11.10.2010

1

RACIONALNA ŠTEVILARACIONALNA ŠTEVILAUlomkiPotence s celimi eksponentiPotence s celimi eksponentiDecimalni zapis racionalnih številRazmerje in sorazmerjeProcentSklepni račun

ULOMKIULOMKI

� Številski ulomki� Algeberski ulomki� Algeberski ulomki� Računanje z ulomki

11.10.2010

2

UlomekUlomek

Ulomek predstavlja del celoteUlomek predstavlja del celote� Celoto razdelimo na 2, 3, 4 ... enake dele. Spomnimo se, kako

imenujemo en del, in ga zapišimo z ulomkom.

11.10.2010

3

� Spomnimo se še, kako z ulomkom predstavimo več delov celote.

Primer:Primer:

� Kolikšen del lika je pobarvan rdeče?

11.10.2010

4

Sestavni deli ulomkaSestavni deli ulomka� Na naslednji sliki so ponazorjeni ulomki z različnim številom pod

ulomkovo črto. Razmislimo, o čem odloča število pod ulomkovo črto.črto.

� Ko spreminjamo število pod ulomkovo črto, se spreminja ime dela celote. Zato število pod ulomkovo črto imenujemo imenovalec. Odloča o velikosti enega dela celote. Večje je število pod ulomkovo črto, manjši je en del celote.

� Na naslednji sliki so ponazorjeni ulomki z različnimi števili nad ulomkovo črto. Razmislimo, o čem odloča število nad ulomkovo črto.črto.

� Ko spreminjamo število nad ulomkovo črto, se spreminja številodelov celote. Zato število nad ulomkovo črto imenujemo števec.Pove, koliko delov je pobarvanih. Večje je število nad ulomkovo črto, več delov celote je pobarvanih.

11.10.2010

5

Kaj je ulomek?Kaj je ulomek?

� Ulomek je rezultat deljenja dveh pozitivni celih števil a in b.števil a in b.

� Ulomek imenujemo tudi količnik števil a in b.� Število a imenujemo števec ulomka.� Število b imenujemo imenovalec ulomka. � števec� ulomkova črta

a� ulomkova črta� imenovalec� Pomembno: imenovalec ulomka ne sme biti enak nič!!!!!

b

11.10.2010

6

Prikaz ulomka na številski premiciPrikaz ulomka na številski premici

� Enoto, to je razdaljo med 0 in 1 razdelimo na b enakih delov in nato a delov na b enakih delov in nato a delov nanesemo od točke 0 desno na številski premici.

Razširjanje in krajšanjeRazširjanje in krajšanje

� Ulomek je "širok" in ulomek je "kratek".je "kratek".

� Naučimo se, kako neki ulomek razširiti in kako ga krajšati.

11.10.2010

7

Lastnosti ulomkaLastnosti ulomka

� Razširjanje: ulomek lahko v števcu in imenovalcu pomnožimo z istim od nič imenovalcu pomnožimo z istim od nič različnim številom in s tem vrednost ulomka ne spremenimo.

nb

na

b

a

⋅

⋅=

� Primer:20

15

54

53

4

3=

⋅

⋅=

Lastnosti ulomkaLastnosti ulomka

� Krajšanje: ulomek lahko v števcu in imenovalcu delimo z istim od nič imenovalcu delimo z istim od nič različnim številom in s tem vrednost ulomka ne spremenimo.

nb

na

b

a

:

:=

� Primer: 2

3

2:4

2:6

4

6==

11.10.2010

8

Lastnosti ulomkaLastnosti ulomka

� Enakost ulomkov

Ulomka predstavljata isto količino, če ju lahko tako razširimo ali okrajšamo, da dobimo ista ulomka.

Lastnosti ulomkaLastnosti ulomka

� Enakost ulomkov: ulomka sta enaka, če med njima velja križni produkt.med njima velja križni produkt.

� Primer:

cbdad

c

b

a⋅=⋅⇒=

� Primer:

21021035642542

35

6

5=⇒⋅=⋅⇒=

11.10.2010

9

Lastnosti ulomkaLastnosti ulomka

� Nasprotna vrednost: če ulomek opremimo z znakom minus, dobimo njegov nasprotni znakom minus, dobimo njegov nasprotni ulomek.

� Znak minus postavimo pred ulomkovo črto ali pa v števec ulomka.

aaa −=−⇒

� Primer: Zapiši nasprotno vrednost ulomkab

a

b

a

b

a −=−⇒

3

2

3

2

3

2 −=−⇒

Lastnosti ulomkaLastnosti ulomka

� Obratna vrednost: obratno vrednost dobimo tako, da števec in imenovalec zamenjamo.tako, da števec in imenovalec zamenjamo.

� Označba obratne vrednosti:1−

b

a

a

b

b

a=

−1

� Primer: Zapiši obratno vrednost ulomka

ab

2

3

3

21

=

−

11.10.2010

10

AlgeberskiAlgeberski ulomkiulomki

� Algeberski ulomki so ulomki, ki imajo v števcu in imenovalcu poleg števil, tudi spremenljivke.in imenovalcu poleg števil, tudi spremenljivke.

� Primer:

� Za algeberske ulomke veljajo ista pravila

1

3,

5,

2 +x

x

x

x

� Za algeberske ulomke veljajo ista pravila kot za številske ulomke.

Računanje z ulomkiRačunanje z ulomki

� Seštevanje in odštevanje� Množenje� Množenje� Deljenje

11.10.2010

11

Seštevanje in odštevanjeSeštevanje in odštevanje

� Ulomka, ki imata enak imenovalec seštejemo (odštejemo )tako, da imenovalec prepišemo, števca (odštejemo )tako, da imenovalec prepišemo, števca pa seštejemo( odštejemo).

� Če imata ulomka različna imenovalca, ulomka najprej razširimo na skupni imenovalec in šele nato seštevamo (odštevamo).

� Primer: � Primer:

24

8

4

5

4

3==+

12

1

12

109

26

25

34

33

6

5

4

3−=

−=

⋅

⋅−

⋅

⋅=−

MnoženjeMnoženje

� Ulomka množimo tako, da množimo števec s števcem in imenovalec z imenovalcem.števcem in imenovalec z imenovalcem.

� Preden izvedemo množenje krajšamo.

� Primer:

bd

ac

d

c

b

a=⋅

� Primer:

22

3

112

3

122117

7123

2477

736

24

7

77

36=

⋅

=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=⋅

11.10.2010

12

Deljenje z ulomkomDeljenje z ulomkom

� Z ulomkom delimo tako, da pomnožimo z njegovo obratno vrednostjo.njegovo obratno vrednostjo.

� Primer:

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a=⋅=:

� Primer:

2

3

223

332

4

9

3

2

9

4:

3

2=

⋅⋅

⋅⋅=⋅=

POTENCE S CELIMI EKSPONENTIPOTENCE S CELIMI EKSPONENTI

� Ponovimo definicijo potence z naravnim eksponentom: �����

naaaaa ⋅⋅⋅⋅= ...eksponentom:

� Razširimo znanje o potencah:� potenca z eksponentom 0: � potenca z eksponentom -1: -obratna vrednost števila a;

�����

n

aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ...

10

=a

aa

11=

−

vrednost števila a;� Potenca s poljubnim negativnim eksponentom:

n

n

aa

1=

−

11.10.2010

13

� Primeri:4

⋅⋅⋅= xxxxx

2

5

5

2

3

13

211

110

1

1

00

0

4

=

=

=+=+

=

⋅⋅⋅=

−

−

yx

xxxxx

27

1

3

13

1

25

3

3

3

3

==

=

−

−

yy

ime predpone znak predpone vrednost predpone

eksa* E 1018

peta* P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hekto h 102

deka da 101

deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3mili m 10-3

mikro u 10-6

nano n 10-9

piko p 10-12

femto f 10-15

ato a 10-18

11.10.2010

14

DECIMALNI ZAPIS DECIMALNI ZAPIS RACIONALNEGA ŠTEVILARACIONALNEGA ŠTEVILA� Desetiški ulomki in decimalna števila� Računanje z decimalnimi števili� Računanje z decimalnimi števili

Desetiški ulomki in decimalna številaDesetiški ulomki in decimalna števila

� Desetiški ali decimalni ulomek je ulomek, katerega imenovalec lahko zapišemo kot katerega imenovalec lahko zapišemo kot potenco števila 10.

� Primeri:

10

20

1

22,

10

36

5

18

5

33,

10

5

2

1

,.....1000

123,

100

7,

10

13

−=−=−===

−

� Desetiške ulomke običajno zapišemo z decimalno številko.

11.10.2010

15

Zapis desetiškega ulomka z Zapis desetiškega ulomka z decimalno številkodecimalno številkoDesetiški ulomek Decimalno število

0,1=0.110

1

0,1=0.1

0,01

0,001

0,7

10

100

1

1000

1

10

7

51=

0,5

0,75

1,4

10

5

2

1=

100

75

4

3=

10

14

5

7

5

21 ==

Zapis poljubnega ulomka z Zapis poljubnega ulomka z decimalno številkodecimalno številko� Ulomek zapišemo z decimalno številko preprosto tako, da števec delimo z imenovalcem.preprosto tako, da števec delimo z imenovalcem.

� Za vse ulomke velja, da je možno le dvoje:� 1. Deljenje števca z imenovalcem se konča z ostankom nič, kar pomeni, da je ulomek desetiški in decimalna številka je končna.2. Ostanki pri deljenju števca z imenovalcem se � 2. Ostanki pri deljenju števca z imenovalcem se začnejo periodično ponavljati. Decimalna številka je neskončna periodična.

11.10.2010

16

Primer:Primer:

72,0...727272,011:811

8

625,08:58

5

===

==

11

Zaokroževanje številZaokroževanje števil� Zaradi praktičnosti računamo običajno namesto z natančnimi vrednostmi z njihovimi približki.Pravimo, da števila zaokrožimo.� Pravimo, da števila zaokrožimo.

� V matematiki zaokrožujmo običajno na dve decimalni mesti natančno.

� Pri zaokroževanju se ravnamo po pravilih:� 1. tretje decimalno mesto odrežemo;� 2. če na odrezanem mestu stoji števka 0, 1, 2, � 2. če na odrezanem mestu stoji števka 0, 1, 2,

3 ali 4 ostane drugo mesto nespremenjeno;3. če na odrezanem mestu stoji števka 5, 6, 7, 8 ali 9drugo mesto povečamo za ena.

11.10.2010

17

Primer:Primer:

� Zaokroži na dve decimalni mesti natančno:natančno:

� 12,45123=12,45� 12,45567=12,46

RazmerjeRazmerje

� O razmerju govorimo, ko primerjamo med seboj dve količini.količini.

� Količini, ki ju primerjamo moramo zapisati z isto enoto.

� Razmerje podamo običajno z okrajšanim ulomkom.

� Primer: Miza je dolga 120cm in široka 8dm. V � Primer: Miza je dolga 120cm in široka 8dm. V kašnem razmerju je širina z dolžino?

� Razmerje med širino in dolžino mize je 2 : 3.3

2

120

80=

cm

cm

11.10.2010

18

SorazmerjeSorazmerje

� Sorazmerje je trditev, da sta dve razmerji enaki:enaki:

� Sorazmernostno pravilo:

dcbad

c

b

a::, ==

bcadveljapotemd

c

b

a== :,

Primer:Primer:

� Izračunaj neznano količino v sorazmerju:

64

� Rešitev:

x

6

7

4=

2

21

4

67

674

=⋅

=

⋅=

x

x

24==x

11.10.2010

19

Primer:Primer:

� 3 kg jabolk stane 3,6 evra. Koliko stane 11kg jabolk?11kg jabolk?

� Rešitev:

116,33

6,3

11

3

6,3

11

3

⋅=

=

=

x

x

evrax

evra

kg

kg

� Odgovor: 11kg jabolk stane 13,2 evra

2,133

116,3=

⋅=x

ProcentniProcentni računračun

� Nogometaši NK Maribor so na tekmi streljali proti golu 25 krat in dosegli tri zadetke. Kakšno je razmerje med doseženimi streljali proti golu 25 krat in dosegli tri zadetke. Kakšno je razmerje med doseženimi zadetki in streli na gol?

� Število strelov na gol imenujemo osnova, kar označimo s simbolom o.

� Število zadetkov imenujemo delež, kar označimo s simbolom d.označimo s simbolom d.

� Razmerje imenujemo relativni delež, kar označimo s simbolom r.

0

dr =

11.10.2010

20

� Relativni delež za uspešnost nogometašev torej znaša:torej znaša:

� Ali podatek o uspešnosti 0,12 pove kaj dosti?

12,025

3

0===

dr

dosti?� Verjetno ne, zato bomo uspešnost prikazali s procentom.

Kaj je procent?Kaj je procent?� Slovenska beseda za procent je odstotek, v prostem prevodu stotina.

� Razmerjem med deležem in celoto je podano s � Razmerjem med deležem in celoto je podano s procenti, če je izraženo v stotinah, to je z ulomkom z imenovalcem 100.

� Za označevanje procentov uporabljamo simbol %.

� Relativni delež zapišemo v procentih preprosto

01,0100

1%1 ==

� Relativni delež zapišemo v procentih preprosto tako, da decimalno število pomnožimo s 100 in dodamo simbol %.

� Število procentov bomo podajali s simbolom p.

11.10.2010

21

� Torej uspešnost nogometašev NK Maribora na tekmi, na kateri so dosegli tri Maribora na tekmi, na kateri so dosegli tri zadetke je bila:

� Kaj menite o njihovi učinkovitosti?

%1210012,0 =⋅=p

� Kaj menite o njihovi učinkovitosti?

Uporaba procentovUporaba procentov� Pri iskanju posamezne količine si pomagamo s tabelo:tabelo:

Iz tabele so vidne naslednje povezave:

r

do

o

dr

rod

=

=

⋅=

11.10.2010

22

SKLEPNI RAČUNSKLEPNI RAČUNPREMO SORAZMERJE

OBRATNO SORAZMERJE

PREMO SORAZMERJEPREMO SORAZMERJE

� Dve količini sta v premem sorazmerju takrat, če se pri 2-kratnem, 3-kratnem, 4-takrat, če se pri 2-kratnem, 3-kratnem, 4-kratnem,… povečanju ( zmanjšanju ) prve količine, poveča ( zmanjša ) tudi druga količina za 2-krat, 3-krat, 4-krat,…

11.10.2010

23

Primer:Primer:� Iz 243 kg iztisnemo 180 l soka. Koliko jabolk potrebujemo

za 70 l soka?

� Sklepamo: če zmanjšamo količino soka,se zmanjša tudi potrebna količina jabolk- premo sorazmerje

� 180l…………………..243kg

� 1l………………………243:180 kg

� 70l…………………… x kg

� X=(243:180).70 = 94,5 kg� X=(243:180).70 = 94,5 kg

� Odgovor: za 70 l soka potrebujemo 94,5 kg jabolk.

OBRATNO SORAZMERJEOBRATNO SORAZMERJE

� Dve količini sta v obratnem sorazmerju takrat, če se pri 2-kratnem, 3-kratnem, 4-takrat, če se pri 2-kratnem, 3-kratnem, 4-kratnem,… povečanju prve količine, zmanjša druga količina za 2-krat, 3-krat, 4-krat,…