Rangkuman Materi Matematika

[email protected]

MATEMATIKA

BAB 1 EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. EKSPONENDefinisi Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif (bilangan asli), maka:

...= na a a a a a

Dengan:a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen

1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat PositifJika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, ,a b R , maka:

a. m n m na a a + =

b. : , 0= m n m na a a a

c. ( )nm mna a=d. ( )m n p mp npa b a b=

e. , 0pm mp

n np

a ab

b b

=

f. 0 1a = , 0a

g. 1n

na

a

= , 0a

2. Persamaan Eksponen

a. ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= = b. ( ) ( ) ( ) 0f x f xa b f x= =c. ( ) ( )( ) ( )g x h xf x f x= maka:

n g(x) = h(x)n f(x) = 1n f(x) = 1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/

ganjiln f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif

3. Pertidaksamaan Eksponen

Jika ( ) ( )f x g xa a> maka berlaku:n f(x) > g(x) , untuk a > 1n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1

B. BENTUK AKARSifat-sifat Bentuk Akar

a. nn a a=

b. a b a b =

c. a abb

=

d. mnmn a a=

e. 1 1 1a

aaa a a

= =

[email protected]

C. LOGARITMALogaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

loga cb c a b= =

Di mana:

1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 1a< < atau a > 1,

2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan b > 0,

3. c dinamakan hasil logaritma.

1. Sifat-Sifat LogaritmaDalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

a. loga cb c a b= =

b. log log loga a ab c bc+ =

c. log log loga a ab

b cc

=

d. log logna m amb b

n=

e. log

loglog

pa

p

bb

a= , dengan 0 1 1p p< < >

f. 1loglog

ab

ba

=

g. loga ba b=

h. log log log loga b c ab c d d =

2. Persamaan Logaritmalog ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x= =

3. Pertidaksamaan Logaritma

Jika log ( ) log ( )a af x g x , maka berlaku:I. Syarat Basis:

1. Untuk 0 < a < 1

( ) ( )f x g x2. Untuk a > 1

( ) ( )f x g xII. Syarat Numerus:

1. ( ) 0f x >

2. ( ) 0g x >

BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRATA. PERSAMAAN KUADRATBentuk umum persamaan kuadrat adalah

+ + =2 0ax bx c

dengan a, b, c bilangan real dan 0a .

1. Jenis-jenis Akar

Persamaan kuadrat + + =2 0ax bx c mempunyai:1. akar real jika 0D , 2. akar real berlainan jika > 0D , 3. akar real kembar jika = 0D , 4. akar imajiner/ khayal jika < 0D , dengan = 2 4D b ac .

2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Diketahui 1 2 dan x x adalah akar-akar dari persamaan

kuadrat + + =2 0ax bx c , maka:

+ =1 2b

x xa

=1 2

cx x

a =1 2

Dx x

a

( )( )( )( ) ( )

22 21 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

33 31 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

2

3

1 1

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x

+ = +

= +

+ = + +

++ =

3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Diketahui persamaan kuadrat + + =2 0ax bx c de-

ngan 1 2 dan x x akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui:

1. Kedua akarnya positif, jika:

+ > > 1 2 1 20 ; 0 ; D 0x x x x

[email protected]

2. Kedua akarnya negatif, jika:

+ < > 1 2 1 20 ; 0 ; D 0x x x x

3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika:

0x x

4. Kedua akarnya berlawanan, jika:

+ =1 2 0x x

5. Kedua akarnya berkebalikan, jika:

=1 2 1x x

4. Menentukan Persamaan KuadratPersamaan kuadrat baru yang akarnya dan

adalah

( ) + + =2 0x x

B. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f yang didefinisikan sebagai = + +2( )f x ax bx c

di mana , ,a b c R dan 0a didefinisikan sebagai fungsi kuadrat.

1. Hubungan a, b, c, dan D

Fungsi kuadrat = + +2( )f x ax bx c didapat hubungan:a. a menentukan keterbukaan kurva.

i. a > 0 parabola terbuka ke atas.ii. a < 0 parabola terbuka ke bawah.

a > 0a < 0

b. Jika > 0a b maka puncak berada di sebelah kiri sumbu y.

Jika < 0a b maka puncak berada di sebelah kanan sumbu y.

c. c menentukan titik potong dengan sumbu y.i. c > 0 parabola memotong sumbu y positif.ii. c = 0 parabola memotong sumbu y di (0, 0).iii. c < 0 parabola memotong sumbu y negatif.

d. = 2 4D b ac menentukan titik potong dengan sumbu x.

i. D > 0 parabola memotong sumbu x di

dua titik.ii. D = 0 parabola menyinggung sumbu x.iii. D < 0 parabola tidak memotong sumbu x.

2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat 2( )f x ax bx c= + + mempunyai:

1. Sumbu simetri:

=

2b

xa

2. Nilai ekstrem:

=

2 44 4D b ac

a a Nilai ekstrem maksimum jika a < 0. Nilai ekstrem minimum jika a > 0.

3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat

a. Diketahui titik puncak ( , )p px y dan titik lain

= +2( )p py a x x y

b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, 1( ,0)x dan

2( ,0)x serta titik lain

= 1 2( )( )y a x x x x

c. Diketahui tiga titik pada parabola

= + +2y ax bx c

4. Definita. Definit Positif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif. Syarat:D < 0 dan a > 0

b. Definit Negatif Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif

untuk semua x disebut definit negatif. Syarat:

D < 0 dan a < 0

[email protected]

BAB 3 PERTIDAKSAMAAN

A. SIFAT UMUMSifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, dan d R adalah sebagai berikut.1. a > b maka a + c > b + c2. a > b, c > d maka a + c > b + d3. a > b, b > c maka a > c4. a > b, c > 0 maka a c > b c5. a > b, c < 0 maka a c < b c

6. a > b, a > 0, b > 0 maka 2a > 2b

7. a > b, a < 0, b < 0 maka 2a < 2b

8. ab

> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0

B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAANn Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan

tanda pada ruas yang paling kanan.n Pangkat genap memiliki tanda yang sama.n Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.

C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKARLangkah penyelesaian:1. Kuadratkan kedua ruas.2. Syarat di dalam akar harus 0.

D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK

Nilai mutlak untuk x R didefinisikan:

jika 0

jika 0

0 jika 0

x x

x x x

x

>= -

[email protected]

D. EKUIVALENSI

Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.Contoh: p q q p p q

E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

n Konvers dari implikasi p q adalah q pn Invers dari implikasi p q adalah ~ p ~ qn Kontraposisi dari implikasi p q adalah ~ q ~ p

F. PENARIKAN KESIMPULAN

(B)

(B)

(B)

p q

p

q

\

(B)

(B)

(B)

p q

q

p

\

(B)

r (B)

(B)

p q

q

p r

\

Modus Ponens Modus Tollens Sillogisme

BAB 5 SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS

A. SISTEM PERSAMAANSistem persamaan dapat diselesaikan dengan:n Metode eliminasin Metode substitusin Metode campuran

B. PERSAMAAN GARIS

1. Melalui titik ( )1 1, x y dengan gradien m, berlaku:

1 1( )y y m x x =

2. Garis yang melalui ( )1 1, x y dan ( )2 2, x y , berlaku:

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

=

3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku:

y

a

bx

ax + by = a.b

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

Diketahui garis 1 1:g y m x c= + dan garis

2 2:h y m x c= + makan Garis g dan h sejajar jika 1 2m m=

n Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika

1 2 1m m =-n Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut

sebesar a dengan

1 2

1 2

tan1

m m

m ma -=

+

[email protected]

A. SISTEM PERSAMAANSistem persamaan dapat diselesaikan dengan:n Metode eliminasin Metode substitusin Metode campuran

B. PERSAMAAN GARIS

1. Melalui titik dengan gradien m, berlaku:

2. Garis yang melalui dan , berlaku:

3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku:

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

Diketahui garis dan garis

makan Garis g dan h sejajar jika

BAB 6 STATISTIKA DAN PELUANG

A. STATISTIKA

1. Rata-rata/mean ( x )Data tunggal:

1 2 1... =+ + += =

n in i

xx x x

xn n

n = banyak data,xi = data ke-i,i = 1, 2, 3, , n.

Data kelompok:

1 1 2 2 1

1 2

1

...

...=

=

+ + += =

+ + +

n

i in n i

nn

ii

f xf x f x f x

xf f f

f

fi = banyak data xi,

1 2 ...= + + + nn f f f .

2. Modus (Mo)Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak atau data yang paling sering muncul.n Data tunggal:

Contoh: Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.Modus dari data tersebut adalah 7.

n Data kelompok:

1

1 2

= + + b

dMo t c

d d

tb = tepi bawah kelas modusd1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyac = p