ÁRBOLES Y

EJES

GENERALIDADES: Un árbol o eje es un elemento de maquina, generalmente de sección circular con un

diámetro mucho menor que su longitud, que sirve sostener y alojar a otros elementos de maquinas que son giratorios, tales como poleas, engranajes, levas, manivelas, piñones o coronas de cadenas, etc.

Los ejes pueden ser fijos o móviles. El eje fijo es aquel elemento no giratorio o estático que no transmite movimiento y se

utiliza solo como sostén de piezas rotatorias como ruedas, poleas, rodillos, engranajes locos, etc.

El eje móvil es aquel elemento rotatorio que gira en forma solidaria a aquellos elementos de máquinas que soporta pero no transmite alta potencia.

Un árbol es un eje móvil pero que transmite potencia. A- TIPOS DE ÁRBOLES 1) Según su configuración longitudinal, los árboles pueden dividirse en: • Árboles rectos: son los mas comunes y poseen simetría respecto de su eje geométrico

de giro.

Estos pueden ser macizos, huecos, con sección transversal constante o escalonada a lo

largo de su longitud. El escalonamiento se realiza para ubicar las diferentes piezas y para realizar el ajuste

axial de los elementos que se asentaron sobre el mismo. • Árboles acodados: son aquellos que se utilizan para convertir movimiento de rotación

en traslación y viceversa.

El caso mas típico es el de los cigüeñales. • Árboles flexibles: son aquellos que tienen un eje geométrico de forma variable y

permiten la transmisión del movimiento entre dos puntos (p/e motores de accionamiento y maquina accionada) donde los ejes geométricos de giro forman un determinado ángulo entre sí, de manera que es importante hacer un enlace rígido entre ellos.

Estos constan de una serie de cuerpos de alambres arrollados en forma de hélice una

sobre otra, que se encuentran cubierta flexible y que por medio de dispositivos especiales en los extremos pueden conectarse entre los puntos deseados.

En caso de árboles con un solo sentido de rotación, las capas yuxtapuestas están en sentido opuesto, de modo que al transmitir el par de torsión, la capa superior de alambres tiende a enrollarse.

Los árboles con dos sentidos de rotación tienen un enrollado diferente de los alambres con mas de en cada capa, de modo que la deformación torsional es aproximadamente la misma en uno u otro sentido de rotación.

2) según la forma de la sección transversal se pueden clasificar en: • De sección circular • De sección acanalada • De sección poligonal

B- UNIONES DE ÁRBOLES A LOS CUBOS DE RUEDAS Y POLEAS Algunas veces, los elementos giratorios están integrados en los árboles (p/e las ruedas

dentadas de diámetro pequeño que se fabrican con los árboles), pero con mas frecuencia dichas partes se fabrican por separado y luego se montan en los árboles. La parte del elemento montado que este en contacto con el árbol se denomina cubo.

Las uniones árbol-cubo pueden clasificarse en: 1) Uniones por rozamiento: En este tipo de uniones, el enlace se asegura por las fuerzas de rozamiento surgidas

entre la superficie exterior del árbol y la superficie interior del cubo. A este tipo de uniones pertenecen los siguientes tipos.

• Uniones de ajuste por interferencia, las cuales se logran ensamblando las partes con una prensa o calentando el cubo para que se expanda o enfriando el eje para que se contraiga. Se utilizan transmitir el momento torsor o para fijar la localización axial de la pieza sobre el eje.

• Uniones de ajuste por cuña: Donde la cuña oprime el cubo contra el árbol y se “clava” la pieza. El factor de

concentración de esfuerzos no es muy alto.

• Unión por cubo partido: Se realiza a través del cubo partido que se ajusta por medio de tornillos. Este permite el

desensamble y ajuste lateral con gran facilidad.

2) Uniones por forma: La transmisión del par se asegura por medio de piezas especiales como pasadores y

chavetas o por la forma de las secciones a unir (p/e sección acanalada).

Esta ultima unión se usa cuando se necesita transmitir grandes momentos torsionales. Los pasadores se usan para fijar la posición axial y transmitir momento torsor. Hay que

analizar bien el tema de la concentración de tensiones en el agujero del árbol. Las uniones por chavetas son muy difundidas y se puede mencionar la chaveta cuadrada

y la chaveta de disco que se emplea para servicio ligero debido a la profundidad del chavetero (ranuras para alojar las chavetas en los árboles y en los cubos) y es de alineación dado la libertad que tiene de girar dentro del chavetero-semicircular.

C – UNIONES ENTRE ÁRBOLES Las uniones entre árboles para transmitir potencia y para que giren juntos se realiza

mediante acoplamientos. Los acoplamientos pueden ser permanentes, los que a su ves se dividen en rígidos o flexibles, o periódicos (embragues).

D – APOYOS DE LOS ÁRBOLES Los apoyos sirven para montar a los árboles y ejes, asegurar su posición en el espacio y

soportar los esfuerzos y transmitirlos al bastidor. Los apoyos pueden estar constituidos por cojinetes de desplazamiento o rodamientos.

Desde todos los puntos de vista (diseño, cálculo, fabricación y montaje) es preferible utilizar solo dos apoyos, siempre que estos sean capaces de proporcionar suficiente rigidez radial para limitar la flexión y deformación angular del árbol a valores aceptables. Si se tiene que utilizar mas de dos apoyos para proporcionar la rigidez adecuada, debe mantenerse un alineamiento preciso de los cojinetes en la estructura soporte.

Al diseñar un árbol, y en concreto la situación de sus apoyos, debe aplicarse el principio de que las cargas axiales sean absorbidas por un solo apoyo. El cojinete que soporta la carga axial debe colocarse de manera que este fijo axialmente y el otro debe disponerse libre. En

cualquier caso, la disposición de los apoyos debe ser tal que se permita un juego axial libre del árbol suficiente para que bajo ninguna condición de exposición diferencial térmica, el árbol impedido de dilatarse (en caso contrario verse sometido a una severa carga resultante en los cojinetes).

E – MATERIALES DE LOS ÁRBOLES El material típico para fabricares el acero al carbono estirado en frió. Pero pueden

emplearse toda clase de materiales, incluyendo los metales no férricos y también los materiales no metálicos.

Las barras de acero estiradas en frío tienen propiedades físicas superiores a las barras estiradas en caliente del mismo material. Poseen mayor límite de fluencia, de rotura y de fatiga. Sin embargo, las tensiones residuales provocadas por el estirado en frío pueden afectar a los límites de fatiga.

Para fabricar árboles que deban trabajar con cargas altas con el fin de conseguir diámetros pequeños y elevada resistencia la desgaste en los gorrones, se emplean barras de acero aleado, trabajadas mediante tratamientos térmicos y térmico-químicos. No obstante, el elevado precio de estos aceros, así como la alta sensibilidad a la entalla limitan su aplicación. Además, las altas propiedades mecánicas de los aceros aleados no siempre pueden ser aprovechadas, puesto que el pequeño diámetro del árbol que se obtiene después de un cálculo resistente puede no garantizar su rigidez necesaria.

Los cigüeñales, con frecuencia, se fabrican de acero, forjados o estampados, y así como de fundiciones de alta resistencia, las cuales se distinguen por su suficiente resistencia mecánica y pequeña sensibilizada a la entalla, además amortiguan mejor las vibraciones de los aceros.

F – PROCESOS DE FAFRICACIÓN Los árboles menores de 95 mm de diámetro se suelen fabricar estirados en frió aunque

también se realizan mediante torneado y pulido. Los árboles mayores de 95 mm de diámetro se ejecutan por torneado, pulido y estirado,

partiendo del material laminado en caliente. Los árboles mayores de 150 mm de diámetro son ordinariamente forjados y luego

torneados. Los cigüeñales pueden ser forjados o fundidos. Los chaveteros y secciones estriadas de los árboles se llevan a cabo por fresado.

G – COMPORTAMIENTO DE LOS ÁRBOLES (FALLAS) Los ejes y árboles constituyen elementos críticos en muchas maquinas (piense en los

ejes – manguetas – de las ruedas no motrices de un automóvil o en los árboles que accionan las ruedas motrices), cuyo fallo puede originar serias consecuencias, no solo para el elemento en si, sino para todos los elementos directamente en contacto (cojinetes, ruedas dentadas, etc.), amen de la propia maquina en su conjunto.

En consecuencia, el conocimiento de las causas de fallo de estos elementos, la forma de evitarlos, reviste excepcional importancia, tanto en la fase de diseño, como en la de montaje y utilización.

Entre las causas de fallo más importantes de ejes y árboles pueden mencionarse:

• Errores de diseño. Salvando la situación anormal de un calculo defectuoso, los errores de diseño mas

comunes se someten al generar concentración de tensiones en puntos fuertemente solicitados y al diseñar incorrectamente las secciones del árbol donde van calados los cubos de ruedas a base de uniones aprisionadas o por contracción (ajuste por interferencia).

El mal diseño de los chaveteros puede dar lugar a roturas frágiles por esa zona.

• Incorrecta elección del material. Las causas del fallo más comunes por esta razón son:

1. Incorrecta composición química y metalúrgica. 2. Baja resistencia a un posible endurecimiento por absorción de

hidrogeno. 3. Posible descarburación superficial. 4. Poca resistencia a la corrosión cuando el árbol haya de trabajar en

ambientes corrosivos. 5. Existencia de defectos metalúrgicos (inclusiones, etc.) en el seno

del material. 6. Poca resistencia al desgaste, en el caso de tener montados

cojinetes de deslizamiento, pueden llevar a un fallo prematuro (por incremento de la holgura del cojinete).

• Incorrecta fabricación del elemento.

El fallo de los árboles por esta causa tiene su origen en:

1. Defectos inherentes al sistema de fabricación empleado (forja, moldeado, maquinado)

2. Tratamientos térmicos (o químicos) inadecuados, 3. Marcas de identificación inadecuadas (en cuanto a tamaño y

localización) 4. Tratamientos superficiales inadecuados (mentalización, cromado

duro, etc.) 5. Defectos de fabricación que conducen a un desequilibrio del

elemento y que se traducen en fuertes vibraciones que originan su rotura por fatiga.

• Errores de montaje.

Los fallos mas frecuentes en los árboles, por esta causa, se deben a:

1. Desalineamiento de los árboles con los cojinetes de apoyo. 2. Desajustes en los acoplamientos. 3. Chaveteros y ajustes con los cubos flojos o con holguras. 4. Fallos en los soportes (cojinetes), debidos a fabricaciones

incorrectas de los cojinetes al bastidor, errores en su montaje, etc. DETERMINACIÓN DE LA CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA DE UN EJE. No existe una única receta o fórmula para determinar la configuración de un árbol o eje

para un diseño dado. El mejor enfoque o planteamiento es el de estudiar los diseños existentes a fin de advertir como se resolvieron problemas similares y luego combinar lo mejor de ellos para solucionar el problema propio. Si no diseños existentes para usar como punto de partida; entonces determinar la configuración geométrica de un árbol o eje puede tener muchas soluciones.

Los dos casos que se exponen a continuación presentan este problema. Las soluciones que se indican no son únicas ni probablemente las mejores, pero ilustran la forma en que se fijan y localizan en dirección axial los elementos a montar sobre el eje y los medios para efectuar la transmisión de un momento torsor de un elemento a otro.

CASO 1: Un eje con dos engranajes debe ser soportado por dos cojinetes.

En este caso el eje se halla sometido a flexión, torsión y carga axial. La solución utiliza un piñón integral, tres escalones en el eje, chaveta, chavetero y

casquillo. El alojamiento sitúa los aros exteriores de los cojinetes y resiste las cargas de empuje o axiales.

CASO 2: Montaje de un eje para un ventilador y polea. El eje en este caso está sometido solo a torsión y flexión.

La solución implica cojinetes de casquillo, un eje integral a través de las piezas,

localización de collarines y tornillos de fijación (prisioneros) para dichos collarines, el rodete del ventilador y la polea. Los cojinetes de casquillo están sostenidos por el alojamiento del ventilador. Ya se vio anteriormente también los métodos mas usados para la fijación de los elementos en los ejes.

Otros casos o modo de ejemplo son presentados a continuación. Los mismos se han desarrollados y depurados con el transcurso de los años y representan nuevas soluciones para el diseño.

. PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE UN EJE: En el proceso de transmisión de potencia a una velocidad rotacional determinada, un eje

esta sometido a un par de torsión. De esta forma en el eje se desarrolla un esfuerzo cortante de torsión el deberá resistir. Además, cuando se montan algunos elementos de maquinas sobre él, estos ejercen fuerzas sobre el mismo en dirección transversal (perpendicular al eje del eje) generando momentos de flexión (con sus consecuentes tensiones o esfuerzos normales), corte vertical (tensiones de corte pura) y en algunos casos cargas axiales que generan tensiones normales directas. El efecto de las tensiones de corte puro pasa a tener importancia en los ejes cortos o en parte de ellos. Un eje que soporta uno o más elementos de máquinas debe soportarse sobre cojinetes. Es deseable que dos cojinetes proporcionen soporte radial. Para limitar la flexión y la deflexión del eje a niveles aceptables. Si además, es necesario utilizar tres o mas cojinetes para proporcionar el soporte adecuado y rigidez, es necesario mantener una alineación precisa entre ellos. El procedimiento que debe seguirse cuando se realiza el análisis y diseño de un eje, depende del diseño que se haya propuesto, asi como de la forma en que se cargue y se soporte. Asi se puede en forma general, sugerir el siguiente procedimiento:

(Como referencia la norma ANSI BIOGAM. “Design of transmition shafting”) • Determinar la potencia o torque que va a transmitir el eje. • Determinar la velocidad de giro (esta deberá estar alejada de la velocidad critica

del eje). • Determinar los componentes transmisores de potencia que se van a montar sobre

el eje y especificar su ubicación sobre el eje.

• Precisar la ubicación de los cojinetes de apoyo del eje. (ver si hay que utilizar

cojinetes que soporten cargas axiales). Tener en cuenta que si hay cargas axiales un cojinete debe tomarla y los demás deben poder deslizarse. Los cojinetes deben colocarse cerca de los elementos que transmiten potencia para minimizar los momentos de flexión.

• Tener en cuenta que la longitud total de la flecha debe ser mínima para mantener

las deflexiones en un valor aceptable. Las deformaciones máximas para los dientes de engranajes que se aceptan deben ser inferiores a 0.13 mm y la pendiente relativa de los ejes de los engranajes debe ser menor que 0.03 grados. Además, la deformación angular del eje geométrico de un rodamiento de bolas o rodillos, por lo general debe ser menor a 0.04 grados al menos que el rodamiento sea autoalineado.

• Proponer la forma de la geometría del eje y ver si es necesario por ejemplo

mecanizar los hombros para asentar los engranajes, poleas o cojinetes y la forma de asegurarlos, (mecanizado de chiveteros, etc.).

• Se debe elegir el tipo de material siguiendo estas pautas: 1. Alta resistencia. 2. Baja sensibilidad a la concentración de tensiones. 3. Capacidad de tratarlos térmicamente para disminuir la influencia de la

concentración de tensiones y para aumentar la resistencia al desgaste de los gorrones. 4. Buena maquinabilidad. (Por ejemplo se pueden tomar los aceros St-42, St-50, St-70. En casos especiales se

recurrirá a aceros aleados u otros materiales). • Hacer una grafica de torque a lo largo de todo el eje. • Calcular las fuerzas que ejercen acción sobre el eje tanto radial como axialmente. • Calcular las acciones sobre los cojinetes de soporte en cada plano. • Elaborar los gráficos completos de fuerzas de corte y momentos de flexión el los

planos x-y y x-z tomando como memento resultante: 2 2R xy xzM M M= +

• Calcular los diámetros o secciones del eje en función de los estados de carga,

para cada punto critico. Estos puntos son numerosos e incluyen aquellos donde tiene lugar un cambio de diámetro, donde se generan los valores más altos de torque y de flexión y donde se presentan concentraciones de tensiones. Muchas veces los, los diámetros de algunos tramos del eje son impuestos por los elementos que son soportados en el mismo. En este punto además se tiene que ver que teorías o consideraciones se toman en el cálculo.

ACCIONES SOBRE LOS ÁRBOLES (engranajes, poleas y piñones o coronas) Los elementos de maquinas como los engranajes, poleas, coronas, etc. ejercen fuerzas

sobre los ejes que dan lugar a esfuerzos de corte, momentos de flexión y cargas axiales. • RUEDAS DENTADAS O ENGRANAJES:

- Engranajes de dientes rectos: Cuando dos engranajes transmiten potencia, la fuerza que se ejerce sobre los dientes “Wn” es perpendicular al perfil envolvente de los dientes. Esta tiene sus componentes rectangulares: una radial “Wr” y otra tangencial “Wt”.

wnwr

wt

D

⇒ Como la relación entre potencia (P) y torque (T) es:

ω.TP = ; Donde: 60

..2 nπω =

Entonces: ωPT = y

2/DTWt = , donde D es el diámetro primitivo del engranaje

Siφ es el ángulo de presión que depende de la forma de los dientes (y vale por lo

general: 14.5º, 20º o 25º), φtgWtWr ⋅= , estas dos fuerzas generan flexión en dos ejes perpendiculares.

-Engranajes helicoidales: además de las fuerzas vistas en los engranajes de dientes

recto, en este tipo de engranajes aparece una fuerza axial. Si el ángulo helicoidal del engranaje

es ψ y el ángulo de presión normal es nφ ⇒ ψφ

cosntgWt

Wr⋅

= , y la carga axial es: ψtgWtWa ⋅=

• CADENAS Y RUEDAS DENTADAS:

La parte superior de la cadena es la que tracciona y genera torque en cualquiera de las

ruedas. La parte floja no ejerce fuerza sobre las ruedas. La fuerza total de flexión en el eje es:

2DTFC = ; D = Diámetro primitivo de la rueda.

Esta Fc está inclinada respecto a la línea horizontal, por lo que posee dos componentes:

θcos⋅= CCX FF

θsenFF CCY ⋅=

Estas componentes generan flexión tanto en el sentido x como y. • CORREAS EN V:

El tratamiento es similar al de las cadenas, salvo que ambos lados de la banda en V se

encuentran en tensión 21 FF ⟩ . Existe una fuerza neta de impulso en las poleas que vale:

21 FFFN −= y a su vez.

2DTFN =

La fuerza en el ejes 21 FFFB += (para ser mas exactos deben utilizarse las componentes de F1 y F2) con el ángulo de inclinación de la correa.

La otra ecuación que se debe usar es: θ⋅= feFF

2

1

Luego con F1 y F2, se las descomponen en x e y y se obtienen las componentes de flexión.

• CORREAS PLANAS: El análisis de fuerzas que ejercen las poleas con correas planas sobre los árboles es

idéntico al de las poleas en V, excepto las derivadas de la no existencia de la garganta. Por lo tanto:

Momento torsor: 1 2

p

F FTr+

=

Fuerza según la horizontal: ( )1 2 coshF F F θ= + ⋅

Fuerza según la vertical: ( )1 2hF F F senθ= − ⋅

Relación de fuerzas: θ⋅= feFF

2

1 Relaciones de 1

2

3FF

= son razonables.

CONCENTRACIÓN DE TENCIONES EN EJES. Se verán 3 tipos de discontinuidades geométricas que se encuentran generalmente en

los ejes que transmiten potencia: Los chaveteros, radios de acuerdo de los hombros y ranuras para arandelas de sujeción.

Se verá a continuación que valores de factores de concentración de tensión Kt se pueden usar para cada caso para empezar los cálculos y luego optimizar el diseño (no olvidar que el Kt depende del tipo de continuidad, geometría y diámetro del eje, por lo cual requiere de un proceso iterativo).

• CHAVETEROS

Las chavetas insertadas en los chaveteros permiten transmitir el torque entre el eje y el

elemento que transmite potencia (engranaje, polea, etc.). Tipos según ..............: Los Kt son: Kt = 2 (chavetero de perfil) Kt = 1.6 (chavetero de corredera deslizable) Estos factores se aplican al cálculo de la tensión por flexión del eje. Si la tensión de corte

por torsión es………………en lugar de constante, también se aplica este Kt.

Para todos los casos (chaveteros, radios de acuerdo, etc.) el Kt no afecta al término de las tensiones por torsión porque se supone que la torsión es constante y la concentración de tensiones da un efecto mínimo en el potencial de falla.

• RADIOS DE ACUERDO DE LOS HOMBROS: (Los hombros se mecanizan cuando se se

coloca un …………mecánico contra el mismo).

Son de dos tipos: - De borde cortante: (por ejemplo para montar cojinetes o

engranajes) (p/ejem. r/d=0.03 con D/d=1.5) Para el diseño a flexión: Kt=2.5 - De borde redondeado: (cuando el radio de acuerdo es más grande o

no asienta ningún cojinete mecánico) (p/ejem. r/d=0.17, D/d=1.5).

Para el diseño a flexión: Kt=1.5 • RANURAS PARA ARANDELAS DE SUJECION. - Para diseño a flexión: Kt=3. - Para diseño a torsión y flexión o solo torsión: Aumento un 6% el valor del

diámetro hallado en el diseño y una vez que se adopte sobre ese valor, la geometría de la ranura, deberá calcularse la tensión en la ranura con el Kt adoptado para la geometría de la ranura.

MSST: Se inicia la fluencia siempre que en cualquier elemento el esfuerzo cortante

máximo es igual al esfuerzo cortante máximo en una probeta de tensión cuando la probeta empieza a fluir.

DET: La falla por fluencia ocurre cuando la energía de deformación total en un volumen

unitario iguala o excede el valor de la energía de deformación en el mismo volumen correspondiente a la resistencia a fluencia en tensión o compresión.

ANALISIS DE CARGA ESTATICA: (Tensiones sobre los ejes). • MOMENTO FLEXIONNANTE Y TORSION. La fuerza aplicada perpendicular aun eje produce tensiones máximas en un punto de la

superficie de un eje macizo de sección circular.

xM c

Iσ ⋅

= (Flexión)

xM c

Jσ ⋅

= (Torsión) Con: 4 4

; ;2 64 32d d dc I Jπ π⋅ ⋅

= = =

3

32x

Md

σπ⋅

=⋅

3

16xy

Td

τπ

⋅=

⋅

Utilizando el círculo de Mohr, se demuestra que para el estado del plano de esfuerzos,

los esfuerzos normales principales no nulos están dados por:

22

1 2,2 2

x xxy

σ σσ σ τ⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠

; Con ( 0)yσ = ; y 2

21 2max min,

2 2x

xyσσ στ τ τ− ⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠

; Con

( 0)yσ =

Reemplazando xσ y xyτ genera:

2 21 2 3

16, M M Td

σ σπ

⎡ ⎤= ± +⎣ ⎦⋅

2 2max 1 2 3

16, M Td

τ τ τπ

⎡ ⎤= = ± +⎣ ⎦⋅

• TEORIA DE LA ENERGIA DE DISTORSION (DET) o (criterio de Von Misses) Esta teoría produce la falla (fluencia) si:

( )1/ 22 2 2 21 2 1 2

y

s

Sσ σ σ σ

η+ − ⋅ ≥

Donde: Sy es la resistencia a fluencia del material. y sη es el factor de seguridad.

Al término ( )2 2 2 21 2 1 2σ σ σ σ+ − ⋅ se lo conoce con el nombre de Tensión de Von Misses y se

puede expresar de la siguiente manera:

'σ = ( )2 2 2 21 2 1 2σ σ σ σ+ − ⋅ = ( )1/ 22 23x xyσ τ+ ⋅

Reemplazando los valores de 1σ y 2σ se llega a:

( )1/ 22 23

16 4 3 y

s

SM T

dπ η⋅ + ⋅ ≥

⋅

Así, el diámetro mas pequeño donde la falla empezara a ocurrir es:

1/3

2 232 43

s

y

d M Tsη

π⎛ ⎞⋅

= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Frecuentemente el par de torsión no se da explícitamente por lo tanto hay que obtenerlo

a través de la potencia transmitida. Muchas veces, en los problemas, el diámetro se conoce y el coeficiente de seguridad es una incógnita.

3

2 24323

ys

d s

M T

πη

⋅ ⋅=

⋅ + ⋅

• TEORIA DEL ESFUEZO CORTANTE MAXIMO: (MSST)

Esta teoría produce falla (fluencia) si:

1 2max 2

sySσ στ

η−

= ≥

2 2

3

32 y

s

sM Tdπ η

⋅ +≥

⋅

1/3

2 232 s

y

d M Tsη

π⎛ ⎞⋅

⇒ = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

• MOMENTO FLEXIONANTE, TORSION Y CARGA AXIAL.

Si sumamos la carga axial P a la expuesta anteriormente, se obtiene:

3 2

32 4x

M Pd d

σπ π⋅ ⋅

= +⋅ ⋅

∴ 2 2

1 2 3 2 3 2 3

16 2 16 2 16, M P M P Td d d d d

σ σπ π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ± + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 21 2 3

2, 8 8 8M P d M P d Td

σ σπ

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ ± ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦⋅

( ) ( )2 21 2 3

2, 8 8M P d Td

τ τπ

= ± ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⋅

• TEORIA DET.

( )1/ 2' 2 2 2 21 2 1 2

ysσ σ σ σ σ

η= + − ⋅ ≥ y reemplazando 2 2

3

4 (8 ) 48 y

s

sM P d T

dπ η⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ >

⋅

Acá, no se puede obtener una expresión explicita para el diámetro.

• TEORIA MSST.

1 2max 2 2

sy

s

sσ στη

−= ≥

⋅

2 23

4 (8 ) 64 y

s

sM P d T

dπ η⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ >

⋅

Acá es ídem al caso anterior, es decir, no se puede obtener una expresión del diámetro.

CONCLUSION: Estas ecuaciones permiten determinar maxτ o 'σ cuando se da “d” o

determinar “d” cuando se conocen los valores permisibles max 2sy y

s s

s sτ

η η= =

⋅ o de ' y

s

sσ

η=

También sirven para determinar el factor de seguridad ( sη si se conoce el diámetro)

ANALISIS DE CARGA CICLICA O DE FATIGA: (Carga alternada (de flexión) completamente invertida).

En cualquier eje rotatorio cargado por momentos estacionarios de flexión y torsión,

actuaran esfuerzos por flexión completamente invertida, debido a la rotación del árbol, pero la tensión por torsión permanecerá constante.

De esta manera se tendrá:

• Una tensión normal alternada de valor: 3

32 axa

Md

σπ⋅

=⋅

• Una tensión de corte media de valor: 3

16 mxym

Td

τπ⋅

=⋅

• Como se vio anteriormente estos valores de tensión se utilizan en los círculos de Mohr y

aplicando las teorías de DET o MSST se obtienen los valores equivalentes de las tensiones medias y alternadas. Obtenidos estos valores, se pueden seleccionar algunas de las relaciones de falla que se muestran a continuación para el diseño.

CASO 1: Utiliza la teoría de MSST. Para pronosticar el esfuerzo y la línea de Goodman

modificada para predecir la resistencia.

1/32 2

32 s a m

e ut

M TdS S

ηπ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1/ 22 2

3

1 32 a m

s e ut

M Td S Sη π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Ahora se debe incluir el factor de concentración de tensiones Kf, ya que la tensión crítica por flexión se dará en un punto de concentración de esfuerzos.

Esto se puede hacer sin corregir el valor de Se por el por el factor de concentración de esfuerzos y agregando Kf en la ecuación:

1/3

2 232 f as m

e ut

k M TdS S

ηπ

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1/ 22 2

3

1 32 f a m

s e ut

k M Td S Sη π

⎡ ⎤⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

CASO 2: si se emplea Soderberg y la teoría MSST.

1/322

32 f as m

e y

k M TdS S

ηπ

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1/ 222

3

1 32 f a m

s e y

k M Td S Sη π

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

CASO 3: Si se emplea DET y Goodman modificado. (Esta combinación es una de las

conservativas)

1/3332

2f a m

s e y

k M TdS Sη

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅⇒ = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

3

31 322

f a m

s e y

k M Td S Sη π

⎛ ⎞⋅ ⋅⇒ = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

CASO 4: Se aplica DET y Gerber.

1/31/ 2216

1 3s f a m e

e f a ut

k M T SdS k M S

ηπ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

1/ 22

3

161 1 1 3f a m e

s e f a ut

k M T Sd S k M Sη π

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = + + ⋅⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

CASO 5: Si se aplica DET y la relación ASME:

1/322

32 34

f as m

e y

k M TdS S

ηπ

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1/ 222

3

1 32 34

f a m

s e y

k M Td S Sη π

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

CARGA CICLICA O DE FATIGA: Los momentos de flexion y torsión son estables o constantes más la flexión y torsión

alternada.

3

32 mxm

Md

σπ⋅

=⋅

; 3

32 axa f

Mkd

σπ⋅

= ⋅⋅

; 3

16 mxym

Td

τπ⋅

=⋅

; 3

16 mxya fs

Tkd

τπ⋅

=⋅

Las cargas cíclicas, varían durante todo un ciclo en vez de permanecer constantes. Se vera a continuación un análisis general para los materiales dúctiles y se darán las ecuaciones apropiadas para materiales frágiles.

• MATERIALES DUCTILES: (Se usa MSST y Soderberg) En la siguiente figura se dan los esfuerzos normales y de corte que en un elemento

rectangular sobre un eje sometido a fatiga.

m f akσ σ± ⋅ m f akτ τ± ⋅

a: alternada. m: medio. Kf: factor de concentración de esfuerzos por fatiga debido a cargas normales.

Kfs: factor de concentración de esfuerzos por fatiga debido a cargas de corte. En la figura, que sigue a continuación, se muestran los esfuerzos que actúan sobre un

plano oblicuo en un ánguloφ . Este ángulo es genérico y luego se tomara aquel en el cual ocurre la falla.

Sumando las fuerzas tangentes a la diagonal, se tiene:

( ) ( ) ( )cos cos cos 0m fs a m fs a m f aA k A k A sen sen k A senφτ τ τ φ φ τ τ φ φ σ σ φ φ⋅ + ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Despejando φτ y usando ángulos dobles:

( ) ( )1cos(2 ) (2 )2m fs a m f ak A k senφτ τ τ φ σ σ φ= ± ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ± ⋅

Separando el esfuerzo oblicuo y alternante, el fuerzo sobre el plano oblicuo es:

(2 ) cos(2 ) (2 ) cos(2 )2 2

f amm a m fs a

ksen sen kφ φ φ

σττ τ τ φ τ φ φ τ φ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Recordando la línea de Soderberg para esfuerzo normal, obtenemos:

eS

aσ

ytS mσ

Para una carga de corte los puntos extremos de la línea de Soderberg son:

2e

ses

SSη

=⋅

y 2

ytsy

s

SS

η=

⋅ y esto queda:

De a cuerdo a la proporción de triángulos:

HF HGOF OD

= ó / 2

/ 2 / 2y s m a

y s e s

SS S

φ φη τ τη η

⋅ −=

⋅ ⋅

∴

1/ 2 / 2a m

s e yS Sφ φτ τ

η= +

Reemplazando aφτ y mφτ queda:

(2 ) cos(2 ) (2 ) cos(2 )1 2 2/ 2 / 2

f a mfs a m

s e y

ksen k sen

S S

σ τφ τ φ φ τ φ

η

⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

= +

1 (2 ) 2 cos(2 )s

A sen Bφ φη

= ⋅ + ⋅ ⋅

Con:

f am

y e

KA

S Sσσ ⋅

= +

fs am

y e

KB

S Sττ ⋅

= +

Ahora, necesitamos hallar la combinación de esfuerzos que produce el sη más pequeño,

ya que esto corresponde a la situación de esfuerzo máximo. (Plano en el cual ocurre la falla).

El valor mínimo de sη corresponde a un valor máximo de 1

sη⇒ derivando

1

sη respecto

de φ de la ecuación anterior e igualando a cero se tiene:

1 2 cos(2 ) 4 (2 ) 0s

d A B send

φ φφ η⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∴(2 ) (2 )

cos(2 ) 2sen Atg

Bφ φφ

= =⋅

Si se grafica esta relación, se tiene:

Y se puede hallar:

2 2(2 )

4Asen

A Bφ =

+ ⋅ ; 2 2

2cos(2 )4B

A Bφ ⋅

=+ ⋅

∴ Reemplazando en la ecuación 1 (2 ) 2 cos(2 )

s

A sen Bφ φη

= ⋅ + ⋅ ⋅ .

A

2B

2φ

2 24A B+ ⋅

2 22 2

2 2 2 2

1 4 44 4s

A B A BA B A Bη

⋅= + = + ⋅

+ ⋅ + ⋅

Reemplazando A y B en la anterior queda:

2 21 4f a fs am m

s y e y e

K KS S S S

σ τσ τη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= + + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

4y y ym f a m fs a

s e e

S S SK K

S Sσ σ τ τ

η⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Reemplazando en la ecuación anterior, los valores 3

32x

Md

σπ⋅

=⋅

y 3

16xy

Td

τπ

⋅=

⋅ para

; ; ;m a m aσ σ τ τ . Se tiene:

3

2 2

32

ys

y ym f a m fs a

e e

d S

S SM K M T K T

S S

πη

⋅ ⋅=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Si se quiere obtener el diámetro seguro más pequeño, para un factor de seguridad

específico se escribe como:

1/32 2

32 y ysm f a m fs a

y e e

S Sd M K M T K T

S S Sη

π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦fsK se calcula utilizando la torsión en lugar de la carga axial.

NOTA: Dentro de ; ;y e fS S K y fsK esta incluido “d” por lo tanto hay que

iterar. En este desarrollo se supuso que la MSST es valida y esto se demuestra haciendo

0yσ = en la ecuación para elτ máximo.

22

max 2xστ τ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∴el factor de seguridad es 2 2max

/ 2

4y y

s

x

S Sη

τ σ τ= =

+ ⋅

Y queda: 2 24yx

s

Sσ τ

η= + ⋅

NOTA: Peterson modifico la ecuación

2 2

4y y ym f a m fs a

s e e

S S SK K

S Sσ σ τ τ

η⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cambiando el

término del esfuerzo cortante de 3 a 4, con lo cual se satisface la DET, también se usa para materiales dúctiles.

1/3

2 232 3

4y ys

m f a m fs ay e e

S Sd M K M T K T

S S Sη

π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

OTRO CASO: La combinación mas usada es DET con Goodman modificada.

1/32 2 2 2

32 3 34 4

f a fs as m m

e e ut ut

K M K T M TdS S S S

ηπ

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 2 2

3

1 32 3 34 4

f a fs a m m

e e ut ut

K M K T M Td S S S Sη π

⎛ ⎞⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

• MATERIALES FRAGILES: (Se usa MSST)

Aunque generalmente los ejes son metales trabajados en frío y mecanizados a las dimensiones deseadas, existen aplicaciones en las que se utilizan piezas fundidas (Materiales frágiles).

Para materiales frágiles se suponen las fuerzas normales en lugar de las tangenciales a la diagonal. (Recordar que las probetas frágiles rompen a 90º del eje).

También la línea de diseño se extiende desde e

s

Sη

hasta u

s

Sη

en lugar de2

e

s

Sη⋅

a2

y

s

Sη⋅

como

antes. Así, siguiendo procedimientos similares a los materiales dúctiles se tiene:

2 22 22 . 4u u u u

c m a c m a cs m as e e e

S S S SK K KS S S

σ σ σ σ τ τη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Kc: factor de concentración de esfuerzos. Y también se tiene:

3

2 22 2

/16

.

us

u u uc m a c m a cs m a

e e e

d S

S S SK M M K M M K T TS S S

πη ⋅ ⋅=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ó

1/32 2

2 216 .s u u uc m a c m a cs m a

u e e e

S S Sd K M M K M M K T TS S S Sη

π

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Como ya vimos, tanto en materiales dúctiles como frágiles, muchos casos se dan con

flexión invertida y torsión constante. Con lo que: 0mσ = ; 0mM = y 0aτ = ; 0aT = .