű) elmélet keretében az alakváltozásokkal módosított megváltozott

tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket. Az

alkalmazott


≈ ± y'' (IIa-c)

geometriai közelítések miatt a geometriai egyenletek lineárisak. A közelítések csak a

viszonylag kis alakváltozások tartományában kielégítően pontosak. Íly módon a Pkr,l ún.

lineáris kritikus terhet kaphatjuk meg. Ezt a terhet elágazási kritikus tehernek is nevezzük,

mert az egyensúly ebben a pontban elágazik: a kritikus pontban egyensúly lehetséges az

eredeti (egyenes) alakon kívül egy szomszédos, kihajlott (kigörbült) alakban is: 2.1. ábra.

Esetünkben az M = −EIy '' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló

egyensúlyi egyenlet az alábbi:

EIy'' + Py = 0. (1)

A sajátérték feladatot leíró fenti (1) differenciálegyenlet általános megoldása:

y = y(x) = Acoskx + Bsinkx, (2) ahol

k2 =

. (3)

Az A és a B állandót az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:

y(x=0) = 0, (4a)

y(x=l) = 0. (4b)

A (4a) kerületi feltételből A = 0 adódik. A (4b) kerületi feltétel alapján

y(x=l) = Bsinkl = 0. (5)

25

Ez az egyenlet az eredeti egyenes alakhoz tartozó B=0 triviális megoldáson (alaphelyzetbeli

egyenes tartóalak: nincs kihajlás) kívül akkor is kielégül, ha

kl = nπ, (6)

ahol n = 1,2,3,…

Ez az összefüggés tehát a k paraméter értékeit meghatározza, megköti. Az (1)

differenciálegyenletnek csak a k paraméter különleges, a (6) összefüggéssel definiált diszkrét

értékei mellett van megoldása (ezért hívjuk k-t sajátértéknek).

A k paraméter ezen értékeit a differenciálegyenlet sajátértékeinek nevezzük. Nekünk a k

sajátértékekkel a (3) szerint összefüggő P erők értékeire van szükségünk, ezért a P erők

értékeit is sajátértékeknek nevezzük. A (3) összefüggés felhasználásával a P erők értékei:

P = n2

. (7)

A rúdnak tehát elágazásnál végtelenül sok (n = 1,2,3,…) egyensúlyi alakja van (2.1. ábra).

A differenciálegyenlet megoldásfüggvényeit sajátfüggvényeknek nevezzük. Ezen

sajátfüggvények alakja a (2) egyenlet szerint:

y = Bsin

x. (8)

A hullámvonal legnagyobb amplitudója n = 1 esetén az x=l/2 helyen lép fel. Nagysága:

ym = B. (9)

A B amplitudó az alkalmazott másodrendű elmélet keretében nem határozható meg, mert az

elmélet csak a kis alakváltozások tartományában érvényes.

A mérnököt csak a legkisebb sajátérték érdekli, ez n = 1-hez tartozik:

Pkr,l = Pkr =

= PE.

(10)

Ezt hívjuk lineáris (l) kritikus erőnek/tehernek. Első meghatározója Euler német tudós volt

a 18. században. Tiszteletére PE−nek is jelöljük. A továbbiakban a Pkr,l jelölésből általában

elhagyjuk a linearitásra utaló l indexet.

26

A tervezési gyakorlatban a kritikus erő mellett gyakran az lo ún. (helyettesítő) kihajlási hossz

vagy kihajlási félhullámhossz (az inflexióspontok közötti távolság) értékét használjuk. Ezt az

alábbi egyenlet definiálja:

Pkr =

.

(11)

Itt

lo = νl, (12)

ahol l a rúd tényleges hossza és ν a (helyettesítő) kihajlási hossz paramétere.

Esetünkben lo = l, tehát ν = 1.

Tekintsük még egyszer a 2.1. ábrát (alul):

Amíg P < Pkr,l addig az egyedül lehetséges egyensúlyi alak az egyenes alak, és a rúd stabilis

egyensúlyi állapotban van. Ha P = Pkr,l , akkor az egyensúly kritikussá/indifferensé válik, a

rúd kissé kihajlott szomszédhelyzetben is egyensúlyban lehet. Ha P > Pkr,l , akkor kétféle

egyensúlyi alak lehetséges: 1 a labilis egyenes alak és a 2 stabilis kihajlott alak.

Bármilyen kis zavarás (inhomogenitás, tökéletlenségek stb.) hatására a rúd az 1 labilis alakból

átmegy a 2 stabilis alakba. A Pkr,l kritikus erőnél tehát az egyensúlyi alak több ágra bomlik.

A vizsgált jelenséget ezért hívjuk elágazási jelenségnek.

L. még az 1.6., 1.7., 1.10. ábrát.

27

2.2.2. Vegyes peremfeltételű, egymezős rudak kihajlása elágazással

2.2.2.a) Konzol lineáris kritikus terhe

L. a 2.2. ábrát.

2.2.2.b) Az egyik végén befogott, a másik végén

csuklós rúd lineáris kritikus terhe.

L. a 2.3. ábrát.

2.2.2.c) Mindkét végén befogott rúd lineáris

kritikus terhe.

L. a 2.4. ábrát.

2.2.2.d) Mindkét végén befogott, kilendülő

rúd lineáris kritikus terhe.

L. a 2.5. ábrát.

2.2.3. Középen rugóval is megtámasztott

kétcsuklós rúd kihajlása elágazással

A 2.6. ábrán az A-B pontok közötti nyomott rúd a C ponton rugalmasan meg van támasztva

y irányú (vízszintes) eltolódás ellen. A Hooke törvénynek megfelelően felírhatjuk, hogy a C

reakcióerő a c [kNm-1] rugóállandóval arányos a C pontbeli yC eltolódással:

C = cyC. (1)

A Pkr = Pkr,l elágazási kritikus erőt keressük. Az eddigiek alapján tudjuk, hogy a

kritikus (indifferens) egyensúly esetén az alaphelyzetbeli egyenes alakon kívül egy

szomszédhelyzet kihajlott alakja is lehetséges. Szemlélet alapján belátható, hogy a kihajlott

alak kétféle lehet: antimetrikus (I) és szimmetrikus (II).

28

Kritikus (indifferens) egyensúly esetében a kihajlott szomszédhelyzetben is megmarad az

egyensúly, amit a reakcióerőkre így írhatunk fel:

A+B+C = 0. (2) A C jelű pontra felírt nyomatéki egyensúly:

Al1−Bl2 = 0. (3)

A (2) és a (3) egyenletből ez adódik:

A = −

és B = −

. (4)

Az A−C nyílásban az egyensúlyi egyenlet a következő:

Py1 + EIy1'' –

= 0. (5a)

Hasonlóképpen a B−C nyílás egyensúlyi egyenlete:

Py2 + EIy2'' −

= 0. (5b)

Ezek általános megoldása:

y1 = A1sinkx1 + B1coskx1 +

, (6a)

y2 = A2sinkx2 + B2coskx2 +

, (6b)

ahol

k2 =

. (7)

A kerületi feltételek az A és B pontbeli eltolódás zérus voltát, továbbá a C pontbeli közös

eltolódás és érintő (1. derivált) feltételét fejezik ki:

y1(x1=0) = 0, (8a)

y2(x2=0) = 0, (8b)

y1(x1= l1) =

, (8c)

y2(x2= l2) =

, (8d)

y1'(x1= l1) = −y2'(x2= l2), (8e)

A (8a) és a (8b) feltétel alapján

B1 = B2 = 0 . (9)

29

A (8c) – (8e) feltételekből ezt az egyenletrendszert kapjuk:

A1sinkl1 +

(

–

) = 0, (10a)

+A2sinkl2 +

(

–

) = 0, (10b)

A1kcoskl1 + A2kcoskl2 +

= 0. (10c)

Legyen a továbbiakban az egyszerűség és áttekinthetőség kedvéért

l1 = l2= l =

. (11)

Ez esetben a (10a-c) egyenletrendszer így módosul (P-vel beszorozva):

A1sinkl + C(

–

) = 0, (12a)

+A2sinkl + C(

–

) = 0, (12b)

A1kcoskl +A2kcoskl + C = 0. (12c)

A kihajlás pillanatában az egyenletrendszer mátrixa szinguláris, tehát a mátrix determinánsa

0 értékű:

DET = sin2 kl − (

–

)ksink2l = 0. (13)

A (13) egyenlet ebben az alakban is felírható:

sinkl{sinkl − 2k(

–

)coskl} = 0. (14)

30

Elemezzük a lehetséges megoldásokat.

I. megoldás : antimetrikus kihajlás

Nézzük azt az esetet, ha a { } zárójelen kívüli függvény értéke 0:

sinkl = 0. (15) Ez a jól ismert Euler-féle kétcsuklós rúd esete: 2.2.1. pont. Ekkor

Pkr = PE =

. (16)

A (12a) egyenletből megállapítható, hogy, ha a (15) fennáll, akkor C = 0 kell legyen. A

C = 0-ból a (12c) alapján az következik, hogy A1 = −A2 (a szemléletünkkel összhangban). Tehát

a teljes kihajlott rúd alakja antimetrikus, úgy ahogy azt a 2.6. ábrán feltüntettük.

II. megoldás: szimmetrikus kihajlás

Ha a { } zárójelen belüli függvény értéke 0, akkor az alábbi transzcendens egyenlet

szolgáltatja a P = Pkr kritikus erőket:

sinkl − 2k(

–

)coskl = 0. (17a)

Más alakban ugyanez:

tgkl − kl(1 –

) = 0. (17b)

Ez a transzcendens egyenlet c = 0 esetén coskl = 0 –ra vezet, amiből kl = nπ/2 következik.

Ebből n = 1 felvételével a (7) egyenlet segítségével azt kapjuk, hogy

Pkr =

( ) .

(18)

Tehát azt a tényt, hogy amikor a rúd középen nincs megtámasztva, úgy hajlik ki, mint egy

2l hosszúságú rúd, ez a számítás is igazolja.

Ha a c→∞ esetet vizsgáljuk, akkor tgkl = kl, amit a 2.2.2.b) pontban már megoldottunk:

Pkr = 2,046

. (19)

Ekkor tehát a rúd úgy hajlik ki, mintha a C pontban be lenne fogva. A 2.6. ábrán

feltüntettük, hogy a szimmetrikus kihajlás (II) függvénye ehhez a határértékhez

aszimptotikusan közelít.

31

Az antimetrikus (I) és a szimmetrikus (II) eset közül az érvényesül, amelyik kisebb Pkr-t

szolgáltat. Ezt az ábrán vastag folytonos vonallal ábrázoltuk, mégpedig a (16) és a (17b)

összefüggés alapján.

Érdemes megfigyelni, hogy a rugó c merevségét egy bizonyos cH határértéken felül nem

érdemes növelni, mert e fölött mindenképpen antimetrikus kihajlás jön létre. A cH határérték

nagysága:

cH =

=

. (20)

Itt PE = (16).

32

2.2.4. Folytonosan rugalmasan ágyazott kétcsuklós

rúdkihajlása elágazással

Tekintsünk egy két végén csuklósan megtámasztott rudat, amely egész hosszában folytonosan

rugalmasan alá van támasztva (2.2. ábra).

A keresztirányú (függőleges) y(x) eltolódással szemben azzal arányos megoszló reakcióerő lép

fel, melynek nagysága:

q = q(x) = cy(x). (1)

Itt c [kNm-2

] a rugóállandó, az a megoszló erő, amely a rugalmas támaszon egységnyi

összenyomódást idéz elő. Az (1) összefüggés a Winkler-féle rugalmas ágyazási törvény.

Megjegyezzük, hogy a talaj csak nyomást tud felvenni, ezért az eljárás húzófeszültségek

kialakulása esetén közelítő (a most vizsgált esetben nincsenek húzófeszültségek).

A dx hosszúságú rúdelem alábbi egyensúlyi egyenletei az 1.2. ábrán látható egyenletek

módosításai, mégpedig –p = q(x) és a P nyomóerő figyelembevételével:

qdx – dT = 0,

Tdx – dM + Pdy = 0. (2a-b)

A differenciálhányados szokásos d( )/dx = ( )' rövidítésével, és az (1) bevezetésével, a

fentiekből ezeket kapjuk: q = T' = cy,

T – M' + Py' = 0. (2c-d)

A (2d) egyenletet differenciálva és az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra)

behelyettesítve adódik a kihajlott rúdtengely differenciálegyenlete:

EIy'''' + Py'' + cy = 0. (3)

Bevezetve a

k2 =

, (4)

α2 =

(5)

rövidítéseket, a differenciálegyenlet ezt az alakot ölti:

y'''' + k2y'' + α

2y = 0. (6)

A differenciálegyenlet általános megoldása:

y = y(x) = C1sinAx + C2sinBx + C3cosAx + C4cosBx . (7)

33

A C1, C2, C3, C4 állandók meghatározására egy 4-ismeretlenes egyenletrendszert lehet felírni

a kerületi feltételek alapján.

A kerületi feltételek:

y(x=o) = 0,

y(x=l) = 0,

y''(x=o) = 0, (8a-d)

y''(x=l) = 0.

A kihajlás pillanatában az egyenletrendszer mátrixa szinguláris, tehát a mátrix determinánsa

0 értékű. A kihajlási egyenletrendszert, annak bonyolultsága miatt, már nem írjuk fel.

A megoldás:

Pkr = PE [ n2

+

], (9)

ahol

PE =

,

(10)

u2

=

. (11)

Ebben a képletben n azt jelenti, hogy a rúd kihajlási alakjában hány félhullám van. A

2.7. ábrán feltüntettük azt az ún. csipkegörbét, amely n = 1,2,3,… felvételével számítható.

Igazolható, hogy a csipkegörbe alsó burkolója az alábbi, az egyeneshez igen közel álló

görbe:

Pkr≈ 2√ . (12)

Megjegyzés: ha a rúd mindkét vége teljesen szabad (csukló sincs ott, mint az előbb), akkor

használhatjuk az alábbi közelítő összefüggést:

Pkr≈ √ . (13)

34

3. AZ ENERGIAMÓDSZER

Az egyensúlyi módszerrel egyes szerkezetek Pkr,l elágazási kritikus terheit határoztuk meg

(2. FEJEZET). Energiamódszerrel ezeken kívül a teljes egyensúlyi utat is leírjuk.

3.1. Elméleti összefoglaló

Az 1.5. pontban megállapítottuk, hogy a kritikus (indifferens) egyensúly kritériumát




■ az egyensúlyi módszer (2. FEJEZET), és

■ az energiamódszer.

3.1.1. Modern energetikai eljárás

Az alkalmazott modern energiamódszer lényegét az 1.5. ábrán összefoglalt eljárás jelenti.

Ennek a részleteit a 3.2. pontban tárgyaljuk.

3.1.2. Klasszikus módszerek

A klasszikus energiamódszerek keretében két gyakran alkalmazott eljárást ismertetünk

röviden.

3.1.2.a) A Ritz-Timoshenko-féle módszer

Az eljáráshoz először is a kihajlási alakot megadó, de egyelőre ismeretlen y = y(x)

függvényt egy η(x) függvénysorral közelítjük meg:

y ≈ η(x) = a1η1(x) + a2η2(x) + a3η3(x) +…+ anηn(x). (3.1.)

Ebben a függvénysorban az η1(x), η2(x), η3(x),…,ηn(x) lineárisan független

függvényeknek ki kell elégíteniük a geometriai kerületi feltételeket, tehát amelyek a tartó

alakjára vonatkoznak (pl. y=0 vagy/és y' = 0 a tartóvégen).

35

Az a1, a2, a3, … an tényezőket úgy kell megállapítani, hogy az η(x) függvény a legkisebb

hibával elégítse ki a δ2Πo = 0 feltételt. L. a (X) egyenletet az 1.5. pontban.

Ez a feltétel azt jelenti, hogy az alábbi minimum-feladatot kell megoldani:

∂( δ2Πo )/∂a1 = 0,

∂( δ2Πo )/∂a2 = 0,

… (3.2.)

∂( δ2Πo )/∂an = 0.

Ezek a feltételek n db homogén, lineáris egyenletet adnak az ismeretlen a1, a2, a3, … an

együtthatókra. Az egyenletrendszer determinánsát zérussá téve kaphatjuk meg a keresett

P sajátértékeket ( n db P erő). Ezek közül a legkisebb a Pkr = Pkr,l lineáris kritikus erő.

Megjegyezzük, hogy az energiamódszer felső korlátot szolgáltat. Tehát felülről közelíti a

pontos kritikus erőt, a valóságos kritikus erő az így kapottnál kisebb. Minél több tagot

veszünk fel annál jobb a közelítés, de annál több természetesen a munka.

3.1.2.b) A Galerkin-féle módszer

Ez a módszer esetenként egyszerűbb, mint a Ritz-Timoshenko-féle eljárás. Főleg azért,

mert ehhez nincs szükség a potenciális energia 2. variációjának ismeretére, elég a kihajlási

alak egyensúlyi differenciálegyenletének az ismerete.

Az eljáráshoz ez esetben is először a kihajlási alakot megadó, de egyelőre ismeretlen

y = y(x) függvényt egy η(x) függvénysorral közelítjük meg:

y ≈ η(x) = a1η1(x) + a2η2(x) + a3η3(x) +…+ anηn(x). (3.3.)

Ebben a függvénysorban az η1(x), η2(x),η3(x),…,ηn(x) lineárisan független

függvényeknek ki kell elégíteniük nemcsak a geometriai kerületi feltételeket (pl. y=0

vagy/és y' = 0 a tartóvégen), hanem a fizikai/statikai kerületi feltételeket (pl. M = 0, azaz y''

= 0 a tartóvégen) is.

Az egyszerű tárgyalás érdekében vegyük a 2.2.1. pont (1) egyensúlyi egyenletét:

EIy'' + Py = 0. (3.4.)

36

Mivel az η(x) függvény közelítő, a fenti egyensúlyi egyenlet y(x) ≈ η(x)-re csak egy

bizonyos X hibával teljesül:

EIη'' + Pη = X. (3.5.)

A Galerkin-féle módszer definiáló egyenlete az alábbi:

l

∫ Xηi(x)dx = 0. (3.6.)

0

i = 1,2,…,n

Ha az X hibafüggvényt az η(x) függvény lineárisan független ηi(x) komponensei szerint

sorbafejtve képzeljük el, akkor az ortogonalitás miatt a (3.6.) egyenlet az X hibafüggvény

zérushoz tartását fejezi ki (ortogonalitás: az ηi (x)függvények szorzatintegrálja zérus). Az X

hibafüggvény tehát ortogonális az η(x) függvény minden egyes ηi(x) komponensére.

A (3.6.) összefüggés n db homogén, lineáris egyenletet ad az ismeretlen a1, a2, a3, … an

tényezőre. Az egyenletrendszer determinánsát zérussá téve kaphatjuk meg a keresett P

sajátértékeket ( n db P erő). Ezek közül a legkisebb a Pkr = Pkr,l lineáris kritikus erő.

Megjegyezzük, hogy ez az eljárás is, mint minden energetikai eljárás felső korlátot

szolgáltat. Tehát felülről közelíti a pontos kritikus erőt, a valóságos kritikus erő az így

kapottnál kisebb. Minél több tagot veszünk fel annál jobb a közelítés, de annál több

természetesen a munka.

37

3.2. Gyakorlati alkalmazások

3.2.1. Szimmetrikus stabilis elágazás.

A rugalmasan befogott konzol egyensúlyi útjai

Az 1.6. pontbeli elméleti fejtegetéseket most egy gyakorlati példán keresztül szemléltetjük.

Tekintsük a 3.1. ábrán vázolt, cα [kNm] rugóállandójú elfordulási rugóval megtámasztott,

tetején P koncentrált erővel terhelt, végtelenül merevnek tekintett konzolt. Ezt a feladatot

először Marguerre (1950), majd a következőkben ismertetett alakban, III. rendű elmélettel

Augusti (1961) oldotta meg.

A Θk geometriai tökéletlenséggel bíró rúd tetőpontbeli A jelű pontja függőlegesen wA

mértékben süllyed:

wA = l(cosΘk – cosΘ). (1) A rugóban fellépő nyomaték:

M = cα(Θ – Θk). (2)

Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia

képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső (k) és a

belső (b) potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia a

következő:

Πk = – Lk = – PwA ,

Πb = Lb =

M(Θ–Θk) , (3a-c)

Π = Πb + Πk =

cα(Θ–Θk)

2– Pl(cosΘk–cosΘ).


egyensúly típusának meghatározását a potenciális energia segítségével. Amint az 1.3.2.

pontban már említettük, a variációkkal úgy dolgozhatunk, mint differenciálokkal, ezért ezen

az ábrán közönséges differenciálhányadosokkal dolgozunk. A differenciálhányadosokra



Az 1.3.3. pontban megfogalmaztuk, hogy az egyensúly szükséges és elégséges feltétele

energetikailag a Π potenciális energia állandó értékűségét jelenti, tehát:

ΠΘ = 0. (4) Az 1.5. ábrán ebből indultunk ki.

38

Esetünkben ez a Θ szerinti közönséges deriválás feltétele az alábbi eredményt szolgáltatja a

Π potenciális energia ΠΘ 1. variációjára:

ΠΘ = cα(Θ– Θk) – PlsinΘ = 0. (5)

Ez tehát a konzol egyensúlyi útjának egyenlete.

Vizsgáljuk meg ezt először a geometriailag tökéletes szerkezet esetére:

I. Geometriailag tökéletes szerkezet: Θk = 0

Ekkor tehát az (5) alapján ez érvényes:

cαΘ – PlsinΘ = 0. (6) Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy:

sinΘ(

– Pl) = 0. (7)

Az elsődleges egyensúlyi utat a

sinΘ = 0 Θ = 0 (8) feltétel írja le, mert ez a kihajlás előtti egyenes alak egyenlete.

A kihajlott alaknak megfelelő másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út egyenlete:

– Pl = 0, (9)

amiből ez az egyensúlyi út következik:

P =

. (10)

A Pkr,l = Pkr elágazási (lineáris) kritikus erőt a (8) és a (10) görbe metszéspontja szolgáltatja,

tehát:

limP =

.

Θ 0

Ebből adódik az elágazási (lineáris) kritikus erő képlete:

Pkr,l = Pkr =

. (11)

39

Az 1.5. ábrának megfelelően vizsgáljuk meg most a Π potenciális energia 2., 3. és 4.

variációját annak érdekében, hogy meg tudjuk állapítani az elágazás típusát.

A ΠΘΘ 2. variáció az (5) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással adódik:

ΠΘΘ = cα – PlcosΘ , (12)

ami

ΠΘΘ = cα[1–

cosΘ]. (13)

alakra hozható. Ebből a (10) és a (11) behelyettesítésével az alábbi összefüggés következik:

ΠΘΘ = cα[1–

]. (14)

Az elsődleges egyensúlyi út esetén Θ = 0, ezért ha P < Pkr, akkor a (13) összefüggés

szerint ΠΘΘ > 0, azaz az egyensúlyi út stabilis. Ha P > Pkr, akkor ΠΘΘ < 0, tehát labilis

az egyensúlyi út. L. a 3.1. ábra P tengelyét.

A másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi úthoz tartozó (14) egyenletből szintén ΠΘΘ > 0 következik, tehát a másodlagos egyensúlyi út is stabilis.

Nézzük most meg az 1.5. ábra alapján, hogy szimmetrikus-e az elágazás?

A ΠΘΘΘ 3. variáció a (12) egyenletből Θ szerinti deriválással kapható:

ΠΘΘΘ = PlsinΘ. (15)

Mivel a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban)

ΠΘΘΘ = 0, (16) az elágazás szimmetrikus.

Vizsgáljuk most meg az 1.5. ábra alapján azt, hogy stabilis-e az elágazás?

A ΠΘΘΘΘ 4. variáció a (15) egyenletből Θ szerinti deriválással adódik:

ΠΘΘΘΘ = PlcosΘ. (17)

Ez a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban) pozitív, azaz

ΠΘΘΘΘ > 0, (18) tehát az elágazás stabilis.

Megállapítottuk tehát, hogy az elágazás szimmetrikus stabilis.

40

II. Geometriailag tökéletlen szerkezet: Θk ≠ 0

Az egyensúly (5) feltétele írja le az egyensúlyi utat:

ΠΘ = cα(Θ – Θk) – PlsinΘ = 0, (19)

azaz

P = cα

–

= Pkr

–

. (20)

A ΠΘΘ 2. variáció a (19) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással származtatható:

ΠΘΘ = cα – PlcosΘ = cα[1–

cosΘ]. (21)

Ide behelyettesítve a (20)-at, az alábbi összefüggés adódik:

ΠΘΘ = cα[1–

]. (22)

Elemezve a (22) összefüggést megállapítható, hogy ΠΘΘ > 0, azaz az egyensúly stabilis. A

3.1. ábrán a vékony folytonos vonallal megrajzolt szimmetrikus görbék a (20) egyenlettel

rajzolhatók fel. Ezek az 1.6. pontban említett ún. természetes egyensúlyi utak.

Elágazás nem jön létre, a vékony vonallal jelzett görbék – melyek a geometriailag tökéletlen

szerkezet egyensúlyi útjai – a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjához

aszimptotikusan közelednek. Az 1 – 2 diagram alatti görbék, azaz a természetes

egyensúlyi utak minden pontjában stabilis az egyensúly.

Jelen szimmetrikus stabilis elágazásnál a tökéletlenség-érzékenységi diagram fiktív, nem

létezik. Az ilyen szerkezetek kevéssé érzékenyek a tökéletlenségekre.

41

3.2.2. Szimmetrikus labilis elágazás.

Eltolódás ellen rugalmasan megtámasztott rúd egyensúlyi útjai

Az 1.6. pontbeli elméleti fejtegetéseket most egy további gyakorlati példán keresztül

szemléltetjük.

Adott a 3.2. ábrán vázolt, c [kNm-1] rugóállandójú eltolódási rugóval megtámasztott, tetején

P koncentrált erővel terhelt, végtelenül merevnek tekintett, alul csuklós rúd. Ezt a feladatot

Koiter (1962), majd Augusti (1964) oldotta meg a következőkben ismertetett alakban,

III. rendű elmélettel.


mértékben, vízszintesen uA mértékben tolódik el:

wA = l(cosΘk – cosΘ), (1a)

uA = l(sinΘ – sinΘk ). (1b)

A rugóban fellépő erő:

H = cuA . (2) Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia

képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső(k) és a belső(b)

potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia, a következő:

Πk = – Lk = – P wA ,

Πb = Lb =

HuA , (3a-c)

Π = Πb + Πk =

cl

2(sinΘ – sinΘk)

2– Pl(cosΘk – cosΘ).












ΠΘ = cl2(sinΘ – sinΘk)cosΘ – PlsinΘ = 0. (5)

Ez tehát a rúd egyensúlyi útjának egyenlete.

42




cl2sinΘcosΘ – PlsinΘ = 0. (6)

Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy:

sinΘ(clcosΘ – P) = 0. (7)


sinΘ = 0 Θ = 0 (8) feltétel írja le, mert ez a kihajlás előtti egyenes alak egyenlete .


clcosΘ – P = 0, (9)

amiből ez az egyensúlyi út következik:

P = clcosΘ. (10)

A Pkr,l = Pkr elágazási kritikus erőt a (8) és a (10) görbe metszéspontja szolgáltatja, tehát:

limP = cl.

Θ 0

Ez az elágazási (lineáris) kritikus erő képlete:

Pkr,l = Pkr = cl. (11)

Az 1.5. ábrának megfelelően vizsgáljuk meg most a Π potenciális energia 2., 3. és 4.

variációját annak érdekében, hogy meg tudjuk állapítani az elágazás típusát.

A ΠΘΘ 2. variáció az (5) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással kapható:

ΠΘΘ = cl2(cos

2Θ – sin

2Θ) – PlcosΘ, (12)

ami

ΠΘΘ = cl2[cos2Θ –

cosΘ]. (13)

alakra hozható.

43




A (13)-ból a (10) és a (11) behelyettesítésével az alábbi összefüggés következik:

ΠΘΘ = – cl2sin

2Θ . (14)

A másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi úthoz tartozó (14) egyenletből ΠΘΘ < 0 következik, tehát a másodlagos egyensúlyi út labilis.


A ΠΘΘΘ 3. variáció a (13) egyenletből Θ szerinti deriválással adódik:

ΠΘΘΘ = – cl2[2sin2Θ –

sinΘ] . (15)

Mivel a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban)

ΠΘΘΘ = 0, (16) az elágazás szimmetrikus.

Vizsgáljuk most meg az 1.5. ábra alapján azt, hogy stabilis-e az elágazás?

A ΠΘΘΘΘ 4. variáció a (15) egyenletből Θ szerinti deriválással kapható:

ΠΘΘΘΘ = – cl2[4cos2Θ –

cosΘ]. (17)

Ez a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban) negatív, azaz

ΠΘΘΘΘ = – 3cl2 < 0, (18)

tehát az elágazás labilis.

Megállapítottuk tehát, hogy az elágazás szimmetrikus labilis.

44



ΠΘ = cl2{(sinΘ – sinΘk)cosΘ –

sinΘ} = 0. (19)

azaz

=

= cosΘ(1 –

) . (20)

A ΠΘΘ 2. variáció a (19) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással származtatható:

ΠΘΘ = cl2{(cos

2Θ – sin

2Θ + sinΘsinΘk) –

cosΘ} . (21)

Ez az összefüggés a (20) felhasználásával az alábbi alakra hozható:

ΠΘΘ = cl2{– sin

2Θ +

}. (22)

A 3.2. ábrán a vékony folytonos és szaggatott vonallal megrajzolt szimmetrikus görbék a

(20) egyenlettel rajzolhatók fel. Ezek az 1.6. pontban említett természetes egyensúlyi utak.

Elágazás nem jön létre, ezek a görbék –melyek a geometriailag tökéletlen szerkezet

egyensúlyi útjai– a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjához aszimptotikusan

közelednek. Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak

egyik ága stabilis, a másik ága labilis. Ezeket az ágakat a Pm maximális egyensúlyozható

teher választja el.


tökéletlenségi amplitudó függvényében ábrázolva olyan jellegű tökéletlenség-érzékenységi

diagramot kapunk, amelyik világosan mutatja, hogy a szerkezet érzékeny geometriai

tökéletlenségekre, azaz viszonylag kis alakhibák jelentősen lecsökkenthetik a stabilitási

teherbírást. L. az 1.6./I.b) ábrát. Az ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő

óvatossággal kell eljárni, megfelelő mértékű biztonsági tényezőt kell alkalmazni.

Most meghatározzuk ezen görbék Pm maximum pontjait is. A maximum pontokban

kritikus az egyensúly (de nincs elágazás), tehát ΠΘΘ = 0, ezért a (22) alapján ez írható fel:

sin3Θm = sinΘk, (23)

ahol Θm a Pm –hez tartozó Θ elfordulás.

Ebből a (20) alapján a maximum pontok képlete:

P = Pm = Pkrcos3Θm . (24)

45

3.2.3. Aszimmetrikus elágazás.

Eltolódás ellen ferdén rugalmasan megtámasztott rúd egyensúlyi

útjai

Az 1.6. pontbeli elméleti fejtegetéseket most egy további gyakorlati példán keresztül

szemléltetjük.

Adott a 3.3. ábrán vázolt, c [kNm-1] rugóállandójú eltolódási rugóval ferdén megtámasztott,

tetején P koncentrált erővel terhelt, végtelenül merevnek tekintett, alul csuklós rúd. Ezt a

feladatot Zanaboni (1962), majd Augusti (1964) oldotta meg a következőkben ismertetett

alakban, III. rendű elmélettel.


mértékben, míg rugóirányban vA mértékben tolódik el:

wA = l(cosΘk–cosΘ), (1a)

vA = l[sin(α–Θk) – sin(α–Θ)]. (1b)

A rugóban fellépő erő:

H = cvA . (2) Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia

képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső(k) és a

belső(b) potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia, a

következő:

Πk = – Lk = – P wA ,

Πb = Lb =

HvA , (3a-c)

Π = Πb + Πk =

cl

2[sin(α–Θk)–sin(α–Θ)]

2– Pl(cosΘk–cosΘ).












ΠΘ = cl2[ sin(α–Θk)–sin(α–Θ)]cos(α–Θ)–Pl sinΘ = 0. (5)


46




cl2[ sinα–sin(α–Θ)]cos(α–Θ)–Pl sinΘ) = 0. (6)

Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy (sinΘ = 2sin

cos

):

sinΘ{cl

– P} = 0, (7)

ahol

A = [cos(α –

)]cos(α–Θ),

B = cos

. (7a,b)


sinΘ = 0 Θ = 0 (8) feltétel írja le, mert ez a kihajlás előtti egyenes alak egyenlete .


cl

– P = 0, (9)

amiből ez az egyensúlyi út következik (A, B a (7a,b) szerint):

P = cl

. (10)

A Pkr,l = Pkr elágazási kritikus erőt a (8) és a (10) görbe metszéspontja szolgáltatja, tehát:

limP = cl.

Θ 0

A kritikus erőre ezt az összefüggést kapjuk:

Pkr,l = Pkr = clcos2α . (11)

Látható, hogy az α = 0-hoz tartozó Pkr = cl eredményt a (11) magában foglalja.

47

Az 1.5. ábrának megfelelően vizsgáljuk meg most a Π potenciális energia 2., és 3. variációját

annak érdekében, hogy meg tudjuk állapítani az elágazás típusát.

A ΠΘΘ 2. variáció az (5) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással kapható:

ΠΘΘ = cl2[cos2(α–Θ)+sinαsin(α– Θ) –

cos

2αcosΘ]. (12)




A másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi úthoz tartozó (12) egyenletből Θ > 0 esetén

ΠΘΘ > 0 következik, tehát a másodlagos egyensúlyi útnak ez az ága stabilis. Ha Θ < 0,

akkor ΠΘΘ < 0, azaz a másodlagos egyensúlyi útnak ez az ága labilis.


A ΠΘΘΘ 3. variáció a (12) egyenletből Θ szerinti deriválással adódik:

ΠΘΘΘ = cl2[2sin2(α–Θ)–sinαcos(α–Θ) +

cos

2αsinΘ]. (13)

A Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban), ha α ≠ 0, akkor

ΠΘΘΘ ≠ 0, (14) tehát az elágazás aszimmetrikus.

Könnyen kimutatható, hogy ekkor

ΠΘΘΘ > 0. (15) Ezért az elágazás +Θ-val stabilis, azaz +Θ-val növekvő a teherbírás. L. a 3.3. ábrán.

Megállapítottuk tehát, hogy az elágazás a 3.3. ábra szerint aszimmetrikus.

48



ΠΘ = cl2[sin(α– Θk)–sin(α–Θ)]cos(α–Θ) – Pl sinΘ = 0. (16)

A 2. tagot cos2α/cos

2α-val bővítve és felhasználva a (11)-et adódik a

függvény:

=

cos(α–Θ), (17)

ahol

C = sin(α–Θk)–sin(α–Θ),

D = cos2αsinΘ . (17a-b)

A potenciális energia ΠΘΘ 2. variációja a (16) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással

származtatható:

ΠΘΘ = cl2[ E –

cos

2αcosΘ] = 0, (18)

ahol

E = cos2(α–Θ) + sin(α–Θk)sin(α–Θ) . (18a)

A 3.3. ábrán a vékony folytonos és szaggatott vonallal megrajzolt görbék a (17) egyenlettel

rajzolhatók fel. Az 1 – 2 egyensúlyi út alatt ezek az 1.6. pontban említett természetes

egyensúlyi utak.

Elágazás nem jön létre, ezek a görbék –melyek a geometriailag tökéletlen szerkezet egyensúlyi

útjai– a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjához aszimptotikusan közelednek.

Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak egyik ága

stabilis, a másik ága labilis. Ezeket az ágakat a Pm maximális egyensúlyozható teher

választja el. A stabilis 2 diagram alatti diagram szintén stabilis.


tökéletlenségi amplitudó függvényében ábrázolva olyan jellegű tökéletlenség-érzékenységi

diagramot kapunk, amelyik világosan mutatja, hogy a szerkezet érzékeny geometriai

tökéletlenségekre, azaz viszonylag kis alakhibák jelentősen lecsökkenthetik a stabilitási

teherbírást. L. az 1.6./II.c) ábrát. Az ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő

óvatossággal kell eljárni, megfelelő mértékű biztonsági tényezőt kell alkalmazni.

Most meghatározzuk ezen görbék Pm maximum pontjait is. A maximum pontokban kritikus

az egyensúly (de nincs elágazás), tehát ΠΘΘ = 0, ezért a (18) alapján ez írható fel [E = (18a)]:

=

. (19)

49

3.2.4. Határpontos stabilitásvesztés.

A háromcsuklós tartó egyensúlyi útja (geom. tökéletes)

Az 1.6./II.d) ábrán az előzőektől alapvetően eltérő, ún. határpontos stabilitásvesztést

mutattunk be (stabilitásvesztés határponttal; átpattanás). A Pkr,h átpattanási (vagy felső) kritikus

tehernek megfelelő határpont (h) szintén stabilis és labilis ágakat választ szét, de ez nem

elágazási jelenség, nem sajátértékfeladat. A folyamat fizikai lényege az, hogy a szerkezet

belső ellenállása lassabban nő a külső igénybevételeknél. Ezt szokás az egyensúly

divergenciájának nevezni.

Az ilyenfajta teherhordó viselkedést az jellemzi, hogy az alakváltozások növekedésével

elérve a Pkr,h átpattanási kritikus tehernek megfelelő A jelű határpontot, a lapos szerkezet

az Á-val jelölt alulról domború helyzetbe átpattan, majd ettől kezdve egyre nagyobb terheket

képes hordani, igen nagymértékű alakváltozások kíséretében. Az is előfordulhat, hogy a már

bizonyos mértékig összenyomódott (deformálódott) ív a tetőpont elérése előtt a Pkr,l lineáris

kritikus tehernél, nem az eredeti alakjából [mint az 1.6./I.a)−b) és az 1.6./II.c) ábrán], hanem a

már deformálódott alakjából, alaphelyzetéből elágazással megy át az alacsonyabb

potenciálú E pontba.

Gyakorlati alkalmazásként tekintsük most a 3.4. ábrán vázolt lapos háromcsuklós tartót. A

tartó nyúlási merevsége: EA. Geometriai tökéletlenségekkel ennél a szerkezetnél nem

foglalkozunk. Ezt a feladatot elsőként von Mises oldotta meg.

Először felírjuk a rúdhosszakra vonatkozó alapvető geometriai összefüggéseket, mégpedig a

laposság figyelembevételével (ho/l <<1, h/l <<1):

so = [l2

+ ho2]0.5

≈ l[1 + 0,5(ho /l)2], (1a)

s = [l2

+ h2]0.5

≈ l[1 + 0,5(h /l)2].

(1b)

Ezek segítségével a rúd ε fajlagos összenyomódása az alábbi:

ε ≈ –

=

–

. (2)

Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia

képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső(k) és a

belső(b) potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia, a

következő:

Πk = – Lk = – Py = – P(ho – h),

Πb = Lb =

∫ ε2

EAds ≈

2EAl{

}2

, (3a-c)

Π = Πb + Πk = EAl{

}2

– P(ho – h).

50

Vezessük be a c rugóállandót:

c =

. (4)

A laposság miatt érvényesek az alábbi összefüggések:

α =

, (5a)

Θ = α –

=

. (5b)

Behelyettesítve a (4) – (5a,b) összefüggéseket a (3c)-be, a Π potenciális energia így írható

fel:

Π = cl2[

– αΘ

3 + α

2Θ

2 –

] . (6)












ΠΘ = cl2[Θ

3–3αΘ

2 + 2α

2Θ

–

] = 0. (8)


Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy:

P = cl[Θ(α–Θ)(2α–Θ)] =

(

–h2)h. (9)

51

A Π potenciális energia ΠΘΘ 2. variációja a (8)-ból Θ szerinti deriválással

származtatható:

ΠΘΘ = cl2[3Θ

2 – 6αΘ

+ 2α

2] . (10)

Az 1.5. ábra alapján a kritikus erő ott van, ahol ΠΘΘ = 0. Ennek megfelelően a maximum

és a minimum ponthoz tartozó Θm érték az alábbi:

Θm = α(1±√

) = α(1±0,57735) . (11)

Ezt behelyettesítve a (9)-be adódik a Pkr,h átpattanási (vagy felső) kritikus erő képlete:

Pkr,h = ±0.385clα3 = ±0.385EA

. (12)

A 3.4. ábrán szemléltettük, hogy az A határpontbeli kritikus egyensúlyi helyzetből a

szerkezet átpattan a vázolt fordított, felülről homorú alakzatba (Á).

Érdemes megfigyelni az egyes jellegzetes P tehernagyságokhoz tartozó azon geometriai

alakzatokat, amelyek mellett az adott P-nél egyensúly lehetséges.

Az A jelű helyzettől kezdve a csukló csökkenő erő mellett is más és más helyzetben van

nyugalomban.

Amikor a B jelű helyzetet elérjük, akkor y = ho , azaz h = 0, tehát Θ/α = 1, s így a két rúd

egy egyenesbe kerül, aminek következményeként P = 0 az egyensúlyozható erő nagysága. Ha a B pontot elhagyva megváltoztatjuk az erő értelmét, akkor a csukló a növekvő felfelé

ható erő ellenére is tovább tolódik lefelé, labilis egyensúlyi helyzeteken át, míg az A jelű

helyzet C tükörképeként újra kritikus (indifferens) állapot nem áll be.

A C ponttól kezdve stabilis egyensúlyi helyzeteken át, csökkenő felfelé ható erő mellett nő az

eltolódás lefelé. Ha Θ/α = 2, akkor h = −ho , azaz ez a 0 kiindulási helyzet D jelű tükörképe,

és P = 0. Ezután növekvő lefelé ható erő, és növekvő lefelé működő eltolódás mellett érünk el

az átpattanási Á jelű pontba.

A stabilis és labilis görbeágakat energetikailag is szemléltettük. A felvett P1 erőhöz 3

egyensúlyi helyzet tartozik. A P1 erőhöz tartozó Π energiafüggvénynek 1 - 1

maximumpontja van a stabilis ágakon, itt ΠΘΘ > 0. A labilis ági 1 minimum pontnál

ΠΘΘ < 0.

52

4. ELÁGAZÁSI ÖSSZEGEZÉSI TÉTELEK

(Southwell, Dunkerley, Föppl–Papkovics)

Bonyolult elágazási kihajlási eset megoldását bizonyos részfeladatok megoldásának

ismeretében, a biztonság javára szolgáló közelítéssel, alsó korlátként megkaphatjuk a

következő összegezési tételek felhasználásával. A közelítés annál pontosabb, minél jobban

hasonlítanak egymáshoz a részfeladatok kihajlási alakjai (sajátfüggvényei).

4.1. A Southwell-tétel

Ha egy rugalmas szerkezet EI(z) merevségét több részmerevségre felbontjuk,

akkor a szerkezet legkisebb kritikus terhe nem kisebb, mint az egyes EIi, i = 0,1,2,… részmerevségekhez tartozó legkisebb kritikus terhek összege. A

4.1.a) ábrán egy változó merevségű konzol példáján szemléltettük a tétel

alkalmazását.

4.2. A Dunkerley-tétel

Egy P, q, … összetett teherrendszerrel terhelt rugalmas szerkezet legkisebb

kritikus terhének reciproka nem nagyobb, mint a teherrészek legkisebb

Pkr, qkr ,… kritikus terheinek reciprok összege. A tétel alkalmazására a

4.1.a) ábrán mutatunk példát. A bekeretezett képlet határesete ( = 1 ) a

Dunkerley-egyenessel ábrázolható. A szerkezet megfelel kihajlásra, ha az

ábrázoló pont az egyenes és a koordinátatengelyek által határolt háromszögből

nem lép ki.

4.3. A Föppl-Papkovics-tétel

Ha egy rugalmas szerkezet egyes részeit képzeletben megmerevítjük, akkor a

szerkezet Pkr legkisebb kritikus terhének reciproka nem nagyobb, mint a

részfeladatok legkisebb Pkr,i i=1,2,… kritikus terheinek reciprok összege. A

tételt a 4.1.b). ábrán szemléltetjük.

53

5. TERVEZÉSI SEGÉDLETEK

Ebben a pontban olyan tervezési segédleteket mellékelünk, melyeknek témái szorosan

kapcsolódnak az eddig leírtakhoz.

54

σ

A Hooke-törvény:

σ = Eε.

α tgα = E: a rugalmassági tényező

ε

Idealizálások:

■korlátlanul lineárisan rugalmas (σ = Eε) anyag

■korlátlanul szilárd (σ) és korlátlanul nyúlóképes (ε)

anyag

A vasbeton tulajdonságok figyelembevétele

(berepedés, képlékenység): 1.11. ábra.

1.1. ábra

Lineárisan rugalmas anyagmodell

55

A görbület pontos elmélete szerint (s: az ívhossz)

=

= ±

( )

.

Közelítő megoldást használunk (kis elmozdulások elmélete):

≈

= θ' = ±y''.

ξ x θ': a keresztmetszet Rövidítések:

relatív elfordulása d(…)/dx = (…)', d2(…)/dx

2 = (…)'',

ε d3(…)/dx

3 = (…)''', d

4(…)/dx

4 = (…)''''

Elemi szilárdságtan:

ε = θ'ξ = −y''ξ; σ = εE = −y''ξE;

M =∫ σξdξdz = – y''E[∫ ξ2dξdz] = – y''EI

θ: a keresztmetszet abszolút elfordulása (+ órairányban)

R>0

R<0

+M θ<0 +M +M θ>0 +M

+θ +θ

x▲ ▲ ▲ ▲ x

α α A kis elmozdulások keretében: A kis elmozdulások keretében:

α = tgα = y' α = tgα = y'

α = −θ y y α = θ

= θ'= −α'= −y'' =

>0

= θ'= α'= y'' = −

<0

p p

T+dT T M+dM

M M

M+dM

dx T dx T+dT

T' = p T' = −p

M' = −T M' = T

M''= −p M''= −p

y'' = −

y'' = −

y''' =

y''' = −

y'''' =

y'''' =

1.2. ábra

Rugalmasságtani alapösszefüggések. Előjelszabályok

56

x

P

f

l szomszédhelyzet,

alaphelyzet, a kihajlott (kigörbült)

az egyenes alak alak,

variált alak

y

1.3. ábra

A tartóalak variálása

57

Π: a rendszer potenciális energiája

δ2Π>0 δ

2Π=0 δ

2Π<0

a potenc. energia a potenc. energia a potenc. energia

minimum állandó maximum

a – c : a felület

görbülete

minden

irányban

azonos G G G

értelmű a stabilis b kritikus c labilis (indifferens=

közömbös)

x x stabilis

kritikus

d – g : a felület

görbülete

irányonként

eltérő y f kritikus

értelmű y labilis

d labilis e labilis

x

y

stabilis

g kritikus

A Π potenciális energiának az a – c ábrákon jelzett értéktípusai (minimum, állandó,

maximum) nem jelentik egyben a megfelelő egyensúlyi helyzet szükséges és elégséges

feltételét (további vizsgálatok szükségesek).

A kritikus (indifferens=közömbös) egyensúlyi állapotnak szükséges és elégséges

feltétele az, hogy van legalább egy olyan irány, amelynek mentén a golyó az

alaphelyzet szomszédságában is nyugalomban marad, és egyensúlya egyetlen

irányban sem labilis.

1.4. ábra

A különböző egyensúlyi állapotok szemléltetése

golyó analógiával

58

Π: a rendszer potenciális energiája

Egyváltozós (Θ) rendszert vizsgálunk.

A jellegzetes elmozdulás: Θ.

Jelölések: δΠ→ dΠ/dΘ = ΠΘ 1. variáció

δ2Π→d2Π/dΘ

2 = ΠΘΘ 2. variáció

δ3Π→d3Π/dΘ

3 = ΠΘΘΘ 3. variáció

δ4Π→d4Π/dΘ

4 = ΠΘΘΘΘ 4. variáció

Π

ΠΘ = 0

egyensúly

1.5. ábra

Az egyensúly típusának meghatározása a

potenciális energia segítségével

ΠΘΘ > 0

stabilis

ΠΘΘ = 0

kritikus

s

ΠΘΘ < 0

labilis

ΠΘΘΘ = 0 szimmetrikus

elágazás

ΠΘΘΘ ≠ 0 határpont

P Pkr,h

Θ

ΠΘΘΘ ≠ 0 aszimmetrikus

elágazás

ΠΘΘΘΘ > 0 stabilis

P

Pkr,l

Θ

Θ

ΠΘΘΘΘ < 0 labilis

P Pkr,l

Θ

Θ Θ

Θ

ΠΘΘΘ < 0 labilis

P

Pkr,l

Θ

Θ

ΠΘΘΘ > 0 stabilis

Pkr,l P

Θ

Θ

59

a szimmetrikus stabilis elágazás

geometriailag tökéletes alak

P Pm kihajlás /elágazás

P P 2

Pkr,l

1

elfor- dulási nem

rugó: létezik

cα geometriai tökéletlenség

yk yk (alakhiba)

y y yk1 yk2 y yk

b szimmetrikus labilis elágazás

eltolódási P Pm

rugó: rugalmas ágyazás kihajlás /elágazás

cy P P cy Pkr,l Pkr,l

Pm 2

1 Pm

geometriai

tökéletlenség

(alakhiba)

yk yk

y y

geometriailag tökéletes alak yk1 yk2 y yk1

1 : elsődleges egyensúlyi út


stabilis labilis

1.6./I. ábra

Jellegzetes egyensúlyi utak és kritikus pontok

60

c aszimmetrikus elágazás

geometriailag tökéletes alak

2 P Pm kihajlás /elágazás

P Pkr,l

Pkr,l

v 1

eltoló- Pm Pm dási

rugó:

cv geometriai tökéletlenség

yk (alakhiba)

y yk1 yk2 y yk1

d stabilitásvesztés határponttal

ho x P Pm

eltolódási rugó: cx

határpont

Pkr,h A átpattanás Á

Pkr,h

geometr. Pkr,l Pm Pm tökéletlenség

P A (alakhiba) E

B

B Á yk y yk

kihajlás/elágazás

yk

y geometriailag tökéletes alak C



stabilis labilis

1.6./II. ábra

Jellegzetes egyensúlyi utak és kritikus pontok

61

P P

kihajlás /elágazás

2

Pkr,l Pkr,l

1

θ<0 θ>0

θk<0 θk>0

θk,yk θ,y f z

yk = Θkl

P

f wA z

geometriailag θ A

tökéletes geometriai alak tökéletlenség

(alakhiba) l

θk elfor- dulási rugó:

cα

yk uA

y



stabilis labilis

1.7. ábra

Szimmetrikus stabilis elágazás. A geometriai

tökéletlenségek (yk = Θkl) hatása

62

P P

kihajlás /elágazás

Pkr,l Pkr,l 2

θ<0 1 θ>0

Pm

θk<0 θk>0

θk,yk θ,y f z

yk = Θkl

eltolódási rugó

cy P

wA f z

geometriailag A

tökéletes θ geometriai alak tökéletlenség

(alakhiba) l

θk

yk uA

yA



stabilis labilis

1.8. ábra

Szimmetrikus labilis elágazás. A geometriai


63

P P

2

kihajlás/elágazás

Pkr,l Pkr,l

1

θ<0

Pm

θ>0

θk<0 θk>0

v θk,yk θ,y f z

α

yk = Θkl

eltolódási rugó: cv P

wA f z

geometriailag vA A


(alakhiba) l

θk

yk uA

yA



stabilis labilis

1.9. ábra

Aszimmetrikus elágazás. A geometriai


64

P

a Szimmetrikus Πθθ<0 potenciális

stabilis elágazás/ energia kihajlás a Π-nek 3 stacio-

Pl nárius pontja van

Πθθ>0 Πθθ>0

θ>0 P Π

a Π-nek 1 stacio-

Π Πθθ=0 Pkr,l kihajlás nárius pontja van

a Π-nek 1 stacio-

Π Πθθ>0 Ps nárius pontja van

y

b Szimmetrikus y,Θ

labilis elágazás/ P Πθθ<0 kihajlás Π a Π-nek 1 stacio-

Π Pl nárius pontja van

P Π kihajlás

a Π-nek 1 stacio-

θ> 0 Πθθ=0 Pkr,l nárius pontja van

Πθθ<0 Ps

a Π-nek 3 stacio-

Πθθ<0 nárius pontja van

Π Πθθ>0

y

c Aszimmetrikus y,Θ

elágazás/kihajlás Π P Πθθ<0 a Π-nek 2 stacio-

P Pl nárius pontja van

Πθθ>0

Πθθ=0

Π a Π-nek 1 stacio-

θ>0 Pkr,l kihajlás nárius pontja van;

Πθθ<0 a Π inflexiója

Ps Π a Π-nek 2 stacio-

y Πθθ>0 nárius pontja van

stacionárius pont: ahol vízszintes az érintő y,Θ stabilis

(minimum pont, maximum pont, kritikus pont) labilis

1.10. ábra Energetikai szemléltetés

65

P

2 2a

Pkr = az I aszimptotája

= Pkr,l

I

acél, fa

Southwell 1

Az anyag kihasználása nélkül. x

F és T a labilis ágon. yk

P

II

vasbeton

Pkr,vb

III

F folyás lo

T törés

törés T σ F folyás P

σbH σsH

y

beton εbH εsF εsH ε

összemorzsolódás σsH

yk: geometriai tökéletlenség; kezdeti külpontosság y

stabilis egyensúlyi helyzet 1 elsődleges egyensúlyi út

labilis egyensúlyi helyzet 2 másodlagos (posztkritikus)

egyensúlyi út

1.11. ábra

A Southwell-féle ψ külpontosságnövelő tényező.

Egyensúlyi utak különböző anyagmodellekkel

a szimmetrikus

stabilis elágazás/kihajlás

y = ψyk

ψ=

stabilitási törés

vb. II. f. á.

szilárdsági törés

vb. III. f. á.

66

B Q C

Mo

NM x

A rúd modellje: eo

M eo =

NM

A D alapkülpontosság A CD rúd legjobban igénybevett

C jelű keresztmetszetében az ábra

szerint kell meghatározni az eM mér-

tékadó külpontosságot.

lo terhelt alak

terv szerinti alak

véletlen eltérés

Az ek kezdeti külpontosság a szokásos statikai

számításból kiadódó eo alapkülpontosságból,

továbbá a Δeo véletlen jellegű geometriai külpontos- NM

ságnövekményből így adható meg: ΔetΔeoeo

Δet ek

eM

ahol h a keresztmetszet dolgozó magassága, és lo a

(helyettesítő) kihajlási hossz.

Az eM mértékadó külpontosság az ek kezdeti külpontosság és a Δet

törési külpontosságnövekmény összege:

törés T σ F folyás

σbH σsH

beton εbH εsF εsH ε

összemorzsolódás σsH

1.12. ábra

A Δeo és a Δet külpontosságnövekmény továbbá az eM

mértékadó külpontosság szabványos képlete

𝛈 =

,

Δeo = (0.06 + 𝛈

)h,

ek = eo + Δeo,

eM = ek + Δet , ahol

Δet = (0.04𝛈 2)h.

Δ

e

t

=

(

0

.

0

4

67

P Az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet a kihajlott alak (1.2. ábra) is magában foglaló egyensúlyi egyenlet az alábbi:

rúdhossz: l y hajlítási merevség

M = −EIy'' > 0 Py = M = −EIy''

A sajátérték feladatot leíró fenti (1) x

differenciálegyenlet általános megoldása: y

y = y(x) = Acoskx + Bsinkx, ahol (2)

k2 =

. (3)


y(x=0) = 0, y(x=l) = 0. (4a,b)

A (4a,b)-ből ezeket kapjuk: A = 0 és Bsinkl = 0. (5) Ez az utóbbi egyenlet az eredeti egyenes alakhoz tartozó B=0 triviális

megoldáson (alaphelyzetbeli egyenes tartóalak: nincs kihajlás) kívül akkor is kielégül, ha

kl = nπ, és n = 1,2,3,… (6) Az (1) differenciálegyenletnek csak a k paraméter különleges, a (6) összefüggéssel definiált

diszkrét értékei mellett van megoldása: ezek a sajátértékek. A P erők értékeit is

sajátértékeknek nevezzük. A rúdnak elágazásnál végtelenül sok (n = 1,2,3,…) egyensúlyi alakja van. A

differenciálegyenlet megoldásfüggvényeit sajátfüggvényeknek, kihajlási alakoknak

nevezzük. A mérnököt csak a legkisebb sajátérték, a legkisebb kritikus erő érdekli. Ez

n = 1-hez tartozik (l: lineáris; E: L. Euler[1707-1783]):

Pkr,l = Pkr =

= PE . (7-10)

x

kihajlás/ P P = Pkr

elágazás 2

Pkr = Pkr,l f n=1 n=2 n=3

szomszédhelyzet,

a kihajlott alak y = y(x)

1 lo= νl = l alaphelyzet, a (helyettesítő) az egyenes alak kihajlási hossz,

EI: hajlítási merevség [kNm2] y y ν=1


2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út stabilis labilis

2.1. ábra

Kétcsuklós rúd kihajlása elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)

EIy'' + Py = 0. (1)

68

ymax

x P P a kihajlott alak

y ymax−y

ymax rúdhossz: l hajlítási merevség

lo = νl = 2l x −M = EIy'' > 0

a (helyettesítő) P(ymax−y) = −M = EIy'' kihajlási hossz

y ν=2 y Esetünkben az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló


EIy'' + P(y-ymax) = 0. (1)


y = y(x) = Acoskx + Bsinkx + ymax , (2) ahol

k2 =

. (3)


y(x=0) = 0, (4a)

y'(x=0) = 0, (4b)

y(x=l) = ymax. (4c) A (4b) kerületi feltételből B = 0 adódik. A (4a) kerületi feltétel alapján

A = −ymax. (5)

Ezek szerint tehát a sajátfüggvények alakjai, azaz a kihajlási alakok:

y = ymax(1–coskx) . (6)

A (4c) kerületi feltételből az alábbiak adódnak:

ymax(1–coskl) = ymax és ymaxcoskl = 0. (7)

A második egyenlet az eredeti egyenes alakhoz tartozó ymax = 0 triviális

megoldáson (alaphelyzetbeli egyenes tartóalak: nincs kihajlás) kívül akkor is kielégül, ha

kl = (2n–1)π/2, (8)

n = 1,2,3,… A mérnököt csak a legkisebb sajátérték, a legkisebb kritikus erő érdekli. Ennél n = 1:

Pkr =

. (9)

Az lo (helyettesítő) kihajlási hossz: lo = νl = 2l, (10)

ahol l a rúd tényleges hossza és ν=2 a (helyettesítő) kihajlási hossz paramétere.

2.2. ábra

Konzol kihajlása elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)

69

x

P Mb −Mb

P Mb

a kihajlott alak

y

rúdhossz: l hajlítási merevség

lo M = −EIy'' > 0

x Py −

=

= M = −EIy''

y

y

lo = νl = 0,7l a (helyettesítő) kihajlási hossz; ν ≈ 0,7.

Esetünkben az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló


EIy'' + Py −

= 0. (1)


y = y(x) = Asinkx + Bcoskx +

, (2)

ahol

k2 =

. (3)

Az állandókat az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:

y(x=0) = 0, (4a)

y(x=l) = 0, (4b)

y'(x=l) = 0. (4c)

A (4a) kerületi feltételből B = 0 adódik. A (4c) kerületi feltétel alapján

A = −

. (5)

Ennek segítségével a kihajlási alak:

y =

(x –

) . (6)

2.3./I. ábra

Az egyik végén befogott, a másik végén csuklós rúd kihajlása

elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)

70

A (4b) kerületi feltételből ez a transzcendens egyenlet adódik:

tgkl = kl. (7)

A mérnököt csak a legkisebb sajátérték érdekli. Ez a következő:

kl = 4,49. (8)

A (3) segítségével kapjuk a legkisebb kritikus erőt:

Pkr = 2,046

=

( ) . (9)

Az lo ún. (helyettesítő) kihajlási hossz:

lo = νl = 0,699l, (10)


Esetünkben tehát ν = 0,699 ≈ 0,7.

2.3./II. ábra

Az egyik végén befogott, a másik végén csuklós rúd kihajlása


71

x

P Mb −Mb

P Mb

a kihajlott alak

lo rúdhossz: l y hajlítási merevség

M = −EIy'' > 0

Py−Mb =

x = M = −EIy''

Mb y −Mb

y

lo = νl = 0,5l a (helyettesítő) kihajlási hossz; ν = 0,5.

Esetünkben az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló


EIy'' + Py −Mb = 0. (1)


y = y(x) = Asinkx + Bcoskx +

, (2)

ahol

k2 =

. (3)

Az állandókat az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:

y(x=0) = 0, (4a)

y'(x=0) = 0, (4b)

y(x=l) = 0, (4c)

y'(x=l) = 0. (4d)

A (4b) kerületi feltételből A = 0 adódik. A (4a) kerületi feltétel alapján

B = −

. (5)

2.4./I. ábra

Mindkét végén befogott rúd kihajlása elágazással (Pkr:lineáris

kritikus teher/erő)

72

Ennek segítségével a kihajlási alak:

y =

(1 – coskx). (6)

A (4c) kerületi feltételből ez a transzcendens egyenlet adódik:

coskl = 1. (7)

A mérnököt csak a legkisebb sajátérték érdekli. Ez a következő:

kl = 2π. (8)

A (3) segítségével kapjuk a legkisebb kritikus erőt:

Pkr = 4

=

( ) .

(9)


lo = νl = 0,5l, (10)


Esetünkben tehát ν = 0,5.

2.4./II. ábra

Mindkét végén befogott rúd kihajlása elágazással (Pkr:lineáris

kritikus teher/erő)

73

C1: inflexióspont

P

lo a kihajlott alak (kilendülés)

R

rúdhossz: l C: inflexióspont

lo −R

y

P

Ezt a feladatot –az előzőek ismeretében– elegendő szemlélettel megoldani. Az l rúdhossz C középpontja ellenkező görbületi értelmű kihajlási tartományokat választ

el (R,−R). Ez a pont az ún. inflexióspont. A kihajlási alak erre a pontra nézve

antimetrikus. Így tehát a C ponttól felfelé vagy lefelé a 2.1. ábrán megismert

Euler–féle kétcsuklós rúddal helyettesíthetjük a valóságos rudat.

Ennek megfelelően számíthatjuk a Pkr kritikus erőt:

Pkr =

. (1)


lo = νl = l, (2)


Esetünkben lo = l, tehát ν = 1.

Megjegyzés: a rudak lo (helyettesítő) kihajlási hossza/hullámhossza az

inflexióspontok közötti távolság. Természetesen az előzőekben tárgyalt esetekben is.

2.5. ábra

Mindkét végén befogott, kilendülő rúd kihajlása


74

P Kétféle kihajlott alak lehetséges: az I és a II.

BI = 0 BII

B y2

x2

EI: hajlítási

merevség [kNm2] l2

C = cyC = A+B yC CII = AII +BII

yC=0

CI = 0

C L

c[kNm-1

] rugóállandó

I: II:

l1 anti- szimmet-

x1 metrikus rikus

P A y1 AI =0 AII A+B+C = 0

Al1−Bl2 = 0

A = −

, B = −

PE

l1 = l2 = l

PE

2.3./II. ábra, lo ≈ 0,7l

2,046

l1 = l2 = l

II: szimmetrikus I: antimetrikus

1,000

l1 = l2 = l

0,250 lo = 2l

0 4 =

8 12

2.6. ábra

Középen rugóval is megtámasztott kétcsuklós rúd

kihajlása elágazással

2.1. ábra PE =

75

l

P EI: hajlítási merevség [kNm2] P

c[kNm-2

] rugóállandó

y(x): kihajlott alak, n=2 Winkler-féle ágyazás: q = cy

P q(x): talpfeszültség P

x talajnál csak nyomás!

y

I: tehetetlenségi nyomaték

c = bocv cv[kNm-3

] ágyazási tényező

q 5.I. táblázat

bo

2.1. ábra λ = 2

n: a rúd kihajlási

30 alakjában n = 4 n db félhullám van Ha a rúd 2 végén

25 n=4 nincsenek csuklók,

akkor λ = 1.

20 n = 3

A burkoló egyenes

15 jó közelítés.

10 n = 2

5 n = 1

1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 u =√

2.7. ábra

Folytonosan rugalmasan ágyazott kétcsuklós

rúd kihajlása elágazással

Pkr ≈ λ√

76

P P kihajlás /elágazás

2

Pkr=Pkr,l =

Pkr

θ<0 θ>0

1

θk<0 θk>0

θk,yk θ,y f z

yk = Θkl

P

f wA z

geometriailag θ A

tökéletes geometriai alak tökéletlenség

(alakhiba) l

θk elfor- dulási rugó:

cα[kNm]

yk uA

yA



stabilis labilis

3.1. ábra

Szimmetrikus stabilis elágazás. A geometriai


77

P P kihajlás /elágazás

Pkr=Pkr,l = cl Pkr 2

θ<0 1 θ>0

Pm

θk<0 θk>0

θk,yk θ,y f z

yk = Θkl

eltolódási rugó

c = cy[kNm-1

] P

wA f z

geometriailag A


(alakhiba) l

θk

yk uA

yA



stabilis labilis

3.2. ábra

Szimmetrikus labilis elágazás. A geometriai


78

P P

kihajlás/elágazás 2

Pkr=Pkr,l =clcos2α Pkr

1

θ<0

Pm

θ>0

θk<0 θk>0

v θk,yk θ,y f z

α

yk = Θkl

eltolódási rugó: c = cv P

[kNm-1

] wA f z

geometriailag vA A


(alakhiba) l

θk

yk uA

yA



stabilis labilis

3.3. ábra

Aszimmetrikus elágazás. A geometriai


79

von Mises-modell

geometriailag tökéletes P

kezdeti alak 2 nyúlási merevség

so EA [kN] y

2' +h ho

Θ = α –

α

1 s 3

az alakváltozott tartó –h

l l

P

határpont átpattanás

Pkr,h Á

A ΠΘΘ=0

ΠΘΘ<0

Π=Π(P1) P= Pkr,h

P1

inflexióspont inflexióspont

ΠΘΘ>0 ΠΘΘ>0

P=0 B P=0 y=

h=0, y=ho h=−ho =2ho

h=ho, y=0 P=0 D

0 0,5 1 1,5 2

P=Pkr,h

= 1–

ho y

y

C

-Pkr,h ΠΘΘ=0 P=−Pkr,h

stabilis egyensúlyi helyzet

labilis egyensúlyi helyzet

3.4. ábra

Háromcsuklós tartó határpontos stabilitásvesztése

Geometriai

tökéletlenségek

nincsenek (yk = 0).

80

1) A Southwell-tétel szemléltetése

Az I(z) tehetetlenségi nyomaték részei: n=0 n=1 n=2

z

qkr=? I(z) = + +

l

Io I1 I2

A qkr kritikus megoszló teher alsó korlátja:

qkr ≥ qkr,o+qkr,1+qkr,2 = 7,84

+ 5,78

+ 3,67

2) A Dunkerley-tétel szemléltetése

Összetett teherrendszer (P és q):

P Pkr= π2

q

l EI qkr= 7,84

1 pontos megoldás

Dunkerley-egyenes

alsó korlát, megfelel

1

S. Timoshenko részmegoldásai (qkro, qkr1, qkr2, Pkr, qkr)

4.1.a) ábra

Elágazási (kihajlási) összegezési tételek

qkr ≥ qkr,o + qkr,1 + qkr,2 S)

+

≤ 1 D)

81

3) A Föppl-Papkovics-tétel szemléltetése

A szerkezet egyes részeit képzeletben megmerevítjük ( ∞).

A Pkr koncentrált kritikus teher alsó korlátja:

Pkr =? Pkr1 =

Pkr2 = π

2

α u=αl

l EI

EI ∞

cα [kNm]

A cα ∞

elfordulási rugó Pkr1u = MA = cαα Pkr1

A qkr megoszló kritikus teher alsó korlátja:

u=0,5αl

α

l EI qkr =? qkr1= 2

qkr2=

cα EI ∞ = 7,84

A cα ∞

elfordulási rugó (qkr1l )u = MA = cαα qkr1

pontos megoldás

1 S.Timoshenko

részmegoldásai

(Pkr1, Pkr2, qkr1, qkr2)

alsó korlát, megfelel

1

,

4.1.b) ábra

Elágazási (kihajlási) összegezési tételek

≤

+

F-P)

≤

+

F-P)

82

Δy

αk

P inflexióspont

Mki =

y k

x cy Hki

lo = ?

l inflexióspont

z

i

Mik = Hik = Hki = H

P

αi

5. TERVEZÉSI SEGÉDLETEK

83

P EA ∞

k

lik l1 l2 lj ln

EI1 EI2 EIj EIn

EIik

i a kihajlásra vizsgált oszlop/rúd

τ1=3 τ2=0 τj=3 τn=12

Pkr=? j=1 j=2 j j=n

k y

lik cy =? [kNm-1

]

i

P Pkr = ?

k

αi

EIik lik

cαi =? Mik = cαiαi

i

alaptest rugalmas ágyazás/befogás

B c [kNm-3

] ágyazási tényező, 5.I. táblázat

P Mik=Iacαi

[kNm]

z Figyelem! Ha nem az egész alapfelület

nyomott, akkor az Ia-t pontosabban

L σt = cz [kNm-2

] kell meghatározni!

B

5.1. ábra

Példa cy eltolódási rugóállandó és cα elfordulási

rugóállandó meghatározására

∑

Ia =

84

l1k l2k k3k =

oszlop

I3k,k3k l3k j = 1,2 gerenda:

I1k,k1k I2k,k2k kjk = 𝛈

k

Iik,kik lik

I1i,k1i i I2i,k2i

j = 1,2 gerenda:

I3i,k3i l3i kji = 𝛈

,

k3i =

oszlop

l1i l2i

k

𝛈 = 0,75 𝛈 = 1 𝛈 = 0,87

a j. gerenda a j. gerenda a j. gerenda

másik vége csuklós másik vége befogott másik vége

i rug. befogott

k

𝛈 = 0,50 𝛈 = 1,5 u

a j. gerenda a j. gerenda

szimmetrikusan antimetrikusan

i alakváltozik (fix) alakváltozik (kilendülő)

A számításokhoz általában közvetlenül ritkán használjuk a

elfordulási rugóállandók alábbi valódi (nem nagyított)

értékeit:

=

, Mik = , Mki = .

5.2. ábra

Keretoszlop ρi, ρk nagyított elfordulási rugóállandóinak

meghatározása

= 4

= 4

= 4

4

kik =

85

Δy

αk

P inflexióspont

Mki =

y k

x cy Hki

lo

l inflexióspont

z

i

Mik = Hik = Hki = H

P

αi

=

, =

Alkalmazás:

1.) A tényleges cy[kNm-1

] eltolódási rugóállandó és a tényleges

cαi[kNm], cαk[kNm] elfordulási rugóállandók ismeretében a fenti bekeretezett

összefüggésekkel a és a dimenziótlan nagyított rugóállandókat

kell képezni.

2.) Az 5.2. ábra szerinti keretoszlop esetén a dimenziótlan nagyított

rugóállandókat az ott látható módon kell meghatározni. A –t a fenti

összefüggés adja a cy[kNm-1

] ismeretében.

3.) Ezek segítségével az lo (helyettesítő) kihajlási hossz ν tényezőjének

értékét az 5.3.b) ábra szerint kaphatjuk meg.

5.3.a) ábra

Eltolódási (cy) és elfordulási (cαi, cαk) rugókkal megtámasztott

rúd lo (helyettesítő) kihajlási hosszának ν paramétere (síkbeli

kihajlás). Alapadatok

=

86

6 6

5 5

4 4

3,27

3 3

2,41

ρi=ρk=0, 0.1, 0.5, 1,0 Ez a görbe

2 2 akkor érvé- 1,83 nyes, ha nincs

1,59 fix csukló alul 1,38 sem. Ha csak rugó

1,20 van alul-felül.

1 1 0,98 F

ρi=ρk=∞, 10, 5, 3, 2 0,59 I

0,50 X

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

=

5.3.b) ábra

Eltolódási (cy) és elfordulási (cαi, cαk) rugókkal megtámasztott

rúd lo (helyettesítő) kihajlási hosszának ν paramétere (síkbeli

kihajlás). Az alapadatok az 5.3.a) ábrán

87

Δy

αk

P inflexióspont

Mki =

y k

x cy Hki

lo

l inflexióspont

z

i

Mik = Hik = Hki = H

P

αi

=

, =

inflexióspontok

lo

1 2 3a 3b 4 5 6 P P P P P P

lo p

lo

l lo lo

lo

ν=2 ν=1 ν=0,7 ν=0,7 ν=0,5 ν=1 ν=1,12

5.4. ábra

A síkbeli rúdkihajlás alapesetei. Az lo

(helyettesítő) kihajlási hosszak ν tényezői

lo = νl

88

P c1 [kNm-1

]

H=c1y1

y

1,0

l EI eltolódási rugók Euler-rúd

1 Pkr = crl, egyenes rúd 0

cr =

cr

P c2 H=c2y2

P c [kNm-1

]

H= cy 2,0

y aszimptota: 2,046 eltolódási rugó 1,5

l EI 2 1,0 0,5

H 0,25

M 0

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ca =

P aszimptota

y

l EI 3 0,25 elfordulási 0,20 rugó 0,15

cα [kNm] 0,10 0,05

0

0 1 2 3 4 5 6

cb =

5.5. ábra

Néhány gyakran előforduló rúd Pkr kritikus terhe és az

lo (helyettesítő) kihajlási hosszak ν tényezői

=

=

=

= 𝜐 =

√

89

P

2,0

l 4 1,5

EI l1

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

P

EI P 5

l

l/2

P Pkr = qkrl

EI P 6 q 7

l l

𝜐

l/2

5.6. ábra

Néhány gyakran előforduló rúd Pkr kritikus terhe és az

lo (helyettesítő) kihajlási hosszak ν tényezői

=

=

ν =

= 1,56.

ν =

= 1,213. ν =

= 0,729.

90

P P

Ig

Io Io

antimetrikus Ao ∞ h = l kihajlási alak

lg

5 5

4,46

Végtelenül

4 4 lágy gerenda esetén az

3,37 oszlop kriti-

3 3 kus ereje

zérus.

2,33

2 2

aszimptota

1 1

0,699 szimmetrikus kihajlási alak (nem mértékadó)

0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5.7. ábra

Kétcsuklós keret oszlopa lo (helyettesítő) kihajlási

hosszának ν tényezője (szimmetrikus keret)

91

P P

Ig

Io Io

antimetrikus Ao ∞ h = l kihajlási alak

lg

2,5 2,5

aszimptota

2 2

1,5 1,67 1,5

1 1 aszimptota

0,7 0,7

0,5 0,5 szimmetrikus kihajlási alak (nem mértékadó)

0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5.8. ábra

Befogott keret oszlopa lo (helyettesítő) kihajlási hosszának

ν tényezője (szimmetrikus keret)

92

saru hsγs = us 1 H fajlagos szögtorzulás

As=asbs hs

γs as bs

Gs ≈ 0,8−2,0 MNm-2

Gs: nyírási rugalmassági tényező

u = ua+uo+us = H/ku A ku eltolódási merevségi

us uo ua = αaht tényező (u=1, ku= H)

hs 1' 1 H komponensei:

EoIo

ho

( )

ht Io= IiII (berepedt)

EaIha ∞ Ma = Hht

us=hsγs ku[kNm-1

]

ha végtelenül merev alaptest

αa=

c [kNm-3

] ágyazási tényező, 5.I. táblázat

L Ia =

H

B

hajlékonysági tényező (H=1, fu= u) H = kuu

u = fuH fu [mkN-1

] u

5.9. ábra

Konzolszerű oszlop erő–eltolódás (H–u) összefüggése

fu =

=

+

=

=

τ = 3

=

ku =

93

khv

Vh=Gh γppf

terheletlen állandó

híd:h(p=0) Hh

saruel-

lenállás

(g,Δt,zs,φ)

kEv t.víz

ξ=0,5−2/3

Hf khh Eav δ=ξφ2

Eah a: aktív v: függőleges h: vízszintes

kf Gf f: fal

súlytámfal

A1 kEh

1,0 II II

ka a: alaptest

Ep t Ga

I φ2

A I

ψ φ1

va B

Vsinψ

V Vcosψ

H

ψ

Hcosψ

Hsinψ

e

B/2 B/2

5.10. ábra

Helyzeti állékonysági vizsgálatok közúti híd esetén

a kibillenés az A

[és az A1 ]

pont körül

Q−

= ∑

=∑γjPjkj

Q−

= γhGhkhv+ γfGfkf +

+γaGaka + γtγEEavkEv

Q+

= γh1Hhkhh+γtγEEahkEh

kb =

≥ 1

b elcsúszás az I − I

[és a II – II]

sík mentén

Q−

= ∑γjHj

V =

γhGh+ γfGf + γaGa+

+ γtγEEav

H =

γh1Hh + γtγEEah−

− γtγEpEp

Q−

= [Vcosψ + Hsinψ]f

Q+

= −Vsinψ + Hcosψ

0,75 a II-II sík mentén

f

(0,8tanφ1 és tanφ1cs)min

az I-I sík mentén

γh = γf = γa= 0,9 állandó γt= 1,1 (0,9) talaj

γh1 = 1,1

γp = 1,3 esetleges

γE = 1,5 aktív γEp = 0,5 passzív

kcs=

≥ 1

94

térszín

ív, keret

κ = ψ

Rg 90o

ψ

Rg: eredő erő az állandó terhekből

térszín

ív, keret κ = ψ

Rg 90o

≥ 20 cm

ψ

Rg: eredő erő az állandó terhekből

térszín

B

ív, keret víz

m≥ B/2

B/2 e

szádfal

RM: a teljes eredő erő (g+p)

5.11. ábra

Az elcsúszás elleni védekezés szerkezeti megoldásai

a alapsík ferdítés

b alapsík fogazás

c szádfalazás

κ

RM

95

térszín

γ [kNm-3

]: száraz térfogatsúly,

γ' [kNm-3

]: vízalatti térfogatsúly, ch ch

φ [ o

]: belső súrlódási szög,

ck [kNm-2

]: kohézió,

c = cv [kNm-3

]: függőleges (v) ágyazási tényező,

c = ch [kNm-3

]: vízszintes (h) ágyazási tényező (a mélység közepe

táján értelmezve; a mélységgel növekszik, felül nulla),

szemcsés talajok

γ

[kNm-3

]

γ'

[kNm-3

]

φ

[ o

] ck

[kNm-2

]

cv [kNm

-3]

függőleges

ch [kNm

-3]

vízszintes

1. kavics

18-20 11-12 35-40 − 140 000 60 000

2. homokos

kavics

19-21 12-14 32-38 − 100 000 40 000

3. homok

16-20 10-12 28-35 − 70 000 30 000

4. homok-

liszt

15-19 9-12 23-27 − 30 000 10 000

kötött talajok

γ

[kNm-3

]

γ'

[kNm-3

]

φ

[ o

] ck

[kNm-2

]

cv [kNm

-3]

függőleges

ch [kNm

-3]

vízszintes

1. sovány

agyag

14-22 8-12 9-24 100−200 60 000 30 000

2. közepes

agyag

13-22 7-12 7-22 125−250 50 000 20 000

3. kövér

agyag 13-23 7-13 5-19 150−300 30 000 10 000

4. iszap 16-22 8-12 12-27 75−150 15 000 5 000

5.I. táblázat

Tájékoztató talajfizikai jellemzők

Documents

RÚDSZERKEZETEK SÍKBELI KIHAJLÁSAdrjankolaszlo.uw.hu/DoktoriStabil.pdf · –Dulácska, E.: Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975 [14] Kollár, L. A mérnöki stabilitáselmélet különleges