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5. Raíces unitarias. 5.1. Características. Los procesos con raíces unitarias son aquellos en que una o varias de las raíces características del modelo valen uno. El caso típico es el camino aleatorio y t = y t-1 + ε t en el que a 1 vale 1.El camino aleatorio puede escribirse ( 1 – L ) y t = ε t donde la raíz del polinomio característico 1 – L = 0, es L = 1. Si se pasa y t-1 al primer miembro resulta: y t - y t-1 = ε t y como ε t es un proceso estacionario el primer miembro también lo será; de esta manera la primera diferencia del proceso: ∆ y t = y t - y t-1 convierte al random walk en un proceso estacionario. Cuando las primeras diferencias de un proceso convierten a este en estacionario, se dice entonces que es integrado de orden uno y se denota mediante I (1). Para transformar un proceso que tuviera dos raíces unitarias en un proceso estacionario será necesario diferenciarlo dos veces, si tuviera tres raíces unitarias se requerirán diferencias de orden 3 y así siguiendo. En la mayoría de las series económicas y financieras las diferencias de orden 2 por lo general son suficientes. Un proceso con dos raíces unitarias es (1 – L ) 2 y t = ε t . O sea: ( 1 – 2 L + L 2 ) y t = ε t .

Raíces Unitarias

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Se describen las principales características, se consideran las regresiones espúreas, los tests de Dickey Fuller, las raíces múltiples, los modelos Ar (p) y Arima (p,1,q) aplicados a ejemplos de la economía argentina con empleo del programa de cómputo Eviews.

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5. Races unitarias.

5.1. Caractersticas.

Los procesos con races unitarias son aquellos en que una o varias de las races caractersticas del modelo valen uno. El caso tpico es el camino aleatorio yt = yt-1 + t en el que a1 vale 1.El camino aleatorio puede escribirse ( 1 L ) yt = t donde la raz del polinomio caracterstico 1 L = 0, es L = 1.

Si se pasa yt-1 al primer miembro resulta: yt - yt-1 = t y como t es un proceso estacionario el primer miembro tambin lo ser; de esta manera la primera diferencia del proceso: yt = yt - yt-1 convierte al random walk en un proceso estacionario. Cuando las primeras diferencias de un proceso convierten a este en estacionario, se dice entonces que es integrado de orden uno y se denota mediante I (1).

Para transformar un proceso que tuviera dos races unitarias en un proceso estacionario ser necesario diferenciarlo dos veces, si tuviera tres races unitarias se requerirn diferencias de orden 3 y as siguiendo. En la mayora de las series econmicas y financieras las diferencias de orden 2 por lo general son suficientes.

Un proceso con dos races unitarias es (1 L ) 2 yt = t . O sea: ( 1 2 L + L2 ) yt = t .

Desarrollando, se puede escribir: yt - yt-1 = yt-1 - yt-2 + t . Es decir: yt = yt-1 + t .

Por ltimo: yt - yt-1 = t y como yt - yt-1 = 2 yt queda 2 yt = t .

Como t , el proceso de ruido blanco, es un proceso estacionario el primer miembro tambin lo ser y por lo tanto una diferencia de segundo orden convertir a un proceso con dos races unitarias en un proceso estacionario. Se dir entonces que es integrado de orden dos y se escribir I ( 2) .

Para tener una apreciacin ms concreta de este ltimo resultado se generarn mediante el Eviews 100 observaciones del proceso yt = 2 yt-1 - yt-2 + t . El trmino de perturbacin ser ruido blanco normal de varianza unitaria.

Se puede observar que yt = 2 yt-1 - yt-2 + t es idntico a ( 1 2 L + L2 ) yt = t o bien

(1 L ) 2 yt = t y que la raz de la ecuacin caracterstica (1 L ) 2 = 0 es doble y es igual a 1.

Las instrucciones son:

1) Genr alea=nrnd 2) Genr y=0 3) Genr y=2*y(-1)-y(-2)+alea Sample 3 100

El grfico se presenta a continuacin. Se puede apreciar que se trata de una serie no estacionaria lo que es corroborado por el respectivo correlograma que declina muy lentamente. Inclusive la autocorrelacin de orden 10 es superior a 0,50.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

.|*******.|*******10.9480.94892.5960.000

.|******|.|. |20.896-0.024176.210.000

.|******|.|. |30.845-0.019251.360.000

.|******|.|. |40.795-0.024318.500.000

.|***** |.|. |50.744-0.027378.000.000

.|***** |.|. |60.695-0.021430.370.000

.|***** |.|. |70.646-0.017476.190.000

.|**** |.|. |80.600-0.010516.080.000

.|**** |.|. |90.556-0.004550.720.000

.|**** |.|. |100.514-0.007580.670.000

Se presentarn ahora el grfico de la segunda diferencia de la serie y el correspondiente correlograma. La segunda diferencia se obtuvo mediante: Genr y2=d(y,2) sample 3 100.

El grfico de la segunda diferencia muestra que se trata de una serie estacionaria y esto puede ser comprobado por el correlograma que se presenta a continuacin. Estos resultados

tratan de mostrar cmo la diferenciacin puede convertir en estacionarias a las series que poseen races unitarias. En este caso la serie original tena dos races unitarias.

Sin embargo, uno debe precaverse cuando se trata de quitar la tendencia a una serie, debe tratar de determinar si se trata de una tendencia determinstica o de una estocstica: en el primer caso, como se ha indicado se debe deducir una tendencia lineal o polinmica, en el segundo se debe diferenciar. Si no se sabe qu tipo de tendencia es entraa menos problemas diferenciar, pero si se sobrediferencia se pueden introducir problemas adicionales como por ejemplo mayor variabilidad y prdida de parsimonia.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

*|. |*|. |1-0.105-0.1051.11660.291

*|. |*|. |2-0.176-0.1894.27190.118

.|* |.|* |30.1610.1256.93400.074

.|* |.|* |40.1350.1438.84760.065

*|. |.|. |5-0.119-0.04210.3290.066

.|. |.|. |60.0080.01410.3360.111

.|. |.|. |70.0650.00310.7860.148

.|. |.|. |80.0040.02010.7880.214

*|. |*|. |9-0.154-0.13413.3880.146

.|* |.|. |100.0940.05514.3750.157

Los procesos con races unitarias poseen tendencias estocsticas, esto significa que, de una manera aleatoria, las series se apartan de sus valores medios debido a que sus momentos de orden dos, varianzas y covarianzas, dependen del tiempo y, en particular, la varianza crece a medida que la serie se extiende. Las autocorrelaciones declinan poco, lo hacen muy lentamente y poseen valores relativamente grandes aun cuando se trate de rezagos bastante alejados entre s.

En el random walk si y0 = 0, resulta: yt = 1 + 2 +.+ t de modo que las perturbaciones pasadas del modelo tienen efecto permanente sobre el valor actual de la serie. En definitiva, yt es la suma de las innovaciones pasadas.

Por otra parte el modelo es impredecible. Como E (yt / yt-1 ) = E (yt-1 + t / yt-1) = yt-1 esto implica que toda la informacin del proceso est concentrada en yt-1 el modelo no agrega ninguna informacin adicional.

5.2. Regresiones espreas.

La presencia de caminos aleatorios en los modelos de regresin conduce a lo que se denomina regresiones o correlaciones espreas. Una regresin esprea se presenta cuando las variables tienen poca o ninguna relacin entre s y sin embargo los estadsticos de la regresin son adecuados: altos R2, valores t y F significativamente distintos de cero, pero la regresin no tiene ningn significado econmico, simplemente refleja la correlacin entre las tendencias de las series.

C. Granger y P. Newbold en Spurious Regressions in Econometrics, Journal of Econometrics, 2, 1974, acuaron este trmino y mediante simulaciones comprobaron que aproximadamente el 75% de las regresiones que ellos construyeron sin significado economtrico, con sucesiones independientes unas de otras, condujeron a valores t significativamente distintos de cero.

A modo de ejemplo se construirn 200 observaciones de los caminos aleatorios yt y z t y se los relacionar mediante un modelo de regresin.

Los modelos respectivos son: yt = yt-1 + t1 y z t = z t-1 + t2 y las instrucciones fueron las siguientes: 1) Genr alea1=nrnd 2) Genr alea2=nrnd 3) y=0 4) y=y(-1)+alea1 sample 2 200 5) Genr z=0 6) Genr z= z(-1)+alea2 sample 2 200.

Puede apreciarse en el grfico la correlacin negativa entre ambas series a partir de la octogsima observacin aproximadamente, la serie z toma un camino ascendente mientras que la serie y declina. Si bien ambas series fueron generadas a partir de procesos de ruido blanco independientes parecen estar relacionadas entre s.

Los resultados de la regresin muestran que los coeficientes son negativos producto de la correlacin negativa, los valores t son significativamente distintos de cero y el poder explicativo de la regresin, medido mediante el R2 es bastante alto, cercano al 60%.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C-4.8545340.564825-8.5947560.0000

Z-1.3188030.081341-16.213250.0000

R-squared0.571618Mean dependent var-8.568848

Adjusted R-squared0.569443S.D. dependent var11.09931

S.E. of regression7.283019Akaike info criterion6.818967

Sum squared resid10449.35Schwarz criterion6.852066

Log likelihood-676.4873Hannan-Quinn criter.6.832363

F-statistic262.8695Durbin-Watson stat0.048262

Prob(F-statistic)0.000000

La presencia del camino aleatorio en el cual la varianza de los errores se hace infinita para un nmero de observaciones suficientemente grande, viola los supuestos del modelo de regresin que requieren que aquella sea constante y por este motivo no se cumplen los supuestos que requieren los tests t, F y el R2 ; los valores de estos estadsticos no son verosmiles y estas pruebas no son vlidas.

El correlograma de los residuos de la regresin refleja la correlacin esprea entre las series, ya que aquellos distan bastante de ser ruido blanco.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

.|*******.|*******10.9570.957185.020.000

.|*******.|. |20.915-0.008355.090.000

.|******|.|* |30.8820.082513.900.000

.|******|*|. |40.840-0.122658.690.000

.|******|.|. |50.796-0.043789.260.000

.|***** |.|. |60.7560.007907.650.000

.|***** |.|. |70.7220.0621016.30.000

.|***** |.|. |80.6900.0031115.90.000

.|***** |.|. |90.657-0.0071206.80.000

.|***** |.|. |100.6330.0681291.70.000

.|**** |.|. |110.610-0.0071370.90.000

.|**** |.|. |120.584-0.0331443.80.000

Si se diferencian una vez ambas series, y y z, se convierten en estacionarias, la regresin entre las series diferenciadas carece de sentido y el correlograma de los residuos de esta regresin muestra que son ruido blanco. A continuacin se incluye el grfico de las primeras diferencias de las series y y z y la regresin de la primera diferencia de y (difey) con respecto a la primera diferencia de z (difez). Los estadsticos de esta regresin no son significativos.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C-0.1634980.066457-2.4602200.0147

DIFE2-0.0201750.066895-0.3015890.7633

R-squared0.000461Mean dependent var-0.164191

Adjusted R-squared-0.004612S.D. dependent var0.934773

S.E. of regression0.936926Akaike info criterion2.717575

Sum squared resid172.9327Schwarz criterion2.750674

Log likelihood-268.3987Hannan-Quinn criter.2.730971

F-statistic0.090956Durbin-Watson stat1.852164

Prob(F-statistic)0.763284

W. Enders en su libro Applied Econometric Time Series, Wiley, 1995, seala que los econometristas deben ser muy cuidadosos cuando efectan una regresin del tipo yt = a 0 + a 1 z t + t con variables no estacionarias y presenta cuatro casos que se deben considerar:

1) ambas series yt y z t son estacionarias. En este caso el modelo de regresin clsico es el adecuado.

2) Las dos sucesiones yt y z t son integradas de distintos rdenes. Estas regresiones carecen de significado porque se conserva un componente de tendencia y este debe ser eliminado para que la regresin tenga sentido.

3) ambas series yt y z t son no estacionarias e integradas del mismo orden pero la sucesin de residuos contiene una tendencia estocstica. Se trata de una regresin esprea. Se recomienda diferenciar ambas series y estimar la regresin con las series diferenciadas. Si una serie contiene una tendencia determinstica y la otra una estocstica se les debe dar distinto tratamiento: deducir la tendencia determinstica en una serie mediante un polinomio y diferenciar en la otra.

4) ambas series son no estacionarias pero son integradas del mismo orden y la regresin presenta residuos estacionarios. En este caso se dice que las series son cointegradas, tema que ser tratado ms adelante.

Ejercicios.

1. Genere una correlacin esprea y analcela mediante un modelo de regresin.

2. Genere una sucesin I (1) y otra I(2), analcelas y plantee un modelo de regresin entre ellas.

Convirtalas en estacionarias y efecte nuevamente la regresin con estas variables sin

tendencia.

5.3. Tests de Dickey-Fuller.

D. Dickey y W. Fuller desarrollaron una serie de pruebas tendientes a determinar la existencia de una raz unitaria, esto es si a 1 = 1, en el modelo , donde y son constantes, es un conjunto de regresores y es un proceso de ruido blanco.

Los trminos a 0 , la constante, , la tendencia determinstica y , las variables exgenas son opcionales, es decir, pueden existir o no en el modelo. El test plantea pruebas separadas para cada uno de esos casos: a) ausencia de constante y de tendencia determinstica, b) presencia de constante pero no de tendencia determinstica y c) presencia de constante y de tendencia determinstica.

Las variables exgenas no son relevantes en la prueba y para simplificar la notacin prescindiremos de ellas en las regresiones que se trascriben a continuacin y que corresponden a cada uno de los casos mencionados.

a) b) c)

Si a 1 1, la serie no es estacionaria, la varianza de y aumenta con el trascurso del tiempo y tiende a ser infinita, si a 1 < 1, la serie es estacionaria en el sentido que no posee tendencia estocstica. De esta manera la hiptesis de que la serie posee tendencia estocstica puede ser evaluada verificando si el valor absoluto de a 1 es estrictamente menor que uno o no.

La hiptesis nula del test es: H 0: a 1 = 1 versus la alternativa unilateral H 0: a 1 < 1. Si se cumple la hiptesis alternativa entonces la serie es estacionaria, no posee tendencia estocstica. Como H 0 es a 1 = 1, si se cumple la hiptesis alternativa significa que cuanto ms lejos de 1, en la recta numrica hacia la izquierda, se halle a 1, implica que es mayor la probabilidad de que a 1 sea menor que 1, es decir, es ms probable que la serie sea estacionaria. Cuanto menor sea el valor de a 1 y, por consiguiente ms a la izquierda se halle, menor ser el rea que corresponde al valor de probabilidad del test. Esto significa que cuanto menores sean los valores de probabilidad (valores p) mayor ser el convencimiento de que la serie es estacionaria.

Si bien el valor 1 de a 1 resulta claro en trminos de las autocorrelaciones es preferible transformarlo para considerarlo en trminos de los coeficientes de una regresin y si a cada una de las regresiones anteriores se les sustrae y t-1 aquellas se transforman en:

a) b) c)

donde . Por lo tanto, es indistinto chequear si a 1 = 1 o bien si en las regresiones de abajo.

El valor emprico del estadstico se calcula de una manera muy similar a la que se emplea en el clculo del valor t, se divide el valor del coeficiente menos uno por el correspondiente desvo estndar. Este estadstico puede denominarse Dickey-Fuller emprico y denotarse como: D-Femp . En smbolos: D-Femp = ( a 1 -1) / donde denota el desvo estndar del coeficiente a 1 .

Por ejemplo, consideremos 100 observaciones del modelo y supongamos que el valor de a 1 sea 0,96 y que el correspondiente desvo estndar fuera 0,025.

Entonces: D-Femp = (0,96-1)/ 0,025= - 1,6 donde D-Femp . Esto significa que se halla a 1,6 unidades de desvo estndar de cero. La pregunta es si esta distancia est lo suficientemente lejos de cero para sostener la idea de que el proceso es estacionario, es decir, no posee tendencia estocstica.

Para verificar esta hiptesis se requiere contrastar el valor emprico con el valor terico de la distribucin. Como se haba mencionado los tests t no eran vlidos por la presencia de races unitarias que tornaban infinitas a las varianzas, entonces los valores tericos fueron obtenidos por D. Dickey y W. Fuller mediante simulaciones, utilizando mtodos de Montecarlo. Efectuando miles de pruebas obtuvieron los valores crticos que permiten realizar el contraste. Estos valores que dependen del tamao de la muestra y del nivel de significacin deseado, estn sintetizados en tablas correspondientes a los casos a), b) y c) cuyos encabezamientos corresponden a los estadsticos y , respectivamente.

En el caso que nos ocupa como la regresin no posee constante ni tendencia determinstica se debe utilizar el estadstico y a continuacin se transcribe la parte de la tabla correspondiente a nuestro ejemplo.

Probabilidad

Tamao de muestra 0,01 0,025 0,05 0,10 0,90 0,95 0,975 0,99

100 -2,60 -2,24 -1,95 -1,61 0,90 1,29 1,64 2,03

Por ejemplo, si consideramos el nivel de significacin del 5% el valor terico es -1,95 en tanto que el valor emprico es -1,60. Esto significa que no est lo suficientemente lejos de cero o lo que es idntico a 1 no est lo suficientemente lejos de uno, de manera que no se puede concluir, al nivel de 5% , que la serie sea estacionaria.

Como segundo ejemplo se construy mediante el Eviews una serie de 100 observaciones elaboradas mediante el modelo donde es ruido blanco normal.

A continuacin se muestran los resultados al estimar el modelo mediante un AR(1) y el test de races unitarias de Dickey-Fuller. Este se obtiene directamente en el Eviews a partir de los datos haciendo click con el mouse en View y luego en Unit Root Test. El Eviews permite seleccionar manualmente o automticamente el nmero de rezagos, en este caso se utiliz la seleccin automtica y en el tipo de test se seleccion Dickey Fuller GLS.

Los resultados de la regresin son los siguientes:

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

Y(-1)0.9489090.03194229.707130.0000

R-squared0.873593Mean dependent var1.296316

Adjusted R-squared0.873593S.D. dependent var2.532277

S.E. of regression0.900320Akaike info criterion2.637917

Sum squared resid79.43649Schwarz criterion2.664130

Log likelihood-129.5769Hannan-Quinn criter.2.648523

Durbin-Watson stat2.153526

Null Hypothesis: Y has a unit root

Exogenous: Constant

Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)

t-Statistic

Elliott-Rothenberg-Stock DF-GLS test statistic-1.687780

Test critical values:1% level-2.588530

5% level-1.944105

10% level-1.614596

El valor del estadstico D-Femp es (0,948909-1) / 0,031942 = -1,5995. Se comprueba que la serie no es estacionaria al nivel de 5%. En el Eviews el valor D-Femp es -1,687780 porque utiliza un procedimiento de clculo ms adecuado.

Como tercer ejemplo se analizarn 100 observaciones construidas mediante el Eviews del modelo donde el trmino de perturbacin es ruido blanco normal de varianza unitaria. La construccin es similar al caso anterior con la salvedad de que se agrega la constante y la tendencia, esta ltima se puede generar mediante la instruccin @trend.

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 El grfico presenta una clara tendencia determinstica y por este motivo se incluir en la regresin un trmino de tendencia que est representado por z.

El valor de D-Femp es (0,708744 1) / 0,071516 = - 4,0725 . Si se lo compara con los valores crticos de la prueba se aprecia que ese valor es significativamente distinto de cero al nivel de 1%, de modo que puede concluirse que la prueba no presenta evidencias de raz unitaria al nivel de 1%.

La estimacin de los coeficientes se presenta seguidamente. Como no hay evidencia de races unitarias, los tests t y F son vlidos.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C1.1384860.2211165.1488260.0000

Y(-1)0.7087440.0715169.9102510.0000

Z0.2309950.0568454.0635800.0001

R-squared0.998038Mean dependent var41.94147

Adjusted R-squared0.997997S.D. dependent var23.05832

S.E. of regression1.031945Akaike info criterion2.930309

Sum squared resid103.2964Schwarz criterion3.008464

Log likelihood-143.5155Hannan-Quinn criter.2.961940

F-statistic24665.75Durbin-Watson stat2.280210

Prob(F-statistic)0.000000

Null Hypothesis: Y has a unit root

Exogenous: Constant, Linear Trend

Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)

t-Statistic

Elliott-Rothenberg-Stock DF-GLS test statistic-3.664931

Test critical values:1% level-3.580000

5% level-3.030000

10% level-2.740000

*Elliott-Rothenberg-Stock (1996, Table 1)

5.4. Extensiones del test de Dickey-Fuller .

El test de Dickey-Fuller analizado en el punto anterior considera que los errores son independientes y que su varianza es constante. Se aplica a los modelos autorregresivos de orden uno con una raz unitaria.

Pero la prueba debe ser modificada cuando haya que considerar procesos autoregresivos de orden p, o bien cuando se incorporan trminos de medias mviles, o cuando las series poseen ms de una raz unitaria o cuando se relajan los supuestos acerca de la independencia de los errores y se permite que su varianza sea heterocedstica.

Estas modificaciones, excepto la que se refiere a la independencia de los errores y su varianza heterocedstica encuadran dentro de lo que se suele denominar Test de Dickey Fuller aumentado en tanto que dicha excepcin fue analizada por dos estadsticos P. Phillips y P. Perron mediante los tests que llevan su nombre.

5.4.1. El modelo AR(p).En primer trmino ser considerado el caso de un modelo AR (p) en el que:

yt = a0 + a1 yt -1+ a2 yt -2 ++ ap-2 yt p+2 + ap-1 yt p+1 + ap yt -p + t Para aplicar el test de D-F se debe transformar esta ecuacin en una ecuacin con diferencias. Esto se logra sumando y restando trminos. Por ejemplo si se suma y se resta ap yt p-1 la ecuacin anterior resulta: yt = a0 + a1 yt -1+ a2 yt -2 ++ ap-2 yt p+2 + ( ap-1 + ap ) yt p+1 - ap yt p+1 + tSi ahora se suma y se resta ( ap-1 + ap ) yt p+2 la ecuacin queda: yt = a0 + a1 yt -1+ a2 yt -2 +- (ap-1 + ap ) yt p+2 - ap yt p+1 + t

En el prximo paso habr que sumar y restar ( ap-2 + ap-1 + ap ) yt p+3 y la ecuacin resulta:

yt = a0 + a1 yt -1+ -( ap-2 + ap-1 + ap ) yt p+3 - (ap-1 + ap ) yt p+2 - ap yt p+1 + t

Si se contina el procedimiento se obtiene:

donde: ; .

En esta ecuacin el coeficiente de inters es . Si = 0, entonces la suma de los coeficientes es igual a uno y es indicio de que existe una raz unitaria. El resto de los coeficientes pertenecen a una ecuacin con primeras diferencias y por lo tanto habr una sola raz unitaria, la que corresponde a . El test se ha transformado en uno de los ya vistos. Si la ecuacin no posee ni constante ni pendiente determinstica se debe utlizar el estadstico si posee constante pero no tendencia determinstica se debe utilizar y si posee constante y tendencia determinstica se debe utilizar .

Sin embargo, el empleo del test de Dickey-Fuller aumentado (ADF) entraa problemas adicionales: en primer trmino se debe decidir qu variables exgenas intervienen en la ecuacin, despus, si se incluye una constante o una constante y una tendencia determinstica o ninguna de ellas y tambin debe determinarse el nmero de rezagos o lags que se incorporarn en el proceso autoregresivo.

Un procedimiento para determinar el nmero de rezagos a incorporar es partir con el modelo ms general posible e ir descartando coeficientes de acuerdo con los resultados de las pruebas, aunque debe tenerse en cuenta que incluir variables no relevantes en el modelo reduce la potencia de los tests. El nmero de lags debe ser suficiente para eliminar la autocorrelacin de los residuos, es decir para que estos sean ruido blanco. Una discusin ms detallada se puede encontrar en Time Series Analysis, J. Hamilton, Princeton 1994.

El Eviews suministra tanto un procedimiento manual como uno automtico para determinar el nmero de rezagos.

A modo de ejemplo se analizarn 200 observaciones construidas mediante el modelo yt =0,05 + 0,305 yt -1+ 0,703 yt -2 + t . Las perturbaciones son ruido blanco normal de varianza unitaria.

El grfico de la serie se presenta a continuacin.

Ahora bien, prescindiendo del conocimiento que nosotros tenemos del modelo por haberlo construdo, la pregunta que debemos formularnos es si es estacionario o no. El grfico de la serie muestra a esta como un camino aleatorio as que presumiblemente contendr una raz unitaria. Pero esta presuncin requiere ser confirmada.

Esto puede hacerse mediante el test de Dickey- Fuller en su versin automatizada pero se plantea el problema de si se debe incluir en el modelo una constante o una tendencia determinstica o ambas. La tendencia determinstica no podra ser descartada a partir de la observacin del grfico y tampoco hay alguna manera confiable de saber si se debe incorporar la constante o no, por lo que resulta necesario estimar el modelo.

Despus de varios ensayos un modelo adecuado result:

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

Y(-1)0.4177310.0596816.9994140.0000

Y(-2)0.5900210.0601929.8023480.0000

R-squared0.959510Mean dependent var8.893956

Adjusted R-squared0.959303S.D. dependent var4.794246

S.E. of regression0.967163Akaike info criterion2.781150

Sum squared resid183.3393Schwarz criterion2.814365

Log likelihood-273.3339Hannan-Quinn rter.2.794595

Durbin-Watson stat2.013953

El correlograma de los residuos que se presenta seguidamente muestra que estos son ruido blanco.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

.|. |.|. |1-0.027-0.0270.14610.702

.|. |.|. |20.0160.0150.19740.906

.|. |.|. |30.0490.0500.68030.878

*|. |*|. |4-0.095-0.0932.51400.642

.|. |.|. |5-0.003-0.0102.51610.774

.|. |.|. |60.0230.0242.62740.854

.|. |.|. |70.0000.0112.62740.917

.|. |.|. |80.0180.0092.69560.952

.|. |.|. |9-0.051-0.0553.24240.954

.|. |.|. |10-0.014-0.0133.28190.974

De acuerdo con estos resultados es factible efectuar el test DFA para verificar si la serie es estacionaria o no.

Se emple el comando Unit Root Test incluido en View. Se eligi Augmented Dickey Fuller y la seleccin fue automtica. Para determinar la mejor regresin se seleccion el criterio de informacin de Schwarz (SIC) que compara distintos modelos con hasta 14 rezagos y no se incluyeron, debido a los resultados de la regresin, ni la tendencia determinstica ni la constante.

A partir del test DFA se puede apreciar la presencia de una raz unitaria en los niveles de significacin de 1%, 5% y 10%.

t-StatisticProb.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic1.1226490.9321

Test critical values:1% level-2.576693

5% level-1.942439

10% level-1.615633

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

5.4.2. El modelo ARIMA (p,1,q).El proceso contiene trminos AR y MA invertibles, es un proceso ARMA con una raz unitaria, de all la denominacin de ARIMA (p,1,q) con la que se lo denota. Si el proceso contiene trminos MA invertibles, estos trminos, como hemos sealado en el punto 2.4. Los modelos de promedios mviles, pueden ser convertidos en un proceso AR () y de esta manera el anlisis se puede llevar a cabo aplicando algunas modificaciones a las tcnicas desarrolladas por Dickey y Fuller.

Por ejemplo, supongamos que la sucesin {yt }es generada por el proceso mixto:

A (L) yt = B (L) t

donde: A (L) = 1 - a1 L - a2 L2 - ..- ap Lp y B (L) = 1 - b1 L - b2 L2 - ..- bq Lq .

Si el proceso MA es invertible, es decir las races de B (L) se hallan fuera del crculo unitario o lo que es anlogo los coeficientes b i son menores que uno en valor absoluto se puede escribir: y si se hace resulta: .

Si bien D ( L ) es un polinomio de orden infinito se puede utilizar la misma tcnica empleada en el punto anterior, sumando y restando trminos, para obtener un modelo con diferencias autoregresivo de orden infinito:

La estimacin no puede efectuarse de esta manera puesto que se trata de un AR (). Pero como un ARIMA (p, 1, q) puede aproximarse por un ARIMA (n, 1, 0) donde n T / 3 donde T es el nmero de observaciones, se puede escribir: .

A este proceso se le puede aplicar como antes el test de Dickey Fuller para verificar si existe una raz unitaria y la prueba se efecta empleando los estadsticos si no posee ni constante ni tendencia determinstica, si posee constante pero no tendencia determinstica y se debe utilizar si posee constante y tendencia determinstica. Con el Eviews no se necesita generar la ecuacin con diferencias ya que el programa puede resolver directamente el caso.

Tambin, como en el caso anterior, se debe decidir qu variables exgenas intervienen en la ecuacin, si se incluye una constante o una constante y una tendencia determinstica o ninguna de ellas y tambin se debe determinar el nmero de rezagos o lags que se incorporarn en el proceso autoregresivo. Probablemente la mejor solucin sea un procedimiento sistemtico de prueba y error utilizando cuando corresponda, los estadsticos t, F para chequear los modelos tentativos. Los criterios de informacin tales como el de Schwarz y el de Akaike y el correlograma de los residuos permiten comparar la perfomance de esos modelos y verificar si aquellos son ruido blanco. La idea que debe prevalecer en la seleccin y estimacin del modelo es que subyace un proceso generador de los datos que se debe desentraar y que la forma de hacerlo es mediante un mecanismo de feedback entre hiptesis y conjeturas y los mismos datos para obtener una versin cada vez ms ajustada, mejor y ms fidedigna. Es, en sntesis, un aspecto ms de la relacin que siempre existe entre teora y prctica.

5.4.3. Races mltiples.

Los casos analizados contienen una sola raz unitaria pero puede suceder que en las series econmico financieras haya ms de una raz unitaria. Aqu consideraremos sucintamente el caso de dos races y no haremos referencia al caso ms general porque en las series econmico financieras casi siempre con dos races bastan. La extensin a ms races excede los lmites de este anlisis y remitimos al lector interesado a la consulta de la bibliografa especfica.

D. Dickey y S. Pantula ( Determining the Order of Differencing in Autoregressive Processes, Journal of Business and Economic Statistics, 1987) proponen un mtodo basado en diferencias sucesivas que extiende el procedimiento bsico para tratar con una raz unitaria.

Si uno sospecha que el mecanismo generador de los datos incluye dos o ms races unitarias entonces Dickey y Pantula proponen estimar la ecuacin con el mayor nmero de races sospechadas ya que resulta ineficiente comenzar la estimacin partiendo de un nmero menor de races.

Para estimar dos races unitarias, siguiendo a Dickey y Pantula se puede desarrollar la ecuacin . Se tiene que cotejar el valor del estadstico D-Femp (el cociente entre y su desvo estndar ) con el correspondiente valor de la tabla ( segn el caso) y determinar si es distinto de cero. La hiptesis nula es H 0 : 1 = 0 y la alternativa es H 1 : 1 < 0. Si uno no puede rechazar la hiptesis nula entonces se concluye que el proceso contiene dos races unitarias y la serie es I (2)., en caso contrario el proceso no contiene dos races unitarias

Si se rechaza H 0 , es decir, el proceso no contiene dos races unitarias, entonces o bien contiene una o no contiene ninguna. En el caso de rechazo de H 0, se pueden efectuar dos pruebas con la ecuacin . En la primer prueba si la hiptesis nula es que el proceso contiene una raz unitaria debe ser 1 < 0 y 2 = 0 y en la segunda, si la hiptesis nula es que el proceso no contiene ninguna raz unitaria, es decir es estacionario, entonces tanto 1 como 2 deben ser distintos de cero.

Si uno considera un proceso AR (p) y utliza el test de Dickey Fuller aumentado los autores proponen estimar .

Para los procesos con mayor nmero de races se puede consultar la publicacin de Dickey y Pantula o bien Applied Time Series Modeling and Forecasting, R. Harris y R. Sollis, Wiley, 2003.

Como ejemplo se analizar el proceso yt = 2 yt-1 - yt-2 + t que ya fue presentado en el punto 3.3. Los modelos ARIMA. Se han construido 100 observaciones y la sucesin t es ruido blanco normal con varianza unitaria. Las instrucciones son: 1) genr alea=nrnd 2) genr y=0 3) genr y=2*y(-2)-y(-1)+alea sample 3 100.

El grfico de la serie que se presenta a continuacin muestra que existe una clara tendencia ascendente.

La tendencia puede ser determinstica o estocstica, de manera que tenemos que analizar modelos alternativos. Se probarn modelos ARMA(p,q) incluyendo o no una tendencia determinstica. Se comenzar con el modelo que se considera ms general ARMA (3, 3) incluyendo una tendencia determinstica, es decir:

Para estimar esta ecuacin se utilizaron sucesivamente los comandos Object New Object Equation y se escribi: y c AR(1) AR(2) AR(3) MA(1) MA(2) MA(3) @trend

Los resultados de la regresin se muestran a continuacin.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C-69.9588833.69010-2.0765410.0407

@TREND3.4564080.5303786.5168770.0000

AR(1)1.2476961.1224101.1116230.2693

AR(2)0.4161092.1921490.1898180.8499

AR(3)-0.6744891.077514-0.6259680.5329

MA(1)0.6524651.1277640.5785480.5644

MA(2)-0.1575400.154276-1.0211570.3099

MA(3)-0.0686520.194734-0.3525430.7253

R-squared0.999932Mean dependent var108.4729

Adjusted R-squared0.999927S.D. dependent var110.4235

S.E. of regression0.944131Akaike info criterion2.801769

Sum squared resid79.33304Schwarz criterion3.014116

Log likelihood-127.8858Hannan-Quinn criter.2.887632

F-statistic187586.9Durbin-Watson stat1.991538

Prob(F-statistic)0.000000

Inverted AR Roots.98+.08i.98-.08i-.70

Inverted MA Roots.35-.26-.74

Como algunos coeficientes presentan valores t no significativos, el modelo fue modificado y finalmente qued:

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C-76.0625537.07945-2.0513400.0430

@TREND3.5530940.5600206.3445870.0000

AR(1)1.9358980.03234059.861040.0000

AR(2)-0.9423570.031785-29.647560.0000

R-squared0.999931Mean dependent var107.3682

Adjusted R-squared0.999929S.D. dependent var110.3959

S.E. of regression0.928908Akaike info criterion2.730346

Sum squared resid81.10977Schwarz criterion2.835855

Log likelihood-129.7869Hannan-Quinn criter.2.773022

F-statistic456647.3Durbin-Watson stat2.050689

Prob(F-statistic)0.000000

Se puede observar que incluye una constante y una tendencia determinstica que no fueron incorporadas cuando se gener la serie. Sin embargo, si se suprime a ambas se obtienen mejores valores de la razn de verosimilitud y del estadstico de Schwarz, motivo por el cual este ltimo modelo ser el adoptado.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

AR(1)1.9844640.02796270.969960.0000

AR(2)-0.9848800.028457-34.609310.0000

R-squared0.999926Mean dependent var107.3682

Adjusted R-squared0.999925S.D. dependent var110.3959

S.E. of regression0.957257Akaike info criterion2.770708

Sum squared resid87.96881Schwarz criterion2.823463

Log likelihood-133.7647Hannan-Quinn rter.2.792046

Durbin-Watson stat1.984448

Inverted AR Roots.99-.02i.99+.02i

Las races de la ecuacin muestran que estn prcticamente sobre el crculo unitario, es decir puede haber dos races unitarias.

El correlograma de los residuos muestra que estos son ruido blanco.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

.|. |.|. |1-0.011-0.0110.01330.908

*|. |*|. |2-0.073-0.0730.55480.758

.|. |.|. |3-0.003-0.0050.55600.906

.|. |.|. |40.0460.0410.77790.941

.|* |.|* |50.1310.1322.58330.764

*|. |*|. |6-0.126-0.1194.27870.639

.|. |.|. |7-0.029-0.0134.36970.736

.|. |.|. |80.0290.0114.46230.813

*|. |*|. |9-0.095-0.1135.46560.792

.|. |.|. |100.0280.0255.55590.851

Con la informacin anterior se proceder a chequear la existencia de races unitarias y el nmero de estas utilizando las pruebas de Dickey-Fuller que suministra el Eviews; primero se efectuar en forma manual y despus se proceder automticamente. Nuestra informacin consiste en que se trata de un proceso autoregresivo de orden dos donde posiblemente existan dos races unitarias.

Se utilizar: con H 0: = 0 (existen dos races unitarias) versus la alternativa H 1: < 0 (no existen dos races unitarias). Para efectuar esta regresin se generaron las series mediante el comando genr dife2=d(y,2) sample 3 100 y la serie mediante la sucesin de instrucciones genr y1=d(y,1) sample 2 100 genr dife1=d(y1,1) sample 3 100. Luego se efectu la regresin de dife2 sobre dife1, la que se presenta a continuacin.

Dependent Variable: DIFE2

Method: Least Squares

Date: 11/25/09 Time: 15:54

Sample: 3 100

Included observations: 98

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

DIFE1-0.0240940.022304-1.0802260.2827

R-squared0.011753Mean dependent var0.011115

Adjusted R-squared0.011753S.D. dependent var0.959258

S.E. of regression0.953604Akaike info criterion2.753016

Sum squared resid88.20801Schwarz criterion2.779393

Log likelihood-133.8978Hannan-Quinn criter.2.763685

Durbin-Watson stat1.962344

El valor del estadstico t es -1,08 motivo por el cual se puede concluir que se verifica H 0: = 0 (existen dos races unitarias) al nivel de 5%, ya que el valor de tabla para ese nivel de significacin es -1,95.

La misma prueba se efectu con el Eviews utilizando el test de Dickey Fuller aumentado escribiendo en la especificacin suministrada por el usuario 0 lags en consonancia con el modelo autoregresivo obtenido. Por otra parte, la estimacin (por defecto) en niveles en el Eviews, corresponde a una estimacin en primeras diferencias de las variables, as que se utiliz la especificacin primeras diferencias para que la variable dependiente pudiera ser considerada como una ecuacin en segundas diferencias tal como lo especificaba el modelo terico. Los resultados se presentan a continuacin.

Se puede apreciar que prcticamente no existen diferencias con los resultados precedentes.

Null Hypothesis: D(Y) has a unit root

Exogenous: None

Lag Length: 0 (Fixed)

t-StatisticProb.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic-1.0802260.2519

Test critical values:1% level-2.588772

5% level-1.944140

10% level-1.614575

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(Y,2)

Method: Least Squares

Date: 11/25/09 Time: 18:23

Sample (adjusted): 3 100

Included observations: 98 after adjustments

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

D(Y(-1))-0.0240940.022304-1.0802260.2827

R-squared0.011753Mean dependent var0.011115

Adjusted R-squared0.011753S.D. dependent var0.959258

S.E. of regression0.953604Akaike info criterion2.753016

Sum squared resid88.20801Schwarz criterion2.779393

Log likelihood-133.8978Hannan-Quinn criter.2.763685

Durbin-Watson stat1.962344

Por ltimo se emple el test de Dickey-Fuller aumentado y se efectu la prueba en primeras diferencias para que la variable dependiente de la ecuacin sea considerada en trminos de segundas diferencias. Los resultados son anlogos a los ya obtenidos. En todos los casos se rechaza H 1 de modo que el modelo presenta dos races unitarias al nivel de significacin de 5%.

t-StatisticProb.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic-1.0802260.2519

Test critical values:1% level-2.588772

5% level-1.944140

10% level-1.614575

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(Y,2)

Method: Least Squares

Date: 11/25/09 Time: 18:00

Sample (adjusted): 3 100

Included observations: 98 after adjustments

5.4.4.Otros tests de races unitarias.

Estos temas exceden los lmites de estas notas motivo por el cual solo sern mencionados y solo se consignar alguna bibliografa.

Las races unitarias pueden aparecer relacionadas con patrones estacionales, las tcnicas estadsticas procuran eliminar la estacionalidad de la serie y someter a prueba la serie desestacionalizada. En The Econometric Analysis of Seasonal Time Series, E. Ghysels y D. Osborn, Cambridge, 2001 se puede hallar un desarrollo del tema.

Los tests de P. Phillips y P. Perron son ms generales que los de Dickey-Fuller porque permiten que los errores posean cierto grado de dependencia y que su varianza sea heterocedstica. El Eviews incluye estos tests.

Adems el Eviews incluye las pruebas de Kwiatoski-Phillips-Schmid-Shin, las de Elliot-Rothenberg y las de Ng-Perron. Una descripcin de las mismas se puede hallar en Unit Roots, Cointegration and Structural Change, G. Maddala y I. Kim, Cambridge, 2000.

5.4.5. Comentarios finales.

La presencia de races unitarias conduce a series con tendencia estocstica que se alejan de sus valores medios, las series no presentan medias constantes y la varianza se torna infinita. En muchos casos las regresiones que incluyen series con tendencia son espreas y el grado de concordancia entre las variables solo refleja la correlacin entre las tendencias. Como ejemplos de tales casos hemos presentado meras asociaciones de ruido blanco cuyos coeficientes eran estadsticamente significativos, de modo que uno puede engaarse si se atiene solamente al cuadro bsico de la regresin y no se plantea la posibilidad de que se presenten races unitarias en el anlisis.

Algunos procedimientos tendientes a eliminar estas correlaciones sin ningn sentido economtrico consisten en diferenciar las series o bien transformarlas en trminos de valores porcentuales o de diferencias de logaritmos para convertirlas en estacionarias.

Pero el problema consiste en distinguir a una serie con races unitarias de una que no las posea y para ello hemos presentado las pruebas de Dickey-Fuller y sus extensiones.

Estos tests de races unitarias estn condicionados por la estimacin adecuada del modelo y los errores de especificacin influyen significativamente en los resultados de las pruebas. Esto hace que estos tests posean baja potencia, es decir una baja capacidad para rechazar hiptesis falsas y muchas veces estas pruebas no distinguen de manera adecuada entre los procesos con races unitarias de los procesos que son estacionarios pero cuyas races estn cerca de uno.

Sin embargo estas son las herramientas disponibles para detectar correlaciones espreas y en lneas generales los tests cumplen con los cometidos para los que fueron diseados si las especificaciones son correctas, de manera que debe colocarse un gran nfasis en la estimacin para que los resultados sean verosmiles. Una interesante discusin acerca de estos puntos se puede hallar en W. Enders, Applied Econometric Time Series, Wiley, 1995.

Ejercicio.

Compruebe si la serie desestacionalizada del producto consignada en el punto 3.4 posee races unitarias. Puede desestacionalizar la serie utilizando el mtodo Census X-12 Arima.

_1320133266.unknown

_1320386024.unknown

_1320391414.unknown

_1320476829.unknown

_1320477436.unknown

_1320650299.unknown

_1320671733.unknown

_1320674649.unknown

_1320674809.unknown

_1320674884.unknown

_1320672075.unknown

_1320674568.unknown

_1320655573.unknown

_1320567628.unknown

_1320568446.unknown

_1320477896.unknown

_1320567293.unknown

_1320476985.unknown

_1320477036.unknown

_1320391837.unknown

_1320391962.unknown

_1320392126.unknown

_1320391444.unknown

_1320390776.unknown

_1320391209.unknown

_1320391179.unknown

_1320386094.unknown

_1320136278.unknown

_1320137637.unknown

_1320139265.unknown

_1320139334.unknown

_1320139253.unknown

_1320136356.unknown

_1320133535.unknown

_1320135238.unknown

_1320133404.unknown

_1320129229.unknown

_1320131107.unknown

_1320131454.unknown

_1320132264.unknown

_1320131187.unknown

_1320131016.unknown

_1320131066.unknown

_1320129230.unknown

_1320127322.unknown

_1320127693.unknown

_1320129086.unknown

_1320127647.unknown

_1320127238.unknown

_1320127276.unknown

_1320127076.unknown

_1320127107.unknown