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Colegio Técnico Nacional “Arq. Raúl María Benítez Perdomo” Matemática Primer Curso Página 1 de 16 Radicación Sea aun número real cualquiera, y nun número natural mayor que 1, se llama raíz n esima de “a” a todo número real x, que satisface la ecuación x n = a. Si la ecuación no tiene solución “a” no tiene raíz n esima. siempre que se verifique Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice Si n = 3, es la raíz cúbica Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que 3a y 3a 81a 4 4 2b 32b 5 5 2 9x no tiene raíz en (Conjunto de números reales) En general se cumple: a) Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces una positiva y otra negativa. Los números reales negativos no tienen raíz n esima cuando n es par. b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n esima del mismo signo que a. Ejemplos Resultados No existe en el conjunto de números reales

Radicación - … · 5) El cociente de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice cuyo radicando es el cociente de los radicandos de los radicales dados. 6)

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Radicación

Sea “a” un número real cualquiera, y “n” un número natural mayor que 1, se

llama raíz n – esima de “a” a todo número real “x”, que satisface la ecuación xn = a.

Si la ecuación no tiene solución “a” no tiene raíz n – esima.

siempre que se verifique

Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice

Si n = 3, es la raíz cúbica

Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente

Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente

natural y base negativa tenemos que

3a y 3a81a4 4

2b32b5 5

29x no tiene raíz en (Conjunto de números

reales)

En general se cumple:

a) Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces una positiva y otra negativa. Los

números reales negativos no tienen raíz n – esima cuando n es par.

b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n – esima del mismo signo que a.

Ejemplos Resultados

No existe en el conjunto

de números reales

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Propiedades

1) Para hallar la raíz enésima de una potencia, se divide el exponente entre el índice,

siempre que la raíz sea exacta.

2) Raíz enésima de un producto, es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de

los factores, siempre que las operaciones sean posibles

√ √

3) El producto de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice, cuyo

radicando es el producto los radicandos de los radicales dados.

√ √

4) Raíz enésima de un cociente, es igual al cociente de las raíces enésimas de cada uno de

sus términos, siempre que las operaciones sean posibles.

5) El cociente de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice cuyo radicando

es el cociente de los radicandos de los radicales dados.

6) El valor de un radical no altera si se multiplican o dividen exactamente por un mismo

número y el exponente.

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7) La raíz enésima “m” de la raíz enésima “n” de un número es igual a la raíz de índice

“mn” de dicho número.

nmm n a a

Hallar las raíces aplicando la propiedad 1:

3 36

48

3 6

4

nm125 )4

nx36 )3

b27 )2

x )1

3 93

4 84

224

4 84

nm64 )8

ba16 )7

zyx64 )6

ba )5

Radicales semejantes

Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando

Reducción de radicales semejantes: se realiza la suma de dos o más radicales semejantes es

otro radical semejante cono ellos, cuyo coeficiente y signo resulta de la suma de los

coeficientes de los radicales dados, con sus respectivos signos

Reducir los radicales semejantes

1) a2a3a4a4

2) cc5ab3ab4

3) 3333 bx4ax3bx4ax2

4) 355733

5) a2a22

3a

2

1a2

3

1

6) a3a38a35

7) 575358510

8) 767871075

9) 36

x3

3

x3

2

x

10) ab3ab5ab2ab 2222

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Simplificación de Radicales

Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión. Reducir un radical es

cambiar su forma sin cambiar su valor.

Un radical queda reducido a su más simple expresión sí:

a) El radicando no contiene factores con exponentes igual o mayor que el índice.

b) El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor común aparte

del 1 (uno)

c) No aparece ninguna fracción dentro del radical,

d) No aparece ningún radical en el denominador de una fracción.

Simplificación

Cuando la cantidad subradical o radicando tiene factores con exponentes mayores o iguales

al índice. En este caso se extraen del radical los factores posibles

Ejemplos

se procede a escribir las potencias de tal forma que el cociente entre el exponente

y el índice sea exacto

= se aplica la regla del producto para extraer los factores del radicando (aquelos

que sean iguales o mayores que el índice)

es la simple expresión

2) 65 yx8 2 Se procede a descomponer en sus factores y se aplica la regla

del producto, al descomponer se disponen los factores de tal

forma que el cociente entre exponente e índice sean enteros

yxx22 2 642

Se aplica la regla del producto para extraer factores del

radicando, aquellos que son mayores o iguales al índice

x2yx 22 321

multiplicando los factores x2yx 4 33

√𝑎

𝑎√𝑎

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Simplificar

1) 3 46ba81

2) 3x20

3) 3 3x16

2

x

4) 4 486 cba64

5) 53nm125

5

4

6) 6 1868 zyx

7) 5 76ba32

2

1

Cuando existe un factor común entre el índice de la raíz y todos los exponentes de los factores

de la cantidad radical. En este caso se dividen el índice y los exponentes por el factor común

(se aplica la propiedad número 6)

Ejemplo

1) 6 8x625

se realizan los mismos pasos que en el ejercicio anterior

6

2x6x45 6

2x45 x como existe entre el índice y los exponentes de los factores

del radicando un factor común dos, se divide entre el factor

común.

2

6

22

x24

5 x 3 x25 x3

x25 x

Simplificar

1) 6 2a36

2) 4 22 yx

3) 6 3y125

4) 8 42 yx16

5) 4 1026 cba25

6) 12 96 yx64

7) 8 8412 cba625

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Cuando dentro del radical existe una fracción

1) 32x

y

no es la forma más simple dado que aparece dentro de la raíz una fracción,

por lo que se procede a amplificar la fracción por una expresión conveniente

de tal forma a que el denominador pueda extraerse de la raíz

3

x2x

xy3

2x

y3

3x

y x

se extrae de la raíz como en los casos anteriores

Simplificar los siguientes radicales

1) x

a

2) 8

a 3

3) 32x

1

4) 3 y9

x 3

5) 42 y61

ax

6) 52 y

x32 3

7) 3

a

x8 a

Simplificar

1) √

2) √

3) 3 73ba27

4) √

5) √

6) √

7) 4b3a

8) 4 6b532a

9) 3 8y654x 2

10) 5 9z1032y

2

3

11) 2ba 50

12) 6 6z927y

4

a

13) 4 8z10y448a 2a

14) 3 9c781a

2

1

15) 4 9z10y 625

5

3

16) 3 9z627y a

17) 6 6z10y 16 2x

18) 5 5z1025y

5

2

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√ 𝑎 + √ 𝑎 √ 𝑎 √ 𝑎 √ 𝑎

Suma y resta con radicales

Lo primero que habrá que hacer es simplificar todos los radicales que sean posibles.

Finalmente se reducen los radicales semejantes (si los hay)

Simplificar: √ + √ √

Primeramente se simplifican los términos

√ + √ √

√ + √ √ se extraen algunos de los factores de las raíces

√ + √ √ se reducen los radicales semejantes

( + )√ √

Ejercicios

1) √ √ + √ + √

2) √ + √

3) √

+ √

4) √ √

5) √ √ √

6) √ √ + √ √

7)

√ √ √

8) √ – √ + √ √

9) √ √ + √

10) √ √

11) √ + √ √ √

Ejercicios de repaso. Simplifica los siguientes radicales

1) 3 24 ba27 2

2) 4 64 ba4

3) 3 35 yx24 a

4) a

2 2

5) 6 69 yx27 2

6) 767871075

7) b7ax20b15ax19

8) 32583506

No olvidemos, que cada

signo de suma y resta me

separa un término de otro

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√ 𝑥

√ 𝑥 𝑦

𝑥 √𝑥 𝑦

=

9) z144yx9z25yx49 22

10) c36ba25c144ba225 22

Multiplicación de radicales

Si los radicales tienen el mismo índice se multiplican los coeficientes

entre sí y las cantidades subradicales simplificando el resultado si es

posible;

√ se multiplican los coeficientes y las cantidades subradicales.

√ y luego se simplifica

Observación, si no se desea descomponer 16, el producto resultante de 2 y 8. Se puede

descomponer cada uno de los factores y luego multiplicar

Halla el producto

1)

2) ab5a122 3b

3) 3 423 2 ba10 a ba4 2

4) 4 334 2 nm n2 nm m2

5) yx49 5

1 50xy

7

3 3 2

6) 3 443 22 ba6

a

1 ba4 a

Si los radicales son compuestos se puede resolver aplicando la propiedad distributiva o como

el producto entre polinomios

Ejemplo 1

Multiplicar 2223275

75 32 2

22

1410 64 222

Simplificando 222

El producto queda: 464 1410

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Ejemplo 2

Multiplicar 3223322

22 33

2 32

222 63

62 236

4 + 6 18

Reduciendo términos semejantes nos queda 622

Resuelve

1) 333325 =

2) ab2cb2a =

3) 233522 =

4) 353352

5) 323323

6) ba2b5a3

7) bba2b2ba

8) Halla el área de:

a) Un cuadrado cuyo lado mide cm62

b) Un rectángulo sabiendo que la base mide cm723 y la altura es de cm7

c) Un trapecio rectángulo sabiendo que las bases miden cm23 y

cm132 respectivamente y su altura es de cm3

d) Un triangulo cuya base mide cm63 y la altura cm34

9) 3 4xy2 3 y2x4

10) b5ab122a3

11) 5 445 2 ya8 ya4

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√ 𝑥 𝑦

√ 𝑥 𝑦

𝑦 √𝑥𝑦

División de radicales

Si los radicales tienen el mismo índice se dividen los coeficientes entre sí y los radicandos

simplificando el resultado si es posible.

Dividir √

se dividen los coeficientes y los radicandos:

se simplifican los radicales

Resolver

1) x2 4x 25

2) 3 xy3 y2x y

3) bca712 cb28a 15 236

4) y x63 z y12x6 234

5) 44 59 xy 5yx 01

Potencia de un radical

Se eleva el coeficiente y el radicando a dicha potencia y luego se simplifica si es posible.

Ejemplo 1: 43 )x3a2(

Elevando a la cuarta el coeficiente y cada factor radicando 3 4x43 4a42

Se puede simplificar el radical, descomponiendo en factores 3

x3x333 4a16

3 x3 x4a48

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Recuerda una expresión algebraica es racional cuando la parte literal no está

afectada del símbolo de radicación, y es irracional cuando existe parte literal que

está afectada por el signo radical.

Ejemplo 2: 2

b2a

Se aplica la regla del cuadrado de un binomio

2

b2a 2b2b2a22

a

Elevando y simplificando b4 ab4a

Resolver

1) ( √

)

2) ( √ )

3) (√ √ )

4) ( √ + √ )

5) ( √ )

6) (√ √ )

Racionalización de denominadores

Racionalizar significa hacer racional una expresión que es irracional

Racionalización del denominador de expresiones algebraicas

Dada una expresión algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama

racionalización del denominador de dicha expresión al proceso por el cual se determina otra

expresión algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la

expresión algebraica dada

Para racionalizar se amplifica la fracción por una expresión llamada factor

racionalizante.

Recuerda: el cuadrado de la suma

de un binomio es igual al cuadrado

del primer término más el doble

producto del primero por el segundo

más el cuadrado del segundo

término

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𝑥

√ 𝑦

𝑥 √ 𝑦

𝑦

Ejemplo 1

Se descompone el radicando y se amplifica la fracción por una expresión conveniente, de tal

manera que el denominador quede una expresión racional.

Entonces

Racionalizar los denominadores

1) x4

23

2) x

3

4 3

3) a b

a3

Ejemplo 2.

1x

1x 2

1x

1x 1x1 x

21x

1x 1x1 x

1x

1x

1x

12x

1x

12x

Simplificando (x + 1), se obtiene

1x 1x

1x

1x 1x1 x

Factor

racionalizante Product

o

Hallamos la

raíz del

denominador

Simplificando

el 2

Factor

racionalizante

Se descompone el

polinomio

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Racionalizar los denominadores

1)

ba

ba 22

2)

xx

xax2x 22

Ejemplo 3:

b a

b2 a

En este caso el factor racionalizante es b a ; se considera que el índice es 2, y

atendiendo que 22 yxyxyx ; es decir se completa el factor que falta para que

su producto sea una diferencia de cuadrados.

b a

b a

b a

b2 a

1a a

1a2 a

Se multiplican los numeradores y los denominadores en tre sí, ba

2bab3a

Racionalizar

1)

y2 x

y x3

2)

3 5

32 53

3)

2 72

23 7

Simplificar

1)

2)

3)

4)

5) √

√ √

6) √ √

√ √

7) √ √

√ √

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Práctico Nº 4

Simplificar

1) yx25 2 24

2) 4 94ba81

3) 3 84 yx24

4) 6 86 yx9

5) 3

x

a

6)

4

8

1

7) y3 x9y3 x5y3 x2

8) x27x45 x20 x3

9) z144 yx9 z25 yx49 22

10) ba20 b12 ab25 a3

2 2

11) cab5 b bca75 a 222

12) b3aba2

13) 2352252

14) ya6 z y2a1 a 234

15) cba5 3 cb5a2 6 235

16) Halla el perímetro y el área de un rectángulo sabiendo que la base mide cm35

y la altura mide cm33

17) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas dimensiones son

cm23 y cm38 ;cm610

18) 4

3 2 cb 2

19) 2

b-a 2

20) 2

322

21) 2

5322

22) a5

2

23) 4x

23

24)

b-a

b2a2

25)

2y x

y4x 22

26) 3 2

2

27)

2 52

235

28)

y x5

y2x

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Ecuaciones con radicales

A las ecuaciones donde la incógnita aparece bajo un signo radical, se las conoce como

ecuaciones irracionales.

Ejemplos 6x72x2 ; 9x6x10

Resolver la ecuación 6x72x2

Para resolver primeramente es necesario racionalizar la expresión irracional, es decir, hacer

que sea racional.

Para ello se despeja la expresión irracional, dejándola en cualquiera de los miembros

x672x2 Luego se eleva ambos miembros a un exponente igual al índice del

radical.

22

2 x672x Se resuelve las operaciones (con este proceso queda

racionalizada la ecuación)

22 xx123672x Se resuelve la ecuación resultante

7236x12xx 22 Despejando la incógnita

36x12 Reduciendo términos semejantes

12

36x

Simplificando

3x Solución de la ecuación, la cual es necesario verificar

Para la verificación se reemplaza el valor obtenido en la ecuación dada, y se verifica si ambos

miembros son iguales

6x72x2 Reemplazamos el valor de x

637232 Resolvemos

639

66 Verifica la igualdad.

Entonces se puede decir que 3x es la solución de la ecuación

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Resolver la siguiente ecuación

9x6x10

Resuelve las siguientes ecuaciones

1) 34 x

2) 6 6y5

3) 105x4x

4) 2y38y9 2

5) xx 3392

6) xxx 8822

7) 35z371z4

8) 9x6x10

9) 10 5x4x

10) 3x2693x2

Al fin terminé la

unidad de radicales