Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Investeşte în oameni !FONDUL SOCIAL EUROPEANProiect cofinantat din Fondul Social European prin Programul Operational SectorialDezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013
Universitatea „Ştefan cel Mare” din SuceavaFacultatea de Inginerie Electrică şi Ştiinţa CalculatoarelorDomeniu de doctorat: Inginerie Electronică şi Telecomunicaţii
Reformularea definițiilor principalelor mărimielectrice de putere în domeniul wavelet
Raport de cercetare nr. 1
Coordonator ştiinţific,
Prof. dr. ing. Adrian GRAUR Doctorand,
Ing. APETREI Viorel
2012
2
Investeşte în oameni !FONDUL SOCIAL EUROPEANProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013Axa prioritară 1: „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şidezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”Domeniul major de intervenţie 1.5 "Programe doctorale şi post-doctorale în sprijinulcercetării"Beneficiar: Universitatea Tehnică din Cluj-NapocaPartener: Universitatea “Stefan cel Mare” din SuceavaAcord de parteneriat nr. 24266/30.09.2010
Aceasta lucrare a beneficiat de suport financiar prin proiectul "Q-DOC – Creştereacalităţii studiilor doctorale în ştiinţe inginereşti pentru sprijinirea dezvoltăriisocietăţii bazate pe cunoaştere, Contract nr. POSDRU/CPP107/DMI1.5/S/78534,
proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial
Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013.
3
Cuprins
1. Transformata Wavelet (WT) …………………………………………… 5
1.1. Introducere ……………………………………………………………………… 5
1.1.1. Definirea wavelet-ului …………………………………………………. 5
1.1.2. Caracteristicile wavelet-ului …………………………………………… 5
1.1.3. Analiza wavelet-ului …………………………………………………... 6
1.2. Evoluția Transformatei Wavelet ………………………………………………. 6
1.2.1. Transformata Fourier (FT) …………………………………………….. 6
1.2.2. Transformata Fourier pe termen scurt (STFT) ………………………… 7
1.2.3. Transformata Wavelet (WT) ………………………………………….. 9
1.2.4. Comparații vizuale …………………………………………………….. 9
1.3. Aspecte teoretice ale Transformatei Wavelet …………………………………. 10
1.3.1. Transformata Wavelet Continuă (CWT) ……………………………… 11
1.3.2. Transformata Wavelet Discretă (DWT) ………………………………. 12
1.4. Implementări ale Transformatei Wavelet Discretă …………………………… 13
1.4.1. Analiza Multirezoluție (MRA) ………………………………………… 13
1.4.2. Implementarea colecției de filtre ………………………………………. 15
1.4.3. Reconstrucția Perfectă (PR) …………………………………………… 16
1.5. Extensii ale Transformatei Wavelet Discretă ………………………………….. 18
1.5.1. Transformata Wavelet Discretă bidimensională (DWT 2-D) …………. 18
1.5.2. Transformata Wavelet de Pachete (WP) ………………………………. 21
1.5.3. Transformata Wavelet Staționară (SWT) ……………………………… 24
1.6. Aplicații ale Transformatei Wavelet …………………………………………... 25
1.7. Limitări ale Transformatei Wavelet …………………………………………… 25
2. Definițiile principalelor mărimi electrice de putere cuprinse în
Standardul IEEE 1459-2000 ……………………………………………… 28
2.1. Introducere …………………………………………………………………….. 28
2.2. Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții sinusoidale …. 30
2.2.1. Sisteme monofazate liniare ……………………………………………. 30
2.2.2. Sisteme trifazate liniare echilibrate ……………………………………. 31
2.3. Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții nesinusoidale .. 31
2.3.1. Definiţii bazate pe extinderea definiţiei puterii monofazate liniare
4
sinusoidale (Abordarea de jos în sus) ………………………………………… 32
2.3.2. Suportul definiţiilor din sistemele polifazate neliniare
nesinusoidale (Abordarea de sus în jos) ……………………………………… 36
2.3.3. Definiţii bazate pe domeniul timp-frecvenţă (abordarea combinată) ….. 44
2.4. Concluzii și contribuții …………………………………………………..…… 46
3. Reformularea definițiilor principalelor mărimi electrice de putere în
domeniul wavelet ……………………………………………………………48
3.1. Reformularea definițiilor mărimilor electrice de putere în sistemele
monofazate ………………………………………………………………………….. 48
3.1.1. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele monofazate
utilizând Transformata Fourier ……………………………………………….. 48
3.1.2. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele monofazate
utilizând Transformata Wavelet ………………………………...…………..... 51
3.2. Reformularea definițiilor mărimilor electrice de putere în sistemele
trifazate …………………………………………………………………………….. 55
3.2.1. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele trifazate
utilizând Transformata Fourier ……………………………………………….. 56
3.2.2. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele trifazate
utilizând Transformata Wavelet ……………………………………………… 59
3.3. Concluzii și contribuții ………………………………………………………… 62
Bibliografie ……………………………………………………………………………… 63
5
1. Transformata Wavelet (WT)
1.1. Introducere
1.1.1. Definirea wavelet-ului
Wavelet-ul este un tip de funcţie folosit pentru a împărţii o funcţie sau un semnal în
componente diferite în domeniul timp-frecvenţă. Acestea pot fi studiate la o rezoluţie
corespunzătoare scalei wavelet-ului. Prin transformata wavelet se înţelege reprezentarea unei
funcţii cu ajutorul wavelet-urilor.
„Wavelet-urile” reprezintă copii scalate și translatate ale unei unde oscilante de lungime
finită. Aceste copii sunt cunoscute sub de numirea de wavelet-uri fiică, în timp ce undele poartă
numele de wavelet-uri mamă.
1.1.2. Caracteristicile wavelet-ului
Wavelet-ul prezintă un caracter oscilant, având capacitatea de analiză simultată în
domeniul timp, respectiv frecvență, fiind un instrument potrivit pentru fenomenul tranzitoriu,
non-staționar sau variabil în timp al semnalelor [13, 69].
Diferența dintre o undă (sinusoid) și un wavelet este prezentată în Figura 1. Undele sunt
netede, predictibile și durabile, în timp ce wavelet-urile sunt de durată limită, neregulate și
asimetrice. Undele sunt utilizate ca și funcții determinante de bază în analiza Fourier pentru
extinderea funcțiilor (semnalelor), care sunt invariante în timp sau staționare. Cea mai
importantă caracteristică a wavelet-urilor se referă la faptul că acestea pot servi ca și baze de
determinare sau non-determinare a generării și analizei majorității semnalelor reale, oferind o
reprezentare îmbunătățită în domeniul timp-frecvență, fapt care nu poate fi obținut cu ajutorul
undelor ce utilizează analiza Fourier convențională.
(a) (b)
Figura 1. Reprezentarea unei forme de undă (a) și a unui wavelet (b)
6
1.1.3. Analiza wavelet-ului
Analiza wavelet-ului constă în adoptarea unei funcții prototip wavelet, numită „wavelet
de analiză” sau „wavelet mamă”. Analiză temporară este realizată cu o versiune compactă de
frecvență ridicată a wavelet-ului prototip, în timp ce analiza frecvenței este realizată cu
versiunea extinsă de frecvență joasă a aceluiași wavelet [48].
Multe din dezvoltările care au precedat analiza wavelet au apărut în domeniul numit
analiză multirezoluţie şi au încercat să combată limitările transformatei Fourier. Teoria
multirezoluţiei este descrisă de teoria funcţiilor spaţiale, mai exact în spaţiul L2 ().
Pentru majoritatea semnalelor, conţinutul de joasă frecvenţă prezintă cea mai mare
importanţă, dând unicitate semnalului. Conţinutul de înaltă frecvenţă, pe de altă parte, dă
savoare şi nuanţă. În analiza wavelet se utilizează frecvent termenii aproximare şi detalii:
aproximările sunt componentele de scală mare şi frecvenţă joasă;
detaliile sunt componentele de scală mică şi frecvenţă înaltă.
Coeficienții aproximării se obţin prin produsul scalar dintre funcţia de scalare şi semnal.
1.2. Evoluția Transformatei Wavelet
Necesitatea reprezentării și localizării simultane a timpului și frecvenței pentru semnalele
non-staționare (ex. muzică, imagini) a condus la evoluția transformatei wavelet pornind de la
bine cunoscuta transformată Fourier.
1.2.1. Transformata Fourier (FT)
Una dintre cele mai cunoscute tehnici de analiză a semnalelor este analiza Fourier, care
împarte un semnal în componentele sale sinusoidale la diferite frecvențe. Folosind analiza
Fourier putem transforma domeniul timp în domeniu frecvenţă, putând astfel să vizualizăm şi să
analizăm spectrul de frecvenţă al unui semnal. Pentru un semnal x(t), FT este dată de formula:
dtetxfX ftj 2 (1)
FT prezintă o abilitate crescută de captare a frecvenței semnalelor atâta timp cât x(t) este
compus din elemente staționare puține (ex. forma de undă sinus). Cu toate acestea, orice
schimbare bruscă în timp a semnalului non-staționar x(t) se desfășoară pe întreaga axă a
frecvenței în X(f). Așadar semnalul din domeniul timp eșantionat cu func ția delta-Dirac este bine
7
localizat în timp, dar depășește întreaga bandă de frecvență. Limitarea transformatei Fourier este
reprezentată de faptul că nu poate oferi o localizare simultană a semnalului în domeniul timp și
respectiv domeniul frecvență. Principalul dezavantaj al analizei Fourier este acela al pierderii
informaţiei temporale, adică nu ştim exact în ce moment de timp are loc un anumit eveniment.
De exemplu, modificarea frecvenţei unui semnal nu poate fi detectată. Cel mult analiza Fourier
ne va furniza două componente spectrale, fără a şti însă când anume avem de a face cu o
frecvenţă sau alta.
1.2.2. Transformata Fourier pe termen scurt (STFT)
Pentru a depăși limitări limitările transformatei Fourier standard, Gabor [16, 43] a
introdus conceptul de transformata Fourier pe termen scurt. Avantajul acesteia constă în faptul
că utilizează pentru analize o fereastră arbitrară, dar de lungime fixă g(t), în care actualul semnal
non-staționar se admite a fi aproximativ staționar (Figura 2).
Figura 2. Transformata Fourier pe termen scurt (STFT)
STFT descompune un astfel de semnal pseudo-staționar x(t) într-o reprezentare
bidemensională timp-frecvență fS , , utilizând respectiva fereastră g(t) ajustabilă în diferite
momente de timp τ. Astfel, transformata Fourier de semnal tgtx * conduce la următoarea
expresie a STFT:
dtetgtxfSTFT ftjx
2*, (2)
Interpretarea bancului de filtrare este o modalitate alternativă privind limitarea
semnalului la fereastra de lungime fixă utilizată în analiza STFT [4, 86]. Prin intermediul
bancului de filtrare modulat un semnal poate fi observat tranzitând un filtru trece bandă setat la
frecvența f cu un răspuns la impuls modulat funcție de frecvența dată. Divizarea frecvenței este
uniformă după cum se poate observa și în Figura 3.
8
Din această interpretare duală se poate demonstra o posibilă deficiență legată de rezoluția
în domeniul timp-frecvență a STFT în baza „principiului incertitudinii a lui Heisenberg” [9, 69,
94]. Pentru o fereastră g(t) și transformata Fourier G(f), ambele centrate în jurul punctului zero
atât în timp, cât și în frecven ță, se satisface 02dttgt și 0
2dffGf . Atunci
propagările în timp și frecvență sunt definite ca:
dttg
dttgt
t2
22
2 ,
dffg
dffgf
f2
22
2 (3)
Astfel, rezoluția în domeniul timp-frecvență pentru STFT este slab delimitată de produsul
acestora:
Produsul Timp - Bandă de frecvență4
1 ft . (4)
Odată ce fereastra a fost aleasă pentru STFT, rezoluția în domeniul timp-frecvență este
fixă pe întregul plan timp-frecvență, deoarece aceeași fereastră este utilizată pentru toate
frecvențele. Există întotdeauna un schimb între rezoluția în domeniul timp și rezoluția în
domeniul frecvență în STFT. În felul acesta putem să obţinem anumite informaţii legate atât de
frecvenţă cât şi de timp. Totuşi aceste informaţii se pot obţine cu o precizie limitată, depinzând
de dimensiunile ferestrei temporale. Principalul dezavantaj al STFT este acela că dimensiunea
ferestrei este aceeaşi pentru toate frecvenţele, ceea ce face ca precizia de analiză să nu fie
aceeaşi pentru toate frecvenţele.
Figura 3: (a) Divizarea uniformă a frecvenței cu bandă de frecvență constantă în STFT, (b) Divizarea
algoritmică a frecvenței cu constanta Q în WT (adaptată din [8])
9
1.2.3. Transformata Wavelet (WT)
Limitarea rezoluției fixe a STFT-ului poate fi rezolvată lăsând rezoluția t și f să
varieze în planul timp-frecvență pentru a se obține o analiză multirezoluție (MRA).
Transformata Wavelet (WT) în forma sa continuă (CWT) asigură o fereastră timp-frecvență
flexibilă, care se restrânge în cazul frecvenței ridicate și se extinde în cazul frecvenței reduse.
Astfel rezoluția în domeniul timp corespunde frecvențelor ridicate, iar rezoluția în domeniul
frecvenței corespunde frecvențelor scăzute. O astfel de analiză este potrivită pentru semnale
compuse din elemente de frecvență ridicată, de durată scurtă și elemente de frecvență scăzută cu
durată crescută, situații care de cele mai multe ori se întâlnește și în practică [89].
Atunci când analiza este văzută ca un banc de filtrare, transformata wavelet, intitulată în
general Transformata Wavelet Discretă standard (DWT), este ca o structură de filtre trece bandă
cu bandă de frecvență relativă constantă (constanta Q) astfel că ff / este întotdeauna
constantă. Atunci când f se schimbă în funcție de frecvențe, rezoluția în domeniul timp
corespondentă t se schimbă de asemenea pentru a satisface condiția incertă. Răspunsurile în
frecvență a filtrelor trece bandă sunt propagate logaritmic asupra frecvenței conform Figurei 3
(b). O generalizare a ideii de schimbare a rezoluției la diferite frecvențe se poate obține cu așa
numita Transformata Wavelet de Pachete (WPT) [110], unde rezoluțiile în domeniul timp-
frecvență sunt alese în funcție de semnal.
1.2.4. Vizualizare comparativă
O vizualizare comprehensivă a diferitelor reprezentări timp-frecvență ilustrate în Figura
4 demonstrează rezoluția în domeniul timp-frecvență pentru un semnal dat în diferite domenii de
transformare cu funcțiile de bază corespondente acestora [13].
10
Figura 4: Vizualizarea comparativă a reprezentării în domeniul timp-frecvență pentru un semnal non-
staționar arbitrar în diferite domenii de transformare
1.3. Aspecte teoretice privind Transformata Wavelet
Transformata wavelet poate fi reprezentată atât în domeniul continuu, cât și în domeniul
discret după cum urmează:
11
1.3.1. Transformata Wavelet Continuă (CWT)
Pentru o funcție prototip 2Lt numită wavelet-ul mamă, familia de funcții poate
fi obținută prin translația și scalarea acestei t după cum urmează:
a
bt
atba
1, , unde 0, aba (5)
Parametrul a este un factor scalar, iar b un factor de translație. Normalizarea asigură că
ttba , . Wavelet-ul mamă trebuie să satisfacă următoarea condiția admisibilă:
dC
2
, unde reprezintă transformata Fourier a t .
În practică va prezenta o diminuare suficientă astfel încât condiția admisibilă să se rezume
la
.00dtt (6)
Astfel wavelet-ul va prezenta o comportare de trece bandă.
Transformata wavelet continuă (CWT) pentru funcția tf este definită apoi ca
fiind:
tftdttftbaCWT babaf ,, ,,
* (7)
O funcție de bază tba, poate fi văzută de asemenea ca un răspuns la impuls a bancului de
filtrare. Odată cu creșterea la nivelul scalei (a > 1), funcția tba, se dilată în timp pentru a se
focusa pe comportarea de lungă durată a semnalului asociat. În general o scală foarte mare
presupune o vizualizare globală a semnalului, în timp ce scala foarte mică presupune o
vizualizare detaliată a acestuia. O noțiune asociată scalei este rezoluția. Rezoluția unui semnal
este limitată la conținutul frecvenței acestuia. Schimbarea scalei pentru semnalelor cu timp
continuu în CWT nu afectează rezoluția acestora atâta timp cât schimbarea scalei poate fi
inversată [89].
Prin analiza transformatei wavelet continue se obține un set de coeficienți wavelet
{CWTf(a,b)}. Aceștia indică cât de aproape este semnalul de o anumită funcție de bază.
Deoarece CWT se comportă ca o descompunere de bază ortonormală, se poate demonstra că ea
este izometrică [49] și păstrează energie. Așadar funcția f(t) poate fi refăcută din transformarea
sa în baza următoarei formule:
12
2, )(),(1
a
dadbtbaCWT
Ctf baf
(8)
1.3.2. Transformata Wavelet Discretă (DWT)
CWT prezintă dezavantajul redundanței și a impracticabilității pe computerele digitale.
Deoarece parametrii (a, b) iau valori continue, CWT este o reprezentare foarte redundantă, iar
impracticabilitatea este rezultatul redundanței. De aceea parametrii scalari și de translație sunt
evaluați pe o grilă discretă pe un plan timp-scală conducând la un set discret de funcții de bază
continue [28]. Discretizarea este realizată prin setareajaa 0 și 00 bkab j pentru kj, , (9)
unde a0 > 1 este o fază extinsă și b0 ≠ 0 o fază de translație. Familia wavelet devine apoi
002/
0, kbtaat jjkj , (10)
iar descompunerea wavelet-ului unei funcții f(t) este
tkjDtfj
kjk
f ,, , (11)
unde setul bidimensional de coeficienți kjD f , poartă denumirea de DWT a unei funcții date
f(t).
Cea mai utilizată formă a unei astfel de discretizări cu a0 = 2 și b0 = 1 pe o grilă diadică timp-
scală este prezentată în Figura 5. O astfel de transformată wavelet este descrisă ca fiind
transformata wavelet discretă (DWT) standard.
Figura 5: Transformata Wavelet Discretă standard pe grila diadică timp-scală
Selectarea t este realizată în așa fel încât setul de funcții de bază }{ ,kj constituie o
bază ortonormală de 2L astfel încât
13
tftdttftkjD kjkjf ,, ,,
* . (12)
Numeroase de astfel de baze wavelet au fost prezentate în literatură [6-7, 72, 101] ca evaluând
f(t) prin utilizarea însumării bazei finite de indecși j și k cu coeficienții DWT finiți aproape fără
nicio eroare. Toate aceste wavelet-uri pot fi derivate cu o rezoluție arbitrară și cu coeficcienți
DWT finiți.
1.4. Implementarea DWT
Utilitatea practică a DWT vine din abilitatea sa de analiză multirezoluție (MRA) [57, 70,
72] și din eficiența structurilor bancului de filtrare de Reconstrucție Perfectă (PR).
1.4.1. Analiza multirezoluție (MRA)
Analiza multirezoluție sau analiza multiscalară constă într-o secvență de subspații
incluse ...... 21012 VVVVV din 2L conform Figurii 6.
Figura 6: Spațiile vectorului în serie cuprinse de baza scalară și baza wavelet
Analiza multirezoluție are în vedere următoarele condiții:
1. 1 jj VV , k
2. V }0{ și 2LV
3. 12 jj VtfVtf
4. 1002 WWVV
5. ............ 210210122 WWVWWWWWL
6. 012... VWWW (13)
14
O funcție scalară t (wavelet-ul tată) este introdusă, astfel încât pentru oricare j fix, familia
ktjjkj 2/2/
, 22 , kj. și 1dtt (14)
este o bază ortonormală a subspațiului Vj.
Dacă Wj este o componentă ortonormală a Vj (WjVj) în subspațiul Vj+1, atunci va exista o
funcție t (wavelet-ul mamă) astfel încât pentru oricare j fix familia
ktjjkj 2/2/
, 22 , kj, (15)
este o bază ortonormală a subspațiului Wj.
Datorită spațiilor în serie și a condiției (3) MRA, funcția scalară satisface următoarea ecuație
scalară
ntnhtn
2][2 0 , n , (16)
satisfăcând condiția admisibilă 2][0 nhn
.
Funcția wavelet satisface ecuația similară
ntnhtn
2][2 1 , n (17)
cu condițiile 0][1 nhn
și ]1[1][ 01 nhnh n ,
unde h0[n] și h1[n] reprezintă coeficienții filtrelor trece jos și trece sus. Pentru o funcție f(t)
coeficienții wavelet tftkj ,, descriu pierderea de informație care are loc la trecerea de la
proiectarea f(t) pe spațiul Vj+1, la proiectarea pe spațiul de rezoluție joasă Vj. Cu MRA orice
2Ltf descrisă de ecuația (11) poate fi modificată prin utilizarea atât a funcției scalare, cât și
a funcției wavelet astfel:
1
0
1
0
,, ,,J
Jj kkjf
J
Jj kkjf tkjDtkjCtf (18)
unde tftkjC kjf ,, , reprezintă coeficienții funcției scalare, J0 este o scală inițială
arbitrară pentru rezoluția cea mai joasă, iar J1 este o limită superioară finită arbitrară pentru
rezoluția cea mai înaltă cu J1 > J0.
În practică selecția lui J0 și J1 depinde de caracteristicile semnalului f(t), de categoria de
rezoluție necesară și rata de eșantionare a semnalului [13].
15
1.4.2. Implementarea bancului de filtrare
Considerând Cf (j,k) și Df (j,k) ca fiind coeficienții scalari (aproximații), respectiv
coeficienții wavelet (detalii) ai proiecției unui semnal f pe Vj și Wj, coeficienții rezoluției joase
succesive sunt derivați recursiv pe baza ecuațiilor (16) și (17) cu MRA ca:
njCknhkjCn
jf ,]2[,1 0
njDknhkjDn
jf ,]2[,1 1 . (19)
Aceste ecuații pot fi implementate ca un banc de filtrare structurat pe trei nivele prezentat în
Figura 7 [68]. Datorită bazei wavelet ortonormale, acest banc de filtrare satisface de asemenea și
sinteza coeficienților scalari de rezoluție înaltă:
),1(]2[),1(]2[, 10 njDjnkhnjCjnkhkjCnn
f . (20)
Figura 7: Două canale, banc de filtrare cu analiză pe trei nivele cu DWT 1- D
Figura 8: Două canale, banc de filtrare cu sinteză pe trei nivele cu DWT 1- D
16
Pentru un semnal eșantionat, bancul de filtrare de nivel 3 este văzut ca o implementare a DWT
1-D, având componenta de rezoluție maximă inițială Cf (j=0,k) și descompunerea sa într-un
număr de detalii la scale de rezoluție joasă succesive Df (j,k).
Pentru DWT standard, dimensiunea coeficienților scalari, respectiv a coeficienților wavelet
scade printr-un factor cu mărimea egală cu 2 la fiecare nivel succesiv de descompunere. Astfel
DWT standard este non-redundantă pentru reprezentarea O(n) a unui semnal dat într-un mediu
multi-scalar, multi-rezolutiv. Reprezentarea dispersată cu compactare a energiei face ca DWT
standard să fie în mare măsură acceptată pentru comprimarea semnalului.
Structura bancului de filtrare de reconstrucție prezentată în Figura 8 urmărește sinteza
recursivă similar ecuației (20) cu filtrele de reconstrucție 0
~
h și 1
~
h , care sunt identice cu filtrele
de descompunere h0 și h1, dar cu inversare temporală.
Condiția cea mai importantă a implementării bancului de filtrare a DWT este
reprezentată de refacerea adecvată a semnalului, care în literatură este cunoscută sub denumirea
de reconstrucție perfectă [40, 99, 105, 107-108]. Reconstrucția perfectă impune anumite
restricții filtrelor de analiză și sinteză. Felul acestora leagă filtrele fie de baza wavelet
ortogonală, fie de baza wavelet biortogonală.
1.4.3. Reconstrucția perfectă (PR)
Conform Figurei 9, atunci când semnalul reconstruit tf~
este identic cu semnalul
inițial tf pentru o structură simplă a bancului de filtrare cu două canale, filtrele de analiză și
sinteză asociate satisfac anumite condiții.
Figura 9: Un model simplu de banc de filtrare cu două canale
Aceste condiții ale reconstrucției perfecte (PR) în final se reduc la:
2~~
1100 zHzHzHzH
0~~
1100 zHzHzHzH , (21)
unde H0(z) și H1(z) sunt transformatele Z ale h0[n], respectiv h0[n].
17
Cea mai bună parte a bazei wavelet ortonormale asociată cu bancul de filtrare PR din
Figura 10 prezintă un wavelet prototip cu suport infinit. Astfel toate filtrele necesită acoperire
infinită. Metoda de design propusă de [27] generează un wavelet ortonormal cu suport finit ,
iar bancul de filtrare asociat poate fi realizat prin filtre cu răspuns finit la impuls (FIR).
Dacă bancul de filtrare FIR prezentat în Figura 7 este repetat pe canalul trece jos,
răspunsul la impulsul general al filtrului de nivel 3 repetat ia forma funcției timpului continuu cu
suport compact.
Cu repetări infinite la filtrul de nivel 3, răspunsul la impuls tinde către o funcție netedă (wavelet-
ul mamă). Filtrele care prezintă această proprietate sunt numite filtre regulare [88, 95, 105, 109].
O condiție necesară pentru regularitate este ca filtrul trece jos să aibă cel puțin un zero la
frecvența . Numărul de zerouri la determină gradul de finețe sau diferențiabilitate
al wavelet-ului rezultat. Regularitatea este o caracteristică importantă a wavelet-ului atunci când
vorbim despre aplicarea sa în detectarea discontinuităților [71].
Pentru un sistem wavelet ortogonal, condițiile pentru filtrele de analiză și sinteză sunt
date ca:
][][~
00 nhnh
][][~
11 nhnh
kknhnhn
]2[~
][ 00 . (22)
În aplicațiile procesării semnalului este adesea dezirabil să se folosească filtre FIR cu
fază liniară [96]. Luând în considerare baza duală și non-ortogonală, se formează un sistem
wavelet biortogonal. Baza wavelet biortogonală are avantajul fazei liniare, respectiv prezența
mai multor grade de libertate în design-ul filtrului [15, 102, 106]. Dacă setul funcției scalare
}~,{ ,, tt kjkj și setul funcției wavelet }~,{ ,, tt kjkj reprezintă baza duală de analiză și
sinteză pentru sistemul biortogonal, atunci ecuațiile scalare similare ecuațiilor (16) și (17) sunt
date ca:
ntnhtn
2][2 0 , ntnhtn
2][~
2~0
ntnhtn
2][2 1 , ntnhtn
2][~
2~1 . (23)
Baza wavelet-ului biortogonal satisface de asemenea relația:
][][~, ,, nkmjtt nmkj ,
iar formula de reconstrucție devine:
18
j k
kjkj ttfttf ,,~, . (24)
Pentru sistemul wavelet biortogonal, restricțiile filtrelor de analiză și sinteză sunt date ca:
]1[)1(][~
01 nhnh n
]1[)1(][~
01 nhnh n
kknhnhn
]2[~
][ 00 . (25)
1.5. Extensii ale DWT
DWT este extins utilizată în forma sa non-redundantă cunoscută sub denumirea de DWT
standard. Implementarea bancului de filtrare pentru DWT standard în cazul imaginilor este
vazută ca DWT 2-D. Există anumite aplicații pentru care reprezentarea optimă poate fi obținută
prin intermediul mai multor extensii redundante ale DWT standard cum ar fi Transformata
Wavelet de Pachete (WP) și Transformata Wavelet Staționară (SWT).
1.5.1. Transformata Wavelet Discretă Bidimensională (DWT 2-D)
Dacă structura bancului de filtrare prezentată în secțiunea 1.4.2. este o implementare
simplă a DWT 1-D, aplicațiile pentru procesarea imaginii necesită o implementare
bidimensională a transformatei wavelet. Implementarea DWT 2-D mai este cunoscută în
literatura de specialitate și ca transformata wavelet multidimensională [59, 68, 89]. În cazul
algoritmilor de codare a imaginii artistice, cum ar fi recentul standard JPEG2000 [56] se
utilizează DWT 2-D diadică separabilă, care nu este decât o extensie a DWT 1-D aplicată
separate pe liniile și coloanele unei imagini.
Implementarea unui banc de filtrare de analiză pentru un singur nivel DWT 2-D este
prezentată în Figura 10. Această structură produce trei sub-imagini detaliate (HL, LH, HH)
corespunzătoare la trei orientări direcționale diferite (Orizontală, Verticală și Diagonală) și o
sub-imagine de rezoluție joasă LL. Structura bancului de filtrare poate fi repetată în aceeași
manieră și în canalul LL pentru a oferi o descompunere pe nivele multiple.
Ierarhia descompunerii pe nivele multiple a unei imagini este prezentată în Figura 11.
19
Figura 10: Banc de filtrare pe un singur nivel pentru DWT 2-D
Figura 11: Ierarhia descompunerii pe nivele multiple a unei imagini cu DWT 2-D
Fiecare descompunere separă imaginea de bază în patru sub-imagini, fiecare dintre ele
reprezentând o pătrime din imaginea inițială. Sub-imaginile sunt localizate în funcție de poziția
fiecărei sub-benzi în distribuția bidimensională a planului de frecvență conform Figurei 12.
Structura bancului de filtrare de sinteză prevede implementarea inversă a bancului de filtrare de
analiză însă cu filtrele de sinteză 0
~
h și 1
~
h .
20
Figura 12: Distribuția planului de frecvență cu DWT 2-D
Wavelet-urile separabile sunt văzute de asemenea ca fiind produse tensoriale ale
wavelet-urilor mono-dimensionale și a funcțiilor scalare. Dacă x este wavelet-ul mono-
dimensional asociat cu funcția scalară mono-dimensională x , atunci asociarea a trei wavelet-
uri 2-D cu trei sub-imagini se prezintă astfel:
yxyxV , LH
xyyxH , HL
yxyxD , HH. (26)
Imaginea testului Pattern și descompunerea sa DWT 2-D sunt prezentate în figura 13.
Această descompunere este realizată cu ajutorul „cutiei cu instrumente wavelet” din Matlab
[113].
Există de asemenea numeroase extensii accesibile pentru transformata wavelet 2-D în
forma non-separabilă. Metodele non-separabile oferă o procesare multidimensională corectă,
libertate în design-ul filtrului, sub-eșantionare non-rectangulară și chiar fază liniară [62, 66, 98].
Deși metodele non-separabile prezintă numeroase avantaje, filtrarea separabilă este una dintre
cele mai des întâlnite alegeri datorită simplității implementării acesteia.
21
Figura 13: (a) Imaginea testului Pattern, (b) Descompunerea DWT 2-D pe un singur nivel
1.5.2. Transformata Wavelet de Pachete (WP)
Filtrarea de octavă cu repetare pe canalul trece jos implementează DWT 1-D conform
secțiunii 1.4.2. Această filtrare nu asigură o rezoluție uniformă în domeniul frecvență pentru
toate sub-benzile precum am arătat în Figura 3 b). În cazul în care canalul trece sus din Figura 7
este descompus în același mod și repetat, atunci se va obține un „arbore binar” complet.
22
Familiile de bază ortonormală asociate acestui arbore binar (arbore WP) sunt cunoscute sub
numele de pachete wavelet. Această extensie a DWT standard este denumită Transformata
Wavelet de Pachete (WP).
Arborele binar pentru descompunerea WP și acoperirea în domeniul timp-frecvență
pentru baza de pachete wavelet sunt prezentate în Figura 14. Figura 15 prezintă sub-spațiile
vectorului pentru WP. Divizarea uniformă a frecvenței cu rezoluții în domeniul frecvență egale
pentru toate sub-benzile este ilustarată în Figura 16. Două modalități posibile de descompunere
WP (pătratică și circulară) a semnalului inițial în subspațiul V3 sunt prezentate în Figura 17.
Astfel se demonstrează flexibilitatea și libertatea Transformatei Wavelet de Pachete (WP). În
general, WP, o formă modificată a DWT standard, combină ideea celei mai bune selecții de bază
cu criteriul entropiei pentru o reprezentare acurată a semnalului. Ea oferă un grad înalt de
libertate, însă cu algoritmi complecși de structurare a datelor. Complexitatea calculului pentru
WP este dată de O(n log n).
Figura 14: Transformata Wavelet de Pachete: (a) descompunerea arborelui binar, (b) acoperirea bazei în
domeniul timp-frecvență
23
Figura 15: Sub-spațiile vectorului pentru WP
Figura 16: Divizarea uniformă a frecvenței pentru WP
Figura 17: Reprezentarea flexibilă cu WP: cu pătrate sau cercuri
24
Algoritmii de alegere a celor mai bune pachete wavelet pentru o anumită imagine și mai
multe descrieri tehnice ale WP sunt prezentate în [17, 87, 110].
1.5.3. Transformata Wavelet Staționară (SWT)
După cum s-a prezentat și în secțiunea 1.4.2., DWT standard este o reprezentare non-
redundantă și compactă a semnalului în domeniul transformării. Transformata Wavelet
Staționară (SWT) prezintă o implementare similară sub formă de arbore, doar că lipsește etapa
decimării (sub-eșantionării). Aceasta poate fi observată în Figura 18, unde * reprezintă
convoluția temporală discretă, di sunt coeficienții wavelet, iar ci coeficienții scalari generați prin
rețeaua de convoluție creată din secvența semnalului inițial c0 și filtrul trece sus h1, de nivel
adaptativ și mărime variabilă, respectiv filtrul trece jos h0.
Figura 18: Descompunere pe trei nivele cu SWT
SWT prezintă coeficienți wavelet de lungime egală la fiecare nivel. Complexitatea calculului
pentru SWT este dată de O(n²). Reprezentarea redundantă face ca SWT să fie potrivită pentru
aplicații ca detecția limitei și fuziunea de date.
25
1.6. Aplicații ale Transformatelor Wavelet
Aplicațiile DWT standard ce utilizează capacitatea sa multiscalară și multirezoluție cu
algoritmi rapizi ai bancului de filtrare sunt numeroase. În funcție de aplicație, pentru o
performanță ridicată, se folosesc de asemenea și extensiile DWT standard numite Transformata
Wavelet de Pachete (WP) și Transformata Wavelet Staționară (SWT), costul fiind redundanța
ridicată și complexitatea calculului.
Câteva din aceste aplicații precum compresia datelor, analiza zgomotelor, codarea sursei
și a canalului, evaluarea non-distructivă, soluțiile numerice pentru ecuațiile diferențiale parțiale,
studiul universului îndepărtat, analiza trecerii prin punctul zero a semnalului, analiza fractalilor,
turbulența sunt prezentate în [85]. Aplicațiile wavelet pot fi regăsite în diverse domenii precum
fizica, medicina și biologia, grafica computerizată, comunicare și multimedia [2-3, 100, 104].
1.7. Limitele Transformatelor Wavelet
Deși DWT standard este un instrument puternic are totuși trei dezavantaje majore care
subminează aplicarea sa pentru anumite acțiuni de procesare a semnalului și imaginii [37].
Aceste dezavataje sunt descrise mai jos.
1. Sensibilitatea la translație
O transformată este sensibilă la translație dacă translația în timp pentru semnalul de
intrare provoacă o schimbare imprevizibilă în coeficienții transformatei. S-a observat că DWT
este serios dezavantajată de sensibilitatea la translație care apare la dispozitivele de eșantionare
în implementarea DWT [51]. Sensibilitatea la translație este o proprietate indezirabilă deoarece
coeficienții DWT nu reușesc să distingă între translațiile semnalului de intrare.
Caracter variant de translației al DWT este demonstrat de trei semnale treaptă translatate.
În Figura 19 semnalele translatate de intrare sunt descompuse până la J = 4 nivele, utilizând
‘db5’. Aceasta evidențiază variațiile impredictibile ale semnalului detaliu reconstruit la diferite
nivele și în aproxima ția finală. Pachetele wavelet au fost analizate de asemenea din punct de
vedere al sensibilității la translație. Acestea prezintă rezultate semnificative în comparație cu
implementarea DWT standard din punct de vedere al complexității. Selectarea celei mai bune
rotații ciclice, respectiv a celor mai bune baze reduce sensibilitatea la translație, dar o
reprezentare generală a WP nu prezintă invarianță la translație. Deși SWT este invariantă la
translație, aceasta prezintă o redundanță și o complexitatea de calcul crescute.
26
Figura 19: Sensibilitatea la translație a DWT 1-D
2. Direcționalitate redusă
Orice transformată m-dimensională (m>1) prezintă direcționalitate redusă atunci când
coeficienții transformatei relevă doar câteva orientări reprezentative în domeniul spațial.
Conform Figurilor 13 b) și 20, DWT 2-D poate determina doar trei orientări reprezentative în
domeniul spațial: orizontal (HL), vertical (LH) și diagonal (HH). Imaginile reale conțin un
număr de regiuni netede și vârfuri cu orientări aleatorii, astfel direcționalitatea redusă afectează
reprezentarea optimă a imaginilor reale atunci când utilizăm DWT 2-D standard.
Figura 20: Direcționalitatea DWT 2-D standard
Implementarea WP 2-D analizează toate benzile de frecvență și poate fi adaptată pentru
selecția celei mai bune baze. Cu toate acestea, structura multiscalară a descompunerii wavelet și
conceptul de „tri-orientare spațială” [91] sunt pierdute. În comparație cu DWT 2-D, WP prezintă
27
o fidelitate mult mai bună a direcției, în timp ce SWT prezintă o direcționalitate scăzută, fiind
bazată pe o structură a bancului de filtrare identică cu cea a DWT standard.
3. Absența informației despre fază
Pentru un semnal sau vector complex, faza poate fi calculată pe baza proiecțiilor sale
reale și imaginare. Imaginea digitală este o matrice de date cu un suport finit în 2-D. Filtrarea
imaginii cu DWT 2-D conduce la creșterea dimensiunii acesteia și adaugă distorsiunea fazei.
Sistemul vizual uman este sensibil la distorsiunea fazei [75]. În plus filtrarea „fazei liniare”
poate utiliza metode de extensie simetrică pentru a evita problema dimensiunii mari a datelor în
procesarea imaginii [75]. Informația despre fază este importantă în multe aplicații de procesare a
semnalului [75] precum compresia imaginii și măsurarea energiei [33, 67].
Majoritatea implementărilor DWT (incluzând DWT standard, WP și SWT) utilizează
filtrarea separabilă cu filtre de coeficienți reali asociate cu wavelet-uri reale, rezultând
aproximații și detalii cu valoare reală. Astfel de implementări DWT nu pot oferi informa ții
despre faza locală, această situație necesitând o filtrare complexă. Diferența dintre wavelet-urile
reale și cele analitice este prezentată în Figura 21.
Figura 21: Prezentarea wavelet-ului real (a), analitic (b)
28
2. Definițiile principalelor mărimi electrice de putere cuprinse în Standardul
IEEE 1459-2000
2.1. Introducere
Mărimile electrice de putere sunt bine definite în condiţii de operare sinusoidală pentru
sistemele monofazate liniare şi sistemele trifazate echilibrate liniare. Însă, datorită utilizării
sporite a cuplajelor magnetice cu viteză reglabilă, a cuptoarelor electrice cu arc şi a
calculatoarelor în sarcină, care pot fi considerate ca sarcini neliniare, formele de undă ale
tensiunilor şi curenţilor devin nesinusoidale [76]. În acest caz, definiţia mărimilor electrice în
stare sinusoidală devine inadecvată pentru starea nesinusoidală. Prima încercare de definire a
puterii în condiţii nesinusoidale îi este atribuită lui Budeanu [12], care a utilizat o abordare
bazată pe domeniul frecvenţă. Puterea reactivă totală este definită ca fiind suma tuturor puterilor
reactive pe armonici, după cum urmează:
N
nnnn
N
nnF IVQQ
11
sin . (27)
În acest caz n reprezintă ordinea armonică.
Figura 22. Abordări de bază în definirea mărimilor electrice de putere
A doua încercare a fost realizată de Fryze [41], care a utilizat o abordare bazată pe
domeniul timp, în care curentul sursă i este descompus în componenta activă ia, ce are aceeaşi
formă de undă ca şi sursa de tensiune u, şi respectiv componenta non-activă in, identificate prin
următoarele formulele:
,2
uu
Pia ,an iii .)()(
1
0 T
dttituT
P (28)
Abordări de bază pentru definiţii alecomponentelor de putere
Abordarea bazatăpe domeniul frecvenţă
Abordarea bazatăpe domeniul timp
Teoria lui Budeanu(1927)
Teoria lui Fryze(1931)
29
În acest caz, u reprezintă valoarea RMS a lui u, iar P reprezintă puterea activă medie
după o anumită perioadă. Curenţii ia şi in sunt ortogonali reciproc şi implică următoarea relaţie:
.222
na iii (29)
Multiplicând relaţia (29) cu2
u Fryze a obţinut următoarea formulă pentru puterea
non-activă QF:
,222FQPS .22 PSiuQF (30)
Figura 22 prezintă aceste două abordări de bază ale definiţiei componentelor puterii.
Figura 23. Abordări existente în definirea componentelor puterii
Abordări de bază existente pentru definiţii ale componentelor de putere
Abordăridupă teoria Budeanu
Abordăridupă teoria Frzye
Teoria de descompunere ortogonală a luiCzarnecki (1989)
(1998)
Teoria p-q propusă de Akagi şi Nabae(1984)
Metoda FBD propusă de Depenbrock(1993)
Definiţia de putere instantanee a luiFuruhashi (1990)
(1990)
Abordarea propusă de grupul de lucruIEEE (1996)
(1996)
Teoria de putere Park a lui Ferrero şi Furga(1991)
Teoria reţelei multiport propusă de Gul şiKaypma (1998)
(1998)
Puterea vectorului spaţial propusă de Nabaeşi Tanaka (1996)
(1996)
Conceptul propus de Ghassemi(1999)
Teoria IRP generalizată propusă de Peng(1996)
Conceptul lui Willem(2003)
IPT propus de Salmeron şi Montano(1996)
Descompunerea propusă de Ari şiStankovic (2006)
(2006)
Teoria pqr propusă de Kim s.a. (2001)
Teoria de putere bazată pe PV propusă deEmanuel (2004)
(2005)
Teoria generalizată pentru IRQ propusă deDai s.a. (2005)
(2005)
30
De atunci multe teorii au fost prezentate în literatura de specialitate, încercând să rezolve
problema, utilizând una din cele două abordări: prima abordare prevede rezolvarea problemei de
jos în sus [30, 47, 50, 55, 63]; prin extinderea definiţiei componentelor puterii de la sistemele
monofazate liniare sinusoidale la sistemele trifazate nesinusoidale neliniare şi/sau neechilibrate.
A doua abordare rezolvă problema de sus în jos [1, 20, 26, 29, 31, 35, 38, 42, 60, 79, 81-82, 92,
112, 115]; prin găsirea definiţiilor puterii active, reactive şi aparente la nivelul sistemelelor
polifazate neliniare în condiţii nesinusoidale ca şi caz general şi apoi aplicând aceaste definiţii la
sistemele monofazate liniare în condiţii sinusoidale ideale ca şi caz special. Figura 23
evidenţiază diferitele teorii şi abordări privind rezolvarea acestei probleme.
2.2. Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții sinusoidale
2.2.1. Sisteme monofazate liniare
În condiţiile sinusoidale puterea în sistemul monofazat liniar este definită ca şi rată de
timp a transferului de energie şi în fiecare moment rata instantanee a acestei energii este egală cu
valoarea instantanee a tensiunii multiplicată cu valoarea instantanee a curentului. Semnalele de
tensiune şi curent într-un sistem monofazat liniar sunt redate astfel:
tVtv rms sin2)( (31)
.sin2 tIti rms (32)
Apoi puterea instantanee p(t) este definită ca:
,2sin2cos1 tQtPtp (33)
unde P este puterea activă medie. Puterea activă este:
,cos rmsrms IVP (34)
Q este puterea reactivă. Ea reprezintă magnitudinea puterii oscilante între sursă şi sarcină cu
transfer de energie medie zero. Puterea reactivă este egală cu:
,sin rmsrms IVQ (35)
unde este unghiul de fază dintre semnalele de tensiune şi curent. Puterea aparentă S se
defineşte ca fiind
,rmsrms IVS .22 QPS (36)
Factorul de putere PF este apoi definit ca fiind raportul
.S
PPF (37)
31
În Figura 24 este prezentat graficul de tensiune instantanee v(t), curent instantaneu i(t), puterea
instantanee p(t) şi putere activă P pentrru circuitul compus din rezistenţă şi reactanţă.
2.2.2. Sisteme trifazate liniare echilibrate
În condiţii sinusoidale, definiţiile componentelor puterii pentru sistemele monofazate
liniare pot fi extinse şi în cazul sistemelor trifazate liniare echilibrate, considerând în cele din
urmă ca fiind trei sisteme monofazate. Apoi, pentru sistemele trifazate echilibrate având fazele
(R, S şi T) puterea activă PTOTAL este dată de relaţia:
,cos3 rmsrmsTOTAL IVP (38)
unde Vrms este tensiunea fază RMS şi Irms este curentul fază RMS. Puterea recativă totală QTOTAL
este dată de formula:
.sin3 rmsrmsTOTAL IVQ (39)
Puterea totală aparentă STOTAL este apoi:
.3 rmsrmsTOTAL IVS (40)
2.3. Definiții ale principalelor mărimi electrice de putere în condiții nesinusoidale
Pentru condiţii nesinusoidale există o serie de definiţii şi teorii care încearcă să
definească mărimile electrice. Există două metode pentru rezolvarea problemei. Una extinde
definiţia acceptată pentru mărimile elctrice de putere în sisteme monofazate liniare (în condiţii
sinusoidale), folosind domeniul frecvenţă sau domeniul timp sau încercând să găsească o
definiţie pentru sistemele polifazate neliniare în condiţii nesinusoidale și să o aplice în sistemele
monofazate liniare în condiţii sinusoidale, considerând sistemele polifazate neliniare în condiţii
nesinusoidale în caz general şi sisteme monofazate liniare în condiţii sinusoidale în caz special.
32
Figura 24. Tensiune, curent, puterea medie şi instantanee în condiţii sinusoidalepentru un circuit formată din R şi C
2.3.1. Definiţii bazate pe extinderea definiţiei puterii monofazate liniare sinusoidale
(Abordarea de jos în sus)
Anterior au fost prezentate definiţii ale mărimilor electrice de putere în condiţii
nesinusoidale pentru sisteme trifazate neechilibrate liniare şi/sau neliniare bazate pe extinderea
definiţiilor acestor componente pentru sisteme monofazate liniare sinusoidale.
Czarnecki [23] a extins conceptul de descompunere ortogonală a curentului în circuite
monofazate neliniare, cu o sursă de tensiune nesinusoidală la nivelul componentelor active,
reactive, izolate şi generate dezvoltate în [19] circuitele asimetrice trifazate. El a adăugat
componentele curentului neechilibrat iu la următoarele componente: curent activ ia, curent
reactiv ir, curent deformant is şi curent generat ig
.gusra iiiiii (41)
Aceste componente sunt multiplicate de valoarea RMS-ului din sursa de tensiune,
obţinând componentele puterii lui Czarnecki identificate ca puterea activă, reactivă, deformantă,
neechilibrată şi generată
.222222gusr DDDQPS (42)
Pentru a arăta că teoria sugerată are aplicaţii practice [24], Czarnecki a construit un plan
compensator, care elimină curenţii reactivi şi neechilibraţi folosind circuite reactive derivate.
Page [80] a descompus curentul în două componente ortogonale. Prima componentă ia
este componenta activă a curentului şi este responsabilă pentru transmisia puterii active. A doua
33
componentă ires este componenta reziduală a curentului. Page a arătat că cele două componente
ale curentului sunt reciproc ortogonale şi prin urmare componenta reziduală nu a contribuit la
puterea activă transmisă sarcinii. Componenta activă ia şi componenta reziduală ires a curentului
pot fi calculate prin
,1
1
2
0
2
0
tvV
Ptv
dttvT
dttitvT
tiT
T
a
.ares iii (43)
Rosseto și Tenti [90] au extins metoda Page [80] la sisteme multifazate, folosind valori
instantanee. Ei au definit curentul activ instantaneu ip, curentul reactiv instantaneu iq şi astfel au
obţinut puterea activă instantanee p, reactivă q şi aparentă s. Din puterea activă instantanee p şi
puterea în fază instantanee pa ei au obţinut o putere activă fluctuantă pf, care nu afectează
transferul de putere medie
.af ppp (44)
Depenbrock [30] a extins definiţia componentelor active şi reziduale ale curentului ale
lui Fryze [41] şi Page [80] de la sistemul monofazat la polifazat. Deoarece Depenbrock foloseşte
descompunerea curentului a lui Fryze şi teoria lui Buchholz [11] pentru calcularea puterii
aparente în sistemele polifazate, acesta şi-a numit teoria metoda FBD. Buchholz a definit
valoarea colectivă instantanee a curenţilor şi tensiunilor în sisteme cu faze M ca
M
vvii
1
2 ,
M
vvii
1
22(45)
M
vvuu
1
2 ,
M
vvuu
1
22. (46)
Depenbrock a definit puterea instantanee colectivă P∑, conductanţa instantanee colectivă
Gp(t), curentul puterii instantanee colective i∑p şi curenţii puterii fazate instantanee ivp ca
M
v
M
vvvv tpiuP
1 1
, 2
u
PtGp (47)
, utGi pp .vpvp utGi (48)
Depenbrock a definit apoi curenţii puterii zero fazate ivz ca
.vpvvz iii (49)
Depenbrock a descompus curenţii puterii în curenţi activi iva şi curenţi de variaţie ivv prin
introducerea conductanţei active echivalente G. Expresiile acestor cantităţi sunt date după cum
urmează:
34
,2
u
PG ,vva Gui ,vpvvz iii (50)
unde linia de sus reprezintă valoarea medie. Astfel, curentul non-activ ivn reprezintă
.vvvzvavvn iiiii (51)
IEEE Working Group [55] a extins definiţiile propuse pentru situaţia monofazată la
situaţia trifazată. Ei au ales definiţia puterii aparente a lui Buchholz-Goodhue pentru a calcula
puterea aparentă echivalentă Se [10]
,3 eee IVS (52)
unde
,3
222cba
e
VVVV
.
3
222cba
e
IIII
(53)
Tensiunea echivalentă Ve şi curentul echivalent Ie sunt descompuşi în două componente:
,221 eHee VVV .22
1 eHee III (54)
unde indexul 1 identifică componentele fundamentale, iar indexul H identifică suma
componentele nefundamentale RMS. Working Group a prezentat de asemenea puterea aparentă
fundamentală raportată la puterea aparentă nefundamentală după cum urmează:
.221
2eHee SSS (55)
Astfel factorul de putere este obţinut din:
,e
TOTAL
S
PPF .cbaTOTAL PPPP (56)
Working Group a aplicat definiţiile propuse în cinci studii de caz pentru măsurători din
lumea reală. Unele cazuri considerau cuplajul magnetic cu viteză reglabilă, sarcina echilibrată şi
sursa ca fiind simetrice, în timp ce alte cazuri tratau problema sarcinilor neechilibrate.
Gul și Kaypmaz [50] au construit o reţea multiport nesimetrică polifazată în baza căreia
au dedus mărimile electrice de putere prin extinderea definiţiei sistemelor monofazate, dar fără a
da un sens fizic mărimile electrice. Ei au început prin definirea modului de funcţionare a
curentului şi tensiunii cu privire la timp pentru orice terminal k şi ordine armonică h, pentru a
obţine puterea instantanee, puterea aparentă, activă, reactivă, distorsionată. Apoi utilizând
modelul matematic al componentei multiterminale ei au dedus aceleaşi mărimi, dar pentru
sisteme multiterminale.
Ghassemi [44-45, 47] a prezentat un nou concept pentru definirea mărimilor electrice de
putere în sistemele monofazate pentru situaţii sinusoidale şi nesinusoidale şi a extins acest
concept pentru cazul trifazat. Ghassemi considera că puterea reactivă trebuie să fie definită ca o
35
valoare medie nu o amplitudine a puterii oscilante. De asemenea separarea puterii instantanee în
două componente distincte, activă şi reactivă, nu este suficientă [46]. Acest concept reprezintă
tensiunea prin două componente: tensiunea iniţială şi o versiune modificată de fază a tensiunii
iniţiale. Multiplicarea acestora prin componenta curent i-a permis lui Ghassemi să obţină
următoarea formulă a puterii aparente:
2222 QPVIS (57)
factorul de putere reprezentând
.cos707.02
cos
2
VI
P
S
PPF (58)
Valoarea maximă a factorului de putere nu poate depăşi 0.707, în timp ce în definiţia
factorului de putere convenţional valoarea maximă este egală cu unitatea şi apare în cazul
sarcinii rezistive ( 1cos ) sau atunci când tensiunea şi curentul sunt în fază. Ghassemi
considera că această diminuare datorată menţinerii componentei ac a puterii instantanee. Această
componentă ac există, chiar dacă întreaga putere reactivă este compensată prin elemente pasive
reactive. Ghassemi a extins acest concept la sistemul trifazat prin însumarea puterii instantenee
din faze, pentru a obţine puterea aparentă activă, reactivă şi distorsionată.
.22 222 DQPS (59)
Pentru sistemele trifazate în situaţii nesinusoidale Ghassemi a elaborat următoarea
descompunere a puterii aparente:
,222 DSSS us (60)
unde Ss şi Su sunt puterea aparentă simetrică şi nesimetrică, Su având având valoarea diferită de
zero dacă şi numai dacă curenţii şi/sau tensiunile sunt neechilibrate.
Willems [114-116] a demonstrat că nu este posibil să generalizezi conceptele clasice de
putere aparentă şi factori de putere la situaţia nesinusoidală polifazată generală printr-un concept
unic aşa cum Ghassemi a realizat în [44-45, 47], dacă se doreşte păstrarea semnificaţiei
eficienţei transferului de energie electrică şi respectiv a oscilaţiilor puterii. Willems a propus
definiţii separate pentru generalizarea conceptelor de putere aparentă şi factori de putere pentru
analiza eficienţei transmisiei puterii
,cos VIP ,VIS COSS
PPF (61)
şi respectiv pentru caracterizarea oscilaţiilor puterii. Willems a definit puterea oscilantă, puterea
RMS şi factorul de putere oscilantă ca fiind
36
,2
1SSOSC
,2
1 22 SPSrms
.
2
1 2PF
PFPFOSC
(62)
Se ştie faptul că valoarea maximă a factorului puterii oscilante poate fi obţinută pentru o
sarcină rezistivă completă şi este egală cu 0.816. Willems a extins această definiţie de la
sinusoidal la nesinusoidal mono şi trifazat, prin calcularea puterii medii P şi a puterii aparente S,
ambele în domeniul timp şi domeniul frecvenţă astfel încât să obţină factorul de putere pentru
eficienţa transmisiei PF şi factorul de putere oscilantă PFosc.
Lev-Ari şi Stankovic [63] au reprodus aceeaşi descompunere a puterii aparente în
componente ordogonale propusă de Czarnecki [23], dar a utilizat transformarea lui Hilbert [64].
Lev-Ari şi Stankovic au obţinut componenta curentului activ conform [65] şi au descompus
componenta curentului stabil în câteva componente pentru a obţine diferite elemente ale puterii.
Lev-Ari şi Stankovic au extins această descompunere şi la situaţia polifazată.
2.3.2. Suportul definiţiilor din sistemele polifazate neliniare nesinusoidale (Abordarea de
sus în jos)
După cum a fost prezentat mai sus multe abordări încearcă să extindă definiţia puterii
monofazată sinusoidală la sistemele trifazate neechilibrate nesinusoidale. Deşi aceste abordări
prezintă abilitatea de a identifica diferite mărimi electrice de putere, ele prezintă totuşi anumite
dezavantaje; sunt foarte dificil de implementat pentru aplicaţii precum: măsurătorile sau
compensarea puterii non-active, greu de utilizat de un inginer în domeniu sau utilizate în
proiectarea dispozitivelor de măsurare a energiei electrice. De aceea este necesară găsirea unei
alte modalităţi de rezolvare a problemei. În acest sens multe teorii au fost elaborate, încercându-
se rezolvarea problemei prin dezvoltarea unei definiţii pentru situaţia generală a sistemelor
trifazate neechilibrate neliniare nesinusoidale, urmărindu-se verificarea ei în sisteme monofazate
liniare sinusoidale.
Akagi [1] a utilizat teoria p-q, aplicând transformarea lui Park la un sistem trifazat cu trei
conductoare pentru a îl transpune în planul bifazat ( ) şi într-o axă reactivă ortogonală,
conform Figurii 25.
Akagi a arătat de asemenea că această teorie putea fi utilizată pentru sisteme trifazate cu
patru conductoare prin introducerea componentele secvenţei zero. Teoria p-q transformă
măsurătorile curentului şi tensiunii instantanee după următoarele ecuaţii matriciale:
37
c
b
a
u
u
u
u
u
u
2/32/30
2/12/11
2/12/12/1
320
(63)
c
b
a
i
i
i
i
i
i
2/32/30
2/12/11
2/12/12/1
320
. (64)
Akagi a definit puterea activă instantanee a lui Park Pp şi puterea instantanee de secvenţă a fazei
zero Po, după cum urmează:
, iuiup p 000 iup , (65)
.0 ccbbaap iuiuiuppp (66)
Ei au instrodus vectorul spaţiu de putere imaginară instantanee q definit prin
. iuiuq (67)
Aşa cum se observă în Figura 25, q este un vector pe axa imaginară perpendiculară pe planul
coordonatelor reale şi este compus din suma produselor tensiunilor şi curenţilor în axele
ortogonale. Acest lucru înseamnă că q nu a putut fi dimensionat în W, VA sau VAR. Pentru
sursele de tensiune simetrice, q este egal cu puterea non-activă trifazată, în timp ce pentru
sursele de tensiune asimetrice, q nu este egal cu puterea reactivă trifazată.
q
Axa imaginară
iu
i
u Planul real
i
u
iu
Figura 25. Vectorii spaţiu a curentului şi tensiunii instantanee pentru teoria p-q
38
Takahashi [103] a folosit funcţiile de comutare a spaţiului pentru a analiza fluxul puterii
instantanee a unui circuit convertor cu elemente de comutare. Takahashi a evidenţiat faptul că
puterea reactivă în convertorul de putere a fost generată ca şi comutări scurtcircuitate în
convertorul sursei de tensiune şi respectiv comutări deschise în convertorul sursei de curent.
Furuhashi [42] a prezentat o definiţie a puterii reactive instantanee, care a inclus atât
componentele puterii reactive instantanee convenţionale, cât şi componentele puterii instantanee
de fază zero. Furuhashi nu a definit puterea instantanee din pucnt de vedere a sarcinii, ci din
punct de vedere al filtrului activ.
Ferrero și Furga [38] au definit componentele puterii active şi nonactive în sistemele
trifazate în situaţii nesinusoidale utilizând teoria lui Park, dezvoltată de Akagi–Nabae [96]. Atfel
puterea complexă instantanee este redată de formula
,tituta p (68)
unde * evidenţiază conjugata complexă. Aplificând (68), ei au definit puterea reală şi puterea
imaginară Park, după cum urmează:
qqddpp iuiutatp Re (69)
.Im qddqpp iuiutatq (70)
Apoi ei au definit puterea activă instantanee p(t), ca fiind suma algebrică a puterii secvenţiale
nule 000 iutp şi puterii Park.
Willems [114] considera faptul că definiţiile introduse de Akagi–Nabae [1] şi Ferrero–
Superti–Furga [38] ridică anumite probleme conceptuale.
u pi
qi i
Figura 26. Vectorii spaţiali de curent şi tensiune de coordonate
1) Situaţia monofazată nu putea fi derivată, fiind situaţia trifazată.
2) Nu există o generalizare a sistemele cu mai mult de trei faze.
El a sugerat că puterea reală instantanee şi puterea imaginară, introduse de Akagi–Nabae
[1] pot fi interpretate de o descompunere a curentului conform [80], iar acest punct de vedere
beneficiază de următoarele caracteristici:
39
1) Interpretarea nu este validă doar pentru sistemele puterii trifazate, ea poate fi utilizată
de asemenea şi în sisteme puterii polifazate.
2) Interpretarea conţine situaţia monofazată.
3) Interpretarea a fost încă potrivită pentru a lua în considerare curenţii şi tensiunile de
secvenţă zero.
Nabae şi Tanaka [79] au propus o metodă de calcul a puterii şi a curentului activ şi non-
activ în circuite trifazate cu trei conductoare, bazată pe vectorii de spaţiu instantaneu în
coordonate polare. Tehnica este similară cu transformarea teoriei p-q, cu excepţia faptului că
curentul activ şi non-activ poate fi calculat direct din vectorii spaţiali de tensiune instantanee
u şi curent instantaneu i . Ei au definit vectorii spaţiali de curent şi tensiune instantanee ca fiind
tjj
c
j
ba tuuuuu
3
4
3
2
3
2(71)
,32 3
4
3
2ttj
j
c
j
ba tiiiii
(72)
unde ua, ub şi uc reprezintă tensiunile de fază instantanee, iar ia, ib şi ic sunt curenţii de linie
instantanei. Unghiul t dintre u şi i este de asemenea o valoare instantanee.
Ei au aplicat apoi o transformare a coordonatelor de rotaţie [8] la u şi i pentru a fixa
vectorii pe un plan de coordonate , unde u reprezintă vectorul de referinţă conform Figurii
26. Această transformare conduce la definirea lui u şi i ca fiind
,tuu .tjetii (73)
Apoi ei au descompus i în componente active şi non-active instantanee după cum urmează:
,cos ttitip .sin ttitiq (74)
Puterea activă instantanee tp şi puterea non-activă instantanee tq a fost definită apoi
ca:
ttitutitutp p cos (75)
.sin ttitutitutq q (76)
Această teorie, asemeni teoriei p-q iniţială, este limitată la sistemele trifazate.
Li [65] a definit puterea reactivă instantanee a circuitelor trifazate în coordonate d-q-0 şi
schemele pentru compensare şi măsurare pentru diferite componente ale curentului. Dar toate
aceste definiţii nu reuşesc să ofere o expresie simplă a mărimii reactive instantanee.
40
Peng [81, 83] a propus o definiţie a puterii reactive instantanee sau a vectorului reactiv,
bazată pe operarea produsului extern a vectorului curent şi vectorului tensiune. Definiţia este
validă pentru sistemele puterii trifazate cu componentele curent şi/sau tensiune de secvenţă zero.
Peng a generalizat teoria puterii reactive instantanee trifazate, considerând că elementele de
secvenţă zero contribuie la determinarea puterii active şi nonactive, întrucât teoria p-q, în mod
eronat, a limitat contribuţia lor doar la puterea activă. În loc să descompună mai întâi curentul în
componente ortogonale şi apoi să calculeze puterile precum Willems [114] sau Rossetto [90],
Peng a definit mai întâi componentele puterii şi apoi a descompus curentul. Peng a exprimat
tensiunea şi curentul pentru un sistem trifazat ca fiind vector de spaţiu instantaneu şi a definit
puterea activă instantanee ca fiind produsul intern al acestor vectori asemeni lui Akagi în (66).
Peng a definit de asemenea vectorul puterii non-active instantanee q ca fiind produsul scalar a
vectorului tensiune şi vectorului curent, iar modulul acestuia ca putere non-activă instantanee q.
,
ba
ba
ac
ac
cb
cb
c
b
a
ii
uu
ii
uu
ii
uu
q
q
q
iuq .222cba qqqqq (77)
Peng a definit apoi vectorul curent activ instantaneu pi , vectorul curent non-activ
instantaneu 2/ uuqi p şi puterea activă instantanee s la fel ca şi în relaţia (32). Teoria
puterii instantanee generalizată a lui Peng pentru sistemele trifazate este de asemenea aplicabilă
la sistemele neechilibrate şi sistemele trifazate cu patru fire care au componente de secvenţă
zero.
Peng [83] şi-a extins teoria asupra descompunerii curentului în componente active şi
non-active la sistemele multifazate şi/sau aperiodice. El a definit curentul activ şi non-activ
utilizând următoarele ecuaţii:
,
2tu
tU
tPti p
p
p tititi pq , (78)
unde
,1
duuT
tUTppp
t
Ttc c
dpT
tP .1
(79)
41
Tc reprezintă intervalul mediu, care poate fi 0, 1, ciclu întreg sau pe jumătate. Aici tu p este
tensiunea de referinţă ce poate fi aleasă ca tensiune în sine tutu p sau ca şi componentă
fundamentală a tu , unde tututu hf şi tutu fp .
TABEL 1
FACTORII CALITATIVI AI PUTERII
Definiţie Descriere
22/ fff QPPDISF Factor de defazaj
fd PPAPDF / Factorul distorsiune a puterii active
SPAPTF / Factorul transfer al puterii active
SQIPTF / Factorul transfer al puterii interactive
SZZPTF / Factorul transfer al puterii alternative
SZQRPTF /22 Factorul transfer al puterii reactive
Peng a arătat că această definiţie a fost validă pentru circuite monofazate sau polifazate, dar şi
pentru forme de undă nesinusoidale şi aperiodice.
Salmeron și Montano [92] au dezvoldat o nouă teorie a puterii electrice pentru sistemele
polifazate bazată pe conceptele puterii reale instantanee și ale puterii imaginare instantanee. Ei
au descompus curentul linie i în două componente ortogonale ip şi iq. Apoi, multiplicând
componentele acestui curent cu tensiunea au obţinut puterea instantanee p şi puterea imaginară
instantanee q. Au descompus, de asemenea, puterea instantanee p în puterea activă pa și puterea
activă fluctuantă pf, iar puterea imaginară instantanee q în puterea reactică qr şi puterea reactivă
fluctuantă qf. În [73] Salmeron și Montano au utilizat teoria [91] pentru a identifica
componentele curentului propuse de Czarnecki [23] şi dau un exemplu pentru a explica ideea
lor. În plus, teoria propusă de ei a permis atât identificarea componentelor curentului/puterii în
circuitele trifazate, cât şi stabilirea bazei utilizării compensaţiei puterii reactive fără circuite de
stocare a energiei [74].
Kim şi alţii [60] au definit trei puteri independente liniare în domeniul timp în sistemele
trifazate patru fire utilizând teoria p-q-r. Ei au arătat că orice circuit trifazat poate fi transformat
în trei circuite monofazate utilizând transformata p-q-r, care poate fi folosită pentru a analiza
puterea instantanee în orice sistem trifazat în acelaşi mod ca în sistemul monofazat şi prin
urmare compensarea instantanee poate fi realizată [61]. În plus, ei au definit noi factori de
42
calitate ai puterii, care s-au bazat pe teoria propusă de aceştia în coordonatele p-q-r. Tabelul 1
rezumă aceşti factori de calitate ai puterii.
Depenbrock şi alţii [31] au stabilit că rezultatele teoriei p-q-r, teoria instantanee
generalizată p-q şi metoda FBD sunt echivalente şi prin urmare puterea imaginară va fi
compensată în acelaşi mod. Datorită faptului că efortul de calcul necesar pentru teoria p-q-r este
cel mai mare şi transformarea intermediară a fost folosită pentru a converti coordonatele a, b şi c
la 0 şi apoi la coordonatele p-q-r, FBD a fost considerată a fi cea mai bună metodă.
Cekareski şi Emanuel [14, 35] au încercat să descrie proprietăţile puterii în termeni de
vector Poynting (PV), deoarece vectorul Poynting (PV) şi teorema Poynting (PT) sunt
instrumente matematice fundamentale pentru calcularea fluxului de energie, disipării acesteia şi
stocării în câmpurile electromagnetice.
Czarnecki [20] a verificat dacă PV sau PT oferă sau nu o explicaţie a proprietăţilor
puterii şi dacă permite calcularea puterilor în sistemele trifazate. Czarnecki a demonstrat prin
exemple că doar puterea instantanee şi puterea activă pot fi exprimate în termeni de PV, dar nu
şi puterile reactivă, aparentă şi dezechilibrată, şi respectiv factorul de putere. În consecinţă, PV
şi PT nu oferă informaţia necesară pentru interpretarea fizică a proprietăţilor puterii a sistemelor
de putere. De asemenea, ele nu sunt utile pentru aplicaţiile practice ale teoriei puterii la
problemele sistemului de putere, cum ar fi compensarea.
Dai şi alţii [26] au introdus conceptul de tensor asimetric de ordinul doi în sistemele
multifazate şi au dat o expresie simplă şi directă pentru cantităţile reactive instantanee
multifazate. Expresia poate fi aplicată nu doar sistemelor de putere trifazate trei fire şi sistemelor
de putere trifazate patru fire cu componenta secvenţa de fază zero, ci şi la sistemele n-fazate în
care cantităţile instantanee vor avea proprietăţi similare cu cele din sistemele trifazate simetrice
sinusoidale constante.
De Leon şi Cohen [29] au demonstrat, utilizând un exemplu simplu că această „catitatea
reactivă” propusă, dedusă din [26] nu este legată fizic de puterea reactivă. Exemplul lor este un
sistem trifazat dezechilibrat bazat pe o singură rezistenţă şi o singură inductanţă. Ei au arătat că
există o diferenţă între puterea reactivă fizică şi puterea reactivă calculată utilizând definiţia
propusă în [26].
Jeon [58] a revizuit şi comparat teoria lui Buchholz [1, 42] şi teoria puterii reactive
instantanee [26, 81]. El a reexaminat conceptul puterii aparente, a extins conceptul puterii
reactive pentru sistemul dc şi l-a reinterpretat în domeniul frecvenţă. Au fost obţinute
următoarele două concluzii:
1) Puterea reactivă nu este legată de puterea oscilantă.
43
2) Puterea reactivă instantanee zero nu garantează puterea reactivă zero.
Czarnecki [21-22] a investigat modul în care fenomenul putere şi proprietăţile sistemelor
trifazate sunt descrise şi interpretate de teoria p-q a puterii reactive instantanee (IRP). Czarnecki
a demonstrat prin exemple că această teorie interpretează greşit proprietăţile puterii în sistemele
electrice sau prevede unele rezultate care cel puţin sfidează simţul sau înţelesul comun al unor
noţiuni în ingineria electrică. De exemplu, sugerează prezenţa unui curent reactiv instantaneu în
liniile de alimentare ale încărcărilor rezistive pure şi prezenţa unui curent activ instantaneu în
liniile de alimentare ale sarcinilor reactive pure. În plus, se sugerează că curenţii linie ai
sarcinilor liniare cu tensiune de alimentare sinusoidală conţin o componentă nesinusoidală.
Mai mult de atât, Czarnecki a arătat că teoria p-q IRP nu este capabilă să identifice
instantaneu proprietăţile puterii în sarcini trifazate. O pereche de valori instantanee ale puterilor
p şi q nu permite să concluzioneze dacă o sarcină este rezistivă, reactivă, echilibrată sau
neechilibrată. Este cunoscut faptul că o dezechilibrare a sarcinii reduce factorul de putere. Cu
toate acestea, teoria p-q IRP nu identifică dezechilibrul sarcinii drept cauză de degradare a
factorului de putere.
Teoria p-q IRP a fost dezvoltată pentru sistemele trifazate în situaţii nesinusoidale, dar
are un număr de deficienţe, aşa cum s-a prezentat anterior, chiar şi atunci când este aplicată la
situaţie sinusoidală relativ simplă, unde fenomenul puterii este cunoscut. Aceste deficienţe ar
putea fi considerate ca irelevante atunci când teoria p-q IRP este utilizată ca şi fundament pentru
un algoritm de control compensator de comutare, dar nu şi atunci când este considerat o teorie a
puterii, un instrument teoretic, care explică fenomenul de putere şi proprietăţile sistemelor
electrice.
Precedentele revizuiri au arătat că definirea componentelor puterii în situaţii
nesinusoidale pentru sistemele trifazate neechilibrate nu a prezentat încă concluziile universal
acceptate. Nici extinderea definiţiei monofazată sinusoidală, nici definiţia polifazată generalizată
nu poate conduce la o definiţie acceptabilă pentru componentele puterii în aceste situaţii,
deoarece ambele abordări pot fi bazate fie pe domeniul timp unde informaţia despre frecvenţă
este pierdută sau pe domeniul frecvenţă unde informaţia de timp este pierdută. Aceasta a condus
la apariţia componentelor puterii bazate pe domeniul timp-frecvenţă pentru a putea beneficia de
avantajele celor două abordări şi pentru a depăşi limitele acestora.
44
2.3.3. Definiţii bazate pe domeniul timp-frecvenţă (abordarea combinată)
Definiţiile convenţionale ale mărimilor electrice de putere apar în domeniul frecvenţă
utilizând transformata Fourier (FT) pentru a reprezenta formele de undă pentru tensiune şi curent
la frecvenţe diferite. În situaţii nesinusoidale în care formele de undă sunt distosionate FT poate
produce erori mari din cauza dispersiei spectrale şi a efectului de îngrădire [32] şi nu poate oferi
rezultate precise în special în prezenţa interarmonicilor, care pot fi produse de cicloconvertori şi
cuplaje magnetice cu viteză reglabilă [119]. Prin urmare, reprezentarea formelor de undă ale
sistemului putere în domeniul timp-frecvenţă devine esenţială, în timp ce proliferarea acestor
sarcini neliniare este în creştere.
Yoon şi Devaney [117] au definit tensiunea v(t) şi curentul i(t) pentru sistemele
monofazate în domeniul timp-frecvenţă, utilizând Transformata Wavelet Discretă (DWT), apoi
calculează puterea activă P la fiecare nivel de descompunere j (bandă de frecvenţă) în felul
următor:
.1
det0
0
0
PPPPdttitvT
P appjj
jj
T
(80)
Aici,0j
P este puterea activă pentru banda de frecvenţă cea mai mică j0, numită şi putere activă
aproximată (Papp), iar {Pdet} reprezintă un set de puteri pentru fiecare bandă de frecvenţă sau
nivel de undă j mai mare sau egal decât nivelul scalar j0. Valorile puterii active obţinute la
nivelurile de undă reprezintă puterea activă detaliată (Pdet)
,1 '
,,0 0 kjk
kjj occ
TP
kkjkjj dd
TP .
1 ',, (81)
Aici, ',, kjkj oo
cc sunt coeficienţii DWT pentru tensiune şi curent la nivelul scalar jo şi fiecare
eşantion k, în timp ce ',, kjkj dd reprezintă coeficienţii DWT pentru tensiune şi curent la nivelul de
undă j şi respectiv la nivelul eşantionului k. Mai mult, ei au definit puterea reactivă Q utilizând
DWT prin aplicarea unui defazaj de 900 la forma de undă a tensiunii [118]
T
jjappjjt QQQQdttitv
TQ
0
det090
0
.1
(82)
Aici,0j
Q este puterea reactivă pentru banda de frecvenţă cea mai mică j0, numită şi puterea
reactivă aproximată (Qapp), iar {Qdet} reprezintă un set de puteri pentru fiecare bandă de
frecvenţă sau nivel de undă j mai mare sau egal decât nivelul scalar j0. Valorile puterii reactive
obţinute la nivelurile de undă reprezintă puterea reactivă detaliată (Qdet).
45
Yoon şi Devaney au definit de asemenea puterea aparentă U ca produsul dintre valoarea
efectivă a tensiunii şi a curentului, în timp ce puterea fazor S, puterea distorsionată D şi puterea
imaginară F au fost definite ca
,22 QPS ,22 SUD .22 DQF (83)
Deşi abordarea lor are avantajul de a fi simplă şi de a cuprinde atât informaţia frecvenţă, cât şi
informaţia timp ei nu au extins-o şi la sistemele trifazate.
Driesen şi Belmans [33] au definit puterea reactivă utilizând două abordări diferite
bazate pe transformarea de undă (WT). Prima abordare a utilizat unde reale, în timp ce a doua a
utilizat unde complexe (CW). Prima abordare aplică o întârziere pentru toţi coeficienţii de undă
în domeniul undei reale, în loc să aplice defazajul de 900 în domeniul timp ca şi în [118], ce
presupune utilizarea unei cantități de memorie redusă
12
0
''00
0
0,,
2
1 j
k
cjjNj MkkcQ , (84)
unde M reprezintă întârzierea.
A doua metodă este bazată pe undele complexe, care furnizează instantaneu aplitudinile
şi unghiurile fazei. Ei au definit puterea reactivă instantanee qw pentru banda inferioară sf
acoperind frecvenţa fundamentală astfel
fWfWfWfW ststIstUstq ,sin,,, , (85)
unde W este diferenţa unghiului de fază instantanee dintre tensiunea U şi curentul I
fWIfWUfW ststst ,,, ,, (86)
ststUstU WUWW ,,, , (87)
.,,, , ststIstI WUWW (88)
Avantajul abordării lor este că pot oferi măsurători ale puterii reactive instantanee. Totuşi
dezavantajul transformării de undă complexă (CWT) îl reprezintă absenţa unei funcţii scalare.
De aceea, nu este posibilă o analiză multirezoluție. Mai mult, ea suferă datorită complexităţii
cerinţei de proiectare a unui algoritm, care poate conduce la o transformare ortonormală [39].
Aceste dezavantaje pot limita utilizarea CWT pentru definirea componentelor puterii, mai ales
pentru sisteme trifazate neechilibrate, care este foarte complexă prin natura ei.
Plata şi Tacca [84] au definit componentele puterii instantanee (activă şi reactivă
instantanee) pentru sisteme trifazate pe baza transformării lui Park şi a teoriei p-q introdusă de
Akagi şi alţii în [1] în domeniul timp-frecvenţă, utilizând DWT şi conceptul monofazat introdus
46
de Yoon şi Devaney în [117]. Ei au definit puterea activă trifazată instantanee 3P , ca fiind suma
puterii active şi puterii active de secvenţă zero.
0,,
1 12
0
',,,,
12'
,,,,3 .2
1
2
1
0
0
0
00
l
N
jj klkjlkjN
jjlkjlkjN
jj
ddccP (89)
Puterea reactivă trifazată instantanee 3Q este reprezentată astfel
.2
1
2
1
2
1
2
1
1 12
0
',,,,
12'
,,,,
1 12
0
',,,,
12'
,,,,3
0
0
0
00
0
0
0
00
N
jj kkjkjN
jjkjkjN
N
jj kkjkjN
jjkjkjN
jj
jj
ddcc
ddccQ
(90)
Avantajul abordări lor este că extinde aplicarea DWT de la cazul monofazat la cazul trifazat,
utilizând teoria instantanee p-q. Prin urmare, puterea activă instantanee şi puterea reactivă
instantanee trifazate pot fi obţinute în domeniul timp-frecvenţă în loc să fie obţinute doar în
domeniul timp conform definiţiei [42]. Totuşi, dezavantajul abordării lor este că se bazează pe
teoria instantanee p-q, care a fost criticată de Czarnecki în [21] şi [22], după cum se menţionează
în mai sus. De asemenea, datorită faptului că abordarea lor este reprezentată în planul 0 ,
utilizând transformarea lui Park, este imposibilă atât definirea cantităţii lor pentru oricare dintre
sistemele monofazate, cât şi extinderea teoriei acestora de la sisteme trifazate la sisteme
polifazate.
Din discuţia anterioară poate fi dedus faptul că până acum nu a existat un acord în
definirea componentelor puterii în domeniul timp-frecvenţă pentru sisteme trifazate
neechilibrate în situaţii nesinusoidale. Totuşi, datorită utilizării la scară largă a sarcinilor
neliniare şi a cuplajelor magnetice cu viteză reglabilă, care deteriorează formele de undă ale
tensiunii şi curentului prin injectarea armonicilor şi interarmonicilor şi datorită faptului că
abordarea bazată pe transformarea Fourier nu reuşeşte să măsoare cu precizie aceste componente
ale puterii este necesară aplicarea transformării wavelet pentru a avea o imagine cuprinzătoare a
formei de undă analizată, beneficiind astfel de avantajele domeniului timp şi a domeniului
frecvenţă şi eliminând din dezvantajele acestora.
2.4. Concluzii și contribuții
Contribuțiile din cadrul acestui capitol sunt de natură teoretică și constau în realizarea
unui studiu amplu, privind:
47
Standardele UE, IEC, IEEE cu privire la formularea expresiilor mărimilor electrice și
calitatea energiei.
Formularea expresiilor de calcul a mărimilor electrice de putere pentru rețelele
monofazate/trifazate conținute în Standardul IEEE 1459-2000.
Cel mai răspândit standard la furnizorii de energie electrică din SUA este Standardul
IEEE 519-1992 ce conține o descriere a nivelelor de armonici acceptate în punctele de delimitare
între furizor și consumator, în timp ce pentru zona europeană standardul ce precizează limitele
de emisie armonică pentru echipamente cu curent de intrare </> 16 A / fază este Standardul IEC
61000-3-4.
Cele două standarde impun o serie de restricții privind nivelul armonicilor de curent în
punctele comune de cuplare PCC (Point of Common Coupling).
Cele mai recomandate definiţii ale mărimilor electrice de putere, atât pentru sistemele
monofazate, cât și pentru cele trifazate, bazate pe o abordare în domeniul frecvenţă prin
utilizarea transformatei Fourier (FT) sunt conținute în Standardul IEEE 1459-2000.
Definiţiile mărimilor electrice de putere în situaţii sinusoidale devin nepotrivite pentru
sisteme liniare şi neliniare monofazate şi trifazate neechilibrate. Pentru a rezolva aceste
probleme s-au realizat multe cercetări bazate fie pe o extindere de jos în sus a definiţiei pentru
sistem monofazat în situaţie sinusoidală la sisteme trifazate neechilibrate în situaţii
nesinusoidale, fie pe o abordare de sus în jos, care evidenţiază definiţia sistemelor polifazate
neechilibrate în situaţii nesinusoidale şi încearcă să o verifice la sistemele monofazate în situaţii
sinusoidale, considerând primul caz ca fiind special faţă de cel din urmă.
Din informaţiile prezentate putem concluziona faptul că atât extinderea definiţiei
monofazate sinusoidale, cât şi definiţia polifazată generalizată nu pot conduce la o definiţie
acceptabilă a mărimilor electrice de putere. Se poate spune că nu există o definiţie simplă şi
unică care să aibă în cădere proprietăţile energiei electrice şi în acelaşi timp să fie utilă în
aplicaţiile practice ale problemelor sistemului de putere cum ar fi compensarea, contorizarea şi
afişarea. Astfel nicio metodă nu a condus la atingerea obiectivelor. De aceea este recomandat
schimbarea perspectivei actuale asupra semnalelor sistemului de putere analizat. Definiţiile
existente sunt bazate fie pe abordări ale domeniului frecvenţă precum seriile Fourier,
transformarea Fourier (FT) sau transformarea Fourier de scurtă durată (STFT), care produc erori
uriaşe datorită dispersiei spectrale şi a efectului de îngrădire când prelucrează interarmonicile
sau armonicile variaţiei temporale care s-au proliferat în sisteme de energie curente. În abordarea
domeniului timp avem de a face instantaneu cu semnalul, care suferă de asemenea de o slabă
reprezentare a conţinutului frecvenţei semnalelor analizate.
48
3. Reformularea definițiilor mărimilor electrice de putere în domeniul
wavelet
3.1. Reformularea definițiilor mărimilor electrice de putere în sistemele monofazate
În condiţii sinusoidale, definiţiile mărimile electrice de putere pot fi aplicate. Totuşi,
datorită utilizării recente pe scară largă a sarcinilor neliniare, formele de undă de tensiune şi
curent devin nesinusoidale şi prin urmare, definiţiile tradiţionale ale acestor componente deveni
improprii.
Au existat multe încercări de definire a mărimilor electrice de putere în acestă nouă
situaţie [12, 19, 25, 36, 39, 41, 44-47, 55, 80, 97, 113]. Standardul IEEE 1459-2000 [54] oferă
definiţii cuprinzătoare pentru mărimile electrice de putere prin extinderea conceptelor
sinusoidale stabilite la situaţii nesinusoidale. Definiţiile introduse în standard sunt bazate pe o
abordare în domeniul frecvenţă, folosind transformata Fourier (FT). Din moment ce FT oferă
numai informaţia amplitudine-frecvenţă, aceasta nu este în măsură să furnizeze informaţia
referitoare la timp. Prin urmare, informaţia despre timp este pierdută, fapt care reprezintă o
limitare în utilizarea abordării în domeniul frecvenţă a acestei situaţii. Recent definirea
mărimilor electrice de putere, utilizând domeniul timp-frecvenţă a devenit foarte importantă
deaoarece păstrează atât informaţia timp, cât şi informaţia frecvenţă.
3.1.2. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele monofazate utilizând
Transformata Fourier
Această secţiune expune definiţiile mărimilor electrice de putere conţinute în Standardul
IEEE 1459-2000 [54] pentru sistemul monofazat în situaţii nesinusoidale. Astfel pot fi
considerate următoarele definiţii ale tensiunii şi curentului:
,sin2 111 tVv 111 sin2 tIi (91)
1
sin2h
hhH thVv (92)
1
sin2h
hhH thIi , (93)
unde v1, i1 reprezintă componentele frecvenţei sistemului de putere (f1 = 50 sau 60 Hz), iar vH, iH
reprezintă componentele armonice. 11, reprezintă unghiul de fază fundamental al tensiunii şi
curentului, respectiv HH , reprezintă unghiul de fază armonic al tensiunii şi curentului.
49
A. Calculele rădăcinii medie pătratice efective (RMS)
Valoarea RMS a tensiunii nesinusoidale este definită ca
,1
0
2T
dtvT
V ,221
2HVVV
1
22
hhH VV , (94)
unde T este perioada. Valoarea RMS a curentului nesinusoidal este definit ca
,1
0
2T
dtiT
I ,221
2HIII .
1
22
h
hH II (95)
B. Distorsiune armonică totală (THD)
Bazată pe valorile armonicii fundamentale şi armonice RMS, distorsiunea armonică
totală a tensiunii (THDv) şi distorsiunea armonică totală a curentului (THDi) sunt definite astfel
,1V
VTHD H
v .1I
ITHD H
I (96)
C. Puterea activă
Puterea activă fundamentală P1 este
1111 cosIVP , (97)
unde 111 .
Puterea activă armonică PH este definită ca
.cos1
h
hhhH IVP (98)
Puterea activă totală P este definită ca valoarea medie a puterii instantanee p
.11
0 0 1 T T
HPPpdtT
idtvT
P (99)
D. Puterea aparentă
Puterea aparentă fundamentală este definită ca
,111 IVS .21
211 QPS (100)
Puterea distorsiunii curentului DI, puterea distorsiunii tensiunii Dv şi puterea aparentă armonică
SH sunt definite ca
DI = V1IH, Dv = VHI1, SH = VHIH. (101)
Puterea distorsiunii armonice SH este definită ca
.22HHH PSD (102)
Puterea aparentă totală este definită ca
.22221
22HvI SDDSVIS (103)
50
Puterea aparentă nefundamentală SN este definită ca
.2222HvIN SDDS (104)
Puterea nonactivă N este definită ca
.22 PSN (105)
E. Puterea reactivă
Puterea reactivă fundamentală Q1 este definită ca
.sin 1111 IVQ (106)
Puterea reactivă armonică sau puterea reactivă Budeanu este definită ca
,sinh
hhhB IVQ BHB QQQ 1 , (107)
unde
.sin1
h
hhhBH IVQ (108)
F. Factorii de putere
Factorul puterii de deplasare (dPF) este
.1
1
S
PdPF (109)
Factorul de putere total (PF) este reprezentat prin raportul
.S
PPF (110)
Pentru a măsura calitatea puterii transmise, în special comportamentul oscilaţiei, Willems în
[113] a propus utilizarea factorul puterii oscilante (PFOSC)
.
2
1
2
1 222 PF
PF
SP
PPFOSC
(111)
G. Poluare armonică
Poluarea armonică HP este definită ca raportul dintre puterea aparentă nefundamentală
SN şi puterea aparentă fundamentală S1
.1S
SHP N (112)
51
3.1.2. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele monofazate utilizând
Transformata Wavelet
Deoarece calculul coeficienţilor wavelet pentru fiecare scală şi poziţie necesită o
cantitate mare de calcule, pentru a reduce sarcina de calcul, coeficienţii wavelet sunt calculaţi
numai în benzile de frecvenţă de lăţime uniformă, obţinând astfel schema pachetului wavelet
(WPT) [77]. În WPT, forma de undă iniţială S este descompusă în aproximarea „A” şi detaliul
„D” şi apoi sunt realizate descompunerile succesive în aproximaţii şi detalii, obţinând astfel
schema de descompunere a pachetului wavelet conform Figura 27.
Figura 27. Schema descompunerii pachetului wavelet (WPT)
Figura 28. Schema descompunerii DWT
În aproape toate aplicaţiile sistemului energetic este necesar să se separe componentele
fundamentale de cele nefundamentale. Prin urmare, atunci când avem în vedere WPT, finalul
schemei de descompunere conţine un număr foarte mare de noduri sau frunze şi acest număr
creşte odată cu creşterea numărului de nivele. DWT-ul trebuie utilizat atunci când dorim
reducerea efortului de calcul alături de identificarea componentelor armonice necesare analizei.
În DWT, forma de undă iniţială S este descompusă în aproximaţie şi detaliu în prima fază, având
loc apoi descompuneri succesive doar ale aproximaţiei obţinând astfel analiza multirezoluție
(MRA) [69]. Scema de descompunere DWT este prezentată în Figura 28.
Prin alegerea potrivită a numărului de nivele ale descompunerii, respectiv alegerea
potrivită a familiei wavelet, alături de tipul de wavelet mamă potrivită, problema scurgerii
‘S’
‘A1’ ‘D1’
‘A2’ ‘D2’
‘A3’ ‘D3’
‘S’
‘A1’
‘AA2’ ‘DA2’
‘D1’
‘AD2’ ‘DD2’
52
spectrale poate fi redusă. Numărul de nivele depinde de ordinea armonică conţinută în forma de
undă iniţială, care necesită să fie calculată separat. Familia wavelet potrivită şi tipul de wavelet
mamă potrivită pot fi obţinute prin evaluarea procentului de energie al coeficienţilor wavelet
pentru fiecare nivel j cu ajutorul formulei
100% E
EE j
j (113)
unde E reprezintă energia semnalului iniţial şi Ej energia corficienţilor pentru fiecare nivel
R jj dttcE 2 sau
Zn
jj ncE 2 (114)
unde cj sunt coeficienţii DWT pentru oricare nivel j al descompunerii wavelet [117]. Prin
urmare, alegerea familiei wavelet potrivită şi a tipului de wavelet mamă potrivită satisfac
deviaţiile minime de energie pentru toate nivelele wavelet.
Această secţiune prezintă o reformulare a definiţiilor mărimilor electrice de putere
existente în Standardul IEEE 1459-2000 [54].
A. Calculele rădăcinii medie pătratice efective (RMS)
Yoon și Devaney [117] reprezintă valoarea RMS a formelor de undă tensiune şi curent,
utilizând DWT
0
0
0
0
222',
2',0
2 111
jjjj
jj kkj
kkj
TVVd
Tc
Tdttv
TV (115)
.111
0
0
0
0
222',
2',0
2
jj
jjjj k
kjk
kj
TIId
Tc
Tdtti
TI (116)
Aici00
, jj IV reprezintă valorile RMS ale tensiunii şi curentului pentru cea mai joasă bandă de
fresvenţă j0 numite şi tensiune aproximată (Vapp), respectiv curent aproximat (Iapp). {Vj} şi {Ij}
reprezintă seturile de valori RMS ale tensiunii şi curentului pentru fiecare bandă de frecvenţă
sau nivel wavelet mai mare sau egal cu nivelul scalar j0, fiind numite şi tensiune detaliată (Vdet),
respectiv curent detaliat (Idet).'
,0 kjc şi kjc ,0reprezintă coeficienţii transformatei wavelet discrete
de tensiune şi curent pentru nivelul scalar j0 şi eşantionul k, în timp ce ',kjd şi kjd , sunt
coeficienţii transformatei wavelet discrete de tensiune şi curent pentru orice alt nivel j,
exceptând nivelul scalar j0 şi eşantionul k [117].
,, ,'
, 00 kjkj tvc kjkj tvd ,', , (117)
,, ,, 00 kjkj tic kjkj tid ,, , , (118)
53
unde ,,0 kj kj , reprezintă funcţia scalară şi funcţia wavelet, în timp ce simbolul reprezintă
produsul intern.
B. Distorsiunea armonică totală
Tensiunea THD (THDv) în domeniul DWT poate fi definită ca
.0
0
2
det
j
jjj
appv V
V
V
VTHD
(119)
Curentul THD (THDI) în domeniul DWT poate fi definit ca
.0
0
2
det1
j
jjj
app I
I
I
ITHD
(120)
C. Puterea activă
Yoon și Devaney [117] au formulat ecuaţia puterii active, utilizând DWT. Puterea activă
aproximată Papp este definită ca
k
kjkjjapp ccT
PP .1
,'
, 000(121)
Puterea activă a detaliilor Pdet este definită ca
.1
00
,',det
jj k
kjkjjj
j ddT
PP (122)
Puterea activă totală este definită ca suma puterii active aproximată şi puterii activă a detaliilor.
P = Papp + Pdet. (123)
D. Puterea aparentă
Puterea aparentă aproximată Sapp poate fi definită ca
.00 jjappappapp IVIVS (124)
Puterea distorsiunii curentului DI poate fi definită ca
.0
0
2det
jjjjappI IVIVD (125)
Puterea distoriunii tensiunii Dv poate fi definită ca
.0
0
2det j
jjjappv IVIVD
(126)
Puterea aparentă a detaliilor Sdet poate fi definită ca
.00
22detdetdet
jjj
jjj IVIVS (127)
54
Puterea distorsiune a detaliilor Ddet poate fi definită ca
.2det
2detdet PSD (128)
Puterea aparentă totală S este
.2det
22222 SDDSVIS vIapp (129)
Puterea aparentă neaproximată SN poate fi definită ca
.2det
222 SDDS vIN (130)
Puterea nonactivă N este
.22 PSN (131)
E. Puterea reactivă
Yoon și Devaney [118] au formulat ecuaţia puterii reactive cu ajutorul DWT, utilizând
reţeaua de comutare fazată de 900. Aici, în loc să fie utilizată reţeaua de comutare fazată
conform [118], care poate introduce erori, puterea reactivă pentru fiecare nivel wavelet poate fi
calculată prin corespondenţa puterii active şi aparente la fiecare nivel wavelet şi prin urmare
aplicarea conceptului [41] de domeniu timp la fiecare nivel wavelet. Puterea ractivă aproximată
Qapp poate fi definită ca
.22appappapp PSQ (132)
Puterea reactivă a detaliilor la fiecare nivel wavelet j şi puterea reactivă totală, numită puterea
reactivă a lui Budeanu pot fi definite ca
,22jjj PSQ .
0
jj
jappB QQQ (133)
Puterea reactivă a detaliilor QBdet poate fi definită ca
.0
det
jj
jB QQ (134)
F. Factori de putere
Factorul puterii de deplasare (dPF) este definit ca
.app
app
S
PdPF (135)
Factorul puterii totale (PF) este reprezentat prin raportul
.S
PPF (136)
Factorul puterii oscilante (PFOSC) dezvoltat de Willems în [113] este prezentat prin raportul
55
.
2
1
2
1 222 PF
PF
SP
PPFosc
(137)
G. Poluarea detaliilor
Poluarea detaliilor DP poate fi definită ca fiind raportul dintre puterea aparentă
neaproximată SN şi puterea aparentă aproximată Sapp
.app
N
S
SDP (138)
3.2. Reformularea mărimilor electrice de putere în sistemele trifazate
În situaţii sinusoidale, definiţiile mărimilor electrice de putere ca puterea activă, puterea
reactivă şi puterea aparentă împreună cu factorii de calitate a puterii sunt bine definite pentru
sistemele monofazate şi pot fi extinse în cazul sistemelor trifazate echilibrate fără restricţii [78].
Cu toate acestea, atunci când avem în vedere sisteme trifazate neechilibrate în situaţii de operare
nesinusoidale, aceste definiţii devin nepotrivite [50] şi datorită faptului că design-ul
instrumentelor de măsurare a puterii utilizate în mod curent este bazat pe definiţiile tradiţionale,
aceste instrumente nu pot furniza citiri precise şi reale a cantităţilor puterii, fapt care cauzează un
cost incorect pentru clienţi. Acest lucru conduce la strategii nerealiste pentru facturarea
clienţilor. Ca şi provocare, mulţi cercetători încearcă să rezolve această problemă în unul sau
două moduri, fie prin extinderea definiţiilor bine stabilite a sistemelor monofazate şi a sistemelor
trifazate echilibrate în situaţii sinusoidale la sistemele trifazate neechilibrate cu tensiuni şi
curenţi deformanţi [5, 23, 30, 44-47, 63]; fie prin dezvoltarea unei teorii generalizate pentru
sistemul trifazat neechilibrat în situaţii nesinusoidale, încercându-se aplicarea acestor teorii la
sistemele monofazate şi trifazate echilibrate în situaţii sinusoidale [1, 26, 35, 38, 42, 60, 65, 79,
81, 82, 91].
Yoon și Devaney [117] au definit puterea activă şi rădăcina medie pătratică (RMS) ale
tensiunii şi curentului prin utilizarea transformatei wavelet discretă (DWT). De asemenea ei au
definit puterea reactivă în domeniul wavelet, utilizând conceptul de reţea de comutare fazată de
900 [118].
Driesen și Belmans [33] au propus utilizarea de wavelet-uri reale şi wavelet-uri
complexe pentru a calcula cantităţile puterii. Deşi wavelet-urile complexe pot oferi amplitudini
instantanee şi unghiuri de fază instantanee, ele prezintă dezavantajul inexistenţei funcţiilor
56
scalare pentru wavelet-uri mamă complexe. De aceea, analiza multirezoluție (MRA), care este
diponibilă în transformarea wavelet discretă, nu este accesibilă în cazul wavelet-urilor complexe
[18].
Hamid [53] a propus utilizarea transformatei pachetului wavelet (WPT) pentru a măsura
valoarea medie pătratică şi a cantităţilor puterii. Apoi, în [52] ei au extins abordarea pentru
calcularea factorului de putere şi a distorsiunii armonice totale (THD). Shupletsov și
Homchneko [93] au utilizat WPT pentru măsurarea unui factor de calitate a puterii în domeniul
timp-frecvenţă. Deşi WPT oferă benzi de frecvenţă uniformă, principalul dezavantaj este că
efortul de calcul şi dimensiunea memoriei necesare cresc mai mult în comparaţie cu DWT pe
măsură ce număr de nivele este mai mare.
Chiar dacă majoritatea reţelelor sistemului de putere sunt trifazate, nu au fost realizate
multe încercări de definire a componentelor puterii pentru sisteme trifazate neechilibrate în
condiţii de operare nesinusoidale în domeniul wavelet.
3.2.1. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele trifazate utilizând
Transformata Fourier
Această secţiune analizează definiţiile mărimilor electrice de putere conţinute în
Standardul IEEE [54] pentru sistemele trifazate în situaţii nesinusoidale. Tensiunea de linie şi
nul nesinusoidale trifazate sunt redate în relaţiile:
Rhh
RhRR thVtVv
sin2sin21
1 (139)
hthVtVv Shh
ShSS0
1
01 120sin2120sin2
(140)
hthVtVv Thh
ThTT0
1
01 120sin2120sin2
, (141)
unde VR1, VS1 şi VT1 reprezintă valorile RMS ale tensiunii la frecvenţa sistemului de putere (f1 =
50 sau 60 Hz), în timp ce VRh, VSh, VTh, αRh, αSh şi αTh reprezintă valorile RMS ale tensiunii de
fază şi ale unghiului de fază în orice ordine armonică h. Curenţii de linie sunt
Rhh
RhRRR thItIi
sin2sin21
11 (142)
hthItIi Shh
ShSSS0
1
011 120sin2120sin2
(143)
.120sin2120sin2 0
1
011 hthItIi Th
hThTTT
(144)
57
Aici IR1, IS1 şi IT1 reprezintă valorile RMS ale curentului la frecvenţa sistemului de putere (f1 =
50 sau 60 Hz), în timp ce IRh, ISh, ITh, βRh, βSh şi βTh reprezintă valorile RMS ale curentului de fază
şi ale unghiului de fază în orice ordine armonică h. De reţinut că valoarea RMS pentru orice
tensiune de fază şi orice curent de linie poate fi calculată conform
,1
0
2T
xx dtvT
V .1
0
2T
xx dtiT
I (145)
Aici, T este perioada de timp.
A. Calculele rădăcinii medie pătratice efective (RMS)
Standardul IEEE recomandă utilizarea valorilor RMS efective pentru tensiunile şi
curenţii trifazaţi. Pentru sistemele cu trei fire pot fi folosite următoarele formule:
,9
222TRSTRS
e
VVVV
3
222TSR
e
IIII
, (146)
unde VRS, VST şi VTR reprezintă valorile RMS ale tensiunii linie la linie. Aceste valori pot fi
împărţite în componente efective fundamentale şi nefundamentale
,9
21
21
21
1TRSTRS
e
VVVV
9
222TRHSTHRSH
eH
VVVV
(147)
,3
21
21
21
1TSR
e
IIII
3
222THSHRH
eH
IIII
(148)
,221 eHee VVV .22
1 eHee III (149)
B. Distorsiunea armonică totală echivalentă
Distorsiunea armonică totală echivalentă pentru tensiune (THDeV) şi curent (THDeI)
poate fi definită în baza valorilor RMS efective, după cum urmează:
,THD1
eVe
eH
V
V .THD
1e1
e
eH
I
I (150)
C. Puterea activă
Folosind conceptul de componente simetrice, puterea activă de secvenţă pozitivă
fundamentală 1P este definită ca:
.cos3 1111 IVP (151)
Aici, 11 , IV şi
1 reprezintă tensiunea, curentul şi deplasarea de fază de secvenţe pozitive la
frecvenţa fundamentală. De reţinut că 111 .
Puterea activă totală P este definită ca:
TSR PPPP , (152)
58
unde
,1
0dtiv
TP R
T
RR ,1
0dtiv
TP S
T
SS .1
0dtiv
TP T
T
TT (153)
Puterea activă nefundamentală PH este dată de relaţia:
.1PPPH (154)
D. Puterea aparentă
Puterea aparentă de secvenţă pozitivă fundamentală 1S , puterea aparentă efectivă
fundamentală Se1 şi puterea fundamentală neechilibrată SU1 sunt
,3 111 IVS ,3 111 eee IVS .
2
1211
SSS eU (155)
Puterea distorsionată a curentului DeI, puterea distorsionată a tensiunii DeV şi puterea
aparentă armonică SeH sunt date de relaţiile
,3 11 eHee IVD ,3 1eeHeV IVD .3 eHeHeH IVS (156)
Puterea aparentă efectivă nefundamentală SeN este definită ca
.2221 eHeVeeN DDDS (157)
Puterea aparentă efectivă Se şi puterea nonactivă N sunt definite ca
,221 eNee SSS .22 PSN e (158)
E. Puterea reactivă
Expresia cea mai recomandată a puterii reactive în Standardul IEEE este puterea reactivă
secvenţială pozitivă fundamentală definită ca
.sin3 1111 IVQ (159)
Standardul nu recomandă utilizarea definiţiei puterii reactive a lui Budeanu dezvoltată în
[12] pentru cazul sistemelor trifazate neechilibrate în condiţii nesinusoidale din cauza
neajunsurilor care afectează rezoluţia componentelor puterii aparente şi lipsa de trasare a
direcţiei de curgere a cantităţilor reactive.
F. Factorii de putere
Factorul de putere de secvenţă pozitivă fundamental 1PF şi factorul putere total PF pot
fi definiţi ca în fracţiile următoare:
,1
11
S
PPF .
eS
PPF (160)
G. Poluarea armonică
Poluarea armonică HP este definită ca raportul dintre puterea aparentă efectivă
nefundamentală SeN şi puterea aparentă efectivă fundamentală Se1
59
.1e
eN
S
SHP (161)
H. Dezechilibrul de sarcină
Dezechilibrul de sarcină LU este un factor care poate măsura dezechilibrul sistemului.
Este definit ca raportul
.1
1
S
SLU U (162)
3.2.2. Definirea mărimilor electrice de putere pentru sistemele trifazate utilizând
Transformata Wavelet
Definiţiile introduse anterior în capitolul 3.2.1. pentru mărimile electrice de putere sunt
reformulate în această secţiune în domeniul timp-frecvenţă prin utilizarea DWT.
A. Calculele rădăcinii medie pătratice efective (RMS)
Abordarea lui Yoon şi Devaney introdusă în [117], care calculează valorile RMS ale
formelor de undă de tensiune şi curent utilizând DWT poate fi extinsă la sistemele trifazate,
luând în considerare orice fază x din cele trei faze (R, S sau T) după cum urmează:
0
0
0
2'
0
2'
0
2,
2,,,,0
2 111
jjxjxj
jj kxj
kxkj
T
xx VVdT
cT
dttvT
V (163)
.111
0
0
0
00
2,
2,
2,
2,,0
2
jj
xjxjjj k
xjk
xkj
T
xx IIdT
cT
dttiT
I (164)
Aici xjV ,0, xjI ,0
reprezintă valorile RMS ale tensiunii şi curentului pentru banda de frecvenţă cea
mai scăzută j0 numite şi tensiunea aproximată (Vxapp) şi curent aproximat (Ixapp) pentru orice fază
x. {Vj,x}, {Ij,x} reprezintă seturile valorilor RMS ale tensiunii şi curentului pentru fiecare bandă
de frecvenţă sau nivel wavelet mai mare sau egal cu nivelul scalar j0 şi sunt denumite tensiune
detaliată (Vxdet) şi curent detaliat (Ixdet) pentru orice fază x. Utilizând (156) şi (157) alături de
(163) şi (164) se poate obţine valoarea RMS ale tensiunii şi curentului linie la linie. Apoi
valorile rădăcinii medie pătratice (RMS) efective „aproximate” pentru tensiunea şi curentul
trifazat pot fi formulate astfel:
9
222TRappSTappRSapp
eapp
VVVV
(165)
.3
222TappSappRapp
eapp
IIII
(166)
60
Valorile rădăcinii medie pătratice (RMS) efective „detaliate” pentru tensiuni şi curenţi trifazaţi
sunt
9
2det
2det
2det
detTRSTRS
e
VVVV
(167)
.3
2det
2det
2det
detTSR
e
IIII
(168)
Apoi valorile RMS efective ale tensiunii şi curentului sunt
,2det
2eeappe VVV .2
det2
eeappe III (169)
B. Distorsiunea armonică totală echivalentă
Distorsiunea armonică totală de tensiune echivalentă (THDeV) şi distorsiunea armonică
totală de curent echivalent (THDeI) în domeniul DWT pot fi definite ca
,THD deteV
eapp
e
V
V .THD det
eIeapp
e
I
I (170)
C. Puterea activă
Utilizând reprezentarea componentelor simetrice în domeniul wavelet, puterea activă de
secvenţă aproximată appP poate fi definită ca
.1
30
T
app dtivT
P (171)
Abordarea monofazată introdusă de Yoon şi Devaney în [117] pentru calcularea puterii
active prin utilizarea DWT poate fi extinsă la sistemele trifazate luând în considerare o fază x.
Puterea activă „detaliată” pentru orice fază x este definită ca
00
.1
,,'
,,,detjj k
xkjxkjjj
xjx ddT
PP (172)
Puterea activă detaliată Pdet şi puterea activă totală P pentru sisteme trifazate pot fi calculate
astfel
,detdet x
xPP .detPPP app (173)
D. Puterea aparentă
Puterea aparentă de secvenţă pozitivă aproximată appS , puterea aparentă efectivă
aproximată eappS şi puterea neechilibrată aproximată UappS bazate pe abordarea reprezentării
componentelor simetrice în domeniul wavelet introdusă anterior sunt redate astfel
,3 appappapp IVS eappeappeapp IVS 3 (174)
61
.22 appeappUapp SSS (175)
Puterea distorsiunii curentului eID , puterea distorsiunii tensiunii eVD şi puterea aparentă
detaliată deteS sunt:
,3 eappeappeI IVD eappeeV IVD det3 (176)
.3 detdetdet eee IVS (177)
Puterea aparentă efectivă de „nonaproximată” eNS este definită ca
.2det
22eeVeIeN SDDS (178)
Puterea aparentă efectivă Se şi puterea nonactivă N sunt definite ca
,22eNeappe SSS .22 PSN e (179)
E. Puterea reactivă
Puterea reactivă de secvenţă pozitivă aproximată appQ în domeniul timp-frecvenţă, prin
utilizarea DWT poate fi formulată ca
.22 appappapp PSQ (180)
F. Factorii de putere
Factorii de putere de secvenţă pozitivă aproximată appPF şi factorii puterii totale PF pot
fi definiţi ca
,
app
appapp S
PPF .
eS
PPF (181)
G. Poluarea detaliilor
Poluarea detaliilor DP este definită ca raportul dintre puterea aparentă efectivă
nonaproximată eNS şi puterea aparentă efectivă aproximată eappS
.eapp
eN
S
SDP (182)
H. Dezechilibru de sarcină
Dezechilibrul de sarcină LU este un factor ce poate măsura dezechilibrul sistemului. El
este definit astfel
.app
Uapp
S
SLU (183)
62
3.3. Concluzii și contribuții
Contribuțiile de natură teoretică din cadrul acestui capitol constau în realizarea unor
analize pertinente în găsirea unor soluții în vederea formulării expresiilor de calcul a mărimilor
electrice de putere pentru rețelele monofazate/trifazate conținute în Standardul IEEE 1459-2000,
utilizând Transformata Wavelet Discretă (DWT).
Avantajul utilizării DWT în definirea mărimilor electrice de putere este de a reprezenta
aceste componente într-un spectru timp-frecvenţă, păstrând astfel atât informaţia timp cât şi
informaţia frecvenţă. De asemenea, calcularea acestor mărimi pe nivelele şi benzi are ca efect
reducerea sarcinii de calcul şi economisirea timpului.
Contribuțiile de ordin practic constau în:
Identificarea familiei wavelet și a wavelet-ului mamă potrivite în vederea
eliminării scurgerii spectrale prin evaluarea procentului de energie al
coeficienţilor wavelet la fiecare nivel de descompunere al semnalului.
Determinarea pseudo-frecvenței și pseudo-perioadei pentru fiecare nivel wavelet.
Dezvoltarea unor aplicații Matlab în vederea calculării valorii efective a tensiunii,
valorii efective a curentului și distorsiunii armonice totale, utilizând definițiile
bazate pe transformata Fourier și respectiv cele bazate pe transformata wavelet
pentru sistemele monofazate/trifazate.
Definiţiile reformulate pot fi foarte utile în stabilirea tarifelor şi evaluarea calităţii
energiei electrice, mai ales în cazul formelor de undă tranzitorii şi nestaţionare, unde abordarea
bazată pe domeniul frecvenţă nu este aplicabilă.
63
Bibliografie
1. Akagi, H., Kanazawa, Y., Nabae, A. “Instantaneous reactive power compensators comprising switching
devices without energy storage components”, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. IA-20, Nr.
3, Mai 1984, Pagini: 625-631.
2. Akansu, A. N., Medley, M. J. ”Wavelet, Subband, and Block Transforms in Communications and
Multimedia”, The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science, 1999, Vol. 504.
3. Aldroubi, A., Unser, M. ”Wavelets in Medicine and Biology”, CRC Press, 1996.
4. Allen, J. B. , Rabinar, L. R. ”A Unified Approach to Short-Time Fourier Analysis and Synthesis”,
Proceedings of IEEE, Vol. 65, Nr. 11, Noiembrie 1977, Pagini: 1558-1564.
5. Arseneau, R. “Practical definitions for power systems with nonsinusoidal waveforms and unbalanced loads:
A discussion”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, Nr. 1, Ianuarie 1996, Pagini: 79-87.
6. Battle, G. ”A Block Spin Construction of Ondeletts; Part I: Lamarie Functions”, Communication in
Mathematical Physics, Vol. 110, Nr. 4, 1987, Pagini: 601-615.
7. Battle, G. ”A Block Spin Construction of Ondeletts; Part II: The QFT Connection”, Communication in
Mathematical Physics, Vol. 114, Nr. 1, 1988, Pagini: 93-102.
8. Blajszczak, G. “Space vector control of a unified compensator for nonactive power”, IEE Proceedings -
Electric Power Applicationsi, Vol. 141, Nr. 4, Iulie 1994, Pagini: 207-211.
9. Bracewell, R. ”The Fourier Transform and its Applications”, 2/ed, McGraw-Hill, NY, 1986
10. Buccholz, F. ”Das begriffsystem rechtleistung, wirkleistung; totale blindleistung Selbstverlag”, Munchen,
Germany, 1950.
11. Buccholz, F. “Die drehstrom—Scheinleistung bei ungleichmassiger belastung der drei zweige”, Licht Kraft,
Nr. 3, Ianuarie 1922, Pagini: 9-11.
12. Budeanu, C. I. “Reactive and fictitious powers,” Institutul Român de Energie, 1927, București, România.
13. Burrus, C. S., Gopinath, R. A., Guo, H. ”Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer”,
Prentice Hall, NJ, 1998.
14. Cekareski, Z., Emanuel, A. E. “On the physical meaning of nonactive powers in three-phase systems”, IEEE
Power Engineering Review, Vol. 19, Nr. 7, Iulie 1999, Pagini: 46-47.
15. Cohen, A., Daubechies, I., Feauveau, J. C. ”Biorthogonal Bases of Compactly Supported Wavelets”,
Communications of Pure and Applied Mathematics, Vol. 45, Nr. 5, 1992, Pagini: 485-560.
16. Cohen, L. ”Time-Frequency Distributions - A Review”, Proceedings of IEEE, Vol. 77, Nr. 7, Iulie 1989,
Pagini: 941-981.
17. Coifman, R. R., Wickerhauser, M. V. ”Entropy Based Algorithms for Best Bases Selection”, IEEE
Transactions on Information Theory, Vol. 38, Nr. 2, Martie 1992, Pagini: 713-718.
64
18. Croes, T., Gherasim, C., Keybus, J. V. d., Ghijselen, J., Driesen, J., Belmans, R. “Power measurement using
the wavelet transform of analytic signals”, The 11th International Conference on Harmonics and Quality of
Power, Septembrie 2004, Pagini: 338-342.
19. Czarnecki, L. S. “Considerations on the reactive power in nonsinusoidal situations”, IEEE Transactions on
Instrumentation and Measurement, Vol. IM-34, Nr. 3, Septembrie 1985, Pagini: 339-404.
20. Czarnecki, L. S. “Could power properties of three-phase systems be described in terms of the Poynting
vector”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 21, Nr. 1, Ianuarie 2006, Pagini: 339-344.
21. Czarnecki, L. S. “Instantaneous reactive power p-q theory and power properties of three-phase systems”,
IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 21, Nr. 1, Ianuarie 2006, Pagini: 362-367.
22. Czarnecki, L. S. “On some misinterpretation of the instantaneous reactive power p-q theory”, IEEE
Transactions on Power Electronics, Vol. 19, Nr. 3, Mai 2004, Pagini: 828-836.
23. Czarnecki, L. S. “Orthogonal decomposition of the currents in a 3-phase nonlinear asymmetrical circuits with
a nonsinusoidal voltage source”, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 37, Nr. 1,
Martie 1988, Pagini: 30-34.
24. Czarnecki, L. S. “Reactive and unbalanced currents compensation in three-phase asymmetrical circuits under
nonsinusoidal conditions”, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 38, Nr. 3, Martie
1989, Pagini: 754-759.
25. Czarnecki, L. S. “What is wrong in Budeanu concept of reactive power and distortion power and why it
should be abandoned”, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. IM-36, Nr. 3,
Septembrie 1987, Pagini: 834-837.
26. Dai, X., Liu, G., Gretsch, R. și alții, “Generalized theory of instantaneous reactive quantity for multi-phase
power system,” IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 19, Nr. 3, Iulie 2004, Pagini: 965-972.
27. Daubechies, I. ”Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets”, Communications on Pure and
Applied Mathematics, Vol. 41, 1988, Pagini: 909-996.
28. Daubechies, I. ”The Wavelet Transform, Time-Frequency Localization and Signal Analysis”, IEEE
Transactions of Information Theory, Vol. 36, Nr. 5, Septembrie 1990, Pagini: 961-1005.
29. De Leon, F., Cohen, J. “Discussion of “Generalized theory of instantaneous reactive quantity for multiphase
power system”,” IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 21, Nr. 1, Ianuarie 2006, Pagini: 540-541.
30. Depenbrock, M. “The FBD-method, a generally applicable tool for analyzing power relations”, IEEE
Transactions on Power Systems, Vol. 8, Nr. 2, Mai 1993, Pagini: 381-487.
31. Depenbrock, M., Staudt, V., Wrede, H. “Concerning “Instantaneous power compensation in three-phase
systems by using p-q-r theory”,” IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 19, Nr. 4, Iulie 2004,
Pagini: 1151-1152.
32. Driesen, J., Belmans, R. ”Time-Frequency Analysis in Power Measurement Using Complex Wavelets”,
IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS2002), 2002, Pagini: 681-684.
65
33. Driesen, J., Belmans, R. “Wavelet-based power quantification approach”, IEEE Transactions on
Instrumentation and Measurement, Vol. 52, Nr. 4, August 2003, Pagini: 1232-1238.
34. Driesen, J., Van Craenenbroeck, T., Reekmans, R., Van Dommelen, D. “Analyzing time-varying power
system harmonics using wavelet transform”, IEEE Instrumentation and Measurement Technology
Conference, Vol. 1, Iunie 1996, Pagini: 474-479.
35. Emanuel, A. E. “Poynting vector and the physical meaning of nonactive powers”, IEEE Transactions on
Instrumentation and Measurement, Vol. 54, Nr. 4, August 2005, Pagini: 1457-1462.
36. Emanuel, A. E. “Powers in non-sinusoidal situations. A review of definitions and physical meaning”, IEEE
Transactions on Power Delivery, Vol. 5, Nr. 3, Iulie 1990, Pagini: 1377-1383.
37. Fernandes, F. ”Directional, Shift-insensitive, Complex Wavelet Transforms with Controllable Redundancy”,
PhD Thesis, Rice University, 2002.
38. Ferrero, A., Furga, G. S. “A new approach to the definition of power components in three-phase systems
under nonsinusoidal conditions”, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 40, Nr. 3,
Iunie 1991, Pagini: 568-577.
39. Filipski, P. “A new approach to reactive current and reactive power measurement in nonsinusoidal systems”,
IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. IM-29, Nr. 4, Decembrie 1980, Pagini: 423-
426.
40. Fligde, N. J. ”Multirate Digital Signal Processing”, John Wiley & Sons, 1994.
41. Fryze, S. “Active, reactive and apparent power in nonsinusoidal systems”, Preglad Elektrot, Nr. 7, 1931,
Pagini: 193-203.
42. Furuhashi, T., Okuma, S., Uchikawa, Y. “A study on the theory of instantaneous reactive power”, IEEE
Transactions on Industrial Electronics , Vol. 37, Nr. 1, Februarie 1990, Pagini: 86-90.
43. Gabor, D. ”Theory of Communication”, Journal of the IEE, Vol. 93, Nr. 26, Noiembrie 1946, Pagini: 429-
457.
44. Ghassemi, F. “New apparent power and power factor with nonsinusoidal waveforms”, IEEE Winter Meeting,
Ianuarie 2000.
45. Ghassemi, F. “New concept in AC power theory”, IEE Proceedings-Generation, Transmission and
Distribution, Vol. 147, Nr. 6, Noiembrie 2000, Pagini: 417-424.
46. Ghassemi, F. “Verification of the new concept in AC power theory using energy conversion medium”, The
9th International on Harmonics and Quality of Power, Vol. 1, Nr. 6, Octombrie 2000, Pagini: 155-161.
47. Ghassemi, F. “What is wrong with the electric power theory and how it should be modified”, The 9th
International Conference on Metering and Tariffs for Energy Supply, August 1999, Pagini: 109-114.
48. Graps, A. ”An Introduction to Wavelets”, IEEE Computational Sciences and Engineering, Vol. 2, Nr. 2,
1995, Pagini: 50-61.
49. Grossmann, A., Morlet, J. ”Decomposition of Hardy Functions into Square Integrable Wavelets of Constant
Shape”, Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 15, Nr. 4, Iulie 1984, Pagini: 723-736.
66
50. Gul, O., Kaypmaz, A. “Power components in unbalanced and distorted polyphase systems”, Proceedings of
Electrotechnical Conference, Vol. 2, 1998, Pagini: 1004-1007.
51. Guo, H. ”Theory and Applications of Shift-invariant, Time-varying and Undecimated Wavelet Transform”,
MS Thesis, Rice University, Mai 1995.
52. Hamid, E. Y., Mardiana, R., Kawasaki, Z. “Method for RMS and power measurements based on the wavelet
packet transform”, IEE Proceedings - Science, Measurement and Technology, Vol. 149, Nr. 2, Martie 2002,
Pagini: 60-66.
53. Hamid, E. Y., Kawasaki, Z., Mardiana, R. “Wavelet packet transform for RMS and power measurements,”
IEEE Power Engineering Review, Iulie 2001, Pagini: 1243-1245.
54. IEEE Trial-Use Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal,
Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions, IEEE Standard 1459, Ianuarie 2000.
55. IEEE Working Group on Nonsinusoidal Situations, “Practical definitions for power systems with
nonsinusoidal waveforms and unbalanced loads: A discussion”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.
11, Nr. 1, Ianuarie 1996, Pagini: 79-87.
56. ISO/IEC JTC 1/SC 29/WG1 N943, ”JPEG2000 Requirements and Profiles”, International Organization of
Standardization, Copenhagen, 1999.
57. Jawerth, B., Sweldens, W. ”An Overview of Wavelet Based Multiresolution Analysis”, Society for Industrial
and Applied Mathematics, Vol. 6, Nr. 3, 1994, Pagini: 377-412.
58. Jeon, S. J. “Considerations on a reactive power concept in a multiline system”, IEEE Transactions on Power
Delivery, Vol. 21, Nr. 2, Aprilie 2006, Pagini: 551-559.
59. Karlson, G., Vetterli, M. ”Theory of Two-Dimensional Multirate Filterbanks”, IEEE Transactions on Signal
Processing, Vol. 38, Nr. 6, Iunie 1990, Pagini: 925-937.
60. Kim, H., Blaabjerg, F., Bak-Jensen, B. “Spectral analysis of instantaneouspowers in single-phase and three-
phase systems with use of p-q-r theory”, IEEE Power Electronics Specialists Conference, Vol. 1, Iunie 2001,
Pagini: 54-61.
61. Kim, H., Blaabjerg, F., Bak-Jensen, B., Choi, J. “Instantaneous power compensation in three-phase systems
by using p-q-r theory”, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 17, Nr. 5, Septembrie 2002,
Pagini: 701-710.
62. Kovacevic, J., Vetterli, M. ”Nonseparable Multidimensional Perfect Reconstruction Filterbank and Wavelet
Bases for Rn
”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 38, Nr. 2, 1992, Pagini: 533-555.
63. Lev-Ari, H., Stankovic, A. M. “A decomposition of apparent power in polyphase unbalanced networks in
nonsinusoidal operation”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 21, Nr. 1, Februarie 2006, Pagini: 438-
440.
64. Lev-Ari, H., Stankovic, A. M. “Hilbert space techniques for reactive power compensation in polyphase
systems with unequal line resistances”, The 11th International Conference on Harmonics and Quality of
Power, Septembrie 2004, Pagini: 238-243.
67
65. Li, G. Y. “Definition of generalized instantaneous reactive power in dqo coordinates and its compensation”,
Proceedings of the Chinese Society for Electrical Engineering, Vol. 16, Mai 1996, Pagini: 176-179.
66. Lin, Y. P., Vidyanathan, P. P. ”Theory and Design of Two Dimensional Filter Banks: A Review”,
Multidimensional Systems and Signal Processing, Vol. 7, 1996, Pagini: 263-330.
67. Lorenzetto, G. P., Kovesi, P. ”A Phase Based Image Comparison Technique”, DICTA99, University of
Western Australia, 1999.
68. Mallat, S. G. ”A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation”, IEEE
Transactions Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 11, Nr. 7, Iulie 1989, Pagini: 674-693.
69. Mallat, S. G. ”A Wavelet Tour of Signal Processing”, New York: Academic, 1999.
70. Mallat, S. G. ”Multiresolution Approximations and Wavelet Orthonormal Bases of L2(R)”, Transactions of
the American Mathematical Society, Vol. 315, Nr. 1, Septembrie 1989, Pagini: 69-87.
71. Mallat, S. G., Hwang, WL. ”Singularity Detection and Processing with Wavelets”, IEEE Transactions on
Information Theory, Vol. 38, Nr. 2, 1992, Pagini: 617-643.
72. Meyer, Y. ”Ondeletts, Ondeletts et Operateurs”, Paris: Hermann, 1990.
73. Montano, J. C., Salmeron, P. “Identification of instantaneous current components in three-phase systems”,
IEE Proceedings - Science, Measurement and Technology, Vol. 146, Nr. 5, Septembrie 1999, Pagini: 227-
233.
74. Montano, J. C., Salmeron, P. “Instantaneous and full compensation in three-phase systems”, IEEE
Transactions on Power Delivery, Vol. 13, Nr. 4, Octombrie 1998, Pagini: 1342-1347.
75. Morrone, M. C., Burr, D. C. ”Feature Detection in Human Vision: A Phase Dependent Energy Model”,
Proceedings of the Royal Society of London, Vol. 235, Nr. 1280, Decembrie 1988, Pagini: 221-245.
76. Morsi, W. G., El-Hawary, M. E. ”Defining Power Components in Nonsinusoidal Unbalanced Polyphase
Systems The Issues”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 22, Nr. 4, Octombrie 2007, Pagini: 2428-
2438.
77. Morsi, W. G., El-Hawary, M. E. ”Reformulating Power Components Definitions Contained in the IEEE
Standard 1459–2000 Using Discrete Wavelet Transform”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 22,
Nr. 3, Iulie 2007, Pagini: 1910-1916.
78. Morsi, W. G., El-Hawary, M. E. ”Reformulating Three-Phase Power Components Definitions Contained in
the IEEE Standard 1459–2000 Using Discrete Wavelet Transform”, IEEE Transactions on Power Delivery,
Vol. 22, Nr. 3, Iulie 2007, Pagini: 1917-1925.
79. Nabae A., Tanaka, T. “A new definition of active-reactive current and power based on instantaneous space
vectors on polar coordinates in three-phase circuits”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, Nr. 3,
Iulie 1996, Pagini: 1238-1243.
80. Page, C. H. “Reactive power in nonsinusoidal situations”, IEEE Transactions on Instrumentation and
Measurement, Vol. IM-29, Nr. 4, Decembrie 1980, Pagini: 420-423.
68
81. Peng, F. Z., Lai, J. S. “Generalized instantaneous reactive power theory for three-phase power systems”,
IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 45, Nr. 1, Februarie 1996, Pagini: 293-297.
82. Peng, F. Z., Oh, G. W., Adams, J. D. J. “Harmonic and reactive power compensation based on the
generalized reactive power theory for three-phase four-wire systems”, IEEE Transactions on Power
Electronics, Vol. 13, Nr. 6, Noiembrie 1998, Pagini: 1174-1181.
83. Peng, F. Z., Tolbert, L. M. “Compensation of nonnative current in power systems -Definitions from a
compensation standpoint”, IEEE Power Engineering Society Summer Meeting, Iulie 2000, Pagini: 983-987.
84. Plata, E. A. C., Tacca, H. E. “Three phase power using wavelet multiresolution analysis. Part I: Mathematical
background”, IEEE Latin America Transactions, Vol. 1, Nr. 1, Octombrie 2003, Pagini: 1-6.
85. Polikar, R. ”The Story of Wavelets”, In physics and Modern topics in Mechanical and Electrical
Engineering (ed. N. Mastorakis), 1999, Pagini: 192-197, World Scientific and Engineering Society Press.
86. Portnoff, M. R. ”Time-Frequency Representation of Digital Signals and Systems Based on Short-Time
Fourier Analysis”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. 28, Nr. 1, Februarie
1980, Pagini: 55-69.
87. Ramchandran, K., Vetterli, M. ”Best Wavelet Packet Bases in a Rate-Distorsion Sense”, IEEE Transactions
on Signal Processing, Vol. 2, Nr. 2, Aprilie 1993, Pagini: 160-175.
88. Rioul, O. ”Regular Wavelets: A Discrete-Time Approach”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.
41, Nr. 12, 1993, Pagini: 3572-3579.
89. Rioul, O., Vetterli, M. ”Wavelets and Signal Processing’, IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 8, Nr. 4,
Octombrie 1991, Pagini: 14-38.
90. Rosseto, L., Tenti, P. “Using AC-Fed PWM converters as instantaneous reactive power compensators,” IEEE
Transactions on Power Electronics, Vol. 7, Nr. 1, Ianuarie 1992, Pagini: 224-230.
91. Said, A., Pearlman, W. ”A New Fast and Efficient Image Codec Based on Set Partitioning in Hierarchical
Trees”, IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology, Vol. 6, Nr. 3, Iunie 1996, Pagini:
243-250.
92. Salmeron, P., Montano, J. C. “Instantaneous power components in polyhase systems under nonsinusoidal
conditions”, IEE Proceedings - Science, Measurement and Technology, Vol. 143, Nr. 2, Martie 1996,
Pagini: 151-155.
93. Shupletsov A. V., Homchneko, I. V. “Wavelet packet transform for power quality factors measurement”, The
5th International Siberian Workshop on Electron Devices and Materials, Iulie 2004, Pagini: 145-146.
94. Siebert, W. M. ”Circuits, Signals and Systems”, MIT Press and McGraw-Hill, 1986
95. Smith, M. J., Barnwell, T. P. ”Exact Reconstruction Techniques for Tree-Stured Subband Coders”, IEEE
Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. 34, Nr. 3, 1986, Pagini: 434-441.
96. Soman, A. K., Vidyanathan, P. P., Nguyen, T. Q. ”Linear Phase Paraunitary Filterbanks: Theory,
Factorization and Designs”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 41, Nr. 12, 1993, Pagini: 3480-
3496.
69
97. Solnim, M. A., Van Wyk, J. D. “Power components in a system with sinusoidal and non-sinusoidal voltages
and/or currents”, IEE Proceedings Electric Power Applications, Vol. 135, Nr. 2, Martie 1988, Pagini: 76-84.
98. Stanhill, D., Zeevi, Y. Y. ”Two-Dimensional Orthogonal Filterbanks and Wavelets with Linear Phase”,
IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 46, Nr. 1, Ianuarie 1998, Pagini: 183-190.
99. Strang, G., Nguyen, T. ”Wavelets and Filter Banks”, Wellesley-Cambridge Press, 1996.
100. Stollnitz, E. J., DeRose, T. D., Salesin, D. H. ”Wavelets for Computer Graphics: A Primer Part 1”, IEEE
Computer Graphics and Applications, Vol. 15, Nr. 3, Mai 1995, Pagini: 76–84.
101. Stromberg, J. O. ”A Modified Franklin System and Higher Order Spline Systems on RN
as Unconditional
Bases for Hardy Spaces”, Proc. of Conf. In Honour of A. Zygmund, Wadsworth Mathematics Series, 1992,
Pagini: 475-493.
102. Sweldens, W. ”The Lifting Schemes: A Custom Design Construction of Biorthogonal Wavelets”, Applied
and Communicational Harmonic Analysis, Vol. 3, Nr. 2, 1996, Pagini: 186-200.
103. Takahashi, I. “Analysis of instantaneous current and power using space switching functions”, Power
Electronics Specialists Conference, Vol. 1, Aprilie 1988, Pagini: 42-49.
104. van den Berg, J. C. ”Wavelets in Physics”, Cambridge University Press, 1999.
105. Vetterli, M. ”Filterbanks Allowing Perfect Reconstruction”, Signal Processing, Vol. 10, Nr. 3, 1986, Pagini:
219-244.
106. Vetterli, M., Herley, C. ”Wavelets and Filterbanks: Theory and Design”, IEEE Transactions on Signal
Processing, Vol. 40, Nr. 9, Septembrie 1992, Pagini: 2207-2232.
107. Vetterli, M., Kovacevic, J. ”Wavelets and Subband Coding”, Prentice Hall, NJ, 1995.
108. Vidyanathan, P. P. ”Multirate Systems and Filter Banks”, Prentice Hall, 1993.
109. Volkemer, H. ”On Regularity of wavelets”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 38, Nr. 2, 1992,
Pagini: 872-876.
110. Wickerhauser, M. V. ”Adapted Waveform Analysis from Theory to Software”, A. K. Peters Ltd., 1995.
111. Willems, J. L. “A newinterpretation of the Akagi-Nabae power components for nonsinusoidal three-phase
situations”, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 41, Nr. 4, August 1992, Pagini:
523-527.
112. Takahashi, I. “Analysis of instantaneous current and power using space switching functions”, The 19th IEEE
Power Electronics Specialists Conference, Vol. 1, Aprilie 1988, Pagini: 42-49.
113. The Mathworks, ”Wavelet Toolbox (ver 2.2) User’s Guide”, 2002, URL: www.mathworks.com.
114. Willems, J. L. “Reflections on apparent power and power factor in nonsinusoidal and polyphase situations”,
IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 19, Nr. 2, Aprilie 2004, Pagini: 835-840
115. Willems, J. L. “A new interpretation of the Akagi-Nabae power components for nonsinusoidal three-phase
situations,” IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 41, Nr. 4, August 1992, Pagini:
523-527.
70
116. Willems, J. L., Ghijselen, J. A. “Apparent power and power factor concepts in unbalanced and nonsinusoidal
situations”, IEEE Bologna Power Tech Conference Proceedings, Vol. 3, Iunie 2003.
117. X. Dai, X., Liu, G., Gretsch, R. și alții “Generalized theory of instantaneous reactive quantity for multi-phase
power system”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 19, Nr. 3, Iulie 2004, Pagini: 965-972.
118. Yoon, W.-K., Devaney, M. J. “Power measurement based on the wavelet transform”, IEEE Transactions on
Instrumentation and Measurement, Vol. 47, Octombrie 1998, Pagini: 1205-1210.
119. Yoon, W.-K., Devaney, M. J. “Reactive power measurement using the wavelet transform”, IEEE
Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 49, Nr. 2, Aprilie 2000, Pagini: 246-252.
120. Zhang, D., Xu, W., Bi, Y., Zhao, J. “Impact of interharmonics on the measurement error of AC sampling”,
International Conference on Power System Technology, Vol. 2, Noiembrie 2004, Pagini: 1752-1756.