Perkiraan dan Kesalahan bulat-Off

Karena begitu banyak metode dalam buku ini bersifat langsung dalam deskripsi dan aplikasi , itu akan sangat menggoda pada saat ini bagi kita untuk melanjutkan langsung ke bagian utama dari teks dan mengajarkan Anda bagaimana menggunakan teknik ini . Namun, memahami konsep kesalahan sangat penting untuk penggunaan efektif dari metode numerik yang kita telah memilih untuk mengabdikan dua bab berikutnya dengan topik ini .

Pentingnya kesalahan diperkenalkan dalam diskusi kita tentang penerjun jatuh Chap . 1 . Ingatlah bahwa kita menentukan kecepatan dari penerjun jatuh dengan kedua metode analitik dan numerik . Meskipun teknik numerik menghasilkan perkiraan yang dekat dengan solusi analitis yang tepat , ada perbedaan , atau kesalahan , karena metode numerik yang terlibat perkiraan . Sebenarnya , kami sangat beruntung dalam hal ini karena ketersediaan solusi analitis memungkinkan kita untuk menghitung kesalahan persis . Bagi banyak masalah teknik terapan , kita tidak bisa mendapatkan solusi analitis . Oleh karena itu, kita tidak dapat menghitung persis kesalahan yang terkait dengan metode numerik kami . Dalam kasus ini , kita harus puas dengan perkiraan atau estimasi dari kesalahan . Kesalahan tersebut merupakan karakteristik dari sebagian besar teknik yang dijelaskan dalam buku ini . Pernyataan ini mungkin pada awalnya tampak bertentangan dengan apa yang biasanya conceives rekayasa sebagai suara. Mahasiswa dan insinyur berlatih terus-menerus berusaha untuk membatasi kesalahan dalam pekerjaan mereka . Saat mengambil ujian atau melakukan masalah pekerjaan rumah , Anda dihukum , tidak dihargai , untuk kesalahan Anda . Dalam praktek profesional , kesalahan dapat mahal dan kadang-kadang bencana . Jika struktur atau perangkat gagal , nyawa bisa hilang .

Meskipun kesempurnaan adalah tujuan terpuji , jarang , jika pernah , dicapai . Sebagai contoh, meskipun fakta bahwa model yang dikembangkan dari hukum kedua Newton adalah pendekatan yang sangat baik , itu tidak akan pernah dalam praktek tepat memprediksi jatuhnya penerjun itu . Berbagai faktor seperti angin dan variasi kecil dalam hambatan udara akan mengakibatkan penyimpangan dari prediksi . Jika penyimpangan ini sistematis tinggi atau rendah , maka kita mungkin perlu untuk mengembangkan model baru . Namun, jika mereka secara acak didistribusikan dan erat dikelompokkan di sekitar prediksi , maka penyimpangan bisa dianggap diabaikan dan model yang dianggap memadai . Perkiraan numerik juga memperkenalkan perbedaan yang sama ke dalam analisis . Sekali lagi , pertanyaannya adalah : Berapa banyak kesalahan berikutnya hadir dalam perhitungan dan ditoleransi ?

Bab ini dan Chap . 4 Penutup topik dasar yang berhubungan dengan identifikasi , kuantifikasi , dan minimalisasi kesalahan ini . Dalam bab ini , informasi umum berkaitan dengan kuantifikasi kesalahan terakhir dalam bagian pertama . Ini diikuti dengan bagian atas salah satu dari dua bentuk utama kesalahan numerik : round- off error . Round- off error ini disebabkan oleh fakta bahwa komputer dapat mewakili hanya jumlah dengan jumlah terbatas digit . Kemudian Chap . 4 penawaran dengan bentuk utama lainnya : kesalahan pemotongan . Kesalahan pemotongan adalah perbedaan diperkenalkan oleh fakta bahwa metode numerik dapat menggunakan perkiraan untuk mewakili operasi matematika yang tepat dan kuantitas . Akhirnya , kita membahas secara singkat kesalahan tidak langsung berhubungan dengan metode numerik sendiri . Ini termasuk kesalahan , formulasi atau model kesalahan , dan ketidakpastian data.

3.1 ANGKA PENTING

Buku ini berkaitan secara menyeluruh dengan perkiraan terhubung dengan manipulasi angka. Akibatnya , sebelum membahas kesalahan yang terkait dengan metode numerik , hal ini berguna untuk meninjau konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan representasi perkiraan angka itu sendiri .

Setiap kali kita menggunakan angka dalam perhitungan , kita harus memiliki jaminan bahwa hal itu dapat digunakan dengan keyakinan . Sebagai contoh, Gambar . 3.1 menggambarkan speedometer dan odometer dari sebuah mobil . Inspeksi visual dari speedometer menunjukkan bahwa mobil tersebut berpergian antara 48 dan 49 km / jam . Karena indikator lebih tinggi dari titik tengah antara spidol pada alat ukur , kita dapat mengatakan dengan jaminan bahwa mobil tersebut berpergian di sekitar 49 km / jam . Kami memiliki keyakinan dalam hasil ini karena dua atau lebih individu yang wajar membaca alat ukur ini akan tiba pada kesimpulan yang sama . Namun, mari kita katakan bahwa kita bersikeras bahwa kecepatan diperkirakan ke satu tempat desimal . Untuk kasus ini , satu orang mungkin mengatakan 48,8 , sedangkan yang lain mungkin mengatakan 48,9 km / jam . Oleh karena itu , karena batas instrumen ini ,

GAMBAR 3.1

Sebuah speedometer mobil dan odometer menggambarkan konsep angka yang signifikan .

hanya yang pertama dua digit dapat digunakan dengan keyakinan . Perkiraan digit ketiga ( atau lebih tinggi ) harus dilihat sebagai perkiraan . Akan menggelikan untuk mengklaim , atas dasar speedometer ini , bahwa mobil tersebut berpergian di 48.8642138 km / jam . Sebaliknya , odometer menyediakan hingga enam digit tertentu . Dari Gambar . 3.1 , kita dapat menyimpulkan bahwa mobil telah melakukan perjalanan sedikit kurang dari 87,324.5 km selama masa pakai baterai . Dalam hal ini , angka tujuh ( dan lebih tinggi ) tidak pasti .

Konsep angka signifikan , atau digit , telah dikembangkan untuk secara resmi menunjuk keandalan nilai numerik . Angka yang signifikan dari angka adalah mereka yang dapat digunakan dengan percaya diri . Mereka sesuai dengan jumlah tertentu digit ditambah satu diperkirakan digit . Sebagai contoh, speedometer dan odometer pada Gambar . 3.1 pembacaan hasil tiga dan tujuh angka penting , masing-masing. Untuk speedometer , dua angka tertentu adalah 48 . Hal ini konvensional untuk mengatur digit diperkirakan mencapai setengah dari divisi skala terkecil pada alat ukur . Dengan demikian membaca speedometer akan terdiri dari tiga angka penting : 48,5 . Dalam cara yang sama , odometer akan menghasilkan pembacaan tujuh signifikan - angka 87,324.45 .

Meskipun biasanya sebuah prosedur sederhana untuk memastikan angka signifikan dari angka , beberapa kasus dapat menyebabkan kebingungan . Sebagai contoh, angka nol tidak selalu angka penting karena mereka mungkin diperlukan hanya untuk menemukan titik desimal . Angka-angka 0.00001845 , 0.0001845 , dan 0.001845 semua memiliki empat angka penting . Demikian pula, ketika tertinggal angka nol yang digunakan dalam jumlah besar , tidak jelas berapa banyak , jika ada , dari nol adalah signifikan . Sebagai contoh, pada nilai nominal jumlah 45.300 mungkin memiliki tiga , empat , atau lima angka signifikan , tergantung pada apakah angka nol yang dikenal dengan percaya diri . Ketidakpastian tersebut dapat diatasi dengan menggunakan notasi ilmiah , di mana 4,53 × 104 , 4.530 × 104 , 4,5300 × 104 menunjuk bahwa jumlah diketahui tiga , empat , dan lima angka signifikan , masing-masing.

Konsep angka signifikan memiliki dua implikasi penting bagi penelitian kami metode numerik :

1 . Seperti yang diperkenalkan dalam masalah jatuh penerjun , metode numerik menghasilkan hasil perkiraan . Kita harus , karena itu , mengembangkan kriteria untuk menentukan seberapa yakin kita berada dalam hasil perkiraan kami . Salah satu cara untuk melakukan ini adalah dalam hal angka signifikan . Sebagai contoh, kita mungkin memutuskan bahwa pendekatan kami dapat diterima jika sudah benar empat angka penting.

2 . Meskipun jumlah seperti π , e , atau √ 7 mewakili jumlah tertentu, mereka tidak dapat dinyatakan tepat oleh sejumlah digit .

Misalnya, π = 3,141592653589793238462643 . . .

infinitum iklan . Karena komputer hanya mempertahankan jumlah terbatas angka signifikan , nomor tersebut tidak pernah dapat diwakili tepat . Kelalaian dari angka signifikan yang tersisa disebut round- off error .

Kedua kesalahan round- off dan penggunaan angka signifikan untuk mengekspresikan keyakinan kita dalam hasil numerik akan dibahas secara rinci dalam bagian berikutnya . Selain itu, konsep angka signifikan akan memiliki relevansi dengan definisi kita tentang akurasi dan presisi pada bagian berikutnya .

3.2 AKURASI DAN KETEPATAN

Kesalahan yang terkait dengan kedua perhitungan dan pengukuran dapat dicirikan dalam hal akurasi dan presisi mereka . Akurasi mengacu pada seberapa dekat nilai dihitung atau diukur setuju dengan nilai sebenarnya . Presisi mengacu pada seberapa dekat nilai-nilai dihitung atau diukur individu setuju satu sama lain .

Konsep-konsep ini dapat digambarkan secara grafis dengan menggunakan analogi dari praktek sasaran. Lubang-lubang peluru pada setiap target pada Gambar . 3.2 dapat dianggap sebagai prediksi dari teknik numerik , sedangkan pada sasaran merupakan kebenaran . Ketidaktepatan ( juga disebut bias) didefinisikan sebagai penyimpangan sistematis dari kebenaran . Jadi, meskipun tembakan pada Gambar . 3.2c lebih erat dikelompokkan dibandingkan pada Gambar . 3.2a , dua kasus sama-sama bias karena keduanya berpusat pada kuadran kiri atas target . Ketidaktepatan ( juga disebut ketidakpastian ) , di sisi lain , mengacu pada besarnya pencar tersebut . Oleh karena itu , meskipun Gambar . 3.2b dan d sama-sama akurat ( yaitu, berpusat pada pada sasaran ) , yang terakhir ini lebih tepat karena tembakan dikelompokkan erat .

Metode numerik harus cukup akurat atau tidak bias untuk memenuhi persyaratan dari masalah teknik tertentu . Mereka juga harus cukup tepat untuk desain rekayasa yang memadai . Dalam buku ini , kita akan menggunakan kesalahan istilah kolektif untuk mewakili kedua ketidaktelitian dan ketidaktepatan dari kami predictions.With konsep-konsep ini sebagai latar belakang , kita sekarang dapat membahas faktor-faktor yang berkontribusi terhadap kesalahan perhitungan numerik .

GAMBAR 3.2

Sebuah contoh dari keahlian menembak menggambarkan konsep akurasi dan presisi . ( a) tidak akurat dan tidak tepat , ( b ) akurat dan tepat , ( c ) tidak akurat dan tepat , ( d ) akurat dan

tepat .

3.3 DEFINISI ERROR

Kesalahan numerik timbul dari penggunaan perkiraan untuk mewakili operasi matematika yang tepat dan kuantitas . Ini termasuk kesalahan pemotongan , yang terjadi ketika perkiraan digunakan untuk mewakili prosedur matematika yang tepat , dan round- off error , yang terjadi ketika nomor yang memiliki angka penting terbatas digunakan untuk mewakili angka pastinya . Untuk kedua jenis , hubungan antara yang tepat , atau benar , hasil dan pendekatan tersebut dapat dirumuskan sebagai

True value = pendekatan + error ( 3.1 )

Dengan menata ulang persamaan . ( 3.1 ) , kita menemukan bahwa kesalahan numerik adalah sama dengan perbedaan antara kebenaran dan pendekatan , seperti dalam

Et = true value - pendekatan ( 3.2 )

di mana Et digunakan untuk menunjuk nilai yang tepat dari kesalahan . Subskrip t termasuk untuk menunjuk bahwa ini adalah " benar " kesalahan . Hal ini berbeda dengan kasus lain , seperti yang dijelaskan lama , di mana " perkiraan " perkiraan kesalahan harus digunakan .

Kelemahan dari definisi ini adalah bahwa hal itu tidak memperhitungkan urutan besarnya nilai di bawah pemeriksaan . Misalnya, kesalahan sentimeter jauh lebih signifikan jika kita mengukur keling daripada jembatan . Salah satu cara untuk memperhitungkan besaran jumlah sedang dievaluasi adalah untuk menormalkan kesalahan untuk nilai sebenarnya , seperti dalam

Benar kesalahan relatif pecahan = error sejati

nilai sebenarnya

di mana , sebagaimana ditentukan oleh Persamaan . ( 3.2 ) , error = nilai sebenarnya - pendekatan . The kesalahan relatif juga dapat dikalikan dengan 100 persen untuk mengekspresikan sebagai

εt = error sejati

nilai sebenarnya

100 % ( 3.3 )

dimana εt menunjuk persen benar kesalahan relatif .

Perhatikan bahwa untuk Pers. ( 3.2 ) dan ( 3.3 ) , E dan ε yang subscript dengan di untuk menandakan bahwa kesalahan adalah normal dengan nilai sebenarnya . Pada Contoh 3.1 , kita diberikan dengan nilai ini . Namun, dalam situasi yang sebenarnya informasi tersebut jarang tersedia . Untuk metode numerik , nilai sebenarnya akan diketahui hanya ketika kita berurusan dengan fungsi yang dapat diselesaikan secara analitis . Tersebut biasanya akan terjadi ketika kita menyelidiki perilaku teoritis teknik tertentu untuk sistem yang sederhana . Namun, dalam aplikasi dunia nyata , kita akan jelas tidak tahu jawaban yang benar apriori . Untuk situasi ini , alternatif adalah untuk menormalkan kesalahan menggunakan estimasi terbaik yang tersedia dari nilai sebenarnya , yaitu, untuk pendekatan itu sendiri , seperti dalam

εa = perkiraan kesalahan

perkiraan

100 % ( 3.4 )

dimana subscript menandakan bahwa kesalahan adalah normal untuk nilai perkiraan . Perhatikan juga bahwa untuk aplikasi dunia nyata , Eq . ( 3.2 ) tidak dapat digunakan untuk menghitung error term untuk Eq . ( 3.4 ) . Salah satu tantangan dari metode numerik adalah untuk menentukan perkiraan kesalahan dengan tidak adanya pengetahuan tentang nilai sebenarnya . Sebagai contoh, metode numerik tertentu menggunakan pendekatan iteratif untuk menghitung jawaban . Dalam pendekatan semacam itu, pendekatan ini dilakukan atas dasar pendekatan sebelumnya . Proses ini dilakukan berulang-ulang , atau iteratif , untuk berturut-turut menghitung ( kami berharap ) perkiraan yang lebih baik dan lebih baik . Untuk kasus seperti ini, kesalahan ini sering diperkirakan sebagai perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan saat ini . Dengan demikian , kesalahan relatif persen ditentukan menurut

εa = pendekatan saat ini - pendekatan sebelumnya

pendekatan saat ini

100 % ( 3.5)

Ini dan pendekatan lain untuk mengekspresikan kesalahan akan menguraikan dalam berikutnya

bab .

Tanda-tanda Pers. ( 3.2 ) sampai ( 3.5 ) dapat berupa positif atau negatif . Jika pendekatan tersebut lebih besar dari nilai sebenarnya ( atau pendekatan sebelumnya lebih besar dari perkiraan saat ini ) , kesalahan adalah negatif , jika pendekatan tersebut kurang dari nilai sebenarnya , kesalahan adalah positif . Juga, untuk Pers. ( 3,3 ) ke ( 3,5 ) , penyebut mungkin kurang dari nol , yang juga dapat menyebabkan kesalahan negatif . Sering kali , ketika melakukan perhitungan , kita mungkin tidak peduli dengan tanda kesalahan , tapi kami tertarik apakah nilai absolut persen lebih rendah dari prespecified εs toleransi persen . Oleh karena itu, sering berguna untuk menggunakan nilai absolut dari Pers. ( 3.2 ) sampai dengan ( 3,5 ) . Untuk kasus seperti ini, perhitungan diulang sampai

| εa | < εs ( 3.6 )

Jika hubungan ini berlaku , hasilnya kita diasumsikan dalam εs tingkat yang dapat diterima ditentukan. Perhatikan bahwa untuk sisa teks ini , kita akan hampir secara eksklusif menggunakan nilai absolut ketika kita menggunakan kesalahan relatif. Hal ini juga mudah untuk menghubungkan kesalahan ini dengan sejumlah tokoh penting dalam pendekatan tersebut . Hal ini dapat ditunjukkan ( Scarborough , 1966) bahwa jika kriteria berikut ini terpenuhi , kita dapat yakin bahwa hasilnya benar angka setidaknya n signifikan .

εs = ( 0,5 × 102 - n ) % ( 3.7 )

Algoritma Komputer 3.3.1 untuk Perhitungan Iteratif

Banyak metode numerik yang dijelaskan dalam sisa teks ini melibatkan perhitungan berulang dari jenis diilustrasikan pada Contoh 3.2 . Ini semua memerlukan pemecahan masalah matematika dengan menghitung aproksimasi untuk solusi mulai dari dugaan awal .

Pelaksanaan komputer solusi iteratif tersebut melibatkan loop . Seperti yang kita lihat di Sec . 2.1.1 , ini datang dalam dua rasa dasar: menghitung - dikontrol dan loop keputusan . Kebanyakan solusi iteratif menggunakan loop keputusan . Jadi, daripada mempekerjakan sejumlah prespecified iterasi , proses biasanya diulang sampai perkiraan kesalahan perkiraan jatuh di bawah kriteria berhenti seperti pada Contoh 3.2 .

Sebuah pseudocode untuk perhitungan iterasi generik disajikan pada Gambar . 3.3 . Fungsi ini melewati nilai ( val ) bersama dengan kriteria kesalahan berhenti (es ) dan sejumlah maksimum iterasi ( Maxit ) . Nilai ini biasanya baik ( 1 ) nilai awal atau ( 2 ) nilai yang perhitungan iterasi yang akan dibuat .

Fungsi pertama menginisialisasi tiga variabel . Ini termasuk ( 1) iter variabel yang melacak jumlah iterasi , ( 2 ) sebuah sol variabel yang memegang perkiraan saat ini solusi, dan ( 3 ) a ea variabel yang memegang perkiraan persen kesalahan relatif . Perhatikan bahwa ea awalnya diatur ke nilai 100 untuk memastikan bahwa loop mengeksekusi setidaknya sekali .

Inisialisasi ini diikuti oleh loop keputusan yang benar-benar menerapkan perhitungan berulang . Sebelum menghasilkan solusi baru , sol pertama ditugaskan untuk solold . Kemudian nilai baru dari sol dihitung dan iterasi counter bertambah . Jika nilai baru dari sol adalah nol , persen ea kesalahan relatif ditentukan . Kriteria berhenti kemudian diuji . Jika keduanya palsu, loop mengulangi . Jika salah satu benar , loop berakhir dan solusi akhir dikirim kembali ke fungsi panggil . Contoh berikut menggambarkan bagaimana algoritma generik dapat diterapkan untuk perhitungan berulang tertentu . Dengan definisi sebelumnya sebagai latar belakang , kita sekarang dapat melanjutkan untuk dua jenis kesalahan yang berhubungan langsung dengan metode numerik : round- off error dan kesalahan pemotongan .

GAMBAR 3.4

( a) VBA / Excel dan ( b ) MATLAB fungsi berdasarkan pseudocode dari Gambar . 3.3 .

KESALAHAN 3,4 ROUND - OFF

Seperti disebutkan sebelumnya , round- off error berasal dari kenyataan bahwa komputer mempertahankan √ hanya tetap jumlah angka signifikan selama perhitungan . Nomor seperti π , e , atau 7 tidak dapat dinyatakan dengan sejumlah tetap angka penting. Oleh karena itu, mereka tidak dapat diwakili tepat oleh komputer . Selain itu, karena komputer menggunakan representasi basis- 2 , mereka bisa tidak tepat mewakili tepat basis- 10 nomor-nomor tertentu . Perbedaan diperkenalkan oleh kelalaian ini angka signifikan disebut round- off error .

3.4.1 Representasi Komputer Bilangan

Round- off error numerik secara langsung berkaitan dengan cara di mana nomor tersebut disimpan dalam komputer . Unit dasar dimana informasi ditampilkan disebut kata . Ini adalah sebuah entitas yang terdiri dari serangkaian angka biner , atau bit . Bilangan biasanya disimpan dalam satu atau lebih kata-kata . Untuk memahami bagaimana hal ini tercapai , kita harus terlebih dahulu meninjau beberapa materi yang berhubungan dengan sistem nomor.

Sistem Nomor . Sebuah sistem nomor hanyalah konvensi untuk mewakili kuantitas. Karena kita memiliki 10 jari tangan dan 10 jari kaki , sistem bilangan yang kita paling akrab dengan adalah desimal , atau basa - 10 , sistem nomor . Basa adalah nomor yang digunakan sebagai acuan untuk membangun sistem. Basis - 10 sistem menggunakan 10 digit - 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 - untuk mewakili angka . Dengan sendiri , angka ini memuaskan untuk menghitung dari 0 sampai 9 .

Untuk jumlah yang lebih besar , kombinasi ini dasar angka yang digunakan , dengan posisi atau tempat nilai menentukan besarnya . Digit paling kanan di seluruh nomor mewakili nomor dari 0 sampai 9. Angka kedua dari kanan merupakan kelipatan 10 . Angka ketiga dari kanan merupakan kelipatan dari 100 dan seterusnya . Sebagai contoh, jika kita memiliki jumlah 86.409 maka kita memiliki delapan kelompok 10.000 , enam kelompok dari 1000, empat kelompok 100 , nol kelompok 10 , dan sembilan unit lebih, atau

( 8 × 104 ) + ( 6 × 103 ) + ( 4 × 102 ) + ( 0 × 101 ) + ( 9 × 100 ) = 86.409

Gambar 3.5a memberikan representasi visual tentang bagaimana nomor diformulasikan dalam basis-10 sistem . Jenis representasi disebut notasi posisional .

Karena sistem desimal begitu akrab , tidak sering menyadari bahwa ada alternatif . Misalnya, jika manusia terjadi telah memiliki delapan jari tangan dan jari kaki delapan , kami akan pasti telah mengembangkan oktal , atau basa - 8 , representasi . Dalam arti yang sama , teman kita komputer seperti hewan dua jari yang terbatas pada dua negara - 0 atau 1 . Hal ini berkaitan dengan fakta bahwa unit logika utama komputer digital on / off komponen elektronik . Oleh karena itu , angka pada komputer diwakili dengan biner , atau basis- 2 , sistem . Sama seperti dengan sistem desimal , jumlah dapat direpresentasikan menggunakan notasi posisional . Sebagai contoh, bilangan biner 11 adalah setara dengan ( 1 × 21 ) + ( 1 × 20 ) = 2 + 1 = 3 dalam sistem desimal . Gambar 3.5b menggambarkan contoh yang lebih rumit .

Representasi Integer . Sekarang kita telah meninjau bagaimana basis- 10 nomor dapat direpresentasikan dalam bentuk biner , itu adalah sederhana untuk memahami bagaimana bilangan bulat diwakili pada komputer . Pendekatan yang paling sederhana , yang disebut metode besarnya ditandatangani , menggunakan bit pertama dari sebuah kata untuk

menunjukkan tanda , dengan 0 untuk positif dan 1 untuk negatif. Bit yang tersisa digunakan untuk menyimpan nomor . Sebagai contoh, nilai integer dari -173 akan disimpan pada komputer 16 - bit , seperti pada Gambar . 3.6

GAMBAR 3.5

Bagaimana (a) desimal (basis 10) dan (b) biner (basis 2) sistem kerja. Di (b), bilangan biner 10101101 adalah setara dengan angka desimal 173.

Gambar 3.6

Representasi integer desimal -173 pada komputer 16 - bit dengan menggunakan metode besarnya ditandatangani .

Perhatikan bahwa metode besarnya ditandatangani dijelaskan di atas tidak digunakan untuk mewakili bilangan bulat pada komputer konvensional . Pendekatan Apreferred disebut teknik pelengkap 2 langsung menggabungkan tanda ke besarnya jumlah daripada memberikan sedikit terpisah untuk mewakili plus atau minus (lihat Chapra dan Canale 1994) . Namun, Contoh 3.4

masih berfungsi untuk menggambarkan bagaimana semua komputer digital terbatas dalam kemampuan mereka untuk mewakili bilangan bulat . Artinya, angka di atas atau di bawah kisaran tidak bisa diwakilkan . Keterbatasan yang lebih serius yang dihadapi dalam penyimpanan dan manipulasi jumlah pecahan seperti yang dijelaskan selanjutnya .

Representasi Floating- Point. Jumlah pecahan biasanya diwakili dalam komputer menggunakan formulir floating-point . Dalam pendekatan ini , jumlah ini dinyatakan sebagai bagian pecahan , disebut mantissa atau significand , dan bagian integer, disebut eksponen atau karakteristik , seperti dalam

• m menjadi

di mana m = mantissa , b = basis sistem bilangan yang digunakan , dan e = eksponen . Misalnya , jumlah 156,78 dapat direpresentasikan sebagai 0,15678 × 103 dalam floatingpoint basis- 10 sistem .

Gambar 3.7 menunjukkan salah satu cara yang angka floating -point dapat disimpan dalam satu kata . Bit pertama disediakan untuk tanda , seri berikutnya bit untuk eksponen ditandatangani , dan bit terakhir untuk mantissa .

GAMBAR 3.7

Cara di mana angka floating -point disimpan dalam sebuah kata .

Perhatikan bahwa mantissa biasanya dinormalisasi jika telah nol digit terkemuka. Misalnya, kuantitas 1/34 = 0,029411765 . . . disimpan dalam floating-point basis-10 sistem yang memungkinkan hanya empat tempat desimal untuk disimpan . Dengan demikian , 1/34 akan disimpan sebagai

0,0294 × 100

Namun, dalam proses melakukan hal ini , dimasukkannya berguna nol ke kanan pasukan desimal kita untuk menjatuhkan angka 1 di tempat desimal kelima . Jumlah tersebut dapat dinormalisasi untuk menghapus angka nol dengan mengalikan mantissa dengan 10 dan menurunkan eksponen dengan 1 untuk memberikan

0,2941 × 10-1

Dengan demikian , kita mempertahankan sosok yang signifikan tambahan bila nomor tersebut disimpan . Konsekuensi dari normalisasi adalah bahwa nilai absolut dari m terbatas . Artinya,

1

b

≤ m < 1 ( 3.8 )

di mana b = dasar . Sebagai contoh, untuk sistem basis- 10 , m akan berkisar antara 0,1 dan 1 , dan untuk sistem basis- 2 , antara 0,5 dan 1 .

Representasi floating -point memungkinkan kedua fraksi dan jumlah yang sangat besar untuk diekspresikan pada komputer . Namun, ia memiliki beberapa kelemahan . Sebagai contoh, angka floating -point mengambil ruang lebih banyak dan memakan waktu lebih lama untuk diproses daripada angka integer . Lebih signifikan , namun penggunaannya memperkenalkan sumber kesalahan karena mantissa memegang hanya jumlah terbatas angka signifikan . Dengan demikian , kesalahan round- off diperkenalkan .

Gambar 3.9 memanifestasikan beberapa aspek representasi floating-point yang memiliki signifikansi mengenai komputer kesalahan round- off :

1 . Ada Apakah Range Terbatas Kuantitas Yang Mungkin diwakili . Sama seperti untuk kasus bilangan bulat , ada bilangan positif dan negatif yang besar yang tidak dapat diwakili . Upaya untuk menggunakan nomor di luar rentang yang dapat diterima akan menghasilkan apa yang disebut kesalahan overflow. Namun, di samping jumlah besar , representasi floating-point memiliki keterbatasan menambahkan bahwa jumlah yang sangat kecil tidak bisa diwakilkan . Hal ini diilustrasikan oleh underflow " lubang " antara nol dan angka positif pertama pada Gambar . 3.9 . Perlu dicatat bahwa lubang ini diperbesar karena kendala normalisasi Persamaan . ( 3.8 ) .

2 . Ada Apakah Hanya Nomor Finite Kuantitas Yang Bisa Diwakili dalam Range. Dengan demikian , tingkat presisi terbatas . Jelas, bilangan irasional tidak dapat diwakili tepat . Selain itu , bilangan rasional yang tidak sama persis dengan salah satu nilai di set juga tidak dapat diwakili tepat . Kesalahan diperkenalkan oleh mendekati kedua kasus ini disebut sebagai kesalahan kuantisasi . Pendekatan yang sebenarnya dicapai dalam salah satu dari dua cara : memotong atau pembulatan . Misalnya, bahwa nilai π = 3,14159265358 . . . akan disimpan pada sistem bilangan basis- 10 membawa tujuh angka penting . Salah satu metode pendekatan akan hanya menghilangkan , atau " memenggal , " istilah kedelapan dan lebih tinggi , seperti dalam π = 3.141592 , dengan pengenalan kesalahan terkait [ Eq . ( 3.2 ) ]

Et = 0,00000065 . . .

Teknik ini hanya mempertahankan istilah yang signifikan pada awalnya dijuluki " pemotongan " dalam jargon komputer . Kami lebih suka menyebutnya memotong untuk membedakannya dari kesalahan pemotongan dibahas dalam Bab . 4 . Perhatikan bahwa untuk basis - 2 sistem bilangan pada Gambar . 3.9 , memotong berarti bahwa setiap kuantitas yang berada dalam selang waktu panjang _x willbe disimpan sebagai kuantitas di ujung bawah dari interval . Dengan demikian , kesalahan atas menuju memotong adalah _x . Selain itu , bias diperkenalkan karena semua kesalahan yang positif .

Kekurangan dari memotong dapat diatribusikan pada fakta bahwa istilah yang lebih tinggi dalam representasi desimal lengkap tidak berdampak pada versi singkat . Misalnya , dalam contoh kami π , digit pertama adalah dibuang 6 . Dengan demikian , angka saldo terakhir harus dibulatkan untuk menghasilkan 3,141593 . Pembulatan seperti mengurangi kesalahan untuk

Et = -,00000035 . . .

Akibatnya , pembulatan menghasilkan kesalahan absolut lebih rendah daripada memotong . Perhatikan bahwa untuk basis - 2 sistem bilangan pada Gambar . 3,9 , pembulatan berarti bahwa setiap kuantitas yang berada dalam selang waktu panjang _x akan direpresentasikan sebagai jumlah diijinkan terdekat . Dengan demikian , kesalahan atas menuju pembulatan adalah _x / 2 . Selain itu , tidak ada bias diperkenalkan karena beberapa kesalahan yang positif dan ada pula yang negatif . Beberapa komputer menggunakan pembulatan . Namun, ini menambah overhead komputasi , dan , akibatnya , banyak mesin menggunakan memotong sederhana . Pendekatan ini dibenarkan dalam anggapan bahwa jumlah angka signifikan yang cukup besar yang mengakibatkan round- off error biasanya diabaikan .

3 . The Interval antara Numbers , _x , Meningkatkan sebagai Bilangan Tumbuh di Magnitude . Ini adalah karakteristik ini , tentu saja , yang memungkinkan representasi floating-point untuk melestarikan signifikan digit. Namun, itu juga berarti bahwa kesalahan kuantisasi akan sebanding dengan besarnya jumlah yang diwakili . Untuk angka floating -point normal , proporsionalitas ini dapat dinyatakan , untuk kasus-kasus di mana memotong digunakan , sebagai

( 3.9 )

dan , untuk kasus-kasus di mana pembulatan digunakan , sebagai

( 3.10 )

dimana _ disebut sebagai epsilon mesin , yang dapat dihitung sebagai

( 3.11 )

di mana b adalah basis jumlah dan t adalah jumlah angka yang signifikan dalam mantissa .

Perhatikan bahwa ketidaksetaraan dalam Pers. ( 3.9 ) dan ( 3.10 ) menandakan bahwa ini adalah batas kesalahan .

Artinya, mereka menentukan kasus-kasus terburuk .

GAMBAR 3.9

The hipotetis sistem nomor dikembangkan dalam Contoh 3.5 . Setiap nilai ditunjukkan dengan tanda centang . Hanya bilangan positif yang akan ditampilkan. Sebuah set identik juga akan memperpanjang ke arah negatif .

Ketergantungan besarnya kesalahan quantizing memiliki sejumlah aplikasi praktis dalam metode numerik . Sebagian besar ini berhubungan dengan operasi biasa digunakan untuk menguji apakah dua nomor yang sama . Hal ini terjadi ketika menguji konvergensi kuantitas serta dalam mekanisme berhenti untuk proses berulang ( ingat Contoh 3.2 ) . Untuk kasus ini , itu harus jelas bahwa , dibandingkan dengan tes apakah dua kuantitas adalah sama , disarankan untuk menguji apakah perbedaan mereka adalah kurang dari toleransi diterima kecil . Selanjutnya, juga harus jelas bahwa normalisasi daripada perbedaan mutlak harus dibandingkan , terutama ketika berhadapan dengan jumlah besar besar . Selain itu, mesin epsilon dapat digunakan dalam merumuskan kriteria berhenti atau konvergensi . Hal ini memastikan bahwa program yang portabel - yaitu , mereka tidak tergantung pada komputer di mana mereka diimplementasikan . Gambar 3.11 daftar pseudocode untuk secara otomatis menentukan epsilon mesin komputer binary .

Diperpanjang Precision. Perlu dicatat di sini bahwa , meskipun round - off error dapat menjadi penting dalam konteks seperti pengujian konvergensi , jumlah digit yang signifikan dilakukan pada kebanyakan komputer memungkinkan sebagian besar perhitungan teknik yang akan dilakukan dengan lebih dari presisi dapat diterima . Sebagai contoh, sistem bilangan hipotetis pada Gambar . 3.9 adalah berlebihan kotor yang digunakan untuk tujuan ilustrasi . Komputer komersial menggunakan kata-kata yang jauh lebih besar dan , akibatnya , memungkinkan

nomor yang akan diekspresikan dengan lebih dari cukup presisi . Sebagai contoh, komputer yang menggunakan IEEE format yang memungkinkan 24 bit yang akan digunakan untuk mantissa , yang diterjemahkan ke dalam sekitar tujuh signifikan basis- 10 digit precision1 dengan kisaran sekitar 10-38 sampai 1039 .

Dengan mengakui , masih ada kasus di mana round- off error menjadi kritis . Untuk alasan ini kebanyakan komputer memungkinkan spesifikasi presisi diperpanjang . Yang paling umum ini adalah presisi ganda , di mana jumlah kata yang digunakan untuk menyimpan nomor floatingpoint dua kali lipat. Ini menyediakan sekitar 15 sampai 16 digit desimal presisi dan jangkauan sekitar 10-308 sampai 10308 .

Dalam banyak kasus , penggunaan jumlah presisi ganda dapat sangat mengurangi dampak dari round - off error . Namun, harga yang dibayar untuk obat tersebut dalam bahwa mereka juga memerlukan lebih banyak memori dan waktu eksekusi . Perbedaan waktu eksekusi untuk perhitungan kecil mungkin tampak tidak signifikan . Namun, karena program-program anda menjadi lebih besar dan lebih rumit , waktu eksekusi ditambahkan bisa menjadi cukup besar dan memiliki dampak negatif pada efektivitas Anda sebagai pemecah masalah . Oleh karena itu , presisi diperpanjang tidak boleh digunakan sembrono . Sebaliknya , harus selektif bekerja di mana itu akan menghasilkan manfaat yang maksimal dengan biaya minimal dalam hal waktu eksekusi . Pada bagian berikut , kita akan melihat lebih dekat bagaimana round- off error mempengaruhi perhitungan , dan dengan demikian memberikan dasar pemahaman untuk membimbing penggunaan kemampuan presisi ganda .

Sebelum melanjutkan , perlu dicatat bahwa beberapa paket perangkat lunak yang umum digunakan ( misalnya , Excel , Mathcad ) secara rutin menggunakan presisi ganda untuk mewakili kuantitas numerik . Dengan demikian , para pengembang dari paket ini memutuskan bahwa mengurangi round- off error akan didahulukan atas kehilangan kecepatan yang dikeluarkan dengan menggunakan presisi diperpanjang . Lainnya , seperti perangkat lunak MATLAB , memungkinkan Anda untuk menggunakan presisi diperpanjang , jika Anda inginkan .

3.4.2 Aritmatika Manipulasi Bilangan Komputer

Selain keterbatasan sistem bilangan komputer , manipulasi aritmatika aktual yang melibatkan angka-angka ini juga dapat mengakibatkan round- off error . Pada bagian berikut , pertama-tama kita akan menggambarkan bagaimana operasi aritmatika umum mempengaruhi round- off error . Kemudian kita akan menyelidiki sejumlah manipulasi tertentu yang sangat rentan terhadap round- off error .

Operasi Aritmatika umum . Karena keakraban mereka , normalisasi basis- 10 nomor akan digunakan untuk menggambarkan efek round - off error pada penambahan sederhana , pengurangan, perkalian , dan pembagian . Basis nomor lain akan berperilaku dengan cara yang sama . Untuk menyederhanakan diskusi , kita akan menggunakan komputer desimal hipotetis dengan mantissa 4 - digit dan eksponen 1 digit . Selain itu, memotong digunakan . Pembulatan akan mengakibatkan kesalahan yang sama meskipun kurang dramatis .

Ketika dua angka floating -point ditambahkan , mantissa nomor dengan eksponen kecil dimodifikasi sehingga eksponen adalah sama . Ini memiliki efek menyelaraskan poin desimal . Misalnya, kita ingin menambahkan 0,1557 • 101 + 0,4381 • 10-1 . The desimal mantissa dari

angka kedua digeser ke kiri sejumlah tempat sama dengan perbedaan dari eksponen [ 1 - ( -1 ) = 2 ] , seperti pada 0,4381 • 10-1 → 0,004381 • 101

Sekarang angka dapat ditambahkan ,

0,1557 • 101

0.004381 • 101

0.160081 • 101

dan hasilnya cincang ke 0,1600 • 101 . Perhatikan bagaimana dua digit terakhir dari nomor kedua yang digeser ke kanan memiliki dasarnya telah hilang dari perhitungan. terbalik . Sebagai contoh, anggaplah bahwa kita mengurangkan 26,86 dari 36,41 . Artinya,

0,3641 • 102

- 0,2686 • 102

0,0955 • 102

Untuk kasus ini hasilnya tidak normal , dan jadi kami harus menggeser desimal satu tempat ke kanan untuk memberikan 0.9550 • 101 = 9.550 . Perhatikan bahwa nol ditambahkan ke akhir dari mantissa tidak signifikan tetapi hanya ditambahkan untuk mengisi ruang kosong yang diciptakan oleh pergeseran . Bahkan lebih dramatis hasilnya akan diperoleh bila jumlahnya sangat dekat , seperti dalam

0,7642 • 103

- 0,7641 • 103

0.0001 • 103

yang akan dikonversi ke 0,1000 • 100 = 0,1000 . Dengan demikian , untuk kasus ini , tiga angka nol yang ditambahkan tidak bermakna . Ini memperkenalkan kesalahan komputasi yang cukup besar karena manipulasi selanjutnya akan bertindak seolah-olah nol ini adalah signifikan . Seperti yang akan kita lihat pada bagian selanjutnya , hilangnya signifikansi selama pengurangan angka yang hampir sama adalah salah satu sumber terbesar dari round- off error dalam metode numerik .

Perkalian dan pembagian agak lebih mudah daripada penambahan atau pengurangan . Eksponen ditambahkan dan Mantisa dikalikan . Karena perkalian dua Mantisa n - digit akan menghasilkan hasil 2n - digit , kebanyakan komputer memegang hasil antara dalam double- length mendaftar. Sebagai contoh,

0,1363 • 103 × 0,6423 • 10-1 = 0,08754549 • 102

Jika , seperti dalam kasus ini , nol terkemuka diperkenalkan , hasilnya adalah normal ,

0.08754549 • 102 → 0,8754549 • 101

dan cincang untuk memberikan

0,8754 • 101

Divisi dilakukan dengan cara yang sama , tetapi Mantisa dibagi dan eksponen dikurangi . Kemudian hasilnya dinormalisasi dan cincang .

Perhitungan besar . Metode tertentu memerlukan jumlah yang sangat besar manipulasi aritmatika untuk sampai pada hasil akhir mereka . Selain itu, perhitungan ini sering saling terkait . Artinya, perhitungan kemudian tergantung pada hasil yang sebelumnya . Akibatnya, meskipun putaran - off error individu dapat menjadi kecil , efek kumulatif selama perhitungan besar dapat menjadi signifikan .

Perhatikan bahwa jenis kesalahan diilustrasikan oleh contoh sebelumnya agak atipikal bahwa semua kesalahan dalam operasi berulang adalah dari tanda yang sama . Dalam kebanyakan kasus kesalahan dari tanda panjang perhitungan alternatif secara acak dan , dengan demikian , sering membatalkan . Namun, ada juga kasus di mana kesalahan tersebut tidak membatalkan tetapi , pada kenyataannya , menyebabkan hasil akhir palsu . Bagian berikut dimaksudkan untuk memberikan wawasan tentang cara-cara di mana hal ini dapat terjadi .

Menambahkan Besar dan Kecil Nomor . Misalkan kita menambahkan sejumlah kecil , 0,0010 , sejumlah besar , 4000 , menggunakan komputer hipotetis dengan mantissa 4 - digit dan eksponen 1 digit . Kami mengubah nomor lebih kecil sehingga eksponen sesuai dengan yang lebih besar ,

0,4000 • 104

0.0000001 • 104

0.4000001 • 104

yang cincang ke 0,4000 • 104 . Dengan demikian , kita mungkin juga belum melakukan penambahan !

Jenis kesalahan ini dapat terjadi dalam perhitungan seri terbatas . Istilah awal dalam seri seperti sering relatif besar dibandingkan dengan istilah nanti.

Dengan demikian , setelah beberapa istilah telah ditambahkan , kita berada dalam situasi menambahkan jumlah kecil untuk jumlah besar .

Salah satu cara untuk mengurangi jenis kesalahan adalah untuk jumlah seri dalam urutan terbalik -yaitu , dalam ascending daripada urutan . Dengan cara ini , setiap istilah baru akan besarnya sebanding dengan jumlah akumulasi (lihat Prob . 3,5 ) .

Pembatalan subtraktif . Istilah ini mengacu pada round- off diinduksi ketika mengurangkan dua bilangan floating-point hampir sama .

Salah satu contoh umum di mana hal ini dapat terjadi melibatkan menemukan akar persamaan kuadrat atau parabola dengan rumus kuadrat ,

( 3.12 )

Untuk kasus di mana b2 _ 4ac , perbedaan dalam pembilang bisa sangat kecil . Dalam kasus tersebut , presisi ganda dapat mengurangi masalah . Selain itu, formulasi alternatif dapat digunakan untuk meminimalkan pembatalan subtraktif ,

( 3.13 )

Sebuah ilustrasi dari masalah dan penggunaan formula ini alternatif disediakan dalam contoh berikut .

GAMBAR 3.13

Program Excel / VBA untuk menentukan akar kuadrat .

Perhatikan bahwa , seperti dalam contoh di atas , ada saat-saat di mana pembatalan subtraktif dapat dielakkan dengan menggunakan transformasi . Namun, satu-satunya obat umum adalah dengan menggunakan presisi diperpanjang .

Mengolesi . Mengolesi terjadi jika persyaratan individu dalam penjumlahan yang lebih besar dari penjumlahan itu sendiri . Seperti dalam contoh berikut , satu kasus di mana ini terjadi adalah dalam serangkaian tanda-tanda campuran .

Produk batin . Seperti harus jelas dari bagian terakhir , beberapa seri terbatas sangat rentan terhadap round- off error . Untungnya , perhitungan seri bukanlah salah satu operasi yang lebih umum dalam metode numerik . Sebuah manipulasi jauh lebih di mana-mana adalah perhitungan produk batin , seperti dalam

xi yi = x1 y1 x2 y2 + + • • • + xn yn

Operasi ini sangat umum , terutama dalam larutan simultan linear persamaan aljabar . Penjumlahan tersebut rentan terhadap round- off error . Akibatnya, sering diinginkan untuk menghitung penjumlahan tersebut dalam presisi diperpanjang .

Meskipun bagian tersebut di atas harus memberikan aturan praktis untuk mengurangi round- off error , mereka tidak menyediakan cara langsung di luar trial and error untuk benar-benar mengetahui pengaruh kesalahan tersebut pada suatu perhitungan . Di Chap . 4 , kami akan memperkenalkan seri Taylor , yang akan memberikan pendekatan matematika untuk memperkirakan efek ini .