RATIO, REGRESSION, dan DIFFERENCE

ESTIMATION

Oleh :

Eka Desi .S 0508405034

Imamuddin Kamil0508405070

Arif Rohman Hakim0508405036

Onemei Delti0308405032

Pengertian Perkiraan (pendugaan).

adalah: Sebuah bentuk implementasi dari salah satu

sifat dari statistik teori, yaitu penciptaan

teori yang membahas bagaimana

membuat penduga yang baik dari data

yang diperoleh.

Kegunaan dari Metode perkiraan adalah sebagai berikut:

1. Dalam survei yang mengandung sejumlah besar item, terdapat faedah

yang besar. Ini sama dengan menggunakan komputer dalam suatu

prosedur perkiraan memerlukan sedikit lebih banyak dari

penambahan yang sederhana. Sedangkan dalam metode perkiraan

yang lebih baik dalam teori statistik seperti metode likelihood

memerlukan seri pendekatan yang berturut-turut sebelum

perkiraannya dapat ditemukan .

2. Banyak diantara metode perkiraan dalam teori statistik menganggap

bahwa kita mengetahui bentuk fungsi distribusi frekuensi dari data

sampel, dan metode perkiraan secara hati-hati dihubungkan untuk

jenis distribusi ini. Kecenderungan tersebut dalam teori sampel survei

telah dibuat, yang paling banyak membatasi mengenai distribusi

frekuensi ini (apakah sangat miring atau agak simetris) dan

meninggalkan bentuk fungsi spesifik dari pembahasan.

Kecenderungan ini mengakibatkan penggunaan metode perkiraan

sederhana yang bekerja baik dengan sebuah range dari jenis

distribusi frekuensi. Sikap ini untuk menangani survei yang jenis

distribusunya dapat berubah dari satu item dengan lainnya, dan bila

kita ingin berhenti dan menguji seluruhnya sebelum memutuskan

bagaimana membuat masing-masing perkiraan.

Tujuan :

Untuk memperoleh peningkatan penelitian

dengan mengambil manfaat hubungan antara y(i)

dan x(i).

Penduga Rasio

Rasio adalah parameter populasi yang diperkirakan

Rasio:

Penduga Rasio:

Dimana:y(i)= nilai karakteristik (misal: volume) yang

diukur pada unit contoh ke-Ix(i)= nilai dari peubah pengiring pada unit contoh

ke-I n = banyaknya unit contoh

X

Y

X

Yr N

ii

N

ii

1

1

x

y

x

yr

n

ii

n

ii

1

1ˆ

Penduga variansi pada Rasio(var(r):

Pembuktian untuk mencari rata-rata kesalahan kuadrat:

adalah sebuah perkiraan yang tidak bias terhadap

1

1ˆˆ 1

2

2

1

1

n

rxy

nN

nN

x

yVrV

n

iii

xn

ii

n

ii

2

222

2

ˆvar

2ˆ

ˆˆ

biasians

mmEmmE

ERKK

R̂ R

Bukti :

Dimana:

x

xry

rx

yrr

ˆ

x

xryErrE )ˆ(

1

1

1

1

11

1

ˆˆ

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

n

rxy

nN

nN

N

Dd

n

f

fn

S

xryEx

x

xryE

rrErV

n

iii

x

n

ii

x

d

x

1

1

2

2

n

DdS

xryD

rxyd

n

ii

d

iii

Batas galat pendugaan:

Ukuran sampel untuk menduga rasio: bila kita misalkan:

maka:

rVBn

rxy

nN

nNrVB

n

iii

x

ˆ41

12ˆ2 21

2

2

4

22xB

D

2

2

d

d

SND

NSn

222

2

2222

2222

22

2

2

2

4

4

44

44

14

12

ˆ2

dx

d

ddx

ddx

d

x

d

x

SBN

NSn

NSnSBnN

nSNSBnN

BSnN

nN

BSnN

nN

BrV

Penduga total populasi :

Penduga variansi Rasio bagi total populasi:

Batas galat pendugaan:

xxn

ii

n

ii

y rx

y

1

1ˆ

1

1ˆˆˆ 1

2

222

n

rxy

nN

nNrVV

n

iii

xxxy

1

12ˆˆ2 1

2

22

n

rxy

nN

nNV

n

iii

xxy

Rasio pendugaan pada rata-rata populasi:

Pendugaan variansi:

Batas galat pendugaan:

xxn

ii

n

ii

y rx

y

1

1ˆ

1

1ˆˆˆ 1

2

222

n

rxy

nN

nNrVV

n

iii

xxxy

12ˆˆ2 1

2

2

n

rxy

nN

nNV

n

iii

xy

Batas galat pendugaan Variansi Rasio pada total populasi:

22

22

2222

22

222222

222222

2222

22

2

2

2

2

2

2

2

4

4

44

44

4

14

12

12

ˆˆ2

dx

dx

dxx

dx

dxxdx

xdxdx

xdx

d

x

x

d

x

x

d

x

x

SND

NSn

SNB

NSn

nSnNBNS

nNBnSNS

nNBnNS

BSnN

nN

BSnN

nN

BSnN

nN

BRV

Penduga Regresi

Dalam penduga regresi (x) sebagai nilai tertentu dan (y) sebagai peubah acak. Penduga Regresi:

Dimana:

xby xyl ̂

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

xnx

yxnxy

xx

xxyyb

1

22

1

1

2

1

Penduga Variansi:

bukti:

dimana:

dengan mencari:

n

i

n

iiiyl xxbyy

nNn

nNV

1 1

222

2

1ˆˆ

1.....1 2Sen

fyV lr

2.......1

1

1

22

n

ii ee

nSe

xxBbxxbyy

xxBxxbxxbyy

xxByyee

iii

iiii

iii

Menurut teorema diketahui bahwa (b-B) = , dengan asumsi bahwa jika

nbernilai besar, maka nilai (b-B) akan semakin kecil, sehingga persamaan pada ruas kanan yaitu dapat diabaikan. Sehingga bentuk persamaan diatas menjadi:

subtitusi persamaan (3) ke persamaan (2):

pembagi (n-1) pada diganti dengan (n-2), sehingga persamaan menjadi:

n

1

xxBb i

3........xxByyee iii

2

1

1

22

1

1

1

1

n

iii

n

iie

xxbyyn

een

S

2eS

4........2

12

1

2

n

iiie xxbyy

nS

Subtitusi persamaan (4) ke persamaan (1) sehinggga:

dimana:

maka menjadi persamaan:

5....22

1

2

11

1

222

2

1

n

iiiii

n

iiilr

xxbyyxxbyynn

f

xxbyynn

fyV

2xx

yyxxb

i

ii

6........2 yyxxxxb iii

Subtitusi persamaan (6) ke persamaan (5):

derajat kebebasan yang dimiliki oleh deviasi ini adalah (n-k) dimana (k) adalah banyaknya penduga βj , jadi untuk model dengan dua parameter β0 dan β1 , maka:

n

iii

n

i

n

iii

n

ii

n

iii

xxbyynn

f

xxbyynn

f

xxbxxbbyynn

f

1

222

1 1

222

1

22

1

22

2

1

2

1

..22

1

2102 ˆ

2

1iie xbby

nS

Batas Galat Pendugaan:

2

1 1

222

2

12ˆˆ2 Bxxbyy

nNn

nNV

n

i

n

iiiyl

Beda PendugaBeda Penduga:

Dimana:

Beda Penduga Variansi :

Dimana :

Bukti:

Dimana :

dxy xxyD ̂ xyd

1ˆˆ 1

2

n

dd

Nn

nNV

n

ii

yD iii xyd

1

1)ˆ(ˆ

1

2

2

n

dd

Nn

nN

fn

SV

n

ii

dyD

1

1

2

2

n

ddS

n

ii

d

Batas Galat Pendugaan:

Mencari nilai (n):

1

2ˆˆ2 1

2

n

dd

Nn

nNV

n

ii

yD

n

ii

i

i

dd

B

nNn

nN

Bn

dd

Nn

nN

Bn

dd

Nn

nN

1

2

2

2

2

2

41

1

14

12

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

ddNddNBnNn

NddBnnNddn

dd

Bnn

N

n

dd

Bnn

N

n

dd

Bnn

N

nN

1

2

1

222

1

2

1

222

1

2

2

1

2

2

1

2

2

044

44

14

1

4

11

4

1

Menggunakan rumus (a,b,c) :

N

ddNddNBddNB

N

ddNddNBddNB

N

ddNddNBddNB

N

ddNddNBddNB

n

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

1

2

1

22

1

22

1

2

1

22

1

22

1

2

1

22

1

22

1

22

1

22

1

22

2,1

44

2

244

2

444

2

444

Maka didapat untuk nilai dari:

sedangkan untuk nilai dari:

N

ddNddNBddNB

n

n

ii

n

ii

n

ii

1

2

1

22

1

22

1

44

N

ddNddNBddNB

n

n

ii

n

ii

n

ii

1

2

1

22

1

22

2

44