Click here to load reader

Ranko Koturovic Magistarski Rad

  • View
    126

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Ranko Koturovic .Magistarski rad .Mehanika.

Text of Ranko Koturovic Magistarski Rad

1 UvodU poslednje vreme posvecuje se znacajna paznja problemima deforma-bilnihtela, uslucajukadasutatelapodvrgnutaogranicenimdefor-macijama. Zatakvatelasekazedasupodvrgnutatzv. unutrasnjimvezama (internal constraints) ili unutrasnjim prinudama. Primer takvih(realnih) materijala su: skoro potpuno nestisljive tecnosti i gume. Vlakna,kojima se ojacava guma, cini takav materijal neistegljiv u pravcima tihvlakana. Tecni kristali nematskogtipanemenjajuintenzitetvektoraorijentacije pri elasticnoj deformaciji. Sustinski, unutrasnja prinuda jekonstitutivnoogranicenjenadeformacijekojetelomozedapodnese.Odposebnoginteresasuprosteunutrasnjeveze, kojesedenisuskalarnom funkcijom (F), gde je promenljiva gradijent deformacije F.KazemodajematerijalnacesticaXtela Bpoddejstvomvezeakosumogucedeformacijetelaonezakojeje(F) = 0.Ocigledno je da za telo podvrgnuto prostim unutrasnjim vezama gradi-jent deformacije F pripada nekoj monostrukosti. To je potpuno drugacijeodsituacijekadanatelonedelujuunutrasnjeveze, jertadajeFel-ementotvorenogpodskupatenzoradrugogredacijesudeterminantepozitivne. Sa teorijskog stanovista materijali pod prinudama su se raz-matrali dosadananacinkoji supredlagali Truesdell i Noll [6], (viditako -deChadwick[2],Jaric[7]).U tom prilazu tenzor napona Tse apriori razlaze na zbir dva tenzoraT = Tr +Ta,odkojihTrpredstavljareaktivnu, adrugi Taaktivnukomponentutenzoranapona.ZakomponentuTrsepretpostavljadanevrsi radpri svimkre-tanjima, kojasusaglasnasaprinudama(vezama). Odre -denajeun-utrasnjimprinudamadonaskalarni mnozitelj, akoji predstavljaLa-granzevmnoziteljveze. Prirodnojedatumacimotukomponentukaoonaj deonaponakoji predstavljareakcijuveze, zbogtogasetakoinaziva.Komponenta Taje gradijent gustine unutrasnje energije (u slucajuelasticnih tela) u odnosu na gradijent deformacije. Vrsi rad i naziva seaktivannapon.Postupakzaodre -divanje Lagranzeovogmnoziteljaveze sustinskizasnivanasledecemproblemu(vidi[2],str. 27,problem12):Neka je dat simetrican tenzor T (T = 0). Pokazati da se proizvol-janisimetricantenzorSmozeizrazitiuoblikuS = T+U, (1)gdejeskalar, aUsimetricantenzortakavdajetr(TU)=0.Dalje, akosuT1i T2simetricni tenzori (T1, T2 =0)i akojetr(T1A)=0zaovetenzoreAzakojejetr(T2A)=0, ondajeA1= A2.ResenjeproblemazasnivasenacinjenicidajetenzorTsimetricanirazlicit od nule. Onda najmanje jedna njegova karakteristicna vrednostrazlicita od nule, pa je trT2> 0. Odavde tako -de sledi da je simetricantenzorciji jetragkvadratajednaknuli, nulatenzor. Premauslovuzadatka trTU = 0, pa je =trTStrT2 . Tada iz (1) sledi da je S = T+U.Ovadekompozicijajejednoznacna. Zaista, akopretpostavimodajeS=T + Vondaje( )T=V U, paje( )trT2=0.Znacimorabiti = iV = U.Drugi deoproblemazasnivasenaprethodnomrezultatu, tj. nadekompozicijiT1= T2 +U,gdejetr(T2U) = 0. Ondajetr(T1A) = tr(T2A) + tr(AU),zasvakoA. Me -dutim, premauslovuproblema, tr(T1A) =0uvekkadajetr(T2A) =0. Odavdesledi daUmorazadovoljavati uslovtr(UA)=0zasvaki tenzorAzakoji jetr(T2A)=0. Tojesigurnoslucaj kadajeA=U, jerjetadatr(T2U)=0. Prematome, morabititrU2= 0odaklesledidajeU = 0. ZnaciT1= T2.Ilustrojmo to na slucaju nestisljivih materijala. Tada je deformacijaizohoricnaiodre -denasadet C1 = 0,gdejeC = FTF2desniKosi-Grinovtenzordeformacije. Odavdeselakopokazujedaje(det C)C1C = C1C = 0.KakojeL =FF1= D+W,gdejeLgradijentbrzine,Dtenzorbrzinedeformacije,simetricantenzor,aWtenzorvrtloznosti,antisimetrican,sledidajeC = 2 FTDF.OndajeC1C = 2C1FTDF = 2FC1 FT D = 0,iliI D = 0.Imajuciuvidudajeradreaktivnogdelanaponanula,tj.Tr D = 0,zasvakoDzakojejeI D = 0,sledidajeTr= pIsaglasnosaresenjemnavedenogproblema; pjeproizvoljnafunkcijaisazickogstanovistapredstavljahidrostatickipritisak.Nedavno, CarlsoniTortorelli[1]predlazunoviprilazrazmatranjutela sa prinudama u kome se iskljucuje formalizam Lagranzeovih mnoziteljaveza. Uovomprilazuse ukazuje na sledece cinjenice: savremenamehanikakontinuumazasnivasanajasnoj podeli nakinematiku, os-novne zakone balansa, s jedne strane, i konstitutivnihjednacinasadrugestrane. Pitanjekojesepostavljajemestounutrasnjihvezautoj podeli? Pri odgovorunatopitanje, polazi seodcinjenicedaseisteunutrasnjevezeodnosenarazliciteklasematerijala. Naprimer,inkompresibilnost (nestisljivost) semozeodnositi i nahiperelasticnacvrstatelai viskozneuide. Naosnovutogazakljucujesedasuun-utrasnjevezedalekosiri pojamodkonstitutivnihjednacina. Imajucitouvidu,Anderson,CarlsonandFried[5],koristemodikovanuverz-ijugeometrijskihargumenata[8] pri razmatranjuinkompresibilnosti i3mikrostrukturneneistegljivosti uslucajunematicelastomers. Natajnacin dolaze do dveju komponenata tenzora napona bez koriscenja za-konabalansailikonstitutivnihpretpostavki.Odinteresajedaseovaj prilazdetaljnijerazmotri, sobziromnanjegovuaktuelnost.1.1 OsnovnipojmoviioznakeU cilju sazetog i preglednog izlaganja problema koje ovde razmatramo,navodimoosnovnepojmovedeformabilnogtela, kaoi oznake, kojesuuobicajeneumehanicikontinuuma,akoje cemokoristiti.Teloseidentikujesaoblascuprostora B,kojeonozauzimauref-erentnojkonguraciji. Kretanjetelaodre -denojerelacijomx = x(X, t).SaXoznacavamopolozajmaterijalnecesticeXtelaupocetnojkon-guraciji, asaxpolozaj istematerijalnecesticeXtelautrenutnojkonguraciji. GradijentdeformacijeoznacavamosaF = Gradx, det F > 0.Naosnovuteoremeopolarnojdekompoziciji,pisemoF = RU = VR,gdejeRtenzorrotacije,RTR = RRT= I,Ijedinicnitenzor,Udesnitenzordeformacije,V,Vijlevitenzordeformacije,B = FFT= V2leviKosi-Grinovtenzordeformacije,C = FTF = U2desniKosi-Grinovtenzordeformacije.4GlavneinvarijantelevogKosi-Grinovtenzordeformacijeoznacavamosa:IB= trB,2IIB= (trB)2trB2,IIIB= det B,aglavneinvarijantetenzoraVsa:IV= trV,2IIV= (trV)2trV2,IIIV= det V.Dalje,oznacavamosa:T,TijKosijevtenzornapona,a = xubrzanjetacketela,1.2 GeometrijamnogostrukostisaogrnicenjimaPretpostavljamodajetelopodvrgnutodejstvuprostihveza, kojesuodre -deneneprekidnimdiferencijabilnomfunkcijamafi(F) = 0, i = 1, . . . , n. (2)Tako -de pretpostavljamo da su vektori Gradfi(F), i = 1, . . . , n linearnonezavisni za svako F koje zadovoljava (2). Napomenimo da je na ovomnivoopstostin < 9. Me -dutim,naosnovuprincipamaterijalneindifer-entnosti,sledidajefifunkcijasimetricnogtenzoraFTF,pajeprematome n < 6. Ove relacije odre -duju domen D vrednosti F, koji nazivamomnogostrukostsaogrnicenjimanaF,akojajedatasaD :=_F Lin+: fi(F) = 0, i = 1, . . . , n_.Lin+oznacavalinearni prostortenzoradrugogreda, cijajedetermi-nanatavecaodnule.5PotprostorNlinearnogvektorskogprostora(Lin), upravannaDuF, odre -denjebaznimvektorimaGradfi(F), i=1, 2, . . . , n, ili sim-bolickizapisujemouoblikuN(F) := {Gradfi(F), i = 1, 2, . . . , n} .Njegov ortogonalni komplement u linearnom vektorskom prostoru Linoznacavamosa(N(F)):= {A Lin : A Gradfi= 0, i = 1, 2, . . . , n} . (3)Sageometrijskogstanovista,(N(F))jetangentniprostorT(F)naDuF,tj.(N(F))= T(F).Sobziromda(2)vazizasvakitsledidajeGradfi(F) F = 0, i = 1, 2, . . . , n. (4)Iz(3)i(4)mozedasezakljucidajeF T(F). (5)Kakoje,naosnovuteoremeoprojekcijama,Lin = N(F) T(F)ondajezasvakoA LinA = A +A

, A N(F), A

T(F). (6)Iz(3),(5)i(6),slediAF = 0, AF = A

F. (7)1.3 EnergetskanejednakostNadalje razmatramomehanickuteoriju, kojase zasnivanadrugomzakonu termodinamike kada je trenutno povecanje slobodne energije 6ubilokojojtacki telanijeveceodutrosenesnage. IzrazaneuoblikuKlauzijus-Dijemovenejednakostiovaenergetskanejednakostglasi_B

_ +12|v|2_dv _BSn v da +_Bb v dvi vazi zasvaki trenutaki svaki deotela. Ovdesmooznacili sa: -gustinu mase, v - polje brzine, S - prvi Piola-Kirkof tenzor napona, b -zapreminskusilupojedinicimase;sa()oznacavamomaterijalniizvodpovremenu. Akoseuovojnejednakositiskoristizakonbalansamase,kolicinekretanjaiidentitet_BSn v da +_Bb v dv=_BSFdv +_B12|v|2dvondaonapostaje_B dv _BSFdv,cijijelokalnioblik

SF. (8)Ova nejednakost je od sustinskog znacaja za razmatranje teorije hipere-lasticnihmaterijala.1.4 AktivniireaktivninaponKakojeS Lin,ondajeprema(6)i(7)S = S +S

,gdejeSF = 0, SF = S

F.OdavdesevididajesnaganaponaSjednakanuli,prikretanjupoddejstvomprinude. ZbogtogaseSnazivareaktivnakomponentanaponaiobelezavasaS= Sr.7Dalje,Sr N(F),pajeSr=n

i=1iGradfi(F).Skalarne funkcije i (i = 1, . . . , n) su konstitutivno neodre -dene velicine.KomponentanaponaS

vrsiradpojedinicivremenaprikretanjupodprinudom. ObelezavamojesaS

= Sainazivamojeaktivnakomponentanapona.Vazojeuociti dajeovadekompozivijanapona, pri kretanjutelapoddejstvomprinuda, nezavisnaodkonstitutivnihpretpostavki i dajeupotpunostiodre -denaprirodomprinuda. Prematome,priovakvojdekompoziciji napona telo ne mora da bude elasticno. Tako -de je vaznouocitidajeuvekSa Sr= 0.1.5 HiperelasticnotelopoddejstvomprinudaUslucajudejstvaprinudanatelo(8)postaje

SaF. (9)Zahiperelasticnotelovazidaje= (F), Sa= Sa(F) T(F).Iz= Grad

(F)Fi(9),dobijamo(Sa(F) Grad

(F))F 0. (10)KakojeSa(F), Grad

(F) T(F)iF T(F)proizvoljno, onadaiz(10)dobijamoSa(F) = Grad

(F). (11)8Iznacinaizvo -denja,SriSamozedaseizvedezakljucakosustinskomkarakteru reaktivnog i aktivnog (konstitutivnog) dela napona S za telakojasekrecupoddejstvomprinude.AktivnakomponentanaponaSaseodre -dujesaglasnosaopstomteorijomkonstitutivnihjednacina. ReaktivnakomponentanaponaSrodre -denajedonaproizvoljneskalarnefunkcijei, kojeseuopstemslucajuodre -dujuizjednacinakretanjaigranicnihuslova.1.6 Izotropni elasticni materijali pod dejstvom prin-udaUnutrasnje prinude mogubiti razlicitogoblikai mogubiti primen-jene urazlicitimsituacijama. Verovatnonajcesce koriscene prinudei izucavani materijali podprinudomsugeometrijskeprinude: inkom-presibilnosti neistegljivost. Efekatsvakeprinudejedvostruk. Kine-maticka prinuda rezultira u smanjenju stepena slobode deformacije telai istovremeno uvo -denju odre -denih promena u naponu bez promene de-formacije. Primeraradinezavisnoodopterecenjaduzinamaterijalnihlinijskih elemenata duz pravca neistegljivosti se ne menja. Takva prin-uda dovodi do smanjena stepena slobode koji se odnosi na deformaciju,tj. nekepromeneoblik

Search related