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MATEMÁTICA

RADICACIÓN

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Errores como a 2 + b2 = a + b , preocupan a los profesores, son cuestiones que interesan a los investigadores en educación matemática y, lo más grave es que, continúan despistando a los estudiantes.

Considero que para enfrentar este problema académico se puede establecer una analogía con respecto al abordaje médico: su tratamiento debe ser atendido desde dos enfoques: el preventivo y el correctivo.

Prevenir que se cometa el error, implica preguntarse en qué momento se enfrenta el estudiante por primera vez con expresiones similares.

Al revisar los programas tradicionales de matemáticas de la educación secundaria, encontré que la secuencia se presenta aproximadamente así:

1. A partir de grado séptimo, con el aprendizaje del teorema de Pitágoras, modelo gráfico

(Figura N° 1)

A C

B

a 2

b2

c 2

Figura N° 1

RADICACIÓN

Esta es una muestra del material disponible en el DVD Multimedia Prueba de conocimientosCómpralo Ya, aún estás a tiempo para prepararte y ser admitido en las pruebas de admisión.Esta es una muestra del material disponible en el DVD Multimedia Prueba de conocimientosCómpralo Ya, aún estás a tiempo para prepararte y ser admitido en las pruebas de admisión.

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Se generan las áreas A, B y C y se establecen relaciones entre ellas y no entre las medidas de las longitudes de los lados del triángulo. Un estudiante identifica relaciones como:

a 2 + b2 = c2 y/o a2 + b2 = c

2. En grado octavo se le hace ver al estudiante que: a + b ≥ c .

Además, dentro del tema "Productos notables", el estudiante empieza a manejarexpresiones de la forma:

(a + b)2 = a 2 + 2a ⋅b + b2

3. En grado noveno se trabajan propiedades y ejercicios con exponentes racionales y se lepresentan expresiones como:

1

(a + b) 2 y /o 21

(a 2 + b2 )

4. En grados décimo y undécimo, el estudiante trabaja con diferentes situaciones en lasque puede relacionar entre otros los siguientes conceptos: la jerarquía de lasoperaciones, la propiedad distributiva, el cuadrado de un binomio, el teorema dePitágoras, la suma de las medidas de los catetos y la medida de la hipotenusa y losexponentes racionales.

Para prevenir el error considerado en este artículo, las situaciones de enseñanza que el profesor le proponga al estudiante deben considerar aspectos tales como:

• las relaciones entre los conceptos matemáticos nuevos y los conceptos trabajadospreviamente,

• la integración entre la representación geométrica y la algebraica,

• las diferencias entre la dimensión cuadrada (área) y la dimensión lineal (longitud).

De esta manera, quizás sea posible que los estudiantes en la universidad no cometan este error.

Para corregir, empecé por aceptarlo ante los estudiantes, quienes lo explican así:

a 2 + b2 = a 2 + b2 = a + b

Luego les presenté el siguiente ejercicio con el propósito de que justificaran los planteamientos tercero y quinto:


+58 414-7039135+58 414-7039135




Planteamiento Justificación

1 4 + 5 = 9 Clausurativa de la suma en R

2 42 + 52 = 9 Propiedad de la radicación

3 42 + 52 = 9 ?

4 16 + 25 = 9 Definición de Potenciación

5 41 = 9 ?

Después de una reflexión individual los estudiantes manifestaron los siguientes puntos de vista:

• El planteamiento 5, es falso porque se cometió un error en el planteamiento 3.

• Dado que la raíz no se puede distribuir entonces, a2 + b2 ≠ a + b .

• Debe resolverse siempre primero lo que hay dentro de la raíz.

Conclusión

Fue ventajoso enfrentar al estudiante con el análisis de las situaciones presentadas porque se parte de una igualdad que relaciona tres números determinados, y al aceptar en el planteamiento 3 el error y transformar la correspondiente expresión se llega a una expresión evidentemente falsa, lo que permite que el estudiante empiece a desconfiar de que se cumpla la relación:

a2 + b2 = a + b

El trabajo con otros ejemplos en donde no se cumple la relación, permitieron al estudiante asimilar que tal igualdad no se da.




Las raíces más utilizadas son las que se leen como:

4

Si se desea encontrar los valores de equis ( x ) que satisfacen la igualdad x 2 = 4 , estos son los números 2 y -2 , este hecho se puede comprobar elevando al cuadrado los valores dados y da como resultado 4. A los valores de una incógnita, en este caso x , que satisfacen una igualdad se les denominan raíces, entonces en el caso particular que se trató se puede decir que, equis ( x ) es igual a la raíz cuadrada de 4, y se denota así:

x 2 = 4⇒ x = 4 .

Se utiliza el símbolo para indicar un radical. Generalizando, vemos que la expresión n xm

se lee raíz enésima(n) de equis( x ) a la eme( m ) y sus partes son:

es el signo radical

xm es la cantidad sub-radical

n es el índice del radical. Este debe ser un número entero positivo mayor que uno.

Las raíces surgen como una forma alterna de expresar y resolver potencias, tal como se

mostró en el ejemplo anterior. Ahora piense si se quiere resolver una potencia de exponente

fraccionario, como por ejemplo: 32

4 , resultaría un poco difícil multiplicar 4 (la base) por si

misma 2/3 de veces (el exponente), tal como indica la regla para resolver potencias,

considerando que 2/3 no llega a ser ni siquiera una vez completa. Las raíces ayudan a resolver

este tipo de problema, una potencia de exponente fraccionario se puede escribir como raíz, es

decir, si tenemos nm

x esto es igual a n xm .

De aquí se puede generalizar que la expresión sub-radical consta de una base y un exponente. Para convertirlo en potencia con exponente fraccionario consideramos:

• La base de la potencia es la base de la expresión sub-radical ( x ).

• El numerador del exponente fraccionario es el exponente de la base en la cantidadsub-radical ( m ) y su denominador es el índice del radical ( n ).

OPERACIONES CON RADICALES


+58 414-7039135+58 414-7039135




• Raíz cuadrada ( ), cuando en el índice no se escribe ningún valor, se

sobreentiende que es dos (2)

• Raíz cúbica (3 )

• Raíz cuarta (4 )

• Raíz quinta (5 )

Y así sucesivamente, observe que la lectura de la raíz depende del número que se encuentre en el índice.

Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1: Exprese las siguientes potencias en radicales:

(a) 4 = 4133

(b) (x ) 5 3533 1

5 x= x =

(c) a 5b 5 = = 5 ab( )3ab( )35

33

7 57 252x 7 y 7 = x . y

Ejemplo 2: Ahora expresamos los siguientes radicales como potencias:

(a) 44 37 = 37

(b) a3b3 = ab( )3 = ab( )32

Se considera el caso particular cuando m = 1 , podemos definir la siguiente equivalencia:

Antes de convertir en radical se resolvió el producto de potencias de igual base.

Fíjese que en este ejemplo, se representó cada potencia como un radical distinto ya que los exponentes no son iguales.

En este ejercicio se utilizó una de las propiedades de la potencia. También observe que cuando el índice de la raíz es dos (2), éste no se escribe.

Observe, que antes de convertir en radical se resolvió la potencia de potencia.

EQ. 1 n x =r sí y sólo si x = r n




Ejemplo 3: Hallar el valor de la variable x , que cumplan la igualdad: 3 x = 2

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que:

3 x = 2 ⇔ x = 23 , es decir x = 8 .

Respuesta: x = 8 .

Ejemplo 4: Hallar el valor de la variable x , que cumpla la igualdad: 4 x = 3


4 x = 3 ⇔ x = 34 , es decir x = 81.

Respuesta: x = 81.

Ejemplo 5: Hallar el valor de la variable x, que cumplan la ecuación: 4x = 12


4x = 12 ⇔ 4x = 122 ; 4

4x =144⇒ x = 144⇒ x = 36 .

Respuesta: x = 36 .

Criterio de existencia de la raíz n -ésima de un número, n x :

La raíz n -ésima de un número no siempre es única: en el caso de 4 , se tiene que 2 y − 2 son raíces cuadradas de 4 ; para evitar ambigüedades cuando escribimos 4 nosreferimos a la raíz positiva de 4 y para referirse a la raíz negativa, se escribe: − 4 .

(a) Si el índice n es par y x es positivo, existen dos raíces n -ésimas reales de x , unapositiva y otra negativa. Pero la expresión n x sólo está referida a la positiva. Es decir,las dos raíces n -ésimas de x son n x y − n x .

Sin embargo, los números reales negativos no tienen una raíz real de índice par. Por ejemplo, 81 tiene dos raíces cuadradas, 9 y − 9 , pues 92 = 81 y − 9( )2 = 81, y elnúmero 23 tiene dos raíces cuartas 4 23 y − 4 23 . Sin embargo, − 36 no tiene raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da − 36 . Por lo mismo, –23 no tiene raíz cuarta.

(b) Si el índice n es impar, cualquiera sea el número real, x , positivo o negativo, tieneuna única raíz n -ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de − 27 es− 3 , y 42 tiene una única raíz cúbica denominada 3 42 .


+58 414-7039135+58 414-7039135




Propiedades de los Radicales:

El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto.

Esta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales:

Ejemplo 6: Escriba el siguiente producto de raíces 5 2x ⋅ 5 3y como la raíz de un producto.

Como es un producto de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez, manteniendo el mismo índice y se expresan las cantidades sub-radicales como un producto

5 2x ⋅ 5 3y = 5 2x.3y = 5 6xy

Respuesta: 5 2x ⋅ 5 3y = 5 6xy

El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente.

Esta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales:

Ejemplo 7: Escriba el siguiente cociente de raíces 5

5

36

yx como una la raíz de un cociente.

Como es un cociente de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez manteniendo el mismo índice, y se expresan las cantidades sub-radicales como un cociente.

55

5

36

36

yx

yx= = 5

2yx = 5 2xy −1

Respuesta: 5

5

36

yx = 5 2xy −1

n a ⋅ n b = n a ⋅b

nn

n

ba

ba

=




En este caso, se tiene la potencia de una potencia.

Potencia de una raíz:

Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a potencias que tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas las propiedades de la potenciación.

Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical la cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir:

Ejemplo 8: Resolver (3 x2 )3

(3 x2 )3 = 3 x 2( )3 = 3 x6

Respuesta: ( 33 x2 ) = x3 6

Vamos a explicar el procedimiento para el caso donde la base es un producto de factores, con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 9: Resolver (4 y 3 x )55

⎠4 y3x ⎟⎞⎜⎝⎛ = 4 y3x( )5

= 4 y15x5

Respuesta: ⎟⎠

⎜⎝

5⎛4 y3x ⎞ = 4 y15 x5

Raíz de una raíz:

Esta propiedad se refiere a que bajo un signo radical puede existir otro signo radical, como por

ejemplo 7 y o varios como 5 4 2z . Resolver esto es muy fácil, sólo se deben multiplicar los

índices de los radicales y escribir un nuevo radical con este resultado como índice y se

conservan las cantidades sub-radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la siguiente

forma:

n m a = n⋅m a

(n am) = n am


+58 414-7039135+58 414-7039135




Ejemplo 10: Resolver 3 a5b3

Para la expresión 3 a5b3 , multiplicamos los índices de los radicales dados (3.2=6) y este será el nuevo índice del radical resultante y la cantidad sub-radical se conserva.

Respuesta: 3 a 5b3 = a 5b6 3

Extracción de Factores de un Radical

Extraer factores de un radical significa sacarlos de la raíz. Para que sea posible extraer factores de un radical, es necesario que la cantidad sub-radical sea expresada como factores en forma de potencia y que los exponentes de los factores sean iguales o mayores que el índice del radical. El proceso para extraer factores de una raíz es el siguiente:

Paso 1: se descomponen en factores primos la cantidad sub-radical.

Paso 2: se toman aquellos factores cuyo exponente es mayor o igual al índice de la raíz y se divide el exponente de cada uno de esos factores entre el índice de la raíz. El cociente de la división representa el exponente de la base que se extrae y el residuo es exponente de la base que queda dentro de la raíz.

Veamos a continuación un ejemplo:

Ejemplo 11: Extraiga del radical 3 47 los factores que sean posibles:

Paso 1: Como existe un solo factor, se divide el exponente de la cantidad sub-radical entre el índice de la raiz:

7 ÷ 3 = 2 y residuo 1

Paso 2: Esto nos indica que el factor 4 se extrae de la raíz con exponente 2 y queda dentro con exponente 1

42 ⋅ 3 4

Respuesta: 3 47 = 42 ⋅ 3 4

Ejemplo 12: Extraiga del radical 3 3125x3 los factores que sean posibles.

Paso 1: Se descomponen en factores primos los factores de la cantidad sub-radical

3 3125x3 = 3 55 x3




Se descompone 3125 en sus factores primos y se expresa como potencia.

Se expresa 55 como multiplicación de potencias de igual base, tal que por lo menos uno de los exponentes sea igual al índice de la raíz.

Simplificamos los exponentes.

Paso 2: En este caso se divide 5 (exponente del factor de base 5) entre 3 (índice de la raíz), de donde el cociente es uno, este representa el exponente de la potencia con base 5 que se extrae de la raíz, es decir, la potencia 51=5. El residuo de la división es dos, y representa el exponente de la potencia con base 5 que se queda dentro del radical, lo cual es equivalente a la potencia 52=25.

Por otro lado tenemos que el otro factor es x3 , entonces dividimos el exponente 3 de la potencia x3 entre el índice 3 de la raíz, el cociente es uno y el residuo cero (0), eso significa que se extrae la potencia de base “ x ” con exponente uno (1), es decir, la potencia x1 = x , y no queda ninguna potencia con base x dentro del radical.

Respuesta: 3 3125x3 = 5x 3 52

Otra forma de extraer factores de un radical

Para resolver este tipo de ejercicios, como el Ejemplo 11:, de manera alterna, debemos conocer las propiedades de los radicales.

Ejemplo 13: Extraiga del radical 3 3125x3 los factores que sean posibles.

3 3125x3

= 3 55 x3

= 3 5352 x3

3323

= 53 ⋅53 ⋅ x

3

= 3 53 ⋅ 3 52 ⋅ 3 x3

2

= 51 ⋅5 ⋅ x1 = 5x 3 52

Respuesta: 3 3125x3 = 5x ⋅ 3 25

Ejemplo 14: Extraiga del radical 3x 2 y 6 los factores que sean posibles.

En este ejercicio, el factor “3” no se puede descomponer en factores primos (ya que es un número primo), mientras que para los otros factores, el exponente de la variable x es 2 y el de la variable y es 6, ambos exponentes pueden ser divididos de forma exacta entre el índice de la raíz, 2.


+58 414-7039135+58 414-7039135




Factorizamos la cantidad sub-radical, observe que ahora es un producto notable.

En la cantidad sub-radical se tiene una suma algebraica y no un producto.

Se descompone “8” en sus factores primos: 23

Extracción de factores del radical

3x2 y 6 = xy3 3

Ejemplo 15: Extraiga del radical 3 8x3 y 4 los factores que sean posibles.

3 8x3 y 4 = 3 23 x3 y 4

= 2xy 3 y

Respuesta: 3 8x3 y 4 = 2 xy 3 y

Observación: Cuando la cantidad sub-radical es una suma algebraica no se puede extraer factores, pues no están expresados como factores sino como sumandos. En caso de ser posible, aplicamos algunas reglas algebraicas para expresarlo como factores o potencias. Hay que recordar que factores son todas aquellas expresiones que se multiplican. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 16: Extraiga del radical a2 + 4ab + 4b2 los factores que sean posibles.

a 2 + 4ab + 4b2

= a + 2b( )2

= a + 2b( )2 = a + 2b

Respuesta: a2 + 4ab + 4b2 = a + 2b

Introducción de factores en un radical:

Para introducir un factor en un radical, se escribe este factor dentro de la raíz elevado al índice del radical, manteniendo en el resultado el mismo índice.

Ejemplo 17: Dada la expresión 2a ⋅ 5 ab , introduzca el factor en la raíz

Se introduce el factor dentro del radical: 2a ⋅ 5 ab = 5 2a( )5 ab

Se resuelven las potencias: = 5 32a5ab = 5 32a 6b

Respuesta: 2a ⋅ 5 ab = 5 32a 6b




Introducimos el factor 4x3 en el radical 7 2x2 y6

Convertimos 4 = 22 y multiplicamos potencias de igual base.

Multiplicamos los índices de los radicales.

Ejemplo 18: Resuelva 5 4x3 7 2x2 y6

En este caso no se pueden multiplicar directamente los índices, pues entre las dos raíces hay una expresión. El primer paso debe ser introducir la expresión en la raíz más interna, esto se hace elevando la expresión al índice del radical.

En este caso debemos introducir 4x3 en la raíz 7 2x2 y6 , por lo tanto se eleva 4x3 a la 7, asínos queda: 4x3( )7 .

5 4x3 7 2x 2 y 6 = 5 7 4x3( )7 2x2 y6

= 5 7 47 x212x2 y6 =5 7 215 x23 y6

= 35 215 x 23 y 6

Observe que en este caso no se pueden extraer factores del radical, ya que las potencias de los factores son menores que el índice de la raíz.

Respuesta: 5 4x3 7 2x2 y6 = 35 215 x23 y6

Nota:

Sólo se puede introducir factores en una raíz, no sumandos, es decir si tenemos 5 4x3 + 2x 2 y 6 , 4x3 no es un factor, es un sumando (un término), por lo tanto no se puede introducir dentro de 2x 2 y 6 .

Adición y Sustracción de Radicales:

Para sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser semejantes.

3 4 x y − 7 4 x Son radicales semejantes: ya que el índice es 4 y la cantidad sub-radical es x .

Definición: Dos ó más radicales son semejantes cuando poseen el mismo

índice y la misma cantidad sub-radical, por ejemplo:


+58 414-7039135+58 414-7039135




Son radicales semejantes.

Factor común 3 x

Sumar los coeficientes.

Son radicales semejantes y extraemos el factor común.

5 3 x y 2 6 x No son radicales semejantes: porque los índices de los radicales son distintos, aunque la cantidad sub-radical es la misma.

2 7 x y 2 7 y No son radicales semejantes: porque las cantidades sub-radicales son distintas, aunque los índices de los radicales son iguales.

4 ⋅ 12 3x 2 y 5 ⋅ 12 3x 2 Son radicales semejantes: observe que los coeficientes pueden ser diferentes, pero la cantidad sub-radical y el índice de cada una de las raíces son iguales.

Una vez que hayas aprendido los conceptos de radicales semejantes, puedes seguir los pasos siguientes para sumar o restar radicales:

Paso 1: Verifica que los radicales sean semejantes. Si a simple vista no lo son, trata de extraer factores o realizar algunas operaciones indicadas hasta comprobarlo, si es posible.

Paso 2: Conserva igual la parte radical de las expresiones a sumar (o restar). Luego suma (oo resta) los coeficien s, al hacer esto sólo estás factorizando la expresión por factorcomún.

Ejemplo 19: Resolver 53 x + 7 3 x

53 x + 7 3 x

= 5 + 7( ) 3 x

=12 3 x

Respuesta: 5 3 x + 7 3 x =12 3 x

Nota:

En estos ejercicios, podrás aplicar el proceso de factorización obviando su escritura, y sumar los coeficientes directamente, es decir: 5 3 x + 7 3 x =12 3 x .

Ejemplo 20: Resuelve yyy5

+4

32

46

−

54

32

46 y − y + y = ⎞ y⎟

⎠⎜⎝⎛ −

2+

54

346




Agrupamos términos semejantes.

Extraemos factor común de cada agrupación y sumamos los coeficientes.

= ⎞ y⎟⎠

⎜⎝⎛ − +

60484090

= y6098

= y3049

Respuesta: yy54

32

4+

6 y − = y3049

Ejemplo 21: Resuelve 10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2

10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2

= (10 5 y − 4 5 y )+ (6 3 2 − 2 3 2 )

= 10 − 4( ) 5 y + 6 − 2( ) 3 2 = 6 5 y + 4 3 2

Respuesta: 10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2 = 6 5 y + 4 3 2

Multiplicación y división de radicales con índices diferentes

Cuando los índices de los radicales son diferentes, procedemos a realizar los siguientes pasos:

Paso 1: Se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices, llamado mínimo común índice (m.c.i.), el cual va ser el nuevo índice de cada raíz.

Paso 2: Se divide el m.c.i. entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el exponente de la expresión sub-radical de cada raíz.

Paso 3: Así obtenemos un producto (o división) de raíces de igual índice y terminamos de resolver el ejercicio.

Ejemplo 22: Resuelva 3xy .5 7x 2 y 3

Para resolver el siguiente ejemplo, seguimos las instrucciones siguientes:

Paso 1: Se calcula el mínimo común índice, m.c.i (2,5)= 10. Este es el nuevo índice de cada raíz, por lo tanto los radicales quedan así 10 .10 .

Paso 2: Se divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el exponente de cada cantidad sub-radical.


+58 414-7039135+58 414-7039135




Multiplicación de radicales de igual índice

Extracción de factores de un radical

el m.c.i.(3,12) = 12

Por conversión a radicales de igual índice

Se descompone 9 = 32 y se aplica la propiedad de potencia de potencias:

(94 = (32 )4 = 38 )

Por división de radicales de igual índice

= 7x2 3( )3xy( )10:2 .10 y10:510 = 3xy( )5 .10 (7x2 y3 )210

Paso 3: Ahora tenemos una multiplicación de raíces de igual índice, terminamos de resolver el ejercicio.

= 10 3xy( )5 .10 7x 2 y 3( )2 = 10 35 x5 y5 .10 72 x4 y6

10= 3572 x9 y11

y= 10 3572 x9 y

y= 10 243× 49x9 y

y= 1011.907x9 y Respuesta: 3xy .5 7x 2 y 3 = y 10 11907x9 y

Ejemplo 23: Resuelva 12

6

3

3 9y

z

En la división se utiliza el mismo procedimiento que en la multiplicación.

12

3 6

39

yz

=9z 6( )

12

12 4

3y

=12

12 244

39

yz

=12244

39

yz

=12248

33

yz




División de potencias de igual base


=122437

yz

= 12

73y

z 2 ⋅

= 122.187

yz 2 ⋅

Respuesta: 12

3 6

39

yz

= 122.187

yz 2 ⋅

Ejemplo 24: Resolver )(2 ⋅ 4 xy.3 z 23

4 . ⎟⎠

⎜⎝⎛2 xy 3 z 2 ⎞

3= 23 4 xy( )3 .(3 z2 )3 = 23 z2 (4 xy )3 . = 8z2 4 xy( )3 = 8z 2 ⋅ 4 x3 y 3

Respuesta: ⎟⎠

⎜⎝

⎞3

⎛2 4 xy.3 z 2 =8z 2 4 x3 y3

Ejercicios propuestos:

1. Aplica las propiedades de la radicación a los siguientes ejercicios:

a) 4 2x3 y ⋅ 4 24x2 y 2 ⋅ 4 27x7 y b) 5 7 12

5 3 2

102432

a ta t

c) 6 75

6 246 23

144

3

x y

x y ⋅ 8x y d) 7 373 35

3 547 25

2568138

a ba ba ba b

⋅

⋅

e) ( )3 ( )

( )29 26

4364 23

81

3

x y

⋅ 9 8x yx yf)

(5 6a b )3⋅ ( )

( )35 278 73

58 7547

2536

3

a ba b

a b

⋅

g) 4 3

3 4 43

144

9

x2 y

x yh)

4 75

34 32

25 6 2 7

49

343121

a b

a ba t ⎟⎠⎞

⎜⎝

⎞ ⋅ ⎛⎟⎠

⎜⎝⎛


+58 414-7039135+58 414-7039135




Justifica cada paso, indicando la propiedad que aplicaste.

2. Introduce los factores posibles dentro de los radicales:

a) 2xy 5 ⋅ 4 x2 y c) 7ab5 3 a 2b ⋅ y 2 x4

b) y 2 x 4 ⋅ 9 8 x 6 y 3 d) 11y 2 x4 ⋅ 169x5 y3

3. Indica cuáles de los siguientes radicales son semejantes, aplicando la extracción de factoresen un radical

a) 4x3 ⋅ 4 16x7 y15 ;

b) 4 3

4

5

512

23

y

xyx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

;

c) 7 ⋅12 x3 y6( )5;

d) 9 ⋅ 4 9x5 y( ) 3; ( ) 3

13105 ⎞⎟⎠⎝

e) 6x ⋅ ⎜⎛ 4 x y ; f) 54x3 ⋅ 4 xy 9

4. Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando el procedimiento para la multiplicación y divisiónde radicales con diferentes índices:

a) 4 xy ⋅ 3 2x4 y ⋅ 3x3 y 3 b) 5 3x3 y 2 ⋅ 3 2x2 y5 ⋅ 10 5x2 y3

c)4 3 5

5 3 4

a ta t

d)35

3 426 25

9

2

x y

x y ⋅ 4x y

e) 3 3753

14 537 25

a b ⋅ a ba ba b ⋅

5. Resuelva las siguientes operaciones:

a) 2 m2n − 9m2n + 16mn2 − 4mn2 b) 4 25x 2 y 3 .6 125x 2

c) 9x − 9 + 4x − 4 − 5 x −1 d) 6 18x3 y 4 z 5 ÷ 4 3x 2 y 2 z 3

e) (3 a − 2 a + x )(2 a + 3 a + x )




Multiplicación de radicales


EXPRESIONES CONJUGADAS

Expresiones Conjugadas

La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que permite extraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la expresión es un monomio o un binomio, veamos algunos ejemplos:

Caso A. La conjugada de un monomio: La conjugada de una expresión radical monómica es un radical con el mismo índice y los mismos factores de la expresión sub-radical, de tal manera que los exponentes de estos factores son:

i. La diferencia entre el exponente del factor y el índice en caso de ser este último mayor; o

ii. La diferencia entre el múltiplo del índice que sea inmediatamente mayor al exponente delfactor y este último, en caso de ser el índice menor.

Aclararemos esto con algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Hallar la conjugada de 4 x3 y 2

Observa que en la expresión 4 x3 y 2 los exponentes de “ x ” y “ y ” son 3 y 2 respectivamente (menores que el índice de la raíz) y en la conjugada se eligen como exponentes de “ x ” y “ y ” a 1 y 2 respectivamente, es decir el exponente de “ x ” es igual a 4 – 3 = 1 y el exponente de “ y ” es igual a 4 – 2 = 2.

Luego la conjugada de 4 x3 y 2 es 4 xy2 , ya que al multiplicar las dos expresiones se eliminala raíz:

4 x3 y 2 .4 xy2

Expresión conjugada

Expresión original

= 4 x4 y 4 = xy

Respuesta: La expresión conjugada de 4 x3 y 2 es 4 xy 2

Ejemplo 2: Hallar la expresión conjugada de 6 x5 y 7


+58 414-7039135+58 414-7039135




El exponente del primer factor, “ x ”, es 5, menor que el índice de la raíz (6), luego aplicamos el

caso (i), en la conjugada el factor “ x ” tendrá un exponente igual a la diferencia del índice de la

raíz y el exponente de x , es decir, 6 - 5 = 1. El segundo factor, “ y ”, tiene un exponente igual

a 7, mayor que el índice de la raíz, por lo tanto el exponente del factor “y” (caso ii) en la

expresión conjugada, será la diferencia de un múltiplo de 6 (inmediatamente mayor a 7) y el

exponente del factor “ y ”, es decir, 12 - 7 = 5.

Respuesta: Luego la expresión conjugada de 6 x5 y7 es 6 x y5 .

Una alternativa para hallar la conjugada de un monomio, cuando el exponente de uno de los factores es mayor que el índice de la raíz, será extraer de la raíz los factores posibles y luego aplicar el caso (i) para hallar la expresión conjugada del radical resultante. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3: Hallar la expresión conjugada para 3 x4 y13

Primero extraemos los factores de la raíz 3 x4 y13

3 x4 y13 = 3 x3x y12 y = x ⋅ y4 3 x y ;

ahora hallamos la conjugada de 3 x y

que es 3 x2 y2

Respuesta: La conjugada del monomio 3 x4 y13 es 3 x2 y2

Ejemplo 4: Hallar la conjugada de la expresión 5 x − 5( )2 .

La conjugada de la expresión 5 x − 5( )2 es 5 x − 5( )3 .

Fíjate que sólo la cantidad sub-radical es un binomio, la expresión como tal 5 x − 5( )2 es unmonomio (Si olvidaste lo que es un monomio y binomio, consulta la Unidad 2).

Nota:

En general, cuando tenemos un solo radical, la conjugada de dicha expresión se trata como un monomio, independiente de la característica de la cantidad sub-radical.

Ejemplo 5: Hallar la conjugada de la expresión 4 t + 4

Como estamos ante un monomio (aunque la cantidad sub-radical es un binomio) para hallar la conjugada tomamos la cantidad sub-radical como un solo elemento, que en este caso es t + 4 con exponente 1, por lo tanto su conjugada sería: 4 (t + 4)3




Respuesta: La conjugada de 4 (t + 4) es 4 (t + 4)3

Ejemplo 6: Hallar la conjugada de la expresión x 2 + h

La conjugada de x 2 + h es ella misma, es decir, cuando el índice de la raíz es 2 y es la raíz cuadrada de una expresión (monómica, binómica o polinómica), su conjugada es ella misma. Por lo tanto, la conjugada de x 2 + h es x 2 + h .

Respuesta: La conjugada de x 2 + h es x 2 + h

Ejemplo 7: Hallar la conjugada de la expresión 5 (x +1+ h)2

Para hallar la conjugada de 5 (x +1+ h)2 observamos que tenemos como cantidad sub-radical, un trinomio con exponente 2, por lo tanto la conjugada será la raíz quinta del trinomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del trinomio, es decir, la conjugada será:

5 (x +1+ h)5−2 = 5 (x +1+ h)3

Respuesta: La conjugada de

5 (x +1+ h)2 es 5 (x +1+ h)3

Ejemplo 8: Hallar la conjugada de la expresión 6 (x − h)2 − z

Como sólo aparece un radical, atenderemos a la nota del Ejemplo 4:. Para hallar la conjugada de 6 (x − h)2 − z observamos que tenemos como cantidad sub-radical un binomio, dos términos (x − h)2 ,y z y el exponente del binomio es 1, es decir, ((x − h)2 − z)1 . Por lo tanto laconjugada será la raíz sexta del binomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del binomio:

6 ((x − h)2 − z)6−1 = 6 ((x − h)2 − z)5

Respuesta: La conjugada de 6 (x − h)2 − z es 6 ((x − h)2 − z)5

Caso B. La conjugada de un binomio: en los siguientes casos, tendremos al menos un radical como parte de un binomio en la expresión.

Para expresiones binómicas con radicales de índice dos (2), tales como a + b y a − b , aplicaremos el producto notable de la suma por la diferencia para obtener la

diferencia de los cuadrados de los términos ((x − y)⋅ (x + y) = x 2 − y 2 ) y así eliminar lasraíces:


+58 414-7039135+58 414-7039135




i. La conjugada de a + b es a − b ya que al multiplicar las dos expresiones,

( a + b) ⋅ ( a − b) = ( a )2 − ( b)2 = a − b

ii. Así mismo la conjugada de a − b es a + b , al multiplicarlos:

( a − b) ⋅ ( a + b) = ( a )2 − ( b)2 = a − b

Observa que para las expresiones binómicas con radicales de índice 2, su conjugada contiene los mismos términos pero, cambiando el signo de la operación entre ellos.

Ejemplo 9: Hallar la expresión conjugada de 2x + 3 y comprobar su respuesta.

La expresión conjugada de 2x + 3 es 2x − 3

Veamos ahora el producto entre ellas:

( 2x + 3 ) ⋅ ( 2x − 3) =

= ( 2x )⋅ ( 2x )− ( 2x )⋅ ( 3)+ ( 3)⋅ ( 2x )− ( 3)⋅ ( 3)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2x − 2x ⋅ 3 + 3 ⋅ 2x − 3

= ( ) ( )22x − 3

2= 2x − 3

Respuesta: La conjugada de 2x + 3 es 2x − 3 y el producto ( 2x + 3 ) ⋅ ( 2x − 3) = 2x − 3

Ejemplo 10: Hallar la expresión conjugada de 7 − 5 y comprobar su respuesta.

La expresión conjugada de 7 − 5 es 7 + 5


( 7 − 5 ) ⋅ ( 7 + 5) =

= ( ) ( )227 − 5 = 7 − 5 = 2

Ejemplo 11: Hallar la expresión conjugada de xy + 3z y multiplicarlas entre sí

Observa que uno de los términos del binomio es un radical, mientras que el otro término no

tiene radical, entonces:

la conjugada de xy + 3z es xy − 3z .





La conjugada de 3 x + a − 3 x es 3 (x + a)2 + 3 (x + a) ⋅ (x) + 3 (x)2 .

2 2

( xy + 3z ) ⋅ ( xy − 3z)

= ( ) 22xy − 3z( ) = xy − 9z 2

Para expresiones binómicas con radicales de índice tres (3), tales como 3 a − 3 b y

3 a + 3 b aplicamos los siguientes productos notables:

(x − y) ⋅ (x 2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3 y (x + y) ⋅ (x 2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3

i. La conjugada de 3 a − 3 b es a3 2 + 3 a ⋅b + b3 2 ,

Pues al multiplicar las dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

(3 a − 3 b) ⋅ (3 a 2 + 3 a ⋅b + 3 b 2 ) = (3 a )3 − (3 b)3 = a − b

ii. Así mismo la conjugada de 3 a + 3 b es a3 2 − 3 a ⋅b + b3 2

y al multiplicarlos:

( 3 a + 3 b ) ⋅ (3 a 2 − 3 a ⋅b + 3 b2 ) = (3 a )3 + (3 b)3 = a + b

Ejemplo 12: Hallar la expresión conjugada de 3 5x − 3 2z y multiplicarlas entre sí.

La conjugada de 3 5x − 3 2z es 3 (5x)2 + 3 (5x) ⋅ (2z) + 3 (2z)2 .


( 3 5x − 3 2z ) ⋅ (3 (5x)2 + 3 (5x) ⋅ (2z) + 3 (2z)2 )

Aplicamos la propiedad distributiva del producto y nos queda:

= 3 (5x)3 + 3 (5x)2 ⋅ (2z) + 3 (5x) ⋅ (2z)2 − 3 (5x)2 ⋅ (2z) − 3 (5x) ⋅ (2z)2 − 3 (2z)3

Simplificamos los términos semejantes y nos queda:

= 3 (5x)3 − 3 (2z)3 = 5x − 2z

Ejemplo 13: Hallar la expresión conjugada de 3 x + a − 3 x .


+58 414-7039135+58 414-7039135




Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:

( 3 x + a − 3 x ) ⋅ (3 (x + a)2 + 3 (x + a) ⋅ (x) + 3 (x)2 )

= (x + a) − x = a

Para expresiones binómicas con radicales de índice cuatro (4), tales como 4 a − 4 b y

4 a + 4 b aplicamos los siguiente productos notables:

y (x − y) ⋅ (x3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) = x 4 − y 4

(x + y) ⋅ (x3 − x 2 y + xy 2 − y 3 ) = x 4 − y 4

i. La conjugada de 4 a − 4 b es 4 a3 + 4 a 2 ⋅b + 4 a ⋅b2 + 4 b3 , pues al multiplicar las dos

expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

(4 a − 4 b) ⋅ (4 a3 + 4 a 2 ⋅b + 4 a ⋅b2 + 4 b3 )

= (4 a )4 − (4 b)4 = a − b

ii. Así mismo la conjugada de 4 a + 4 b es 4 a3 − 4 a 2 ⋅b + 4 a ⋅b2 − 4 b3 y al multiplicarlos:

( 4 a + 4 b ) ⋅ (4 a3 − 4 a 2 ⋅b + 4 a ⋅b 2 − 4 b3 )

= (4 a )4 − (4 b)4 = a − b

Ejemplo 14: Hallar la expresión conjugada de 4 3x +1 − 4 3x .

La conjugada de 4 3x +1 − 4 3x es 4 (3x +1)3 + 4 (3x +1)2 (3x) + 4 (3x +1)(3x)2 + 4 (3x)3

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:

( 4 3x +1 − 4 3x ) ⋅ (4 (3x +1)3 + 4 (3x +1)2 (3x) + 4 (3x +1)(3x)2 + 4 (3x)3 )

= (3x +1) − 3x =1

Racionalización

Racionalizar significa eliminar la presencia de radicales bien sea en el numerador o en el denominador, utilizando procesos matemáticos. Este proceso (racionalización) en principio




Respuesta: 4

2 4

Se multiplica y divide por la conjugada del denominador.

Multiplicación de fracciones.

Multiplicación de radicales de igual índice en el denominador.

Extracción de factores en el denominador.

requiere que la expresión dada sea multiplicada y dividida por la conjugada del numerador o denominador (depende de cuál de estas partes se quiera racionalizar). Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 15: Racionaliza el denominador de 3 2

1ab

y simplifica el resultado de ser posible.

3 2ab=

3 21 1

ab.

3 222

23 22

22

a ba b

3 2223

3 222

2ab. 221.

a ba b

=

3 333

3 222

22

a ba b

=

=ab2

3 4a2b2

Respuesta: 3 2

1ab

= ab2

3 4a2b2

Ejemplo 16: Racionaliza el denominador de4 2

2

213

xx−

y simplifica el resultado de ser posible.

Para racionalizar la expresión 4 2

2

213

xx−

tenemos que dividir y multiplicar por la conjugada del

denominador, que es un monomio.

4 221 x−=

4 2

3x2 3x 2

21 x−.

( ))(4 32

4 2 3

21

21

x

x

−

−

= ( )

( )4 42

2 4 2 3

21

213

x

xx

−

− =

( − x2 )2

2 4 3

21

213

x

x

−

2

2

213

xx−

= − x2( )

2

2 4 3

21

213

x

x

−


+58 414-7039135+58 414-7039135




Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

Extracción de factores

Ejemplo 17: Racionaliza el denominador de 5 624

2

x y

x2 xy y simplifica el resultado de ser posible.

Para racionalizar la expresión 5 624

2

x y

x 2 xy, aplicaremos los siguientes pasos:

=5 624

2

x y

x2 xy.

5 43

5 43

x y

x y

=5 105

10 86552

4

2

x y

x y x yx

⋅

⋅ = 2

10 13112

42

xyx ⋅ x y

= 2

3

42

xyx2xy ⋅ 10 xy

= 2

3

42

xyx3 y ⋅ 10 xy

= y

x 2 10 xy2

3

Respuesta: 5 624

2

x y

x2 xy =

yx

2

2 ⋅ 10 xy3

Ejemplo 18: Racionaliza el denominador 23

2−

y simplifica si es posible.

232−

=23

2−

.+ 23

23+

=)

( 2 () 2 )332(3+ 2

+− =

22

32

6 + 2 2

− 296 + 2 2

−⇒ =

76 + 2 2

Respuesta: 23

2−

=7

6 + 2 2

Ejemplo 19: Racionaliza el denominador + 3

3

3233−

, simplifica si es posible.




Multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador.

Se aplica la propiedad distributiva en el numerador y se resuelve el denominador.

Se agrupan los términos semejantes

Por ser 3 8 = 2

Primero convertimos el denominador como un binomio de raíces con el mismo índice:

2 + 3 3 = 3 8 + 3 3 , entonces nos queda:

+ 3

3

3233−

+ 3=

3

3

3833−

+ 3=

3

3

3833−

.8 ⋅3 + 3 )( 88 ⋅3 + 3 )( 8

3 233 2

3 233 2

−

−

=8 ⋅3 + 3 )(3 8 + 3 3) ⋅ ( 8

8 ⋅3 + 3 )(3− 3 3) ⋅ ( 823323

2333 2

−

−

333 (3 3)( 8)(3 ⋅ 3 64 − 3 ⋅ 3 24 + 3 ⋅ 3 9 − 3 3 ⋅ 3 64 + 3 3 ⋅ 3 24 − 3 3 ⋅ 3 9)

+=

Multiplicación de radicales y extracción de factores:

64 3 433 == y 4 3 24 = 3 8 ⋅3 = 23 3 ⋅3 = 3 23 ⋅ 3 3 = 2 ⋅ 3 3

+ 38(3 3 3 9)+ 3 ⋅ 3 9 − 3 3 ⋅ 4 + 3 3 ⋅ 24 − 3 3 ⋅⋅ 4 − 3 ⋅ 2 ⋅

=

(12 − 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 9 − 4 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 9 − 3)11

=

(9 −10 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 9)11

=

Respuesta: + 3

3

3233− (9 −10 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 9)

11 =


+58 414-7039135+58 414-7039135




Ejemplo 20: Racionaliza el numerador de x

x + 3 − 3, simplifica si es posible.

xx + 3 − 3

= ⋅−

xx 3+ 3

3+ 33+ 3

++

xx

( )( )3 + 3)(

3+ 33+ 3+

+−=

xxxx

=( 2)2

3+ 33+ 3

xx xx

+−

=xx x

x3+ 3

9+ 3+−

= xx x

x3+ 3

6+

−

Respuesta: x

x + 3 − 3=

xx xx

3+ 36+

−

Ejemplo 21: Racionaliza el numerador x h( )

h+ 2 +1 − x2 +1

, simplifica si es posible.

Multiplicamos y dividimos la expresión x h( )

h+ 2 +1 − x2 +1

, por la conjugada del numerador.

x h( )h

+ 2 +1 − x2 +1=

x h( )h

+ 2 +1 − x2 +1.

x + h( )1x + h( )2 +1

112

22

++

+++

x

x

(=

)2 − ( x 2 +1)) ⎞⎟

⎠+++ 11

)2 +1(22

2

xh⎜⎝⎛ x( + h

x + h =

(x + h)) ⎟

⎠⎞

⎝⎛ +++

+

11

1− (x2 +1)22

2

xh⎜ x( + h

Desarrollamos el producto notable (x + h)2 en el numerador

=) ⎟

⎠⎞

⎝⎛ +++

−+1−

11

1+ 222

222

xh⎜ x( + h

xxh + hx

Este es el signo que cambia, no el signo que está

bajo el radical

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador.




Factorizamos y simplificamos

Es conveniente comenzar por descomponer en factores primos, la cantidad sub-radical, 27 = 33.

=x h( ) ⎟

⎠⎞

⎝⎛ ++h⎜ + 11

222

2

x

xh + h

=

+

)⎞⎟⎠

+++ 11 x 2h⎜⎝⎛ x + h( )2

h 2x( + h =

1x + h( )2 +1

22 ++ x

x + h

Respuesta: x h( )

h+ 2 +1 − x2 +1

=1x h( )2 +1

22 +++ x

x + h

Ejemplo 22: Racionaliza el numerador de12

4 27, simplifica si es posible.

12

4 27

Se multiplica y se divide por la conjugada del numerador y se realizan las operaciones sobres

los radicales.

=12

4 33

.4

4

33

= 4 4

124 33

= 124 3

3 =

44 31

Respuesta: 12

4 27=

44 31

Ejemplo 23: Racionaliza el numerador de 5 − 4 34 +x

, simplifica si es posible. x + 2

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador de la expresión

.5 − 4 34 +x

=5 − 4 34 +x

.4 344 3

4 3+ 44 3

3(x + 5)2 ⋅3 + 4 (x + 5) ⋅3(x + 5)

3(x + 5)2 ⋅3 + 4 (x + 5) ⋅3(x + 5)2 ++

2 +x + 2 x + 2

Se resuelve el numerador:

=3 )4 (x + 5) ⋅3(x + 5)(x + 2)(4 (x + 5)

3 )4 (x + 5) ⋅3(x + 5)5 − 4 3) ⋅ (4 (x + 5)4 3+ 4 23

4 343

2 +⋅3 +

2 +2 ⋅3 ++(4 x +

=3 )4 (x + 5) ⋅3(x + 5)(x + 2)(4 (x + 5)

3 )(x + 5)(4 3+ 4 23

4 44 4

2 +⋅3 +

−


+58 414-7039135+58 414-7039135




=5) + 4 27)(x + 2)(4 (x + 5)

33 + 4 3 ⋅ (x + 5)2 + 4 9 ⋅ (x +

(x + 5) −

9(x + 5) + 4 27)3(x + 5)(x + 2)(4 (x + 5)(x + 2)

2 + 43 + 4=

Se agrupan los términos semejantes y simplificamos

9(x + 5) + 4 27)3(x + 5)(1

2 + 4(x + 5)3 + 44=

Respuesta: 5 − 4 34 +x

9(x + 5) + 4 27)3(x + 5)(1

2 + 4(x + 5)3 + 44 =

x + 2

Ejercicios Propuestos

6. En los siguientes ejercicios racionaliza el denominador de cada expresión.

a)5a4 25x3

1b)

a + b + a − ba + b − a − b

c) 2+ 22+ 2

−+

xx

d)a + x

x2 a +

7. En los siguientes ejercicios racionaliza cada una de las siguientes expresiones:

a) + 3+ 3 13 2 −+

xxx b)

3 x 2 +1 − 3 2x +165−x

c) x

4 4x + 4 3xd)

164

2

+ 55

−xx

e) 4 3x +1 − 4 2x +1

x

8. Hallar las conjugadas de las siguientes expresiones radicales:

a) 5 a3b16 b) 13 x35 y8 c) 7 a3 + b

d) 8 (a3 + b)5 e) 2a + b − 3a − b f) 3 a − 3 3a + b




g) 5x − 5x + 2y h) 4 3a − 4 2b i) 3 3x +1 − 3 3x −1

j) 4 x + h − 4 x k) 3 x + h( )3 − 3 x + h l) 3 x −1 − 4

m) 4 4x − 4 (x + 3)3

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En la PINA y Prueba Icfes se incluye en forma adicional más de 40 horas académicas de Video realizadas por el Ing. Nelson Baptista en las áreas de Matemática, Física y Química. En los videos se explican problemas tipo examen resueltos paso a paso, teoría resumi-da y fórmulas. Con este material audiovisual podrás complementar las clases presenciales y repasar una buena cantidad de objetivos. Cada semestre el ing. Nelson Baptista va aña-diendo nuevos videos.

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3) Personal áltamente calificado.4) Atención Persoanlizada para grupos Pequeños

1) Método Rápido y Efectivo de Aprendizaje.2) Evalución Continua

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RADICACIÓN...De aquí se puede generalizar que la expresión sub-radical consta de una base y un exponente. Para convertirlo en potencia con exponente fraccionario consideramos: •