Ravenka na prava

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava

str1

Voved

Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekti (to~ka, liniii , ramnina i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so

pomo{ na metodite na algrbrata. Prv i najvaèn ~ekor na analiti~kata geometrija e napraven so voveduvawe na koordinatniot sistem i opredeluvaweto

na polo`bata na bilo koja to~ka vo ramninata ( i prostorot) so pomo{ na broevi-nare~eni koordinati na taa to~ka.

Toa otvora mo`nost za izrazuvawe so pomo{ na broevi i brojni soodnosi i

na posloèni geometriski objekti, kako {to se liniite ( pravi ili krivi ), ramninite, povr{inite i dr. Toa go postignuvame preku metodot na analiti~kata

geometrija - nare~en metod na koordinati. Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i , toa se:

1. Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mnoèstvo od to~ki) vo

ramninata ili prostorot, {to e opredelena so svoite geometriski svojstva, i

2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena so svijata ravenka.

Prethodno, pred da iznesam pove}e op{ti zada~i na prava i nivno re{avawe, {to e i celta na ovaa tema , treba da se iznesat nekoi poimi i formuli povrzani so

re{avaweto na zada~ite.

1.Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija

Definicija 1: Sistemot obrazuvan od dve zaemno normalni brojni oski (Oh,

Ou) vo ramninata se vika pravoagolen koordinaten sistem ili Dekartov

pravoagolen koordinaten sistem. Oskata Oh se vika apcisna oska, a oskata Ou se vika ordinatna oska.

Prese~nata to~ka O se vika koordinaten po~etok. Ramninata zadadena so koordinatniot sistem se vika koordinatna ramnina i se ozna~uva hOu.

Koordinatnata ramnina so koordinatnite oski e podelena na ~etiri delovi koi se

vikaat kvadranti. Vo ovoj koordinaten sistem e opredelena mestopolo`bata na sekoja to~ka

(M-proizvolna to~ka) so podreden par broevi (h,u) t.e M (h,u), koi se vikaat koordinati na to~kata i toa h-apcisa,a u-ordinata.

Vo pravoagolen kordinaten sistem rastojanieto me|u dve to~ki M1(h1,u1) i

M2(h2,u2) e dadeno so formulata : 212

2122121 )yy()xx(),Md(MMM .

Koordinatite na to~kata M(h,u) koja {to ja deli otse~kata me|u to~kite

M1(h1,u1) i M2(h2,u2) po odnos

2

1

MM

MM se izrazeni so formulate:

1

yyy,

1

xxx 2121 , vo slu~aj to~kata M da ja polovi otse~kata M1M2

nejzinite kordinati se od oblik: 2

yyy,

2

xxx 2121

.

Plo{tinata na triagolnikot {to e zadaden so koordinatite na negovite

temiwa A(h1,u1), V(h2,u2), S(h3,u3) se presmetuva so formulata:

)yy(x)yy(x)yy(x2

1P 213132321


str2

2.Vidovi ravenki na prava

1. Kanoni~en (ekspliciten) vid ravenka na prava: y=kx+n , kade {to k e

koeficient na pravec na pravata, a n e otse~kata {to ja otsekuva pravata na

ordinatnata oska . 2. Ravenka na prava {to minuva niz dve to~ki A(h1,u1), V(h2,u2) :

)xx(xx

yyyy 1

12

121

3. Snop pravi niz to~ka M1(h1,u1): )xx(kyy 11 kade {to k e poznat

koeficient na pravec .

4. Segmenten vid ravenka na prava: 1n

y

m

x , kade {to m i n se otse~kite {to

gi otsekuva pravata na koordinatnite oski Oh i Ou soodvetno.

5. Op{t vid ravenka na prava: Ah+Vu+S=0

6. Normalen vid ravenka na prava: xcos+ysin-p=0 , kade {to e agolot {to go

zafa}a normalata na pravata povle~ena niz koordinatniot po~etok so pozitivnata nasoka na h-oskata i r e rasojanie od koordinatniot po~etok do

pravata. So pomo{ na normalniot vid ravenka na prava moè da se presmeta

rastojanieto od to~ka do prava so slednava formula 22

11

BA

CByAxd

Presekot na pravite (koordinatite na prese~nata to~ka) A1h+V1u+S1=0 i

A2h+V2u+S2=0 se odreduvaat so re{avawe na sistemot

0CyBxA

0CyBxA

222

111

Agolot me|u dve pravi se presmetuva so formulata 21

12

kk1

kktg

kade {to k1 i

k2 se koeficienti na pravcite na pravite.

Dve pravi se paralelni ako k1 = k2 , a normalni koga 1

2k

1k .

Simetralite na aglite me|u dve pravi go imaat sledniov vid:

21

21

111

BA

CyBxA

=

22

22

222

BA

CyBxA

Ako A1h+V1u+S1=0 i A2h+V2u+S2=0 se ravenkite na pravite {to se se~at vo

edna to~ka R, toga{ A1h+V1u+S1 + (A2h+V2u+S2 )=0 se vika snop pravi vo

to~kata R.

Trite pravi A1h+V1u+S1=0 , A2h+V2u+S2=0 A3h+V3u+S3=0 minuvaat niz edna to~ka, ako me|u koeficientite na pravata postoi vrskata:

A1(V2S3- V3S2 ) +V1(A2S3- A3S2 )+ S1(A2V3- A3V2 )=0


str3

3.Op{ti zada~i za prava

Zada~a 1: Da se presmeta perimetarot na triagolnikot, ako se poznati

koordinatite na negovite temiwa: A(-2;1), V(2;-2) i S(8;6) Re{enie: Perimetarot na triagolnikot e zbir od dolìnite na stranite, pa

zatoa }e gi presmetame tie dolìni:

525916)12())2(2()yy()xx(AB 22212

212 ;

55122525100)16())2(8()yy()xx(AC 22212

212

101006436))2(6()28()yy()xx(BC 22212

212

LABC =15+5 5 .

Zada~a 2: Dadeni se dve sosedni temiwa na kvadratot: A(3;-7) i V(-1;4). Da se

presmeta negovata plo{tina.

Re{enie: Neka stranata na kvadratot e a=AB . Dovolno e go presmetame rastojanieto(dolìnta na otse~kata) od A do V, a toa e

13712116))7(4())1(3()yy()xx(AB 22212

212 . Spored toa

P= AB2=137e2.

Zada~a 3: Na h-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite

A(-1;3), V(2;5) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i leì na h-oskata, toga{

ordinatata u=0, pa spored toa to~kata e M(h;0). Od uslovot na zada~ata sleduva deka

MA = MB ,t.e. 22222 /)50()2x()30()1x( ; 25)2x(9)1x( 22 . So

re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka 6

19x , {to zna~i baranata to~ka e

M(6

19;0).

Zada~a 4: Na u-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite

A(-3;-5), V(4;-3) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i leì na u-oskata, toga{

apcisata h=0, pa spored toa to~kata eM(0;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka

MA = MB ,t.e. 22222 /))3(y()40())5(y())3(0( ; 22 )3y(16)5y(9 . So

re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka 4

9y , {to zna~i baranata to~ka e

M(0;4

9 ) .

Zada~a 5: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba Mo(3;8), se

premestuva paralelno so u-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e bide ednakvo oddale~ena od to~kite A(4;-7), V(-3;2).

Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava

paralelna so u-oskata, toga{ apcisata sekoga{ e 3, a ordinatata se menuva, pa

spored toa to~kata e M(3;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA = MB ,t.e. 22222 /)y2()33()y7()34( ; 22 )y2(36)y7(1 . So re{avaweto na

ovaa ravenka dobivame deka 1y , {to zna~i baranata to~ka e M(3;1) .

Zada~a 6: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba Mo(2;1), se

premestuva paralelno so h-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e

bide na rastojanie 13 edinici od to~kata A(4;6). Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava

paralelna so h-oskata, toga{ ordinatata sekoga{ e 1, a apcista se menuva, pa


str4

spored toa to~kata e M(h;1). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA =13 ,t.e.

0128x8x;1692516x8x;/1325)4x(,13)61()4x( 222222 .So

re{avaweto na kvadratnata ravenka se dobivaat nejzinite re{enija: h1=-8 i h2=16.

{to zna~i postojat dve to~ki so baraniot uslov, a toa se M1(-8;1) i M2(16;1) .

baranata to~ka e M(3;1) . Zada~a 7: Da se opredelat kordinatite na to~kata Y {to otse~kata ja deli vo

odnos 1: 3, ako se dadeni kordinatite na to~kite A(-6;-2), V(2;10).

Re{enie: Neka Y(h;u) e to~kata {to ja deli otse~kata vo dadeniot odnos. Toga{

od formulata

1

yyy,

1

xxx 2121 7

4

28

31

1032y,0

4

0

31

236x

.

Baranata to~ka e Y(0;7).

Zada~a 8: Da se opredelat koordinatite na teì{teto na triagolnikot AVS

~ii temiwa se to~kite: A(2;3), V(-10;-4) i S(2;-8) Re{enie: Kordinatite na teì{teto T(h;u) na triagolnik so poznati

kordinati na negovite temiwa A(h1,u1), V(h2,u2), S(h3,u3) se presmetuvaat so

formulata 3

yyyy,

3

xxxx 321321

, spored toa

)3;2(T,33

)8()4(3y,2

3

2)10(2x

.

Zada~a 9: Temiwata na triagolnikot AVS se to~kite: A(3;6), V(-1;3) i S(2;-1).

Da se presmeta visinata na triagolnikot spu{tena od temeto S. Re{enie: Prvo da ja presmetame plo{tinata na dadeniot triagolnik, a potoa

od formulata AB

P2h c }e ja najdeme visinata, predhodno opredeluvaj}i ja i

dolìnata na stranata AB .

2

25)36(2)61()1())1(3(3

2

1)yy(x)yy(x)yy(x

2

1P 213132321 ,

dolìnata na stranata 5916)36())1(3()yy()xx(AB 22212

212 .

Kone~no 55

2

252

AB

P2h c .

Zada~a 10: Plo{tinata na triagolnikot AVS zadaden so koordinatite na

negovite temiwa A(3;5), V(2;-6) i S(h;-3) ima plo{tina 18 e2. Da se opredeli

apcisata na to~kata S Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva

22222 36625x550x121/36)25x,xx

x1116936;))6(5(x)51(2))3(6(32

118

(11 zatoa to ravenstvokoristime go

So sreduvawe na ravenstvoto se dobiva slednava kvadratna ravenka

061x50x11 2 ~ii re{ernija se h1=-1 i h1=11

61. Spored toa postojat dva mo`nosti

za izbor na temeto S i toa S1(-1;-3) i S2(11

61;-3).

Zada~a 11: Kakva vrska treba da postoi me|u koordinatite na to~kata N(x,y)

ako taa se premestuva taka, {to da bide na postojano na ednakvo rastojanie od

to~kite A(7;-3) i V(-2;1). Re{enie: Neka N(x,y) e proizvolna to~ka koja go ima dadenoto svojstvo, toga{

NA = NB ,t.e. 22222 /)1y()2x()3y()7x( ; 2222 )1y()2x()3y()7x( .


str5

So sreduvawe na poslednata ravenka se dobiva ravenkata 18h-8u=53 koja e

simetrala na otse~kata AB (to~kata treba da leì na simetralata na AB ).

Zada~a 12: Dadeni se dve sprotivni temiwa na eden kvadrat: A(3;0) i S(-4;-1).

Da se opredelat drugite dve temiwa na kvadratot. Re{enie: Da ja presmetame dolìnata na dijagonalata d.

50149)01()34(d 22 . Neka V(h;u) e teme na kvadratot. Od relacijata

ACd 2AB moème da ja odredime apcisata na V imame 22222 /y)3x(50;)0y()3x(50 . So sreduvawe na poslednata ravenka se

dobiva ravenkata h2-50h=0 ~ii re{enija se broevite h1=1 i h2=0, a po~etnata

iracionalna ravenka ja zadovoluva samo h2=0. Sega od relacijata AB = CB , t.e. 22222 /)1y()4x()0y()3x( ; 2222 )1y()4x(y)3x( . Po sreduvawe na

ovaa ravenka se dobiva ravenkata u=7h+4. Ako zamenime h=0 vo u=7h+4 , sleduva

u=4. Spored toa temeto Vima koordinati h=0 i u=4, t.e. V(0;4). Sega da ja odredime to~kata Y koja e sredina na dijagonalata. Taa ima koordinati

)2

1;,

2

1

2

01y,

2

1

2

43x

2

1Y(- t.e.

. Temeto D e simetri~na to~ka na V vo odnos na

srednata to~ka Y, pa zatoa negovite koordinati se

)3;D;3y2

1

2

y4;1x

2

1

2

x0

(-1 t.e. .

Zada~a 13: Za triagolnikot so temiwa vo to~kite A(5;3), V(2;-1) i S(1;4) da se presmetaat dolìnite na srednite linii(teì{ni linii) i da se opredelat

koordinatite na nivnata prese~na to~ka. Re{enie: Neka A1, V1 i S1 sredinite na stranite VS, SA i AV soodvetno na

triagolnikot. Prvo da se odredat nivnite koordinati.

Za A1 : ).2

3;

2

3;

2

3

2

41y;

2

3

2

12x ( At.e. 1

Za V1 : ).2

7;;

2

7

2

43y;3

2

15x (3V t.e. 1

Za S1 : ).1;2

7;1

2

13y;

2

7

2

25x (S t.e. 1

Presekot na srednite linii e

teì{teto T , a negovite koordinati se: )2;3

8(T,2

3

4)1(3y,

3

8

3

125x

.

Sega da gi presmetame dolìnite na srednite linii:

2

58

2

3

2

7)yy()xx(AA

22

212

2121

2

85

2

91)yy()xx(BB

2

212

2121

2

343

2

5)yy()xx(CC 2

2

212

2121

.

Zada~a 14: Povr{inata na eden triagolnik e 3e2. Dve negovi temiwa se

to~kite A(3;1) i V(1;-3). Teì{teto na to~kite se nao|a na h-oskata. Da se opredelat koordinatite na temeto S.

Re{enie: Neka T(h;u) e teì{te na triagolnikot. Od toa {to toa leì na h-

oskata sleduva deka u=0. Sega da ja odredime ordinatata u na temeto S:

.2y3

y310

Spored toa S(h,2). Apcisata h na S }e ja odredime od formulata

za plo{tina na triagolnik, t.e.


str6

222 614xxx14x464x11632

13 /),;))( (4 zatoa to ravenstvokoristime go

So sreduvawe na ravenstvoto se dobiva slednava kvadratna ravenka 016x7x 2 ~ii re{ernija se h1=2 i h1=5. Spored toa postojat dva mo`nosti za izbor na temeto

S i toa S1(2;2) i S2(5;2).

Zada~a 15: Da se dokaè deka vo sekoj pravoagolen triagolnik dolìnata na

otse~kata {to go soedinuva temeto pri praviot agol so sredinata na hipotenuzata

e ednakva na polovina od dolìnata na hipotenuzata. Re{enie: Neka A(h1,u1), V(h2,u2), S(h3,u3) se temiwa na pravoagolniot

triagolnik, vo koj praviot agol e vo temeto S a S1 e sredina na hipotenuzata i

nejzinite koordinati se .2

yyy;

2

xxx 2121

2

AC

2

)yy()xx(

4

)yy()xx(

2

yy

2

xx

2

yyy

2

xxxAC

221

221

221

221

2

21

2

21

2

211

2

2111

{to trba{e da se dokaè.

Zada~a 16: Vo triagolnikot opredelen so pravata 3x2

1y i koordinatnite

oski e vpi{an kvadrat taka {to, dve negovi strani se sovpa|aat so koordinatnite oski. Da se opredelat koordinatite na negovite temiwa.

Re{enie: Neka temiwata na kvadratot se O, A, V i S. Temeto V leì na

dadenata prava , pa zatoa h=u , t.e. V(h;h). Ako gi zamenime negovite temiwa vo ravenkata na dadenata prava se dobiva deka h=2. Spored toa, temiwata na kvadratot

se: O(0;0); A(2;0), S(2;2) i S(0;2) .

Zada~a 17: Da se opredelat agolot me|u pravata i pozitivnata nasoka na h-

oskata, kako i otse~kite {to pravata gi otsekuva na u-oskata:

a) 5

8x

5

2y b) u=-3h+2 v) u=-7 g) h=3

Re{enie: Od kanoni~niot vid ravenka na prava y=kx+n sleduva deka :

a) k=tg = 5

2=arctg

5

221o48’, a b=

5

8 b) k=tg = -3=arctg(-3)108o26’, a b= 2;

v) a) k=tg = 0=arctg0=0, a b= -7 g) pravata e normalna na u-oskata, zatoa

=90o, i ne otsekuva otse~ka na u-oskata.

Zada~a 18: Kako glasat ravenkite na stranite na kvadratot, ako negovite

dijagonali se zemeni za koordinatni oski? Dolìnata na stranata e a.

Re{enie: Ako dijagonalite se zemeni za koordinatni oski, toga{ temiwata na kvadratot leàt na koordinatnite oski i }e bidat:

A(2

2a;0), B(0 ;

2

2a), C(-

2

2a;0), D(0 ;-

2

2a). Toga{ ravenkite na stranite }e

bidat:

AV: 2

2xy1

2

2

y

2

2

x a

aa ; VS:

2

2xy1

2

2

y

2

2

x a

aa

;

CD: 2

2xy1

2

2

y

2

2

x a

aa

; DA: 2

2xy1

2

2

y

2

2

x a

aa

.

Zada~a 19: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz to~kata

A(3;1), a na ordinatnata oska otsekuva otse~ka n=5.


str7

Re{enie: Neka baranata prava e y=kx+n . Bidej}i taa otesekuva ote~ka n=5 na u-

oskata i treba da minuva niz dadenata to~ka sleduva deka nejzinite koordinati ja

zadovoluvaat ravenkata na pravata i t.e. 1=3k+5 od kade k=3

4 . Ravenkata na

daenata prava glasi y=3

4 x+5 t.e. 4x+3y-15=0.

Zada~a 20: Da se opredeli ravenka na prava {to minuva niz to~kite A(-1;2) i V(2;1)

Re{enie: Od formulata )xx(xx

yyyy 1

12

121

(ravenka na prava niz dve to~ki )

sleduva deka baranata prava e : t.e. 05y3x)1(x3

1))1((x

)1(2

212y

.

Zada~a 21: Otse~kata AV ~ii krajni to~ki se A(2;-1) i V(7;9) e podelena so

pravata {to minuva niz to~kata S(1;-2) vo odnos 2:3. Da se opredeli ravenkata na pravata.

Re{enie: Prvo da gi najdeme kordinatite na to~kata Y {to ja deli

otse~katavo dadeniot odnos. .; 3

3

21

93

21

y4

3

21

73

22

x

Sega da ja napi{eme

ravenkata na pravata ni to~kata S i Y(4;3):

t.e.5 011y3x)4(x3

5)4(x

41

323y

.

Zada~a 22: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A, a so

pozitivnata nasoka na h-oskata formira agol :

a) A(2;5) , =45o b) A(-1;3) , =150o

Re{enie: Od ravenka na prava u-u1=k(h-h1) sleduva: a) Baranata ravenka na pravata e : u-5=tg45o(h-2)=x-2 t.e. x-y+3=0

b) Baranata ravenka na pravata e : u-3=tg150o(h-2)=3

3(x-2 )t.e. 3 x-y-2 3 +9=0 .

Zada~a 23: Da se opredeli ravenka na pravata koja na kordinatnite oski

otsekuva otse~ki so dolìna:

a) m=3, n= -2 b) m= -1, n= -3

Re{enie: a) Od 1n

y

m

x sleduva 06y3x21

2

y

3

x

b) 03yx313

y

1

x

.

Zada~a 24: Dijagonalite na rombot koi se ednakvi na 10 i 4 edinici, se zemeni

za koordinatni oski. Da se opredelat ravenkite na stranite na rombot. Re{enie: Ako dijagonalite na rombot se zemeni za koordinatni oski, toga{

temiwata na rombot leàt na koordinatnite oski i }e bidat: A(2;0), B(0 ;5), C(-2;0),

D(0 ;-5). Toga{ ravenkite na stranite }e bidat:

AV: 15

y

2

x ; VS: 1

5

y

2

x

;CD: 1

5

y

2

x

; DA: 1

5

y

2

x

.

Zada~a 25: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz to~kata A(3;-7),

a otsekuva na koordinatnite oski ednakvi otse~i. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m=n, zatoa baranata prava e

myx1m

y

m

x t.e. . Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{

ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame 3-7=m t.e. m=4.

Spored toa, baranata ravenka na pravata e h+u+4=0 .


str8

Zada~a 26: Niz to~katas T(3;5) da se povle~e prava taka {to, otse~kite {to gi

otsekuva na kordinatnite oski se odnesuvaat kako 3:4. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m:n=3:4 t.e m=3k i n=4k kade {to

k e nekoj proizvolen broj , zatoa baranata prava e k12y3x1k4

y

k3

x 4 t.e. . Bidej}i

pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite

koordinati vo ravenkata dobivame 4

9kk125334 . Spored toa, baranata

ravenka na pravata e 027y3x44

912y3x t.e. 4 .

Zada~a 27: Edna prava minuva niz to~kata N(4;1), a na kordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ii {to zbir e ednakov na 10 edinici. Da se opredeli nejzinata

ravenka. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m+n=10 t.e n=10-m, zatoa

baranata prava e 1m10

y

m

x

. Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata

to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame

:m1m10

1

m

4 po ravenkakvadratna slednava dobiva se ravenkatana sreduvawe po ,

m2-13m+40=0 ~ii re{enija se m1=5 i m2=8 . So zamena vo n=10-m dobivame n1=2 i

m2=5 Spored toa, postojat dve pravi {to gi zadovoluvaat uslovite na zada~ata, a

toa se: 05y-x15

y

5

x t.e. i 08y-4x1

2

y

8

x t.e. .

Zada~a 28: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata B(5;-5), a

otsekuva na kordinatnite oski triagolnik so plo{tina ednakva na 50 e2.

Re{enie: Neka baranata prava e 1n

y

m

x . Plo{tinata na triagolnikot e

m

100n100nm50

2

nm

tuka od a t.e. , . Ako n go zamenime vo ravenkata na pravata

1n

y

m

x dobivame 0m100ymx1001

100

my

m

x 2 t.e. Bidej}i pravata treba da

minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame :m po ravenkakvadratna m2+20m-100=0 ~ii re{enija se

m1= 21010 i m2= 21010 . So zamena vo m

100n i so racionalizirawe na

imenitelot dobivame n1=- )12(10 i n2= )21(10 . Pravata koja minuva niz dadenata

to~ka moè da ima tri polo`bi i zatoa formira so koordinatnite oski tri

triagolnici. Baranite dve pravi koi se dobivaat od prethodnoto razgleduvawe se:

)21( x+ )12( y-10=0 i )12( x+ )21( y+10=0.

Tretata prava {to minuva niz dadenata to~ka e 1n

y

m

x od kade {to so zamena

na koordinatite na dadenata to~ka se dobiva ravenkata 5m+5n=mn=100 t.e. m+n=20 .

Sega re{avaj}i go sistemot ravenki

10nm

20nm dobivame n=-10 i m=10. spored toa

tretata prava e x-y-10=0 .

Zada~a 29: Da se presmeta plo{tinata na triagolnikot {to go obarzuva

3h-4u -12=0 pravata so koordinatnite oski.

Re{enie: Neka dadenata prava 3h-4u -12=0 ja dovedeme vo segmenten vid t.e.

13

y

4

x . Spored toa dolìnite otse~kite {to gi otsekuva pravata na


str9

koordinatnite oski se katetite na pravoagolniot triagolnik, pa zatoa

2e62

34

2

nmP

.

Zada~a 30: Kakva polo`ba ima vo koordinatniot sistem pravata Ah+Vu+S=0

koga e : a) A=0, b) V=0, v) S=0

Re{enie: a) Ako A=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot B

Cy , pa zatoa

pravata e paralelna so h-oskata.

b) Ako V=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot A

Cx , pa zatoa pravata e

paralelna so u-oskata.

v) Ako S=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot xB

Ay , od kade se gleda deka

pravata ne otsekuva segment na koordinatnite oski, zatoa pravata minuva niz

koordinatniot po~etok.

Zada~a 31: Kakvi treba da bidat koeficientite A i V vo ravenkata na pravata

Ah+Vu+S=0 za da formira so pozitivnata nasoka na h-oskata: a) ostar agol b) tap agol.

Re{enie: a) Neka ravenkata na pravata ja dovedime vo kanoni~en(ekspliciten)

vid : B

Cx

B

Ay . Od toj vid se ot~ituva koeficientot na pravecot na pravata i toj

e B

Ak . Imaj}i vo predvid deka k= tg i agolot da bide ostar , sleduva deka

tg>0 t.e B

Ak >0. Od tuka 0

B

A povlekuva deka A i V treba da imaat razli~ni

znaci.

b) Od prethodno kaànoto, sleduva deka ako agolot e tap , toga{ tg<0 t.e

B

Ak <0. Od tuka 0

B

A povlekuva deka A i V treba da imaat isti znaci.

Zada~a 32: Kakva vrska treba da postoi me|u koeficientite A, V, A1, V1 vo

ravenkite na pravite Ah+Vu+S=0 , A1h+V1u+S1=0 za da obarzuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka na h-oskata

Re{enie: Za da dadenite pravi obrazuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka

na h-oskata treba da imaat ednakvi koeficienti na pravci t.e. k=k1 od kade

sleduva 0BAABB

A

B

A11

1

1 kade {to B

Ak i

1

11

B

Ak se koeficienti na

pravcite na dadenite pravi, soodvetno.

Zada~a 33: Vo ravenkata na pravata 2h-(5m-2)u -3 da se opredeli m taka {to, pravata da zafa}a so h-oskata agol od 45o.

Re{enie: Koeficientot napravecot na pravata e 2m5

2

)2m5(

2

B

Ak

.

Za da bide ispolnet uslovot na zada~ata trba 145tg2m5

2 o

od kade {to sleduva

deka 5

4m .

Zada~a 34: Da se dovedat vo normalen vid ravenkite na pravite:

a) 5h+3u+11=0, b) 3h-7=0 , v) 2u+3=0 , g) -3h+4u+10=0 Re{enie: Dadena prava Ah+Vu+S=0 za da se dovede vo normalen vid trebada se

pomnoì so brojot 22 BA

1

vo koja se zema sprotivniot znak na S.


str10

a) Spored gore kaànoto sleduva 34

1

35

1

22

i ako dadenata ravenka

5h+3u+11=0 ja pomnoìme so se dobiva 034

11y3x5

b) Za dobivame 5

1

4)3(

1λ

22

i ako dadenata ravenka -3h+4u+10=0 ja

pomnoìme so se dobiva 05

10y4x3

.

Zada~a 35: Da se presmeta rastojanieto od dadenata to~ka do dadenata prava: a) M(4;-2), 8h-15u-11=0 , b) M(2;7), 12h+5u-7=0

Re{enie: a) Ako ja iskoristime formulata za rastojanie od to~ka do prava

22

11

BA

CByAxd

dobivame 3

)15(8

)11()2()15(48d

22

b) Analogno kako pod a) sleduva deka 4512

)7(57212d

22

.

Zada~a 36: Da se presmetaat visinita na triagolnikot ako se znaat

kordinatite na negovite temiwa A(-2;5), V(6;-3) i S(1;9)

Re{enie: Prvo da gi opredelime ravenkite na stranite na triagolnikot, a potoa }e gi presmetame visinite na triagolnikot.

AV: )6(x)2(6

)5(3)3(y

; 03yx)6(x3y

AS: )1(x)2(1

593y

; 023y3x4)1(x

3

49y

VS: )1(x16

939y

057y5x12)1(x

5

129y .

Visinata ha pretstavuva rastojanie od temeto A do pravata BC i nejzinata

dolìna e 13

56

512

)57(55212h

22

)(a .

Visinata hb pretstavuva rastojanie od temeto V do pravata AC i nejzinata

dolìna e 5)3(4

23)3()3(612h

22b

.

Visinata hc pretstavuva rastojanie od temeto S do pravata AB i nejzinata

dolìna e 2

27

11

)3(9111h

22c

.

Zada~a 37: To~kata A(2;-5) e teme na eden kvadrat; ednata negova strana se

nao|a na pravata h-2u-7=0. Da se presmeta negovata plo{tina.

Re{enie: Za da se presmeta plo{tinata treba da ja najdeme dolìnata na

stranata na kvadratot, a taa moè da se presmeta kako rastojanie od dadenata to~ka

do dadenata prava, t.e. 5)2(1

)7()2()5(12

22

a . Spred toa, R=a2= 22

e55 .

Zada~a 38: Da se presmeta rastojanieto me|u dvete paralelni pravi 3h-4u-10=0,

6h-8u+5=0 Re{enie: Za da se presmeta rastojanieto me|u dve paralelni pravi prvo treba

da se zema edna proizvolna to~ka od ednata prava, a potoa da se presmeta rastojanie

od to~ka do prava. Da ja zemame pravata 3h-4u-10=0. Neka h=0, toga{ u=2

5 . Sega da


str11

go presmetame rastojanieto od M(0; 2

5 ) do pravata 6h-8u+5=0.

2

5

)8(6

5)2

5()8(06

d22

.

Zada~a 39: Rastojanijata na to~kata M od pravite 5h-12u-13=0 i 3h-4u-19=0 se

soodvetno ednakvi na -3 i -5. Da se opredelata koordinatite na to~kata M. Re{enie: Ako iskoristeme rastojanie od to~kata M do dadenite pravi }e dobieme:

22 )12(5

)13(y)12(x53

od kade {to se nao|a slednava ravenka 26y12x5

22 )4(3

)19(y)4(x35

. od kade {to se nao|a slednava ravenka 6y4x3

Kordinatite na to~kata M se nao|aat so re{avawe na sistemot ravenki:

6y4x3

26y12x5 ~ie re{enie e h=2 i u=3, t.e. baranata to~ka e M(2;3).

Zada~a 40: Da se prersmetaat koordinatite na prese~nata to~ka na pravata 2h-

5u+3=0 so pravata paralelna so h-oskata i e oddale~ena od istata za 3 edinici.

Re{enie: Pravata koja e oddale~ena od h-oskata 3 edinici i e paralelna so nea ima ravenka u=3. Spored toa to~kata M ima koordinati M(h;3). So zamena na u=3 vo

ravenkata 2h-5u+3=0 se dobiva h=6.

Zada~a 41: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A(-3;1) i

niz prese~nata to~ka na pravite 5h+7u-1=0 i 3h-2u-13=0. Re{enie: Prvo da se odredi prese~nata to~ka M na pravite. Nejzinite

koordinati se nao|aat so re{avawe na sitemot ravenki:

013y2x3

01y7x5 ~ie

re{enie e h=3 i u=-2, t.e. baranata to~ka e M(3;-2). Sega da ja odredime ravenkata na

baranata prava koja minuva niz A(-3;1) i M(3;-2):

))3((x)3(3

121y

; 01y2x)3(x

2

11y .

Zada~a 42: Da se presmeta agolot me|u dvete pravi dadenis so ravenkite:

a) u=h i u=3h+5 , b) 3h-5u+2=0 i h+4u+3=0 Re{enie: Agolot me|u dve pravi se presmetuva spored slednava

formula21

12

kk1

kktg

, {to zna~i da go presmetame agolot treba da gi znaeme

koeficientite na pravite.

a) k1=1 i k2=3 sleduva ',, 332650arctg50131

13tg o

b) k1=5

3 i k2=

4

1 se soodvetno koeficienti na pravec na dadenite pravi, toga{

,o45)1arctg(1

5

3)

4

1(1

5

3

4

1

tg

t.e. agolot me|u pravite e 45o.

Zada~a 43: Niz to~kata M(3;5) da se povle~e prava pod agol 45o kon pravata

3h-2u+7=0. Re{enie: Neka baranata prava e y-y1=k1(x-x1).


str12

Od .5

1k

2

3k1

k2

3

1kk1

kk45tg 1

1

1

12

12o

Baranata prava e y-5=

5

1(x-3) t.e. x-

5y+22=0. No, niz istata to~ka moè da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a

dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava

x-5y+22=0. Zatoa taa prava }e ima koeficient k= 5

5

1

1

k

1

1

,i nejzinata ravenka

e y-5=-5 (x-3) t.e. 5x+y+20=0.

Zada~a 44: Za koj agol treba da se zavrti pravata 3h+u-6=0 okolu svojata

prese~na to~ka so u-oskata za da ja se~e pravata 2h-3u+5=0 pod agol od 45o ? Re{enie: Prese~nata to~ka na pravata 3h+u-6=0 so u-oskata e A(0;6). Pravata

3h+u-6=0 moè da rotira okolu prerse~nata oska vo dvete nasoki i neka nejzinata ravenka e y-6=kx . Koeficientot na pravecot na pravata }e go opredelime od

uslovot , deka taa treba da zafa}a agol od 45o so pravata 2h-3u+5=0 t.e. od

.5k

2

3k1

2

3k

1kk1

kk45tg

12

12o

Baranata prava e y-6=5x t.e. 5x-y+6=0. No, niz

istata to~ka moè da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava 5x-y+6=0. Zatoa

taa prava }e ima koeficient k1=5

1

5

1

k

1 , i nejzinata ravenka e y-5=-

5

1x t.e.

x+5-30. Sega

.o45t.e.1

tg

2

351

2

35

kk1

kktg

12

12 .o1t.e.1 35tg

2

3

5

11

2

3

5

1

kk1

kktg

12

12

Zada~a 45: Edna prava na koordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ij {to proizvod e 12, a paralelna e so pravata h+3u-16=0. Da se opredeli nejzinata ravenka

Re{enie: Neka pravata gi se~i koordinatnite oski vo to~kite A(m;0) i B(0;n),

toga{ mn=12. Koeficientot na pravata {to minuva niz to~kite A i V e ednakov na

m

n i toj treba da bide ednakov na koeficientot na pravata h+3u-16=0(zatoa {to

treba da se paralelni) t.e. m3n3

1

m

n . Sega ako se re{i sistemot

12mn

m3n gi

dobivame vrednostite za m i n t.e. 6m2n i . Spored toa, baranite pravi se :

06y3x12

y

6

x t.e. i 06y3x1

2

y

6

x

t.e. .

Zada~a 46: Niz to~kata A(2;-3) da se povle~e prava normalna na pravata

u=2h+1. Re{enie: Neka baranata prava e u-(-3)=k(h-2), a koeficientot na pravata

u=2h+1. e 2 a na baranata prava k=-2

1. Ravenkata na pravata e u+3=-

2

1(h-2) t.e.

h+2u+4=0.

Zada~a 47: Da se opredeli podno`jeto na normalata spu{tena od to~kata A(-1;7) kon pravata 3h-5u+4=0 .

Re{enie: Baranata normala e dadena so ravenkata u-7=k(h-(-1)). Sega k se

opredeluva od k=-1k

1kade {to k1=

5

3 e koeficient na pravata 3h-5u+4=0, t.e. k=

3

5 .


str13

Ravenkata na normalata e u-7=3

5 (h+1), t.e 5h+3u-16=0. Podno`jeto na normalata e

presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot

04y5x3

016y3x5~ie re{enie e h=2 i u=2, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M(2;2).

Zada~a 48: Da se opredeli to~kata simetri~na so to~kata M(-2;-9) vo odnos na

pravata 2h+5u-38=0 .

Re{enie: Prvo da ja najdeme ravenkata na normalata na dadenata prava {to

minuva niz to~kata M(-2;-9). Neka nejzinata ravenka e u-(-9)=k(h-(-2)). Sega k se

opredeluva od k=-1k

1kade {to k1=

5

2 e koeficient na pravata 2h+5u-38=0, t.e. k=

2

5

. Ravenkata na normalata e u+9=2

5 (h+2), t.e 5h-3u-8=0. Podno`jeto na normalata e

presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot

038y5x2

08y2x5~ie re{enie e h=4 i u=6, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M’ (4;6).

Sega moè da se odredi simetri~nata to~ka Y(h2;u2) na M(-2;-9) vo odnos na

poidno`nata to~ka M’ (4;6). Od 2

yyy

2

xxx 2121

, , sleduva

2

y96

2

x24 22

, t.e. h2 =10 i u2=21. Simetri~na to~ka e Y(10;21).

Zada~a 49: Da se opredelat ravenkite na simetralite na aglite {to gi

formiraat pravite h-3u+5=0 i 3h-u-2=0 .

Re{enie: Simetralite na aglite me|u dve pravi se opredeluvaat so formulata

21

21

111

BA

CyBxA

=

22

22

222

BA

CyBxA

. Zatoa

22 )3(1

5y3x

=

22 )1(3

2yx3

;

10

5y3x

=

10

2yx3 ; )5y3(x = )2yx3( . Baranite simetrali na aglite me|u

dadenite pravi se 4h-4u+3=0 i 2h+2u-7=0.

Zada~a 50: Ravenkite na stranite na triagolnikot se: h+u-15=0, h+7u-67=0 i

7h+u+29=0. Da se opredelat koordinatite na centarot i radiusot na vpi{anata kru`nica.

Re{enie: Centarot na vpi{ana kru`nica vo triagolnik e presekot na

simetralite na vnatre{nite agli. Zatoa dovolno e da gi odredime simetralite na dva agli vo triagolnikot, a potoa da go odredime nivniot presek. Simetralata na

agolot me|u pravite h+u-15=0 i h+7u-67=0 e : 22 11

15yx

=

22 71

67y7x

;

2

15yx =

50

67yx ; )15y(x5 = 67yx 04yx2 . Simetralata na agolot

me|u pravite h+u-15=0 i 7h+u+29=0 e : 22 11

15yx

=

22 17

29yx7

;

2

15yx =

50

29yx7 ; )15y(x5 = 29yx7 052y2x . Koordinatite na

prese~nata to~ka(centarot) se re{enijata na sistemot

052y2x

04yx2,t.e. h=20 i

u=36, t.e. S (20;36). Radiusot na vi{anata kru`nica e rasojanieto od centarot do


str14

starnite na triagolnikot (za da go presmetame r dovolno e da presmetame

rastojanie do edna strana (do h+u-15=0)) ,t .e. 2

41

11

15361201r

22

.

Zada~a 51: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz prese~nata to~ka na

pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0 i ja prepolovuva otse~kata ograni~ena so to~kite

A(5;-6) i B(-1;-4) . Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0

se re{enijata na sistemot

023y5x

02yx2,t.e. h=3 i u=-4, t.e. Y (3;-4). Sredinata na

otse~kata AV ima koordinati 52

)6(4,y2

2

)1(5x

t.e. h =2 i u=-5;M(2;-5).

Ravenkata na dadenata prava e pravata {to minuva niz to~kite Y i M:

)2(x23

)5(4)5(y

, t.e. h-u-7=0.

Zada~a 52: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz prese~nata

to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i 4h+3u+17=0 i e paralelna so pravata 2h+7u-4=0 .

Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i

4h+3u+17=0 se re{enijata na sistemot

017y3x4

021y5x3,t.e. h=-2 i u=-3, t.e. Y (-2;-3).

Koeficientot na pravata 2h+7u-4=0 e 7

2k od kade {to sleduva deka i

koeficientot na baranata prava mora da bide 7

2k (bidej}i tie treba da se

pralelni). Zatoa ravenkata na baranata prava so dadenite uslovi e :

))4((x7

2)3(y , t.e. 2h+7u+25=0.

Zada~a 53: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz prese~nata

to~ka na pravite 3h+u-5=0 i h-2u+10=0, a e na rastojanie d=5 edinici od to~kata

M(-1;-2)

Re{enie: Neka baranata prava {to treba da minuva niz prese~nata to~ka na pravite e u=kh+n. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+u-5=0 i h-

u+10=0 se re{enijata na sistemot

010yx

05yx3,t.e. h=0 i u=5, t.e. Y (0;5).

Kordinatite na Y gi zmenime vo ravenkata u=kh+n se dobiva deka n=5. Baranata

prava go dobiva kh-u+5=0. Od uslovot , deka baranata prava treba da bide na

rastojanie ednakvo na 5 do to~kata M(-1;-2), se odreduva k, t.e.

.; 5k21k5)1(k

5)2(1)1(k5 2

22

Od ravenstvoto 2xx sleduva

222 5k21k5 /)( , a od tuka se dobiva slednava kvadratna ravenka po k , ~ii

re{enija se 4

3k

3

4k 21 i . Spored toa baranite ravenki na pravi se dobivaat so

zamena na k1 i k2 vo kh-u+5=0 , a tie se 4h+3u-15=0 i 3h-4u+20=0. Zada~a 54: Da se dokaè deka ~etirite to~ki A(-2;-2), V(-3;1), S7;7) i D(3;1) se

temiwa na trapez, i potoa da se sostavi ravenkata na srednata linija .

Re{enie: Za da se dokaè deka dadenite to~ki se temiwa na trapez, dovolno e

da proverime dali dve ravenki na pravite {to minuvaat niz to~kite A i V, V i S, S i D; i D i A imaat ednakvi koeficienti na pravci (toa zna~i deka tie pravi se

pralelni). 323

21k AB

;

5

3

37

17k BC

;

2

3

73

71kCD

;

5

3

32

12k DA

. Od


str15

poslednoto se zaklu~uva deka pravite VS i DA se paralelni, {to zna~i

~etiriagolnokot ABCD e trapez. Sredinata na stranata AV, M ima koordinati

h=2

5 i u=

2

1 , a sredinata na stranata DS, N ima koordinati h=5 i u=4. Ravenkata

na srednata linija na trapezot MN e : )4(x

2

55

2

14

4y

, t.e. 3h+5u-5=0.

Zada~a 55: Dve strani na eden parallelogram se dadeni so ravenkite h+u-1=0 i

3h-u+4=0. Prese~nata to~ka na dijagonalite e Y(3;3). Da se opredelata ravenkite na drugite strani.

Re{enie: Dadenite pravi ne se paralelni strani, zatoa {to nemaat ednakvi

koeficienti na pravci i tie mora da se se~at. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravaite AV: h+u-1=0 i AD: 3h-u+4=0 se re{enijata na sistemot

04yx3

01yx,t.e. h=

4

3 i u=

4

7, t.e. A (

4

3 ;

4

7). Simetri~nata to~ka(teme) na A vo

odnos na Y e S so kordinati 4

17y

2

4

7y

34

27x

2

4

3x

i . Da ja napi{ime

ravenkita na pravite VS koja minuva niz S i ma ednakov pravesc so pravata AD:

)4

27(x3

4

17y , t.e. 3h-u-16=0, i ravenkita na pravite DC koja minuva niz S i ma

ednakov pravesc so pravata AB: )4

27(x

4

17y , t.e. h+u-11=0.


str16

LITERATURA

1. Matematika za III godina- (tehni~ki struki)–Gligor Tren~evski

"Prosvetno delo"-Skopje,1991 godina.

2. Zbirka zada~i od Analiti~ka geometrija–Dimitar Bitrakov

"Prosvetno delo"-Skopje,1987 godina.

.


str17

S O D R @ I N A

Voved.................................................................................................................................str. 1

1. Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija ....................................str. 1

2. Vidovi ravenki na prava ........................................................................................ str. 2

3. Op{ti zada~i za prava .............................................................................................str. 3

Literatura .....................................................................................................................str.16

Documents

Ravenka na prava