RANGKUMAN METODE STATISTIKA

UNIVERSITAS AIRLANGGA

RANGKUMAN METODE STATISTIKA

1. PENGANTAR STATISTIKADewasa ini metode statistika sudah berkembang sangat luas, untuk

mengakomodasi berbagai kondisi data. Karena dalam aplikasinya hampir tidak bisa lepas dari peranankomputer, sebagian besar metode tersebut telah diimplementasikan dalam berbagai paket statistka.statistik : kumpulan data yg menjelaskan/menggambarkan persoalan kejadian yg

dikumpulkanex : statistik pendidikan,statistik pendudukstatistika : ilmu statistik yaitu sebuah proses yang terkait dengan

- mengumpulkan data - Sampling :random,campuran - Sensus : semua data - menyajikan data

- Diagram : lambang(kalau data manusia lambangnya manusia), batang (berupa batang), titik,garis,lingkaran,peta

- Tabel : kontingensi,baris kolom,distribusi frekuensi - Mengolah data - Menganalisis data - Menyimpulkan data

Macam - macam statistik :1.statistik deskriptif : Statistika yang hanya menggambarkan atau

mendreskripsikan keadaan data tanpa menarik kesimpulan2.statistik induktif (inferensial) : Statistika yang dapat menyimpulkan keadaan

populasi dari hasil sampel yang representatif. Untuk dapat menyimpulkan diperlukan teori peluang.

populasi : keseluruhan pengamatan yang menjadikan objek dari sebuah penelitian keseluruhan pengamatan

sample : himpunan bagian dari populasi -random sampling -non random

Sample dikatakan random jika setiap anggota dari sample tersebut mempunyai peluang kesempatan yang sama untuk terambil, jika sampling tidak mempunyai kesempatan yang sama disebut non random

2. UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATAPada setiap upaya pengumpulan data untuk menjawab suatu masalah, selalu

diperolehhasil pengukuran atau pencacahan berupa angka-angka yang cukup banyak. Oleh karena itusetiap kegiatan pengumpulan data diikuti oleh suatu kegiatan meringkas data sehingga

Metstat by Kristio.M (080810239) and Thieara .R (08010281) | 1


mendapatkan bentuk yang lebih mudah dipahami. Peringkasan data dimaksudkan untukmencari sesederhana mungkin informasi dari data yang dikumpulkannya tapi memilikipengertian yang dapat menjelaskan data secara keseluruhan. Untuk keperluan ini dalamstatistika dikenal istilah ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran.

a. Ukuran Pemusatan DataUkuran pemusatan merupakan suatu gambaran (informasi) yang memberikan

penjelasan bahwa data memiliki satu (mungkin lebih) titik dimana dia memusat atauterkumpul.- Mean

Rata-Rata / Rataan / Nilai Tengah / Nilai Harapan :

n

xx

n

ii

1

n

yy

n

ii

1

Contoh (X): 15 12 9 13 13 16 10

- MedianNilai yang posisinya tepat berada di tengah setelah data diurutkan (jika

banyak data ganjil), atau rata-rata dari dua nilai yang posisinya di tengah setelah data diurutkan (jika banyak data genap).Contoh 1:15 12 9 13 13 16 10 diurutkan jadi 9 10 12 13 13 15 16Mediannya adalah 13 (nilai pada suku ke-4).Contoh 2:25 32 42 15 13 27 diurutkan jadi 42 32 27 25 15 13Mediannya adalah (27 + 25) / 2 = 26,5

- Modus yaitu nilai yang memiliki frekwensi muncul paling tinggi. Dalam satu buah

gugus data dapat memiliki lebih dari satu modus, khusus yang memiliki dua modus disebut bimodus. Apabila semua nilai dalam suatu gugus data memiliki frekwensi muncul yang sama, maka gugus data tersebut dikatakan tidak memiliki modus.Contoh 1:15 12 9 13 13 16 10 modusnya adalah 13Contoh 2:15 12 9 13 13 16 10 9 modusnya adalah 9 dan 13 (bimodus)


x̄=∑i=1

7

x i

7=15+12+9+13+13+16+10

7=88

7=12, 571


Deskripsi Data Kelompok

Dalam praktek hasil pengamatan data sering dinyatakan dalam bentuk kelompok. Deskripsi demikian sering dinamakan daftar distribusi frekuensi.

Rumus :

Mean

x=x(1) f 1+...+x(n) f n

f 1+ f 2+...+f n

=∑i−1

n x (i ) f i

n

Median

me=L+c { 12

n−Fk

f }Modus

mo=L+c { b 1b1+b 2 }

Dalam daftar distribusi frekuensi umumnya bentuk tabel sebagai berikut :Contoh soal :1. Hasil ujian mata kuliah metode statistika yang diikuti 25 mahasiswa sebagai

berikut

Hasil ujian X(i) f31 – 40 10 141 – 50 10 251 – 60 10 661 – 70 10 771 – 80 10 581 – 90 10 391 – 100 10 1Jumlah 25

Tentukan rata – rata ujian, modus, median data berikut- Mean

x=x(1) f 1+...+x(n) f n

f 1+ f 2+...+f n

=∑i−1

n x (i ) f i

n

= 10+20+60+70+50+30+10

7

= 250

7



= 35,7

- Median

me=L+c { 12

n−Fk

f } = 70,5 + 10 { 1

225−7

7 } = 70,5 + 7,86 = 78,35

- Modus

mo=L+c { b 1b1+b 2 }

= 70,5 + 10 { 65+6 }

= 75,95

b. UKURAN PENYEBARAN / KERAGAMANUkuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar

dalamkumpulannya. Dengan ukuran penyebaran kita dapat melihat seberapa jauh data-datamenyebar dari titik pemusatannya.Ukuran penyebaran yang sering digunakan antara lain :

- Wilayah / rentan / jangkauan = Nilai terbesar – nilai terkecil ( R )Ukuran ini cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang

simetrik dan nilai pengamatannya menyebar merata. Tetapi ukuran ini akan menjadi tidak relevan jika nilai pengamatan maksimum dan minimum merupakan data-data ekstrem.Contoh : Data 7, 5, 9, 7, 8, 6 tentukan wilayahnya?Jawab : R = 9 – 5 = 4

- Variasi / ragamUkuran penyebaran data yang paling sering digunakan adalah ragam.

Ragam merupakan ukuran penyebaran data yang mengukur rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik pusat (rataan). Apabila x1, x2, ...,xN adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran N, maka ragam populasinya adalah:

Variasi Populasi 2=∑i=1

n (xi2−x)2

n

Sampel s2=∑ (xi−x)2

n−1



Simpangan Baku Popolasi ¿√∑i=1

n (xi2−x)2

n

Sampel s=√∑ ( xi−x)2

n−1Contoh Kasus:Pembandingan harga kopi dalam bungkus 200 gram di empat toko kelontong yang dipilih secara acak menunjukkan kenaikan dari harga bulan sebelumnya sebesar 12, 15, 17, dan 20 rupiah. Hitunglah ragam contoh kenaikan harga kopi tersebut!Jawab:Nilai tengah contoh kita peroleh dengan perhitungan:

3. Pengantar ProbabilitasTeori probabilitas

Suatu peristiwa yang mempunyai probabilitas untuk terjadi mengandung arti bahwa ada harapan peristiwa itu akan terjadi. Jika ada kepastian bahwa suatu peristiwa akan terjadi, maka peluang terjadinya peristiwa itu adalah 1. Jika ada peluang sama sekali bahwa suatu peristiwa akan terjadi, maka peluangnya adalah 0.1. Pengertian Peluang

Jika diketahui suatu kejadian A dengan ruang sampel S, maka peluang kejadian A, ditulis P (A), adalah sebagai berikut:

P ( A )=n( A)n ( S )

=banyaknyacara terjadi kejadian Abanyak semua kemungkinan

2. Ruang sampelDalam menghitung peluang suatu kejadian, kita tidak perlu mendaftar unsur-

unsur dari suatu kejadian dan ruang sampelnya, tetapi cukup dengan menghitung banyaknya titik sampel suatu kejadian dan ruang sampel tersebut. Berdasarkan banyaknya unsur suatu ruang sampel, ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu ruang sampel diskret dan ruang sampel kontinu. Suatu ruang sampel dikatakan diskret jika banyaknya unsur dari ruang sampel tersebut berhingga atau tidak berhingga terhitung (countable). Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu jika ruang sampel memua semua bilangan dalam suatu interval tertentu.


x̄=∑i=1

n

x i

n=∑i=1

4

xi

4=12+15+17+20

4=64

4=16

s2=∑i=1

n

(xi− x̄ )2

n−1=∑i=1

4

( x i−16 )2

3

s2=(−4 )2+(−1 )2+ (1 )2+(4 )2

3

s2=16+1+1+163

=343

=11 , 33


Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi SContoh : Sebuah koin dilemparkan 3 kali secara acak tentukan ruang sampelnyaS = {GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA} = 28

= 256

Jika ruang contoh suatu percobaan terdiri atas kejadian dasar yang diskret terhingga, ada tiga kaidah dasar cara menghitung banyaknya ukuran ruang contoh, yaitu:

a. pengisian tempat yang tersediaAda dua kaidah yang dapat digunakan untuk pengisian tempat yang

tersedia, yaitu kaidahpenggandaan dan kaidah penjumlahan. Pada kaidah penggandaan, misalnya n1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, n2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi dan nk adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k setelah (k-1) tempat-tempat sebelumnya terisi, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1.n2. ... .nkContoh 4.5Pada sebuah dealer motor tersedia 4 merk sepeda motor. Masing-masing merk menyediakan 3 jenis kapasitas silinder. Masing-masing sepeda motor dikeluarkan dengan 2 macam warna. Jika seorang pengojek hendak membeli sepeda motor baru, berapa macam pilihan yang dapat dilakukan olehnya? Pikiran pengojek sewaktu memilih merk bercabang empat, sewaktu memilih kapasitas silinder bercabang tiga dan sewaktu memilih warna bercabang dua. Jadi, pilihannya ada 4 x 3 x 2 = 24 macamKaidah penjumlahan digunakan jika dalam mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi tidak dapat dilakukan menggunakan benda-benda yang digunakan sebagai pilihan untuk mengisi tempat pertama. Jadi, misalnya n1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, n2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua dan nk adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1 + n2 + ... + nkContoh 4.6Dari Jakarta kita dapat pergi ke Bogor menggunakan kendaraan bermotor melalui (1)Parung, (2) jalan lama Cibinong, atau (3) jalan tol Jagorawi. Dari Bogor kita dapat keBandung melalui (1) Sukabumi atau (2) Cianjur. Dari Jakarta kita juga dapat ke Bandungmelalui (1) jalan tol Cikampek atau (2) jalan lama Bekasi lewat Purwakarta. Hanya ada satu jalan raya dari Purwakarta menuju Bandung. Ada berapa pilihan untuk pergi ke Bandung dari Jakarta?Jika melalui Bogor ada 3x2 pilihan dan jika melalui Purwakarta ada 2x1 pilihan. Jadi, banyaknya pilihan ada 3x2 + 2x1 = 8 macam



b. PermutasiSusunan yang dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian

atau seluruhnyaBanyaknya permutasi akibat pengambilan r obyek dari n obyek yang berbeda,

untuk r≤ n, adalah n(n -1)(n – 2) = npr = n!

(n−r )!Contoh a. Bila diambil dua angka dari empat angka, maka berapakah susunan angka

berbeda yang mungkin dibentuk?Jawab

a. 4p2 = 4 !

(4−2) ! = 12 susunan angka

c. KombinasiBanyaknya cara mengambil r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan

urutanKombinasi adalah membuat sekatan dengan 2 sel. Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain berisi n – r benda yang tidak terpilih.Banyaknya kombinasi r obyek dari n obyek yang berbeda adalah

nCr = (nr )= n !r !(n−r ) !

Contoha. Dalam berapa cara 2 pertanyaan dalam soal ujian dapat dipilih, dari 3

pertanyaan yang disediakan?Jawab

a. 3C2 = (32)= 3!2 !(3−2)! = 3

3. Event / kejadianHimpunan bagian dari ruang sample (E)E = himpunan bagian dari S

Contoh : S = { 1,2,3 } 23 = 8E kejadian terambilnya koin bergambar 1Macam – macam kejadianA. Kejadian saling asing / saling lepas

Suatu kejadian yang tidak dapat terjadi pada saat yang sama

A U B =ϕP(A U B) = P(ϕ) = 0

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B) = P(A) + P(n)

B. Dua peristiwa yang tidak saling asing


A B


Kejadian bisa terjadi secara bersamaan

A U B ≠ ϕ = P(A) + P(n)

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)

4. Peluang bersyaratSeringkali di dalam penerapan kita tertarik pada peluang yang terkait dengan

sebagian dari populasi (ruang sampel). Di sini kita berkepentingan dengan kendala tambahan yang dikenakan oleh sebagian dari populasi yang mungkin saja tidak berlaku bagi populasi keseluruhan. Peluang yang terkait dengan subpopulasi ini dinamakan peluang bersyarat

Jika kejadian A terjadi dengan peluang PA maka peluang kegiatan B terjadi apabila didahului terjadinya kegiatan A dinyatakan sebagai peluang bersyarat, yang dirumuskan sebagai berikut

P(B∨A)=P¿¿Contoh Terdapat sejumlah lulusan Sekolah Menengah Atas yang dapat disajikan

dalam daftar berikuJenis

KelaminKuliah Bekerja jumlah

Pria 460 40 500Wanita 140 260 400Jumlah 600 300 900

Secara acak diambilah lulusan SMA tersebut untuk dimintai komentar terhadap tujuan kedepannyaa. Jika yang terpilih adalah kuliah, berapakah peluang yang terpilih priab. Tentukan peluang perempuan yang bekerja jika yang terpilih adalah

bekerjaJawab a. P(L ¿ K) = P ¿¿0,77

b. P(W ∨B)=P¿¿ = 0,87

Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa melihatnya kekantong kedua. Berapakah probabilitas apabila sekarang diambil bola hitam dari kantong kedua?`Jawab

Misalkan H1,H2, dan M1 masing – masing menyatakan mengambil 1 bola hitam dari kantong 1, 1 bola hitam dari kantong 2, dan 1 bola merah dari


BA

Kantong 14M, 3H

Kantong 23M, 6H

Kantong 34H, 5H


kantong 1. Ingin diketahui gabungan dari kejadian mutually exclusive H1 ⋂H2 dan M1 ⋂ H2. Berbagai kemungkinan dan probabilitasnya perhatikan gambar di bawah ini

Selanjutnya,

P [(H 1⋂H 2)atau(M 1⋂H 2)]=P (H 1⋂H 2)+P( M1⋂H 2)

= P ( H 1 ) P ( H 2∨H 1 )+ P ( M 1 ) P ( H 2∨M 1 )

= ( 37 )( 6

9 )+( 47 )( 5

9 ) =

3863

5. Kaidah BayesPenerapan menarik lainnnya dari peluang bersyarat adalah apa yang disebut

peluang pasterior. Hal ini diberikan oleh Kaidah Bayes. Pada teladan di atas, dengan mudah kita dapat menjawab pertanyaan berapa peluang terambilnya bola biru pada ambilan kedua, bila pada ambilanpertama terambil bola merah?

Karena pada ambilan pertama diperoleh merah, maka di dalam kotak masih ada 1 merah dan 3 biru, sehingga peluang terambilnya bola biru pada ambilan kedua bila pada ambilan pertama terambil bola merah adalah ¾. Sekarang pertanyaannya dibalik. Bila pada ambilan kedua terambil bola biru, berapa peluang pada ambilan pertama terambil bola merah, P(M1|B2)?Menurut rumus peluang bersyarat,

Akan tetapi

Dan



Sehingga

Perhatikan bahwa informasi terjadinya B2 telah mengubah peluang awal dari P(M1)=2/5 menjadi P(M1|B2)=1/2.

Contoh di atas mengilustrasikan teorema berikut yang dikenal sebagai Kaidah Bayes:

Bila kejadian-kejadian B1, B2, ..., Bk merupakan sekatan dari ruang sampel S dengan P(Bi) 0untuk i = 1, 2, ..., k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0,

Contoh Kasus : Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. peluang Pak Ali terpilih

adalah 0,3; peluang Pak Badu terpilih adalah 0,5; sedangkan peluang Pak Cokro adalah 0,2. Apabila seseorang merencanakan masuk menjadi anggota koperasi tersebut, tetapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Pak Cokro terpilih menjadi ketua?

Jawab :Dengan menggunakan Kaidah Bayes, diperoleh bahwa :

P (B3∨A )=P ( B3 ) P ( A∨B3 )

P ( B1 ) P ( A∨B1 )+P (B2 ) P ( A∨B2 )+P ( B3 ) P ( A∨B3 )Selanjutnya, masukkan peluang yang telah dihitung pada contoh sebelumnya, sehingga diperoleh :

P (B3∨A )= 0,080,24+0,05+0,08

= 837

Berdasarkan kenyataan bahwa iuran telah naik, maka hasil ini menunjukkan bahwa kemungkinan besar bukan Pak Cokro yang sekarang menjadi ketua koperasi tersebut

4. DISTRIBUSI VARIABEL RANDOMVariabel random adalah sebuah fungsi dengan domain hasil percobaan dan

kodomain adalah bilangan riil, simbol variabel random adalah huruf kapital.



Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak jumlah bilangan bulat, ruang sampel model ini disebut sebagai ruang sampel diskrit

Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik dalam sebuah segmen garis, ruang sampel model ini disebut sebagai ruang sampel kontinyu. Variabel acak diskrit bila himpunan keluarannya dapat dihitung. Variabel acak dapat mengambil nilai-nilai pada skala kontinyu disebut sebagai variabel acak kontinyu.

Contoh : Seorang petugas ruang simpan mengembalikan tiga helm keselamatan secara acak

kepada tiga pegawai pabrik baja yang sudah memeriksa helm tersebut. Bila Smith, John, dan Brown di dalam urutan itu, menerima salah satu dari 3 helm itu, tulislah titik-titik contoh bagi urutan yang mungkin dari pengembalian helm tersebut, dan carilah nilai m dari peubah acak M yang mewakili jumlah kecocokan yang tepat.Penyelesaian:

Bila S, J dan B masing-masing menunjukkan helm milik Smith, Jones dan Brown maka susunan yang mungkin dimana helm akan dikembalikan dan jumlah kecocokan yang benar adalah

Himpunan pasangan nilai-nilai variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel acak X, P(X = x) disebut probabilitas X atau disingkat distribusi X. Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas atau fungsi kerapatan probabilitas dari variabel acak X untuk setiap keluaran x yang mungkin. Sifat-sifat fungsi f(x) adalaha. Variabel acak diskrit

1. f ( x )=P ( X=x ) fungsi probabilitas

2. f ( x )≥0

3.∑

x

f ( x )=1

b. Variabel acak kontinyu

1.P (a< X<b )=∫

a

b

f ( x )dx fungsi kepadatan probabilitas/probability density

function (pdf)



2. f ( x )≥0

3. ∫−∞

∞f ( x ) dx=1

Jika variabel acak X memiliki fungsi probabilitas f(x), maka fungsi distribusi kumulatif dari X, yaitu F(x) dinyatakan sebagai

F ( x )=P ( X≤x )={ ∑X≤x

f ( x ) X diskrit

∫−∞

X

f ( x ) dt X kontinyu

Fungsi distribusi kumulatif F(x) dapat dinyatakan pada interval a≤X≤b yaitu sebagai:

P (a≤X≤b )=F (b )−F (a ) . Fungsi kerapatan probabilitas f(x) dapat dinyatakan sebagai hubungan dengan distribusi kumulatif sebagai:

f ( x )=dF ( x )dx

Contoh:

Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3

yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari komputer ini,

carilah sebaran probabilitas untuk jumlah cacat.

Penyelesaian :



Ambil X sebagai peubah acak yang nilai x-nya adalah jumlah komputer cacat yang

mungkin dibeli oleh sekolah tersebut. Maka x dapat menjadi salah satu dari bilangan

0,1,2. Sekarang

, ,

sehingga sebaran probabilitas dari X adalah

X 0 1 2

f(x)

Harapan matematis berguna untuk menentukan mean( μ ) , variansi( σ2) , atau standar

deviasi (σ ) dari populasi yang dirumuskan sebagai:

1. Mean populasi, μ=E ( X )2. Variansi populasi

σ 2=E {( X−μ )2}={ ∑X≤x

( x−μ )2 f ( x ) X diskrit

∫−∞

∞

( x−μ )2 f ( x ) dx X kontinyu

3. Standar deviasi σ=√ {( X−μ )2 }Besarnya variansi dapat disederhanakan menjadi σ

2=E {( X−μ )2}=E ( X2 )−μ2

Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x), mean dari variabel acak g(X) diberikan oleh

μg(X )=E [g( X )]=∑ g ( x ) f ( x )Untuk X diskrit, dan

μg(X )=E [g( X )]=∫∞

∞

g (x ) f ( x )dx

jika X kontinyu.

Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x) dan mean, μ , variansi X diberikan oleh

σ 2=E [ ( X−μ )2 ]=∑ ( X−μ )2 f ( x )untuk X diskrit, dan



σ 2=E [ ( X−μ )2 ]=∫ ( X−μ )2 f ( x )dx

jika X kontinyu.

Contoh 7.Misalkan variabel acak X mempunyai distribusi probabilitas:

X -3 6 9P(X) 1

612

13

Tentukanlah:a. E(X) dan E(X2);b. E{(2X + 1)2};c. E[{X – E(X)}2 ]!Penyelesaian :a. E(X) = x P( X = x )

= ( -3 ) 1/6 + ( 6 ) 1/2 + ( 9 ) 1/3= 11 / 2= 5,5

E(X2) = x2 P( X = x )= ( -3 )2 1/6 + ( 6 )2 1/2 + ( 9 )2 1/3= 93 / 2= 46,5

b. E{(2X + 1)2} = E(4X2 + 4X + 1)= 4 E(X2) + 4 E(X) + E(1)= 4 . 46,5 + 4 . 5,5 + 1= 209

c. E[{X – E(X)}2 ] = E[X2 – 2XE(X) + E(X)2]= E(X2) – 11 E(X) + 30,25= 46,5 – 11 . 5,5 + 30,25= 16,25

5. Distribusi ProbabilitasSecara garis besar, distribusi probabilitas dapat dibedakan atas distribusi

probabilitas variabel diskret dan kontinu. Probabilitas variabel diskret adalah fungsi peluang dari peubah-peubah acak diskret, seperti Bernoulli, Binomial, Hipergeometrik, Poisson, dan lain-lain. Sedangkan probabilitas variabel kontinu adalah fungsi peluang peubah-peubah acak kontinu, antar lain Seragam, Normal, dan lain-lain.



a. Distribusi UniformBila variabel acak X memiliki nilai x1, x2, .... xk dengan probabilitas yang sama,maka distribusi uniform diskrit dinyatakan sebagai:

Contoh : Bila lampu pijar dipilih secara acak dari suatu kotak yang berisi lampu pijar 40 watt, 60 watt, 75 watt, 100 watt, dengan probabilitas masingmasing ¼. Maka distribusi uniformnya adalah:

b. Distribusi BernouliSebuah variabel X, dikatakan berdistribusi bernouli jika variabel diskritnya berbentukf ( x )=p y . q1−x , y=0,1 ,…q=1−p→ p+q=1 p sukses

q gagalCiri – ciri Distribusi bernouli

- Hanya mengulang 1 kali kejadian- Kejadiannya independent- Percobaanya dilakukan hanya sekali

Contoh:Peluang seorang mahasiswa lulus ujian statistika. Tentukan peluang thea lulus ujian, apabila dia hanya mengikuti 1 X ujianJawab:f ( x )=p y . q1−x

= 0,71. 0,31−1=0,7

c. Distribusi BinomialBila suatu ulangan binom mempunyai peluang sukses p dan peluang gagal q = 1-p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X, yaitu banyaknya kesuksesan dalam n ulangan yang bebas, adalah

Nilai tengah dan ragam bagi sebaran binom b(x;n,p) adalah

Contoh :

Dari hasil kajian akademik diperoleh bahwa peluang dosen hadir dalam kegiatan belajarmengajar sebesar 90%. Jika proses belajar mengajar per semester dilakukan sebanyak 14 kali, hitunglah :a. peluang dosen hadir dalam kegiatan belajar mengajar sebanyak 10 kali !b. peluang dosen hanya tidak hadir satu kali !c. peluang dosen hanya tidak hadir pada pertemuan ke 14 !d. peluang dosen hanya hadir pada pertemuan pertama !Penyelesaian :X = banyaknya dosen mengajar dalam satu semester



p = 0.9, n = 14

b. Jika dosen tidak hadir sekali, maka ada 14 kemungkinan dosen tersebut tidak hadir dari pertemuan. Dengan demikian peluangnya :

c. Karena sudah ditentukan bahwa dosen tidak hadir pada pertemuan ke 14, maka peluangnya :

d. Karena sudah ditentukan bahwa dosen hanya hadir pada pertemuan pertama, maka peluangnya :

d. Distribusi HipergeometrikCiri-ciri percobaan hipergeometrik :a. suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran Nb. k dari N benda diklasifikasikan sebagai sukses dan N-k benda diklasifikasikan

sebagai gagalBila dalam populasi N benda, k benda diantaranya diberi label sukses dan N-k

benda lainnya diberi label gagal maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam contoh acak berukuran n, adalah

ContohDalam suatu kantong terdapat 10 bola merah dan 5 bola putih. Bila diambil 3 bola secara acak,tentukan peluang untuk memperoleh 0, 1, 2, dan 3 bola merah!Penyelesaian :Misalkan :N1 : banyaknya bola merah =10N2 : banyaknya bola putih=5N : banyaknya bola = N1 + N2 = 10+5=15n : banyaknya sampel yang diambil



X : banyaknya bola merah yang diperoleh

Kombinasi bola merah yang diperoleh adalah (10k )

Kombinasi bola putih yang diperoleh adalah ( 53−k )

Kombinasi semua sampel yang diperoleh adalah (153 )

Maka peluang untuk memperoleh banyaknya bola merah X=k dalam sampel tersebut adalah :

6. DISTRIBUSI POISSONMerupakan sebuah distribusi yangmenyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu yang sering disimbolkan dengan Fx

variabel acak f ( x , μ )=μx e−μ

x ! ; dimana x = 0,1,2,...n dan e = 2,7183 ; untuk nilai rata-

rata E(x) = µ dan varian var(x) = µ.Contoh :Rata-rata nilai fisika di SMA X adalah 4. Berapa peluang bahwa beberapa siswa SMA X akan mendapat nilai rata-rata 6 dalam mata pelajaran fisika?Jawab :x=6 ; μ=4

p (6 ;4 )= e−4 46

6 !=∑

x=0

6

p ( x ; 4 )∑x=0

5

p ( x ;4 ) (li h at tabel A .3 )

p (6 ;4 )=0.8893−0.7851=0.1042

7. DISTRIBUSI NORMAL



Jika x variabel random yang berdistribusi normal, jika PDF nya berbentuk

f ( x , μ , σ2 )= 1√2 πσ

e−12 ( x−μ

σ )2

. Dengan −∞<x<∞ ;−∞< μ<∞ ;0<σ<∞

Kurva normalUntuk menghitung/ menentukan peluang dengan menggunakan distribusi normal, maka dapat digunakan tabel normal (A4).Contoh :Sebuah lampu merek abal-abal memiliki waktu hidup rata-rata 300 hari, dengan simpangan baku 50. Hitunglah peluang jika lampu merek abal-abal memiliki waktu hodup lebih dari 362 hari.Jawab :μ=300; σ=50 ; p ( x>362 )

z=362−30050

=1.24 ;

Dengan demikian :p ( x>362 )=p ( z>1.24 )p ( x>362 )=1−p ( z>1.24 )¿1−0.8925p ( x>362 )=0.1075

8. DISTRIBUSI HAMPIRAN Jika n besar, P mendekati 0 atau P mendekati 1, maka kasus binomial dapat

diselesaikan dengan distribusi poisson. Jika n besar, maka dapat diselesaikan dengan distribusi normal.

TheoremaJika x variabel random binomial (diskrit) dengan rata-rata μ=nP dan varian σ 2=nPq

,maka distribusi hampirannya adalah normal baku, dengan; Z= x−μσ

= x−nP

√nPq untuk n

mendekati ∞.Karena perubahan dari distribusi diskrit menjadi distribusi hampiran kontinyu, maka

sesalu digunakan koreksi ( ± 12

) untuk variabel random X.



Catatan :

a< x<b ↔ a−12<x<b−1

2

x<a ↔ x=a−12

x>a ↔ x=a+ 12

x=a ↔ x1=a−12

dan x=a+ 12

Contoh :Budi mengikuti ujian SNMPTN yang dilaksanakan di UNAIR. Budi diberi 300 soal kemampuan dasar, yang masing-masing memiliki 5 opsi ,dan 1 diantaranya benar. Berapakah peluang Budi yang menjawab 100 jawaban acak dari 200 soal yang sama sekali tidak diketahui jawabanya. Hitung peluang dari yang dijawabnya ada 25 sampai 30 soal benar.Jawab :P(25<x<30) => p =1/5, q = 4/5 ,n = 30 (Binomial)

μ=np=100 ( 15 )=20

σ 2=npq=100( 15 )( 4

5 )=16

P(25 <μ<30)

p( x1−np

√npq<Z<

x2−np

√npq )=p( 24.5−20√16

<Z< 30.5−20√16 )

p [4.5

√16<Z<10.5

√16=p [1.125<Z<2.625]]

p[Z<2.625]-p[Z<1.125] = 0,9956-0,8944

0,1012= 10,12 %

9. DISTRIBUSI SAMPLINGDalam hal penarikan sampel dari sebuah distribusi populasi terdapat beberapa teknik yakni :

1) Pengambilan sample dengan sistem pengembalian2) Pengambilan sample tanpa pengembalian

Distribusi sampling merupakan himpunan semua nilai statistik yang direkam dari proses pengambilan sample dengan sistem pengembalian. Penamaan distribusi samplingtergantung dari nilai statistik yang dikumpulkan, contoh :

Jika nilai rata-rata yang dikumpulkan, maka dinamakan distribusi samplig rata-rata. Jika selisish / jumlah rata-rata yang dikumpulkan, maka distribusi sampling

dinamakan distribusi sampling selisih / rata-rata.



dst...

10. DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATASecara khusus berlaku ketentuan sebagai berikut :

A. μ=x dan σ x=σ

√n Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian.

Perbandingan nN

<5 %.

Populasi tak hingga.

B. x=μdan σ x=σ√n √ N−n

N−1 Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian

Perbandingan nN

≥ 5 %.

Populasi terhingga.Theorema :Jika semua kemungkinan semua sampel random (n) diambil dengan sistem pengembalian dari suatu populasi N, yang memiliki rata-rata µ, maka simpangan baku γ ,maka untuk N distribusi sampling nilai rata-rata akan menghampiri distribusi normal dengan rata-rata

x=μ dan simpangan baku γ x=σ

√n . Sehingga

Z= x−μσ

√n

d→

Z (N (0,1 )).

Dalam prakteknya biasanya rata-rata dan simpangan baku tidak diketahui, maka estimaternya :

E ( S2 )=σ2 , denganS2=∑ ( x i−x )2

N−1Sehingga ;

t= x−x

σ

√n terdistribusi t=( α

z, n−1)→ derajat kebebasan

Dengan demikian, maka Jika σ 2 diketahui (n≥ 30 ataun<30 ) maka memakai Z.

Jika σ2 diketahui (n<30 ) maka memakai t.

Jiks σ 2 diketahui (n>30 ) maka dapat memakai t atau Z.Contoh:Laptop ACER memiliki life time batreenya selama 6.8 thn dengan simpangan baku 0.5 thn. Laptop DELL memiliki life time batree selama 7.2 thn dengan simp.baku 0.6 thn. Tentukan peluang sebuah sampel random 25 buah batree ACER mencapai rata-rata sekurangnya 1 thn lebih lama dari pada life time batree DELL 36 buah.Jawab :μ1=6.8 ; μ2=7.2;σ 1=0.5 ;σ2=0.6 ;n1=25 ;n2=36



Z=( x2−x1 )−( μ2−μ1 )

√ σ 22

n2

+σ1

2

n1

= 7.2−6.8

√ 0.62

36+ 0.52

25

= 0.40.1414

=2.828

p ( z≥ 2.828 )=1−p (z<2.828 )=1−0.9976

p ( z≥ 2.828 )=0.0024=0 .24 %

11. DISTRIBUSI SAMPLING SELISIHJika sampel bebas diambil dari 2 populasi yang besar (tak hingga) dengan rata-rata masing-masing μ1 dan μ2 dengan variansinya σ 1dan σ 2 maka, selisih kedua nilai sampel x1−x2 akan berdistribusi menghampiri distribusi normal.

μ1−μ2=x1−x2 atau σ1−σ 2=√ σ12

n1

+σ2

2

n2

maka , Z=( x1−x2 )−( μ1−μ2 )

√ σ12

n1

+σ2

2

n2

d→

N (0,1)

Contoh :Sebuah SMA di Kediri didapatkan 30 siswa kelas XII memiliki kemampuan rata-rata IQ 81 dan simp.baku 9, sedangkan 35 para siswi kelas XII berkemampuan IQ rata-rata 100 dengan simp.baku 10. Hitunglah jika siswi kelas XII akan melampaui nilai rata-rata siswa kelas XII sekurang-kurangnya 4,5 tetapi kurang dari 6.Jawab:μ1=30 ; μ2=35 ; σ1=9 ;σ 2=10 ;n1=81 ;n2=100

4.5<x<6

Z1=4.5−(35−30 )

√ 102

100+ 92

81

=4.5−5

√2=−0.353

Z2=6−(35−30 )

√ 102

100+ 92

81

=6−5

√2=0.707

p (Z1<Z<Z2 )=p (−0.353<Z<0.707 )p (Z1<Z<Z2 )=p¿

p (Z1<Z<Z2 )=0.7794−0.6368=0.1426=14.26 %

12. ESTIMASI PARAMETER POPULASIBagian dari statistik infersi yang berfungsi untuk menduga nilai-nilai parameter populasi (tidak diketahui besarnya) dengan menggunakan penduga sampel (statistik)Sifat-sifat penduga estimasi parameter yaitu :

Bersifat tidak bias / tidak menyimpang dari nilai yang sebenarnya.



Secara statistik jika parameter populasi disimbolkan dengan σ dan statistik sampel dinyatakan dengan σ̂ maka penduga parameter dinamakan tak bias jika terpenuhi E ( σ̂ )=σ .

Secara umum estimasi dibedakan menjadi 2, yakni :1) Point estimasi (titik estimasi) → cenderung ke nilai kesalahan estimasi2) Interval estimasi → lebih umum

Secara matematis, parameter estimasi dapat diformulasikan :P [ σ̂1<σ< σ̂2 ]=1−α , α= L.O.S (Level of Segnificant) (%) atau kesalahan menolak suatu

yang benar (kesalahan type 1).

13. ESTIMASI TITIK[ statistik−parameter ]<d

[ θ̂−θ ]<d⟹marginerror (≤ 2%) , dengand=simp .baku sampel× statistik tabel

[ x−μ ]<d⟹d=Z d2

×σ

√n ⇒√n=

Z d2

×σ

d→n=(Z d

2

×σ

d )2

14. ESTIMASI INTERVALSecara analog, pendugaan parameter dengan interval, merupakan pendugaan yang lebih

umum dari rumus utama P [ θ̂1<θ<θ̂2 ]=1−α dapat disederhanakan sebagai berikut:

P [ θ̂1<θ<θ̂2 ]=1−α

P [Z1<Z<Z2 ]=1−α ; Z= x−μ

σ

√n

;Z1 danZ2=Z d2

;

P[−Z d2

≤x−μ

σ

√n

≤ Z d2 ]=1−α

P[−Z d2

×σ

√n≤ μ−x≤ Z d

2

×σ

√n ]=1−α

P[ x A̅ −Z (d ⁄ 2)×σ ⁄ √ n ≤ μ−x A̅ ≤ x A̅ +Z (d ⁄ 2)×σ ⁄ √ n ]=1−α

Maka dapat disimpulkan :a) Semakin kecil α maka rantangnya semakin lebar dan semakin baik.b) Jika margin error diketahui, maka jumlah samel dihitung dari :

d=Zα ⁄ 2× σ ⁄ √ n sehingga √ (n)=(Zα ⁄ 2×σ ) ⁄ d → n=((Zα ⁄ 2× σ ) ⁄ d )2

Jika varian populasi tidak diketahui, maka dapat diganti S2 dengan demikian selang kepercayaan untuk rata-rata populasi dengan syarat populasi tidak diketahui adalah :

(x t) A̅ −t((d ⁄ 2, υ))s ⁄ √ n ≤ μ ≤(x t) A̅ +t((d ⁄ 2 , υ))s ⁄ √ n ; dengan υ=¿ df(deegre of freedom) =

n-1 (derajat kebebasan).

Untuk interval selisih rata-rata dengan σ 12dan σ 2

2 ,diktahui :



( x1−x2 )−Z d2 √ σ 1

2

n1

+σ2

2

n2

≤ μ1−μ2 ≤ ( x1−x2 )−Z d2 √ σ1

2

n1

+σ2

2

n2

Untuk interval selisih rata-rata dengan σ12, σ2

2 yang tidak diketahui, maka diganti dengan Sg

2 ; (σ12= σ2

2= σ2).

( x1−x2 )−t(α

2−υ)

sg √ 1n1

+ 1n2

≤ μ1−μ2 ≤ ( x1−x2 )−t( α

2−υ)

s g√ 1n1

+ 1n2

Dengan : υ=n1+n2−2 ; sehingga : sg=(n1−1 ) s1

2+(n2−1 ) s22

n1+n2−2

Jika σ12, σ2

2 tidak diketahui dan tidak sama dengan 0, maka:

( x1−x2 )−t(α

2−υ)

sg √ s12

n1

+s2

2

n2

≤ μ1−μ2 ≤ ( x1−x2 )−t( α

2−υ)

s g√ s12

n1

+s2

2

n2

Dengan : υ=

( s12

n1

+s2

2

n2)

2

( ( s12

n1)

n1−1+

( s22

n2)

n2−1 )Contoh :36 peserta kuis fisika dari daerah kediri mendapatkan nilai rata-rata 80 dan simp.baku 10 dengan α=5%, buatlah selang kepercayaanya.Jawab :N = 80 ; x= 80; σ = 10 ; α = 5%Z α

2

=1−Z α2

=1−0.025=0.975 (li hat tabel A .4 ) Z α2

=1.96

x−Z α2

.σ

√n≤ μ≤ x+Z α

2

.σ

√n

80−1.96 .10

√36≤ μ≤ 80+1.96 .

10

√3680−3.3 ≤ μ≤ 80+3.376.7 ≤ μ≤ 83.3

15. UJI HIPOTESISDalam statistika interfensi, uji hipotesis merupakan bagian penting karena menguji benar tidaknya parameter populasi yang tidak diketahui.Secara umum hipotesis adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya maasih perlu diklarifikasi lebih lanjut dalam teori hipotesis. Teori hipotesis sendiri terbagi atas :

1) Hipotesis awal / nol (H0) → hipotesis yang akan diuji.2) Hipotesis akhir / alternatif (H1)

H0 dan H1 saling berlawanan.

Terima H0 Tolak H0



H0 Benar Keputusan benar Kesalahan I (α I)H0 Salah Kesalahan II (α II) Keputusan benar

α ≫→ β≪α ≪dan β≪ ;maka n≫

Macam-macam Hipotesis :a) Sederhana

H 0=θ=θ0 H 1=θ=θ1

b) Majemuk H 0=θ=θ0

H 1=θ>θ1

H 0=θ=θ0 H 1=θ<θ1

H 0=θ=θ0 H 1=θ ≠ θ1

H 0=θ ≥ θ0 H 1=θ<θ1

H 0=θ ≤ θ0 H 1=θ>θ1

Prosedur pengujian hipotesis :1. Tentukan rumusan H0 dan H1nya.2. Catat info dalam soal parameter-parameter yang diketahui, termasuk tentukan

statistik tabelnya.3. Tentukan statistik hitung dengan rumus.

Sh=nilai statistik−nilai parametersimpanganbaku statitik

4. Tentukan kriteria kapan H0 ditolak/diterima dengan memperhatikan hipotesis langkah 1 dan statistik tabelnya.

5. Bandingakan langkah 3 dan 46. Simpulkan


Documents

RANGKUMAN METODE STATISTIKA